Druhy trojuholníkov, uhlov a strán. Vlastnosti trojuholníka

Dnes sa vyberieme do krajiny geometrie, kde sa zoznámime s rôznymi typmi trojuholníkov.

Preskúmajte geometrické tvary a nájdite medzi nimi „extra“ (obr. 1).

Ryža. 1. Napríklad ilustrácia

Vidíme, že obrázky č. 1, 2, 3, 5 sú štvoruholníky. Každý z nich má svoj názov (obr. 2).

Ryža. 2. Štvoruholníky

To znamená, že „extra“ postava je trojuholník (obr. 3).

Ryža. 3. Napríklad ilustrácia

Trojuholník je obrazec, ktorý pozostáva z troch bodov, ktoré neležia na rovnakej priamke, a troch segmentov spájajúcich tieto body v pároch.

Body sú tzv vrcholy trojuholníka, segmenty - jeho strany. Formujú sa strany trojuholníka Vo vrcholoch trojuholníka sú tri uhly.

Hlavnými znakmi trojuholníka sú tri strany a tri rohy. Trojuholníky sú klasifikované podľa uhla ostré, pravouhlé a tupé.

Trojuholník sa nazýva ostrý, ak sú všetky jeho tri uhly ostré, teda menšie ako 90° (obr. 4).

Ryža. 4. Akútny trojuholník

Trojuholník sa nazýva pravouhlý, ak jeden z jeho uhlov je 90° (obr. 5).

Ryža. 5. Pravý trojuholník

Trojuholník sa nazýva tupý, ak je jeden z jeho uhlov tupý, teda väčší ako 90° (obr. 6).

Ryža. 6. Tupý trojuholník

Podľa počtu rovnakých strán sú trojuholníky rovnostranné, rovnoramenné, skalnaté.

Rovnoramenný trojuholník je trojuholník, v ktorom sú dve strany rovnaké (obr. 7).

Ryža. 7. Rovnoramenný trojuholník

Tieto strany sú tzv bočné, Tretia strana - základ. V rovnoramennom trojuholníku sú uhly v základni rovnaké.

Rovnoramenné trojuholníky sú akútne a tupé(obr. 8) .

Ryža. 8. Ostré a tupé rovnoramenné trojuholníky

Nazýva sa rovnostranný trojuholník, v ktorom sú všetky tri strany rovnaké (obr. 9).

Ryža. 9. Rovnostranný trojuholník

V rovnostrannom trojuholníku všetky uhly sú rovnaké. Rovnostranné trojuholníky Vždy ostrý uhlový.

Trojuholník sa nazýva všestranný, v ktorom majú všetky tri strany rôzne dĺžky (obr. 10).

Ryža. 10. Trojuholník stupnice

Dokončite úlohu. Rozdeľte tieto trojuholníky do troch skupín (obr. 11).

Ryža. 11. Ilustrácia k úlohe

Najprv si rozdeľme podľa veľkosti uhlov.

Ostré trojuholníky: č.1, č.3.

Pravé trojuholníky: #2, #6.

Tupé trojuholníky: #4, #5.

Tieto trojuholníky sú rozdelené do skupín podľa počtu rovnakých strán.

Trojuholníky stupnice: č. 4, č. 6.

Rovnoramenné trojuholníky: č. 2, č. 3, č. 5.

Rovnostranný trojuholník: č.1.

Skontrolujte výkresy.

Zamyslite sa nad tým, z akého kusu drôtu je každý trojuholník vyrobený (obr. 12).

Ryža. 12. Ilustrácia k úlohe

Môžete takto argumentovať.

Prvý kus drôtu je rozdelený na tri rovnaké časti, takže z neho môžete vytvoriť rovnostranný trojuholník. Je znázornený ako tretí na obrázku.

Druhý kus drôtu je rozdelený na tri rôzne časti, takže z neho môžete urobiť scalene trojuholník. Na obrázku je zobrazený ako prvý.

Tretí kus drôtu je rozdelený na tri časti, pričom obe časti sú rovnako dlhé, takže z neho vytvoríte rovnoramenný trojuholník. Na obrázku je znázornený ako druhý.

Dnes sme sa v lekcii zoznámili s rôznymi typmi trojuholníkov.

Bibliografia

1. M.I. Moro, M.A. Bantová a i. Matematika: Učebnica. 3. ročník: v 2 častiach, časť 1. - M .: "Osvietenie", 2012.
2. M.I. Moro, M.A. Bantová a i. Matematika: Učebnica. 3. ročník: v 2 častiach, časť 2. - M .: "Osvietenie", 2012.
3. M.I. Moreau. Hodiny matematiky: Pokyny pre učiteľov. 3. ročník - M.: Vzdelávanie, 2012.
4. Regulačný dokument. Monitorovanie a hodnotenie výsledkov vzdelávania. - M.: "Osvietenie", 2011.
5. "Ruská škola": Programy pre základnú školu. - M.: "Osvietenie", 2011.
6. S.I. Volkov. Matematika: Testovacia práca. 3. ročník - M.: Vzdelávanie, 2012.
7. V.N. Rudnitskaja. Testy. - M.: "Skúška", 2012.

1. Nsportal.ru ().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

Domáca úloha

1. Dokončite frázy.

a) Trojuholník je obrazec, ktorý pozostáva z ..., neležiac ​​na tej istej priamke, a ..., spájajúcich tieto body do párov.

b) Body sa nazývajú … , segmenty - jeho … . Strany trojuholníka tvoria vrcholy trojuholníka ….

c) Podľa veľkosti uhla sú trojuholníky ..., ..., ....

d) Podľa počtu rovnakých strán sú trojuholníky ..., ..., ....

2. Nakreslite

a) pravouhlý trojuholník

b) ostrý trojuholník;

c) tupý trojuholník;

d) rovnostranný trojuholník;

e) stupnicový trojuholník;

e) rovnoramenný trojuholník.

3. Urobte úlohu na tému lekcie pre svojich súdruhov.

Najjednoduchší polygón, ktorý sa študuje v škole, je trojuholník. Pre študentov je zrozumiteľnejšia a stretáva sa s menšími ťažkosťami. Napriek tomu, že existujú rôzne typy trojuholníkov, ktoré majú špeciálne vlastnosti.

Aký tvar sa nazýva trojuholník?

Tvoria ho tri body a úsečky. Prvé sa nazývajú vrcholy, druhé sa nazývajú strany. Okrem toho musia byť všetky tri segmenty spojené tak, aby sa medzi nimi vytvorili rohy. Odtiaľ pochádza názov postavy „trojuholník“.

Rozdiely v názvoch v rohoch

Keďže môžu byť ostré, tupé a rovné, typy trojuholníkov sú určené týmito názvami. Podľa toho existujú tri skupiny takýchto čísel.

• Najprv. Ak sú všetky uhly trojuholníka ostré, potom sa bude nazývať ostrý trojuholník. Všetko je logické.

• Po druhé. Jeden z uhlov je tupý, takže trojuholník je tupý. Jednoduchšie nikde.

• Po tretie. Existuje uhol rovný 90 stupňom, ktorý sa nazýva pravý uhol. Trojuholník sa stáva obdĺžnikovým.

Rozdiely v menách na stranách

V závislosti od vlastností strán sa rozlišujú tieto typy trojuholníkov:

všeobecný prípad je všestranný, v ktorom majú všetky strany ľubovoľnú dĺžku;

rovnoramenné, ktorých dve strany majú rovnaké číselné hodnoty;

rovnostranný, dĺžky všetkých jeho strán sú rovnaké.

Ak úloha nešpecifikuje konkrétny typ trojuholníka, musíte nakresliť ľubovoľný. V ktorých sú všetky uhly ostré a strany majú rôzne dĺžky.

Vlastnosti spoločné pre všetky trojuholníky

1. Ak spočítate všetky uhly trojuholníka, dostanete číslo rovnajúce sa 180º. A je jedno, o aký druh ide. Toto pravidlo platí vždy.
2. Číselná hodnota ktorejkoľvek strany trojuholníka je menšia ako hodnota ostatných dvoch sčítaných spolu. Navyše je väčší ako ich rozdiel.
3. Každý vonkajší roh má hodnotu, ktorá sa získa pridaním dvoch vnútorných rohov, ktoré s ním nesusedia. Navyše je vždy väčšia ako susedná vnútorná.
4. Najmenšia strana trojuholníka je vždy oproti najmenšiemu uhlu. Naopak, ak je strana veľká, potom bude uhol najväčší.

Tieto vlastnosti sú vždy platné, bez ohľadu na to, aké typy trojuholníkov sa berú do úvahy v úlohách. Všetko ostatné vyplýva zo špecifických vlastností.

Vlastnosti rovnoramenného trojuholníka

• Uhly susediace so základňou sú rovnaké.
• Výška, ktorá je nakreslená k základni, je tiež mediánom a osou.
• Výšky, stredy a osi, ktoré sú postavené na stranách trojuholníka, sú navzájom rovnaké.

Vlastnosti rovnostranného trojuholníka

Ak existuje takýto údaj, potom všetky vlastnosti opísané trochu vyššie budú pravdivé. Pretože rovnostranný bude vždy rovnoramenný. Ale nie naopak, rovnoramenný trojuholník nemusí byť nevyhnutne rovnostranný.

• Všetky jeho uhly sú si navzájom rovné a majú hodnotu 60º.
• Akýkoľvek medián rovnostranného trojuholníka je jeho výška a stred. A všetci sú si navzájom rovní. Na určenie ich hodnôt existuje vzorec, ktorý pozostáva zo súčinu strany a druhej odmocniny z 3 delenej 2.

Vlastnosti pravouhlého trojuholníka

• Dva ostré uhly tvoria spolu 90º.
• Dĺžka prepony je vždy väčšia ako dĺžka ktorejkoľvek z nôh.
• Číselná hodnota mediánu k prepone sa rovná jej polovici.
• Noha sa rovná rovnakej hodnote, ak leží oproti uhlu 30°.
• Výška, ktorá je nakreslená zhora s hodnotou 90º, má určitú matematickú závislosť od nôh: 1 / n 2 \u003d 1 / a 2 + 1 / v 2. Tu: a, c - nohy, n - výška.

Problémy s rôznymi typmi trojuholníkov

č. 1. Daný rovnoramenný trojuholník. Jeho obvod je známy a rovná sa 90 cm.Je potrebné poznať jeho strany. Ako ďalšia podmienka: bočná strana je 1,2-krát menšia ako základňa.

Hodnota obvodu priamo závisí od veličín, ktoré je potrebné nájsť. Súčet všetkých troch strán dá 90 cm.Teraz si treba zapamätať znamienko trojuholníka, podľa ktorého je rovnoramenný. To znamená, že obe strany sú rovnaké. Môžete vytvoriť rovnicu s dvoma neznámymi: 2a + b \u003d 90. Tu a je strana, b je základňa.

Je čas na dodatočnú podmienku. Potom sa získa druhá rovnica: b \u003d 1,2a. Tento výraz môžete nahradiť prvým. Ukazuje sa: 2a + 1,2a \u003d 90. Po transformáciách: 3,2a \u003d 90. Preto a \u003d 28,125 (cm). Teraz je ľahké zistiť dôvod. Najlepšie je to urobiť od druhej podmienky: v \u003d 1,2 * 28,125 \u003d 33,75 (cm).

Na kontrolu môžete pridať tri hodnoty: 28,125 * 2 + 33,75 = 90 (cm). Dobre.

Odpoveď: strany trojuholníka sú 28,125 cm, 28,125 cm, 33,75 cm.

č. 2. Strana rovnostranného trojuholníka je 12 cm.Je potrebné vypočítať jej výšku.

Riešenie. Na hľadanie odpovede sa stačí vrátiť do momentu, kde boli opísané vlastnosti trojuholníka. Toto je vzorec na zistenie výšky, mediánu a osi rovnostranného trojuholníka.

n \u003d a * √3 / 2, kde n je výška, a je strana.

Substitúcia a výpočet dávajú nasledujúci výsledok: n = 6 √3 (cm).

Tento vzorec sa netreba učiť naspamäť. Stačí pripomenúť, že výška rozdeľuje trojuholník na dva pravouhlé. Navyše sa ukáže, že ide o nohu a prepona v nej je strana pôvodnej, druhá noha je polovica známej strany. Teraz si musíte zapísať Pytagorovu vetu a odvodiť vzorec pre výšku.

Odpoveď: výška je 6 √3 cm.

č. 3. Je daný MKR - trojuholník, 90 stupňov, v ktorom zviera uhol K. Strany MP a KR sú známe, sú rovné 30 a 15 cm, musíte zistiť hodnotu uhla P.

Riešenie. Ak urobíte kresbu, je jasné, že MP je prepona. Navyše je dvakrát väčší ako noha CD. Opäť sa treba obrátiť na vlastnosti. Jeden z nich súvisí práve s rohmi. Z toho je zrejmé, že uhol KMR je 30º. Takže požadovaný uhol P bude rovný 60º. Vyplýva to z ďalšej vlastnosti, ktorá uvádza, že súčet dvoch ostrých uhlov sa musí rovnať 90°.

Odpoveď: uhol R je 60º.

č. 4. Musíte nájsť všetky uhly rovnoramenného trojuholníka. Je o ňom známe, že vonkajší uhol od uhla pri základni je 110º.

Riešenie. Keďže je daný iba vonkajší roh, mal by sa použiť. Tvorí sa s rozvinutým vnútorným uhlom. Súčet teda tvorí 180º. To znamená, že uhol pri základni trojuholníka bude rovný 70º. Keďže je rovnoramenný, druhý uhol má rovnakú hodnotu. Zostáva vypočítať tretí uhol. Podľa vlastnosti spoločnej pre všetky trojuholníky je súčet uhlov 180º. Takže tretí je definovaný ako 180º - 70º - 70º = 40º.

Odpoveď: uhly sú 70º, 70º, 40º.

č. 5. Je známe, že v rovnoramennom trojuholníku je uhol oproti základni 90°. Na základni je vyznačená bodka. Segment spájajúci ho s pravým uhlom ho rozdeľuje v pomere 1 ku 4. Musíte poznať všetky uhly menšieho trojuholníka.

Riešenie. Jeden z rohov je možné určiť okamžite. Keďže trojuholník je pravouhlý a rovnoramenný, tie, ktoré ležia na jeho základni, budú mať uhol 45º, teda 90º / 2.

Druhý z nich pomôže nájsť vzťah známy v stave. Keďže sa rovná 1 až 4, potom častí, na ktoré je rozdelený, je len 5. Takže na zistenie menšieho uhla trojuholníka potrebujete 90º / 5 = 18º. Zostáva zistiť tretí. Aby ste to dosiahli, musíte od 180º (súčet všetkých uhlov trojuholníka) odpočítať 45º a 18º. Výpočty sú jednoduché a ukazuje sa: 117º.

Dnes sa vyberieme do krajiny geometrie, kde sa zoznámime s rôznymi typmi trojuholníkov.

Preskúmajte geometrické tvary a nájdite medzi nimi „extra“ (obr. 1).

Ryža. 1. Napríklad ilustrácia

Vidíme, že obrázky č. 1, 2, 3, 5 sú štvoruholníky. Každý z nich má svoj názov (obr. 2).

Ryža. 2. Štvoruholníky

To znamená, že „extra“ postava je trojuholník (obr. 3).

Ryža. 3. Napríklad ilustrácia

Trojuholník je obrazec, ktorý pozostáva z troch bodov, ktoré neležia na rovnakej priamke, a troch segmentov spájajúcich tieto body v pároch.

Body sú tzv vrcholy trojuholníka, segmenty - jeho strany. Formujú sa strany trojuholníka Vo vrcholoch trojuholníka sú tri uhly.

Hlavnými znakmi trojuholníka sú tri strany a tri rohy. Trojuholníky sú klasifikované podľa uhla ostré, pravouhlé a tupé.

Trojuholník sa nazýva ostrý, ak sú všetky jeho tri uhly ostré, teda menšie ako 90° (obr. 4).

Ryža. 4. Akútny trojuholník

Trojuholník sa nazýva pravouhlý, ak jeden z jeho uhlov je 90° (obr. 5).

Ryža. 5. Pravý trojuholník

Trojuholník sa nazýva tupý, ak je jeden z jeho uhlov tupý, teda väčší ako 90° (obr. 6).

Ryža. 6. Tupý trojuholník

Podľa počtu rovnakých strán sú trojuholníky rovnostranné, rovnoramenné, skalnaté.

Rovnoramenný trojuholník je trojuholník, v ktorom sú dve strany rovnaké (obr. 7).

Ryža. 7. Rovnoramenný trojuholník

Tieto strany sú tzv bočné, Tretia strana - základ. V rovnoramennom trojuholníku sú uhly v základni rovnaké.

Rovnoramenné trojuholníky sú akútne a tupé(obr. 8) .

Ryža. 8. Ostré a tupé rovnoramenné trojuholníky

Nazýva sa rovnostranný trojuholník, v ktorom sú všetky tri strany rovnaké (obr. 9).

Ryža. 9. Rovnostranný trojuholník

V rovnostrannom trojuholníku všetky uhly sú rovnaké. Rovnostranné trojuholníky Vždy ostrý uhlový.

Trojuholník sa nazýva všestranný, v ktorom majú všetky tri strany rôzne dĺžky (obr. 10).

Ryža. 10. Trojuholník stupnice

Dokončite úlohu. Rozdeľte tieto trojuholníky do troch skupín (obr. 11).

Ryža. 11. Ilustrácia k úlohe

Najprv si rozdeľme podľa veľkosti uhlov.

Ostré trojuholníky: č.1, č.3.

Pravé trojuholníky: #2, #6.

Tupé trojuholníky: #4, #5.

Tieto trojuholníky sú rozdelené do skupín podľa počtu rovnakých strán.

Trojuholníky stupnice: č. 4, č. 6.

Rovnoramenné trojuholníky: č. 2, č. 3, č. 5.

Rovnostranný trojuholník: č.1.

Skontrolujte výkresy.

Zamyslite sa nad tým, z akého kusu drôtu je každý trojuholník vyrobený (obr. 12).

Ryža. 12. Ilustrácia k úlohe

Môžete takto argumentovať.

Prvý kus drôtu je rozdelený na tri rovnaké časti, takže z neho môžete vytvoriť rovnostranný trojuholník. Je znázornený ako tretí na obrázku.

Druhý kus drôtu je rozdelený na tri rôzne časti, takže z neho môžete urobiť scalene trojuholník. Na obrázku je zobrazený ako prvý.

Tretí kus drôtu je rozdelený na tri časti, pričom obe časti sú rovnako dlhé, takže z neho vytvoríte rovnoramenný trojuholník. Na obrázku je znázornený ako druhý.

Dnes sme sa v lekcii zoznámili s rôznymi typmi trojuholníkov.

Bibliografia

1. M.I. Moro, M.A. Bantová a i. Matematika: Učebnica. 3. ročník: v 2 častiach, časť 1. - M .: "Osvietenie", 2012.
2. M.I. Moro, M.A. Bantová a i. Matematika: Učebnica. 3. ročník: v 2 častiach, časť 2. - M .: "Osvietenie", 2012.
3. M.I. Moreau. Hodiny matematiky: Pokyny pre učiteľov. 3. ročník - M.: Vzdelávanie, 2012.
4. Regulačný dokument. Monitorovanie a hodnotenie výsledkov vzdelávania. - M.: "Osvietenie", 2011.
5. "Ruská škola": Programy pre základnú školu. - M.: "Osvietenie", 2011.
6. S.I. Volkov. Matematika: Testovacia práca. 3. ročník - M.: Vzdelávanie, 2012.
7. V.N. Rudnitskaja. Testy. - M.: "Skúška", 2012.

1. Nsportal.ru ().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

Domáca úloha

1. Dokončite frázy.

a) Trojuholník je obrazec, ktorý pozostáva z ..., neležiac ​​na tej istej priamke, a ..., spájajúcich tieto body do párov.

b) Body sa nazývajú … , segmenty - jeho … . Strany trojuholníka tvoria vrcholy trojuholníka ….

c) Podľa veľkosti uhla sú trojuholníky ..., ..., ....

d) Podľa počtu rovnakých strán sú trojuholníky ..., ..., ....

2. Nakreslite

a) pravouhlý trojuholník

b) ostrý trojuholník;

c) tupý trojuholník;

d) rovnostranný trojuholník;

e) stupnicový trojuholník;

e) rovnoramenný trojuholník.

3. Urobte úlohu na tému lekcie pre svojich súdruhov.

Štandardné notácie

Trojuholník s vrcholmi A, B A C označené ako (pozri obr.). Trojuholník má tri strany:

Dĺžky strán trojuholníka sú označené malými latinskými písmenami (a, b, c):

Trojuholník má tieto uhly:

Uhly v zodpovedajúcich vrcholoch sa tradične označujú gréckymi písmenami (α, β, γ).

Znaky rovnosti trojuholníkov

Trojuholník na euklidovskej rovine môže byť jednoznačne (až do kongruencie) definovaný nasledujúcimi trojicami základných prvkov:

1. a, b, γ (rovnosť na dvoch stranách a uhol medzi nimi);
2. a, β, γ (rovnosť strany a dvoch susedných uhlov);
3. a, b, c (rovnosť na troch stranách).

Znaky rovnosti pravouhlých trojuholníkov:

1. pozdĺž nohy a hypotenzie;
2. na dvoch nohách;
3. pozdĺž nohy a ostrého uhla;
4. hypotenzia a ostrý uhol.

Niektoré body v trojuholníku sú „spárované“. Napríklad existujú dva body, z ktorých sú viditeľné všetky strany buď pod uhlom 60° alebo pod uhlom 120°. Volajú sa bodky Torricelli. Existujú aj dva body, ktorých priemet na stranách leží vo vrcholoch pravidelného trojuholníka. toto - body Apollonia. Body a pod Brocard body.

Priamy

V akomkoľvek trojuholníku ležia ťažisko, ortocentrum a stred kružnice opísanej na tej istej priamke, tzv. Eulerova línia.

Čiara prechádzajúca stredom kružnice opísanej a bodom Lemoine sa nazýva Brokárova os. Ležia na nej Apolloniove body. Torricelliho body a bod Lemoine tiež ležia na rovnakej priamke. Základny vonkajších osi uhlov trojuholníka ležia na tej istej priamke, tzv os vonkajších osi. Priesečníky priamok obsahujúcich strany pravouhlého trojuholníka s priamkami obsahujúcimi strany trojuholníka tiež ležia na tej istej priamke. Táto linka je tzv ortocentrická os, je kolmá na Eulerovu priamku.

Ak vezmeme bod na kružnici opísanej trojuholníku, potom jeho priemet na stranách trojuholníka bude ležať na jednej priamke, tzv. Simsonova priamka daný bod. Simsonove čiary diametrálne opačných bodov sú kolmé.

trojuholníky

• Trojuholník s vrcholmi na základniach cevianov pretiahnutý daným bodom sa nazýva cevický trojuholník tento bod.
• Trojuholník s vrcholmi v priemetoch daného bodu na strany sa nazýva pod kožu alebo pedálový trojuholník tento bod.
• Trojuholník s vrcholmi na druhom priesečníku priamok vedených cez vrcholy a daný bod s kružnicou opísanou sa nazýva cevický trojuholník. Ceviánsky trojuholník je podobný subdermálnemu.

kruhy

• Vpísaný kruh je kruh dotýkajúci sa všetkých troch strán trojuholníka. Ona je jediná. Stred vpísanej kružnice je tzv stred.
• Opísaný kruh- kružnica prechádzajúca všetkými tromi vrcholmi trojuholníka. Jedinečný je aj opísaný kruh.
• Zakrúžkovať- kružnica dotýkajúca sa jednej strany trojuholníka a predĺženie ostatných dvoch strán. V trojuholníku sú tri takéto kruhy. Ich radikálnym stredom je stred vpísanej kružnice stredového trojuholníka, tzv Spiekerova pointa.

Stredy troch strán trojuholníka, základne jeho troch výšok a stredy troch úsečiek spájajúcich jeho vrcholy s ortocentrom ležia na jednej kružnici tzv. kruh deviatich bodov alebo Eulerov kruh. Stred deväťbodovej kružnice leží na Eulerovej priamke. Kruh s deviatimi bodmi sa dotýka vpísanej kružnice a troch kružníc. Bod dotyku medzi vpísanou kružnicou a kružnicou deviatich bodov sa nazýva Feuerbachov bod. Ak z každého vrcholu rozložíme trojuholníky na rovné čiary obsahujúce strany, ortézy, ktoré majú rovnakú dĺžku ako opačné strany, potom výsledných šesť bodov leží na jednom kruhu - Conwayove kruhy. V akomkoľvek trojuholníku môžu byť vpísané tri kruhy tak, že každý z nich sa dotýka dvoch strán trojuholníka a dvoch ďalších kruhov. Takéto kruhy sa nazývajú Malfattiho kruhy. Stredy opísaných kružníc šiestich trojuholníkov, na ktoré je trojuholník rozdelený strednicami, ležia na jednej kružnici, ktorá je tzv. Lamunov kruh.

Trojuholník má tri kruhy, ktoré sa dotýkajú dvoch strán trojuholníka a kružnice opísanej. Takéto kruhy sa nazývajú polozapísaný alebo Verrierove kruhy. Segmenty spájajúce body dotyku Verrierových kružníc s kružnicou opísanou sa pretínajú v jednom bode, tzv. Verrierov bod. Slúži ako stred homotety, ktorá privádza opísanú kružnicu do kružnice. Dotykové body Verrierových kružníc so stranami ležia na priamke, ktorá prechádza stredom vpísanej kružnice.

Úsečky spájajúce dotykové body vpísanej kružnice s vrcholmi sa pretínajú v jednom bode, tzv. Gergonne bod, a segmenty spájajúce vrcholy s bodmi dotyku kružníc - in Nagelov bod.

Elipsy, paraboly a hyperboly

Vpísaná kužeľosečka (elipsa) a jej perspektíva

Do trojuholníka možno vpísať nekonečné množstvo kužeľosečiek (elipsy, paraboly alebo hyperboly). Ak do trojuholníka vpíšeme ľubovoľnú kužeľosečku a spojíme body dotyku s protiľahlými vrcholmi, potom sa výsledné priamky pretnú v jednom bode, tzv. perspektíva kužeľosečky. Pre každý bod roviny, ktorý neleží na boku alebo na jej predĺžení, existuje vpísaná kužeľosečka s perspektívou v tomto bode.

Steinerova elipsa opísaná a ceviany prechádzajúce jej ohniskami

Elipsa môže byť vpísaná do trojuholníka, ktorý sa dotýka strán v stredoch. Takáto elipsa sa nazýva Steinerova vpísaná elipsa(jeho perspektívou bude ťažisko trojuholníka). Opísaná elipsa, ktorá je dotyčnicou k čiaram prechádzajúcich vrcholmi rovnobežnými so stranami, sa nazýva opísaná Steinerovou elipsou. Ak afinná transformácia ("skosenie") prevedie trojuholník na pravidelný, potom jeho vpísaná a opísaná Steinerova elipsa prejde do vpísanej a opísanej kružnice. Ceviany ťahané cez ohniská opísanej Steinerovej elipsy (Skutinove body) sú rovnaké (Skutinova veta). Zo všetkých opísaných elips má najmenšiu plochu Steinerova opísaná elipsa a zo všetkých opísaných elips má najväčšiu plochu Steinerova opísaná elipsa.

Brocardova elipsa a jej perspektor - bod Lemoine

Volá sa elipsa s ohniskami v bodoch Brokar Brokartová elipsa. Jeho perspektíva je bod Lemoine.

Vlastnosti vpísanej paraboly

Kiepertova parabola

Perspektívy vpísaných parabol ležia na opísanej Steinerovej elipse. Ohnisko vpísanej paraboly leží na opísanej kružnici a priamka prechádza ortocentrom. Nazýva sa parabola vpísaná do trojuholníka, ktorého priamkou je Eulerova čiara Kiepertova parabola. Jej perspektíva je štvrtým priesečníkom kružnice opísanej a opísanej Steinerovej elipsy, tzv. Steinerov bod.

Cypertova hyperbola

Ak opísaná hyperbola prechádza priesečníkom výšok, potom je rovnostranná (to znamená, že jej asymptoty sú kolmé). Priesečník asymptot rovnostrannej hyperboly leží na kruhu deviatich bodov.

Premeny

Ak sa priamky prechádzajúce vrcholmi a nejakým bodom neležiacim po stranách a ich predĺženia odrážajú vzhľadom na zodpovedajúce osi, potom sa ich obrazy tiež pretnú v jednom bode, ktorý je tzv. izogonálne konjugovať pôvodný (ak bod ležal na opísanej kružnici, potom budú výsledné čiary rovnobežné). Mnohé dvojice pozoruhodných bodov sú izogonálne konjugované: stred opísanej kružnice a ortocentra, ťažisko a bod Lemoine, body Brocard. Apolloniove body sú izogonálne konjugované s Torricelliho bodmi a stred kružnice je izogonálne konjugovaný sám so sebou. Pôsobením izogonálnej konjugácie prechádzajú priame čiary do opísaných kužeľosečiek a opísané kužeľosečky do priamych línií. Kiepertova hyperbola a Brocardova os, Enzhabekova hyperbola a Eulerova čiara, Feuerbachova hyperbola a čiara stredov vpísanej kružnice sú teda izogonálne konjugované. Opísané kružnice subdermálnych trojuholníkov izogonálne konjugovaných bodov sa zhodujú. Ohniská vpísaných elipsy sú izogonálne konjugované.

Ak namiesto symetrického cevianu vezmeme cevian, ktorého základňa je rovnako vzdialená od stredu strany ako základňa pôvodného, ​​potom sa aj takéto ceviany pretnú v jednom bode. Výsledná transformácia je tzv izotomická konjugácia. Tiež mapuje čiary k opísaným kužeľosečkám. Body Gergonne a Nagel sú izotomicky konjugované. Pri afinných transformáciách prechádzajú izotomicky konjugované body do izotomicky konjugovaných bodov. Pri izotomickej konjugácii prechádza opísaná Steinerova elipsa do priamky v nekonečne.

Ak sú v segmentoch odrezaných stranami trojuholníka od opísanej kružnice vpísané kružnice, ktoré sa dotýkajú strán v základniach cevianov pretiahnutých určitým bodom, a potom sú styčné body týchto kružníc spojené s opísanú kružnicu s opačnými vrcholmi, potom sa takéto čiary pretnú v jednom bode. Transformácia roviny, ktorá porovnáva výsledný bod s počiatočným bodom, sa nazýva izokruhová transformácia. Zloženie izogonálnych a izotomických konjugácií je zložením izokruhovej transformácie so sebou samým. Táto kompozícia je projektívnou transformáciou, ktorá ponecháva strany trojuholníka na mieste a prevádza os vonkajších priesečníkov na priamku v nekonečne.

Ak budeme pokračovať v stranách cevického trojuholníka nejakého bodu a vezmeme ich priesečníky s príslušnými stranami, potom výsledné priesečníky budú ležať na jednej priamke, tzv. trilineárne polárneštartovací bod. Ortocentrická os - trilineárna polárna ortocentra; trilineárna polárna stredu vpísanej kružnice je osou vonkajších osi. Trilineárne polárne body ležiace na opísanej kužeľosečke sa pretínajú v jednom bode (pre opísanú kružnicu je to Lemoineov bod, pre opísanú Steinerovu elipsu je to ťažisko). Zloženie izogonálnej (alebo izotomickej) konjugácie a trilineárnej polárnej je transformáciou duality (ak bod izogonálne (izotomicky) konjugovaný s bodom leží na trilineárnej poláre bodu , potom trilineárna polárna bodu izogonálne (izotomicky) konjugovaný s bodom leží na trilineárnej poláre bodu).

Kocky

Vzťahy v trojuholníku

Poznámka: v tejto sekcii sú , , dĺžky troch strán trojuholníka a , , sú uhly ležiace proti týmto trom stranám (opačné uhly).

trojuholníková nerovnosť

V nedegenerovanom trojuholníku je súčet dĺžok jeho dvoch strán väčší ako dĺžka tretej strany, v zdegenerovanom je rovný. Inými slovami, dĺžky strán trojuholníka súvisia s nasledujúcimi nerovnosťami:

Trojuholníková nerovnosť je jednou z axióm metrík.

Veta o súčte uhlov trojuholníka

Sínusová veta

,

kde R je polomer kružnice opísanej trojuholníku. Z vety vyplýva, že ak a< b < c, то α < β < γ.

Kosínusová veta

Tangentová veta

Iné pomery

Metrické pomery v trojuholníku sú dané pre:

Riešenie trojuholníkov

Výpočet neznámych strán a uhlov trojuholníka na základe známych sa historicky nazýval „riešenia trojuholníka“. V tomto prípade sa používajú vyššie uvedené všeobecné trigonometrické vety.

Oblasť trojuholníka

Špeciálne prípady Notácia

Pre oblasť platia nasledujúce nerovnosti:

Výpočet plochy trojuholníka v priestore pomocou vektorov

Nech sú vrcholy trojuholníka v bodoch , , .

Predstavme si plošný vektor . Dĺžka tohto vektora sa rovná ploche trojuholníka a smeruje pozdĺž normály k rovine trojuholníka:

Nech , kde , , sú projekcie trojuholníka na súradnicové roviny. V čom

a podobne

Plocha trojuholníka je .

Alternatívou je vypočítať dĺžky strán (pomocou Pytagorovej vety) a potom použiť Heronov vzorec.

Trojuholníkové teorémy

Desarguova veta: ak sú dva trojuholníky perspektívne (priamky prechádzajúce príslušnými vrcholmi trojuholníkov sa pretínajú v jednom bode), potom sa ich príslušné strany pretínajú na jednej priamke.

Sondova veta: ak sú dva trojuholníky perspektívne a ortologické (kolmice spadnuté z vrcholov jedného trojuholníka na strany protiľahlé k príslušným vrcholom trojuholníka a naopak), potom oba stredy ortológie (priesečníky týchto kolmic) a stred perspektívy ležať na jednej priamke kolmej na os perspektívy (priamka z Desarguesovej vety).