Rovnica x2 y2. Riešenie rovníc v dvoch premenných

1. Sústavy lineárnych rovníc s parametrom

Sústavy lineárnych rovníc s parametrom sa riešia rovnakými základnými metódami ako obyčajné sústavy rovníc: substitučnou metódou, metódou sčítania rovníc a grafickou metódou. Znalosť grafickej interpretácie lineárnych systémov uľahčuje odpoveď na otázku o počte koreňov a ich existencii.

Príklad 1

Nájdite všetky hodnoty pre parameter a, pre ktorý systém rovníc nemá riešenia.

(x + (a 2 – 3)y = a,
(x + y = 2.

Riešenie.

Pozrime sa na niekoľko spôsobov riešenia tejto úlohy.

1 spôsob. Použijeme vlastnosť: sústava nemá riešenia, ak sa pomer koeficientov pred x rovná pomeru koeficientov pred y, ale nerovná sa pomeru voľných členov (a/a 1 = b /b 1 ≠ c/c 1). Potom máme:

1/1 = (a 2 – 3)/1 ≠ a/2 alebo systém

(a 2 – 3 = 1,
(a ≠ 2.

Z prvej rovnice a 2 = 4 teda pri zohľadnení podmienky a ≠ 2 dostaneme odpoveď.

Odpoveď: a = -2.

Metóda 2. Riešime substitučnou metódou.

(2 – y + (a 2 – 3)y = a,
(x = 2 – y,

((a 2 – 3)y – y = a – 2,
(x = 2 – y.

Po odstránení spoločného faktora y zo zátvoriek v prvej rovnici dostaneme:

((a 2 – 4)y = a – 2,
(x = 2 – y.

Systém nemá riešenia, ak prvá rovnica nemá riešenia, tj

(a 2 – 4 = 0,
(a – 2 ≠ 0.

Je zrejmé, že a = ±2, ale ak vezmeme do úvahy druhú podmienku, odpoveď prichádza iba so zápornou odpoveďou.

odpoveď: a = -2.

Príklad 2

Nájdite všetky hodnoty pre parameter a, pre ktorý má sústava rovníc nekonečný počet riešení.

(8x + ay = 2,
(ax + 2y = 1.

Riešenie.

Podľa vlastnosti, ak je pomer koeficientov x a y rovnaký a rovný pomeru voľných členov sústavy, potom má sústava nekonečný počet riešení (t.j. a/a 1 = b/ b1 = c/c 1). Preto 8/a = a/2 = 2/1. Pri riešení každej z výsledných rovníc zistíme, že a = 4 je odpoveďou v tomto príklade.

odpoveď: a = 4.

2. Sústavy racionálnych rovníc s parametrom

Príklad 3

(3|x| + y = 2,
(|x| + 2y = a.

Riešenie.

Vynásobme prvú rovnicu systému 2:

(6|x| + 2y = 4,
(|x| + 2y = a.

Odčítaním druhej rovnice od prvej dostaneme 5|x| = 4 – a. Táto rovnica bude mať jedinečné riešenie pre a = 4. V ostatných prípadoch bude mať táto rovnica dve riešenia (pre a< 4) или ни одного (при а > 4).

Odpoveď: a = 4.

Príklad 4.

Nájdite všetky hodnoty parametra a, pre ktoré má systém rovníc jedinečné riešenie.

(x + y = a,
(y – x 2 = 1.

Riešenie.

Tento systém budeme riešiť pomocou grafickej metódy. Grafom druhej rovnice systému je teda parabola zdvihnutá pozdĺž osi Oy nahor o jeden jednotkový segment. Prvá rovnica určuje množinu priamok rovnobežných s priamkou y = -x (obrázok 1). Z obrázku je jasne vidieť, že systém má riešenie, ak sa priamka y = -x + a dotýka paraboly v bode so súradnicami (-0,5, 1,25). Nahradením týchto súradníc do rovnice priamky namiesto x a y nájdeme hodnotu parametra a:

1,25 = 0,5 + a;

Odpoveď: a = 0,75.

Príklad 5.

Substitučnou metódou zistite, pri akej hodnote parametra a má systém unikátne riešenie.

(ax – y = a + 1,
(ax + (a + 2) y = 2.

Riešenie.

Z prvej rovnice vyjadríme y a dosadíme ho do druhej:

(y = ax – a – 1,
(ax + (a + 2) (ax – a – 1) = 2.

Zredukujme druhú rovnicu na tvar kx = b, ktorá bude mať jednoznačné riešenie pre k ≠ 0. Máme:

ax + a 2 x – a 2 – a + 2ax – 2a – 2 = 2;

a 2 x + 3ax = 2 + a 2 + 3a + 2.

Štvorcový trojčlen a 2 + 3a + 2 predstavujeme ako súčin zátvoriek

(a + 2) (a + 1) a naľavo vyberieme x zo zátvoriek:

(a 2 + 3a) x = 2 + (a + 2) (a + 1).

Je zrejmé, že a 2 + 3a by sa nemalo rovnať nule, preto

a 2 + 3a ≠ 0, a(a + 3) ≠ 0, čo znamená a ≠ 0 a ≠ -3.

odpoveď: a ≠ 0; ≠ -3.

Príklad 6.

Pomocou metódy grafického riešenia určite, pri akej hodnote parametra a má systém jedinečné riešenie.

(x 2 + y 2 = 9,
(y – |x| = a.

Riešenie.

Na základe podmienky zostrojíme kružnicu so stredom v počiatku a polomerom 3 jednotkových úsečiek, čo určuje prvá rovnica sústavy.

x 2 + y 2 = 9. Druhá rovnica sústavy (y = |x| + a) je prerušovaná čiara. Používaním obrázok 2 Zvažujeme všetky možné prípady jeho umiestnenia vzhľadom na kruh. Je ľahké vidieť, že a = 3.

Odpoveď: a = 3.

Stále máte otázky? Neviete, ako riešiť sústavy rovníc?
Ak chcete získať pomoc od tútora, zaregistrujte sa.
Prvá lekcia je zadarmo!

webová stránka, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti je potrebný odkaz na zdroj.

Inštrukcie

Substitučná metódaVyjadrite jednu premennú a dosaďte ju do inej rovnice. Môžete vyjadriť akúkoľvek premennú podľa vlastného uváženia. Vyjadrite napríklad y z druhej rovnice:
x-y=2 => y=x-2Potom dosaďte všetko do prvej rovnice:
2x+(x-2)=10 Presuňte všetko bez „x“ na pravú stranu a vypočítajte:
2x+x=10+2
3x=12 Ďalej, ak chcete získať x, vydeľte obe strany rovnice 3:
x = 4. Takže ste našli „x. Nájdite „y. Za týmto účelom nahraďte „x“ do rovnice, z ktorej ste vyjadrili „y“:
y=x-2=4-2=2
y=2.

Vykonajte kontrolu. Za týmto účelom nahraďte výsledné hodnoty do rovníc:
2*4+2=10
4-2=2
Neznáme boli nájdené správne!

Spôsob sčítania alebo odčítania rovníc Okamžite sa zbavte akejkoľvek premennej. V našom prípade je to jednoduchšie urobiť s „y.
Keďže v rovnici „y“ má znamienko „+“ a v druhom „-“, môžete vykonať operáciu sčítania, t.j. zložte ľavú stranu ľavou stranou a pravú stranu pravou:
2x+y+(x-y)=10+2Konvertovať:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4Nahraďte „x“ do ľubovoľnej rovnice a nájdite „y“:
2*4+y=10
8 + y = 10
y=10-8
y=2 Pomocou 1. metódy môžete skontrolovať, či sú korene nájdené správne.

Ak neexistujú jasne definované premenné, potom je potrebné mierne transformovať rovnice.
V prvej rovnici máme „2x“ a v druhej máme jednoducho „x“. Ak chcete znížiť x pri pridávaní alebo odčítaní, vynásobte druhú rovnicu 2:
x-y=2
2x-2y=4Potom odčítajte druhú od prvej rovnice:
2x+y-(2x-2y)=10-4 Všimnite si, že ak je pred zátvorkou mínus, potom po otvorení zmeňte znamienka na opačné:
2x+y-2x+2y=6
3u=6
nájdite y=2x vyjadrením z ľubovoľnej rovnice, t.j.
x=4

Video k téme

Pri riešení diferenciálnych rovníc nie je argument x (alebo čas t vo fyzikálnych úlohách) vždy explicitne dostupný. Napriek tomu ide o zjednodušený špeciálny prípad špecifikácie diferenciálnej rovnice, ktorý často pomáha zjednodušiť hľadanie jej integrálu.

Inštrukcie

Uvažujme fyzikálny problém, ktorého výsledkom je diferenciálna rovnica, v ktorej chýba argument t. Ide o problém kmitania hmoty m zavesenej na závite dĺžky r umiestnenom vo vertikálnej rovine. Pohybová rovnica kyvadla je potrebná, ak bolo pôvodne nehybné a vychýlené z rovnovážneho stavu o uhol α. Sily treba zanedbať (pozri obr. 1a).

Riešenie. Matematické kyvadlo je hmotný bod zavesený na beztiažovej a neroztiahnuteľnej nite v bode O. Na bod pôsobia dve sily: tiažová sila G=mg a ťahová sila nite N. Obe tieto sily ležia vo vertikálnej rovine. . Preto na vyriešenie problému môžete použiť rovnicu rotačného pohybu bodu okolo vodorovnej osi prechádzajúcej bodom O. Rovnica rotačného pohybu telesa má tvar znázornený na obr. 1b. V tomto prípade I je moment zotrvačnosti hmotného bodu; j je uhol natočenia závitu spolu s bodom, meraný od zvislej osi proti smeru hodinových ručičiek; M je moment síl pôsobiacich na hmotný bod.

Vypočítajte tieto hodnoty. I = mr^2, M=M(G)+M(N). Ale M(N)=0, keďže čiara pôsobenia sily prechádza bodom O. M(G)=-mgrsinj. Znamienko „-“ znamená, že moment sily smeruje v smere opačnom k ​​pohybu. Dosaďte moment zotrvačnosti a moment sily do pohybovej rovnice a získajte rovnicu znázornenú na obr. 1 s. Zmenšením hmoty vzniká vzťah (pozri obr. 1d). Nie je tu žiadny argument.

Riešenie rovníc v celých číslach je jedným z najstarších matematických problémov. Už na začiatku 2. tisícročia pred Kr. e. Babylončania vedeli riešiť sústavy takýchto rovníc s dvoma premennými. Najväčší rozkvet dosiahla táto oblasť matematiky v starovekom Grécku. Naším hlavným zdrojom je Diophantusova aritmetika, ktorá obsahuje rôzne typy rovníc. Diophantus (po jeho mene je názov rovníc Diofantínske rovnice) v nej anticipuje množstvo metód na štúdium rovníc 2. a 3. stupňa, ktoré sa vyvinuli až v 19. storočí.

Najjednoduchšie diofantické rovnice sú ax + y = 1 (rovnica s dvoma premennými, prvý stupeň) x2 + y2 = z2 (rovnica s tromi premennými, druhý stupeň)

Najrozsiahlejšie boli preštudované algebraické rovnice, ktorých riešenie bolo jedným z najdôležitejších problémov algebry v 16. a 17. storočí.

Začiatkom 19. storočia práce P. Fermata, L. Eulera, K. Gaussa skúmali diofantínsku rovnicu v tvare: ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, kde a, b, c , d, e, f sú čísla; x, y neznámych premenných.

Toto je rovnica 2. stupňa s dvoma neznámymi.

K. Gauss vypracoval všeobecnú teóriu kvadratických foriem, ktorá je základom riešenia určitých typov rovníc s dvoma premennými (diofantínske rovnice). Existuje veľké množstvo špecifických diofantínových rovníc, ktoré možno vyriešiť pomocou elementárnych metód. /p>

Teoretický materiál.

V tejto časti práce budú popísané základné matematické pojmy, definované pojmy a formulovaná expanzná veta metódou neurčitých koeficientov, ktoré boli študované a uvažované pri riešení rovníc s dvoma premennými.

Definícia 1: Rovnica tvaru ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, kde a, b, c, d, e, f sú čísla; x, y neznámych premenných sa nazýva rovnica druhého stupňa s dvoma premennými.

V školskom kurze matematiky sa študuje kvadratická rovnica ax2 + bx + c = 0, kde a, b, c čísla x je premenná s jednou premennou. Existuje mnoho spôsobov, ako vyriešiť túto rovnicu:

1. Hľadanie koreňov pomocou diskriminantu;

2. Nájdenie koreňov pre párny koeficient v (podľa D1=);

3. Hľadanie koreňov pomocou Vietovej vety;

4. Hľadanie koreňov izoláciou dokonalého štvorca dvojčlenu.

Riešenie rovnice znamená nájsť všetky jej korene alebo dokázať, že neexistujú.

Definícia 2: Koreň rovnice je číslo, ktoré po dosadení do rovnice tvorí skutočnú rovnosť.

Definícia 3: Riešenie rovnice s dvoma premennými sa nazýva dvojica čísel (x, y), po dosadení do rovnice sa zmení na skutočnú rovnosť.

Proces hľadania riešení rovnice veľmi často pozostáva z nahradenia rovnice ekvivalentnou rovnicou, ktorá je však jednoduchšia na riešenie. Takéto rovnice sa nazývajú ekvivalentné.

Definícia 4: Dve rovnice sa považujú za ekvivalentné, ak každé riešenie jednej rovnice je riešením druhej rovnice a naopak a obe rovnice sa považujú za rovnaké.

Na riešenie rovníc s dvoma premennými použite vetu o rozklade rovnice na súčet úplných štvorcov (metódou neurčitých koeficientov).

Pre rovnicu druhého rádu ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 (1) nastáva expanzia a(x + py + q)2 + r(y + s)2 + h (2).

Formulujme podmienky, za ktorých dochádza k expanzii (2) pre rovnicu (1) dvoch premenných.

Veta: Ak koeficienty a, b, c rovnice (1) spĺňajú podmienky a0 a 4ab – c20, potom je expanzia (2) určená jednoznačným spôsobom.

Inými slovami, rovnicu (1) s dvoma premennými možno redukovať do tvaru (2) pomocou metódy neurčitých koeficientov, ak sú splnené podmienky vety.

Pozrime sa na príklade implementácie metódy neurčitých koeficientov.

METÓDA č.1. Riešte rovnicu metódou neurčitých koeficientov

2x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.

1. Skontrolujme splnenie podmienok vety, a=2, b=1, c=2, čo znamená a=2,4av – c2= 4∙2∙1- 22= 40.

2. Podmienky vety sú splnené, možno ich rozšíriť podľa vzorca (2).

3. 2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 2(x + py + q)2 + r(y + s)2 +h, na základe podmienok vety sú obe časti identity ekvivalentné. Zjednodušme pravú stranu identity.

4. 2(x + py + q)2 + r(y + s)2 + h =

2(x2+ p2y2 + q2 + 2pxy + 2pqy + 2qx) + r(y2 + 2sy + s2) + h =

2x2+ 2p2y2 + 2q2 + 4pxy + 4pqy + 4qx + ry2 + 2rsy + rs2 + h =

X2(2) + y2(2p2 + r) + xy(4p) + x(4q) + y(4pq + 2rs) + (2q2 + rs2 + h).

5. Koeficienty pre identické premenné zrovnáme s ich mocninami.

x2 2 = 2 y21 = 2p2 + r) xy2 = 4p x2 = 4q y0 = 4pq + 2rs x01 = 2q2 + rs2 + h

6. Získame sústavu rovníc, vyriešime ju a nájdeme hodnoty koeficientov.

7. Dosaďte koeficienty do (2), rovnica bude mať tvar

2x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 2(x + 0,5y + 0,5)2 + 0,5(y -1)2 +0

Pôvodná rovnica je teda ekvivalentná rovnici

2(x + 0,5y + 0,5)2 + 0,5(y -1)2 = 0 (3), táto rovnica je ekvivalentná sústave dvoch lineárnych rovníc.

Odpoveď: (-1; 1).

Ak si dáte pozor na typ expanzie (3), všimnete si, že je vo forme identický s izoláciou celého štvorca z kvadratickej rovnice s jednou premennou: ax2 + inx + c = a(x +)2 +.

Aplikujme túto techniku ​​pri riešení rovnice s dvoma premennými. Vyriešme výberom úplného štvorca kvadratickú rovnicu s dvoma premennými, ktorá už bola vyriešená pomocou vety.

METÓDA č.2: Riešte rovnicu 2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.

Riešenie: 1. Predstavme si 2x2 ako súčet dvoch členov x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.

2. Zoskupme pojmy tak, aby sme ich mohli zložiť pomocou vzorca úplného štvorca.

(x2 + y2 + 2xy) + (x2 + 2x +1) = 0.

3. Vyberte celé štvorce z výrazov v zátvorkách.

(x + y)2 + (x + 1)2 = 0.

4. Táto rovnica je ekvivalentná sústave lineárnych rovníc.

Odpoveď: (-1;1).

Ak porovnáte výsledky, zistíte, že rovnica riešená metódou č. 1 pomocou vety a metódou neurčitých koeficientov a rovnica riešená metódou č. 2 extrakciou úplného štvorca majú rovnaké korene.

Záver: Kvadratická rovnica s dvoma premennými môže byť rozšírená na súčet štvorcov dvoma spôsobmi:

➢ Prvou metódou je metóda neurčitých koeficientov, ktorá je založená na vete a expanzii (2).

➢ Druhým spôsobom je použitie transformácií identity, ktoré vám umožňujú vybrať postupne kompletné štvorce.

Pri riešení problémov je samozrejme výhodnejšia druhá metóda, pretože nevyžaduje zapamätanie rozšírenia (2) a podmienok.

Túto metódu možno použiť aj pre kvadratické rovnice s tromi premennými. Izolácia dokonalého štvorca v takýchto rovniciach je náročnejšia na prácu. Tento typ transformácie budem robiť budúci rok.

Je zaujímavé, že funkcia, ktorá má tvar: f(x,y) = ax2 + vxy + cy2 + dx + ey + f, sa nazýva kvadratická funkcia dvoch premenných. Kvadratické funkcie hrajú dôležitú úlohu v rôznych odvetviach matematiky:

V matematickom programovaní (kvadratické programovanie)

V lineárnej algebre a geometrii (kvadratické formy)

V teórii diferenciálnych rovníc (redukcia lineárnej rovnice druhého rádu na kanonickú formu).

Pri riešení týchto rôznych problémov je v podstate potrebné použiť postup izolácie úplného štvorca z kvadratickej rovnice (jedna, dve alebo viac premenných).

Čiary, ktorých rovnice sú opísané kvadratickou rovnicou dvoch premenných, sa nazývajú krivky druhého rádu.

Toto je kruh, elipsa, hyperbola.

Pri konštrukcii grafov týchto kriviek sa používa aj metóda sekvenčnej izolácie celého štvorca.

Pozrime sa na konkrétnych príkladoch, ako funguje metóda sekvenčného výberu celého štvorca.

Praktická časť.

Riešte rovnice pomocou metódy postupnej izolácie celého štvorca.

1. 2x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0; x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0;

(x + 1)2 + (x + y)2 = 0;

Odpoveď: (-1; 1).

2. x2 + 5y2 + 2xy + 4y + 1 = 0; x2 + 4y2 + y2 + 2xy + 4y + 1 = 0;

(x + y)2 + (2y + 1)2 = 0;

Odpoveď: (0,5; - 0,5).

3. 3x2 + 4y2 - 6xy - 2y + 1 = 0;

3x2 + 3y2 + y2 – 6xy – 2y +1 = 0;

3x2 +3y2 – 6xy + y2 –2y +1 = 0;

3(x2 - 2xy + y2) + y2 - 2y + 1 = 0;

3(x2 - 2xy + y2) + (y2 - 2y + 1) = 0;

3(x-y)2 + (y-1)2 = 0;

Odpoveď: (-1; 1).

Riešte rovnice:

1. 2x2 + 3y2 – 4xy + 6y +9 =0

(zmenšiť na tvar: 2(x-y)2 + (y +3)2 = 0)

Odpoveď: (-3; -3)

2. – 3x2 – 2y2 – 6xy –2y + 1=0

(zmenšiť na tvar: -3(x+y)2 + (y –1)2= 0)

Odpoveď: (-1; 1)

3. x2 + 3y2+2xy + 28y +98 =0

(zmenšiť na tvar: (x+y)2 +2(y+7)2 =0)

Odpoveď: (7; -7)

Záver.

V tejto vedeckej práci sa študovali rovnice s dvoma premennými druhého stupňa a zvažovali sa metódy ich riešenia. Úloha bola dokončená, bol sformulovaný a opísaný kratší spôsob riešenia, založený na izolácii úplného štvorca a nahradení rovnice ekvivalentným systémom rovníc, výsledkom čoho je postup hľadania koreňov rovnice s dvoma premennými. boli zjednodušené.

Dôležitým bodom práce je, že uvažovaná technika sa používa pri riešení rôznych matematických problémov súvisiacich s kvadratickou funkciou, konštrukciou kriviek druhého rádu a hľadaním najväčšej (najmenšej) hodnoty výrazov.

Technika rozkladu rovnice druhého rádu s dvoma premennými na súčet štvorcov má teda najpočetnejšie uplatnenie v matematike.

Neurčité rovnice v prirodzených číslach.

Štátna vzdelávacia inštitúcia „Rechitsa District Lyceum“

Pripravené: .

Vedúci: .

Úvod

1. Riešenie rovníc metódou faktorizácie…………4

2. Riešenie rovníc s dvoma premennými (diskriminačná metóda)………………………………………………………………………………….11

3. Reziduálna metóda ................................................ ...................................... 13

4. Metóda „nekonečného zostupu“................................................ ........................15

5. Metóda odberu vzoriek………………………………………………………………...16

Záver................................................. ........................................18

Úvod

Ja, Sláva, študujem na okresnom lýceu Rechitsa, som študentkou 10. ročníka.

Všetko to začína nápadom! Bol som požiadaný, aby som vyriešil rovnicu s tromi neznámymi 29x+30y+31 z = 366. Teraz považujem túto rovnicu za problém - vtip, ale prvýkrát som si polámal hlavu. Táto rovnica sa pre mňa stala do istej miery neistou, ako ju vyriešiť, akým spôsobom.

Pod neurčité rovnice musíme pochopiť, že ide o rovnice obsahujúce viac ako jednu neznámu. Ľudia, ktorí riešia tieto rovnice, zvyčajne hľadajú riešenia v celých číslach.

Riešenie neurčitých rovníc je veľmi vzrušujúca a vzdelávacia aktivita, ktorá prispieva k rozvoju inteligencie, pozorovania, pozornosti žiakov, ako aj k rozvoju pamäti a orientácie, schopnosti logicky myslieť, analyzovať, porovnávať a zovšeobecňovať. Zatiaľ som nenašiel všeobecnú metódu, ale teraz vám poviem o niektorých metódach riešenia takýchto rovníc v prirodzených číslach.

Táto téma nie je plne prezentovaná v súčasných učebniciach matematiky a problémy sa ponúkajú na olympiádach a centralizovanom testovaní. To ma zaujalo a uchvátilo natoľko, že pri riešení rôznych rovníc a úloh som nazbieral celú zbierku vlastných riešení, ktoré sme si s učiteľom rozdelili na metódy a riešenia. Aký je teda účel mojej práce?

môj cieľ analyzovať riešenia rovníc s niekoľkými premennými na množine prirodzených čísel.

Najprv sa pozrieme na praktické problémy a potom prejdeme k riešeniu rovníc.

Aká je dĺžka strán obdĺžnika, ak sa jeho obvod číselne rovná jeho ploche?

P=2(x+y),

S = xy, x€ N a y€ N

P=S

2x+2y=xy, font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>+font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>=font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman position:relative>font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman> +font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman> =font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman>Odpoveď: (4:4); (3:6); (6:3).

Nájdite spôsoby, ako zaplatiť 47 rubľov, ak môžete použiť iba tri a päť rubľové bankovky.

Riešenie

5x+3y=47

x = 1, y = 14

x = 1 – 3 tisíc, y = 14 + 5 tisíc, tisíc eur Z

Prirodzené hodnoty x a y zodpovedajú K = 0, -1, -2;

(1:14) (4:9) (7:4)

Úloha je vtip

Dokážte, že existuje riešenie rovnice 29x+30y+31 z= 336 v prirodzených číslach.

Dôkaz

Priestupný rok má 366 dní a jeden mesiac - 29 dní, štyri mesiace - 30 dní,

7 mesiacov – 31 dní.

Riešením sú tri (1:4:7). To znamená, že existuje riešenie rovnice v prirodzených číslach.

1. Riešenie rovníc metódou faktorizácie

1) Riešte rovnicu x2-y2=91 v prirodzených číslach

Riešenie

(x-y)(x+y)=91

8 systémových riešení

veľkosť písma:14,0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>x-y=1

x+y=91

(46:45)

veľkosť písma:14,0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>x-y=91

x+y=1

(46: -45)

x-y=13

x+y=7

(10: -3)

x-y = 7

x+y=13

(10:3)

x-y= -1

x+y= -91

(-46: 45)

x-y = -91

x+y= -1

(-46: -45)

x-y = -13

x+y= -7

(-10:3)

x-y veľkosť písma:14,0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>= -7

x+y= -13

(-10: -3)

odpoveď: ( 46:45):(10:3).

2) Riešte rovnicu x3+91 =y3 v prirodzených číslach

Riešenie

(y-x)(y2+xy+x2)=91

91=1*91=91*1=13*7=7*13= (-1)*(-91)=(-7)*(-13)

8 systémových riešení

y-x=1

y2+xy+x2=91

(5:6)(-6: -5)

veľkosť písma:14,0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>y-x= 91

y2+xy+x2= 1

y-x=13

y2+xy+x2=7

nemá riešenia v celých číslach

y-x=7

y2+xy+x2=91

(-3: 4)(-4: 3)

Zvyšné 4 systémy nemajú celočíselné riešenia. Jedno riešenie spĺňa podmienku.

odpoveď: (5:6).

3) Riešte rovnicu xy=x+y v prirodzených číslach

Riešenie

xy-x-y+1=1

x(y-1)-(y-1)=1

(y-1) (x-1) = 1

1= 1*1=(-1)*(-1)

Riešenie 2 systémy

veľkosť písma:14,0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>у-1= -1

x-1 = -1

(0:0)

veľkosť písma:14,0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>у-1=1

x-1=1

(2:2)

odpoveď: (2:2).

4) Riešte rovnicu 2x2+5xy-12y2=28 v prirodzených číslach

Riešenie

2x2-3xy+8xy-12y2=28

(2x-3y)(x+4y)=28

x;y – prirodzené čísla; (x+4r)€ N

(x+4y)≥5

veľkosť písma:14,0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>2х-3у=1

x+4y=28

(8:5)

veľkosť písma:14,0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>2х-3у =4

x+4y= 7

2x-3y=2

x+4y=14

žiadne riešenia v prirodzených číslach

odpoveď: (8:5).

5) Vyriešte rovnicu 2xy=x2+2y v prirodzených číslach

Riešenie

x2-2xy+2y=0

(x2-2xy+y2)-y2+2y-1+1=0

(x-y)2-(y-1)2= -1

(x-y-y+1)(x-y+y-1)= -1

(x-2y+1)(x-1)= -1

x-2y+1= -1

x-1 = 1

(2:2)

x-2y+1=1

x-1 = -1

žiadne riešenia v prirodzených číslach

odpoveď: (2:2).

6) Vyriešte rovnicu Xpriz-3 xy-2 xz+ yz+6 X-3 r-2 z= -4 v prirodzených číslach

Riešenie

xy(z-3)-2 x (z-3)+ y (z-3)-2 z +4=0

xy(z-3)-2 x (z-3)+ y (z-3)-2 z +6-2=0

xy(z-3)-2 x (z-3)+ y (z-3)-2(z-3)=2

(z-3)(xy-2x+y-2)=2

(z-3)(x(y-2)+(y-2))=2

(z-3)(x+1)(y-2)=2

6 systémových riešení

z-3= 1

x +1 = 1

y-2 = 2

(0 : 4 : 4 )

z-3= -1

x+1=-1

y-2 = 2

(- 2: 4 : 2 )

EN-US" style="font-size: 14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman>z-3= 1

x+1=2

y-2 = 1

(1 : 3 : 4 )

z-3=2

x+1=1

y-2=1

(0 :3: 5 )

z-3= -1

x + 1 = 2

y-2 = -1

(1:1:2)

z-3=2

x +1 = -1

y-2= -1

(-2:1:5)

odpoveď: (1:3:4).

Uvažujme pre mňa zložitejšiu rovnicu.

7) Riešte rovnicu x2-4xy-5y2=1996 v prirodzených číslach

Riešenie

(x2-4xy+4y2)-9y2=1996

(x-2y)2-9y2=1996

(x-5y)(x+5y)=1996

1996=1*1996= -1*(-1996)=2*998= (-2)*(-998)=4*499= -4*(-499)

x€ N, y€ N; (x+y) € N ; (x+y)>1

x-5y=1

x+y=1996

žiadne riešenia

veľkosť písma:14,0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>х-5у=499

x + y = 4

žiadne riešenia

veľkosť písma:14,0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>х-5у=4

x+y=499

žiadne riešenia

x-5y=2

x+y=998

(832:166)

x-5y=988

x+y=2

žiadne riešenia

odpoveď: x = 832, y = 166.

Poďme na záver:pri riešení rovníc metódou faktorizácie sa používajú skrátené vzorce na násobenie, metóda zoskupovania a metóda izolácie úplného štvorca. .

2. Riešenie rovníc s dvoma premennými (diskriminačná metóda)

1) Vyriešte rovnicu 5x2+5y2+8xy+2y-2x+2=0 v prirodzených číslach

Riešenie

5x2+(8y-2)x+5y2+2y+2=0

D= (8r – 2)2 – 4*5*(5y2+2y+2)= 4((4y – 1)2 –5*(5y2+2y+2))

x1,2= font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>=font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>

D=0, font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>=0

y = -1, x = 1

odpoveď: neexistujú žiadne riešenia.

2) Vyriešte rovnicu 3(x2+xy+y2)=x+8y v prirodzených číslach

Riešenie

3(x2+xy+y2)=x+8y

3x2+3(y-1)x+3y2-8y=0

D=(3y-1)2-4*3(3y2-8y)=9y2-6y+1-36y2+96y=-27y2+90y+1

D≥0, -27u2+90u+1≥0

font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>≤у≤font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman>у€ N , y=1, 2, 3. Keď prejdeme tieto hodnoty, máme (1:1).

odpoveď: (1:1).

3) Vyriešte rovnicu x4-y4-20x2+28y2=107 v prirodzených číslach

Riešenie

Zavádzame náhradu: x2=a, y2=a;

a2-a2-20a+28a=107

a2-20a+28a-a2=0

a1,2 = -10 ± +96 font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman color:black>a2-20a+28a-a2-96=11

a1,2 = 10± font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>= 10±font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>= 10±(a-14)

a1= a-4, a2=24-a

Rovnica vyzerá takto:

(a-a+4)(a+a-24)=1

veľkosť písma:14,0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>х2-у2+4=1

x2+y2 – 24=11

v prirodzených číslach neexistujú riešenia;

x2 - y2+4=11

x2+y2 – 24=1

(4:3),(-4:-3),(-4:3), (4: -3)

veľkosť písma:14,0pt; line-height:150%;font-family:" krát new roman>x2 - y2+4= -1

x2+y2 – 24= -11

(2:3),(-2: -3),(-2:3),(2: -3)

x2 - y2+4= -11

x2+y2 – 24= -1 žiadne riešenia v prirodzených číslach alebo celých číslachodpoveď: (4:3),(2:3).

3. Reziduálna metóda

Pri riešení rovníc reziduálnou metódou sa často používajú tieto problémy:

A) Aké zvyšky možno získať delením 3 a 4?

Je to veľmi jednoduché, pri delení 3 alebo 4 môžu presné štvorce poskytnúť dva možné zvyšky: 0 alebo 1.

B) Aké zvyšky môžu dať presné kocky pri delení 7 a 9?

Pri delení 7 môžu byť zvyšky: 0, 1, 6; a pri delení 9:0, 1, 8.

1) Vyriešte rovnicu x2+y2=4 z-1 v prirodzených číslach

Riešenie

x2+y2+1=4 z

Uvažujme, aké zvyšky môže vyprodukovať ľavá a pravá strana tejto rovnice pri delení 4. Pri delení 4 môžu dokonalé štvorce poskytnúť iba dva rôzne zvyšky 0 a 1. Potom x2+y2+1 pri delení 4 dáva zvyšky 1, 2, 3 a 4 z rozdelené bezo zvyšku.

Preto táto rovnica nemá riešenia.

2) Vyriešte rovnicu 1!+2!+3!+ …+x!= y2 v prirodzených číslach

Riešenie

a) X=1, 1!=1, potom y2=1, y=±1 (1:1)

b) x=3, 1!+2!+3!= 1+2+6= 9, teda y2= 9, y=±3 (3:3)

c) x=2, 1!+2!= 1+2= 3, y2=3, teda y=±font-size:14.0pt;line-height:150%; font-family:" times new roman>d)x=4, 1!+2!+3!+4!= 1+2+6+24=33, x=4 (nie), y2=33

e) x≥5, 5!+6!+…+x!, predstavte si 10 n , n € N

1!+2!+3! +5!+…+x!=33+10 n

Číslo končiace na 3 znamená, že nemôže byť druhou mocninou celého čísla. Preto x≥5 nemá žiadne riešenia v prirodzených číslach.

odpoveď:(3:3) a (1:1).

3) Dokážte, že v prirodzených číslach neexistujú riešenia

x2-y3=7

z 2 – 2у2=1

Dôkaz

Predpokladajme, že systém je riešiteľný z 2 = 2u2+1, z2 - nepárne číslo

z = 2 m+1

y 2 +2 m 2 +2 m , y2– párne číslo, y = 2 n , n € N

x2 = 8 n 3 +7, teda x2– nepárne číslo a X nepárne, x = 2 r +1, n € N

Poďme nahradiť X A pri do prvej rovnice,

2(r2+r-2n3)=3

Nie je to možné, keďže ľavá strana rovnice je deliteľná dvomi, ale pravá nie, čo znamená, že náš predpoklad nie je správny, teda systém nemá riešenia v prirodzených číslach.

4. Metóda nekonečného zostupu

Riešime podľa nasledujúcej schémy:

Predpokladajme, že rovnica má riešenie, budujeme akýsi nekonečný proces, pričom podľa samotného zmyslu problému by tento proces mal skončiť rovnomerným krokom.

1)Dokážte, že rovnica je 8x4+4y4+2 z4 = t4 nemá riešenia v prirodzených číslach

Dôkaz

Predpokladajme, že rovnica má riešenie v celých číslach, potom z toho vyplýva

t 4 je párne číslo, potom t je tiež párne

t=2t1, t1€ Z

8x4+4y4+2 z 4 = 16t14

4x4+2y4+ z 4 = 8t14

z4 = 8t14 - 4x4 - 2y4

z 4 je párne, potom z = 2 z 1, z 1 € Z

Poďme nahradiť

4x4+2y4+16 z 4 = 8t14

y4= 4t14 – 2x4 - 8 z 1 4

x – párne, teda x=2x, x1€ Z, teda

16x14 – 2 t 1 4 – 4 z 1 4 +8 r 1 4 =0

8x14+4y14+2 z 1 4 = t 1 4

Takže x, y, z , t – párne čísla, potom x1, y1, z 1, t 1 – dokonca. Potom x, y, z, t a x1, y1, zi, ti sú deliteľné 2, tj, font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman position:relative>font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>,font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>,font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman> afont-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>,font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>,font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>,font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>.

Ukazuje sa teda, že číslo spĺňa rovnicu; sú násobky 2 a bez ohľadu na to, koľkokrát ich delíme 2, vždy dostaneme čísla, ktoré sú násobkami 2. Jediné číslo, ktoré spĺňa túto podmienku, je nula. Nula ale do množiny prirodzených čísel nepatrí.

5. Vzorová metóda

1) Nájdite riešenia rovnice font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>+font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>=font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman>Riešenie

font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>=font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman>p(x+y)=xy

xy=px+ru

xy-ryh-ru=0

xy-rx-ru+p2=p2

x(y-r)-r(y-r)=p2

(y-r)(x-r)=p2

р2= ±р= ±1= ±р2

6 systémových riešení

veľkosť písma:14,0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>у-р= р

x-p=p

y=2p, x=2p

y-r= - r

x-p= - p

y=0, x=0

y-r=1

x-p=1

y = 1 + p, x = 1 + p

y-r= -1

x-p= -1

y=p-1, x=p-1

veľkosť písma:14,0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>у-р= р2

x-p= p2

y=p2+p, x=p2+p

veľkosť písma:14,0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>у-р= - р2

x-p= - p2

y=p-p2, x=p-p2

odpoveď:(2р:2р), ( 1+р:1+р), (р-1:р-1), (р2+р: р2+р), (р-р2: р-р2).

Záver

Zvyčajne sa riešenia neurčitých rovníc hľadajú v celých číslach. Rovnice, v ktorých sa hľadajú iba celočíselné riešenia, sa nazývajú diafantíny.

Analyzoval som riešenia rovníc s viac ako jedným neznámym číslom na množine prirodzených čísel. Takéto rovnice sú také rozmanité, že sotva existuje nejaký spôsob alebo algoritmus na ich riešenie. Riešenie takýchto rovníc si vyžaduje vynaliezavosť a prispieva k získaniu zručností samostatnej práce v matematike.

Príklady som riešil pomocou najjednoduchších techník. Najjednoduchším spôsobom riešenia takýchto rovníc je vyjadrenie jednej premennej pomocou ostatných a dostanete výraz, ktorý budeme skúmať, aby sme našli tieto premenné, pre ktoré je to prirodzené (celé číslo).

V tomto prípade pojmy a fakty súvisiace s deliteľnosťou – ako prvočísla a zložené čísla, znaky deliteľnosti, coprime čísla atď.

Obzvlášť často používané:

1) Ak je súčin deliteľný prvočíslom p, potom aspoň jeden z jeho faktorov je deliteľný p.

2) Ak je súčin deliteľný nejakým číslom s a jeden z faktorov je coprime s číslom s, potom sa druhý faktor vydelí s.