Najjednoduchšie problémy s priamkou v rovine. Relatívna poloha čiar

Dajme nám určitú priamku definovanú lineárnou rovnicou a bod, ktorý je definovaný svojimi súradnicami (x0, y0) a neleží na tejto priamke. Je potrebné nájsť bod, ktorý by bol symetrický k danému bodu okolo danej priamky, to znamená, že by sa s ňou zhodoval, ak je rovina mentálne ohnutá na polovicu pozdĺž tejto priamky.

Inštrukcie

1. Je jasné, že oba body – daný aj želaný – musia ležať na tej istej priamke a táto priamka musí byť na danú priamku kolmá. Prvou časťou úlohy je teda objaviť rovnicu priamky, ktorá by bola kolmá na nejakú danú priamku a zároveň prechádzala daným bodom.

2. Rovnú čiaru možno zadať dvoma spôsobmi. Kanonická rovnica priamky vyzerá takto: Ax + By + C = 0, kde A, B a C sú konštanty. Rovnú čiaru môžete určiť aj pomocou lineárnej funkcie: y = kx + b, kde k je uhlový exponent, b je posunutie.Tieto dve metódy sú vzájomne zameniteľné a môžete sa medzi nimi pohybovať. Ak Ax + By + C = 0, potom y = – (Ax + C)/B. Inými slovami, v lineárnej funkcii y = kx + b, uhlový exponent k = -A/B a posunutie b = -C/B. Pre danú úlohu je pohodlnejšie uvažovať na základe kanonickej rovnice priamky.

3. Ak sú dve priamky na seba kolmé a rovnica prvej priamky je Ax + By + C = 0, potom rovnica 2. riadku by mala vyzerať ako Bx – Ay + D = 0, kde D je konštanta. Na zistenie určitej hodnoty D je potrebné dodatočne vedieť, ktorým bodom kolmica prechádza. V tomto prípade je to bod (x0, y0), teda D musí spĺňať rovnosť: Bx0 – Ay0 + D = 0, teda D = Ay0 – Bx0.

4. Po objavení kolmice je potrebné vypočítať súradnice jej priesečníka s danou. Na to je potrebné vyriešiť sústavu lineárnych rovníc: Ax + By + C = 0, Bx – Ay + Ay0 – Bx0 = 0. Jej riešením získame čísla (x1, y1), ktoré slúžia ako súradnice priesečník čiar.

5. Požadovaný bod musí ležať na zistenej priamke a jeho vzdialenosť od priesečníka sa musí rovnať vzdialenosti od priesečníka po bod (x0, y0). Súradnice bodu symetrického k bodu (x0, y0) teda nájdeme riešením sústavy rovníc: Bx – Ay + Ay0 – Bx0 = 0,?((x1 – x0)^2 + (y1 – y0) ^2 = ?((x – x1)^2 + (y – y1)^2).

6. Ale môžete to urobiť jednoduchšie. Ak sú body (x0, y0) a (x, y) v rovnakej vzdialenosti od bodu (x1, y1) a všetky tri body ležia na rovnakej priamke, potom: x – x1 = x1 – x0,y – y1 = y1 – y0. V dôsledku toho x = 2×1 – x0, y = 2y1 – y0. Nahradením týchto hodnôt do druhej rovnice prvého systému a zjednodušením výrazov je ľahké uistiť sa, že jeho pravá strana bude rovnaká ako ľavá. Okrem toho nemá zmysel ďalej uvažovať o prvej rovnici, pretože je známe, že body (x0, y0) a (x1, y1) ju spĺňajú a bod (x, y) zjavne leží na tej istej priamke. .

Formulácia problému. Nájdite súradnice bodu symetrického k bodu vzhľadom na rovinu.

Plán riešenia.

1. Nájdite rovnicu priamky, ktorá je kolmá na danú rovinu a prechádza bodom . Keďže priamka je kolmá na danú rovinu, potom za jej smerový vektor možno brať normálový vektor roviny, t.j.

.

Preto bude rovnica priamky

.

2. Nájdite pointu priesečník priamky a lietadlá (pozri problém 13).

3. Bod je stred segmentu, kde je bod je bod symetrický k bodu , Preto

Problém 14. Nájdite bod symetrický k bodu vzhľadom k rovine.

Rovnica priamky, ktorá prechádza bodom kolmým na danú rovinu, bude:

.

Nájdite priesečník priamky a roviny.

Kde – priesečník priamky a roviny je teda stredom úsečky

Tie. .

Súradnice homogénnej roviny. Afinné transformácie v rovine.

Nechaj M X A pri

M(X, priMae (X, pri, 1) v priestore (obr. 8).

Mae (X, pri

Mae (X, pri hu.

(hx, hy, h), h  0,

Komentujte

h(Napríklad, h

V skutočnosti, vzhľadom h

Komentujte

Príklad 1

b) do uhla (obr. 9).

1. krok.

2. krok. Otočte o uhol 

matice zodpovedajúcej transformácie.

3. krok. Preniesť do vektora A(a, b)

matice zodpovedajúcej transformácie.

Príklad 3

 pozdĺž osi x a

1. krok.

matice zodpovedajúcej transformácie.

2. krok.

3. krok.

konečne to dostaneme

Komentujte

[R],[D],[M],[T],

Nechaj M- ľubovoľný bod roviny so súradnicami X A pri, vypočítané vzhľadom na daný priamočiary súradnicový systém. Homogénne súradnice tohto bodu sú ľubovoľné trojice súčasne nenulových čísel x 1, x 2, x 3, ktoré súvisia s danými číslami x a y nasledujúcimi vzťahmi:

Pri riešení úloh počítačovej grafiky sa homogénne súradnice zvyčajne zadávajú takto: do ľubovoľného bodu M(X, pri) rovine je priradený bod Mae (X, pri, 1) v priestore (obr. 8).

Všimnite si, že ľubovoľný bod na priamke spájajúcej počiatok, bod 0(0, 0, 0), s bodom Mae (X, pri, 1), môžu byť dané trojicou čísel tvaru (hx, hy, h).

Vektor so súradnicami hx, hy je smerový vektor priamky spájajúcej body 0 (0, 0, 0) a Mae (X, pri, 1). Táto priamka pretína rovinu z = 1 v bode (x, y, 1), ktorý jednoznačne definuje bod (x, y) roviny súradníc. hu.

Teda medzi ľubovoľným bodom so súradnicami (x, y) a množinou trojíc čísel tvaru

(hx, hy, h), h  0,

je stanovená korešpondencia (jedna k jednej), ktorá nám umožňuje považovať čísla hx, hy, h za nové súradnice tohto bodu.

Komentujte

Homogénne súradnice, ktoré sa široko používajú v projektívnej geometrii, umožňujú efektívne opísať takzvané nevlastné prvky (v podstate tie, v ktorých sa projektívna rovina líši od známej euklidovskej roviny). Viac podrobností o nových možnostiach poskytovaných zavedenými homogénnymi súradnicami je diskutované v štvrtej časti tejto kapitoly.

V projektívnej geometrii pre homogénne súradnice je akceptovaný nasledujúci zápis:

x:y:1 alebo všeobecnejšie x1:x2:x3

(pamätajte, že tu je bezpodmienečne nutné, aby sa čísla x 1, x 2, x 3 nezmenili súčasne na nulu).

Použitie homogénnych súradníc sa ukazuje ako výhodné aj pri riešení najjednoduchších problémov.

Zvážte napríklad problémy súvisiace so zmenami v rozsahu. Ak zobrazovacie zariadenie pracuje iba s celými číslami (alebo ak potrebujete pracovať iba s celými číslami), potom pre ľubovoľnú hodnotu h(Napríklad, h= 1) bod s homogénnymi súradnicami

nemožné si predstaviť. Pri rozumnej voľbe h je však možné zabezpečiť, aby súradnice tohto bodu boli celé čísla. Najmä pre h = 10 pre uvažovaný príklad, ktorý máme

Uvažujme o inom prípade. Aby výsledky transformácie neviedli k aritmetickému pretečeniu, pre bod so súradnicami (80000 40000 1000) môžete použiť napríklad h=0,001. V dôsledku toho dostaneme (80 40 1).

Uvedené príklady ukazujú užitočnosť použitia homogénnych súradníc pri vykonávaní výpočtov. Hlavným účelom zavedenia homogénnych súradníc v počítačovej grafike je však ich nepochybné pohodlie pri aplikácii na geometrické transformácie.

Pomocou trojíc homogénnych súradníc a matíc tretieho rádu možno opísať akúkoľvek afinnú transformáciu roviny.

V skutočnosti, vzhľadom h= 1, porovnajte dva záznamy: označené symbolom * a nasledujúcim, maticou:

Je ľahké vidieť, že po vynásobení výrazov na pravej strane posledného vzťahu získame oba vzorce (*) a správnu číselnú rovnosť 1=1.

Komentujte

Niekedy sa v literatúre používa iný zápis - stĺpcový zápis:

Tento zápis je ekvivalentný vyššie uvedenému zápisu riadok po riadku (a získava sa z neho transponovaním).

Prvky ľubovoľnej afinnej transformačnej matice nemajú explicitný geometrický význam. Preto, aby bolo možné implementovať to alebo ono mapovanie, to znamená nájsť prvky zodpovedajúcej matice podľa daného geometrického popisu, sú potrebné špeciálne techniky. Typicky je konštrukcia tejto matice v súlade so zložitosťou uvažovaného problému a špeciálnymi prípadmi opísanými vyššie rozdelená do niekoľkých etáp.

V každej fáze sa hľadá matica, ktorá zodpovedá jednému alebo druhému z vyššie uvedených prípadov A, B, C alebo D, ktoré majú dobre definované geometrické vlastnosti.

Zapíšme si zodpovedajúce matice tretieho rádu.

A. Rotačná matica

B. Dilatačná matrica

B. Reflexná matica

D. Prevodová matica (preklad)

Uvažujme o príkladoch afinných transformácií roviny.

Príklad 1

Zostrojte rotačnú maticu okolo bodu A (a,b) do uhla (obr. 9).

1. krok. Preniesť do vektora – A (-a, -b) na zarovnanie stredu otáčania s počiatkom súradníc;

matice zodpovedajúcej transformácie.

2. krok. Otočte o uhol 

matice zodpovedajúcej transformácie.

3. krok. Preniesť do vektora A(a, b) vrátiť stred otáčania do predchádzajúcej polohy;

matice zodpovedajúcej transformácie.

Vynásobme matice v rovnakom poradí, ako sú napísané:

V dôsledku toho zistíme, že požadovaná transformácia (v maticovom zápise) bude vyzerať takto:

Prvky výslednej matice (najmä v poslednom riadku) nie sú tak ľahko zapamätateľné. Zároveň je možné každú z troch vynásobených matíc ľahko skonštruovať z geometrického popisu príslušného zobrazenia.

Príklad 3

Zostavte maticu roztiahnutia s koeficientmi roztiahnutia pozdĺž osi x a pozdĺž zvislej osi a so stredom v bode A(a, b).

1. krok. Preneste do vektora -A(-a, -b), aby ste zarovnali stred naťahovania s počiatkom súradníc;

matice zodpovedajúcej transformácie.

2. krok. Natiahnutie pozdĺž súradnicových osí s koeficientmi  a , v tomto poradí; transformačná matica má tvar

3. krok. Preneste sa do vektora A(a, b), aby ste vrátili stred napätia do predchádzajúcej polohy; matica zodpovedajúcej transformácie –

Násobenie matíc v rovnakom poradí

konečne to dostaneme

Komentujte

Zdôvodnenie podobným spôsobom, teda rozloženie navrhovanej transformácie na etapy podporované maticami[R],[D],[M],[T], z jej geometrického popisu je možné zostaviť maticu akejkoľvek afinnej transformácie.

Posun sa realizuje sčítaním a škálovanie a otáčanie sa realizuje násobením.

Zmena mierky (dilatácia) vzhľadom na pôvod má tvar:

alebo v maticovej forme:

Kde DX,Dr sú škálovacie faktory pozdĺž osí a

- škálovacia matica.

Keď D > 1, dôjde k expanzii, keď 0<=D<1- сжатие

Transformácia rotácie vzhľadom na pôvod má tvar:

alebo v maticovej forme:

kde φ je uhol natočenia a

- rotačná matica.

komentár: Stĺpce a riadky rotačnej matice sú vzájomne ortogonálne jednotkové vektory. V skutočnosti sú druhé mocniny dĺžok riadkových vektorov rovné jednej:

cosφ cosφ+sinφ sinφ = 1 a (-sinφ) (-sinφ)+cosφ cosφ = 1,

a skalárny súčin riadkových vektorov je

cosφ (-sinφ) + sinφ cosφ= 0.

Keďže skalárny súčin vektorov A · B = |A| ·| B| ·cosψ, kde | A| - vektorová dĺžka A, |B| - vektorová dĺžka B, a ψ je najmenší kladný uhol medzi nimi, potom z rovnosti 0 skalárneho súčinu dvoch radových vektorov dĺžky 1 vyplýva, že uhol medzi nimi je 90 °.

Ach-och-och-och-och... no je to ťažké, akoby si čítal vetu sám pre seba =) Relax však pomôže neskôr, najmä keď som si dnes kúpila príslušné doplnky. Preto poďme k prvej časti, dúfam, že do konca článku si udržím veselú náladu.

Relatívna poloha dvoch priamych čiar

To je prípad, keď publikum spieva v zbore. Dve rovné čiary môžu:

1) zápas;

2) byť paralelné: ;

3) alebo sa pretínajú v jednom bode: .

Pomoc pre figuríny : Prosím, zapamätajte si matematickú značku križovatky, bude sa objavovať veľmi často. Zápis znamená, že čiara sa pretína s čiarou v bode .

Ako určiť vzájomnú polohu dvoch čiar?

Začnime prvým prípadom:

Dve čiary sa zhodujú vtedy a len vtedy, ak sú ich zodpovedajúce koeficienty proporcionálne, to znamená, že existuje číslo „lambda“ také, že sú splnené rovnosti

Uvažujme priame čiary a zo zodpovedajúcich koeficientov vytvorte tri rovnice: . Z každej rovnice vyplýva, že tieto čiary sa teda zhodujú.

Vskutku, ak sú všetky koeficienty rovnice vynásobte –1 (znamienka zmeny) a všetky koeficienty rovnice znížením o 2, dostanete rovnakú rovnicu: .

Druhý prípad, keď sú čiary rovnobežné:

Dve čiary sú rovnobežné vtedy a len vtedy, ak sú ich koeficienty premenných úmerné: , Ale.

Ako príklad zvážte dve priame čiary. Skontrolujeme proporcionalitu zodpovedajúcich koeficientov pre premenné:

Je však celkom zrejmé, že.

A tretí prípad, keď sa čiary pretínajú:

Dve čiary sa pretínajú vtedy a len vtedy, ak ich koeficienty premenných NIE sú proporcionálne, to znamená, že NEEXISTUJE taká hodnota „lambda“, aby boli splnené rovnosti

Takže pre priame čiary vytvoríme systém:

Z prvej rovnice vyplýva, že , a z druhej rovnice: , čo znamená systém je nekonzistentný(žiadne riešenia). Koeficienty premenných teda nie sú proporcionálne.

Záver: čiary sa pretínajú

V praktických problémoch môžete použiť práve diskutovanú schému riešenia. Mimochodom, veľmi to pripomína algoritmus na kontrolu kolinearity vektorov, na ktorý sme sa pozreli v triede Koncept lineárnej (ne)závislosti vektorov. Základy vektorov. Existuje však civilizovanejší obal:

Príklad 1

Zistite relatívnu polohu čiar:

Riešenie založené na štúdiu smerových vektorov priamych čiar:

a) Z rovníc nájdeme smerové vektory priamok: .

, čo znamená, že vektory nie sú kolineárne a čiary sa pretínajú.

Pre každý prípad dám na križovatku kameň so značkami:

Zvyšok preskočte kameň a choďte ďalej, priamo ku Kašchei nesmrteľnému =)

b) Nájdite smerové vektory čiar:

Čiary majú rovnaký smerový vektor, čo znamená, že sú buď rovnobežné, alebo zhodné. Tu nie je potrebné počítať determinant.

Je zrejmé, že koeficienty neznámych sú úmerné a .

Poďme zistiť, či je rovnosť pravdivá:

teda

c) Nájdite smerové vektory čiar:

Vypočítajme determinant tvorený súradnicami týchto vektorov:
, preto sú smerové vektory kolineárne. Čiary sú buď rovnobežné alebo zhodné.

Koeficient proporcionality „lambda“ je ľahko viditeľný priamo z pomeru vektorov kolineárneho smeru. Dá sa to však zistiť aj prostredníctvom koeficientov samotných rovníc: .

Teraz poďme zistiť, či je rovnosť pravdivá. Oba voľné termíny sú nulové, takže:

Výsledná hodnota spĺňa túto rovnicu (vo všeobecnosti ju spĺňa akékoľvek číslo).

Čiary sa teda zhodujú.

Odpoveď:

Veľmi skoro sa naučíte (alebo ste sa dokonca už naučili) riešiť diskutovaný problém doslova v priebehu niekoľkých sekúnd. V tomto ohľade nevidím zmysel ponúkať čokoľvek na nezávislé riešenie, je lepšie položiť do geometrického základu ďalšiu dôležitú tehlu:

Ako zostrojiť priamku rovnobežnú s danou?

Za neznalosť tejto najjednoduchšej úlohy slávik zbojník tvrdo trestá.

Príklad 2

Priamka je daná rovnicou. Napíšte rovnicu pre rovnobežku, ktorá prechádza bodom.

Riešenie: Neznámy riadok označme písmenom . Čo o nej hovorí stav? Bodom prechádza priamka. A ak sú čiary rovnobežné, potom je zrejmé, že smerový vektor priamky „tse“ je vhodný aj na zostrojenie priamky „de“.

Z rovnice vyberieme smerový vektor:

Odpoveď:

Príklad geometrie vyzerá jednoducho:

Analytické testovanie pozostáva z nasledujúcich krokov:

1) Skontrolujeme, či priamky majú rovnaký smerový vektor (ak rovnica priamky nie je správne zjednodušená, vektory budú kolineárne).

2) Skontrolujte, či bod vyhovuje výslednej rovnici.

Vo väčšine prípadov možno analytické testovanie ľahko vykonať ústne. Pozrite sa na dve rovnice a mnohí z vás rýchlo určia rovnobežnosť čiar bez akéhokoľvek kreslenia.

Príklady nezávislých riešení dnes budú kreatívne. Pretože stále budete musieť súťažiť s Babou Yagou a ona, viete, je milovníčkou najrôznejších hádaniek.

Príklad 3

Napíšte rovnicu pre priamku prechádzajúcu bodom rovnobežným s priamkou ak

Existuje racionálny a nie až taký racionálny spôsob, ako to vyriešiť. Najkratšia cesta je na konci hodiny.

Trochu sme pracovali s paralelnými líniami a vrátime sa k nim neskôr. Prípad zhodujúcich sa línií je málo zaujímavý, preto sa pozrime na problém, ktorý je vám veľmi známy zo školských osnov:

Ako nájsť priesečník dvoch čiar?

Ak rovno pretínajú v bode , potom sú jeho súradnice riešením sústavy lineárnych rovníc

Ako nájsť priesečník čiar? Vyriešte systém.

Nech sa páči geometrický význam sústavy dvoch lineárnych rovníc s dvoma neznámymi- sú to dve pretínajúce sa (najčastejšie) čiary v rovine.

Príklad 4

Nájdite priesečník čiar

Riešenie: Existujú dva spôsoby riešenia - grafický a analytický.

Grafická metóda je jednoducho nakresliť dané čiary a zistiť priesečník priamo z výkresu:

Tu je naša pointa: . Pre kontrolu by ste mali nahradiť jej súradnice do každej rovnice čiary, mali by sa zmestiť tam aj tam. Inými slovami, súradnice bodu sú riešením systému. V podstate sme sa pozreli na grafické riešenie sústavy lineárnych rovníc s dvoma rovnicami, dvoma neznámymi.

Grafická metóda samozrejme nie je zlá, no sú tu citeľné nevýhody. Nie, nejde o to, že siedmaci sa takto rozhodujú, ide o to, že vytvorenie správneho a PRESNEHO nákresu zaberie čas. Navyše, niektoré rovné čiary nie je také ľahké zostrojiť a samotný priesečník sa môže nachádzať niekde v tridsiatom kráľovstve mimo zošitového listu.

Preto je vhodnejšie hľadať priesečník analytickou metódou. Poďme vyriešiť systém:

Na riešenie systému bola použitá metóda sčítania rovníc po členoch. Ak chcete rozvíjať príslušné zručnosti, vezmite si lekciu Ako vyriešiť sústavu rovníc?

Odpoveď:

Kontrola je triviálna - súradnice priesečníka musia spĺňať každú rovnicu systému.

Príklad 5

Nájdite priesečník čiar, ak sa pretínajú.

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. Je vhodné rozdeliť úlohu do niekoľkých etáp. Analýza stavu naznačuje, že je potrebné:
1) Napíšte rovnicu priamky.
2) Napíšte rovnicu priamky.
3) Zistite vzájomnú polohu čiar.
4) Ak sa čiary pretínajú, nájdite priesečník.

Vývoj akčného algoritmu je typický pre mnohé geometrické problémy a budem sa na to opakovane zameriavať.

Úplné riešenie a odpoveď na konci lekcie:

Predtým, ako sme sa dostali k druhej časti lekcie, neboli opotrebované ani topánky:

Kolmé čiary. Vzdialenosť od bodu k čiare.
Uhol medzi rovnými čiarami

Začnime typickou a veľmi dôležitou úlohou. V prvej časti sme sa naučili, ako postaviť priamku rovnobežnú s touto, a teraz sa chatrč na kuracích stehnách otočí o 90 stupňov:

Ako zostrojiť priamku kolmú na danú?

Príklad 6

Priamka je daná rovnicou. Napíšte rovnicu kolmú na priamku prechádzajúcu bodom.

Riešenie: Podľa podmienok je známe, že . Bolo by pekné nájsť smerový vektor čiary. Keďže čiary sú kolmé, trik je jednoduchý:

Z rovnice „odstránime“ normálový vektor: , ktorý bude smerovacím vektorom priamky.

Zostavme rovnicu priamky pomocou bodu a smerového vektora:

Odpoveď:

Rozšírime geometrický náčrt:

Hmmm... Oranžová obloha, oranžové more, oranžová ťava.

Analytické overenie riešenia:

1) Z rovníc vyberieme smerové vektory a s pomocou skalárny súčin vektorov prichádzame k záveru, že priamky sú skutočne kolmé: .

Mimochodom, môžete použiť normálne vektory, je to ešte jednoduchšie.

2) Skontrolujte, či bod vyhovuje výslednej rovnici .

Test je opäť jednoduché vykonať ústne.

Príklad 7

Nájdite priesečník kolmých čiar, ak je rovnica známa a bodka.

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. V úlohe je viacero akcií, preto je vhodné formulovať riešenie bod po bode.

Naša vzrušujúca cesta pokračuje:

Vzdialenosť od bodu k čiare

Pred nami je rovný pás rieky a našou úlohou je dostať sa k nemu najkratšou cestou. Neexistujú žiadne prekážky a najoptimálnejšou trasou bude pohyb po kolmici. To znamená, že vzdialenosť od bodu k priamke je dĺžka kolmého segmentu.

Vzdialenosť v geometrii sa tradične označuje gréckym písmenom „rho“, napríklad: – vzdialenosť od bodu „em“ k priamke „de“.

Vzdialenosť od bodu k čiare vyjadrené vzorcom

Príklad 8

Nájdite vzdialenosť od bodu k čiare

Riešenie: všetko, čo musíte urobiť, je starostlivo nahradiť čísla do vzorca a vykonať výpočty:

Odpoveď:

Urobme výkres:

Nájdená vzdialenosť od bodu k čiare je presne dĺžka červeného segmentu. Ak nakreslíte kresbu na kockovaný papier v mierke 1 jednotky. = 1 cm (2 bunky), potom možno vzdialenosť odmerať obyčajným pravítkom.

Uvažujme o ďalšej úlohe založenej na rovnakom výkrese:

Úlohou je nájsť súradnice bodu, ktorý je symetrický k bodu vzhľadom na priamku . Navrhujem vykonať kroky sami, ale načrtnem algoritmus riešenia s priebežnými výsledkami:

1) Nájdite čiaru, ktorá je kolmá na čiaru.

2) Nájdite priesečník čiar: .

Obe akcie sú podrobne diskutované v tejto lekcii.

3) Bod je stredom segmentu. Poznáme súradnice stredu a jedného z koncov. Autor: vzorce pre súradnice stredu segmentu nájdeme .

Bolo by dobré skontrolovať, či je vzdialenosť tiež 2,2 jednotky.

Pri výpočtoch tu môžu nastať ťažkosti, ale vo veži je veľkým pomocníkom mikrokalkulačka, ktorá vám umožní vypočítať bežné zlomky. Už som Vám mnohokrát poradil a budem Vás odporúčať znova.

Ako nájsť vzdialenosť medzi dvoma rovnobežnými čiarami?

Príklad 9

Nájdite vzdialenosť medzi dvoma rovnobežnými čiarami

Toto je ďalší príklad, aby ste sa rozhodli sami. Dám vám malú nápovedu: existuje nekonečne veľa spôsobov, ako to vyriešiť. Zhrnutie na konci lekcie, ale je lepšie sa pokúsiť uhádnuť sami, myslím, že vaša vynaliezavosť bola dobre vyvinutá.

Uhol medzi dvoma priamymi čiarami

Každý roh je zárubňou:


V geometrii sa uhol medzi dvoma priamkami považuje za MENŠÍ uhol, z čoho automaticky vyplýva, že nemôže byť tupý. Na obrázku sa uhol označený červeným oblúkom nepovažuje za uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami. A jeho “zelený” sused resp opačne orientované„malinový“ kútik.

Ak sú čiary kolmé, potom ktorýkoľvek zo 4 uhlov možno považovať za uhol medzi nimi.

Ako sa líšia uhly? Orientácia. Po prvé, zásadne dôležitý je smer, v ktorom sa uhol „posúva“. Po druhé, negatívne orientovaný uhol sa zapíše so znamienkom mínus, napríklad ak .

Prečo som ti to povedal? Zdá sa, že si vystačíme s obvyklou koncepciou uhla. Faktom je, že vzorce, podľa ktorých nájdeme uhly, môžu ľahko vyústiť do negatívneho výsledku, a to by vás nemalo zaskočiť. Uhol so znamienkom mínus nie je o nič horší a má veľmi špecifický geometrický význam. V prípade záporného uhla na výkrese nezabudnite označiť jeho orientáciu šípkou (v smere hodinových ručičiek).

Ako nájsť uhol medzi dvoma priamkami? Existujú dva pracovné vzorce:

Príklad 10

Nájdite uhol medzi čiarami

Riešenie A Metóda jedna

Uvažujme dve priame čiary definované rovnicami vo všeobecnom tvare:

Ak rovno nie kolmá, To orientovaný Uhol medzi nimi možno vypočítať pomocou vzorca:

Pozorne si všímajme menovateľa – presne taký je skalárny produkt smerovanie vektorov priamych čiar:

Ak , potom sa menovateľ vzorca stane nulou a vektory budú ortogonálne a čiary budú kolmé. Preto bola vznesená výhrada k nekolmosti priamych čiar vo formulácii.

Na základe vyššie uvedeného je vhodné formalizovať riešenie v dvoch krokoch:

1) Vypočítajme skalárny súčin smerových vektorov priamok:
, čo znamená, že čiary nie sú kolmé.

2) Nájdite uhol medzi priamymi čiarami pomocou vzorca:

Pomocou inverznej funkcie je ľahké nájsť samotný uhol. V tomto prípade používame nepárnosť arkustangens (pozri. Grafy a vlastnosti elementárnych funkcií):

Odpoveď:

Vo vašej odpovedi uvádzame presnú hodnotu, ako aj približnú hodnotu (najlepšie v stupňoch a radiánoch), vypočítanú pomocou kalkulačky.

No, mínus, mínus, nič veľké. Tu je geometrická ilustrácia:

Nie je prekvapujúce, že sa ukázalo, že uhol má negatívnu orientáciu, pretože v probléme je prvé číslo priamka a „odskrutkovanie“ uhla začalo presne s ním.

Ak naozaj chcete získať kladný uhol, musíte zameniť čiary, to znamená vziať koeficienty z druhej rovnice a zoberte koeficienty z prvej rovnice. Stručne povedané, musíte začať s priamym .

Priamka v priestore môže byť vždy definovaná ako priesečník dvoch nerovnobežných rovín. Ak je rovnica jednej roviny rovnicou druhej roviny, potom rovnica priamky je daná ako

Tu nekolineárne
. Tieto rovnice sa nazývajú všeobecné rovnice priamo v priestore.

Kanonické rovnice priamky

Akýkoľvek nenulový vektor ležiaci na danej priamke alebo rovnobežný s ňou sa nazýva smerový vektor tejto priamky.

Ak je bod známy
priamka a jej smerový vektor
, potom kanonické rovnice priamky majú tvar:

. (9)

Parametrické rovnice priamky

Nech sú dané kanonické rovnice priamky

.

Odtiaľ dostaneme parametrické rovnice priamky:

(10)

Tieto rovnice sú užitočné pri hľadaní priesečníka priamky a roviny.

Rovnica priamky prechádzajúcej dvoma bodmi
A
má tvar:

.

Uhol medzi rovnými čiarami

Uhol medzi rovnými čiarami

A

rovný uhlu medzi ich smerovými vektormi. Preto sa dá vypočítať pomocou vzorca (4):

Podmienka pre paralelné čiary:

.

Podmienka, aby roviny boli kolmé:

Vzdialenosť bodu od priamky

P povedzme, že pointa je daná
a rovno

.

Z kanonických rovníc priamky poznáme bod
, patriace k priamke a jej smerový vektor
. Potom vzdialenosť bodu
od priamky sa rovná výške rovnobežníka postaveného na vektoroch A
. teda

.

Podmienka pre priesečník čiar

Dve nerovnobežné línie

,

pretínajú vtedy a len vtedy

.

Vzájomná poloha priamky a roviny.

Nech je daná priamka
a lietadlo. Rohový medzi nimi možno nájsť podľa vzorca

.

Problém 73. Napíšte kanonické rovnice priamky

(11)

Riešenie. Na zapísanie kanonických rovníc priamky (9) je potrebné poznať ľubovoľný bod patriaci priamke a smerový vektor priamky.

Poďme nájsť vektor rovnobežne s touto čiarou. Keďže musí byť kolmá na normálové vektory týchto rovín, t.j.

,
, To

.

Zo všeobecných rovníc priamky to máme
,
. Potom

.

Od veci
ľubovoľný bod na priamke, potom jeho súradnice musia spĺňať rovnice priamky a jedna z nich môže byť špecifikovaná, napr.
, nájdeme ďalšie dve súradnice zo systému (11):

Odtiaľ,
.

Kanonické rovnice požadovaného riadku majú teda tvar:

alebo
.

Problém 74.

A
.

Riešenie. Z kanonických rovníc prvého riadku sú známe súradnice bodu
patriace k priamke a súradnice smerového vektora
. Z kanonických rovníc druhého riadku sú známe aj súradnice bodu
a súradnice smerového vektora
.

Vzdialenosť medzi rovnobežnými čiarami sa rovná vzdialenosti bodu
z druhej priamky. Táto vzdialenosť sa vypočíta podľa vzorca

.

Nájdite súradnice vektora
.

Vypočítajme vektorový súčin
:

.

Problém 75. Nájdite bod symetrický bod
relatívne rovné

.

Riešenie. Zapíšme si rovnicu roviny kolmej na danú priamku a prechádzajúcej bodom . Ako jeho normálny vektor môžete vziať smerový vektor priamky. Potom
. teda

Nájdime pointu
priesečník tejto priamky a roviny P. Aby sme to dosiahli, napíšeme parametrické rovnice priamky pomocou rovníc (10), dostaneme

teda
.

Nechaj
bod symetrický k bodu
vzhľadom na túto čiaru. Potom bod
stredný bod
. Na nájdenie súradníc bodu Pre súradnice stredu segmentu používame vzorce:

,
,
.

takže,
.

Problém 76. Napíšte rovnicu roviny prechádzajúcej priamkou
A

a) cez bod
;

b) kolmo na rovinu.

Riešenie. Zapíšme si všeobecné rovnice tohto riadku. Ak to chcete urobiť, zvážte dve rovnosti:

To znamená, že požadovaná rovina patrí do zväzku rovín s generátormi a jej rovnicu možno zapísať v tvare (8):

a) Poďme nájsť
A z podmienky, že rovina prechádza bodom
, preto jej súradnice musia spĺňať rovnicu roviny. Dosadíme súradnice bodu
do rovnice zväzku rovín:

Nájdená hodnota
Dosadíme to do rovnice (12). dostaneme rovnicu požadovanej roviny:

b) Poďme nájsť
A z podmienky, že požadovaná rovina je kolmá na rovinu. Normálny vektor danej roviny
, normálový vektor požadovanej roviny (pozri rovnicu zväzku rovín (12).

Dva vektory sú kolmé práve vtedy, ak je ich bodový súčin nula. teda

Nájdenú hodnotu dosadíme
do rovnice zväzku rovín (12). Získame rovnicu požadovanej roviny:

Problémy riešiť samostatne

Problém 77. Priveďte do kanonického tvaru rovnicu čiar:

1)
2)

Problém 78. Napíšte parametrické rovnice priamky
, Ak:

1)
,
; 2)
,
.

Problém 79. Napíšte rovnicu roviny prechádzajúcej bodom
kolmo na priamku

Problém 80. Napíšte rovnice priamky prechádzajúcej bodom
kolmo na rovinu.

Problém 81. Nájdite uhol medzi rovnými čiarami:

1)
A
;

2)
A

Problém 82. Dokážte rovnobežné čiary:

A
.

Problém 83. Dokážte kolmosť čiar:

A

Problém 84. Vypočítajte vzdialenosť bodov
z priamky:

1)
; 2)
.

Problém 85. Vypočítajte vzdialenosť medzi rovnobežnými čiarami:

A
.

Problém 86. V rovniciach priamky
definovať parameter aby sa táto priamka pretla s priamkou a nájdite bod ich priesečníka.

Problém 87. Ukážte, že je to rovné
rovnobežne s rovinou
a priamku
leží v tejto rovine.

Problém 88. Nájdite bod symetrický bod vzhľadom na rovinu
, Ak:

1)
, ;

2)
, ;.

Problém 89. Napíšte rovnicu kolmice spadnutej z bodu
priamo
.

Problém 90. Nájdite bod symetrický bod
relatívne rovné
.

Úlohou je nájsť súradnice bodu, ktorý je symetrický k bodu vzhľadom na priamku . Navrhujem vykonať kroky sami, ale načrtnem algoritmus riešenia s priebežnými výsledkami:

1) Nájdite čiaru, ktorá je kolmá na čiaru.

2) Nájdite priesečník čiar: .

Obe akcie sú podrobne diskutované v tejto lekcii.

3) Bod je stredom segmentu. Poznáme súradnice stredu a jedného z koncov. Autor: vzorce pre súradnice stredu segmentu nájdeme .

Bolo by dobré skontrolovať, či je vzdialenosť tiež 2,2 jednotky.

Pri výpočtoch tu môžu nastať ťažkosti, ale vo veži je veľkým pomocníkom mikrokalkulačka, ktorá vám umožní vypočítať bežné zlomky. Už som Vám mnohokrát poradil a budem Vás odporúčať znova.

Ako nájsť vzdialenosť medzi dvoma rovnobežnými čiarami?

Príklad 9

Nájdite vzdialenosť medzi dvoma rovnobežnými čiarami

Toto je ďalší príklad, aby ste sa rozhodli sami. Dám vám malú nápovedu: existuje nekonečne veľa spôsobov, ako to vyriešiť. Zhrnutie na konci lekcie, ale je lepšie sa pokúsiť uhádnuť sami, myslím, že vaša vynaliezavosť bola dobre vyvinutá.

Uhol medzi dvoma priamymi čiarami

Každý roh je zárubňou:


V geometrii sa uhol medzi dvoma priamkami považuje za MENŠÍ uhol, z čoho automaticky vyplýva, že nemôže byť tupý. Na obrázku sa uhol označený červeným oblúkom nepovažuje za uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami. A jeho “zelený” sused resp opačne orientované„malinový“ kútik.

Ak sú čiary kolmé, potom ktorýkoľvek zo 4 uhlov možno považovať za uhol medzi nimi.

Ako sa líšia uhly? Orientácia. Po prvé, zásadne dôležitý je smer, v ktorom sa uhol „posúva“. Po druhé, negatívne orientovaný uhol sa zapíše so znamienkom mínus, napríklad ak .

Prečo som ti to povedal? Zdá sa, že si vystačíme s obvyklou koncepciou uhla. Faktom je, že vzorce, podľa ktorých nájdeme uhly, môžu ľahko vyústiť do negatívneho výsledku, a to by vás nemalo zaskočiť. Uhol so znamienkom mínus nie je o nič horší a má veľmi špecifický geometrický význam. V prípade záporného uhla na výkrese nezabudnite označiť jeho orientáciu šípkou (v smere hodinových ručičiek).

Ako nájsť uhol medzi dvoma priamkami? Existujú dva pracovné vzorce:

Príklad 10

Nájdite uhol medzi čiarami

Riešenie A Metóda jedna

Uvažujme dve priame čiary definované rovnicami vo všeobecnom tvare:

Ak rovno nie kolmá, To orientovaný Uhol medzi nimi možno vypočítať pomocou vzorca:

Pozorne si všímajme menovateľa – presne taký je skalárny produkt smerovanie vektorov priamych čiar:

Ak , potom sa menovateľ vzorca stane nulou a vektory budú ortogonálne a čiary budú kolmé. Preto bola vznesená výhrada k nekolmosti priamych čiar vo formulácii.

Na základe vyššie uvedeného je vhodné formalizovať riešenie v dvoch krokoch:

1) Vypočítajme skalárny súčin smerových vektorov priamok:

2) Nájdite uhol medzi priamymi čiarami pomocou vzorca:

Pomocou inverznej funkcie je ľahké nájsť samotný uhol. V tomto prípade používame nepárnosť arkustangens (pozri. Grafy a vlastnosti elementárnych funkcií):

Odpoveď:

Vo vašej odpovedi uvádzame presnú hodnotu, ako aj približnú hodnotu (najlepšie v stupňoch a radiánoch), vypočítanú pomocou kalkulačky.

No, mínus, mínus, nič veľké. Tu je geometrická ilustrácia:

Nie je prekvapujúce, že sa ukázalo, že uhol má negatívnu orientáciu, pretože v probléme je prvé číslo priamka a „odskrutkovanie“ uhla začalo presne s ním.

Ak naozaj chcete získať kladný uhol, musíte zameniť čiary, to znamená vziať koeficienty z druhej rovnice a zoberte koeficienty z prvej rovnice. Stručne povedané, musíte začať s priamym .

Nebudem to skrývať, vyberám rovné čiary sám v poradí, aby sa uhol ukázal ako pozitívny. Je to krajšie, ale nič viac.

Ak chcete skontrolovať svoje riešenie, môžete si vziať uhlomer a zmerať uhol.

Metóda dva

Ak sú priamky dané rovnicami so sklonom a nie kolmá, To orientovaný Uhol medzi nimi možno nájsť pomocou vzorca:

Podmienku kolmosti priamok vyjadruje rovnosť, z ktorej mimochodom vyplýva veľmi užitočný vzťah medzi uhlovými koeficientmi kolmých priamok: , ktorý sa používa v niektorých úlohách.

Algoritmus riešenia je podobný predchádzajúcemu odseku. Najprv však prepíšme naše priame čiary do požadovaného tvaru:

Zjazdovky sú teda:

1) Skontrolujte, či sú čiary kolmé:
, čo znamená, že čiary nie sú kolmé.

2) Použite vzorec:

Odpoveď:

Druhý spôsob je vhodné použiť, keď sú rovnice priamych čiar na začiatku špecifikované uhlovým koeficientom. Treba poznamenať, že ak je aspoň jedna priamka rovnobežná so zvislou osou, potom vzorec nie je vôbec použiteľný, pretože pre takéto priamky nie je definovaný sklon (pozri článok Rovnica priamky na rovine).

Existuje aj tretie riešenie. Cieľom je vypočítať uhol medzi smerovými vektormi čiar pomocou vzorca, o ktorom sme hovorili v lekcii Bodový súčin vektorov:

Tu už nehovoríme o orientovanom uhle, ale „len o uhle“, to znamená, že výsledok bude určite pozitívny. Háčik je v tom, že môžete skončiť s tupým uhlom (nie tým, ktorý potrebujete). V tomto prípade budete musieť urobiť výhradu, že uhol medzi priamymi čiarami je menší uhol, a odpočítať výsledný kosínus oblúka od radiánov „pí“ (180 stupňov).

Tí, ktorí chcú, môžu problém vyriešiť tretím spôsobom. Ale stále odporúčam držať sa prvého prístupu s orientovaným uhlom z dôvodu, že je rozšírený.

Príklad 11

Nájdite uhol medzi čiarami.

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. Skúste to vyriešiť dvoma spôsobmi.

Tá rozprávka akosi zanikla... Pretože neexistuje nesmrteľný Kašchei. Som tu ja a nie som nijako nadšený. Aby som bol úprimný, myslel som si, že článok bude oveľa dlhší. Ale stále si vezmem svoj nedávno získaný klobúk a okuliare a pôjdem si zaplávať do vody v septembrovom jazere. Dokonale odstraňuje únavu a negatívnu energiu.

Do skorého videnia!

A pamätajte, Baba Yaga nebola zrušená =)

Riešenia a odpovede:

Príklad 3:Riešenie : Nájdime smerový vektor úsečky :

Zostavme rovnicu požadovanej priamky pomocou bodu a smerový vektor . Keďže jedna zo súradníc smerového vektora je nulová, platí Eq. prepíšme to do tvaru:

Odpoveď :

Príklad 5:Riešenie :
1) Rovnica priamky dajme si dva body :

2) Rovnica priamky dajme si dva body :

3) Zodpovedajúce koeficienty pre premenné nie proporcionálne: , čo znamená, že sa čiary pretínajú.
4) Nájdite bod :


Poznámka : tu sa prvá rovnica systému vynásobí 5, potom sa 2. odčíta po členoch od 1. rovnice.
Odpoveď :