Ako znázorniť výraz ako jednočlenný. Redukcia jednočlena na štandardný tvar, príklady, riešenia
Monomiálny je výraz, ktorý je súčinom dvoch alebo viacerých faktorov, z ktorých každý je číslo vyjadrené písmenom, číslicami alebo mocninou (s nezáporným exponentom celého čísla):
2a, a 3 X, 4abc, -7X
Keďže súčin identických faktorov možno zapísať ako mocninu, jedna mocnina (s nezáporným celočíselným exponentom) je tiež jednočlenná:
(-4) 3 , X 5 ,
Keďže číslo (celé číslo alebo zlomok), vyjadrené písmenom alebo číslicami, možno zapísať ako súčin tohto čísla jednotkou, každé jednotlivé číslo možno považovať za jednočlenné:
X, 16, -a,
Štandardná forma monomiálu
Štandardná forma monomiálu je jednočlen, ktorý má len jeden číselný činiteľ, ktorý treba zapísať na prvé miesto. Všetky premenné sú v abecednom poradí a sú obsiahnuté v monomiáli iba raz.
Čísla, premenné a mocniny premenných patria tiež k monočlenom štandardného tvaru:
7, b, X 3 , -5b 3 z 2 - monomály štandardného tvaru.
Číselný faktor monomiálu štandardného tvaru sa nazýva koeficient monomiálu. Monomické koeficienty rovné 1 a -1 sa zvyčajne nepíšu.
Ak monomiál štandardného tvaru nemá číselný faktor, potom sa predpokladá, že koeficient monomiálu je rovný 1:
X 3 = 1 X 3
Ak monomiál štandardného tvaru nemá číselný faktor a predchádza mu znamienko mínus, potom sa predpokladá, že koeficient monomiálu je rovný -1:
-X 3 = -1 · X 3
Redukcia monomiálu na štandardnú formu
Ak chcete previesť monomial do štandardnej formy, musíte:
- Vynásobte číselné faktory, ak ich je niekoľko. Zvýšte číselný faktor na mocninu, ak má exponent. Najprv uveďte číselný faktor.
- Vynásobte všetky rovnaké premenné tak, aby sa každá premenná objavila v monomiáli iba raz.
- Usporiadajte premenné za číselným faktorom v abecednom poradí.
Príklad. Prezentujte monomiál v štandardnej forme:
a) 3 yx 2 (-2) r 5 X; b) 6 bc· 0,5 ab 3
Riešenie:
a) 3 yx 2 (-2) r 5 X= 3 (-2) X 2 Xrr 5 = -6X 3 r 6
b) 6 bc· 0,5 ab 3 = 6 0,5 abb 3 c = 3ab 4 c
Sila jednočlena
Sila jednočlena je súčet exponentov všetkých písmen, ktoré sú v ňom zahrnuté.
Ak je jednočlen číslo, to znamená, že neobsahuje premenné, potom sa jeho stupeň považuje za rovný nule. Napríklad:
5, -7, 21 sú monomiály nulového stupňa.
Preto, aby ste našli stupeň monomiálu, musíte určiť exponent každého z písmen v ňom zahrnutých a tieto exponenty pridať. Ak nie je zadaný exponent písmena, potom sa rovná jednej.
Príklady:
Takže ako sa máš X exponent nie je určený, to znamená, že je rovný 1. Monomial neobsahuje ďalšie premenné, čiže jeho stupeň je rovný 1.
Monomial obsahuje iba jednu premennú k druhej mocnine, čo znamená, že stupeň tohto monomilu je 2.
3) ab 3 c 2 d
Index a sa rovná 1, exponent b- 3, indikátor c- 2, indikátor d- 1. Stupeň tohto monomiálu sa rovná súčtu týchto ukazovateľov.
ja Výrazy, ktoré sa skladajú z čísel, premenných a ich mocničiek pomocou akcie násobenia, sa nazývajú jednočleny.
Príklady monomilov:
A) a; b) ab; V) 12; G)-3c; d) 2a2°(-3,5b)3; e)-123,45xy 5 z; a) 8ac∙2,5a 2 ∙(-3c 3).
II. Tento typ monomiálu, kedy je na prvom mieste číselný faktor (koeficient) a za ním premenné so svojimi mocnosťami, sa nazýva štandardný typ monomilu.
Teda monomiály uvedené vyššie, pod písmenami a B C), G) A e) napísané v štandardnej forme a monomály pod písmenami d) A a) je potrebné uviesť ho do štandardného tvaru, t. j. do tvaru, kde je na prvom mieste číselný faktor, za ním nasledujú písmenové faktory s ich exponentmi a písmenové faktory sú v abecednom poradí. Predstavme si monomály d) A a) na štandardný pohľad.
d) 2a 2 ∙ (-3,5b) 3=2a 2 ∙(-3,5) 3 ∙b 3 =-2a 2 ∙3,5∙3,5∙3,5∙b 3 = -85,75a2b3;
a) 8ac∙2,5a 2 ∙(-3c 3)=-8∙2,5∙3a 3 c 3 = -60a3c3.
III.Súčet exponentov všetkých premenných zahrnutých v jednočlene sa nazýva stupeň jednočlena.
Príklady. Aký stupeň majú monomiály? a) - g)?
a) a. Najprv;
b) ab. Po druhé: A na prvom stupni a b na prvú mocninu - súčet ukazovateľov 1+1=2 ;
V) 12. Nula, pretože neexistujú žiadne písmenové faktory;
G) -3c. Najprv;
d) -85,75a2b3. Po piate. Tento monomiál sme zredukovali na štandardnú formu, máme A do druhého stupňa a b v treťom. Sčítajme ukazovatele: 2+3=5 ;
e) -123,45xy 5 z. Siedmy. Spočítali sme exponenty faktorov písmen: 1+5+1=7 ;
a) -60a3c3. Po šieste, keďže súčet exponentov písmenových faktorov 3+3=6 .
IV. Monomiály, ktoré majú rovnakú časť písmena, sa nazývajú podobné monomály.
Príklad. Označte medzi danými jednočlenmi podobné jednočleny 1) -7).
1) 3aabbc; 2) -4,1a 3 pred Kr.; 3) 56a 2 b 2 c; 4) 98,7a 2 bac; 5) 10aaa 2 x; 6) -2,3a 4 x; 7) 34x 2 r.
Predstavme si monomály 1), 4) A 5) na štandardný pohľad. Potom bude riadok monomiálnych údajov vyzerať takto:
1) 3a 2 b 2 c; 2) -4,1a 3 pred Kr.; 3) 56a 2 b 2 c; 4) 98,7a 3 pred Kr.; 5) 10a 4x; 6) -2,3a 4 x; 7) 34x 2 r.
Podobné budú tie, ktoré majú rovnakú písmenkovú časť, t.j. 1) a 3); 2) a 4); 5) a 6).
1) 3a 2 b 2 c a 3) 56a 2 b 2 c;
2) -4,1a 3 pnl a 4) 98,7a 3 pred Kr.;
5) 10a 4 x a 6) -2,3a 4 x.
Poznamenali sme, že môže byť akýkoľvek monomiál uviesť do štandardnej formy. V tomto článku pochopíme, čo sa nazýva uvedenie monomiálu do štandardnej formy, aké akcie umožňujú vykonať tento proces a zvážime riešenia príkladov s podrobnými vysvetleniami.
Navigácia na stránke.
Čo to znamená zredukovať monomiál na štandardnú formu?
Je výhodné pracovať s monomály, keď sú napísané v štandardnej forme. Pomerne často sa však monomály špecifikujú v inej forme ako je štandardná. V týchto prípadoch môžete vždy prejsť z pôvodného monomiálu na monomický štandardný tvar vykonaním transformácií identity. Proces vykonávania takýchto transformácií sa nazýva redukcia monomiálu na štandardnú formu.
Zhrňme si vyššie uvedené argumenty. Znížte monomial na štandardnú formu- to znamená vykonávať s ním identické transformácie tak, aby nadobudol štandardnú podobu.
Ako priviesť monomial do štandardnej formy?
Je čas prísť na to, ako zredukovať monomiály na štandardnú formu.
Ako je známe z definície, monomály neštandardného tvaru sú súčinom čísel, premenných a ich mocnín, prípadne opakujúcich sa. A jednočlen štandardného tvaru môže vo svojom zápise obsahovať iba jedno číslo a neopakujúce sa premenné alebo ich mocniny. Teraz zostáva pochopiť, ako priviesť produkty prvého typu k typu druhého?
Ak to chcete urobiť, musíte použiť nasledujúce pravidlo pre redukciu monomiálu na štandardnú formu pozostáva z dvoch krokov:
- Najprv sa vykoná zoskupenie číselných faktorov, ako aj identických premenných a ich právomocí;
- Po druhé, vypočíta sa a použije súčin čísel.
V dôsledku uplatnenia uvedeného pravidla sa akýkoľvek monomál zredukuje na štandardnú formu.
Príklady, riešenia
Ostáva už len naučiť sa pri riešení príkladov aplikovať pravidlo z predchádzajúceho odseku.
Príklad.
Znížte monomial 3 x 2 x 2 na štandardnú formu.
Riešenie.
Zoskupme číselné faktory a faktory s premennou x. Po zoskupení bude mať pôvodný jednočlen tvar (3·2)·(x·x 2) . Súčin čísel v prvých zátvorkách sa rovná 6 a pravidlo pre násobenie mocnín s rovnakými základmi umožňuje vyjadrenie v druhých zátvorkách reprezentovať x 1 + 2 = x 3. Výsledkom je polynóm štandardného tvaru 6 x 3.
Tu je krátke zhrnutie riešenia: 3 x 2 x 2 = (3 2) (x x 2) = 6 x 3.
odpoveď:
3 x 2 x 2 = 6 x 3.
Takže, aby ste preniesli monomický tvar do štandardného tvaru, musíte byť schopní zoskupovať faktory, násobiť čísla a pracovať s mocninami.
Na konsolidáciu materiálu vyriešme ešte jeden príklad.
Príklad.
Prezentujte monomiál v štandardnej forme a uveďte jeho koeficient.
Riešenie.
Pôvodný jednočlen má vo svojom zápise jediný číselný činiteľ −1, posuňme ho na začiatok. Potom budeme samostatne zoskupovať faktory s premennou a, samostatne s premennou b a premennú m nie je čo zoskupovať, necháme to tak, máme 
. Po vykonaní operácií s mocninami v zátvorkách nadobudne jednočlen štandardný tvar, ktorý potrebujeme, z čoho môžeme vidieť koeficient jednočlenu rovný −1. Mínus jedna môže byť nahradený znamienkom mínus: .
Koncept monomiálu
Definícia jednočlena: Jednočlen je algebraický výraz, ktorý používa iba násobenie.
Štandardná forma monomiálu
Aká je štandardná forma monomiálu? Jednočíslo sa píše v štandardnom tvare, ak má na prvom mieste číselný súčiniteľ a tento súčiniteľ sa nazýva koeficient jednočlenu, v jednočlene je len jeden, písmená jednočlena sú usporiadané v abecednom poradí a každé písmeno sa objaví iba raz.
Príklad monomiálu v štandardnej forme:
tu je na prvom mieste číslo, koeficient jednočlenu a toto číslo je v našom jednočlene len jedno, každé písmeno sa vyskytuje len raz a písmená sú zoradené podľa abecedy, v tomto prípade ide o latinku.
Ďalší príklad monomiálu v štandardnej forme:
každé písmeno sa vyskytuje len raz, sú zoradené v latinskom abecednom poradí, ale kde je koeficient jednočlennosti, t.j. číselný faktor, ktorý by mal byť na prvom mieste? Tu sa rovná jednej: 1adm.
Môže byť koeficient monomiálu záporný? Áno, možno, príklad: -5a.
Môže byť koeficient monomiálu zlomkový? Áno, možno, príklad: 5.2a.
Ak sa jednočlen skladá len z čísla, t.j. nemá žiadne písmená, ako to môžem uviesť do štandardnej podoby? Akýkoľvek jednočlen, ktorý je číslom, je už v štandardnom tvare, napríklad: číslo 5 je jednočlen v štandardnom tvare.
Redukcia monomilov na štandardnú formu
Ako priviesť monomial do štandardnej formy? Pozrime sa na príklady.
Nech je daný monomiál 2a4b, musíme ho uviesť do štandardného tvaru. Vynásobíme jeho dva číselné faktory a dostaneme 8ab. Teraz sa monomiál píše v štandardnom tvare, t.j. má len jeden číselný činiteľ, písaný na prvom mieste, každé písmeno v jednočlennom znaku sa vyskytuje iba raz a tieto písmená sú usporiadané v abecednom poradí. Takže 2a4b = 8ab.
Dané: monomial 2a4a, uveďte monomial do štandardného tvaru. Vynásobíme čísla 2 a 4, pričom súčin aa nahradíme druhou mocninou 2. Dostaneme: 8a 2 . Toto je štandardná forma tohto monomiálu. Takže 2a4a = 8a 2 .
Podobné monomiály
Aké sú podobné monomiály? Ak sa monomiály líšia iba v koeficientoch alebo sú rovnaké, potom sa nazývajú podobné.
Príklad podobných monomilov: 5a a 2a. Tieto monomiály sa líšia iba koeficientmi, čo znamená, že sú podobné.
Sú monomiály 5abc a 10cba podobné? Prenesme druhý monomiál do štandardnej formy a získame 10abc. Teraz vidíme, že monomiály 5abc a 10abc sa líšia iba svojimi koeficientmi, čo znamená, že sú podobné.
Sčítanie monomilov
Aký je súčet monomilov? Podobné monomiály môžeme len sčítať. Pozrime sa na príklad pridávania monomilov. Aký je súčet monočlánkov 5a a 2a? Súčet týchto jednočlenov bude im podobný jednočlen, ktorého koeficient sa rovná súčtu koeficientov členov. Súčet monočlánkov je teda 5a + 2a = 7a.
Ďalšie príklady pridávania monočlenov:
2a 2 + 3a 2 = 5a 2
2a 2 b 3 c 4 + 3a 2 b 3 c 4 = 5a 2 b 3 c 4
Opäť. Môžete pridávať iba podobné monočlánky; sčítanie spočíva v sčítaní ich koeficientov.
Odčítanie monomiálií
Aký je rozdiel medzi monomilami? Podobné monomiály môžeme len odčítať. Pozrime sa na príklad odčítania monomilov. Aký je rozdiel medzi monomály 5a a 2a? Rozdiel týchto jednočlenov bude im podobný jednočlen, ktorého koeficient sa rovná rozdielu koeficientov týchto jednočlenov. Rozdiel monomilov je teda 5a - 2a = 3a.
Ďalšie príklady odčítania monomilov:
10a 2 - 3a 2 = 7a 2
5a 2 b 3 c 4 - 3a 2 b 3 c 4 = 2a 2 b 3 c 4
Násobenie monomilov
Aký je súčin monomiálov? Pozrime sa na príklad:
tie. súčin jednočlenov sa rovná jednočlenu, ktorého činitele sú tvorené činiteľmi pôvodných jednočlenov.
Ďalší príklad:
2a 2 b 3 * a 5 b 9 = 2a 7 b 12 .
Ako k tomuto výsledku došlo? Každý faktor obsahuje „a“ na mocninu: v prvom – „a“ na mocninu 2 a v druhom – „a“ na mocninu 5. To znamená, že výrobok bude obsahovať „a“ na mocninu zo 7, pretože pri násobení rovnakých písmen sa exponenty ich mocniny skladajú:
A 2 * a 5 = a 7 .
To isté platí pre faktor „b“.
Koeficient prvého faktora je dva a druhého je jedna, takže výsledok je 2 * 1 = 2.
Takto sa vypočítal výsledok: 2a 7 b 12.
Z týchto príkladov je zrejmé, že koeficienty jednočlenov sa násobia a zhodné písmená sú v súčine nahradené súčtom ich mocnin.
