Viacnásobná regresná rovnica v prirodzenej a štandardizovanej forme. Štandardizované regresné koeficienty
Koeficienty regresnej rovnice, rovnako ako akékoľvek absolútne ukazovatele, nemožno použiť v komparatívnej analýze, ak sú jednotky merania zodpovedajúcich premenných odlišné. Napríklad, ak r - rodinné výdavky na jedlo, X 1 - veľkosť rodiny a X 2 je celkový príjem rodiny a definujeme závislosť typu = a + b 1 X 1 + b 2 X 2 a b 2 > b 1 , potom to neznamená, že X 2 silnejší účinok na r , ako X 1 , pretože b 2 je zmena rodinných výdavkov so zmenou príjmu o 1 rubeľ a b 1 - zmena výdavkov pri zmene veľkosti rodiny o 1 osobu.
Porovnateľnosť koeficientov regresnej rovnice sa dosiahne zohľadnením štandardizovanej regresnej rovnice:
y 0 \u003d 1 x 1 0 + 2 x 2 0 + ... + m x m 0 + e,
kde y 0 a X 0 k – štandardizované hodnoty premenných r A X k :
Sy a S sú štandardné odchýlky premenných r A X k ,
k (k=) – -koeficienty regresnej rovnice (ale nie parametre regresnej rovnice, na rozdiel od vyššie uvedenej notácie). -koeficienty ukazujú, o akú časť svojej štandardnej odchýlky (S y) sa závislá premenná zmení r ako nezávislá premenná X k sa zmení o svoju štandardnú odchýlku (S). Odhady parametrov regresnej rovnice v absolútnom vyjadrení (b k) a β-koeficienty sú spojené vzťahom:
-koeficienty regresnej rovnice na štandardizovanej škále vytvárajú reálnu predstavu o vplyve nezávislých premenných na modelovaný ukazovateľ. Ak hodnota -koeficientu pre ktorúkoľvek premennú prevyšuje hodnotu zodpovedajúceho -koeficientu pre inú premennú, potom by sa mal vplyv prvej premennej na zmenu efektívneho ukazovateľa uznať za významnejší. Treba mať na pamäti, že štandardizovaná regresná rovnica v dôsledku centrovania premenných nemá pri konštrukcii voľný člen.
Pre jednoduchú regresiu sa -koeficient zhoduje s párovým korelačným koeficientom, čo umožňuje dať párovému korelačnému koeficientu sémantický význam.
Pri analýze vplyvu ukazovateľov zahrnutých v regresnej rovnici na modelovaný znak sa spolu s -koeficientmi používajú aj koeficienty elasticity. Napríklad ukazovateľ priemernej elasticity sa vypočíta podľa vzorca
a ukazuje, o koľko percent sa závislá premenná v priemere zmení, ak sa priemerná hodnota zodpovedajúcej nezávislej premennej zmení o jedno percento (ceteris paribus).
2.2.9. Diskrétne premenné v regresnej analýze
Premenné v regresných modeloch majú zvyčajne spojité rozsahy. Teória však nekladie žiadne obmedzenia na povahu takýchto premenných. Pomerne často je potrebné pri regresnej analýze brať do úvahy vplyv kvalitatívnych znakov a ich závislosť od rôznych faktorov. V tomto prípade je potrebné zaviesť do regresného modelu diskrétne premenné. Diskrétne premenné môžu byť nezávislé alebo závislé. Zoberme si tieto prípady oddelene. Uvažujme najskôr o prípade diskrétnych nezávislých premenných.
Falošné premenné v regresnej analýze
Aby sa do regresie zahrnuli kvalitatívne znaky ako nezávislé premenné, musia byť digitalizované. Jedným zo spôsobov, ako ich digitalizovať, je použiť fiktívne premenné. Názov nie je úplne úspešný - nie sú fiktívne, na tieto účely je len pohodlnejšie použiť premenné, ktoré majú iba dve hodnoty - nulu alebo jednotku. Tomu sa hovorí fiktívne. Zvyčajne môže kvalitatívna premenná nadobúdať niekoľko hodnotových úrovní. Napríklad pohlavie - muž, žena; kvalifikácia - vysoká, stredná, nízka; sezónnosť - I, II, III a IV štvrťrok atď. Existuje pravidlo, podľa ktorého na digitalizáciu takýchto premenných je potrebné zadať počet dummy premenných, o jednu menej ako je počet úrovní modelovaného ukazovateľa. . Je to potrebné, aby takéto premenné neboli lineárne závislé.
V našich príkladoch je pohlavie jedna premenná, ktorá sa rovná 1 pre mužov a 0 pre ženy. Kvalifikácia má tri úrovne, takže sú potrebné dve fiktívne premenné: napríklad z 1 = 1 pre vysokú úroveň, 0 pre ostatné; z 2 = 1 pre strednú úroveň, 0 pre ostatných. Nie je možné zaviesť tretiu podobnú premennú, pretože v tomto prípade by sa ukázalo, že sú lineárne závislé (z 1 + z 2 + z 3 \u003d 1), determinant matice (X T X) by sa dostal na nulu a našiel by inverzná matica (X T X) -1 not by bola úspešná. Ako viete, odhady parametrov regresnej rovnice sa určujú z pomeru: T X) -1 X T Y).
Koeficienty pre fiktívne premenné ukazujú, ako sa líši hodnota závislej premennej na analyzovanej úrovni v porovnaní s chýbajúcou úrovňou. Ak by sa napríklad platová úroveň modelovala v závislosti od viacerých charakteristík a úrovne zručností, potom koeficient z 1 by ukázal, o koľko sa líši plat špecialistov s vysokou úrovňou kvalifikácie od platu odborníka s nízkou úrovňou kvalifikácie. , pričom všetky ostatné veci sú rovnaké, a koeficient pri z 2 - podobný význam pre špecialistov s priemernou úrovňou kvalifikácie. V prípade sezónnosti by bolo potrebné zaviesť tri fiktívne premenné (ak sa berú do úvahy štvrťročné údaje) a koeficienty pre ne by ukázali, ako veľmi sa líši hodnota závislej premennej za príslušný štvrťrok od úrovne závislej premennej za štvrťroku, ktorý nebol zadaný pri ich digitalizácii.
Zavádzajú sa aj fiktívne premenné na modelovanie štrukturálnych zmien v dynamike skúmaných ukazovateľov pri analýze časových radov.
Príklad 4Štandardizovaná regresná rovnica a fiktívne premenné
Zvážte príklad použitia štandardizovaných koeficientov a fiktívnych premenných na príklade analýzy trhu s dvojizbovými bytmi na základe rovnice viacnásobnej regresie s nasledujúcim súborom premenných:
PRICE - cena;
TOTSP - celková plocha;
LIVSP - obytná časť;
KITSP - kuchynský kút;
DIST - vzdialenosť do centra mesta;
Chôdza - rovná 1, ak sa na stanicu metra dostanete pešo a rovná 0, ak potrebujete použiť verejnú dopravu;
TEHLA - rovná 1, ak je dom tehlový a rovná 0, ak je panelový;
POSCHODIE - rovná sa 1, ak sa byt nenachádza na prvom alebo poslednom poschodí a v opačnom prípade sa rovná 0;
TEL - rovná sa 1, ak je v byte telefón, a rovná 1, ak nie je;
BAL sa rovná 1, ak je balkón, a rovná 0, ak balkón nie je.
Výpočty sa uskutočnili pomocou softvéru STATISTICA (obrázok 2.23). Prítomnosť -koeficientov umožňuje zoradiť premenné podľa miery ich vplyvu na závislú premennú. Poďme stručne analyzovať výsledky výpočtu.
Na základe Fisherových štatistík sme dospeli k záveru, že regresná rovnica je významná (úroveň p< 0,05). Обработана информация о 6 286 квартирах (n–m–1 = 6 276, а m = 9). Все коэффициенты уравнения регрессии (кроме при переменной BAL) значимы (р-величины для них < 0,05), а наличие или отсутствие балкона в этом случае существенно не сказывается на цене квартиры.
Obrázok 2.24 – Správa o trhu s bytmi na základe STATISTICA PPP
Koeficient viacnásobného určenia je 52%, preto premenné zahrnuté do regresie určujú zmenu ceny o 52% a zvyšných 48% zmeny ceny bytu závisí od nezapočítaných faktorov. Vrátane náhodných cenových výkyvov.
Každý z koeficientov premennej ukazuje, o koľko sa zmení cena bytu (ceteris paribus), ak sa táto premenná zmení o jeden. Napríklad pri zmene celkovej plochy o 1 m2. m sa cena bytu v priemere zmení o 0,791 USD a pri vzdialenosti bytu 1 km od centra mesta sa cena bytu zníži v priemere o 0,596 USD. atď. Dummy premenné (posledných 5) ukazujú, o koľko sa v priemere zmení cena bytu, ak prejdete z jednej úrovne tejto premennej na druhú. Napríklad, ak je dom tehlový, potom je byt v ňom v priemere 3,104 USD. drahšie ako v panelovom dome a prítomnosť telefónu v byte zvyšuje jeho cenu v priemere o 1 493 USD. e., atď.
Na základe -koeficientov možno vyvodiť nasledujúce závery. Najväčší -koeficient rovný 0,514 je koeficient pre premennú „celková plocha“, preto sa v prvom rade tvorí cena bytu pod vplyvom jeho celkovej plochy. Ďalším faktorom, pokiaľ ide o mieru vplyvu na zmenu ceny bytu, je vzdialenosť do centra mesta, potom materiál, z ktorého je dom postavený, potom plocha kuchyne atď. .
Strana 1
Štandardizované regresné koeficienty ukazujú, o koľko sigmov sa výsledok v priemere zmení, ak sa zodpovedajúci faktor x zmení o jednu sigmu, pričom priemerná úroveň ostatných faktorov zostane nezmenená. Vzhľadom na to, že všetky premenné sú nastavené ako centrované a normalizované, štandardizované koeficienty reness D sú navzájom porovnateľné. Pri ich vzájomnom porovnaní môžete faktory zoradiť podľa sily ich vplyvu na výsledok. Toto je hlavná výhoda štandardizovaných regresných koeficientov na rozdiel od čistých regresných koeficientov, ktoré sú medzi sebou neporovnateľné.
Konzistencia parciálnych korelačných a štandardizovaných regresných koeficientov je najzreteľnejšia z porovnania ich vzorcov v dvojfaktorovej analýze.
Konzistencia parciálnych korelačných a štandardizovaných regresných koeficientov je najzreteľnejšia z porovnania ich vzorcov v obojsmernej analýze.
Na určenie hodnôt odhadov pri štandardizovaných regresných koeficientoch a (najčastejšie sa používajú tieto metódy riešenia sústavy normálnych rovníc: metóda determinantov, metóda druhej odmocniny a metóda matice. V poslednom čase sa používa maticová metóda sa vo veľkej miere používa na riešenie problémov regresnej analýzy, kde uvažujeme o riešení sústavy normálnych rovníc metódou determinantov.
Inými slovami, v dvojfaktorovej analýze sú parciálne korelačné koeficienty štandardizované regresné koeficienty vynásobené druhou odmocninou pomeru podielov reziduálnych rozptylov fixného faktora k faktoru a k výsledku.
Existuje aj iná možnosť, ako posúdiť úlohu zoskupovacích znakov, ich význam pre klasifikáciu: na základe štandardizovaných regresných koeficientov alebo samostatných determinačných koeficientov (pozri kap.
Ako je možné vidieť z tabuľky. 18 boli zložky študovaného zloženia rozdelené podľa absolútnej hodnoty regresných koeficientov (b5) s ich kvadratickou chybou (sbz) v rade od oxidu uhoľnatého a organických kyselín po aldehydy a olejové pary. Pri výpočte štandardizovaných regresných koeficientov (p) sa ukázalo, že s prihliadnutím na rozsah kolísania koncentrácií vystupujú do popredia ketóny a oxid uhoľnatý pri tvorbe toxicity zmesi ako celku, zatiaľ čo organické kyseliny zostávajú na treťom mieste.
Podmienečne čisté regresné koeficienty bf sú pomenované čísla vyjadrené v rôznych merných jednotkách, a preto sú navzájom neporovnateľné. Na ich prepočet na porovnateľné relatívne ukazovatele sa použije rovnaká transformácia ako na získanie párového korelačného koeficientu. Výsledná hodnota sa nazýva štandardizovaný regresný koeficient alebo - koeficient.
Koeficienty podmienene čistej regresie A; sú pomenované čísla, vyjadrené v rôznych merných jednotkách, a preto sú navzájom neporovnateľné. Na ich prepočet na porovnateľné relatívne ukazovatele sa použije rovnaká transformácia ako na získanie párového korelačného koeficientu. Výsledná hodnota sa nazýva štandardizovaný regresný koeficient alebo - koeficient.
V procese tvorby štandardov pre počet zamestnancov sa zbierajú počiatočné údaje o počte vedúcich zamestnancov a hodnotách faktorov pre vybrané základné podniky. Ďalej sa pre každú funkciu vyberú významné faktory na základe korelačnej analýzy na základe hodnoty korelačných koeficientov. Vyberú sa faktory s najvyššou hodnotou párového korelačného koeficientu s funkciou a štandardizovaný regresný koeficient.
Výsledky vyššie uvedených výpočtov umožňujú zoradiť v zostupnom poradí regresné koeficienty zodpovedajúce skúmanej zmesi, a tým kvantifikovať stupeň ich nebezpečnosti. Takto získaný regresný koeficient však nezohľadňuje rozsah možných fluktuácií každej zložky v zmesi. Výsledkom je, že produkty degradácie s vysokými regresnými koeficientmi, ktoré však kolíšu v malom rozsahu koncentrácií, môžu mať menší vplyv na celkový toxický účinok ako zložky s relatívne malým b, ktorých obsah v zmesi kolíše v širšom rozsahu. Preto sa zdá byť vhodné vykonať dodatočnú operáciu - výpočet takzvaných štandardizovaných regresných koeficientov p (J.
Stránky: 1
Cvičenie.
- Pre daný súbor údajov vytvorte lineárny viacnásobný regresný model. Posúdiť presnosť a primeranosť zostrojenej regresnej rovnice.
- Uveďte ekonomickú interpretáciu parametrov modelu.
- Vypočítajte koeficienty štandardizovaného modelu a napíšte regresnú rovnicu v štandardizovanej forme. Je pravda, že cena tovaru má väčší vplyv na objem ponuky tovaru ako mzdy zamestnancov?
- Pre výsledný model (v prirodzenej forme) skontrolujte homoskedasticitu zvyškov použitím Goldfeld-Quandtovho testu.
- Skontrolujte výsledný model na zvyškovú autokoreláciu pomocou Durbin-Watsonovho testu.
- Skontrolujte, či je predpoklad o homogenite pôvodných údajov primeraný v regresnom zmysle. Je možné spojiť dve vzorky (pre prvých 8 a zvyšných 8 pozorovaní) do jednej a zvážiť jeden regresný model Y na X?
1. Odhad regresnej rovnice. Definujme vektor odhadov regresných koeficientov pomocou služby Multiple Regression Equation. Podľa metódy najmenších štvorcov vektor s sa získa z výrazu: s = (X T X) -1 X T Y
Matica X
| 1 | 182.94 | 1018 |
| 1 | 193.45 | 920 |
| 1 | 160.09 | 686 |
| 1 | 157.99 | 405 |
| 1 | 123.83 | 683 |
| 1 | 152.02 | 530 |
| 1 | 130.53 | 525 |
| 1 | 137.38 | 418 |
| 1 | 137.58 | 425 |
| 1 | 118.78 | 161 |
| 1 | 142.9 | 242 |
| 1 | 99.49 | 226 |
| 1 | 116.17 | 162 |
| 1 | 185.66 | 70 |
Matica Y
| 4.07 |
| 4 |
| 2.98 |
| 2.2 |
| 2.83 |
| 3 |
| 2.35 |
| 2.04 |
| 1.97 |
| 1.02 |
| 1.44 |
| 1.22 |
| 1.11 |
| 0.82 |
XT Matrix
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 182.94 | 193.45 | 160.09 | 157.99 | 123.83 | 152.02 | 130.53 | 137.38 | 137.58 | 118.78 | 142.9 | 99.49 | 116.17 | 185.66 |
| 1018 | 920 | 686 | 405 | 683 | 530 | 525 | 418 | 425 | 161 | 242 | 226 | 162 | 70 |
Násobenie matíc, (X T X)
Nájdite inverznú maticu (X T X) -1
| 2.25 | -0.0161 | 0.00037 |
| -0.0161 | 0.000132 | -7,0E-6 |
| 0.00037 | -7,0E-6 | 1,0E-6 |
Vektor odhadov regresných koeficientov sa rovná
| Y(X) = |
| * |
| = |
|
Regresná rovnica (vyhodnotenie regresnej rovnice)
Y = 0,18 + 0,00297 X 1 + 0,00347 X 2
2. Matica párových korelačných koeficientov R. Počet pozorovaní n = 14. Počet nezávislých premenných v modeli je 2 a počet regresorov, berúc do úvahy jednotkový vektor, sa rovná počtu neznámych koeficientov. Pri zohľadnení znamienka Y sa rozmer matice rovná 4. Matica nezávislých premenných X má rozmer (14 x 4).
Matica zložená z Y a X
| 1 | 4.07 | 182.94 | 1018 |
| 1 | 4 | 193.45 | 920 |
| 1 | 2.98 | 160.09 | 686 |
| 1 | 2.2 | 157.99 | 405 |
| 1 | 2.83 | 123.83 | 683 |
| 1 | 3 | 152.02 | 530 |
| 1 | 2.35 | 130.53 | 525 |
| 1 | 2.04 | 137.38 | 418 |
| 1 | 1.97 | 137.58 | 425 |
| 1 | 1.02 | 118.78 | 161 |
| 1 | 1.44 | 142.9 | 242 |
| 1 | 1.22 | 99.49 | 226 |
| 1 | 1.11 | 116.17 | 162 |
| 1 | 0.82 | 185.66 | 70 |
Transponovaná matica.
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 4.07 | 4 | 2.98 | 2.2 | 2.83 | 3 | 2.35 | 2.04 | 1.97 | 1.02 | 1.44 | 1.22 | 1.11 | 0.82 |
| 182.94 | 193.45 | 160.09 | 157.99 | 123.83 | 152.02 | 130.53 | 137.38 | 137.58 | 118.78 | 142.9 | 99.49 | 116.17 | 185.66 |
| 1018 | 920 | 686 | 405 | 683 | 530 | 525 | 418 | 425 | 161 | 242 | 226 | 162 | 70 |
Matica A T A.
| 14 | 31.05 | 2038.81 | 6471 |
| 31.05 | 83.37 | 4737.04 | 18230.79 |
| 2038.81 | 4737.04 | 307155.61 | 995591.55 |
| 6471 | 18230.79 | 995591.55 | 4062413 |
Výsledná matica má nasledujúcu korešpondenciu:
| ∑n | ∑y | ∑x1 | ∑x2 |
| ∑y | ∑y2 | ∑x1r | ∑x2y |
| ∑x1 | ∑yx 1 | ∑x 1 2 | ∑x2x1 |
| ∑x2 | ∑yx2 | ∑x1x2 | ∑x 2 2 |
Poďme nájsť párové korelačné koeficienty.
| Vlastnosti x a y | ∑(x i) | ∑ (y i) | ∑(x i y i) | |||
| Pre y a x 1 | 2038.81 | 145.629 | 31.05 | 2.218 | 4737.044 | 338.36 |
| Pre y a x 2 | 6471 | 462.214 | 31.05 | 2.218 | 18230.79 | 1302.199 |
| Pre x 1 a x 2 | 6471 | 462.214 | 2038.81 | 145.629 | 995591.55 | 71113.682 |
| Vlastnosti x a y | ||||
| Pre y a x 1 | 731.797 | 1.036 | 27.052 | 1.018 |
| Pre y a x 2 | 76530.311 | 1.036 | 276.641 | 1.018 |
| Pre x 1 a x 2 | 76530.311 | 731.797 | 276.641 | 27.052 |
Matica párových korelačných koeficientov R:
| - | r | x 1 | x2 |
| r | 1 | 0.558 | 0.984 |
| x 1 | 0.558 | 1 | 0.508 |
| x2 | 0.984 | 0.508 | 1 |
Pri výbere najvýznamnejších faktorov x i sa berú do úvahy tieto podmienky:
- vzťah medzi efektívnym znakom a faktorom by mal byť vyšší ako medzifaktorový vzťah;
- vzťah medzi faktormi by nemal byť väčší ako 0,7. Ak má matica medzifaktorový korelačný koeficient r xjxi > 0,7, potom je v tomto modeli viacnásobnej regresie multikolinearita.;
- pri vysokom medzifaktorovom vzťahu vlastnosti sa vyberajú faktory s nižším korelačným koeficientom medzi nimi.
V našom prípade všetky párové korelačné koeficienty |r| Regresný model na štandardnej mierke Regresný model na štandardnej mierke predpokladá, že všetky hodnoty študovaných znakov sa prevedú na štandardy (štandardizované hodnoty) pomocou vzorcov:
kde x ji je hodnota premennej x ji v i-tom pozorovaní.
Pôvod každej štandardizovanej premennej sa teda kombinuje s jej strednou hodnotou a jej štandardná odchýlka sa berie ako jednotka zmeny S.
Ak je vzťah medzi premennými v prirodzenom meradle lineárny, potom zmena pôvodu a jednotky merania neporuší túto vlastnosť, takže štandardizované premenné budú tiež spojené lineárnym vzťahom:
t y = ∑β j t xj
Na odhad β-koeficientov používame metódu najmenších štvorcov. V tomto prípade bude mať systém normálnych rovníc tvar:
r x1y =β 1 +r x1x2 β 2 + ... + r x1xm β m
r x2y =r x2x1 β 1 + β 2 + ... + r x2xm β m
...
r xmy =r xmx1 β 1 + r xmx2 β 2 + ... + β m
Pre naše údaje (vyberáme z matice párových korelačných koeficientov):
0,558 = p1 + 0,508 p2
0,984 = 0,508p1 + p2
Tento systém lineárnych rovníc je riešený Gaussovou metódou: β 1 = 0,0789; p2 = 0,944;
Štandardná forma regresnej rovnice je:
y0 = 0,0789 x 1 + 0,944 x 2
β-koeficienty zistené z tohto systému umožňujú určiť hodnoty koeficientov v regresii v prirodzenom meradle pomocou vzorcov:
Štandardizované parciálne regresné koeficienty. Štandardizované parciálne regresné koeficienty - β-koeficienty (β j) ukazujú, o akú časť svojej smerodajnej odchýlky S (y) sa zmení znamienko-výsledok r so zmenou príslušného faktora x j o hodnotu jeho smerodajnej odchýlky (S xj) pri rovnakom vplyve ostatných faktorov (zahrnutých v rovnici).
Podľa maxima β j možno posúdiť, ktorý faktor má najväčší vplyv na výsledok Y.
Podľa koeficientov pružnosti a β-koeficientov možno vyvodiť opačné závery. Dôvody sú: a) odchýlka jedného faktora je veľmi veľká; b) viacsmerný vplyv faktorov na výsledok.
Koeficient β j možno interpretovať aj ako indikátor priameho (bezprostredného) ovplyvnenia j-tý faktor (x j) na výsledku (y). Vo viacnásobnej regresii j Faktor má nielen priamy, ale aj nepriamy (nepriamy) vplyv na výsledok (t. j. vplyv prostredníctvom iných faktorov modelu).
Nepriamy vplyv sa meria hodnotou: ∑β i r xj,xi , kde m je počet faktorov v modeli. Plný vplyv j-tý faktor na výsledku rovný súčtu priamych a nepriamych vplyvov meria koeficient lineárnej párovej korelácie tohto faktora a výsledku - r xj,y .
Takže v našom príklade je priamy vplyv faktora x 1 na výsledok Y v regresnej rovnici meraný pomocou β j a je 0,0789; nepriamy (nepriamy) vplyv tohto faktora na výsledok je definovaný ako:
r x 1 x 2 β 2 = 0,508 * 0,944 = 0,4796
V ekonometrii sa často používa odlišný prístup na určenie parametrov viacnásobnej regresie (2.13) s vylúčeným koeficientom:
Vydeľte obe strany rovnice štandardnou odchýlkou vysvetľovanej premennej S Y a reprezentovať ho vo forme:
Vydeľte a vynásobte každý člen štandardnou odchýlkou zodpovedajúcej faktoriálnej premennej, aby ste sa dostali k štandardizovaným (centrovaným a normalizovaným) premenným:
kde sú nové premenné označené ako
.
Všetky štandardizované premenné majú priemer nula a rovnaký rozptyl jedna.
Regresná rovnica v štandardizovanej forme je:
Kde 
- štandardizované regresné koeficienty.
Štandardizované regresné koeficienty 
odlišné od koeficientov 
obvyklú, prirodzenú formu v tom, že ich hodnota nezávisí od rozsahu merania vysvetľovaných a vysvetľujúcich premenných modelu. Okrem toho medzi nimi existuje jednoduchý vzťah:
, (3.2)
čo dáva ďalší spôsob výpočtu koeficientov 
podľa známych hodnôt 
, čo je pohodlnejšie napríklad v prípade dvojfaktorového regresného modelu.
5.2. Normálny systém rovníc najmenších štvorcov v štandardizácii
premenných
Ukazuje sa, že na výpočet koeficientov štandardizovanej regresie potrebujete poznať iba párové koeficienty lineárnej korelácie. Aby sme ukázali, ako sa to robí, vylúčime neznámu z normálneho systému rovníc najmenších štvorcov 
pomocou prvej rovnice. Vynásobenie prvej rovnice číslom ( 
) a pridaním po členoch k druhej rovnici dostaneme:
Nahradenie výrazov v zátvorkách označením rozptylu a kovariancie
Prepíšme druhú rovnicu vo forme vhodnej pre ďalšie zjednodušenie:
Vydeľte obe strany tejto rovnice štandardnou odchýlkou premenných S Y A ` S X 1 a každý výraz sa vydelí a vynásobí štandardnou odchýlkou premennej zodpovedajúcej číslu výrazu:
Predstavenie charakteristík lineárneho štatistického vzťahu:
a štandardizované regresné koeficienty
,
dostaneme:
Po podobných transformáciách všetkých ostatných rovníc má normálny systém lineárnych rovníc LSM (2.12) nasledujúcu, jednoduchšiu formu:
(3.3)
5.3. Štandardizované možnosti regresie
Štandardizované regresné koeficienty v konkrétnom prípade modelu s dvoma faktormi sú určené z nasledujúceho systému rovníc:
(3.4)
Pri riešení tohto systému rovníc zistíme:
, (3.5)
. (3.6)
Dosadením nájdených hodnôt párových korelačných koeficientov do rovníc (3.4) a (3.5) dostaneme 
A 
. Potom pomocou vzorcov (3.2) je ľahké vypočítať odhady koeficientov 
A 
a potom v prípade potreby vypočítajte odhad 
podľa vzorca 
6. Možnosti ekonomickej analýzy založenej na multifaktoriálnom modeli
6.1. Štandardizované regresné koeficienty
Štandardizované regresné koeficienty ukazujú, koľko štandardných odchýlok 
zmena priemeru vysvetľovanej premennej Y ak zodpovedajúca vysvetľujúca premenná X i
sa zmení o sumu 
jednu zo svojich štandardných odchýlok pri zachovaní rovnakých hodnôt priemernej úrovne všetkých ostatných faktorov.
Vzhľadom na skutočnosť, že v štandardizovanej regresii sú všetky premenné uvedené ako centrované a normalizované náhodné premenné, koeficienty 
navzájom porovnateľné. Ich vzájomným porovnaním môžete zoradiť zodpovedajúce faktory X i silou vplyvu na vysvetľovanú premennú Y. Toto je hlavná výhoda štandardizovaných regresných koeficientov z koeficientov 
regresie v prirodzenej forme, ktoré sú medzi sebou neporovnateľné.
Táto vlastnosť štandardizovaných regresných koeficientov umožňuje využiť pri skríningu najmenej významných faktorov X i s takmer nulovými hodnotami ich vzorových odhadov 
. Rozhodnutie o ich vylúčení z modelovej rovnice lineárnej regresie sa robí po testovaní štatistických hypotéz o rovnosti jej priemernej hodnoty na nulu.
Koeficient beta rovný 0,074 (tabuľka 3.2.1) ukazuje, že ak sa reálna mzda zmení o hodnotu svojej smerodajnej odchýlky (σx1), potom sa koeficient prirodzeného prírastku obyvateľstva zmení v priemere o 0,074 σу. Koeficient beta rovný 0,02 ukazuje, že ak sa celková sobášnosť zmení o hodnotu svojej smerodajnej odchýlky (o σx2), potom sa prirodzená miera rastu populácie zmení v priemere o 0,02 σу. Podobne zmena počtu trestných činov na 1000 ľudí o hodnotu jeho smerodajnej odchýlky (o σх3) povedie k zmene efektívnej charakteristiky v priemere o 0,366 σy a k zmene príkonu metrov štvorcových obytných budov. priestorov na osobu a rok o hodnotu jej smerodajnej odchýlky (o σх4) vedie k zmene efektívneho znaku v priemere o 1,32σу.
Koeficient elasticity ukazuje, o koľko percent sa v priemere zmení y so zmenou znamienka o 1 %. Z analýzy radu dynamiky je známe, že hodnota 1 % prírastku efektívneho ukazovateľa je záporná, keďže vo všetkých jednotkách obyvateľstva dochádza k prirodzenému úbytku obyvateľstva. Preto nárast vlastne znamená zníženie straty. Takže záporné koeficienty elasticity v tomto prípade odrážajú skutočnosť, že so zvýšením každej z faktorových charakteristík o 1% sa koeficient prirodzeného opotrebovania zníži o zodpovedajúci počet percent. Pri raste reálnych miezd o 1 % sa miera opotrebovania zníži o 0,219 %, pri zvýšení úhrnnej sobášnosti o 1 % sa zníži o 0,156 %. Nárast počtu trestných činov na 1 000 osôb o 1 % charakterizuje zníženie prirodzeného úbytku obyvateľstva o 0,564. To samozrejme neznamená, že zvýšením kriminality je možné zlepšiť demografickú situáciu. Získané výsledky naznačujú, že čím viac ľudí sa zachráni na 1000 obyvateľov, tým viac trestných činov pripadá na túto tisícku. Nárast vstupných m2. bývanie na osobu a rok o 1 % vedie k zníženiu prirodzeného úbytku o 0,482 %
Z analýzy koeficientov elasticity a koeficientov beta vyplýva, že najväčší vplyv na koeficient prirodzeného prírastku obyvateľstva má faktor sprevádzkovania štvorcových metrov bývania na obyvateľa, keďže zodpovedá najvyššej hodnote koeficientu beta (1,32). To však neznamená, že najväčšie príležitosti na zmenu koeficientu prirodzeného prírastku obyvateľstva sú spojené so zmenou tohto z uvažovaných faktorov. Získaný výsledok odzrkadľuje skutočnosť, že dopyt na trhu s bývaním zodpovedá ponuke, to znamená, že čím väčší je prirodzený prírastok obyvateľstva, tým väčšia je potreba tohto obyvateľstva v bývaní a tým viac sa stavia.
Druhá najväčšia beta (0,366) zodpovedá počtu trestných činov na 1000 ľudí. To samozrejme neznamená, že zvýšením kriminality je možné zlepšiť demografickú situáciu. Získané výsledky naznačujú, že čím viac ľudí sa zachráni na 1000 obyvateľov, tým viac trestných činov pripadá na túto tisícku.
Najväčší zo zostávajúcich znakov, koeficient beta (0,074), zodpovedá ukazovateľu reálnej mzdy. Najväčšie príležitosti na zmenu koeficientu prirodzeného prírastku obyvateľstva sú spojené so zmenou tohto z uvažovaných faktorov. Ukazovateľ všeobecnej sobášnosti je v tomto smere horší ako reálne mzdy, pretože prirodzený úbytok obyvateľstva v Rusku je spôsobený predovšetkým vysokou úmrtnosťou, ktorej tempo rastu možno znížiť skôr materiálnou podporou ako nárast faktov o manželstve.
3.3 Kombinované zoskupenie oblastí podľa reálnych miezd a celkovej sobášnosti
Kombinované alebo viacrozmerné zoskupenie je zoskupenie založené na dvoch alebo viacerých charakteristikách. Hodnota tohto zoskupenia spočíva v tom, že ukazuje nielen vplyv každého z faktorov na výsledok, ale aj vplyv ich kombinácie.
Určme vplyv hodnoty reálnych miezd a celkovej sobášnosti na pôrodnosť na 1000 osôb populácie.
Typické skupiny vyčleňujeme podľa načrtnutých znakov. Za týmto účelom zostavíme a analyzujeme zoradené a intervalové rady podľa faktorového kritéria (hodnota mzdy), určíme počet skupín a veľkosť intervalu; potom v rámci každej skupiny zostavíme zoradený a intervalový rad podľa druhého znamienka (sobášnosť) a nastavíme aj počet skupín a interval. Postup vykonania tejto práce je uvedený v kapitole 2, preto bez výpočtov uvádzame výsledky. Pre hodnotu reálnej mzdy sa rozlišujú 3 typické skupiny, pre celkovú sobášnosť - 2 skupiny.
Urobíme rozloženie kombinačnej tabuľky, v ktorej zabezpečíme rozdelenie obyvateľstva do skupín a podskupín, ako aj stĺpce na zaznamenávanie počtu krajov a pôrodnosti na 1000 obyvateľov. Pre vybrané skupiny a podskupiny vypočítame pôrodnosť (tabuľka 3.3.1)
Tabuľka 3.3.1
Vplyv reálnych miezd a celkovej sobášnosti na pôrodnosť.
Analyzujme získané údaje o závislosti pôrodnosti od reálnych miezd a sobášnosti. Keďže sa skúma jedno znamenie - pôrodnosť, údaje o ňom zapíšeme do tabuľky šachovej kombinácie v nasledujúcom tvare (tabuľka 3.3.2)
Kombinované zoskupovanie umožňuje posúdiť mieru vplyvu na pôrodnosť každého faktora samostatne a ich vzájomné pôsobenie.
Tabuľka 3.3.2
Závislosť pôrodnosti od reálnej mzdy a sobášnosti
Preštudujme si najskôr vplyv hodnoty reálnych miezd na pôrodnosť s pevnou hodnotou ďalšej charakteristiky zoskupenia – sobášnosti. Takže s mierou sobášnosti z 13,2 na 25,625 sa priemerná pôrodnosť zvýši so zvýšením miezd z 9,04 v 1. skupine na 9,16 v 2. skupine a 9,56 v 3. skupine; nárast pôrodnosti z miezd v 3. skupine oproti 1. je: 9,56-9,04 = 0,52 osôb na 1000 obyvateľov. Pri sobášnosti 25,625-38,05 je nárast oproti rovnakej výške mzdy: 10,27-9,49 = 0,78 ľudí na 1000 obyvateľov. Nárast z interakcie faktorov je: 0,78-0,52=0,26 ľudí na 1000 obyvateľov. Z toho vyplýva úplne prirodzený záver: zvýšenie blahobytu motivuje, alebo skôr umožňuje, s dôverou v budúcnosť, realizovať túžbu človeka oženiť sa a vytvoriť rodinu s deťmi. To ukazuje interakciu faktorov.
Rovnakým spôsobom odhadujeme vplyv na pôrodnosť sobášnosti pri fixnej úrovni miezd. Na tento účel porovnávame pôrodnosť skupín „a“ a „b“ v rámci každej skupiny z hľadiska reálnych miezd. Nárast pôrodnosti so zvýšením sobášnosti na 25,625-38,05 na 1000 obyvateľov oproti skupine "a" je: v 1. skupine s platom 5707,9 - 6808,7 rubľov. za mesiac - 9,49-9,04 = 0,45 osôb na 1000 obyvateľov, v 2. skupine - 10,01-9,16 = 0,85 osôb na 1000 obyvateľov a v 3. skupine - 10,27- 9,56=0,71 osôb na 1000 obyvateľov. Ako vidíte, rozhodnutie mať dieťa závisí od rodinného stavu, t.j. existuje interakcia faktorov, čo vedie k nárastu o 0,26 ľudí na 1 000 obyvateľov.
Pri spoločnom zvýšení oboch faktorov sa pôrodnosť zvyšuje z 9,04 v podskupine 1 „a“ na 10,27 osôb na 1000 obyvateľov v podskupine 3 „b“.
Zástupcovia Európskej hospodárskej komisie Organizácie Spojených národov nedávno oznámili, že vek pri prvom sobáši sa v európskych krajinách zvýšil o päť rokov. Chlapci a dievčatá sa radšej vydávajú a vydávajú po 30. Rusi sa neodvážia viazať uzol pred 24-26 rokmi. Spoločný aj pre Európu a Rusko sa stal trendom znižovania počtu manželských zväzkov. Mladí ľudia čoraz viac uprednostňujú kariéru a osobnú slobodu. Domáci odborníci považujú tieto procesy za znaky hlbokej krízy v tradičnej rodine. Podľa ich názoru doslova prežíva svoje posledné dni. Sociológovia tvrdia, že súkromný život teraz prechádza obdobím reštrukturalizácie. Rodina v obvyklom zmysle slova, žijúca podľa schémy „mama-otec-deti“, sa postupne stáva minulosťou. V súkromnom živote Rusi čoraz viac experimentujú, vymýšľajú stále nové a nové formy rodiny, ktoré by zodpovedali požiadavkám doby. „Teraz človek častejšie mení prácu, povolanie, záujmy a bydlisko,“ povedal Anatolij Višnevskij, riaditeľ Centra pre ľudskú demografiu a ekológiu pre Novye Izvestija, „Často tiež mení manželov, čo sa pred 20 rokmi považovalo za neprijateľné. .“
Sociológovia poznamenávajú, že jedným z dôvodov rastu rozvodov v Rusku je nízka životná úroveň obyvateľstva. „Podľa štatistík je v Rusku asi o 10-15 % viac rozvodov ako v Európe,“ povedal pre NI pán Gontmakher (vedecký riaditeľ Centra pre sociálny výskum a inovácie). - Ale dôvody rozvodu sú pre nás a pre nich iné. Naša nadradenosť je daná najmä tým, že ekonomické problémy čoraz viac ovplyvňujú životy Rusov. Manželia sa častejšie hádajú, ak majú stiesnené životné podmienky. Nie vždy sa mladým ľuďom darí žiť samostatne. Navyše v regiónoch veľa mužov pije, nepracuje a nedokáže zabezpečiť rodinu. To vedie aj k rozvodu.
Záver
V príspevku je vykonaná štatistická a ekonomická analýza vplyvu životnej úrovne obyvateľstva na procesy prirodzeného prírastku.
Analýza časového radu ukázala, že za posledných 10 rokov došlo k nárastu reálnych miezd a životného minima. Vo všeobecnosti platí, že počas týchto 10 rokov je efektívny znak - koeficient prirodzeného prírastku - stacionárny. Stabilita vznikajúcich procesov zmien vo vybraných charakteristikách je taká, že prognózovanie je možné len pre hodnotu reálnych miezd a úmrtnosti. Podľa parabolického trendu vybudovaného do roku 2010 bude prognózovaná hodnota priemernej reálnej mzdy 17473,5 rubľov a miera úmrtnosti sa zníži na 12,75 ľudí na 1000.
Analytické zoskupenie ukázalo priamu súvislosť medzi ukazovateľmi: s rastom miezd sa ukazovatele prirodzeného prírastku zlepšujú.
Dvojčlenná rodina s priemernou mzdou však dokáže zabezpečiť minimálnu spotrebu pre 2 deti v najnižšej typickej skupine, 3 deti v strednej a najvyššej typickej skupine. Vzhľadom na to, že dve deti v budúcnosti „nahrádzajú“ životy svojich rodičov, mierny nárast populácie je možný len v stredných a najvyšších typických skupinách, a to len za podmienky nízkej úmrtnosti v porovnaní s pôrodnosťou. Potenciál pôrodnosti, ktorý nesú mzdy v Rusku, je nízky, aby sa zlepšila demografická situácia v krajine. To len odhaľuje potrebu zavedenia demografického národného projektu v Rusku. Zvýšenie miezd má priaznivejší vplyv na úmrtnosť ako na pôrodnosť.
Konštrukcia korelačno-regresného modelu odhalila, že súčasný vplyv faktorových znakov (mzdy, sobášnosť, kriminalita a uvádzanie bytov do prevádzky) na produktivitu (prirodzený nárast) sa pozoruje s priemernou silou spojenia. Kolísanie koeficientu prirodzeného prírastku obyvateľstva o 44,9 % je charakterizované vplyvom vybraných faktorov a 55,1 % inými nezapočítanými a náhodnými príčinami. Najväčšie príležitosti na zmenu koeficientu prirodzeného prírastku obyvateľstva sú spojené so zmenou hodnoty reálnych miezd.
Kombinované zoskupenie potvrdilo, že nárast bohatstva motivuje, alebo skôr umožňuje, s dôverou v budúcnosť, realizovať túžbu človeka oženiť sa a vytvoriť rodinu s deťmi.
A nakoniec je potrebné posúdiť efektívnosť riešenia demografického problému u nás. Vo všeobecnosti je preukázaný pozitívny a efektívny vplyv materiálnych stimulov na proces prirodzeného pohybu obyvateľstva. Ďalšia vec je, že existuje komplex sociálno-psychologických problémov (alkoholizmus, násilie, samovraždy), ktoré neúprosne zmenšujú početnosť našej populácie. Ich hlavným dôvodom je postoj človeka k sebe a ostatným. Tieto problémy však nemôže vyriešiť štát sám, občianska spoločnosť si musí v probléme zániku pomôcť sama, formovaním morálnych hodnôt zameraných na vytvorenie prosperujúcej rodiny.
A štát môže a má urobiť všetko pre to, aby pozdvihol úroveň a kvalitu života v krajine. Nedá sa povedať, že náš štát tieto povinnosti zanedbáva. Snaží sa hľadať a skúšať rôzne spôsoby, ako sa dostať z demografickej krízy.
Zoznam použitej literatúry
1) Borisov E.F. Ekonomická teória: učebnica - 2. vyd., prepracovaná. a dodatočné - M .: TK Velby, Vydavateľstvo Prospekt, 2005. - 544 s.
2) Belousová S. analýza miery chudoby.// Economist.-2006, č. 10.-s.67
3) Davydová L. A. Teória štatistiky. Návod. Moskva. Trieda. 2005. 155 strán;
4) Demografia: Učebnica / Pod všeobecnou. vyd. NA. Volgin. M.: Vydavateľstvo RAGS, 2003 - 384 s.
5) Efimova E. P. Sociálna štatistika. Moskva. Financie a štatistika. 2003. 559 strán;
6) Efimova E.P., Ryabtsev V.M. Všeobecná teória štatistiky. Vzdelávacie vydanie. Moskva. Financie a štatistika. 1991. 304 strán;
7) Zinchenko A.P. Workshop zo všeobecnej teórie štatistiky a poľnohospodárskej štatistiky. Moskva. Financie a štatistika. 1988. 328 strán;
8) Kadomtseva S. Sociálna politika a populácia.// Economist.-2006, č. 7.-s.49
9) Kozyrev V.M. Základy modernej ekonómie: Učebnica. -2. vyd., revidované. a dodatočné –M.: Financie a štatistika, 2001.-432s.
10) Konygina N. Brintseva G. Demograf Anatolij Višnevskij o tom, prečo si Rus vyberá medzi deťmi a pohodlím. 7
11) Nazarova N.G. Priebeh sociálnej štatistiky. Moskva. Finstatinform. 2000. 770 strán;
13) Základy demografie: Učebnica / N.V. Zvereva, I.N. Veselková, V.V. Elizarov.-M.: Vyššie. Shk., 2004.-374 s.: chor.
14) Príhovor prezidenta Ruskej federácie k Federálnemu zhromaždeniu Ruskej federácie z 26. apríla 2007.
15) Raisberg B.A., Lozovsky L.Sh., Starodubtseva E.B. Moderný ekonomický slovník. – 4. vydanie, revidované. a dodatočné -M.: INFRA-M, 2005.-480. roky.
16) Rudakova R.P., Bukin L.L., Gavrilov V.I. Workshop o štatistike. - Petrohrad: Peter, 2007.-288s.
17) Webová stránka Federálnej štatistickej služby www.gks.ru
18) Shaikin D.N. Perspektívne hodnotenie populácie Ruska v strednodobom horizonte.// Otázky štatistiky.-2007, č. 4 -s.47
SKÓRE (KEY TO CHIPS)
1-priemerná mesačná nominálna mzda v roku 2006 (v rubľoch)
2-spotrebiteľské indexy cien za všetky druhy tovarov a platených služieb v roku 2006 ako percento z decembra minulého roka
3- priemerné mesačné reálne mzdy v roku 2006 (v rubľoch)
4 - počet obyvateľov na začiatku roka 2006
5 - počet obyvateľov ku koncu roka 2006
6 - priemerný ročný počet obyvateľov v roku 2006
7 - počet narodených v roku 2006, osôb
8 - počet úmrtí v roku 2006, osôb
9 - pôrodnosť v roku 2006 na 1000 obyvateľov
10 - úmrtnosť v roku 2006 na 1000 obyvateľov
11 - koeficient prirodzeného prírastku v roku 2006 na 1000 obyvateľov
12 - hodnota životného minima na rok 2006 (v rubľoch)
13 - počet spáchaných trestných činov na 1000 obyvateľov
14 - uvedenie do prevádzky štvorcových metrov bývania na osobu a rok
15 - celková sobášnosť na 1000 obyvateľov
Príloha 1
Tabuľka
Reálne mzdy, rub.
príloha 2
Životné minimum, rub.
Príloha 3
