Odhad parametrov lineárnej regresie. Regresia v Exceli: rovnica, príklady

Lineárna regresia vedie k nájdeniu rovnice v tvare:

Prvý výraz umožňuje zadať hodnoty daného faktora X vypočítajte teoretické hodnoty výslednej charakteristiky dosadením skutočných hodnôt faktorov do nej. V grafe (obr. 1.2) ležia teoretické hodnoty na priamke, ktorá predstavuje regresnú čiaru.

Konštrukcia lineárnej regresie spočíva v odhade jej parametrov - a a b. Klasický prístup k odhadu parametrov lineárnej regresie je založený na metóde najmenších štvorcov (OLS).

Metóda najmenších štvorcov nám umožňuje získať takéto odhady parametrov A A b, pri ktorej súčet kvadrátov odchýlok skutočných hodnôt pri z teoretickej y x minimum:

Ryža. 1.2.

Na nájdenie minima je potrebné vypočítať parciálne derivácie súčtov (1.4) pre každý z parametrov (a a ft) a priradiť ich k nule:

Po transformácii dostaneme sústavu normálnych rovníc:

V systéme P- veľkosť vzorky, množstvá sa dajú ľahko vypočítať z pôvodných údajov. Riešenie systému pre A A b, dostaneme:

Výraz (1.7) môže byť napísaný v inej forme:

kde cov(x, y) - kovariácia vlastností; су* - rozptyl faktorov X.

Parameter b sa nazýva regresný koeficient. Jeho hodnota zobrazuje priemernú zmenu výsledku so zvýšením faktora o jednu jednotku. Možnosť jasnej ekonomickej interpretácie regresného koeficientu spôsobila, že lineárna párová regresná rovnica je v ekonometrickom výskume celkom bežnou záležitosťou.

Formálne A - význam pri pri x = 0. Ak X nemá a nemôže mať nulovú hodnotu, potom tento výklad voľného termínu A nedáva zmysel. Parameter A najčastejšie nemá ekonomický obsah. Pokusy o ekonomickú interpretáciu môžu viesť k absurdnosti, najmä keď a 0. Interpretovať možno iba znamienko parametra A. Ak a > 0, potom relatívna zmena výsledku nastáva pomalšie ako zmena faktora. Porovnajme tieto relatívne zmeny:

Niekedy sa pre odchýlky od priemeru píše lineárna párová regresná rovnica:

Kde

V tomto prípade sa voľný člen rovná nule, čo sa odráža vo výraze (1.10). Táto skutočnosť vyplýva z geometrických úvah: tá istá priamka (1.3) zodpovedá regresnej rovnici, ale pri odhade regresie v odchýlkach sa počiatok súradníc presunie do bodu so súradnicami (Zc, y). V tomto prípade sa vo výraze (1.8) budú oba súčty rovnať nule, čo bude znamenať rovnosť voľného termínu na nulu. Výrazy (1.7) a (1.9) sú tiež zjednodušené.

Ako príklad uveďme skupinu podnikov vyrábajúcich jeden typ produktu, regresnú závislosť nákladov na výstupe produktu. y = a + bx+ e (tabuľka 1.1).

Systém normálnych rovníc bude mať tvar

Keď to vyriešime, dostaneme A - -5,79, b - 36,84.

Regresná rovnica má tvar

Tabuľka 1.1

Vstupné údaje pre odhad parametrov spárovaného lineárneho modelu

Výstup produktu (x), tisíc jednotiek.	Výrobné náklady (y), miliónov rubľov

Nahradením hodnôt x do regresnej rovnice nájdeme teoretické hodnoty y (posledný stĺpec tabuľky 1.1).

Rozsah A nemá ekonomický zmysel. Ak premenné X A pri vyjadrené ako odchýlky od priemerných úrovní, potom bude regresná čiara na grafe prechádzať počiatkom súradníc. Odhad regresného koeficientu sa nezmení: y" = 36,84x", kde y" = y-y, x" = x-x.

Ako ďalší príklad zvážte spotrebnú funkciu formulára:

kde C je spotreba; pri- príjem; K, L - možnosti.

Táto lineárna regresná rovnica sa zvyčajne používa v spojení so súvahovou rovnicou

kde / je výška investície; G- úspory.

Pre jednoduchosť predpokladajme, že príjem sa vynakladá na spotrebu a investície. Uvažujeme teda o sústave rovníc

Prítomnosť bilančnej rovnosti kladie obmedzenia na hodnotu regresného koeficientu, ktorá nemôže byť väčšia ako jedna, t.j. K 1.

Predpokladajme, že funkcia spotreby je C = 1,9 + 0,65 r.

Regresný koeficient charakterizuje sklon k spotrebe. Ukazuje, že z každých tisíc rubľov príjmu sa na spotrebu minie v priemere 650 rubľov a 350 rubľov. investoval. Ak počítame regresiu veľkosti investície na príjem, t.j. I = a + o, potom bude regresná rovnica ja= -1,9 + 0,35 r. Nie je potrebné ju určovať, pretože je odvodená od spotrebnej funkcie. Regresné koeficienty týchto dvoch rovníc sú spojené rovnosťou 0,65 + 0,35 = 1. Ak je regresný koeficient väčší ako jedna, potom Na spotrebu sa nevynakladá len príjem, ale aj úspory.

Regresný koeficient TO vo funkcii spotreby sa používa na výpočet multiplikátora:

Kde T» 2,86, takže dodatočná investícia je 1 000 rubľov. na dlhé obdobie povedie za rovnakých okolností k dodatočnému príjmu vo výške 2,86 tisíc rubľov.

Pri lineárnej regresii pôsobí lineárny korelačný koeficient ako indikátor tesnej súvislosti G.

Jeho hodnoty sú v medziach: - 1 r 1. Ak 6>0, potom 0 g b 0-1 g 0. Podľa príkladu výpočet výrazu (1.11) dáva g = 0,991, čo znamená veľmi tesnú závislosť výrobných nákladov od objemu produkcie.

Na posúdenie kvality výberu lineárnej funkcie sa koeficient determinácie vypočíta ako druhá mocnina koeficientu lineárnej korelácie. ja 2. Charakterizuje podiel rozptylu výslednej charakteristiky y, vysvetlenej regresiou, na celkovom rozptyle výslednej charakteristiky:

Hodnota 1 – g 2 charakterizuje podiel rozptylu y, spôsobené vplyvom iných faktorov nezohľadnených v modeli.

V príklade g2 = 0,982. Regresná rovnica vysvetľuje 98,2 % rozptylu v y a ostatné faktory predstavujú 1,8 % – ide o zvyškový rozptyl.

Lineárna regresia má široké využitie v ekonometrii vo forme prehľadnej ekonomickej interpretácie jej parametrov. Lineárna regresia vedie k nájdeniu rovnice tvaru

Alebo . (4.6)

Rovnica tvaru umožňuje dané hodnoty faktora X mať teoretické hodnoty výslednej charakteristiky, pričom do nej nahrádzajú skutočné hodnoty faktora X. Na grafe teoretické hodnoty predstavujú regresnú priamku (obr. 4.2).

Ryža. 4.2. Grafický odhad parametrov lineárnej regresie

Konštrukcia lineárnej regresie spočíva v odhade jej parametrov a . Odhady parametrov lineárnej regresie možno nájsť rôznymi metódami. Môžete sa obrátiť na korelačné pole a výberom dvoch bodov na grafe nakresliť cez ne priamku (pozri obr. 4.2). Potom pomocou grafu môžete určiť hodnoty parametrov. Parameter definujeme ako priesečník regresnej priamky s osou a parameter vyhodnotíme na základe sklonu regresnej priamky ako , kde je prírastok výsledku y, faktorový prírastok X, t.j.

Klasický prístup k odhadu parametrov lineárnej regresie je založený na metóda najmenších štvorcov(MNC).

Metóda najmenších štvorcov nám umožňuje získať také odhady parametrov a , pre ktoré je súčet štvorcových odchýlok skutočných hodnôt výslednej charakteristiky (y) z vypočítaného (teoretického) minima:

Inými slovami, z celej množiny čiar je regresná čiara na grafe vybraná tak, aby súčet druhých mocnín vertikálnych vzdialeností medzi bodmi a touto čiarou bol minimálny:

preto

Na nájdenie minima funkcie (4.7) je potrebné vypočítať parciálne derivácie pre každý z parametrov A A b a nastavte ich na nulu.

Označme podľa S, Potom:

Transformáciou tohto systému získame nasledujúci systém normálnych rovníc pre odhad parametrov a:

. (4.8)

Riešením sústavy normálnych rovníc (4.8) buď metódou sekvenčnej eliminácie premenných alebo metódou determinantov zistíme číselné hodnoty požadovaných parametrov a . Môžete použiť nasledujúce hotové vzorce:

. (4.9)

Vzorec (4.9) získame z prvej rovnice sústavy (4.8), ak sú všetky jej členy delené P.

kde je kovariancia funkcií;

Rozmanitosť vlastnosti X.

Vzhľadom na skutočnosť, ,získame nasledujúci vzorec na výpočet odhadu parametra b:

. (4.10)

Parameter sa nazýva regresný koeficient. Jeho hodnota zobrazuje priemernú zmenu výsledku so zmenou faktora o jednu jednotku. Ak teda vo funkcii nákladov (y - náklady (tisíc rubľov), X- počet výrobných jednotiek). Preto s nárastom objemu výroby (X) za 1 jednotku výrobné náklady sa zvyšujú v priemere o 2 000 rubľov, t.j. dodatočné zvýšenie výroby o 1 jednotku. bude vyžadovať zvýšenie nákladov v priemere o 2 000 rubľov.

Možnosť jasnej ekonomickej interpretácie regresného koeficientu spôsobila, že rovnica lineárnej regresie je v ekonometrickom výskume celkom bežnou záležitosťou.

Formálne - význam pri pri X= 0. Ak atribút-faktor nemá a nemôže mať nulovú hodnotu, potom vyššie uvedený výklad voľného termínu nedáva zmysel. Parameter nemusí mať žiadny ekonomický obsah. Pokusy o ekonomickú interpretáciu parametra A môže viesť k absurdnosti, najmä keď < 0.

100 RUR bonus za prvú objednávku

Vyberte typ práce Diplomová práca Práca v kurze Abstrakt Diplomová práca Prax Článok Správa Recenzia Testová práca Monografia Riešenie problémov Podnikateľský plán Odpovede na otázky Kreatívna práca Esej Kresba Eseje Preklad Prezentácie Písanie na stroji Ostatné Zvyšovanie jedinečnosti textu Diplomová práca Laboratórne práce Pomoc online

Zistite si cenu

Pri odhade parametrov regresnej rovnice sa používa metóda najmenších štvorcov (OLS). V tomto prípade sú splnené určité predpoklady týkajúce sa náhodnej zložky, napr. V modeli je náhodná zložka e nepozorovateľná veličina. Po odhadnutí parametrov modelu sa vypočítajú rozdiely medzi skutočnými a teoretickými hodnotami výslednej charakteristiky y , je možné určiť odhady náhodnej zložky. Keďže nejde o skutočné náhodné zvyšky, možno ich považovať za nejakú vzorovú realizáciu neznámeho zvyšku danej rovnice, t.j.

Pri zmene špecifikácie modelu alebo pri pridávaní nových pozorovaní sa môžu vzorové odhady rezíduí ei zmeniť. Úloha regresnej analýzy preto zahŕňa nielen konštrukciu samotného modelu, ale aj štúdium náhodných odchýlok, t.j. reziduálnych hodnôt.

Pri použití Fisherovho a Studentovho testu sa robia predpoklady týkajúce sa správania sa rezíduí ei - rezíduá sú nezávislé náhodné premenné a ich stredná hodnota je 0; majú rovnaký (konštantný) rozptyl a sledujú normálne rozdelenie.

Štatistické testy regresných parametrov a korelačných ukazovateľov sú založené na netestovateľných predpokladoch rozdelenia náhodnej zložky ei. Sú len predbežné. Po zostrojení regresnej rovnice sa prítomnosť

odhaduje ei (náhodné zvyšky) tých vlastností, ktoré sa predpokladali. Je to spôsobené tým, že odhady regresných parametrov musia spĺňať určité kritériá. Musia byť nezaujatí, bohatí a výkonní. Tieto vlastnosti odhadov získaných pomocou OLS majú mimoriadne dôležitý praktický význam pri použití výsledkov regresie a korelácie.

Nezaujatý odhady znamená, že matematické očakávanie zvyškov je nulové. Ak sú odhady nezaujaté, možno ich porovnať v rôznych štúdiách.

Známky sa počítajú efektívne, ak sa vyznačujú najmenším rozptylom. V praktickom výskume to znamená možnosť prechodu od bodového odhadu k intervalovému odhadu.

Bohatstvo odhady sú charakterizované zvyšovaním ich presnosti so zvyšujúcou sa veľkosťou vzorky. Veľký praktický záujem sú tie regresné výsledky, pre ktoré je interval spoľahlivosti očakávanej hodnoty regresného parametra bi má hranicu pravdepodobnosti rovnú jednej. Inými slovami, pravdepodobnosť získania odhadu v danej vzdialenosti od skutočnej hodnoty parametra je blízka jednej.

Špecifikované hodnotiace kritériá (nezaujatosť, konzistentnosť a efektívnosť) sa nevyhnutne zohľadňujú pri rôznych metódach hodnotenia. Metóda najmenších štvorcov vytvára regresné odhady založené na minimalizácii súčtu štvorcov rezíduí. Preto je veľmi dôležité skúmať správanie sa regresných zvyškov ei. Podmienky potrebné na získanie nezaujatých, konzistentných a efektívnych odhadov sú predpokladmi OLS, ktoré sú potrebné na získanie spoľahlivých výsledkov regresie.

Štúdie ei zvyškov zahŕňajú kontrolu prítomnosti nasledujúcich päť priestorov nadnárodných spoločností:

1. náhodný charakter pozostatkov;

2. nulová priemerná hodnota zvyškov, nezávislá od xi;

3. homoskedasticita – rozptyl každej odchýlky ei je rovnaký pre všetky hodnoty x ;

4. absencia autokorelácie rezíduí – hodnoty rezíduí ei sú rozdelené nezávisle na sebe;

5. zvyšky majú normálne rozdelenie.

Ak rozdelenie náhodných zvyškov ei nezodpovedá niektorým predpokladom OLS, potom by sa mal model upraviť.

Najprv sa skontroluje náhodný charakter zvyškov ei - prvý predpoklad OLS. Na tento účel je vykreslený graf závislosti rezíduí ei od teoretických hodnôt výslednej charakteristiky.

Ak sa na grafe získa vodorovný pruh, potom rezíduá ei sú náhodné premenné a metóda najmenších štvorcov je opodstatnená; teoretické hodnoty sa dobre približujú skutočným hodnotám y.

Nasledujúce prípady sú možné, ak ei závisí na že:

1) zvyšky ei nie sú náhodné

2) rezíduá ei nemajú konštantný rozptyl

3) zvyšok ei je systematický.

V týchto prípadoch je potrebné buď použiť inú funkciu, alebo zaviesť ďalšie informácie a prebudovať regresnú rovnicu, kým rezíduá ei nebudú náhodné premenné.

Znamená to druhý predpoklad OLS týkajúci sa nulových priemerných zvyškov . To je možné pre lineárne modely a modely, ktoré sú nelineárne vzhľadom na zahrnuté premenné.

Nezaujatosť odhadov regresných koeficientov získaných pomocou OLS zároveň závisí od nezávislosti náhodných rezíduí a hodnôt x, čo sa študuje aj v rámci súladu s druhým predpokladom OLS. Na tento účel je spolu s prezentovaným grafom závislosti rezíduí ei od teoretických hodnôt výsledného atribútu zostrojený graf závislosti náhodných rezíduí ei od faktorov zahrnutých do regresie xj.

Ak sú zvyšky na grafe umiestnené vo forme vodorovného pruhu, potom sú nezávislé od hodnôt xj. Ak graf ukazuje prítomnosť vzťahu medzi ei a xj, potom je model neadekvátny. Dôvody nedostatočnosti môžu byť rôzne. Je možné, že je porušená tretia premisa OLS a rozptyl rezíduí nie je konštantný pre každú hodnotu faktora xj. Špecifikácia modelu môže byť nesprávna a je potrebné ju zadať

dodatočné výrazy z xj, napríklad . Akumulácia bodov v určitých oblastiach hodnôt xj faktoru naznačuje prítomnosť systematickej chyby v modeli.

Predpoklad normálneho rozdelenia rezíduí umožňuje testovanie regresných a korelačných parametrov pomocou F- a t-testov. Zároveň regresné odhady zistené pomocou OLS majú dobré vlastnosti aj pri absencii normálneho rozdelenia rezíduí, t.j. ak je porušená piata premisa MNC.

Je absolútne nevyhnutné získať konzistentné odhady regresných parametrov pomocou OLS, je splnenie tretieho a štvrtého predpokladu.

Tretí predpoklad OLS vyžaduje, aby bol rozptyl rezíduí homoskedastický. To znamená, že pre každú hodnotu faktora xj rezíduá ei majú rovnaký rozptyl. Ak táto podmienka pre aplikáciu metódy najmenších štvorcov nie je splnená, potom heteroskedasticita. Prítomnosť heteroskedasticity možno jasne vidieť z korelačného poľa:

1. Rozptyl zvyškov sa zvyšuje so zvyšujúcim sa x.

Potom máme nasledujúci typ heteroskedasticity: veľký rozptyl ei pre veľké hodnoty

2. Rozptyl zvyškov dosahuje svoju maximálnu hodnotu pri priemerných hodnotách x a znižuje sa pri minimálnych a maximálnych hodnotách.

Potom máme nasledujúci typ heteroskedasticity: veľký rozptyl ei pre priemerné hodnoty a malý rozptyl ei pre malé a veľké hodnoty

3. Rozptyl zvyškov je maximálny pri malých hodnotách x a rozptyl zvyškov je rovnomerný, keď sa x zvyšuje.

Potom máme nasledujúci typ heteroskedasticity: veľká disperzia ei pre malé hodnoty, klesajúca disperzia zvyškov ei ako

Pri konštrukcii regresných modelov je mimoriadne dôležité dodržať štvrtú premisu OLS – absenciu autokorelácie rezíduí, t.j. hodnoty rezíduí ei sú rozdelené nezávisle od seba.

Autokorelácia rezíduí znamená prítomnosť korelácie medzi rezíduami súčasných a predchádzajúcich (následných) pozorovaní. Korelačný koeficient medzi ei a ej, kde ei sú zvyšky súčasných pozorovaní, ej sú zvyšky predchádzajúcich pozorovaní (napríklad j=i-1), možno definovať ako:

t.j. podľa obvyklého vzorca pre koeficient lineárnej korelácie. Ak sa ukáže, že tento koeficient je výrazne odlišný od nuly, potom sú rezíduá autokorelované a funkcia hustoty pravdepodobnosti F(e) závisí od j - pozorovací bod a z rozdelenia zostatkových hodnôt na iných pozorovacích bodoch.

Absencia autokorelácie reziduálnych hodnôt zabezpečuje konzistentnosť a účinnosť odhadov regresných koeficientov. Dodržať túto premisu OLS je obzvlášť dôležité pri konštrukcii regresných modelov založených na časových radoch, kde v dôsledku prítomnosti trendu nasledujúce úrovne časového radu spravidla závisia od svojich predchádzajúcich úrovní.

Ak nie sú splnené základné predpoklady OLS, je potrebné model upraviť, zmeniť jeho špecifikáciu, pridať (vylúčiť) niektoré faktory, transformovať pôvodné dáta za účelom získania odhadov regresných koeficientov, ktoré majú vlastnosť byť neskreslené, majú nižšiu hodnotu rozptylu rezíduí, a preto poskytujú efektívnejšie štatistické testovanie významnosti regresných parametrov.

Na odhad parametrov regresnej rovnice sa najčastejšie používa metóda najmenších štvorcov. (MNC).

Metóda najmenších štvorcov vytvára odhady, ktoré majú najmenší rozptyl v triede všetkých lineárnych odhadov, ak sú splnené predpoklady normálneho lineárneho regresného modelu.

LSM minimalizuje súčet štvorcových odchýlok pozorovaných hodnôt od hodnôt modelu .

Podľa princípu najmenších štvorcov sa odhady zisťujú minimalizáciou súčtu štvorcov

pre všetky možné hodnoty A pri daných (pozorovaných) hodnotách
.

Aplikáciou metódy najmenších štvorcov získame vzorce na výpočet parametrov párového regresného modelu.

(3)

Takéto riešenie môže existovať len vtedy, ak je splnená podmienka

čo je ekvivalentné rozdielu od nuly determinantu sústavy normálnych rovníc. V skutočnosti sa tento determinant rovná

Posledná podmienka je tzv podmienka identifikovateľnosti pozorovací model, a znamená, že nie všetky hodnoty
zhodovať sa navzájom. Ak je táto podmienka porušená Všetky bodov
, ležia na rovnakej zvislej čiare

Odhady sú tzv odhady najmenších štvorcov . Venujme pozornosť výslednému výrazu pre parameter. Tento výraz zahŕňa súčty štvorcov, ktoré sa predtým podieľali na určovaní rozptylu vzorky

a vzorová kovariancia
takže v týchto podmienkach parameter možno získať nasledovne:

=
=
=

=

Posúdenie kvality regresnej rovnice

Kvalita regresného modelu je spojená s primeranosťou modelu k pozorovaným (empirickým) údajom. Adekvátnosť (alebo zhoda) regresného modelu s pozorovanými údajmi sa kontroluje na základe analýzy rezíduí.

Po zostrojení regresnej rovnice môžeme rozdeliť hodnotu Y v každom pozorovaní na dve zložky - A .

Zvyšok predstavuje odchýlku skutočnej hodnoty závislej premennej od hodnoty tejto premennej, získanú výpočtom:
(
).

V praxi spravidla dochádza k určitému rozptylu bodov korelačného poľa vzhľadom na teoretickú regresnú čiaru, t. j. odchýlky empirických údajov od teoretických (
). Veľkosť týchto odchýlok je základom pre výpočet ukazovateľov kvality (primeranosti) rovnice.

Pri analýze kvality regresného modelu sa používa základná pozícia variančnej analýzy, podľa ktorej celkový súčet kvadrátov odchýlok závislej premennej od strednej hodnoty možno rozložiť na dve zložky – vysvetlené a nevysvetlené rovnicou variančnej regresie:

(4)

Kde - hodnoty r, vypočítané z modelu
.

Rozdelenie pravej a ľavej časti (4) na

,

.

Koeficient determinácie je definovaný nasledovne:

Koeficient determinácie ukazuje podiel variácie vo výslednej charakteristike, ktorý je ovplyvnený skúmanými faktormi, t. j. určuje, aký podiel variácie charakteristiky Y sa berie do úvahy v modeli a je spôsobený vplyvom faktorov na ňu.

Bližšie
na 1, tým vyššia je kvalita modelu.

Na posúdenie kvality regresných modelov je tiež vhodné použiť viacnásobný korelačný koeficient (korelačný index) R

Tento koeficient je univerzálny, pretože odráža blízkosť vzťahu a presnosť modelu a možno ho použiť aj pre akúkoľvek formu spojenia medzi premennými.

Pri konštrukcii jednofaktorového modelu sa rovná koeficientu lineárnej korelácie
.

Je zrejmé, že čím menší je vplyv nezohľadnených faktorov, tým lepšie model zodpovedá skutočným údajom.

Na posúdenie kvality regresných modelov je tiež vhodné použiť priemernú chybu aproximácie:

Čím menší je rozptyl empirických bodov okolo teoretickej regresnej priamky, tým menšia je priemerná chyba aproximácie. Chyba aproximácie menšia ako 7 % naznačuje dobrú kvalitu modelu.

Po zostrojení regresnej rovnice sa skontroluje významnosť zostavenej rovnice ako celku a jednotlivých parametrov.

Posúdenie významnosti regresnej rovnice znamená zistenie, či matematický model vyjadrujúci vzťah medzi Y a X zodpovedá skutočným údajom a či vysvetľujúce premenné X zahrnuté v rovnici sú dostatočné na opísanie závislej premennej Y.

Posúdenie významnosti regresnej rovnice sa robí s cieľom zistiť, či je regresná rovnica vhodná na praktické použitie (napríklad na prognózovanie) alebo nie. Zároveň je predložená hlavná hypotéza o nevýznamnosti rovnice ako celku, ktorá sa formálne redukuje na hypotézu, že regresné parametre sa rovnajú nule, alebo, čo je rovnaké, že koeficient determinácie sa rovná nule. na nulu:
. Alternatívnou hypotézou o význame rovnice je hypotéza o nerovnosti regresných parametrov k nule.

Pre testovanie významnosti modelu používa sa regresia Fisherov F test vypočítaný ako podiel rozptylu pôvodného radu a nezaujatého rozptylu reziduálnej zložky. Ak vypočítaná hodnota s  1 = k a  2 = (n - k - 1) stupňami voľnosti, kde k je počet faktorov zahrnutých do modelu, je väčšia ako tabuľková hodnota na danej hladine významnosti, potom model sa považuje za významný.

Pre párový regresný model:

Ako miery presnosti používa sa neskreslený odhad rozptylu reziduálnej zložky, čo je pomer súčtu štvorcov hladín reziduálnej zložky k hodnote (n-k -1), kde k je počet faktorov zahrnutých do Model. Druhá odmocnina tohto množstva ( ) sa nazýva štandardná chyba :

D Pre párový regresný model