Metóda variácie ľubovoľných konštánt. ODE

Uvažujme teraz o lineárnej nehomogénnej rovnici
. (2)
Nech y 1 ,y 2 ,.., y n je fundamentálny systém riešení a nech je všeobecné riešenie zodpovedajúcej homogénnej rovnice L(y)=0. Podobne ako v prípade rovníc prvého rádu budeme hľadať riešenie rovnice (2) v tvare
. (3)
Uistime sa, že riešenie v tejto podobe existuje. Aby sme to dosiahli, dosadíme funkciu do rovnice. Na dosadenie tejto funkcie do rovnice nájdeme jej derivácie. Prvá derivácia sa rovná
. (4)
Pri výpočte druhej derivácie sa na pravej strane (4) objavia štyri členy, pri výpočte tretej derivácie osem členov atď. Preto je pre uľahčenie ďalších výpočtov prvý člen v (4) nastavený na nulu. Ak to vezmeme do úvahy, druhá derivácia sa rovná
. (5)
Z rovnakých dôvodov ako predtým, aj v (5) nastavíme prvý člen rovný nule. Nakoniec je n-tá derivácia
. (6)
Nahradením získaných hodnôt derivácií do pôvodnej rovnice máme
. (7)
Druhý člen v (7) sa rovná nule, pretože funkcie y j, j=1,2,..,n sú riešeniami zodpovedajúcej homogénnej rovnice L(y)=0. Kombináciou s predchádzajúcim získame systém algebraických rovníc na nájdenie funkcií C" j (x)
(8)
Determinant tejto sústavy je Wronského determinant fundamentálnej sústavy riešení y 1 ,y 2 ,..,y n zodpovedajúcej homogénnej rovnice L(y)=0 a preto sa nerovná nule. V dôsledku toho existuje jedinečné riešenie systému (8). Po jej nájdení dostaneme funkcie C" j (x), j=1,2,…,n, a následne C j (x), j=1,2,…,n Dosadením týchto hodnôt do (3) dostaneme riešenie lineárnej nehomogénnej rovnice.
Prezentovaná metóda sa nazýva metóda variácie ľubovoľnej konštanty alebo Lagrangeova metóda.

Maximálny stupeň derivácie 2 3 4 5 6

Príklad č.1. Nájdite všeobecné riešenie rovnice y"" + 4y" + 3y = 9e -3 x. Uvažujme zodpovedajúcu homogénnu rovnicu y"" + 4y" + 3y = 0. Korene jej charakteristickej rovnice r 2 + 4r + 3 = 0 sa rovná -1 a -3. Preto základný systém riešení homogénnej rovnice pozostáva z funkcií y 1 = e - x a y 2 = e -3 x. Hľadáme riešenie nehomogénnej rovnice v tvare y = C 1 (x)e - x + C 2 (x)e -3 x. Na nájdenie derivátov C" 1 , C" 2 zostavíme sústavu rovníc (8)

riešenie, ktoré nájdeme , Integráciou získaných funkcií máme
Konečne sa dostávame

Príklad č.2. Riešte lineárne diferenciálne rovnice druhého rádu s konštantnými koeficientmi pomocou metódy meniacich sa ľubovoľných konštánt:

y(0) = 1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3

Riešenie:
Táto diferenciálna rovnica sa vzťahuje na lineárne diferenciálne rovnice s konštantnými koeficientmi.
Budeme hľadať riešenie rovnice v tvare y = e rx. Na tento účel zostavíme charakteristickú rovnicu lineárnej homogénnej diferenciálnej rovnice s konštantnými koeficientmi:
r2-6 r + 8 = 0
D = (-6)2 - 418 = 4

Korene charakteristickej rovnice: r 1 = 4, r 2 = 2
V dôsledku toho základný systém riešení pozostáva z funkcií:
y1 = e 4x, y2 = e 2x
Všeobecné riešenie homogénnej rovnice má tvar:

Hľadajte konkrétne riešenie metódou variácie ľubovoľnej konštanty.
Aby sme našli deriváty C" i, zostavíme sústavu rovníc:

C" 1 (4e 4x) + C" 2 (2e 2x) = 4/(2+e -2x)
Vyjadrime C" 1 z prvej rovnice:
C"1 = -c2e-2x
a nahraďte ho druhým. V dôsledku toho dostaneme:
C" 1 = 2/(e 2x +2e 4x)
C" 2 = -2e 2x /(e 2x +2e 4x)
Integrujeme získané funkcie C" i:
C1 = 2ln(e-2x +2) - e-2x + C*1
C2 = ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2

Pretože , potom zapíšeme výsledné výrazy v tvare:
C 1 = (2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2)e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice má teda tvar:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
alebo
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x

Poďme nájsť konkrétne riešenie za podmienky:
y(0) = 1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3

Dosadením x = 0 do nájdenej rovnice dostaneme:
y(0) = 2 ln(3) - 1 + ln(3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln (3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3 ln3
Nájdeme prvú deriváciu získaného všeobecného riešenia:
y’ = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
Nahradením x = 0 dostaneme:
y’(0) = 2(2C1+C2+4ln(3)+ln(3)-2) = 4C1+2C2+10ln(3)-4 = 10ln3

Dostaneme systém dvoch rovníc:
3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3 ln3
4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3
alebo
C*1+C*2=2
4C1 + 2C2 = 4
alebo
C*1+C*2=2
2C1 + C2 = 2
Kde:
C1 = 0, C*2 = 2
Súkromné ​​riešenie bude napísané takto:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + 2 e 2x

Prednáška 44. Lineárne nehomogénne rovnice 2. rádu. Metóda variácie ľubovoľných konštánt. Lineárne nehomogénne rovnice druhého rádu s konštantnými koeficientmi. (špeciálna pravá strana).

Sociálne premeny. Štát a cirkev.

Sociálnu politiku boľševikov do značnej miery diktoval ich triedny prístup. Dekrétom z 10. novembra 1917 bol zničený triedny systém, zrušené predrevolučné hodnosti, tituly a vyznamenania. Bola stanovená voľba sudcov; sa uskutočnila sekularizácia občianskych štátov. Bolo ustanovené bezplatné školstvo a lekárska starostlivosť (výnos z 31. októbra 1918). Ženy dostali rovnaké práva ako muži (dekréty zo 16. a 18. decembra 1917). Dekrét o manželstve zaviedol inštitút civilného sobáša.

Dekrétom Rady ľudových komisárov z 20. januára 1918 bola cirkev oddelená od štátu a od školstva. Väčšina cirkevného majetku bola skonfiškovaná. Patriarcha moskovský a všeruský Tichon (zvolený 5. novembra 1917) 19. januára 1918 anathematizoval sovietsku moc a vyzval na boj proti boľševikom.

Uvažujme lineárnu nehomogénnu rovnicu druhého rádu

Štruktúra všeobecného riešenia takejto rovnice je určená nasledujúcou vetou:

Veta 1. Všeobecné riešenie nehomogénnej rovnice (1) je reprezentované ako súčet nejakého konkrétneho riešenia tejto rovnice a všeobecného riešenia zodpovedajúcej homogénnej rovnice

(2)

Dôkaz. Je potrebné preukázať, že suma

je všeobecné riešenie rovnice (1). Najprv dokážme, že funkcia (3) je riešením rovnice (1).

Dosadenie súčtu do rovnice (1) namiesto pri, bude mať

Keďže existuje riešenie rovnice (2), výraz v prvých zátvorkách je zhodne rovný nule. Keďže existuje riešenie rovnice (1), výraz v druhej zátvorke sa rovná f(x). Preto je rovnosť (4) identita. Prvá časť vety je teda dokázaná.

Dokážme druhé tvrdenie: výraz (3) je všeobecný riešenie rovnice (1). Musíme dokázať, že ľubovoľné konštanty zahrnuté v tomto výraze možno vybrať tak, aby boli splnené počiatočné podmienky:

(5)

nech sú čísla akékoľvek x 0, y 0 a (ak len x 0 bola prevzatá z oblasti, kde funkcie a 1, a 2 A f(x) nepretržité).

Všimnite si, že môže byť zastúpená vo forme . Potom na základe podmienok (5) budeme mať

Poďme vyriešiť tento systém a určiť C 1 A C 2. Prepíšme systém do tvaru:

(6)

Všimnite si, že determinantom tohto systému je Wronského determinant funkcií o 1 A o 2 v bode x = x 0. Keďže tieto funkcie sú lineárne nezávislé podľa podmienky, Wronského determinant sa nerovná nule; preto systém (6) má definitívne riešenie C 1 A C 2, t.j. existujú také významy C 1 A C 2, podľa ktorého vzorec (3) určuje riešenie rovnice (1) spĺňajúce dané počiatočné podmienky. Q.E.D.

Prejdime k všeobecnej metóde hľadania čiastkových riešení nehomogénnej rovnice.

Napíšme všeobecné riešenie homogénnej rovnice (2)

. (7)

Hľadáme konkrétne riešenie nehomogénnej rovnice (1) v tvare (7), berúc do úvahy C 1 A C 2 ako niektoré zatiaľ neznáme funkcie z X.

Rozlišujme rovnosť (7):

Vyberme funkcie, ktoré hľadáte C 1 A C 2 aby platila rovnosť

. (8)

Ak vezmeme do úvahy túto dodatočnú podmienku, potom prvá derivácia bude mať formu

.

Keď teraz tento výraz rozlíšime, zistíme:

Dosadením do rovnice (1) dostaneme

Výrazy v prvých dvoch zátvorkách sa stanú nulou, pretože y 1 A y 2– riešenia homogénnej rovnice. Preto posledná rovnosť nadobúda formu

. (9)

Funkcia (7) teda bude riešením nehomogénnej rovnice (1), ak funkcie C 1 A C 2 spĺňajú rovnice (8) a (9). Vytvorme sústavu rovníc z rovníc (8) a (9).

Keďže determinantom tohto systému je Wronského determinant pre lineárne nezávislé riešenia y 1 A y 2 rovnica (2), potom sa nerovná nule. Preto pri riešení systému nájdeme obe určité funkcie X.

Metóda variácie ľubovoľných konštánt sa používa na riešenie nehomogénnych diferenciálnych rovníc. Táto lekcia je určená tým žiakom, ktorí sa už v danej téme viac či menej orientujú. Ak sa s diaľkovým ovládaním ešte len začínate zoznamovať, t.j. Ak ste čajník, odporúčam začať prvou lekciou: Diferenciálne rovnice prvého rádu. Príklady riešení. A ak už končíte, zahoďte prosím možný predsudok, že metóda je náročná. Pretože je to jednoduché.

V akých prípadoch sa používa metóda variácie ľubovoľných konštánt?

1) Na riešenie možno použiť metódu variácie ľubovoľnej konštanty lineárny nehomogénny DE 1. rádu. Keďže rovnica je prvého rádu, potom je konštanta tiež jedna.

2) Metóda variácie ľubovoľných konštánt sa používa na riešenie niektorých lineárne nehomogénne rovnice druhého rádu. Tu sa líšia dve konštanty.

Je logické predpokladať, že lekcia bude pozostávať z dvoch odsekov... Tak som napísal túto vetu a asi 10 minút som bolestne rozmýšľal, aké ďalšie šikovné svinstvo by som mohol pridať pre plynulý prechod k praktickým ukážkam. Ale z nejakého dôvodu nemám po prázdninách žiadne myšlienky, hoci sa nezdá, že by som niečo zneužil. Preto poďme rovno k prvému odseku.

Metóda variácie ľubovoľnej konštanty
pre lineárnu nehomogénnu rovnicu prvého rádu

Pred zvážením metódy variácie ľubovoľnej konštanty je vhodné oboznámiť sa s článkom Lineárne diferenciálne rovnice prvého rádu. V tej lekcii sme cvičili prvé riešenie nehomogénne 1. rádu DE. Toto prvé riešenie, pripomínam, sa volá náhradná metóda alebo Bernoulliho metóda(nezamieňať s Bernoulliho rovnica!!!)

Teraz sa pozrieme druhé riešenie– metóda variácie ľubovoľnej konštanty. Uvediem len tri príklady, ktoré preberiem z vyššie uvedenej lekcie. Prečo tak málo? Pretože v skutočnosti bude riešenie druhým spôsobom veľmi podobné riešeniu prvým spôsobom. Okrem toho sa podľa mojich pozorovaní metóda variácie ľubovoľných konštánt používa menej často ako metóda náhrady.

Príklad 1

(Odlišuje sa od príkladu č. 2 lekcie Lineárne nehomogénne diferenciálne rovnice 1. rádu)

Riešenie: Táto rovnica je lineárna nehomogénna a má známy tvar:

V prvej fáze je potrebné vyriešiť jednoduchšiu rovnicu:
To znamená, že hlúpo resetujeme pravú stranu a namiesto nej napíšeme nulu.
Rovnica zavolám pomocná rovnica.

V tomto príklade musíte vyriešiť nasledujúcu pomocnú rovnicu:

Pred nami oddeliteľná rovnica, ktorého riešenie (dúfam) už pre vás nie je ťažké:

Takto:
– všeobecné riešenie pomocnej rovnice.

Na druhom kroku vymeníme nejaká konštanta na Teraz neznáma funkcia, ktorá závisí od "x":

Odtiaľ pochádza názov metódy – variujeme konštantu. Alternatívne môže byť konštanta nejaká funkcia, ktorú teraz musíme nájsť.

IN originálny nehomogénna rovnica urobme náhradu:

Nahradíme a do rovnice :

Kontrolný bod - dva výrazy na ľavej strane sa rušia. Ak sa tak nestane, mali by ste hľadať chybu vyššie.

Výsledkom nahradenia bola rovnica so separovateľnými premennými. Oddeľujeme premenné a integrujeme.

Aké požehnanie, exponenti tiež zrušili:

K nájdenej funkcii pridáme „normálnu“ konštantu:

V záverečnej fáze si pamätáme na našu výmenu:

Funkcia sa práve našla!

Takže všeobecné riešenie je:

odpoveď: spoločné rozhodnutie:

Ak si vytlačíte dve riešenia, ľahko si všimnete, že v oboch prípadoch sme našli rovnaké integrály. Jediný rozdiel je v algoritme riešenia.

Teraz niečo zložitejšie, vyjadrím sa aj k druhému príkladu:

Príklad 2

Nájdite všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice
(Odlišuje sa od príkladu č. 8 lekcie Lineárne nehomogénne diferenciálne rovnice 1. rádu)

Riešenie: Zredukujeme rovnicu do tvaru :

Obnovme pravú stranu a vyriešme pomocnú rovnicu:

Všeobecné riešenie pomocnej rovnice:

V nehomogénnej rovnici vykonáme náhradu:

Podľa pravidla diferenciácie produktov:

Nahradíme a do pôvodnej nehomogénnej rovnice:

Dva výrazy na ľavej strane sa rušia, čo znamená, že sme na správnej ceste:

Poďme integrovať po častiach. Chutné písmeno zo vzorca integrácie po častiach je už zahrnuté v riešení, takže používame napríklad písmená „a“ a „be“:

Teraz si spomeňme na výmenu:

odpoveď: spoločné rozhodnutie:

A jeden príklad pre nezávislé riešenie:

Príklad 3

Nájdite konkrétne riešenie diferenciálnej rovnice zodpovedajúce danej počiatočnej podmienke.

,
(Odlišuje sa od príkladu č. 4 lekcie Lineárne nehomogénne diferenciálne rovnice 1. rádu)
Riešenie:
Toto DE je lineárne nehomogénne. Používame metódu variácie ľubovoľných konštánt. Poďme vyriešiť pomocnú rovnicu:

Oddeľujeme premenné a integrujeme:

Spoločné rozhodnutie:
V nehomogénnej rovnici vykonáme náhradu:

Urobme náhradu:

Takže všeobecné riešenie je:

Nájdite konkrétne riešenie zodpovedajúce danej počiatočnej podmienke:

odpoveď: súkromné ​​riešenie:

Riešenie na konci hodiny môže slúžiť ako príklad na dokončenie zadania.

Metóda variácie ľubovoľných konštánt
pre lineárnu nehomogénnu rovnicu druhého rádu
s konštantnými koeficientmi

Často som počul názor, že metóda variácie ľubovoľných konštánt pre rovnicu druhého rádu nie je jednoduchá vec. Predpokladám však nasledovné: s najväčšou pravdepodobnosťou sa mnohým zdá metóda náročná, pretože sa nevyskytuje tak často. V skutočnosti však neexistujú žiadne zvláštne ťažkosti - priebeh rozhodnutia je jasný, transparentný a zrozumiteľný. A krásny.

Pre zvládnutie metódy je žiadúce vedieť riešiť nehomogénne rovnice druhého rádu výberom konkrétneho riešenia na základe tvaru pravej strany. Táto metóda je podrobne popísaná v článku. Nehomogénne DE 2. rádu. Pripomíname, že lineárna nehomogénna rovnica druhého rádu s konštantnými koeficientmi má tvar:

Metóda výberu, o ktorej sme hovorili v predchádzajúcej lekcii, funguje iba v obmedzenom počte prípadov, keď pravá strana obsahuje polynómy, exponenciály, sínusy a kosínusy. Čo však robiť, keď je napríklad vpravo zlomok, logaritmus, dotyčnica? V takejto situácii prichádza na pomoc metóda variácie konštánt.

Príklad 4

Nájdite všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice druhého rádu

Riešenie: Na pravej strane tejto rovnice je zlomok, takže môžeme okamžite povedať, že metóda výberu konkrétneho riešenia nefunguje. Používame metódu variácie ľubovoľných konštánt.

Neexistujú žiadne známky búrky, začiatok riešenia je úplne obyčajný:

nájdeme spoločné rozhodnutie vhodné homogénne rovnice:

Poďme zostaviť a vyriešiť charakteristickú rovnicu:


– získajú sa korene konjugovaného komplexu, takže všeobecné riešenie je:

Venujte pozornosť záznamu všeobecného riešenia - ak existujú zátvorky, otvorte ich.

Teraz urobíme takmer rovnaký trik ako pri rovnici prvého rádu: meníme konštanty a nahrádzame ich neznámymi funkciami. teda všeobecné riešenie nehomogénnych budeme hľadať rovnice v tvare:

Kde - na Teraz neznáme funkcie.

Vyzerá to ako skládka domového odpadu, ale teraz všetko vytriedime.

Neznáme sú deriváty funkcií. Naším cieľom je nájsť derivácie a nájdené derivácie musia spĺňať prvú aj druhú rovnicu systému.

Odkiaľ pochádzajú „Gréci“? Prináša ich bocian. Pozrieme sa na všeobecné riešenie získané skôr a napíšeme:

Poďme nájsť deriváty:

Ľavé časti sú riešené. Čo je napravo?

je pravá strana pôvodnej rovnice, v tomto prípade:

Koeficient je koeficient druhej derivácie:

V praxi takmer vždy a náš príklad nie je výnimkou.

Všetko je jasné, teraz môžete vytvoriť systém:

Systém je zvyčajne vyriešený podľa Cramerových vzorcov pomocou štandardného algoritmu. Jediný rozdiel je v tom, že namiesto čísel máme funkcie.

Poďme nájsť hlavný determinant systému:

Ak ste zabudli, ako sa odhaľuje determinant dva na dva, pozrite si lekciu Ako vypočítať determinant? Odkaz vedie na tabuľu hanby =)

Takže: to znamená, že systém má jedinečné riešenie.

Nájdenie derivátu:

To však nie je všetko, zatiaľ sme našli len derivát.
Samotná funkcia sa obnoví integráciou:

Pozrime sa na druhú funkciu:

Tu pridáme „normálnu“ konštantu

V záverečnej fáze riešenia si pamätáme, v akej forme sme hľadali všeobecné riešenie nehomogénnej rovnice? V takej:

Funkcie, ktoré potrebujete, ste práve našli!

Zostáva len vykonať substitúciu a zapísať odpoveď:

odpoveď: spoločné rozhodnutie:

V zásade mohla odpoveď rozšíriť zátvorky.

Úplná kontrola odpovede sa vykonáva podľa štandardnej schémy, o ktorej sa hovorilo v lekcii. Nehomogénne DE 2. rádu. Overenie však nebude jednoduché, pretože je potrebné nájsť dosť ťažké deriváty a vykonať ťažkopádnu substitúciu. To je nepríjemná vlastnosť, keď riešite takéto difúzory.

Príklad 5

Vyriešte diferenciálnu rovnicu zmenou ľubovoľných konštánt

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. V skutočnosti je na pravej strane aj zlomok. Zapamätajme si trigonometrický vzorec, mimochodom, bude potrebné ho použiť pri riešení.

Metóda variácie ľubovoľných konštánt je najuniverzálnejšia metóda. Dokáže vyriešiť akúkoľvek rovnicu, ktorá sa dá vyriešiť spôsob výberu konkrétneho riešenia na základe tvaru pravej strany. Vynára sa otázka: prečo aj tam nepoužiť metódu variácie ľubovoľných konštánt? Odpoveď je zrejmá: výber konkrétneho riešenia, o ktorom sa diskutovalo v triede Nehomogénne rovnice druhého rádu, výrazne zrýchli riešenie a skráti záznam - žiadne trápenie s determinantmi a integrálmi.

Pozrime sa na dva príklady s Cauchy problém.

Príklad 6

Nájdite konkrétne riešenie diferenciálnej rovnice zodpovedajúce daným počiatočným podmienkam

,

Riešenie: Zlomok a exponent sú opäť na zaujímavom mieste.
Používame metódu variácie ľubovoľných konštánt.

nájdeme spoločné rozhodnutie vhodné homogénne rovnice:



– získajú sa rôzne skutočné korene, takže všeobecné riešenie je:

Všeobecné riešenie nehomogénnych hľadáme rovnice v tvare: , kde – na Teraz neznáme funkcie.

Vytvorme si systém:

V tomto prípade:
,
Hľadanie derivátov:
,

Takto:

Poďme vyriešiť systém pomocou Cramerových vzorcov:
, čo znamená, že systém má jedinečné riešenie.

Funkciu obnovíme integráciou:

Používa sa tu metóda subsumovania funkcie pod diferenciálne znamienko.

Obnovíme druhú funkciu integráciou:

Tento integrál je vyriešený variabilná náhradná metóda:

Zo samotnej výmeny vyjadrujeme:

Takto:

Tento integrál možno nájsť metóda kompletnej štvorcovej extrakcie, ale v príkladoch s difúzormi preferujem rozšírenie frakcie metóda neurčených koeficientov:

Našli sa obe funkcie:

Výsledkom je, že všeobecné riešenie nehomogénnej rovnice je:

Poďme nájsť konkrétne riešenie, ktoré spĺňa počiatočné podmienky .

Technicky sa hľadanie riešenia uskutočňuje štandardným spôsobom, o ktorom sa hovorilo v článku Nehomogénne diferenciálne rovnice druhého rádu.

Počkajte, teraz nájdeme derivát nájdeného všeobecného riešenia:

To je taká hanba. Nie je potrebné to zjednodušovať, jednoduchšie je okamžite vytvoriť systém rovníc. Podľa počiatočných podmienok :

Nahraďte nájdené hodnoty konštánt k vseobecnemu rieseniu:

V odpovedi môžu byť logaritmy trochu zabalené.

odpoveď: súkromné ​​riešenie:

Ako vidíte, ťažkosti môžu nastať v integráloch a deriváciách, ale nie v algoritme samotnej metódy variácie ľubovoľných konštánt. Nie ja som ťa zastrašil, je to všetko Kuznecovova zbierka!

Pre relax posledný, jednoduchší príklad, ako to vyriešiť sami:

Príklad 7

Vyriešte Cauchyho problém

,

Príklad je jednoduchý, ale kreatívny, keď vytvárate systém, pred rozhodnutím si ho pozorne prezrite ;-),




V dôsledku toho je všeobecné riešenie:

Nájdite konkrétne riešenie zodpovedajúce počiatočným podmienkam .



Nahraďte nájdené hodnoty konštánt do všeobecného riešenia:

odpoveď: súkromné ​​riešenie:

Prejdime k úvahe o lineárnych nehomogénnych diferenciálnych rovniciach tvaru

Kde - požadovaná funkcia argumentu a funkcie



sú dané a pokračujú v určitom intervale
.

Uvažujme lineárnu homogénnu rovnicu, ktorej ľavá strana sa zhoduje s ľavou stranou nehomogénnej rovnice (2.31),

Zavolá sa rovnica tvaru (2.32). homogénna rovnica zodpovedajúca nehomogénnej rovnici (2.31).

O štruktúre všeobecného riešenia nehomogénnej lineárnej rovnice (2.31) platí nasledujúca veta.

Veta 2.6. Všeobecné riešenie lineárnej nehomogénnej rovnice (2.31) v oblasti

je súčet ľubovoľného jeho konkrétneho riešenia a všeobecného riešenia zodpovedajúcej homogénnej rovnice (2.32) v obore (2.33), t.j.

Kde - partikulárne riešenie rovnice (2.31),
je fundamentálny systém riešení homogénnej rovnice (2.32), a
- ľubovoľné konštanty.

Dôkaz tejto vety nájdete v.

Na príklade diferenciálnej rovnice druhého rádu načrtneme metódu, pomocou ktorej možno nájsť konkrétne riešenie lineárnej nehomogénnej rovnice. Táto metóda sa nazýva Lagrangeova metóda variácie ľubovoľných konštánt.

Dostaňme teda nehomogénnu lineárnu rovnicu

(2.35)

kde sú koeficienty
a pravú stranu
nepretržite v nejakom intervale
.

Označme podľa
A
základný systém riešení homogénnej rovnice

(2.36)

Potom má jeho všeobecné riešenie tvar

(2.37)

Kde A - ľubovoľné konštanty.

Budeme hľadať riešenie rovnice (2.35) v rovnakom tvare , ako aj všeobecné riešenie zodpovedajúcej homogénnej rovnice, nahradenie ľubovoľných konštánt niektorými diferencovateľnými funkciami (meníme ľubovoľné konštanty), tie.

Kde
A
- niektoré odlíšiteľné funkcie od , ktoré sú zatiaľ neznáme a ktoré sa pokúsime určiť tak, aby funkcia (2.38) bola riešením nehomogénnej rovnice (2.35). Diferencovaním oboch strán rovnosti (2.38) dostaneme

Takže pri výpočte deriváty druhého rádu
A
, požadujeme to všade v
podmienka bola splnená

Potom pre bude mať

Vypočítajme druhú deriváciu

Nahradenie výrazov za ,,z (2.38), (2.40), (2.41) do rovnice (2.35) dostaneme

Výrazy v hranatých zátvorkách sa rovnajú nule všade
, pretože A - čiastkové riešenia rovnice (2.36). V tomto prípade bude mať (2.42) tvar Spojením tejto podmienky s podmienkou (2.39) dostaneme sústavu rovníc na určenie
A

(2.43)

Posledným systémom je systém dvoch algebraických lineárnych nehomogénnych rovníc vzhľadom na
A
. Determinant tohto systému je Wronského determinant pre fundamentálny systém riešení ,a preto je všade inde nenulový
. To znamená, že systém (2.43) má jedinečné riešenie. Vyriešiť to akýmkoľvek spôsobom relatívne
,
nájdeme

Kde
A
- známe funkcie.

Vykonávanie integrácie a zohľadnenie toho, že ako
,
mali by sme vziať jeden pár funkcií a nastaviť integračné konštanty na nulu. Dostaneme

Dosadením výrazov (2.44) do vzťahov (2.38) môžeme zapísať požadované riešenie nehomogénnej rovnice (2.35) v tvare

Túto metódu možno zovšeobecniť na nájdenie konkrétneho riešenia lineárnej nehomogénnej rovnice - poradie.

Príklad 2.6. Vyriešte rovnicu
pri
ak funkcie

tvoria základný systém riešení zodpovedajúcej homogénnej rovnice.

Poďme nájsť konkrétne riešenie tejto rovnice. Aby sme to dosiahli, v súlade s Lagrangeovou metódou musíme najskôr vyriešiť systém (2.43), ktorý má v našom prípade tvar
Zníženie oboch strán každej rovnice o dostaneme

Odčítaním prvej rovnice po členoch od druhej rovnice zistíme
a potom z prvej rovnice vyplýva
Budeme musieť vykonať integráciu a nastaviť integračné konštanty na nulu

Konkrétne riešenie tejto rovnice môže byť reprezentované ako

Všeobecné riešenie tejto rovnice má tvar

Kde A - ľubovoľné konštanty.

Na záver si všimnime jednu pozoruhodnú vlastnosť, ktorá sa často nazýva princíp superpozície riešení a popisuje ju nasledujúca veta.

Veta 2.7. Ak medzi tým
funkciu
- partikulárne riešenie funkcie rovnice
konkrétnym riešením rovnice na rovnakom intervale je funkcia
existuje konkrétne riešenie rovnice