Ak sú ukazovatele rovnaké, ale základy sú odlišné. Lekcia "násobenie a rozdelenie právomocí"

Každá aritmetická operácia sa niekedy stáva príliš ťažkopádnou na zaznamenávanie a snažia sa ju zjednodušiť. Kedysi to tak bolo aj s operáciou sčítania. Bolo potrebné, aby ľudia vykonávali opakované pridávanie rovnakého typu, napríklad vypočítať náklady na sto perzských kobercov, ktorých cena je 3 zlaté mince za každý. 3 + 3 + 3 + ... + 3 = 300. Vzhľadom na objemnosť sa uvažovalo o znížení zápisu na 3 * 100 = 300. V skutočnosti zápis „trikrát sto“ znamená, že musíte sto trojíc a spočítajte ich. Násobenie sa zakorenilo a získalo všeobecnú popularitu. Svet však nestojí a v stredoveku bolo potrebné vykonať opakované množenie rovnakého typu. Spomínam si na starú indiánsku hádanku o mudrcovi, ktorý si za odmenu za vykonanú prácu pýtal pšeničné zrná v nasledujúcom množstve: za prvú bunku šachovnice pýtal jedno zrno, za druhú dve, tretiu štyri, piaty - osem a tak ďalej. Takto sa objavilo prvé násobenie mocnín, pretože počet zŕn sa rovnal dvom mocnine počtu buniek. Napríklad v poslednej bunke by bolo 2*2*2*…*2 = 2^63 zŕn, čo sa rovná číslu dlhému 18 znakov, čo je v skutočnosti význam hádanky.

Operácia zvyšovania moci sa zakorenila pomerne rýchlo a tiež sa rýchlo stalo nevyhnutnosťou vykonávať sčítanie, odčítanie, delenie a násobenie stupňov. To posledné stojí za zváženie podrobnejšie. Vzorce na sčítanie mocnín sú jednoduché a ľahko zapamätateľné. Okrem toho je veľmi ľahké pochopiť, odkiaľ pochádzajú, ak je výkonová operácia nahradená násobením. Najprv však musíte pochopiť základnú terminológiu. Výraz a ^ b (čítaj „a na mocninu b“) znamená, že číslo a by sa malo samo násobiť b-krát a „a“ sa nazýva základ stupňa a „b“ je exponent. Ak sú základy mocnín rovnaké, potom sú vzorce odvodené celkom jednoducho. Konkrétny príklad: nájdite hodnotu výrazu 2^3 * 2^4. Aby ste vedeli, čo by sa malo stať, mali by ste pred začatím riešenia nájsť odpoveď v počítači. Zadaním tohto výrazu do ľubovoľnej online kalkulačky, vyhľadávača, zadaním „násobenia mocnín s rôznymi základmi a rovnako“ alebo matematického balíka bude výstup 128. Teraz napíšme tento výraz: 2^3 = 2*2*2, a 2^4 = 2*2*2*2. Ukazuje sa, že 2^3 * 2^4 = 2*2*2*2*2*2*2 = 2^7 = 2^(3+4) . Ukazuje sa, že súčin mocnín s rovnakým základom sa rovná základu umocnenému na mocninu rovnajúcu sa súčtu predchádzajúcich dvoch mocnín.

Možno si myslíte, že ide o nehodu, ale nie: každý iný príklad môže toto pravidlo len potvrdiť. Vo všeobecnosti teda vzorec vyzerá takto: a^n * a^m = a^(n+m) . Existuje tiež pravidlo, že každé číslo s nulovou mocninou sa rovná jednej. Tu by sme mali pamätať na pravidlo záporných mocnín: a^(-n) = 1 / a^n. To znamená, že ak 2^3 = 8, potom 2^(-3) = 1/8. Pomocou tohto pravidla môžeme dokázať rovnosť a^0 = 1: a^0 = a^(n-n) = a^n * a^(-n) = a^(n) * 1/a^(n) , a^ (n) môže byť zmenšené a zostáva jedno. Z toho je odvodené pravidlo, že kvocient mocnin s rovnakými základmi sa rovná tejto základni v miere rovnajúcej sa podielu deliteľa a deliteľa: a ^ n: a ^ m = a ^ (n-m) . Príklad: Zjednodušte výraz 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0: 2^(-2) . Násobenie je komutatívna operácia, takže exponenty násobenia je potrebné najprv pridať: 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 = 2^(3+5-7+0) = 2^1 = 2. Ďalej by ste sa mali zaoberať rozdelením negatívnym stupňom. Od deliteľa je potrebné odpočítať exponent: 2^1: 2^(-2) = 2^(1-(-2)) = 2^(1+2) = 2^3 = 8. ukazuje sa, že operácia delenia záporným stupňom je totožná s operáciou násobenia podobným kladným exponentom. Takže konečná odpoveď je 8.

Existujú príklady, kde dochádza k nekanonickému násobeniu právomocí. Násobenie síl s rôznymi základmi je veľmi často oveľa ťažšie a niekedy dokonca nemožné. Je potrebné uviesť niekoľko príkladov rôznych možných prístupov. Príklad: zjednodušte výraz 3^7 * 9^(-2) * 81^3 * 243^(-2) * 729. Je zrejmé, že dochádza k násobeniu mocnín s rôznymi základmi. Treba však poznamenať, že všetky bázy sú rôzne mocniny trojky. 9 = 3^2,1 = 3^4,3 = 3^5,9 = 3^6. Pomocou pravidla (a^n) ^m = a^(n*m) by ste mali výraz prepísať do vhodnejšieho tvaru: 3^7 * (3^2) ^(-2) * (3^4) ^3 * ( 3^5) ^(-2) * 3^6 = 3^7 * 3^(-4) * 3^(12) * 3^(-10) * 3^6 = 3^(7 -4+12 -10+6) = 3^(11) . Odpoveď: 3^11. V prípadoch, keď existujú rôzne základy, pravidlo a ^ n * b ^ n = (a * b) ^ n funguje pre rovnaké ukazovatele. Napríklad 3^3 * 7^3 = 21^3. V opačnom prípade, keď existujú rôzne základy a ukazovatele, nie je možné vykonať úplné násobenie. Niekedy môžete čiastočne zjednodušiť alebo sa uchýliť k pomoci výpočtovej techniky.

Silové vzorce používa sa v procese znižovania a zjednodušovania zložitých výrazov, pri riešení rovníc a nerovníc.

číslo c je n-tá mocnina čísla a Kedy:

Operácie so stupňami.

1. Vynásobením stupňov s rovnakým základom sa ich ukazovatele spočítajú:

a ma n = a m + n.

2. Pri delení stupňov s rovnakým základom sa ich ukazovatele odpočítajú:

3. Stupeň súčinu 2 alebo viacerých faktorov sa rovná súčinu stupňov týchto faktorov:

(abc…) n = a n b n c n …

4. Stupeň zlomku sa rovná pomeru stupňov dividendy a deliteľa:

(a/b) n = a n/bn.

5. Zvýšením mocniny na mocninu sa exponenty vynásobia:

(am) n = a m n .

Každý vzorec vyššie je správny v smere zľava doprava a naopak.

Napríklad. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operácie s koreňmi.

1. Koreň súčinu viacerých faktorov sa rovná súčinu koreňov týchto faktorov:

2. Odmocnina pomeru sa rovná pomeru dividendy a deliteľa koreňov:

3. Pri zvyšovaní odmocniny na mocninu stačí zvýšiť odmocninu na túto mocninu:

4. Ak zvýšime stupeň koreňa v n raz a zároveň zvýšiť na n mocnina je číslo odmocniny, potom sa hodnota odmocniny nezmení:

5. Ak znížime stupeň koreňa v n root súčasne n stupňa od radikálneho čísla, potom sa hodnota koreňa nezmení:

Stupeň so záporným exponentom. Stupeň čísla s kladným (celočíselným) exponentom je definovaný ako stupeň delený stupňom toho istého čísla s exponentom rovným absolútnej hodnote kladného exponentu:

Vzorec a m:a n = a m - n možno použiť nielen na m> n, ale aj pri m< n.

Napríklad. a4:a7 = a4-7 = a-3.

Formulovať a m:a n = a m - n sa stal spravodlivým m=n, potrebujete prítomnosť nultého stupňa.

Stupeň s nulovým exponentom. Mocnina akéhokoľvek nenulového čísla s nulovým exponentom sa rovná jednej.

Napríklad. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Stupeň so zlomkovým exponentom. Zvýšiť skutočné číslo A do istej miery m/n, musíte extrahovať koreň n tý stupeň m mocnina tohto čísla A.

Pojem diplom z matematiky sa zavádza už v 7. ročníku na hodine algebry. A v budúcnosti, počas štúdia matematiky, sa tento koncept aktívne používa vo svojich rôznych formách. Stupne sú pomerne zložitou témou, ktorá si vyžaduje zapamätanie si hodnôt a schopnosť správne a rýchlo počítať. Pre rýchlejšiu a lepšiu prácu s titulmi z matematiky prišli s vlastnosťami titulu. Pomáhajú obmedziť veľké výpočty, do určitej miery previesť obrovský príklad na jediné číslo. Nie je toľko vlastností a všetky sa dajú ľahko zapamätať a aplikovať v praxi. Preto článok pojednáva o hlavných vlastnostiach stupňa, ako aj o tom, kde sa uplatňujú.

stupňa vlastnosti

Budeme uvažovať o 12 vlastnostiach stupňa vrátane vlastností mocnín s rovnakým základom a ku každej vlastnosti uvedieme príklad. Každá z týchto vlastností vám pomôže rýchlejšie vyriešiť problémy so stupňami a tiež vás ušetrí od mnohých výpočtových chýb.

1. nehnuteľnosť.

Mnoho ľudí veľmi často zabúda na túto vlastnosť, robí chyby a predstavuje číslo na nulový stupeň ako nulu.

2. nehnuteľnosť.

3. nehnuteľnosť.

Treba si uvedomiť, že túto vlastnosť je možné použiť len pri násobení čísel, nepracuje so súčtom! A nesmieme zabúdať, že táto a nasledujúce vlastnosti platia len pre mocniny s rovnakým základom.

4. nehnuteľnosť.

Ak je číslo v menovateli umocnené na zápornú mocninu, potom pri odčítaní sa stupeň menovateľa berie do zátvoriek, aby sa správne nahradilo znamienko v ďalších výpočtoch.

Vlastnosť funguje len pri delení, nie pri odčítaní!

5. nehnuteľnosť.

6. nehnuteľnosť.

Táto vlastnosť môže byť použitá aj opačne. Jednotka delená číslom do určitej miery je toto číslo na zápornú mocninu.

7. nehnuteľnosť.

Túto vlastnosť nemožno použiť na súčet a rozdiel! Pri zvyšovaní súčtu alebo rozdielu na mocninu sa používajú skrátené vzorce násobenia, nie vlastnosti mocniny.

8. nehnuteľnosť.

9. nehnuteľnosť.

Táto vlastnosť funguje pre ľubovoľný zlomkový stupeň s čitateľom rovným jednej, vzorec bude rovnaký, iba stupeň odmocniny sa bude meniť v závislosti od menovateľa stupňa.

Táto vlastnosť sa tiež často používa v opačnom poradí. Odmocninu ktorejkoľvek mocniny čísla možno znázorniť ako číslo k mocnine jednotky delené mocninou odmocniny. Táto vlastnosť je veľmi užitočná v prípadoch, keď nie je extrahovaný koreň čísla.

10. nehnuteľnosť.

Táto vlastnosť funguje nielen s druhou odmocninou a druhým stupňom. Ak je stupeň koreňa a stupeň, do ktorého je tento koreň vyvýšený, rovnaký, potom bude odpoveďou radikálny výraz.

11. nehnuteľnosť.

Túto vlastnosť musíte pri riešení vidieť včas, aby ste sa ušetrili od obrovských výpočtov.

12. nehnuteľnosť.

Každá z týchto vlastností sa vám v úlohách stretne viackrát, môže byť daná v čistej forme, alebo si môže vyžadovať nejaké transformácie a použitie iných vzorcov. Pre správne riešenie preto nestačí poznať len vlastnosti, treba si precvičiť a prepojiť ostatné matematické poznatky.

Aplikácia stupňov a ich vlastnosti

Aktívne sa používajú v algebre a geometrii. Samostatné, dôležité miesto majú tituly z matematiky. S ich pomocou sa riešia exponenciálne rovnice a nerovnice, ako aj mocniny často komplikujú rovnice a príklady súvisiace s inými úsekmi matematiky. Exponenty pomáhajú vyhnúť sa veľkým a dlhým výpočtom, je jednoduchšie zmenšiť a vypočítať exponenty. Ale na prácu s veľkými mocninami alebo s mocninami veľkých čísel potrebujete poznať nielen vlastnosti stupňa, ale aj kompetentne pracovať so základmi, vedieť ich rozložiť, aby ste si uľahčili úlohu. Pre pohodlie by ste tiež mali poznať význam čísel umocnených na mocninu. Tým sa skráti čas pri riešení, pretože nie sú potrebné dlhé výpočty.

Osobitnú úlohu v logaritmoch zohráva pojem stupňa. Pretože logaritmus je v podstate sila čísla.

Skrátené vzorce násobenia sú ďalším príkladom použitia mocniny. Nemôžu využívať vlastnosti stupňov, sú rozložené podľa špeciálnych pravidiel, ale v každom skrátenom násobiteľskom vzorci sú bez zmeny stupne.

Tituly sa aktívne využívajú aj vo fyzike a informatike. Všetky preklady do sústavy SI sa robia pomocou stupňov a v budúcnosti sa pri riešení úloh uplatňujú vlastnosti stupňa. V informatike sa aktívne používajú mocniny dvoch pre pohodlie počítania a zjednodušenie vnímania čísel. Ďalšie výpočty na prevody merných jednotiek alebo výpočty problémov, rovnako ako vo fyzike, sa vyskytujú pomocou vlastností stupňa.

Stupne sú veľmi užitočné aj v astronómii, kde málokedy nájdete využitie vlastností stupňa, no samotné stupne sa aktívne využívajú na skrátenie záznamu rôznych veličín a vzdialeností.

Stupne sa používajú aj v každodennom živote, pri výpočte plôch, objemov, vzdialeností.

Pomocou stupňov sú v akejkoľvek oblasti vedy napísané veľmi veľké a veľmi malé hodnoty.

exponenciálne rovnice a nerovnice

Vlastnosti stupňov zaujímajú špeciálne miesto práve v exponenciálnych rovniciach a nerovniciach. Tieto úlohy sú veľmi bežné v školskom kurze aj na skúškach. Všetky sú riešené aplikáciou vlastností stupňa. Neznáma je vždy v samotnom stupni, preto, keď poznáme všetky vlastnosti, nebude ťažké vyriešiť takúto rovnicu alebo nerovnosť.

V minulom videonávode sme sa dozvedeli, že stupeň určitého základu je výraz, ktorý je súčinom základu a samého seba, braný v množstve rovnajúcom sa exponentu. Pozrime sa teraz na niektoré z najdôležitejších vlastností a operácií mocí.

Vynásobme napríklad dve rôzne mocniny s rovnakým základom:

Poďme sa pozrieť na tento diel celý:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

Po vypočítaní hodnoty tohto výrazu dostaneme číslo 32. Na druhej strane, ako je zrejmé z toho istého príkladu, 32 môže byť reprezentované ako súčin toho istého základu (dvoch), braný 5-krát. A skutočne, ak počítate, potom:

Dá sa teda bezpečne dospieť k záveru, že:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

Toto pravidlo úspešne funguje pre všetky indikátory a dôvody. Táto vlastnosť násobenia stupňa vyplýva z pravidla zachovania významu výrazov pri transformáciách v súčine. Pre ľubovoľnú bázu a sa súčin dvoch výrazov (a) x a (a) y rovná a (x + y). Inými slovami, pri vytváraní akýchkoľvek výrazov s rovnakým základom má konečný jednočlen celkový stupeň vytvorený pridaním stupňa prvého a druhého výrazu.

Prezentované pravidlo funguje skvele aj pri násobení viacerých výrazov. Hlavnou podmienkou je, aby základy pre všetky boli rovnaké. Napríklad:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

Nie je možné pridávať stupne a vo všeobecnosti vykonávať akékoľvek spoločné akcie s dvoma prvkami výrazu, ak sú ich základy odlišné.
Ako ukazuje naše video, vďaka podobnosti procesov násobenia a delenia sa pravidlá sčítania mocnín pri súčine dokonale prenášajú aj do postupu delenia. Zvážte tento príklad:

Urobme transformáciu výrazu po členoch na plnú formu a zredukujeme rovnaké prvky v dividende a deliteľovi:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

Konečný výsledok tohto príkladu nie je až taký zaujímavý, pretože už pri jeho riešení je jasné, že hodnota výrazu sa rovná druhej mocnine dvoch. A práve dvojku získame odčítaním stupňa druhého výrazu od stupňa prvého.

Na určenie stupňa kvocientu je potrebné od stupňa dividendy odpočítať stupeň deliteľa. Pravidlo funguje na rovnakom základe pre všetky svoje hodnoty a pre všetky prírodné sily. V abstraktnej forme máme:

(a) x / (a) y = (a) x - y

Definícia pre nultý stupeň vyplýva z pravidla delenia rovnakých základov s mocninami. Je zrejmé, že nasledujúci výraz je:

(a) x / (a) x \u003d (a) (x - x) \u003d (a) 0

Na druhej strane, ak rozdelíme viac vizuálne, dostaneme:

(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1

Pri zmenšení všetkých viditeľných prvkov zlomku sa vždy získa výraz 1/1, teda jedna. Preto sa všeobecne uznáva, že každá základňa zvýšená na nulovú mocninu sa rovná jednej:

Bez ohľadu na hodnotu a.

Bolo by však absurdné, keby sa 0 (ktorá stále dáva 0 pre akékoľvek násobenie) nejakým spôsobom rovná jednej, takže výraz ako (0) 0 (nula na nulový stupeň) jednoducho nedáva zmysel a vzorec (a) 0 = 1 pridajte podmienku: "ak sa a nerovná 0".

Urobme cvičenie. Poďme zistiť hodnotu výrazu:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

Keďže základ je všade rovnaký a rovná sa 34, konečná hodnota bude mať rovnaký základ so stupňom (podľa vyššie uvedených pravidiel):

Inými slovami:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

Odpoveď: Výraz sa rovná jednej.