Základné vzorce planimetrie. Ako nájsť oblasť geometrických tvarov

Plochy geometrických útvarov sú číselné hodnoty charakterizujúce ich veľkosť v dvojrozmernom priestore. Túto hodnotu možno merať v systémových a nesystémových jednotkách. Takže napríklad nesystémová jednotka plochy je stotina, hektár. Toto je prípad, ak je meraným povrchom pozemok. Systémová jednotka plochy je štvorec dĺžky. V sústave SI je jednotkou plochej plochy meter štvorcový. V GHS je jednotka plochy vyjadrená ako štvorcový centimeter.

Geometrické a plošné vzorce sú neoddeliteľne spojené. Táto súvislosť spočíva v tom, že výpočet plôch rovinných obrazcov je založený práve na ich aplikácii. Pre mnohé figúry je odvodených niekoľko možností, z ktorých sa počítajú ich štvorcové rozmery. Na základe údajov z výpisu problému vieme určiť najjednoduchšie možné riešenie. To uľahčí výpočet a zníži pravdepodobnosť chýb vo výpočte na minimum. Za týmto účelom zvážte hlavné oblasti obrázkov v geometrii.

Vzorce na nájdenie oblasti akéhokoľvek trojuholníka sú uvedené v niekoľkých možnostiach:

1) Plocha trojuholníka sa vypočíta zo základne a a výšky h. Za základ sa považuje strana postavy, na ktorej je výška znížená. Potom je plocha trojuholníka:

2) Plocha pravouhlého trojuholníka sa vypočíta rovnakým spôsobom, ak sa prepona považuje za základňu. Ak vezmeme nohu ako základ, potom sa plocha pravého trojuholníka bude rovnať súčinu polovičných nôh.

Vzorce na výpočet plochy akéhokoľvek trojuholníka tam nekončia. Iný výraz obsahuje strany a,b a sínusovú funkciu uhla γ medzi a a b. Sínusovú hodnotu nájdete v tabuľkách. Môžete to zistiť aj pomocou kalkulačky. Potom je plocha trojuholníka:

Pomocou tejto rovnosti sa môžete tiež uistiť, že oblasť pravouhlého trojuholníka je určená dĺžkami nôh. Pretože uhol γ je pravý uhol, takže plocha pravouhlého trojuholníka sa vypočíta bez násobenia funkciou sínus.

3) Uvažujme špeciálny prípad - pravidelný trojuholník, ktorého stranu a poznáme podľa podmienky alebo pri riešení zistíme jeho dĺžku. O figúre v úlohe geometrie nie je známe nič viac. Ako potom nájsť oblasť v tomto stave? V tomto prípade sa použije vzorec pre oblasť pravidelného trojuholníka:

Obdĺžnik

Ako nájsť oblasť obdĺžnika a použiť rozmery strán, ktoré majú spoločný vrchol? Výraz pre výpočet je:

Ak potrebujete použiť dĺžky uhlopriečok na výpočet plochy obdĺžnika, potom budete potrebovať funkciu sínusu uhla vytvoreného, ​​keď sa pretínajú. Tento vzorec pre oblasť obdĺžnika je:

Námestie

Plocha štvorca je určená ako druhá mocnina dĺžky strany:

Dôkaz vyplýva z definície, že štvorec je obdĺžnik. Všetky strany, ktoré tvoria štvorec, majú rovnaké rozmery. Výpočet plochy takého obdĺžnika teda spočíva v násobení jedného po druhom, t.j. na druhú mocninu strany. A vzorec na výpočet plochy štvorca bude mať požadovanú formu.

Plochu štvorca možno nájsť iným spôsobom, napríklad ak použijete uhlopriečku:

Ako vypočítať plochu postavy, ktorá je tvorená časťou roviny ohraničenej kruhom? Na výpočet plochy platia tieto vzorce:

Paralelogram

Pre rovnobežník obsahuje vzorec lineárne rozmery strany, výšku a matematickú operáciu - násobenie. Ak je výška neznáma, ako nájsť oblasť rovnobežníka? Existuje aj iný spôsob výpočtu. Bude potrebná určitá hodnota, ktorú získa trigonometrická funkcia uhla, ktorý tvoria susedné strany, ako aj ich dĺžka.

Vzorce pre oblasť rovnobežníka sú:

Rhombus

Ako nájsť oblasť štvoruholníka nazývaného kosoštvorec? Plocha kosoštvorca sa určuje pomocou jednoduchej matematiky s uhlopriečkami. Dôkaz je založený na skutočnosti, že diagonálne segmenty v d1 a d2 sa pretínajú v pravom uhle. Tabuľka sínusov ukazuje, že pre pravý uhol sa táto funkcia rovná jednote. Preto sa plocha kosoštvorca vypočíta takto:

Oblasť kosoštvorca možno nájsť aj iným spôsobom. To tiež nie je ťažké dokázať, keďže jeho strany sú rovnako dlhé. Potom ich súčin nahraďte podobným výrazom pre rovnobežník. Koniec koncov, špeciálnym prípadom tejto konkrétnej postavy je kosoštvorec. Tu je γ vnútorný uhol kosoštvorca. Plocha kosoštvorca sa určuje takto:

Lichobežník

Ako nájsť oblasť lichobežníka cez základne (a a b), ak problém naznačuje ich dĺžky? Tu, bez známej hodnoty výšky h, nebude možné vypočítať plochu takéhoto lichobežníka. Pretože táto hodnota obsahuje výraz pre výpočet:

Rovnakým spôsobom možno vypočítať aj štvorcový rozmer obdĺžnikového lichobežníka. Berie sa do úvahy, že v obdĺžnikovom lichobežníku sa kombinujú pojmy výška a strana. Preto pre obdĺžnikový lichobežník musíte namiesto výšky zadať dĺžku bočnej strany.

Valec a rovnobežnosten

Uvažujme, čo je potrebné na výpočet povrchu celého valca. Oblasť tohto obrázku je dvojica kruhov nazývaných základne a bočný povrch. Kruhy tvoriace kruhy majú dĺžku polomeru rovnú r. Pre plochu valca sa vykoná nasledujúci výpočet:

Ako nájsť oblasť rovnobežnostena, ktorý pozostáva z troch párov plôch? Jeho miery zodpovedajú konkrétnemu páru. Protiľahlé tváre majú rovnaké parametre. Najprv nájdite S(1), S(2), S(3) - štvorcové rozmery nerovnakých plôch. Potom je povrch rovnobežnostenu:

Prsteň

Dva kruhy so spoločným stredom tvoria krúžok. Obmedzujú tiež oblasť prsteňa. V tomto prípade oba vzorce výpočtu zohľadňujú rozmery každého kruhu. Prvý z nich, počítajúci plochu prstenca, obsahuje väčší polomer R a menší polomer r. Častejšie sa nazývajú vonkajšie a vnútorné. V druhom výraze je plocha kruhu vypočítaná cez väčší priemer D a menší priemer d. Plocha krúžku na základe známych polomerov sa teda vypočíta takto:

Plocha krúžku sa pomocou dĺžok priemerov určuje takto:

Polygón

Ako nájsť oblasť mnohouholníka, ktorého tvar nie je pravidelný? Neexistuje žiadny všeobecný vzorec pre oblasť takýchto čísel. Ale ak je to znázornené na súradnicovej rovine, napríklad by to mohol byť kockovaný papier, ako potom v tomto prípade nájsť plochu? Tu používajú metódu, ktorá nevyžaduje približne meranie postavy. Robia to takto: ak nájdu body, ktoré spadajú do rohu bunky alebo majú celé súradnice, berú sa do úvahy iba tie. Ak chcete zistiť, o akú oblasť ide, použite vzorec overený Peake. Je potrebné pridať počet bodov umiestnených vo vnútri prerušovanej čiary s polovicou bodov, ktoré na nej ležia, a odpočítať jeden, t. j. vypočíta sa takto:

kde B, G - počet bodov umiestnených vo vnútri a na celej prerušovanej čiare.

Všetky vzorce pre oblasť rovinných figúrok

Oblasť rovnoramenného lichobežníka

1. Vzorec pre oblasť rovnoramenného lichobežníka pomocou strán a uhlov

a - spodná základňa

b - horná základňa

c - rovnaké strany

α - uhol na spodnej základni

Vzorec pre oblasť rovnoramenného lichobežníka cez strany (S):

Vzorec pre oblasť rovnoramenného lichobežníka pomocou strán a uhlov, (S):

2. Vzorec pre oblasť rovnoramenného lichobežníka z hľadiska polomeru vpísanej kružnice

R - polomer vpísanej kružnice

D - priemer vpísanej kružnice

O - stred vpísanej kružnice

H - výška lichobežníka

α, β - lichobežníkové uhly

Vzorec pre oblasť rovnoramenného lichobežníka z hľadiska polomeru vpísanej kružnice (S):

FAIR, pre vpísaný kruh v rovnoramennom lichobežníku:

3. Vzorec pre oblasť rovnoramenného lichobežníka cez uhlopriečky a uhol medzi nimi

d- uhlopriečka lichobežníka

α,β- uhly medzi uhlopriečkami

Vzorec pre oblasť rovnoramenného lichobežníka cez uhlopriečky a uhol medzi nimi, (S):

4. Vzorec pre oblasť rovnoramenného lichobežníka cez stredovú čiaru, bočnú stranu a uhol na základni

c- strana

m - stredná čiara lichobežníka

α, β - uhly na základni

Vzorec pre oblasť rovnoramenného lichobežníka pomocou stredovej čiary, bočnej strany a základného uhla,

(S):

5. Vzorec pre oblasť rovnoramenného lichobežníka pomocou základne a výšky

a - spodná základňa

b - horná základňa

h - výška lichobežníka

Vzorec pre oblasť rovnoramenného lichobežníka pomocou základne a výšky, (S):

Oblasť trojuholníka založená na strane a dvoch uhloch, vzorec.

a, b, c - strany trojuholníka

α, β, γ - opačné uhly

Plocha trojuholníka cez stranu a dva uhly (S):

Vzorec pre oblasť pravidelného mnohouholníka

a - strana mnohouholníka

n - počet strán

Plocha pravidelného mnohouholníka (S):

Vzorec (Heron) pre oblasť trojuholníka cez semiperimeter (S):

Plocha rovnostranného trojuholníka je:

Vzorce na výpočet plochy rovnostranného trojuholníka.

a - strana trojuholníka

h – výška

Ako vypočítať plochu rovnoramenného trojuholníka?

b - základňa trojuholníka

a - rovnaké strany

h – výška

3. Vzorec pre oblasť lichobežníka pomocou štyroch strán

a - spodná základňa

b - horná základňa

c, d - strany

Polomer opísanej kružnice lichobežníka pozdĺž strán a uhlopriečok

a - bočné strany lichobežníka

c - spodná základňa

b - horná základňa

d - uhlopriečka

h - výška

Vzorec lichobežníkového obvodu, (R)

nájdite obvod rovnoramenného trojuholníka pomocou strán

Keď poznáte strany rovnoramenného trojuholníka, môžete použiť vzorec na nájdenie polomeru kružnice opísanej okolo tohto trojuholníka.

a, b - strany trojuholníka

Kruhový polomer rovnoramenného trojuholníka (R):

Polomer vpísanej kružnice v šesťuholníku

a - strana šesťuholníka

Polomer vpísanej kružnice v šesťuholníku (r):

Polomer vpísanej kružnice v kosoštvorci

r - polomer vpísanej kružnice

a - strana kosoštvorca

D, d - uhlopriečky

h - výška kosoštvorca

Polomer vpísanej kružnice v rovnostrannom lichobežníku

c - spodná základňa

b - horná základňa

a - strany

h - výška

Polomer vpísanej kružnice v pravouhlom trojuholníku

a, b - nohy trojuholníka

c - prepona

Polomer vpísanej kružnice v rovnoramennom trojuholníku

a, b - strany trojuholníka

Dokážte, že plocha vpísaného štvoruholníka je

\/(р - а)(р - b) (р - с) (р - d),

kde p je polobvod a a, b, c a d sú strany štvoruholníka.

Dokážte, že plocha štvoruholníka vpísaného do kruhu sa rovná

1/2 (ab + cb) · sin α, kde a, b, c a d sú strany štvoruholníka a α je uhol medzi stranami a a b.

S = √[ a ƀ c d] sin ½ (α + β). - Prečítajte si viac na FB.ru:

Plocha ľubovoľného štvoruholníka (obr. 1.13) môže byť vyjadrená jeho stranami a, b, c a súčtom dvojice protiľahlých uhlov:

kde p je polobvod štvoruholníka.

Plocha štvoruholníka vpísaného do kruhu () (obr. 1.14, a) sa vypočíta pomocou Brahmaguptovho vzorca

a popísané (obr. 1.14, b) () - podľa vzorca

Ak je štvoruholník vpísaný a opísaný súčasne (obr. 1.14, c), potom sa vzorec stáva veľmi jednoduchým:

Pickov vzorec

Na odhadnutie plochy mnohouholníka na kockovanom papieri stačí spočítať, koľko buniek tento mnohouholník pokrýva (plochu bunky berieme ako jednu). Presnejšie, ak S je oblasť mnohouholníka, je to počet buniek, ktoré ležia úplne vo vnútri mnohouholníka, a je to počet buniek, ktoré majú aspoň jeden spoločný bod s vnútrom mnohouholníka.

Nižšie budeme brať do úvahy iba tie polygóny, ktorých vrcholy ležia v uzloch kockovaného papiera - tie, kde sa pretínajú čiary mriežky. Ukazuje sa, že pre takéto polygóny je možné zadať nasledujúci vzorec:

kde je oblasť, r je počet uzlov, ktoré ležia presne vo vnútri mnohouholníka.

Tento vzorec sa nazýva „Pick vzorec“ - podľa matematika, ktorý ho objavil v roku 1899.

Čo je oblasť?

Plocha je charakteristika uzavretého geometrického útvaru (kruh, štvorec, trojuholník atď.), ktorý ukazuje jeho veľkosť. Plocha sa meria v centimetroch štvorcových, metroch atď. Označené písmenom S(námestie).

Ako nájsť oblasť trojuholníka?

S= a h

Kde a- dĺžka základne, h– výška trojuholníka nakresleného k základni.

Navyše základňa nemusí byť naspodku. To bude stačiť.

Ak trojuholník tupý, potom sa výška zníži na pokračovanie základne:

Ak trojuholník pravouhlý, potom základňa a výška sú jeho nohy:

2. Ďalší vzorec, ktorý nie je o nič menej užitočný, ale na ktorý sa z nejakého dôvodu vždy zabúda:

S= a b sinα

Kde a A b- dve strany trojuholníka, sinα je sínus uhla medzi týmito stranami.

Hlavnou podmienkou je, že uhol je vzatý medzi dvoma známymi stranami.

3. Vzorec pre oblasť na troch stranách (Heronov vzorec):

S=

Kde a, b A s sú strany trojuholníka a R - poloobvod p = (a+b+c)/2.

4. Vzorec pre oblasť trojuholníka z hľadiska polomeru kružnice opísanej:

S=

Kde a, b A s sú strany trojuholníka a R – polomer opísanej kružnice.

5. Vzorec pre oblasť trojuholníka z hľadiska polomeru vpísanej kružnice:

S= p · r

Kde R - polobvod trojuholníka, a r – polomer vpísanej kružnice.

Ako nájsť oblasť obdĺžnika?

1. Oblasť obdĺžnika sa nachádza celkom jednoducho:

S=a b

Žiadne triky.

Ako nájsť plochu štvorca?

1. Keďže štvorec je obdĺžnik so všetkými rovnakými stranami, platí preň rovnaký vzorec:

S=a · a = a 2

2. Plochu štvorca možno nájsť aj cez jeho uhlopriečku:

S= d 2

Ako nájsť oblasť rovnobežníka?

1. Oblasť rovnobežníka sa nachádza podľa vzorca:

S=a h

Je to spôsobené tým, že ak z neho odrežete pravouhlý trojuholník vpravo a položíte ho vľavo, dostanete obdĺžnik:

2. Oblasť rovnobežníka možno nájsť aj cez uhol medzi dvoma stranami:

S=a · b · sinα

Ako nájsť oblasť kosoštvorca?

Kosoštvorec je v podstate rovnobežník so všetkými stranami rovnakými. Preto pre ňu platia rovnaké plošné vzorce.

1. Oblasť kosoštvorca cez výšku:

S=a h

Na vyriešenie problémov s geometriou potrebujete poznať vzorce - ako je oblasť trojuholníka alebo oblasť rovnobežníka - ako aj jednoduché techniky, ktoré budeme pokrývať.

Najprv sa naučme vzorce pre oblasti obrázkov. Špeciálne sme ich zhromaždili v pohodlnej tabuľke. Tlačte, učte sa a aplikujte!

Samozrejme, nie všetky geometrické vzorce sú v našej tabuľke. Napríklad na riešenie problémov v geometrii a stereometrii v druhej časti profilu Jednotná štátna skúška z matematiky sa používajú iné vzorce pre oblasť trojuholníka. Určite vám o nich povieme.

Ale čo keď potrebujete nájsť nie oblasť lichobežníka alebo trojuholníka, ale oblasť nejakej zložitej postavy? Existujú univerzálne spôsoby! Ukážeme si ich na príkladoch z banky úloh FIPI.

1. Ako nájsť oblasť neštandardnej postavy? Napríklad ľubovoľný štvoruholník? Jednoduchá technika - rozdeľme tento obrazec na tie, o ktorých vieme všetko, a nájdime jeho plochu - ako súčet plôch týchto obrazcov.

Rozdeľte tento štvoruholník vodorovnou čiarou na dva trojuholníky so spoločnou základňou rovnajúcou sa . Výšky týchto trojuholníkov sa rovnajú a . Potom sa plocha štvoruholníka rovná súčtu plôch dvoch trojuholníkov: .

Odpoveď: .

2. V niektorých prípadoch môže byť oblasť obrázku reprezentovaná ako rozdiel niektorých oblastí.

Nie je také ľahké vypočítať, čomu sa rovná základňa a výška tohto trojuholníka! Môžeme však povedať, že jeho obsah sa rovná rozdielu medzi plochami štvorca so stranou a tromi pravouhlými trojuholníkmi. Vidíte ich na obrázku? Dostaneme: .

Odpoveď: .

3. Niekedy v úlohe musíte nájsť oblasť nie celej postavy, ale jej časti. Zvyčajne hovoríme o ploche sektora - časti kruhu. Nájdite plochu sektora kruhu s polomerom, ktorého dĺžka oblúka sa rovná .

Na tomto obrázku vidíme časť kruhu. Plocha celého kruhu sa rovná . Zostáva zistiť, ktorá časť kruhu je zobrazená. Keďže dĺžka celého kruhu je rovnaká (od) a dĺžka oblúka daného sektora je rovnaká, dĺžka oblúka je preto menšia ako dĺžka celého kruhu. Uhol, pod ktorým tento oblúk spočíva, je tiež faktor menší ako celý kruh (t. j. stupne). To znamená, že plocha sektora bude niekoľkonásobne menšia ako plocha celého kruhu.