Optimálna hodnota účelovej funkcie je tzv. Testy na kontrolu súčasných vedomostí

Vydelíme tretí riadok kľúčovým prvkom rovným 5, dostaneme tretí riadok novej tabuľky.

Základné stĺpce zodpovedajú jednotkovým stĺpcom.

Výpočet ďalších tabuľkových hodnôt:

„BP – základný plán“:

; ;

"x1": ; ;

"x5": ; .

Hodnoty indexového reťazca sú nezáporné, preto získame optimálne riešenie: , ; .

odpoveď: maximálny zisk z predaja vyrobených výrobkov vo výške 160/3 jednotiek je zabezpečený výrobou len výrobkov druhého typu v množstve 80/9 jednotiek.

Úloha č.2

Je daný problém nelineárneho programovania. Nájdite maximum a minimum účelovej funkcie pomocou graficko-analytickej metódy. Zostavte Lagrangeovu funkciu a ukážte, že v extrémnych bodoch sú splnené dostatočné podmienky pre minimum (maximum).

Pretože posledná číslica šifry je 8, potom A=2; B = 5.

Pretože predposledná číslica šifry je 1, potom by ste si mali zvoliť úlohu č.1.

Riešenie:

1) Nakreslíme oblasť definovanú sústavou nerovností.

Táto oblasť je trojuholník ABC so súradnicami vrcholov: A(0; 2); B(4; 6) a C(16/3; 14/3).

Úrovne účelovej funkcie sú kruhy so stredom v bode (2; 5). Druhé mocniny polomerov budú hodnotami cieľovej funkcie. Potom obrázok ukazuje, že minimálna hodnota účelovej funkcie sa dosiahne v bode H, maximálna - buď v bode A alebo v bode C.

Hodnota účelovej funkcie v bode A: ;

Hodnota účelovej funkcie v bode C: ;

To znamená, že maximálna hodnota funkcie je dosiahnutá v bode A(0; 2) a rovná sa 13.

Nájdite súradnice bodu H.

Ak to chcete urobiť, zvážte systém:

ó

ó

Čiara je dotyčnicou kružnice, ak má rovnica jedinečné riešenie. Kvadratická rovnica má jedinečné riešenie, ak je diskriminant 0.

Potom ; ; - minimálna hodnota funkcie.

2) Zostavme Lagrangeovu funkciu, aby sme našli minimálne riešenie:

O X 1 =2.5; X 2 =4.5 dostaneme:

ó

Systém má riešenie pri , t.j. sú splnené dostatočné podmienky pre extrém.

Zostavme Lagrangeovu funkciu, aby sme našli maximálne riešenie:

Dostatočné podmienky pre extrém:

O X 1 =0; X 2 =2 dostaneme:

ó ó

Systém má aj riešenie, t.j. sú splnené dostatočné podmienky pre extrém.

odpoveď: minimum účelovej funkcie sa dosiahne vtedy ; ; maximum cieľovej funkcie sa dosiahne pri ; .

Úloha č.3

Dvom podnikom sú pridelené finančné prostriedky vo výške d Jednotky. Pri prideľovaní prvého podniku na rok X jednotiek fondov, z ktorých poskytuje príjem k 1 X jednotky a pri pridelení druhému podniku r jednotiek fondov, poskytuje príjem k 1 r Jednotky. Stav prostriedkov na konci roka za prvý podnik sa rovná nx a za druhé môj. Ako rozložiť všetky prostriedky počas 4 rokov tak, aby bol celkový príjem čo najväčší? Vyriešte problém pomocou metódy dynamického programovania.

i = 8, k = 1.

A = 2200; ki = 6; k2 = 1; n = 0,2; m = 0,5.

Riešenie:

Celé obdobie 4 rokov delíme na 4 etapy, z ktorých každá sa rovná jednému roku. Očíslujme etapy od prvého ročníka. Nech X k a Y k sú finančné prostriedky pridelené podnikom A a B v k-tej fáze. Potom súčet X k + Y k = a k je celkový objem prostriedkov použitých v k – tej etape a zvyšok z predchádzajúcej etapy k – 1. v prvej etape sa použijú všetky pridelené prostriedky a a 1 = 2200 jednotiek . príjem, ktorý sa získa vo fáze k, s pridelením jednotiek X k a Y k bude 6X k + 1Y k. nech maximálny príjem získaný v posledných fázach začínajúcich od k – tejto fáze je f k (ak) jednotiek. Zapíšme si funkčnú Bellmanovu rovnicu vyjadrujúcu princíp optimality: bez ohľadu na počiatočný stav a počiatočné riešenie, následné riešenie musí byť optimálne vzhľadom na stav získaný ako výsledok počiatočného stavu:

Pre každú fázu musíte vybrať hodnotu X k a hodnotu Y k=ak- Xk. Ak to vezmeme do úvahy, nájdeme príjem v k-tej fáze:

Bellmanova funkčná rovnica bude:

Zvážme všetky fázy, počnúc poslednou.

(keďže maximum lineárnej funkcie sa dosiahne na konci segmentu pri x 4 = a 4);

Zostrojme v rovine množinu realizovateľných riešení sústavy lineárnych nerovníc a geometricky nájdime minimálnu hodnotu účelovej funkcie.

Rovné čiary staviame v súradnicovom systéme x 1 x 2

Nájdeme polroviny definované systémom. Keďže nerovnosti systému sú splnené pre ľubovoľný bod v zodpovedajúcej polrovine, stačí ich skontrolovať pre ľubovoľný jeden bod. Používame bod (0;0). Dosadíme jej súradnice do prvej nerovnosti sústavy. Pretože , potom nerovnosť definuje polrovinu, ktorá neobsahuje bod (0;0). Podobne definujeme zvyšné polroviny. Množinu realizovateľných riešení nájdeme ako spoločnú časť výsledných polrovín - to je zatienená plocha.

Zostrojíme vektor a naň kolmú čiaru nulovej úrovne.

Pohybujeme sa po priamke (5) v smere vektora a vidíme, že maximálny bod oblasti bude v bode A priesečníka priamky (3) a priamky (2). Nájdeme riešenie sústavy rovníc:

To znamená, že sme dostali bod (13;11) a.

Pohybujeme sa po priamke (5) v smere vektora a vidíme, že minimálny bod oblasti bude v bode B priesečníka priamky (1) a priamky (4). Nájdeme riešenie sústavy rovníc:

To znamená, že sme dostali bod (6;6) a.

2. Nábytkárska spoločnosť vyrába kombinované skrine a počítačové stoly. Ich výroba je limitovaná dostupnosťou surovín (kvalitné dosky, tvarovky) a dobou prevádzky strojov na ich spracovanie. Každá skrinka vyžaduje 5 m2 dosiek, pre stôl - 2 m2. Kovanie stojí 10 dolárov za jednu skrinku a 8 dolárov za jeden stôl. Spoločnosť môže od svojich dodávateľov získať až 600 m2 dosiek mesačne a príslušenstvo v hodnote 2 000 USD. Každá skrinka vyžaduje 7 hodín prevádzky stroja a stôl vyžaduje 3 hodiny. Mesačne je možné využiť celkovo 840 prevádzkových hodín stroja.

Koľko kombinovaných skríň a počítačových stolov by mala spoločnosť vyrobiť za mesiac, aby maximalizovala zisk, ak jedna skriňa prináša zisk 100 USD a každý stôl prináša 50 USD?

• 1. Vytvorte matematický model úlohy a vyriešte ju simplexovou metódou.
• 2. Vytvorte matematický model duálnej úlohy, zapíšte jej riešenie na základe riešenia pôvodnej úlohy.
• 3. Stanovte mieru vzácnosti použitých zdrojov a zdôvodnite ziskovosť optimálneho plánu.
• 4. Preskúmať možnosti ďalšieho zvyšovania produkcie produkcie v závislosti od využívania jednotlivých druhov zdrojov.
• 5. Posúdiť realizovateľnosť zavedenia nového typu produktu - regálov, ak výroba jednej police stojí 1 m 2 dosiek a príslušenstva v hodnote 5 USD a je potrebné vynaložiť 0,25 hodiny prevádzky stroja a zisk z predaja jedna polica stojí 20 dolárov.
• 1. Zostavme matematický model pre tento problém:

Označme x 1 objem výroby skríň a x 2 objem výroby stolov. Vytvorme systém obmedzení a cieľovú funkciu:

Úlohu riešime simplexnou metódou. Napíšme to v kanonickej forme:

Zapíšme si údaje o úlohe vo forme tabuľky:

stôl 1

Pretože Teraz sú všetky delty väčšie ako nula, potom ďalšie zvýšenie hodnoty cieľovej funkcie f nie je možné a získali sme optimálny plán.

Úvod

Súčasné štádium ľudského vývoja sa vyznačuje tým, že vek energie je nahradený vekom informatiky. Dochádza k intenzívnemu zavádzaniu nových technológií do všetkých sfér ľudskej činnosti. Existuje skutočný problém prechodu k informačnej spoločnosti, pre ktorý by sa rozvoj vzdelávania mal stať prioritou. Mení sa aj štruktúra vedomostí v spoločnosti. Pre praktický život sú čoraz dôležitejšie základné poznatky, ktoré prispievajú k tvorivému rozvoju jednotlivca. Dôležitá je aj konštruktívnosť získaných poznatkov a schopnosť ich štruktúrovať v súlade s cieľom. Na základe poznatkov sa formujú nové informačné zdroje spoločnosti. Vytváranie a získavanie nových poznatkov by malo byť založené na prísnej metodológii systémového prístupu, v rámci ktorého má modelový prístup osobitné miesto. Možnosti modelového prístupu sú mimoriadne rozmanité, a to tak z hľadiska použitých formálnych modelov, ako aj v spôsoboch implementácie metód modelovania. Fyzické modelovanie umožňuje získať spoľahlivé výsledky pre pomerne jednoduché systémy.

V súčasnosti nie je možné pomenovať oblasť ľudskej činnosti, v ktorej by sa metódy modelovania v tej či onej miere nepoužívali. Týka sa to najmä riadenia rôznych systémov, kde hlavnými procesmi je rozhodovanie na základe prijatých informácií.

1. Vyjadrenie problému

minimálna objektívna funkcia

Úlohu nájsť minimum účelovej funkcie pre systém obmedzení zadaný polygónom riešenia riešte v súlade s možnosťou č. 16 úlohy. Polygón riešenia je znázornený na obrázku 1:

Obrázok 1 - Mnohouholník riešení úlohy

Systém obmedzení a objektívna funkcia problému sú uvedené nižšie:

Je potrebné vyriešiť problém pomocou nasledujúcich metód:

Grafická metóda riešenia úloh LP;

Algebraická metóda na riešenie úloh LP;

Simplexná metóda na riešenie problémov LP;

Metóda hľadania prípustného riešenia problémov LP;

Riešenie problému duálneho LP;

Metóda vetvenia a väzby na riešenie celočíselných úloh LP;

Gomoriho metóda na riešenie celočíselných úloh LP;

Balazsova metóda na riešenie booleovských LP problémov.

Porovnajte výsledky riešenia pomocou rôznych metód a vyvodzujte príslušné závery o práci.

2. Grafické riešenie úlohy lineárneho programovania

Grafická metóda na riešenie úloh lineárneho programovania sa používa v prípadoch, keď počet neznámych nepresahuje tri. Vhodné pre kvalitatívny výskum vlastností roztokov a používa sa v spojení s inými metódami (algebraické, vetvové a viazané atď.). Myšlienka metódy je založená na grafickom riešení systému lineárnych nerovností.

Ryža. 2 Grafické riešenie úlohy LP

Minimálny bod

Rovnica priamky prechádzajúcej dvoma bodmi A1 a A2:

AB: (0;1); (3;3)

VS: (3;3); (4;1)

CD: (4;1); (3;0)

EA: (1;0); (0;1)

CF: (0;1); (5;2)

s obmedzeniami:

Riešenie úlohy lineárneho programovania pomocou algebraickej simplexovej metódy

Aplikácia algebraickej metódy na riešenie problému vyžaduje zovšeobecnenie reprezentácie problému LP. Pôvodný systém obmedzení špecifikovaný vo forme nerovností sa prevedie na štandardný zápis, keď sú obmedzenia špecifikované vo forme rovnosti. Konverzia systému obmedzení na štandardnú formu zahŕňa nasledujúce kroky:

Nerovnice transformujte tak, aby naľavo boli premenné a voľné členy a napravo 0, t.j. takže ľavá strana je väčšia alebo rovná nule;

Zaveďte ďalšie premenné, ktorých počet sa rovná počtu nerovností v systéme obmedzení;

Zavedením dodatočných obmedzení na nezápornosť pridaných premenných nahraďte znaky nerovnosti prísnymi znakmi rovnosti.

Pri riešení úlohy LP pomocou algebraickej metódy sa pridáva podmienka: účelová funkcia musí smerovať k minimu. Ak táto podmienka nie je splnená, je potrebné účelovú funkciu príslušne transformovať (vynásobiť -1) a vyriešiť problém minimalizácie. Po nájdení riešenia nahraďte hodnoty premenných do pôvodnej funkcie a vypočítajte jej hodnotu.

Riešenie problému pomocou algebraickej metódy sa považuje za optimálne, keď sú hodnoty všetkých základných premenných nezáporné a koeficienty voľných premenných v rovnici cieľovej funkcie sú tiež nezáporné. Ak tieto podmienky nie sú splnené, je potrebné transformovať systém nerovností, vyjadrujúcich niektoré premenné inými (meniace sa voľné a základné premenné), aby sa dosiahli vyššie uvedené obmedzenia. Hodnota všetkých voľných premenných sa považuje za rovnú nule.

Algebraická metóda na riešenie problémov lineárneho programovania je jednou z najúčinnejších metód na manuálne riešenie problémov malého rozsahu, pretože nevyžaduje veľké množstvo aritmetických výpočtov. Strojová realizácia tejto metódy je zložitejšia ako napríklad pri simplexovej metóde, pretože Algoritmus riešenia pomocou algebraickej metódy je do určitej miery heuristický a efektivita riešenia do značnej miery závisí od osobných skúseností.

Voľné premenné

St. pruh - dodatočný súprava

Podmienky nezápornosti sú splnené, preto sa našlo optimálne riešenie.

3. Riešenie úlohy lineárneho programovania pomocou simplexnej tabuľky

Riešenie: Uveďme problém do štandardného formulára na riešenie pomocou simplexnej tabuľky.

Zredukujme všetky rovnice systému do tvaru:

Zostavíme simplexnú tabuľku:

V hornom rohu každej bunky tabuľky zadáme koeficienty zo sústavy rovníc;

Vyberieme maximálny kladný prvok v riadku F, okrem toho, že to bude všeobecný stĺpec;

Aby sme našli všeobecný prvok, budujeme vzťah pre všetkých pozitívnych. 3/3; 9/1;- minimálny pomer v riadku x3. Preto - všeobecný reťazec a =3 - všeobecný prvok.

Nájdeme =1/=1/3. Privedieme ho do dolného rohu bunky, kde sa nachádza všeobecný prvok;

Vo všetkých prázdnych dolných rohoch všeobecného riadku zadáme súčin hodnoty v hornom rohu bunky o;

Vyberte horné rohy všeobecnej čiary;

Vo všetkých dolných rohoch všeobecného stĺpca zadáme súčin hodnoty v hornom rohu pomocou - a vyberieme výsledné hodnoty;

Zvyšné bunky tabuľky sú vyplnené ako produkty zodpovedajúcich vybraných prvkov;

Potom vytvoríme novú tabuľku, v ktorej sa vymenia označenia buniek prvkov všeobecného stĺpca a riadku (x2 a x3);

Hodnoty, ktoré boli predtým v dolnom rohu, sú zapísané do horného rohu bývalého všeobecného riadku a stĺpca;

Súčet hodnôt horných a dolných rohov týchto buniek v predchádzajúcej tabuľke je napísaný v hornom rohu zostávajúcich buniek

4. Riešenie úlohy lineárneho programovania nájdením prípustného riešenia

Nech je daný systém lineárnych algebraických rovníc:

Môžeme predpokladať, že všetko je, inak zodpovedajúcu rovnicu vynásobíme -1.

Zavádzame pomocné premenné:

Zavádzame aj pomocnú funkciu

Budeme minimalizovať systém za obmedzení (2) a podmienok.

PRAVIDLO PRE HĽADANIE PRÍPUSTNÉHO RIEŠENIA: Aby sme našli prijateľné riešenie pre systém (1), minimalizujeme formu (3) pod obmedzeniami (2), pričom xj berieme ako voľné neznáme a xj berieme ako základné.

Pri riešení problému simplexnou metódou môžu nastať dva prípady:

min f=0, potom sa všetky i musia rovnať nule. A výsledné hodnoty xj budú predstavovať prípustné riešenie pre systém (1).

min f>0, t.j. pôvodný systém nemá realizovateľné riešenie.

Zdrojový systém:

Použije sa podmienka problému z predchádzajúcej témy.

Predstavme si ďalšie premenné:

Našlo sa prípustné riešenie pôvodného problému: x1 = 3, x2 = 3, F = -12. Na základe získaného realizovateľného riešenia nájdeme optimálne riešenie pôvodného problému pomocou simplexovej metódy. Za týmto účelom vytvoríme novú simplexnú tabuľku z tabuľky získanej vyššie, pričom odstránime riadok a riadok s cieľovou funkciou pomocného problému:

Pri analýze zostrojenej simplexovej tabuľky vidíme, že optimálne riešenie pre pôvodný problém už bolo nájdené (prvky v riadku zodpovedajúcej účelovej funkcii sú záporné). Uskutočniteľné riešenie nájdené pri riešení pomocného problému sa teda zhoduje s optimálnym riešením pôvodného problému:

6. Problém duálneho lineárneho programovania

Pôvodný systém obmedzení a objektívna funkcia problému sú znázornené na obrázku nižšie.

s obmedzeniami:

Riešenie: Prenesme systém obmedzení do štandardnej podoby:

Duálny problém k tomuto bude mať tvar:

Riešenie duálneho problému sa uskutoční pomocou jednoduchej simplexnej metódy.

Transformujme účelovú funkciu tak, aby bol minimalizačný problém vyriešený a napíšme systém obmedzení v štandardnom tvare na riešenie pomocou simplexovej metódy.

y6 = 1 - (-2 y1 + 2y2 + y3 + y4+ y5)

y7 = 5 - (-3y1 - y2 + y3 + y4)

Ф = 0 - (3y1 + 9y2 + 3y3 + y4) ??min

Zostavme počiatočnú simplexnú tabuľku na riešenie problému duálneho LP.

Druhý krok simplexovej metódy

Takže v treťom kroku simplexovej metódy sa našlo optimálne riešenie minimalizačného problému s nasledujúcimi výsledkami: y2 = -7 /8, y1 = -11/8, Ф = 12. Aby sme našli hodnotu objektívnej funkcie duálneho problému dosadíme nájdené hodnoty základných a voľných premenných do maximalizačnej funkcie:

Фmax = - Фmin = 3*(-11/8) + 9(-7/8) + 3*0 + 0 = -12

Keďže hodnota objektívnej funkcie priamej a duálnej úlohy sa zhoduje, riešenie priamej úlohy sa nájde a rovná sa 12.

Fmin = Фmax = -12

7. Riešenie úlohy celočíselného lineárneho programovania metódou vetvenia a väzby

Transformujme pôvodný problém takým spôsobom, že pri riešení konvenčnými metódami nie je splnená celočíselná podmienka.

Počiatočný mnohouholník riešení celočíselného programovacieho problému.

Pre transformovaný polygón riešení vybudujeme nový systém obmedzení.

Zapíšme si systém obmedzení vo forme rovnosti, ktorý sa má riešiť pomocou algebraickej metódy.

Výsledkom riešenia bol optimálny plán úlohy: x1 = 9/4, x2 = 5/2, F = -41/4. Toto riešenie nespĺňa podmienku celého čísla nastavenú v probléme. Rozdeľme pôvodný polygón riešenia na dve oblasti, pričom oblasť 3 z neho vylúčime

Upravený polygón riešenia problému

Vytvorme nové systémy obmedzení pre výsledné oblasti polygónu riešenia. Ľavá oblasť je štvoruholník (lichobežník). Systém obmedzení pre ľavú oblasť polygónu riešenia je uvedený nižšie.

Obmedzovací systém pre ľavú oblasť

Pravá oblasť predstavuje bod C.

Systém obmedzení pre správny rozhodovací región je uvedený nižšie.

Nové systémy obmedzení predstavujú dva pomocné problémy, ktoré je potrebné riešiť nezávisle od seba. Vyriešme problém celočíselného programovania pre ľavú oblasť polygónu riešenia.

Výsledkom riešenia bol optimálny plán úlohy: x1 = 3, x2 = 3, F = -12. Tento plán spĺňa podmienku, že premenné v probléme sú celočíselné a možno ho akceptovať ako optimálny referenčný plán pre pôvodný problém celočíselného lineárneho programovania. Pre správny región riešenia nemá zmysel riešiť. Na obrázku nižšie je znázornený priebeh riešenia problému celočíselného lineárneho programovania vo forme stromu.

Priebeh riešenia úlohy celočíselného lineárneho programovania pomocou Gomoriho metódy.

V mnohých praktických aplikáciách je veľmi zaujímavý problém celočíselného programovania, v ktorom je daný systém lineárnych nerovností a lineárny tvar.

Je potrebné nájsť celočíselné riešenie systému (1), ktoré minimalizuje účelovú funkciu F a všetky koeficienty sú celé čísla.

Jednu z metód riešenia problému celočíselného programovania navrhol Gomori. Myšlienkou metódy je použiť metódy kontinuálneho lineárneho programovania, najmä simplexnú metódu.

1) Simplexovou metódou sa určí riešenie úlohy (1), (2), pre ktorú je odstránená požiadavka na celočíselné riešenie; ak sa ukáže, že riešenie je celé číslo, potom sa nájde aj požadované riešenie celočíselného problému;

2) V opačnom prípade, ak niektorá súradnica nie je celé číslo, výsledné riešenie úlohy sa skontroluje na možnosť existencie celočíselného riešenia (prítomnosť celočíselných bodov v prípustnom mnohostene):

ak sa v ktoromkoľvek riadku s voľným zlomkom ukážu všetky ostatné koeficienty ako celé čísla, potom v prípustnom mnohostene nie sú žiadne celé čísla ani body a problém celočíselného programovania nemá riešenie;

V opačnom prípade sa zavedie ďalšie lineárne obmedzenie, ktoré odreže časť prípustného mnohostenu, ktorý je neperspektívny na nájdenie riešenia problému celočíselného programovania;

3) Ak chcete vytvoriť ďalšie lineárne obmedzenie, vyberte 1. riadok s zlomkovým voľným výrazom a napíšte dodatočné obmedzenie

kde a sú zlomkové časti koeficientov a voľné

členom. Zavedme pomocnú premennú do obmedzenia (3):

Poďme určiť koeficienty a zahrnuté do obmedzenia (4):

kde a sú najbližšie celé čísla zdola pre a resp.

Gomori dokázal, že konečný počet podobných krokov vedie k problému lineárneho programovania, ktorého riešenie je celé číslo, a teda požadované.

Riešenie: Prenesme systém lineárnych obmedzení a cieľovú funkciu do kanonickej podoby:

Určme optimálne riešenie systému lineárnych obmedzení, pričom dočasne zahodíme celočíselné podmienky. Používame na to simplexnú metódu. Nižšie, postupne v tabuľkách, je uvedené pôvodné riešenie problému a sú uvedené transformácie pôvodnej tabuľky s cieľom získať optimálne riešenie problému:

Riešenie booleovských LP problémov pomocou Balazsovej metódy.

Vytvorte si vlastnú verziu úlohy celočíselného lineárneho programovania s booleovskými premennými, pričom vezmite do úvahy nasledujúce pravidlá: úloha používa aspoň 5 premenných, aspoň 4 obmedzenia, koeficienty obmedzení a účelová funkcia sa volia ľubovoľne, ale napr. spôsob, ktorým je systém obmedzení kompatibilný. Úlohou je vyriešiť LCLP s booleovskými premennými pomocou Balazsovho algoritmu a určiť zníženie zložitosti výpočtov vo vzťahu k riešeniu problému metódou vyčerpávajúceho vyhľadávania.

Vykonávanie obmedzení

Hodnota F

Obmedzenie filtrovania:

Stanovenie zníženia výpočtového úsilia

Riešením úlohy metódou vyčerpávajúceho vyhľadávania je 6*25=192 vypočítaných výrazov. Riešením úlohy pomocou Balazsovej metódy je 3*6+(25-3)=47 vypočítaných výrazov. Celkové zníženie zložitosti výpočtov vo vzťahu k riešeniu problému pomocou metódy vyčerpávajúceho vyhľadávania je:

Záver

Proces navrhovania informačných systémov implementujúcich nové informačné technológie sa neustále zdokonaľuje. Zameranie systémových inžinierov sa stále viac zameriava na komplexné systémy, čo sťažuje používanie fyzikálnych modelov a zvyšuje dôležitosť matematických modelov a strojovej simulácie systémov. Strojová simulácia sa stala efektívnym nástrojom na štúdium a navrhovanie zložitých systémov. Relevantnosť matematických modelov neustále rastie vďaka ich flexibilite, primeranosti reálnych procesov a nízkej cene implementácie na báze moderných PC. Čoraz viac príležitostí sa poskytuje používateľovi, teda špecialistovi na modelovanie systémov pomocou výpočtovej techniky. Využitie modelovania je efektívne najmä v počiatočných fázach navrhovania automatizovaných systémov, kedy sú náklady na chybné rozhodnutia najvýznamnejšie.

Moderné výpočtové nástroje umožnili výrazne zvýšiť zložitosť modelov používaných pri štúdiu systémov, bolo možné zostaviť kombinované, analytické a simulačné modely, ktoré zohľadňujú celú škálu faktorov vyskytujúcich sa v reálnych systémoch, t. , používanie modelov, ktoré sú adekvátnejšie skúmaným javom.

Literatúra:

1. Ljaščenko I.N. Lineárne a nelineárne programovanie / I.N. Lyashchenko, E.A. Karagodova, N.V. Chernikova, N.Z. Shor. - K.: „Vyššia škola“, 1975, 372 s.

2. Metodické pokyny na vypracovanie predmetového projektu v odbore „Aplikovaná matematika“ pre študentov odboru „Počítačové systémy a siete“ dennej a externej formy štúdia / Zostavili: I.A. Balakireva, A.V. Skatkov - Sevastopoľ: Vydavateľstvo SevNTU , 2003. - 15 s.

3. Pokyny pre štúdium odboru „Aplikovaná matematika“, časť „Metódy globálneho vyhľadávania a jednorozmernej minimalizácie“ / Porov. A.V. Skatkov, I.A. Balakireva, L.A. Litvinová - Sevastopoľ: Vydavateľstvo SevGTU, 2000. - 31 s.

4. Pokyny pre štúdium odboru „Aplikovaná matematika“ pre študentov odboru „Počítačové systémy a siete“ Sekcia „Riešenie problémov lineárneho programovania s celým číslom“ pre denné a externé vzdelávanie / Zostavili: I.A. Balakireva, A.V. Skatkov - Sevastopoľ : Vydavateľstvo SevNTU, 2000. - 13 s.

5. Akulich I.L. Matematické programovanie v príkladoch a problémoch:

6. Učebnica príspevok pre študentov ekonómie. špecialista. univerzity.-M.: Vyššie. škola, 1986.- 319 s., ill.

7. Andronov S.A. Optimálne metódy navrhovania: Text prednášok / SPbSUAP. Petrohrad, 2001. 169 s.: chorý.

Podobné dokumenty

Algoritmus na riešenie úloh lineárneho programovania simplexnou metódou. Konštrukcia matematického modelu úlohy lineárneho programovania. Riešenie úlohy lineárneho programovania v Exceli. Hľadanie zisku a optimálneho plánu výroby.

kurzová práca, pridané 21.03.2012


Riešenie grafických problémov. Zostavenie matematického modelu. Určenie maximálnej hodnoty účelovej funkcie. Riešenie simplexovou metódou s umelým základom úlohy kanonického lineárneho programovania. Kontrola optimálnosti riešenia.

test, pridané 04.05.2016


Teoretické základy lineárneho programovania. Úlohy lineárneho programovania, metódy riešenia. Analýza optimálneho riešenia. Riešenie úlohy lineárneho programovania s jedným indexom. Vyhlásenie problému a zadanie údajov. Etapy konštrukcie a riešenia modelu.

kurzová práca, pridané 12.09.2008


Konštrukcia matematického modelu. Výber, zdôvodnenie a popis metódy riešenia úlohy priameho lineárneho programovania simplexnou metódou, pomocou simplexnej tabuľky. Formulácia a riešenie duálneho problému. Analýza citlivosti modelu.

kurzová práca, pridané 31.10.2014


Zostrojenie matematického modelu za účelom dosiahnutia maximálneho zisku pre podnik, grafické riešenie problému. Riešenie problému pomocou doplnku SOLVER. Analýza zmien v zásobách zdrojov. Stanovenie limitov pre zmenu koeficientov účelovej funkcie.

kurzová práca, pridané 17.12.2014


Matematické programovanie. Lineárne programovanie. Problémy lineárneho programovania. Grafická metóda riešenia úloh lineárneho programovania. Ekonomická formulácia problému lineárneho programovania. Konštrukcia matematického modelu.

kurz práce, pridané 13.10.2008


Riešenie úlohy lineárneho programovania grafickou metódou, kontrola v MS Excel. Analýza vnútornej štruktúry riešenia problému v programe. Optimalizácia výrobného plánu. Riešenie úlohy simplexnou metódou. Viackanálový systém radenia.

test, pridané 5.2.2012


Riešenie úlohy lineárneho programovania simplexovou metódou: zadanie úlohy, konštrukcia ekonomického a matematického modelu. Riešenie dopravného problému metódou potenciálu: zostavenie počiatočného referenčného plánu, určenie jeho optimálnej hodnoty.

test, pridaný 4.11.2012


Vyhlásenie problému nelineárneho programovania. Určenie stacionárnych bodov a ich typu. Konštrukcia úrovňových čiar, trojrozmerný graf účelovej funkcie a obmedzenia. Grafické a analytické riešenie úlohy. Používateľská príručka a schéma algoritmu.

kurzová práca, pridané 17.12.2012


Analýza riešenia problému lineárneho programovania. Simplexná metóda pomocou simplexných tabuliek. Modelovanie a riešenie úloh LP na počítači. Ekonomická interpretácia optimálneho riešenia problému. Matematická formulácia dopravnej úlohy.

Ak má problém lineárneho programovania iba dve premenné, potom sa dá vyriešiť graficky.

Zvážte problém lineárneho programovania s dvoma premennými a:
(1.1) ;
(1.2)
Tu sú ľubovoľné čísla. Úlohou môže byť buď nájsť maximum (max), alebo nájsť minimum (min). Systém obmedzení môže obsahovať značky aj značky.

Konštrukcia domény realizovateľných riešení

Grafická metóda riešenia problému (1) je nasledovná.
Najprv nakreslíme súradnicové osi a vyberieme mierku. Každá z nerovností systému obmedzení (1.2) definuje polrovinu ohraničenú príslušnou priamkou.

Takže prvá nerovnosť
(1.2.1)
definuje polrovinu ohraničenú priamkou. Na jednej strane tejto priamky a na druhej strane. Na veľmi priamke. Aby sme zistili, na ktorej strane platí nerovnosť (1.2.1), zvolíme ľubovoľný bod, ktorý neleží na priamke. Ďalej dosadíme súradnice tohto bodu do (1.2.1). Ak nerovnosť platí, potom polrovina obsahuje vybraný bod. Ak nerovnosť nedrží, tak polrovina sa nachádza na druhej strane (neobsahuje zvolený bod). Vytieňujte polrovinu, pre ktorú platí nerovnosť (1.2.1).

To isté urobíme pre zostávajúce nerovnosti systému (1.2). Takto získame tieňované polroviny. Body oblasti realizovateľných riešení spĺňajú všetky nerovnosti (1.2). Preto je graficky oblasť realizovateľných riešení (ADA) priesečníkom všetkých zostrojených polrovín. Tienenie ODR. Ide o konvexný mnohouholník, ktorého plochy patria k zostrojeným priamkam. ODF môže byť tiež neobmedzená konvexná postava, segment, lúč alebo priamka.

Môže nastať aj prípad, že polroviny neobsahujú spoločné body. Potom je doménou realizovateľných riešení prázdna množina. Tento problém nemá riešenia.

Spôsob sa dá zjednodušiť. Nemusíte tieniť každú polrovinu, ale najprv vytvorte všetky rovné čiary
(2)
Ďalej vyberte ľubovoľný bod, ktorý nepatrí do žiadnej z týchto čiar. Súradnice tohto bodu dosaďte do sústavy nerovností (1.2). Ak sú splnené všetky nerovnosti, potom je oblasť realizovateľných riešení obmedzená zostrojenými priamkami a zahŕňa vybraný bod. Oblasť realizovateľných riešení vytieňujeme pozdĺž hraníc čiar tak, aby zahŕňala vybraný bod.

Ak aspoň jedna nerovnosť nie je splnená, vyberte iný bod. A tak ďalej, kým sa nenájde jeden bod, ktorého súradnice vyhovujú systému (1.2).

Nájdenie extrému účelovej funkcie

Takže máme tieňovanú oblasť realizovateľných riešení (ADA). Je ohraničená prerušovanou čiarou pozostávajúcou zo segmentov a lúčov patriacich k zostrojeným priamkam (2). ODS je vždy konvexná množina. Môže to byť buď ohraničená množina alebo nie je ohraničená v niektorých smeroch.

Teraz môžeme hľadať extrém účelovej funkcie
(1.1) .

Ak to chcete urobiť, vyberte ľubovoľné číslo a vytvorte priamku
(3) .
Pre uľahčenie ďalšej prezentácie predpokladáme, že táto priamka prechádza cez RSO. Na tomto riadku je účelová funkcia konštantná a rovná sa . takáto priamka sa nazýva čiara funkčnej úrovne. Táto priamka rozdeľuje rovinu na dve polroviny. Na jednej polrovine
.
Na inej polorovine
.
To znamená, že na jednej strane priamky (3) sa účelová funkcia zvyšuje. A čím ďalej posunieme bod od priamky (3), tým väčšia bude hodnota. Na druhej strane priamky (3) sa účelová funkcia znižuje. A čím ďalej posunieme bod od priamky (3) na druhú stranu, tým bude hodnota menšia. Ak nakreslíme priamku rovnobežnú s priamkou (3), tak nová priamka bude tiež úrovňovou priamkou účelovej funkcie, ale s inou hodnotou.

Preto, aby sme našli maximálnu hodnotu účelovej funkcie, je potrebné nakresliť priamku rovnobežnú s priamkou (3), čo najďalej od nej v smere rastúcich hodnôt a prechádzajúcu aspoň jedným bodom z ODD. Na zistenie minimálnej hodnoty účelovej funkcie je potrebné nakresliť priamku rovnobežnú s priamkou (3) a čo najďalej od nej v smere klesajúcich hodnôt a prechádzajúcu aspoň jedným bodom ODD.

Ak je RSO neobmedzené, potom môže nastať prípad, keď takúto priamu linku nemožno čerpať. To znamená, že bez ohľadu na to, ako odstránime priamku z čiary úrovne (3) v smere zvyšovania (klesania), priamka bude vždy prechádzať cez ODR. V tomto prípade môže byť ľubovoľne veľká (malá). Preto neexistuje žiadna maximálna (minimálna) hodnota. Problém nemá riešenia.

Uvažujme prípad, keď extrémna priamka rovnobežná s ľubovoľnou priamkou tvaru (3) prechádza jedným vrcholom polygónu ODR. Z grafu určíme súradnice tohto vrcholu. Potom je maximálna (minimálna) hodnota účelovej funkcie určená vzorcom:
.
Riešenie problému je
.

Môže nastať aj prípad, keď je priamka rovnobežná s jednou zo strán RSO. Potom priamka prechádza cez dva vrcholy polygónu ODR. Určíme súradnice týchto vrcholov. Na určenie maximálnej (minimálnej) hodnoty účelovej funkcie môžete použiť súradnice ktoréhokoľvek z týchto vrcholov:
.
Problém má nekonečne veľa riešení. Riešením je akýkoľvek bod nachádzajúci sa na segmente medzi bodmi a , vrátane bodov a samotných.

Príklad riešenia úlohy lineárneho programovania pomocou grafickej metódy

Úloha

Spoločnosť vyrába šaty dvoch modelov A a B. Používajú sa tri druhy látok. Na zhotovenie jedných šiat modelu A sú potrebné 2 m látky prvého typu, 1 m látky druhého typu, 2 m látky tretieho typu. Na zhotovenie jedných šiat modelu B sú potrebné 3 m látky prvého typu, 1 m látky druhého typu, 2 m látky tretieho typu. Zásoby tkaniny prvého typu sú 21 m, druhého typu 10 m, tretieho typu 16 m. Vydanie jedného výrobku typu A prináša príjem 400 denárov. jednotiek, jeden výrobok typu B - 300 den. Jednotky

Vypracujte plán výroby, ktorý zabezpečí spoločnosti najväčší príjem. Vyriešte problém graficky.

Riešenie

Nechajte premenné a označte počet vyrobených šiat, modely A a B. Potom bude množstvo spotrebovanej látky prvého typu:
(m)
Množstvo spotrebovanej látky druhého typu bude:
(m)
Množstvo spotrebovanej látky tretieho typu bude:
(m)
Keďže počet vyrobených šiat nemôže byť záporný
A .
Príjem z vyrobených šiat bude:
(den. jednotky)

Potom má ekonomicko-matematický model úlohy tvar:

Riešime to graficky.
Nakreslíme súradnicové osi a .

Staviame priamku.
o .
o .
Nakreslite priamku cez body (0; 7) a (10,5; 0).

Staviame priamku.
o .
o .
Nakreslite priamku cez body (0; 10) a (10; 0).

Staviame priamku.
o .
o .
Nakreslite priamku cez body (0; 8) a (8; 0).

Plochu vytieňujeme tak, aby bod (2; 2) padal do zatienenej časti. Dostaneme štvoruholník OABC.

(A1.1) .
o .
o .
Nakreslite priamku cez body (0; 4) a (3; 0).

Ďalej poznamenávame, že keďže koeficienty a účelovej funkcie sú kladné (400 a 300), zvyšuje sa a zvyšuje sa. Vedieme priamku rovnobežnú s priamkou (A1.1), čo najďalej od nej v smere stúpania a prechádzajúcej aspoň jedným bodom štvoruholníka OABC. Takáto priamka prechádza bodom C. Z konštrukcie určíme jej súradnice.
.

Riešenie problému: ;

Odpoveď

.
To znamená, že na získanie čo najväčšieho príjmu je potrebné vyrobiť 8 šiat modelu A. Príjem bude 3200 denov. Jednotky

Príklad 2

Úloha

Vyriešte problém lineárneho programovania graficky.

Riešenie

Riešime to graficky.
Nakreslíme súradnicové osi a .

Staviame priamku.
o .
o .
Nakreslite priamku cez body (0; 6) a (6; 0).

Staviame priamku.
Odtiaľ.
o .
o .
Nakreslite priamku cez body (3; 0) a (7; 2).

Staviame priamku.
Postavíme priamku (os x).

Oblasť prípustných riešení (ADA) je obmedzená zostrojenými priamkami. Aby sme zistili, na ktorej strane, všimneme si, že bod patrí do RSO, pretože spĺňa systém nerovností:

Plochu pozdĺž hraníc zostrojených čiar vytieňujeme tak, aby bod (4; 1) padal do tieňovanej časti. Dostaneme trojuholník ABC.

Zostavíme ľubovoľnú čiaru úrovne účelovej funkcie, napr.
.
o .
o .
Nakreslite rovnú čiaru cez body (0; 6) a (4; 0).
Keďže účelová funkcia rastie s rastúcim a , nakreslíme priamku rovnobežnú s nivelanou a čo najďalej od nej v smere zväčšovania a prechádzajúcu aspoň jedným bodom trojuholníka ABC. Takáto priamka prechádza bodom C. Z konštrukcie určíme jej súradnice.
.

Riešenie problému: ;

Odpoveď

Príklad žiadneho riešenia

Úloha

Vyriešte problém lineárneho programovania graficky. Nájdite maximálnu a minimálnu hodnotu účelovej funkcie.

Riešenie

Úlohu riešime graficky.
Nakreslíme súradnicové osi a .

Staviame priamku.
o .
o .
Nakreslite priamku cez body (0; 8) a (2,667; 0).

Staviame priamku.
o .
o .
Nakreslite priamku cez body (0; 3) a (6; 0).

Staviame priamku.
o .
o .
Nakreslite priamku cez body (3; 0) a (6; 3).

Priame čiary sú súradnicové osi.

Oblasť prípustných riešení (ADA) je ohraničená zostrojenými priamkami a súradnicovými osami. Aby sme zistili, na ktorej strane, všimneme si, že bod patrí do RSO, pretože spĺňa systém nerovností:

Plochu vytieňujeme tak, aby bod (3; 3) padal do zatienenej časti. Získame neohraničenú oblasť ohraničenú prerušovanou čiarou ABCDE.

Zostavíme ľubovoľnú čiaru úrovne účelovej funkcie, napr.
(A3.1) .
o .
o .
Nakreslite priamku cez body (0; 7) a (7; 0).
Keďže koeficienty a sú kladné, zvyšuje sa s rastúcim a .

Ak chcete nájsť maximum, musíte nakresliť rovnobežnú čiaru, ktorá je čo najďalej v smere stúpania a prechádza aspoň jedným bodom oblasti ABCDE. Keďže je však oblasť na strane veľkých hodnôt a neobmedzená, takáto priamka sa nedá nakresliť. Bez ohľadu na to, akú čiaru nakreslíme, vždy budú v regióne body, ktoré sú vzdialenejšie v smere zvyšovania a . Preto neexistuje žiadne maximum. môžete ho urobiť tak veľký, ako chcete.

Hľadáme minimum. Vedieme priamku rovnobežnú s priamkou (A3.1) a čo najďalej od nej v smere klesania a prechádzajúcu aspoň jedným bodom oblasti ABCDE. Takáto priamka prechádza bodom C. Z konštrukcie určíme jej súradnice.
.
Minimálna hodnota účelovej funkcie:

Odpoveď

Neexistuje žiadna maximálna hodnota.
Minimálna hodnota
.