Plocha základne hranola: od trojuholníkového po mnohouholníkový. Geometria N. Nikitin

Vo fyzike sa trojuholníkový hranol vyrobený zo skla často používa na štúdium spektra bieleho svetla, pretože ho dokáže rozložiť na jednotlivé zložky. V tomto článku sa budeme zaoberať objemovým vzorcom

Čo je trojuholníkový hranol?

Pred uvedením objemového vzorca zvážime vlastnosti tohto obrázku.

Aby ste to dosiahli, musíte vziať trojuholník ľubovoľného tvaru a posunúť ho rovnobežne so sebou do určitej vzdialenosti. Vrcholy trojuholníka v počiatočnej a konečnej polohe by mali byť spojené rovnými segmentmi. Výsledný objemový obrazec sa nazýva trojuholníkový hranol. Skladá sa z piatich strán. Dve z nich sa nazývajú základne: sú rovnobežné a navzájom si rovné. Základňami predmetného hranolu sú trojuholníky. Zostávajúce tri strany sú rovnobežníky.

Okrem strán sa predmetný hranol vyznačuje šiestimi vrcholmi (tri pre každú podstavu) a deviatimi hranami (6 hrán leží v rovinách podstav a 3 hrany sú tvorené priesečníkom strán). Ak sú bočné okraje kolmé na základne, potom sa takýto hranol nazýva obdĺžnikový.

Rozdiel medzi trojuholníkovým hranolom a všetkými ostatnými figúrami tejto triedy je v tom, že je vždy konvexný (štvor-, päť-, ..., n-hranolové hranoly môžu byť aj konkávne).

Ide o obdĺžnikovú postavu s rovnostranným trojuholníkom na základni.

Objem všeobecného trojuholníkového hranolu

Ako zistiť objem trojuholníkového hranolu? Vzorec je vo všeobecnosti podobný ako pre hranol akéhokoľvek typu. Má nasledujúci matematický zápis:

Tu h je výška obrázku, to znamená vzdialenosť medzi jeho základňami, S o je plocha trojuholníka.

Hodnotu S o možno nájsť, ak sú známe niektoré parametre trojuholníka, napríklad jedna strana a dva uhly alebo dve strany a jeden uhol. Plocha trojuholníka sa rovná polovici súčinu jeho výšky a dĺžky strany, o ktorú je táto výška znížená.

Čo sa týka výšky h postavy, najľahšie ju nájdeme pre pravouhlý hranol. V druhom prípade sa h zhoduje s dĺžkou bočného okraja.

Objem pravidelného trojuholníkového hranolu

Všeobecný vzorec pre objem trojuholníkového hranola, ktorý je uvedený v predchádzajúcej časti článku, možno použiť na výpočet zodpovedajúcej hodnoty pre pravidelný trojuholníkový hranol. Keďže jeho základňa je rovnostranný trojuholník, jeho obsah sa rovná:

Každý môže získať tento vzorec, ak si pamätá, že v rovnostrannom trojuholníku sú všetky uhly navzájom rovnaké a majú veľkosť 60 o. Symbol a je tu dĺžka strany trojuholníka.

Výška h je dĺžka hrany. V žiadnom prípade nie je spojená so základňou pravidelného hranola a môže nadobúdať ľubovoľné hodnoty. Výsledkom je, že vzorec pre objem trojuholníkového hranolu správneho typu vyzerá takto:

Po vypočítaní koreňa môžete tento vzorec prepísať takto:

Na zistenie objemu pravidelného hranolu s trojuholníkovou podstavou je teda potrebné odmocniť stranu podstavy, vynásobiť túto hodnotu výškou a výslednú hodnotu vynásobiť 0,433.

Typ práce: 8
Téma: Hranol

Podmienka

V pravidelnom trojuholníkovom hranole ABCA_1B_1C_1 sú strany základne 4 a bočné hrany 10. Nájdite plochu prierezu hranola rovinou prechádzajúcou stredmi hrán AB, AC, A_1B_1 a A_1C_1.

Ukážte riešenie

Riešenie

Zvážte nasledujúci obrázok.

Úsečka MN je teda stredovou čiarou trojuholníka A_1B_1C_1 MN = \frac12 B_1C_1=2. podobne, KL=\frac12BC=2. Navyše MK = NL = 10. Z toho vyplýva, že štvoruholník MNLK je rovnobežník. Keďže MK\paralelný AA_1, tak MK\perp ABC a MK\perp KL. Preto je štvoruholník MNLK obdĺžnik. S_(MNLK) = MK\cdot KL = 10\cdot 2 = 20.

Odpoveď

Typ práce: 8
Téma: Hranol

Podmienka

Objem pravidelného štvorbokého hranola ABCDA_1B_1C_1D_1 je 24 . Bod K je stredom hrany CC_1. Nájdite objem pyramídy KBCD.

Ukážte riešenie

Riešenie

Podľa podmienky je KC výška pyramídy KBCD. CC_1 je výška hranola ABCDA_1B_1C_1D_1 .

Pretože K je stred CC_1, potom KC=\frac12CC_1. Nech je teda CC_1=H KC = \frac12H. Všimnite si aj to S_(BCD)=\frac12S_(ABCD). potom V_(KBCD)= \frac13S_(BCD)\cdot\frac(H)(2)= \frac13\cdot\frac12S_(ABCD)\cdot\frac(H)(2)= \frac(1)(12)\cdot S_(ABCD)\cdot H= \frac(1)(12)V_(ABCDA_1B_1C_1D_1). teda V_(KBCD)=\frac(1)(12)\cdot24=2.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na Jednotnú štátnu skúšku 2017. Úroveň profilu." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Typ práce: 8
Téma: Hranol

Podmienka

Nájdite plochu bočného povrchu pravidelného šesťhranného hranola, ktorého základná strana je 6 a výška je 8.

Ukážte riešenie

Riešenie

Oblasť bočného povrchu hranola sa nachádza na strane vzorca S. = P základné · h = 6a\cdot h, kde P zákl. a h sú v tomto poradí obvod základne a výška hranola rovnajúca sa 8 a a je strana pravidelného šesťuholníka rovnajúca sa 6. Preto S strana. = 6\cdot 6\cdot 8 = 288.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na Jednotnú štátnu skúšku 2017. Úroveň profilu." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Typ práce: 8
Téma: Hranol

Podmienka

Voda sa naliala do nádoby v tvare pravidelného trojuholníkového hranolu. Hladina vody dosahuje 40 cm V akej výške bude hladina vody, ak sa naleje do inej nádoby rovnakého tvaru, ktorej strana základne je dvakrát väčšia ako prvá? Vyjadrite svoju odpoveď v centimetroch.

Ukážte riešenie

Riešenie

Nech a je strana základne prvej nádoby, potom 2 a je strana základne druhej nádoby. Podľa podmienok je objem kvapaliny V v prvej a druhej nádobe rovnaký. Označme H hladinu, na ktorú vystúpila kvapalina v druhej nádobe. Potom V= \frac12\cdot a^2\cdot\sin60^(\circ)\cdot40= \frac(a^2\sqrt3)(4)\cdot40, a V=\frac((2a)^2\sqrt3)(4)\cdot H. Odtiaľ \frac(a^2\sqrt3)(4)\cdot40=\frac((2a)^2\sqrt3)(4)\cdot H, 40 = 4 h, H = 10.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na Jednotnú štátnu skúšku 2017. Úroveň profilu." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Typ práce: 8
Téma: Hranol

Podmienka

V pravidelnom šesťhrannom hranole ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 sú všetky hrany rovné 2. Nájdite vzdialenosť medzi bodmi A a E_1.

Ukážte riešenie

Riešenie

Trojuholník AEE_1 je pravouhlý, keďže hrana EE_1 je kolmá na rovinu podstavy hranola, uhol AEE_1 bude pravý uhol.

Potom podľa Pytagorovej vety AE_1^2 = AE^2 + EE_1^2. Nájdite AE z trojuholníka AFE pomocou kosínusovej vety. Každý vnútorný uhol pravidelného šesťuholníka je 120^(\circ). Potom AE^2= AF^2+FE^2-2\cdot AF\cdot FE\cdot\cos120^(\circ)= 2^2+2^2-2\cdot2\cdot2\cdot\vľavo (-\frac12 \vpravo).

Preto AE^2=4+4+4=12,

AE_1^2=12+4=16,

AE_1=4.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na Jednotnú štátnu skúšku 2017. Úroveň profilu." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Typ práce: 8
Téma: Hranol

Podmienka

Nájdite plochu bočného povrchu rovného hranola, na ktorého základni leží kosoštvorec s uhlopriečkami rovnými 4\sqrt5 a 8 a bočný okraj rovný 5.

Ukážte riešenie

Riešenie

Oblasť bočného povrchu rovného hranola sa nachádza podľa vzorca S. = P základné · h = 4a\cdot h, kde P zákl. a h, v tomto poradí, obvod základne a výška hranola rovná 5 a a je strana kosoštvorca. Nájdite stranu kosoštvorca pomocou skutočnosti, že uhlopriečky kosoštvorca ABCD sú navzájom kolmé a rozpolte ich priesečníkom.

Objem hranola. Riešenie problémov

Geometria je najmocnejším prostriedkom na zostrenie našich mentálnych schopností a umožňuje nám správne myslieť a uvažovať.

G. Galileo

Účel lekcie:

• naučiť riešiť úlohy o výpočte objemu hranolov, zhrnúť a systematizovať informácie, ktoré študenti majú o hranole a jeho prvkoch, rozvíjať schopnosť riešiť problémy so zvýšenou zložitosťou;
• rozvíjať logické myslenie, schopnosť samostatnej práce, schopnosti vzájomnej kontroly a sebakontroly, schopnosť hovoriť a počúvať;
• vypestujte si návyk neustáleho zamestnania v nejakej užitočnej činnosti, čím sa podporuje schopnosť reagovať, tvrdá práca a presnosť.

Typ lekcie: lekcia o uplatňovaní vedomostí, zručností a schopností.

Vybavenie: ovládacie karty, mediálny projektor, prezentácia „Lekcia. Prism Volume“, počítače.

Počas vyučovania

• Bočné rebrá hranola (obr. 2).
• Bočný povrch hranola (obrázok 2, obrázok 5).
• Výška hranola (obr. 3, obr. 4).
• Priamy hranol (obrázok 2,3,4).
• Naklonený hranol (obrázok 5).
• Správny hranol (obr. 2, obr. 3).
• Diagonálny rez hranolom (obrázok 2).
• Uhlopriečka hranola (obrázok 2).
• Kolmý rez hranolom (obr. 3, obr. 4).
• Bočný povrch hranola.
• Celková plocha hranola.
• Objem hranola.

1. KONTROLA DOMÁCICH ÚLOH (8 min)

Vymeňte notebooky, skontrolujte riešenie na snímkach a označte ho (označte 10, ak bol problém zostavený)

Vymyslite problém podľa obrázka a vyriešte ho. Žiak na tabuli obhajuje úlohu, ktorú zostavil. Obrázok 6 a obrázok 7.





Kapitola 2, §3
Problém.2. Dĺžky všetkých hrán pravidelného trojuholníkového hranola sú si navzájom rovné. Vypočítajte objem hranola, ak jeho povrch je cm 2 (obr. 8)



Kapitola 2, §3
Úloha 5. Podstava priameho hranolu ABCA 1B 1C1 je pravouhlý trojuholník ABC (uhol ABC=90°), AB=4cm. Vypočítajte objem hranola, ak polomer kružnice opísanej trojuholníku ABC je 2,5 cm a výška hranola je 10 cm. (Obrázok 9).



Kapitola 2, § 3
Úloha 29. Dĺžka strany podstavy pravidelného štvorbokého hranola je 3 cm. Uhlopriečka hranola zviera s rovinou bočného čela uhol 30°. Vypočítajte objem hranola (obrázok 10).



2. Spolupráca medzi učiteľom a triedou (2-3 min.).

Cieľ: zhrnúť výsledky teoretickej rozcvičky (študenti sa navzájom známkujú), naučiť sa riešiť úlohy na danú tému.

3. FYZICKÁ MINÚTA (3 min)
4. RIEŠENIE PROBLÉMU (10 min)

V tomto štádiu učiteľ organizuje frontálnu prácu na opakovaní metód riešenia planimetrických úloh a planimetrických vzorcov. Trieda je rozdelená na dve skupiny, niektorí riešia úlohy, iní pracujú pri počítači. Potom sa zmenia. Žiaci musia vyriešiť všetky č. 8 (ústne), č. 9 (ústne). Potom sa rozdelia do skupín a pokračujú v riešení úloh č.14, č.30, č.32.

Kapitola 2, § 3, strany 66-67

Úloha 8. Všetky hrany pravidelného trojuholníkového hranola sú si navzájom rovné. Nájdite objem hranola, ak sa plocha prierezu roviny prechádzajúcej okrajom spodnej základne a stredom strany hornej základne rovná cm (obr. 11).



Kapitola 2, § 3, strana 66-67
Úloha 9. Základňa rovného hranola je štvorec a jeho bočné hrany sú dvakrát väčšie ako strana základne. Vypočítajte objem hranola, ak polomer kružnice opísanej v blízkosti prierezu hranola rovinou prechádzajúcou stranou podstavy a stredom protiľahlej bočnej hrany je rovný cm (obr. 12)



Kapitola 2, § 3, strana 66-67
Problém 14 Základom priameho hranola je kosoštvorec, ktorého jedna z uhlopriečok sa rovná jeho strane. Vypočítajte obvod rezu rovinou prechádzajúcou hlavnou uhlopriečkou spodnej podstavy, ak je objem hranola rovnaký a všetky bočné strany sú štvorce (obr. 13).



Kapitola 2, § 3, strana 66-67
Problém 30 ABCA 1 B 1 C 1 je pravidelný trojuholníkový hranol, ktorého všetky hrany sú si navzájom rovné, bod je stredom hrany BB 1. Vypočítajte polomer kružnice vpísanej do rezu hranola rovinou AOS, ak sa objem hranola rovná (obr. 14).



Kapitola 2, § 3, strana 66-67
Problém 32.V pravidelnom štvorhrannom hranole sa súčet plôch základní rovná ploche bočnej plochy. Vypočítajte objem hranola, ak priemer kružnice opísanej v blízkosti prierezu hranola rovinou prechádzajúcou dvoma vrcholmi spodnej podstavy a protiľahlým vrcholom hornej podstavy je 6 cm (obr. 15).



Pri riešení úloh žiaci porovnávajú svoje odpovede s tými, ktoré ukázal učiteľ. Ide o ukážkové riešenie úlohy s podrobným komentárom... Samostatná práca učiteľa so „silnými“ žiakmi (10 min.).

5. Žiaci pracujú samostatne na teste pri počítači

1. Strana základne pravidelného trojuholníkového hranola je rovná a výška je 5. Nájdite objem hranola.

1) 152) 45 3) 104) 125) 18

2. Vyberte správne tvrdenie.

1) Objem pravého hranolu, ktorého základňa je pravouhlý trojuholník, sa rovná súčinu plochy základne a výšky.

2) Objem pravidelného trojuholníkového hranola vypočítame podľa vzorca V = 0,25a 2 h - kde a je strana podstavy, h je výška hranola.

3) Objem rovného hranola sa rovná polovici súčinu plochy základne a výšky.

4) Objem pravidelného štvorbokého hranola vypočítame podľa vzorca V = a 2 h-kde a je strana podstavy, h je výška hranola.

5) Objem pravidelného šesťhranného hranola vypočítame podľa vzorca V = 1,5a 2 h, kde a je strana podstavy, h je výška hranola.

3. Strana podstavy pravidelného trojuholníkového hranola sa rovná . Cez stranu spodnej základne a protiľahlý vrchol hornej základne je nakreslená rovina, ktorá prechádza pod uhlom 45° k základni. Nájdite objem hranola.

1) 92) 9 3) 4,54) 2,255) 1,125

4. Základom pravého hranola je kosoštvorec, ktorého strana je 13 a jedna z uhlopriečok je 24. Nájdite objem hranola, ak je uhlopriečka bočnej steny 14.

PRIAMY PRIZMUS. POVRCH A OBJEM PRIAMYHO PRIZMU.

§ 68. OBJEM PRIAMYHO PRIZMU.

1. Objem pravého trojuholníkového hranolu.

Predpokladajme, že potrebujeme nájsť objem pravého trojuholníkového hranola, ktorého základná plocha sa rovná S a výška sa rovná h= AA" = = BB" = SS" (nákres 306).

Samostatne nakreslíme podstavu hranola, t. j. trojuholník ABC (obr. 307, a) a postavíme ho na obdĺžnik, pre ktorý nakreslíme priamku KM cez vrchol B || AC az bodov A a C spustíme kolmice AF a CE na túto priamku. Dostaneme obdĺžnik ACEF. Nakreslením výšky ВD trojuholníka ABC vidíme, že obdĺžnik ACEF je rozdelený na 4 pravouhlé trojuholníky. Navyše /\ VŠETKY = /\ BCD a /\ VAF = /\ VAD. To znamená, že plocha obdĺžnika ACEF je dvojnásobkom plochy trojuholníka ABC, t.j. rovná sa 2S.

Na tento hranol s podstavou ABC pripevníme hranoly s podstavcami ALL a BAF a výškou h(Obrázok 307, b). Získame obdĺžnikový rovnobežnosten so základňou
ACEF.

Ak tento hranol rozložíme rovinou prechádzajúcou priamkami BD a BB, uvidíme, že obdĺžnikový hranol pozostáva zo 4 hranolov so základňami
BCD, ALL, BAD a BAF.

Hranoly so základňami BCD a VSE je možné kombinovať, pretože ich základne sú rovnaké ( /\ ВСD = /\ BSE) a ich bočné okraje sú tiež rovnaké, ktoré sú kolmé na rovnakú rovinu. To znamená, že objemy týchto hranolov sú rovnaké. Objemy hranolov so základňami BAD a BAF sú tiež rovnaké.

Ukazuje sa teda, že objem daného trojuholníkového hranolu so základňou
ABC je polovica objemu pravouhlého rovnobežnostena so základňou ACEF.

Vieme, že objem pravouhlého rovnobežnostena sa rovná súčinu plochy jeho základne a jeho výšky, t.j. v tomto prípade sa rovná 2S h. Objem tohto pravého trojuholníkového hranola sa teda rovná S h.

Objem pravého trojuholníkového hranola sa rovná súčinu plochy jeho základne a jeho výšky.

2. Objem pravého polygonálneho hranolu.

Na nájdenie objemu pravého mnohouholníkového hranola, napríklad päťuholníkového, so základnou plochou S a výškou h, rozdeľme ho na trojuholníkové hranoly (obr. 308).

Označením základných plôch trojuholníkových hranolov S 1, S 2 a S 3 a objemu daného mnohouholníkového hranola V dostaneme:

V = S1 h+ S 2 h+ S 3 h, alebo
V = (S1 + S2 + S3) h.

A nakoniec: V = S h.

Rovnakým spôsobom je odvodený vzorec pre objem pravého hranola s ľubovoľným mnohouholníkom na jeho základni.

znamená, Objem akéhokoľvek pravého hranola sa rovná súčinu plochy jeho základne a jeho výšky.

Cvičenia.

1. Vypočítajte objem priameho hranolu s rovnobežníkom na jeho základni pomocou nasledujúcich údajov:

2. Vypočítajte objem priameho hranolu s trojuholníkom na základni pomocou nasledujúcich údajov:

3. Vypočítajte objem priameho hranolu, ktorého základňa má rovnostranný trojuholník so stranou 12 cm (32 cm, 40 cm). Výška hranola 60 cm.

4. Vypočítajte objem priameho hranolu, ktorý má pri základni pravouhlý trojuholník s nohami 12 cm a 8 cm (16 cm a 7 cm; 9 ma 6 m). Výška hranola je 0,3 m.

5. Vypočítajte objem priameho hranolu, ktorý má na základni lichobežník s rovnobežnými stranami 18 cm a 14 cm a výškou 7,5 cm, výška hranola je 40 cm.

6. Vypočítajte objem svojej učebne (hala telesnej výchovy, vaša izba).

7. Celková plocha kocky je 150 cm 2 (294 cm 2, 864 cm 2). Vypočítajte objem tejto kocky.

8. Dĺžka stavebnej tehly je 25,0 cm, šírka 12,0 cm, hrúbka 6,5 ​​cm a) Vypočítajte jej objem, b) Určte jej hmotnosť, ak 1 kubický centimeter tehly váži 1,6 g.

9. Koľko kusov stavebných tehál bude potrebných na vybudovanie pevnej tehlovej steny v tvare pravouhlého kvádra dlhého 12 m, šírky 0,6 m a výšky 10 m? (Rozmery tehál z cvičenia 8.)

10. Dĺžka čisto narezanej dosky je 4,5 m, šírka - 35 cm, hrúbka - 6 cm a) Vypočítajte objem b) Určte jej hmotnosť, ak decimeter kubický dosky váži 0,6 kg.

11. Koľko ton sena možno naskladať do senníka zastrešeného sedlovou strechou (obr. 309), ak dĺžka senníka je 12 m, šírka 8 m, výška 3,5 m a výška hrebeň strechy je 1,5 m? (Zoberte mernú hmotnosť sena ako 0,2.)

12. Je potrebné vykopať priekopu dlhú 0,8 km; v reze má mať priekopa tvar lichobežníka so základňami 0,9 m a 0,4 m a hĺbka priekopy má byť 0,5 m (nákres 310). Koľko metrov kubických zeminy bude potrebné odstrániť?

Rôzne hranoly sa od seba líšia. Zároveň majú veľa spoločného. Ak chcete nájsť oblasť základne hranola, musíte pochopiť, aký typ má.

Všeobecná teória

Hranol je akýkoľvek mnohosten, ktorého strany majú tvar rovnobežníka. Okrem toho môže byť jeho základňou akýkoľvek mnohosten - od trojuholníka po n-uholník. Okrem toho sú základne hranola vždy rovnaké. Čo neplatí pre bočné plochy je, že sa môžu výrazne líšiť vo veľkosti.

Pri riešení problémov sa stretávame nielen s oblasťou základne hranola. Môže to vyžadovať znalosť bočného povrchu, to znamená všetkých plôch, ktoré nie sú základňou. Úplný povrch bude spojením všetkých plôch, ktoré tvoria hranol.

Niekedy sa problémy týkajú výšky. Je kolmá na základne. Uhlopriečka mnohostenu je segment, ktorý v pároch spája ľubovoľné dva vrcholy, ktoré nepatria k tej istej ploche.

Je potrebné poznamenať, že základná plocha rovného alebo nakloneného hranola nezávisí od uhla medzi nimi a bočnými plochami. Ak majú rovnaké čísla na hornej a spodnej strane, ich plochy budú rovnaké.

Trojuholníkový hranol

Vo svojej základni má postavu s tromi vrcholmi, čiže trojuholník. Ako viete, môže to byť inak. Ak áno, stačí si zapamätať, že jeho plocha je určená polovicou súčinu nôh.

Matematický zápis vyzerá takto: S = ½ av.

Na zistenie plochy základne vo všeobecnosti sú užitočné vzorce: Volavka a tá, v ktorej polovicu strany berie výška k nej prikreslená.

Prvý vzorec by mal byť napísaný takto: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). Tento zápis obsahuje polobvod (p), teda súčet troch strán delený dvomi.

Po druhé: S = ½ n a * a.

Ak chcete zistiť oblasť základne trojuholníkového hranola, ktorá je pravidelná, trojuholník sa ukáže ako rovnostranný. Existuje na to vzorec: S = ¼ a 2 * √3.

Štvorhranný hranol

Jeho základňou je ktorýkoľvek zo známych štvoruholníkov. Môže to byť obdĺžnik alebo štvorec, rovnobežnosten alebo kosoštvorec. V každom prípade, na výpočet plochy základne hranola, budete potrebovať svoj vlastný vzorec.

Ak je základňou obdĺžnik, jeho obsah sa určí takto: S = ab, kde a, b sú strany obdĺžnika.

Pokiaľ ide o štvoruholníkový hranol, plocha základne bežného hranola sa vypočíta pomocou vzorca pre štvorec. Pretože práve on leží v základoch. S = a 2.

V prípade, že základňou je rovnobežnosten, bude potrebná nasledujúca rovnosť: S = a * n a. Stáva sa, že je daná strana rovnobežnostena a jeden z uhlov. Potom na výpočet výšky budete musieť použiť ďalší vzorec: n a = b * sin A. Okrem toho uhol A susedí so stranou „b“ a výška n je opačná k tomuto uhlu.

Ak je na základni hranola kosoštvorec, potom na určenie jeho plochy budete potrebovať rovnaký vzorec ako pre rovnobežník (pretože ide o jeho špeciálny prípad). Môžete však použiť aj toto: S = ½ d 1 d 2. Tu d 1 a d 2 sú dve uhlopriečky kosoštvorca.

Pravidelný päťuholníkový hranol

V tomto prípade ide o rozdelenie mnohouholníka na trojuholníky, ktorých oblasti sa dajú ľahšie zistiť. Aj keď sa stáva, že obrazce môžu mať rôzny počet vrcholov.

Keďže základom hranola je pravidelný päťuholník, možno ho rozdeliť na päť rovnostranných trojuholníkov. Potom sa plocha základne hranola rovná ploche jedného takého trojuholníka (vzorec je uvedený vyššie), vynásobenej piatimi.

Pravidelný šesťhranný hranol

Pomocou princípu opísaného pre päťuholníkový hranol je možné rozdeliť šesťuholník podstavy na 6 rovnostranných trojuholníkov. Vzorec pre základnú plochu takéhoto hranola je podobný predchádzajúcemu. Len to treba vynásobiť šiestimi.

Vzorec bude vyzerať takto: S = 3/2 a 2 * √3.

Úlohy

1. Daná pravidelná priamka, jej uhlopriečka je 22 cm, výška mnohostenu je 14 cm.. Vypočítajte plochu základne hranola a celého povrchu.

Riešenie. Základom hranola je štvorec, ale jeho strana nie je známa. Jeho hodnotu zistíte z uhlopriečky štvorca (x), ktorá súvisí s uhlopriečkou hranola (d) a jeho výškou (h). x2 = d2 - n2. Na druhej strane, tento segment „x“ je prepona v trojuholníku, ktorého nohy sa rovnajú strane štvorca. To znamená, že x 2 = a 2 + a 2. Ukazuje sa teda, že a 2 = (d 2 - n 2)/2.

Namiesto d nahraďte číslo 22 a nahraďte „n“ jeho hodnotou - 14, ukáže sa, že strana štvorca je 12 cm. Teraz už len zistite plochu základne: 12 * 12 = 144 cm 2.

Ak chcete zistiť plochu celého povrchu, musíte pridať dvojnásobok základnej plochy a štvornásobok bočnej plochy. Ten možno ľahko nájsť pomocou vzorca pre obdĺžnik: vynásobte výšku mnohostenu a stranu základne. To znamená, že 14 a 12 sa toto číslo bude rovnať 168 cm2. Celková plocha hranola je 960 cm2.

Odpoveď. Plocha základne hranola je 144 cm2. Celková plocha je 960 cm2.

2. Dané Na základni je trojuholník so stranou 6 cm. V tomto prípade je uhlopriečka bočnej plochy 10 cm. Vypočítajte plochy: základňa a bočná plocha.

Riešenie. Keďže hranol je pravidelný, jeho základňou je rovnostranný trojuholník. Preto sa ukáže, že jeho plocha je 6 na druhú, vynásobené ¼ a druhou odmocninou z 3. Jednoduchý výpočet vedie k výsledku: 9√3 cm2. Toto je oblasť jednej základne hranola.

Všetky bočné strany sú rovnaké a sú to obdĺžniky so stranami 6 a 10 cm. Na výpočet ich plochy stačí tieto čísla vynásobiť. Potom ich vynásobte tromi, pretože hranol má presne toľko bočných plôch. Potom sa plocha bočného povrchu rany ukáže na 180 cm2.

Odpoveď. Plochy: základňa - 9√3 cm 2, bočná plocha hranola - 180 cm 2.