Poradie výpočtu v príkladoch. Poradie akcií, pravidlá, príklady

V tejto lekcii sa podrobne rozoberá postup vykonávania aritmetických operácií vo výrazoch bez zátvoriek a so zátvorkami. Študenti majú možnosť pri plnení úloh zistiť, či význam výrazov závisí od poradia, v ktorom sa vykonávajú aritmetické operácie, zistiť, či sa poradie aritmetických operácií líši vo výrazoch bez zátvoriek a so zátvorkami, precvičiť si uplatňovanie naučeného pravidla, nájsť a opraviť chyby vzniknuté pri určovaní poradia činností.

V živote neustále vykonávame nejakú činnosť: chodíme, študujeme, čítame, píšeme, počítame, usmievame sa, hádame sa a líčime sa. Tieto kroky vykonávame v inom poradí. Niekedy sa dajú vymeniť, niekedy nie. Napríklad, keď idete ráno do školy, môžete si najskôr zacvičiť, potom ustlať posteľ alebo naopak. Ale nemôžete ísť najprv do školy a potom sa obliecť.

A v matematike je potrebné vykonávať aritmetické operácie v určitom poradí?

Skontrolujme to

Porovnajme si výrazy:
8-3+4 a 8-3+4

Vidíme, že oba výrazy sú úplne rovnaké.

Vykonajte akcie v jednom výraze zľava doprava a v inom sprava doľava. Čísla môžu označovať poradie, v ktorom sa akcie vykonávajú (obr. 1).

Ryža. 1. Postup

V prvom výraze najskôr vykonáme operáciu odčítania a potom k výsledku pridáme číslo 4.

V druhom výraze najprv nájdeme hodnotu súčtu a potom odpočítame výsledok 7 od 8.

Vidíme, že hodnoty výrazov sú odlišné.

Poďme na záver: Poradie, v ktorom sa vykonávajú aritmetické operácie, nemožno zmeniť..

Naučme sa pravidlo na vykonávanie aritmetických operácií vo výrazoch bez zátvoriek.

Ak výraz bez zátvoriek obsahuje iba sčítanie a odčítanie alebo iba násobenie a delenie, potom sa akcie vykonajú v poradí, v akom sú napísané.

Poďme cvičiť.

Zvážte výraz

Tento výraz má iba operácie sčítania a odčítania. Tieto akcie sú tzv akcie prvého kroku.

Akcie vykonávame zľava doprava v poradí (obr. 2).

Ryža. 2. Postup

Zvážte druhý výraz

V tomto výraze existujú iba operácie násobenia a delenia - Toto sú akcie druhého kroku.

Akcie vykonávame zľava doprava v poradí (obr. 3).

Ryža. 3. Postup

V akom poradí sa vykonávajú aritmetické operácie, ak výraz obsahuje nielen sčítanie a odčítanie, ale aj násobenie a delenie?

Ak výraz bez zátvoriek zahŕňa nielen sčítanie a odčítanie, ale aj násobenie a delenie alebo obe tieto operácie, potom najskôr vykonajte násobenie a delenie v poradí (zľava doprava) a potom sčítanie a odčítanie.

Zvážte výraz.

Uvažujeme takto. Tento výraz obsahuje operácie sčítania a odčítania, násobenia a delenia. Konáme podľa pravidla. Najprv vykonáme v poradí (zľava doprava) násobenie a delenie a potom sčítanie a odčítanie. Poďme si rozvrhnúť postup.

Vypočítajme hodnotu výrazu.

18:2-2*3+12:3=9-6+4=3+4=7

V akom poradí sa vykonávajú aritmetické operácie, ak výraz obsahuje zátvorky?

Ak výraz obsahuje zátvorky, potom sa najskôr vypočíta hodnota výrazov v zátvorkách.

Zvážte výraz.

30 + 6 * (13 - 9)

Vidíme, že v tomto výraze je akcia v zátvorkách, čo znamená, že najskôr vykonáme túto akciu, potom v poradí násobenie a sčítanie. Poďme si rozvrhnúť postup.

30 + 6 * (13 - 9)

Vypočítajme hodnotu výrazu.

30+6*(13-9)=30+6*4=30+24=54

Ako by sa malo uvažovať, aby sa správne stanovilo poradie aritmetických operácií v číselnom vyjadrení?

Pred pokračovaním vo výpočtoch je potrebné zvážiť výraz (zistite, či obsahuje zátvorky, aké akcie má) a až potom vykonajte akcie v nasledujúcom poradí:

1. úkony napísané v zátvorkách;

2. násobenie a delenie;

3. sčítanie a odčítanie.

Schéma vám pomôže zapamätať si toto jednoduché pravidlo (obr. 4).

Ryža. 4. Postup

Poďme cvičiť.

Zvážte výrazy, stanovte poradie operácií a vykonajte výpočty.

43 - (20 - 7) +15

32 + 9 * (19 - 16)

Dodržujme pravidlá. Výraz 43 - (20 - 7) +15 má operácie v zátvorkách, ako aj operácie sčítania a odčítania. Stanovme postup. Prvým krokom je vykonanie akcie v zátvorkách a potom v poradí zľava doprava odčítanie a sčítanie.

43 - (20 - 7) +15 =43 - 13 +15 = 30 + 15 = 45

Výraz 32 + 9 * (19 - 16) má operácie v zátvorkách, ako aj operácie násobenia a sčítania. Podľa pravidla najskôr vykonáme úkon v zátvorkách, potom násobenie (číslo 9 sa vynásobí výsledkom získaným odčítaním) a sčítanie.

32 + 9 * (19 - 16) =32 + 9 * 3 = 32 + 27 = 59

Vo výraze 2*9-18:3 nie sú zátvorky, ale sú tam operácie násobenia, delenia a odčítania. Konáme podľa pravidla. Najprv vykonáme násobenie a delenie zľava doprava a potom od výsledku získaného násobením odpočítame výsledok získaný delením. To znamená, že prvá akcia je násobenie, druhá je delenie a tretia je odčítanie.

2*9-18:3=18-6=12

Poďme zistiť, či je poradie akcií v nasledujúcich výrazoch správne definované.

37 + 9 - 6: 2 * 3 =

18: (11 - 5) + 47=

7 * 3 - (16 + 4)=

Uvažujeme takto.

37 + 9 - 6: 2 * 3 =

V tomto výraze nie sú žiadne zátvorky, čo znamená, že najprv vykonáme násobenie alebo delenie zľava doprava, potom sčítanie alebo odčítanie. V tomto výraze je prvým dejom delenie, druhým násobenie. Tretia akcia by mala byť sčítanie, štvrtá - odčítanie. Záver: poradie akcií je definované správne.

Nájdite hodnotu tohto výrazu.

37+9-6:2*3 =37+9-3*3=37+9-9=46-9=37

Pokračujeme v hádke.

Druhý výraz má zátvorky, čo znamená, že najprv vykonáme akciu v zátvorkách, potom zľava doprava násobenie alebo delenie, sčítanie alebo odčítanie. Skontrolujeme: prvá akcia je v zátvorkách, druhá je delenie, tretia je sčítanie. Záver: poradie akcií je definované nesprávne. Opravte chyby, nájdite hodnotu výrazu.

18:(11-5)+47=18:6+47=3+47=50

Tento výraz obsahuje aj zátvorky, čo znamená, že najprv vykonáme akciu v zátvorkách, potom zľava doprava násobenie alebo delenie, sčítanie alebo odčítanie. Skontrolujeme: prvá akcia je v zátvorkách, druhá je násobenie, tretia je odčítanie. Záver: poradie akcií je definované nesprávne. Opravte chyby, nájdite hodnotu výrazu.

7*3-(16+4)=7*3-20=21-20=1

Dokončime úlohu.

Usporiadajme poradie akcií vo výraze pomocou študovaného pravidla (obr. 5).

Ryža. 5. Postup

Nevidíme číselné hodnoty, takže nenájdeme význam výrazov, ale precvičíme si aplikáciu naučeného pravidla.

Konáme podľa algoritmu.

Prvý výraz má zátvorky, takže prvá akcia je v zátvorkách. Potom zľava doprava násobenie a delenie, potom zľava doprava odčítanie a sčítanie.

Aj druhý výraz obsahuje zátvorky, čo znamená, že prvú akciu vykonáme v zátvorkách. Potom zľava doprava násobenie a delenie, potom odčítanie.

Skontrolujme sa (obr. 6).

Ryža. 6. Postup

Dnes sme sa v lekcii zoznámili s pravidlom poradia vykonávania akcií vo výrazoch bez zátvoriek a so zátvorkami.

Bibliografia

1. M.I. Moro, M.A. Bantová a i. Matematika: Učebnica. 3. ročník: v 2 častiach, časť 1. - M .: "Osvietenie", 2012.
2. M.I. Moro, M.A. Bantová a i. Matematika: Učebnica. 3. ročník: v 2 častiach, časť 2. - M .: "Osvietenie", 2012.
3. M.I. Moreau. Hodiny matematiky: Pokyny pre učiteľov. 3. ročník - M.: Vzdelávanie, 2012.
4. Regulačný dokument. Monitorovanie a hodnotenie výsledkov vzdelávania. - M.: "Osvietenie", 2011.
5. "Ruská škola": Programy pre základnú školu. - M.: "Osvietenie", 2011.
6. S.I. Volkov. Matematika: Testovacia práca. 3. ročník - M.: Vzdelávanie, 2012.
7. V.N. Rudnitskaja. Testy. - M.: "Skúška", 2012.

1. Festival.1september.ru ().
2. Sosnovoborsk-soobchestva.ru ().
3. Openclass.ru ().

Domáca úloha

1. Určte poradie akcií v týchto výrazoch. Nájdite význam výrazov.

2. Určte, v ktorom výraze sa vykonáva toto poradie akcií:

1. násobenie; 2. rozdelenie;. 3. prídavok; 4. odčítanie; 5. prídavok. Nájdite hodnotu tohto výrazu.

3. Vytvorte tri výrazy, v ktorých sa vykoná nasledujúce poradie akcií:

1. násobenie; 2. prídavok; 3. odčítanie

1. prídavok; 2. odčítanie; 3. prídavok

1. násobenie; 2. rozdelenie; 3. prídavok

Nájdite význam týchto výrazov.

Základná škola sa končí, čoskoro dieťa vkročí do prehĺbeného sveta matematiky. Ale už v tomto období sa študent stretáva s ťažkosťami vedy. Pri vykonávaní jednoduchej úlohy sa dieťa zmätie, stratí, čo vo výsledku vedie k negatívnej známke za vykonanú prácu. Aby ste sa vyhli takýmto problémom, pri riešení príkladov musíte byť schopní navigovať v poradí, v akom musíte príklad vyriešiť. Pri nesprávnom rozdelení akcií dieťa neplní úlohu správne. Článok odhaľuje základné pravidlá riešenia príkladov, ktoré obsahujú celú škálu matematických výpočtov vrátane zátvoriek. Pravidlá a príklady poradia činností v 4. stupni matematiky.

Pred dokončením úlohy požiadajte dieťa, aby očíslovalo akcie, ktoré sa chystá vykonať. Ak máte nejaké ťažkosti, pomôžte.

Pri riešení príkladov bez zátvoriek je potrebné dodržiavať niektoré pravidlá:

Ak úloha potrebuje vykonať sériu akcií, musíte najskôr vykonať delenie alebo násobenie. Všetky akcie sa vykonávajú v priebehu písania. V opačnom prípade nebude výsledok riešenia správny.

Ak sa v príklade vyžaduje vykonať, vykonáme v poradí, zľava doprava.

27-5+15=37 (pri riešení príkladu sa riadime pravidlom. Najprv vykonáme odčítanie, potom sčítanie).

Naučte svoje dieťa, aby si vždy naplánovalo a očíslovalo úkony, ktoré má vykonať.

Odpovede na každú vyriešenú akciu sú napísané nad príkladom. Takže pre dieťa bude oveľa jednoduchšie navigovať v akciách.

Zvážte inú možnosť, kde je potrebné rozdeliť akcie v poradí:

Ako vidíte, pri riešení sa dodržiava pravidlo, najprv hľadáme produkt, potom - rozdiel.

Toto sú jednoduché príklady, ktoré si vyžadujú pozornosť. Mnohé deti upadnú do strnulosti pri pohľade na úlohu, v ktorej nie je len násobenie a delenie, ale aj zátvorky. Žiak, ktorý nepozná poradie vykonávania úkonov, má otázky, ktoré mu bránia dokončiť úlohu.

Ako je uvedené v pravidle, najprv nájdeme dielo alebo konkrétny a potom všetko ostatné. Ale potom sú tu zátvorky! Ako v tomto prípade postupovať?

Riešenie príkladov so zátvorkami

Uveďme si konkrétny príklad:

• Pri vykonávaní tejto úlohy najprv nájdite hodnotu výrazu v zátvorkách.
• Začnite násobením a potom pridajte.
• Po vyriešení výrazu v zátvorkách pristúpime k akciám mimo nich.
• Podľa poradia operácií je ďalším krokom násobenie.
• Posledným krokom bude.

Ako môžeme vidieť na ilustračnom príklade, všetky akcie sú očíslované. Na upevnenie témy pozvite dieťa, aby samo vyriešilo niekoľko príkladov:

Poradie, v ktorom sa má hodnota výrazu vyhodnotiť, je už nastavené. Dieťa bude musieť len vykonať rozhodnutie priamo.

Skomplikujme si úlohu. Nechajte dieťa nájsť význam výrazov samo.

7*3-5*4+(20-19) 14+2*3-(13-9)
17+2*5+(28-2) 5*3+15-(2-1*2)
24-3*2-(56-4*3) 14+12-3*(21-7)

Naučte svoje dieťa riešiť všetky úlohy v koncepte. V tomto prípade bude mať študent možnosť opraviť nesprávne rozhodnutie alebo blot. V zošite nie sú povolené opravy. Keď robia úlohy samostatne, deti vidia svoje chyby.

Rodičia by si zase mali dávať pozor na chyby, pomôcť dieťaťu ich pochopiť a opraviť. Nezaťažujte mozog žiaka veľkým objemom úloh. Takýmto konaním odbijete túžbu dieťaťa po poznaní. Vo všetkom musí byť zmysel pre proporcie.

Daj si pauzu. Dieťa by malo byť rozptýlené a odpočívať od tried. Hlavná vec na zapamätanie je, že nie každý má matematické myslenie. Možno z vášho dieťaťa vyrastie slávny filozof.

Keď pracujeme s rôznymi výrazmi, vrátane čísel, písmen a premenných, musíme vykonávať veľké množstvo aritmetických operácií. Keď vykonávame transformáciu alebo vypočítame hodnotu, je veľmi dôležité dodržiavať správne poradie týchto akcií. Inými slovami, aritmetické operácie majú svoj osobitný príkaz na vykonanie.

Yandex.RTB R-A-339285-1

V tomto článku vám povieme, aké akcie by ste mali urobiť ako prvé a ktoré potom. Najprv sa pozrime na niekoľko jednoduchých výrazov, ktoré obsahujú iba premenné alebo číselné hodnoty, ako aj znamienka na delenie, násobenie, odčítanie a sčítanie. Potom vezmeme príklady so zátvorkami a zvážime, v akom poradí by sa mali hodnotiť. V tretej časti uvedieme správne poradie transformácií a výpočtov v tých príkladoch, ktoré obsahujú znamienka odmocniny, mocniny a ďalšie funkcie.

Definícia 1

V prípade výrazov bez zátvoriek je poradie akcií určené jednoznačne:

1. Všetky akcie sa vykonávajú zľava doprava.
2. V prvom rade vykonávame delenie a násobenie a v druhom rade odčítanie a sčítanie.

Význam týchto pravidiel je ľahko pochopiteľný. Tradičné poradie zápisu zľava doprava určuje základnú postupnosť výpočtov a nutnosť najprv násobiť alebo deliť sa vysvetľuje samotnou podstatou týchto operácií.

Pre názornosť si dáme niekoľko úloh. Použili sme len najjednoduchšie číselné výrazy, aby sa všetky výpočty dali robiť mentálne. Môžete si tak rýchlo zapamätať požadovanú objednávku a rýchlo skontrolovať výsledky.

Príklad 1

podmienka: vypočítať koľko 7 − 3 + 6 .

Riešenie

V našom výraze nie sú žiadne zátvorky, absentuje aj násobenie a delenie, takže všetky úkony vykonávame v určenom poradí. Najprv odpočítajte tri od siedmich, potom k zvyšku pridajte šesť a výsledkom je desať. Tu je záznam celého riešenia:

7 − 3 + 6 = 4 + 6 = 10

odpoveď: 7 − 3 + 6 = 10 .

Príklad 2

podmienka: v akom poradí sa majú výpočty vo výraze vykonávať 6:2 8:3?

Riešenie

Aby sme odpovedali na túto otázku, znovu si prečítame pravidlo pre výrazy bez zátvoriek, ktoré sme sformulovali skôr. Máme tu len násobenie a delenie, čo znamená, že zachovávame písomné poradie výpočtov a počítame postupne zľava doprava.

odpoveď: najprv vydelíme šesť dvomi, výsledok vynásobíme ôsmimi a výsledné číslo vydelíme tromi.

Príklad 3

podmienka: vypočítajte, koľko bude 17 − 5 6: 3 − 2 + 4: 2.

Riešenie

Najprv si určme správne poradie operácií, keďže tu máme všetky základné typy aritmetických operácií – sčítanie, odčítanie, násobenie, delenie. Prvá vec, ktorú musíme urobiť, je deliť a násobiť. Tieto úkony nemajú pred sebou prednosť, preto ich vykonávame v písomnom poradí sprava doľava. To znamená, že 5 sa musí vynásobiť 6 a dostaneme 30, potom 30 vydelené 3 a dostaneme 10. Potom vydelíme 4 2, to je 2. Nahraďte nájdené hodnoty pôvodným výrazom:

17 - 5 6: 3 - 2 + 4: 2 = 17 - 10 - 2 + 2

Nie je tu žiadne delenie ani násobenie, takže zvyšné výpočty urobíme v poradí a dostaneme odpoveď:

17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7

odpoveď:17 - 5 6: 3 - 2 + 4: 2 = 7.

Kým sa poradie vykonávania akcií pevne nenaučí, môžete nad znaky aritmetických operácií umiestniť čísla, ktoré označujú poradie výpočtu. Napríklad pre vyššie uvedený problém by sme to mohli napísať takto:

Ak máme doslovné výrazy, urobíme s nimi to isté: najprv násobíme a delíme, potom sčítame a odčítame.

Čo sú kroky jedna a dva

Niekedy sú v referenčných knihách všetky aritmetické operácie rozdelené na operácie prvej a druhej fázy. Sformulujme požadovanú definíciu.

Operácie prvej fázy zahŕňajú odčítanie a sčítanie, druhá - násobenie a delenie.

Keď poznáme tieto mená, môžeme napísať vyššie uvedené pravidlo týkajúce sa poradia akcií takto:

Definícia 2

Vo výraze, ktorý neobsahuje zátvorky, najskôr vykonajte akcie druhého kroku v smere zľava doprava, potom akcie prvého kroku (v rovnakom smere).

Poradie hodnotenia vo výrazoch so zátvorkami

Samotné zátvorky sú znakom, ktorý nám hovorí o požadovanom poradí, v akom máme vykonávať akcie. V tomto prípade môže byť požadované pravidlo napísané takto:

Definícia 3

Ak sú vo výraze zátvorky, najprv sa v nich vykoná akcia, po ktorej vynásobíme a rozdelíme a potom pridáme a odčítame v smere zľava doprava.

Pokiaľ ide o samotný výraz v zátvorkách, možno ho považovať za súčasť hlavného výrazu. Pri výpočte hodnoty výrazu v zátvorke zachovávame rovnaký nám známy postup. Ilustrujme našu predstavu na príklade.

Príklad 4

podmienka: vypočítať koľko 5 + (7 − 2 3) (6 − 4): 2.

Riešenie

Tento výraz má zátvorky, takže začnime nimi. Najprv si spočítajme, koľko bude 7 − 2 · 3. Tu musíme vynásobiť 2 x 3 a odpočítať výsledok od 7:

7 − 2 3 = 7 − 6 = 1

Výsledok berieme do úvahy v druhej zátvorke. Máme len jednu akciu: 6 − 4 = 2 .

Teraz musíme výsledné hodnoty nahradiť pôvodným výrazom:

5 + (7 − 2 3) (6 − 4): 2 = 5 + 1 2: 2

Začnime násobením a delením, potom odčítajte a získajte:

5 + 1 2:2 = 5 + 2:2 = 5 + 1 = 6

Tým sú výpočty dokončené.

odpoveď: 5 + (7 − 2 3) (6 − 4): 2 = 6.

Neznepokojujte sa, ak podmienka obsahuje výraz, v ktorom niektoré zátvorky uzatvárajú iné. Vyššie uvedené pravidlo musíme dôsledne aplikovať na všetky výrazy v zátvorkách. Zoberme si túto úlohu.

Príklad 5

podmienka: vypočítať koľko 4 + (3 + 1 + 4 (2 + 3)).

Riešenie

Máme zátvorky v zátvorkách. Začíname s 3 + 1 + 4 (2 + 3) , konkrétne 2 + 3 . Bude 5. Hodnotu bude potrebné dosadiť do výrazu a vypočítať, že 3 + 1 + 4 5 . Pamätáme si, že najprv musíme vynásobiť a potom pridať: 3 + 1 + 4 5 = 3 + 1 + 20 = 24. Nahradením nájdených hodnôt do pôvodného výrazu vypočítame odpoveď: 4 + 24 = 28 .

odpoveď: 4 + (3 + 1 + 4 (2 + 3)) = 28.

Inými slovami, pri hodnotení hodnoty výrazu obsahujúceho zátvorky v zátvorkách začíname vnútornými zátvorkami a postupujeme k vonkajším.

Povedzme, že potrebujeme zistiť, koľko bude (4 + (4 + (4 - 6: 2)) - 1) - 1. Začíname s výrazom vo vnútorných zátvorkách. Keďže 4 − 6: 2 = 4 − 3 = 1 , pôvodný výraz možno zapísať ako (4 + (4 + 1) − 1) − 1 . Opäť sa obrátime na vnútorné zátvorky: 4 + 1 = 5 . Prišli sme k výrazu (4 + 5 − 1) − 1 . My veríme 4 + 5 − 1 = 8 a výsledkom je rozdiel 8 - 1, ktorého výsledok bude 7.

Poradie výpočtu vo výrazoch s mocninami, odmocninami, logaritmami a inými funkciami

Ak máme v podmienke výraz so stupňom, odmocninou, logaritmom alebo goniometrickou funkciou (sínus, kosínus, tangens a kotangens) alebo inými funkciami, tak najprv vypočítame hodnotu funkcie. Potom konáme podľa pravidiel uvedených v predchádzajúcich odsekoch. Inými slovami, funkcie majú rovnakú dôležitosť ako výraz v zátvorkách.

Pozrime sa na príklad takéhoto výpočtu.

Príklad 6

podmienka: zistite, koľko bude (3 + 1) 2 + 6 2: 3 - 7 .

Riešenie

Máme výraz so stupňom, ktorého hodnotu treba najskôr nájsť. Uvažujeme: 6 2 \u003d 36. Teraz dosadíme výsledok do výrazu, po ktorom bude mať tvar (3 + 1) 2 + 36: 3 − 7 .

(3 + 1) 2 + 36: 3 - 7 = 4 2 + 36: 3 - 7 = 8 + 12 - 7 = 13

odpoveď: (3 + 1) 2 + 6 2: 3 − 7 = 13.

V samostatnom článku venovanom výpočtom hodnôt výrazov uvádzame ďalšie, zložitejšie príklady výpočtov v prípade výrazov s odmocninami, stupňami a pod. Odporúčame sa s ním zoznámiť.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Alfa označuje reálne číslo. Znamienko rovnosti vo vyššie uvedených výrazoch znamená, že ak k nekonečnu pridáte číslo alebo nekonečno, nič sa nezmení, výsledkom bude rovnaké nekonečno. Ak vezmeme ako príklad nekonečnú množinu prirodzených čísel, uvažované príklady možno znázorniť takto:

Aby matematici vizuálne dokázali svoj prípad, prišli s mnohými rôznymi metódami. Osobne sa na všetky tieto metódy pozerám ako na tance šamanov s tamburínami. V podstate všetci prídu na to, že buď nie sú niektoré izby obsadené a usadia sa v nich noví hostia, alebo časť návštevníkov vyhodí na chodbu, aby uvoľnili miesto pre hostí (veľmi ľudsky). Svoj pohľad na takéto rozhodnutia som prezentovala formou fantastického príbehu o Blondínke. Na čom je založená moja úvaha? Presun nekonečného počtu návštevníkov trvá nekonečne dlho. Po tom, ako uvoľníme prvú hosťovskú izbu, bude vždy jeden z návštevníkov chodiť po chodbe zo svojej izby do ďalšej až do konca času. Časový faktor sa samozrejme dá hlúpo ignorovať, ale toto už bude z kategórie „zákon nie je písaný pre hlupákov“. Všetko závisí od toho, čo robíme: prispôsobujeme realitu matematickým teóriám alebo naopak.

Čo je to „nekonečný hotel“? Infinity inn je hostinec, ktorý má vždy ľubovoľný počet voľných miest, bez ohľadu na to, koľko izieb je obsadených. Ak sú všetky izby v nekonečnej chodbe „pre návštevy“ obsadené, je tu ďalšia nekonečná chodba s izbami pre „hostí“. Takýchto chodieb bude nekonečne veľa. Zároveň má „nekonečný hotel“ nekonečný počet poschodí v nekonečnom množstve budov na nekonečnom počte planét v nekonečnom množstve vesmírov vytvorených nekonečným počtom Bohov. Na druhej strane matematici sa nedokážu vzdialiť od banálnych každodenných problémov: Boh-Alah-Budha je vždy len jeden, hotel je jeden, chodba je len jedna. Matematici sa teda pokúšajú žonglovať s poradovými číslami hotelových izieb a presviedčajú nás, že je možné „strčiť do nešťastia“.

Logiku môjho uvažovania vám predvediem na príklade nekonečnej množiny prirodzených čísel. Najprv musíte odpovedať na veľmi jednoduchú otázku: koľko množín prirodzených čísel existuje - jedna alebo veľa? Na túto otázku neexistuje správna odpoveď, keďže sme sami vymysleli čísla, v prírode žiadne čísla nie sú. Áno, príroda vie perfektne počítať, ale na to používa iné matematické nástroje, ktoré nám nie sú známe. Ako si príroda myslí, to vám poviem inokedy. Keďže sme vymysleli čísla, sami rozhodneme, koľko množín prirodzených čísel existuje. Zvážte obe možnosti, ako sa na skutočného vedca patrí.

Možnosť jedna. „Dajme nám“ jednu množinu prirodzených čísel, ktorá pokojne leží na poličke. Berieme túto sadu z police. To je všetko, na poličke nezostali žiadne ďalšie prirodzené čísla a nie je ich ani kde vziať. Do tejto sady nemôžeme pridať jeden, pretože ho už máme. Čo ak naozaj chcete? Žiaden problém. Môžeme zobrať jednotku z už odobratej sady a vrátiť ju do police. Potom môžeme z police vybrať jednotku a pridať ju k tomu, čo nám zostalo. Výsledkom je, že opäť dostaneme nekonečnú množinu prirodzených čísel. Všetky naše manipulácie môžete napísať takto:

Zapísal som operácie v algebraickom zápise a zápise teórie množín s podrobným zoznamom prvkov množiny. Dolný index naznačuje, že máme jednu a jedinú množinu prirodzených čísel. Ukazuje sa, že množina prirodzených čísel zostane nezmenená iba vtedy, ak sa od nej jedno odčíta a rovnaké sa pridá.

Možnosť dva. Na poličke máme veľa rôznych nekonečných množín prirodzených čísel. Zdôrazňujem – INÉ, napriek tomu, že sú prakticky na nerozoznanie. Berieme jednu z týchto sád. Potom vezmeme jedno z inej množiny prirodzených čísel a pridáme ho k množine, ktorú sme už zobrali. Môžeme dokonca sčítať dve sady prirodzených čísel. Tu je to, čo získame:

Dolné indexy „jeden“ a „dva“ označujú, že tieto prvky patrili do rôznych súborov. Áno, ak pridáte jednu do nekonečnej množiny, výsledkom bude tiež nekonečná množina, ale nebude rovnaká ako pôvodná množina. Ak sa k jednej nekonečnej množine pridá ďalšia nekonečná množina, výsledkom je nová nekonečná množina pozostávajúca z prvkov prvých dvoch množín.

Množina prirodzených čísel sa používa na počítanie rovnako ako pravítko na meranie. Teraz si predstavte, že ste na pravítku pridali jeden centimeter. Toto už bude iný riadok, ktorý sa nebude rovnať pôvodnému.

Môžete prijať alebo neprijať moje odôvodnenie - je to vaša vec. Ale ak niekedy narazíte na matematické problémy, zvážte, či nie ste na ceste falošného uvažovania, šliapaného generáciami matematikov. Hodiny matematiky v nás totiž v prvom rade vytvárajú ustálený stereotyp myslenia a až potom nám pridávajú rozumové schopnosti (alebo naopak oberajú o slobodné myslenie).

Nedeľa 4. augusta 2019

Písal som dodatok k článku o a videl som tento úžasný text na Wikipédii:

Čítame: „...bohatý teoretický základ babylonskej matematiky nemal holistický charakter a bol zredukovaný na súbor rôznorodých techník, bez spoločného systému a dôkazovej základne.“

Wow! Akí sme šikovní a ako dobre vieme vidieť nedostatky druhých. Je pre nás slabé pozerať sa na modernú matematiku v rovnakom kontexte? Mierne parafrázujúc vyššie uvedený text, osobne som dostal nasledovné:

Bohatý teoretický základ modernej matematiky nemá holistický charakter a je redukovaný na súbor nesúrodých sekcií, bez spoločného systému a dôkazovej základne.

Nebudem chodiť ďaleko, aby som potvrdil svoje slová – má jazyk a konvencie, ktoré sú odlišné od jazyka a konvencií mnohých iných odvetví matematiky. Rovnaké názvy v rôznych odvetviach matematiky môžu mať rôzny význam. Najzrejmejším omylom modernej matematiky chcem venovať celý cyklus publikácií. Do skorého videnia.

Sobota 3. augusta 2019

Ako rozdeliť množinu na podmnožiny? Ak to chcete urobiť, musíte zadať novú mernú jednotku, ktorá sa nachádza v niektorých prvkoch vybranej sady. Zvážte príklad.

Nech máme veľa A pozostávajúci zo štyroch ľudí. Tento súbor je tvorený na základe "ľudí" Označme prvky tohto súboru prostredníctvom písmena A, dolný index s číslom bude označovať poradové číslo každej osoby v tomto súbore. Predstavme si novú mernú jednotku „sexuálna charakteristika“ a označme ju písmenom b. Keďže sexuálne vlastnosti sú vlastné všetkým ľuďom, znásobujeme každý prvok súboru A o pohlaví b. Všimnite si, že naša množina „ľudia“ sa teraz stala množinou „ľudia s pohlavím“. Potom môžeme rozdeliť pohlavné znaky na mužské bm a dámske bw rodové charakteristiky. Teraz môžeme použiť matematický filter: vyberieme jednu z týchto sexuálnych charakteristík, nezáleží na tom, ktorá je mužská alebo ženská. Ak je v človeku prítomný, tak ho vynásobíme jednou, ak taký znak neexistuje, vynásobíme ho nulou. A potom aplikujeme obvyklú školskú matematiku. Pozrite sa, čo sa stalo.

Po vynásobení, redukciách a preskupeniach sme dostali dve podmnožiny: mužskú podmnožinu bm a podskupina žien bw. Približne rovnakým spôsobom uvažujú matematici, keď aplikujú teóriu množín v praxi. Ale nepúšťajú nás do detailov, ale dávajú nám konečný výsledok – „veľa ľudí pozostáva z podskupiny mužov a podskupiny žien“. Prirodzene, môžete mať otázku, ako správne aplikovať matematiku vo vyššie uvedených transformáciách? Dovolím si vás ubezpečiť, že v skutočnosti sú transformácie urobené správne, stačí poznať matematické opodstatnenie aritmetiky, Booleovej algebry a iných úsekov matematiky. Čo to je? Inokedy vám o tom poviem.

Čo sa týka nadmnožín, je možné spojiť dve sady do jednej nadmnožiny výberom mernej jednotky, ktorá je prítomná v prvkoch týchto dvoch sád.

Ako vidíte, jednotky merania a bežná matematika robia z teórie množín minulosť. Znakom toho, že s teóriou množín nie je všetko v poriadku, je to, že matematici prišli s vlastným jazykom a notáciou pre teóriu množín. Matematici robili to, čo kedysi robili šamani. Len šamani vedia „správne“ uplatniť svoje „vedomosti“. Tieto „vedomosti“ nás učia.

Nakoniec vám chcem ukázať, ako matematici manipulujú .

Pondelok 7. januára 2019

V piatom storočí pred Kristom sformuloval staroveký grécky filozof Zenón z Elea svoje slávne apórie, z ktorých najznámejšia je apória „Achilles a korytnačka“. Znie to takto:

Povedzme, že Achilles beží desaťkrát rýchlejšie ako korytnačka a je za ňou tisíc krokov. Počas doby, počas ktorej Achilles prebehne túto vzdialenosť, sa korytnačka plazí sto krokov rovnakým smerom. Keď Achilles prebehne sto krokov, korytnačka sa plazí ďalších desať krokov atď. Proces bude pokračovať donekonečna, Achilles korytnačku nikdy nedohoní.

Táto úvaha sa stala logickým šokom pre všetky nasledujúce generácie. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Všetci, tak či onak, považovali Zenónove apórie. Šok bol taký silný, že " ... diskusie pokračujú aj v súčasnosti, vo vedeckej komunite sa zatiaľ nepodarilo dospieť k jednotnému názoru na podstatu paradoxov ... do skúmania problematiky bola zapojená matematická analýza, teória množín, nové fyzikálne a filozofické prístupy ; žiadna z nich sa nestala všeobecne akceptovaným riešením problému ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Každý chápe, že je oklamaný, ale nikto nechápe, čo je to podvod.

Z pohľadu matematiky Zenón vo svojich apóriách jasne demonštroval prechod od hodnoty k. Tento prechod znamená použitie namiesto konštánt. Pokiaľ som pochopil, matematický aparát na aplikáciu premenných jednotiek merania buď ešte nebol vyvinutý, alebo nebol aplikovaný na Zenónove apórie. Aplikácia našej bežnej logiky nás vedie do pasce. My zotrvačnosťou myslenia aplikujeme konštantné jednotky času na recipročné. Z fyzického hľadiska to vyzerá tak, že sa čas spomalí až úplne zastaví v momente, keď Achilles dobehne korytnačku. Ak sa čas zastaví, Achilles už nemôže predbehnúť korytnačku.

Ak otočíme logiku, na ktorú sme zvyknutí, všetko zapadne na svoje miesto. Achilles beží konštantnou rýchlosťou. Každý nasledujúci segment jeho cesty je desaťkrát kratší ako predchádzajúci. Čas strávený na jeho prekonanie je teda desaťkrát kratší ako ten predchádzajúci. Ak v tejto situácii použijeme pojem „nekonečno“, potom by bolo správne povedať „Achilles nekonečne rýchlo predbehne korytnačku“.

Ako sa vyhnúť tejto logickej pasci? Zostaňte v konštantných jednotkách času a neprechádzajte na recipročné hodnoty. V Zenónovom jazyku to vyzerá takto:

Za čas, ktorý Achilles potrebuje prejsť tisíc krokov, sa korytnačka plazí sto krokov rovnakým smerom. Počas nasledujúceho časového intervalu, ktorý sa rovná prvému, prebehne Achilles ďalších tisíc krokov a korytnačka prejde sto krokov. Teraz je Achilles osemsto krokov pred korytnačkou.

Tento prístup adekvátne popisuje realitu bez akýchkoľvek logických paradoxov. Ale to nie je úplné riešenie problému. Einsteinov výrok o neprekonateľnosti rýchlosti svetla je veľmi podobný Zenónovej apórii „Achilles a korytnačka“. Tento problém musíme ešte študovať, prehodnotiť a vyriešiť. A riešenie treba hľadať nie v nekonečne veľkých číslach, ale v merných jednotkách.

Ďalšia zaujímavá aporia Zeno hovorí o lietajúcom šípe:

Letiaci šíp je nehybný, pretože v každom okamihu je v pokoji, a keďže je v každom okamihu v pokoji, je vždy v pokoji.

V tejto apórii je logický paradox prekonaný veľmi jednoducho - stačí objasniť, že letiaci šíp je v každom okamihu v pokoji v rôznych bodoch priestoru, čo je v skutočnosti pohyb. Tu je potrebné poznamenať ešte jeden bod. Z jednej fotografie auta na ceste nie je možné určiť ani skutočnosť jeho pohybu, ani vzdialenosť k nemu. Na určenie skutočnosti pohybu auta sú potrebné dve fotografie nasnímané z toho istého bodu v rôznych časových okamihoch, ale nemožno ich použiť na určenie vzdialenosti. Na určenie vzdialenosti od auta potrebujete dve fotografie nasnímané z rôznych bodov v priestore súčasne, ale nemôžete z nich určiť skutočnosť pohybu (prirodzene stále potrebujete ďalšie údaje na výpočty, pomôže vám trigonometria). Chcem poukázať najmä na to, že dva body v čase a dva body v priestore sú dve rôzne veci, ktoré by sa nemali zamieňať, pretože poskytujú rôzne príležitosti na prieskum.

Streda 4. júla 2018

Už som vám to povedal, s pomocou ktorých sa šamani snažia triediť "" reality. Ako to robia? Ako vlastne prebieha vznik zostavy?

Pozrime sa bližšie na definíciu súboru: „kolekcia rôznych prvkov, koncipovaná ako jeden celok“. Teraz pocítite rozdiel medzi týmito dvoma frázami: „mysliteľné ako celok“ a „mysliteľné ako celok“. Prvá veta je konečný výsledok, množstvo. Druhá fráza je predbežnou prípravou na zostavenie zostavy. V tomto štádiu je realita rozdelená na samostatné prvky („celok“), z ktorých sa potom vytvorí množstvo („jediný celok“). Zároveň sa pozorne sleduje faktor, ktorý umožňuje spojiť „celok“ do „jediného celku“, inak šamani neuspejú. Šamani totiž vopred presne vedia, akú zostavu nám chcú predviesť.

Postup ukážem na príklade. Vyberáme "červenú tuhú látku v pupienku" - to je náš "celok". Zároveň vidíme, že tieto veci sú s mašľou a sú bez mašle. Potom z "celku" vyberieme časť a zostavíme "s mašličkou". Takto sa šamani živia spájaním svojej teórie množín s realitou.

Teraz urobme malý trik. Zoberme si "pevné v pupienke s lukom" a zjednoťme tieto "celé" podľa farby, pričom vyberieme červené prvky. Dostali sme veľa „červenej“. Teraz záludná otázka: sú prijaté súpravy „s mašľou“ a „červenou“ tou istou súpravou alebo dvoma rôznymi súpravami? Odpoveď poznajú len šamani. Presnejšie, oni sami nič nevedia, ale ako sa hovorí, tak je.

Tento jednoduchý príklad ukazuje, že teória množín je úplne zbytočná, pokiaľ ide o realitu. Aké je to tajomstvo? Vytvorili sme sadu "červený pevný pupienok s mašľou". Formovanie prebiehalo podľa štyroch rôznych merných jednotiek: farba (červená), sila (plná), drsnosť (v hrboľke), ozdoby (s mašličkou). Iba súbor meracích jednotiek umožňuje adekvátne opísať skutočné objekty v jazyku matematiky. Takto to vyzerá.

Písmeno "a" s rôznymi indexmi označuje rôzne jednotky merania. V zátvorkách sú zvýraznené merné jednotky, podľa ktorých je „celok“ priradený v prípravnom štádiu. Jednotka merania, podľa ktorej je zostava vytvorená, sa vyberie zo zátvoriek. Posledný riadok zobrazuje konečný výsledok - prvok sady. Ako vidíte, ak použijeme jednotky na vytvorenie množiny, potom výsledok nezávisí od poradia našich akcií. A toto je matematika a nie tance šamanov s tamburínami. Šamani môžu „intuitívne“ dospieť k rovnakému výsledku, argumentujúc „samozrejmosťou“, pretože merné jednotky nie sú zahrnuté v ich „vedeckom“ arzenáli.

Pomocou meracích jednotiek je veľmi jednoduché rozbiť jednu alebo spojiť niekoľko sád do jednej nadmnožiny. Pozrime sa bližšie na algebru tohto procesu.

Sobota 30. júna 2018

Ak matematici nedokážu zredukovať pojem na iné pojmy, potom v matematike ničomu nerozumejú. Odpovedám: ako sa líšia prvky jednej množiny od prvkov inej množiny? Odpoveď je veľmi jednoduchá: čísla a merné jednotky.

Dnes všetko, čo nezoberieme, patrí do nejakej množiny (ako nás uisťujú matematici). Mimochodom, videli ste v zrkadle na čele zoznam tých sád, ku ktorým patríte? A taký zoznam som ešte nevidel. Poviem viac - ani jedna vec v skutočnosti nemá štítok so zoznamom sád, do ktorých táto vec patrí. Súpravy sú všetko vynálezy šamanov. Ako to robia? Pozrime sa trochu hlbšie do histórie a uvidíme, ako prvky súpravy vyzerali predtým, ako ich matematici-šamani rozdelili do svojich súprav.

Kedysi dávno, keď o matematike ešte nikto nepočul a prstence mali len stromy a Saturn, sa po fyzikálnych poliach potulovali obrovské stáda divokých prvkov množín (napokon matematické polia šamani ešte nevynašli). Vyzerali takto.

Áno, nečudujte sa, z hľadiska matematiky sú všetky prvky zostáv najviac podobné morským ježkom - z jedného bodu, ako ihly, trčia merné jednotky všetkými smermi. Pre tých, ktorí vám pripomínam, že akákoľvek jednotka merania môže byť geometricky reprezentovaná ako segment ľubovoľnej dĺžky a číslo ako bod. Geometricky môže byť akékoľvek množstvo reprezentované ako zväzok segmentov vyčnievajúcich v rôznych smeroch z jedného bodu. Tento bod je nulový bod. Toto geometrické dielo nebudem kresliť (žiadna inšpirácia), ale môžete si ho ľahko predstaviť.

Aké merné jednotky tvoria prvok množiny? Akékoľvek, ktoré popisujú tento prvok z rôznych uhlov pohľadu. Toto sú prastaré merné jednotky, ktoré používali naši predkovia a na ktoré už každý dávno zabudol. Toto sú moderné jednotky merania, ktoré teraz používame. Sú to pre nás neznáme merné jednotky, s ktorými prídu naši potomkovia a ktorými budú opisovať realitu.

Prišli sme na geometriu - navrhovaný model prvkov súpravy má jasné geometrické znázornenie. A čo fyzika? Jednotky merania - to je priame spojenie medzi matematikou a fyzikou. Ak šamani neuznávajú merné jednotky ako plnohodnotný prvok matematických teórií, je to ich problém. Osobne si neviem predstaviť skutočnú matematickú vedu bez jednotiek merania. Preto som hneď na začiatku príbehu o teórii množín hovoril o dobe kamennej.

Prejdime však k tomu najzaujímavejšiemu – k algebre prvkov množín. Algebraicky je každý prvok množiny súčinom (výsledkom násobenia) rôznych veličín. Vyzerá to takto.

Zámerne som nepoužil konvencie prijaté v teórii množín, keďže uvažujeme o prvku množiny v prirodzenom prostredí pred príchodom teórie množín. Každý pár písmen v zátvorkách označuje samostatnú hodnotu pozostávajúcu z čísla označeného písmenom " n" a merné jednotky označené písmenom " a". Indexy pri písmenách naznačujú, že čísla a merné jednotky sú odlišné. Jeden prvok sady môže pozostávať z nekonečného počtu hodnôt (pokiaľ máme my a naši potomkovia dostatočnú predstavivosť). Každý svorka je geometricky znázornená samostatným segmentom.V príklade s morským ježkom je jedna svorka jedna ihla.

Ako šamani tvoria zostavy z rôznych prvkov? V skutočnosti mernými jednotkami alebo číslami. V matematike ničomu nerozumejú, vezmú rôznych morských ježkov a pozorne ich skúmajú pri hľadaní jedinej ihly, pomocou ktorej tvoria súpravu. Ak takáto ihla existuje, potom tento prvok patrí do sady, ak takáto ihla neexistuje, tento prvok nie je z tejto sady. Šamani nám rozprávajú bájky o duševných procesoch a jedinom celku.

Ako ste možno uhádli, rovnaký prvok môže patriť do rôznych súprav. Ďalej vám ukážem, ako sa tvoria množiny, podmnožiny a iné šamanistické nezmysly. Ako vidíte, „súprava nemôže mať dva rovnaké prvky“, ale ak sú v súprave rovnaké prvky, takáto súprava sa nazýva „multiset“. Rozumné bytosti nikdy nepochopia takúto logiku absurdity. Toto je úroveň hovoriacich papagájov a cvičených opíc, v ktorých myseľ chýba pri slove „úplne“. Matematici fungujú ako obyčajní školitelia, ktorí nám kážu svoje absurdné myšlienky.

Kedysi boli inžinieri, ktorí most stavali, počas skúšok mosta v člne pod mostom. Ak sa most zrútil, priemerný inžinier zomrel pod troskami svojho výtvoru. Ak most vydržal zaťaženie, talentovaný inžinier postavil ďalšie mosty.

Bez ohľadu na to, ako sa matematici skrývajú za frázu „pozor, som v dome“, alebo skôr „matematika študuje abstraktné pojmy“, existuje jedna pupočná šnúra, ktorá ich nerozlučne spája s realitou. Táto pupočná šnúra sú peniaze. Aplikujme matematickú teóriu množín na samotných matematikov.

Učili sme sa veľmi dobre matematiku a teraz sedíme v pokladni a platíme mzdy. Tu si k nám príde matematik pre svoje peniaze. Spočítame mu celú sumu a rozložíme ju na stôl na rôzne kôpky, do ktorých vložíme bankovky rovnakej nominálnej hodnoty. Potom z každej kôpky vezmeme jednu bankovku a dáme matematikovi jeho „matematický platový set“. Vysvetlíme matematiku, že zvyšok účtov dostane až vtedy, keď preukáže, že množina bez identických prvkov sa nerovná množine s identickými prvkami. Tu začína zábava.

V prvom rade zafunguje poslanecká logika: "na ostatných to môžeš aplikovať, ale na mňa nie!" Ďalej sa začnú ubezpečovať, že na bankovkách rovnakej nominálnej hodnoty sú rôzne čísla bankoviek, čo znamená, že ich nemožno považovať za identické prvky. No plat počítame v minciach – na minciach nie sú čísla. Matematik tu bude horúčkovito spomínať na fyziku: rôzne mince majú rôzne množstvo nečistôt, kryštálová štruktúra a usporiadanie atómov pre každú mincu je jedinečné ...

A teraz mám najzaujímavejšiu otázku: kde je hranica, za ktorou sa prvky multimnožiny menia na prvky množiny a naopak? Takáto línia neexistuje - o všetkom rozhodujú šamani, veda tu nie je ani zďaleka.

Pozri sa sem. Vyberáme futbalové štadióny s rovnakou rozlohou ihriska. Plocha polí je rovnaká, čo znamená, že máme multiset. Ale ak vezmeme do úvahy názvy rovnakých štadiónov, dostaneme veľa, pretože názvy sú rôzne. Ako vidíte, tá istá množina prvkov je zároveň množinou aj multimnožinou. Ako správne? A tu matematik-šaman-šuller vytiahne z rukáva tromfové eso a začne nám rozprávať buď o sade, alebo o multisete. V každom prípade nás presvedčí, že má pravdu.

Aby sme pochopili, ako moderní šamani pracujú s teóriou množín a spájajú ju s realitou, stačí odpovedať na jednu otázku: ako sa líšia prvky jednej množiny od prvkov inej množiny? Ukážem vám to bez akéhokoľvek „nemysliteľného ako jeden celok“ alebo „nemysliteľného ako jeden celok“.

Ak porovnáme funkcie sčítania a odčítania s násobením a delením, tak násobenie a delenie sa vždy počíta ako prvé.

V tomto príklade sú dve funkcie, ako je sčítanie a odčítanie, ako aj násobenie a delenie, navzájom ekvivalentné. Poradie vykonávania sa určuje v poradí zľava doprava.

Malo by sa pamätať na to, že akcie vykonané v zátvorkách majú v príklade osobitnú prednosť. Teda, aj keď je násobenie mimo zátvoriek a sčítanie v zátvorkách, mali by ste najprv sčítať a až potom násobiť.

Aby ste pochopili túto tému, môžete postupne zvážiť všetky prípady.

Okamžite vezmite do úvahy, že naše výrazy nemajú zátvorky.

Ak je teda v príklade prvou akciou násobenie a druhou delenie, potom vykonáme násobenie ako prvé.

Ak je v príklade prvou akciou delenie a druhou násobenie, potom najprv vykonáme delenie.

V takýchto príkladoch sa akcie vykonávajú v poradí zľava doprava bez ohľadu na použité čísla.

Ak je v príkladoch okrem násobenia a delenia aj sčítanie a odčítanie, tak sa najskôr robí násobenie a delenie a až potom sčítanie a odčítanie.

V prípade sčítania a odčítania tiež nezáleží na tom, ktorá z týchto operácií sa vykoná ako prvá, poradie je zľava doprava.

Zvážme rôzne možnosti:

V tomto príklade je prvou akciou, ktorú je potrebné vykonať, násobenie a potom sčítanie.

V tomto prípade hodnoty najskôr vynásobíte, potom vydelíte a až potom sčítate.

V tomto prípade musíte najskôr vykonať všetky operácie v zátvorkách a potom vykonať iba násobenie a delenie.

A tak treba mať na pamäti, že v každom vzorci sa operácie najskôr vykonávajú ako násobenie a delenie a potom až odčítanie a sčítanie.

Tiež s číslami, ktoré sú v zátvorkách, ich musíte spočítať v zátvorkách a až potom robiť rôzne manipulácie, pričom si pamätajte na vyššie opísanú postupnosť.

Prvým budú tieto akcie: násobenie a delenie.

Až potom sa vykoná sčítanie a odčítanie.

Ak však existuje zátvorka, najprv sa vykonajú akcie, ktoré sú v nich. Aj keď ide o sčítanie a odčítanie.

Napríklad:

V tomto príklade najprv vykonáme násobenie, potom 4 x 5, potom pripočítame 4 k 20. Dostaneme 24.

Ale ak je to takto: (4 + 5) * 4, tak najprv vykonáme sčítanie, dostaneme 9. Potom vynásobíme 9 4. Dostaneme 36.

Ak sú v príklade prítomné všetky 4 akcie, potom je na prvom mieste násobenie a delenie a potom sčítanie a odčítanie.

Alebo v príklade 3 rôznych akcií bude prvá buď násobenie (alebo delenie) a potom sčítanie (alebo odčítanie).

Keď NIE SÚ ŽIADNE ZÁLOŽKY.

Príklad: 4-2*5:10+8=11,

1 akcia 2*5 (10);

2. dejstvo 10:10 (1);

3 akcia 4-1 (3);

4 dejstvo 3+8 (11).

Všetky 4 akcie možno rozdeliť do dvoch hlavných skupín, v jednej - sčítanie a odčítanie, v druhej - násobenie a delenie. Prvou akciou bude tá, ktorá je v príklade prvá v rade, teda tá úplne vľavo.

Príklad: 60-7+9=62, najprv potrebujete 60-7, potom čo sa stane (53) +9;

Príklad: 5*8:2=20, najprv potrebujete 5*8, potom to, čo dostanete (40) :2.

Keď sú v príklade ZÁVEREČNÉ ZÁVEREČKY, potom sa najprv vykonajú akcie, ktoré sú v zátvorke (podľa vyššie uvedených pravidiel) a potom ostatné ako obvykle.

Príklad: 2+(9-8)*10:2=7.

1 dejstvo 9-8 (1);

2 akcie 1*10 (10);

3. dejstvo 10:2(5);

4 dejstvo 2+5 (7).

Závisí to od toho, ako je výraz napísaný, zvážte najjednoduchší číselný výraz:

18 - 6:3 + 10x2 =

Najprv vykonávame operácie s delením a násobením, potom postupne zľava doprava s odčítaním a sčítaním: 18-2 + 20 \u003d 36

Ak ide o výraz so zátvorkami, potom vykonajte operácie v zátvorkách, potom násobenie alebo delenie a nakoniec sčítanie/odčítanie, napríklad:

(18-6): 3 + 10 x 2 = 12:3 + 20 = 4+20=24

Slnko má pravdu: najprv vykonajte násobenie a delenie, potom sčítanie a odčítanie.

Ak v príklade nie sú žiadne zátvorky, najskôr sa vykoná násobenie a delenie v poradí a potom sčítanie a odčítanie, v rovnakom poradí.

Ak príklad obsahuje iba násobenie a delenie, akcie sa vykonajú v poradí.

Ak príklad obsahuje iba sčítanie a odčítanie, akcie sa tiež vykonajú v poradí.

Po prvé, akcie v zátvorkách sa vykonávajú podľa rovnakých pravidiel, to znamená najprv násobenie a delenie a až potom sčítanie a odčítanie.

22-(11+3x2)+14=19

Poradie vykonávania aritmetických operácií je prísne predpísané, aby pri vykonávaní rovnakého typu výpočtov rôznymi ľuďmi nedošlo k žiadnym nezrovnalostiam. Najprv sa vykoná násobenie a delenie, potom sčítanie a odčítanie, ak akcie rovnakého poradia idú jedna po druhej, potom sa vykonávajú v poradí zľava doprava.

Ak sa pri písaní matematického výrazu používajú zátvorky, mali by ste najskôr vykonať akcie uvedené v zátvorkách. Zátvorky pomáhajú zmeniť poradie, ak je to potrebné, najskôr vykonajte sčítanie alebo odčítanie a až po násobení a delení.

Akékoľvek zátvorky je možné otvoriť a príkaz na vykonanie bude opäť správny:

6*(45+15) = 6*45 +6*15

Lepšie s príkladmi:

• 1+2*3/4-5=?

V tomto prípade najskôr vykonáme násobenie, keďže je naľavo od delenia. Potom rozdelenie. Potom sčítanie, kvôli umiestneniu viac naľavo, a nakoniec odčítanie.

• 1*3/(2+4)?

najprv urobíme výpočet v zátvorkách, potom násobenie a delenie.

• 1+2*(3-1*5)=?

Najprv vykonáme akcie v zátvorkách: násobenie, potom odčítanie. Potom nasleduje násobenie mimo zátvorky a sčítanie na konci.

Na prvom mieste je násobenie a delenie. Ak sú v príklade zátvorky, potom sa akcia v zátvorkách zvažuje na začiatku. Nech je znamenie akékoľvek!

Tu je potrebné pamätať na niekoľko základných pravidiel:

1. Ak v príklade nie sú žiadne zátvorky a existujú operácie - iba sčítanie a odčítanie alebo iba násobenie a delenie - v tomto prípade sa všetky akcie vykonávajú v poradí zľava doprava.

Napríklad 5 + 8-5 = 8 (robíme všetko v poradí - pridajte 8 k 5 a potom odčítajte 5)

1. Ak príklad obsahuje zmiešané operácie - a sčítanie, odčítanie a násobenie a delenie, potom najskôr vykonáme operácie násobenia a delenia a potom iba sčítanie alebo odčítanie.

Napríklad 5+8*3=29 (najskôr vynásobte 8 3 a potom pridajte 5)

1. Ak príklad obsahuje zátvorky, najprv sa vykonajú akcie v zátvorkách.

Napríklad 3*(5+8)=39 (najprv 5+8 a potom vynásobte 3)