Je daný zákon rozdelenia náhodnej premennej x. Diskrétna náhodná veličina a jej distribučná funkcia

Diskrétne náhodné premenné sa nazývajú náhodné premenné, ktoré nadobúdajú iba hodnoty, ktoré sú od seba vzdialené a ktoré je možné vopred vyčísliť.
distribučný zákon
Distribučný zákon náhodnej premennej je vzťah, ktorý vytvára vzťah medzi možnými hodnotami náhodnej premennej a ich zodpovedajúcimi pravdepodobnosťami.
Rozsah distribúcie diskrétnej náhodnej premennej je zoznam jej možných hodnôt a im zodpovedajúcich pravdepodobností.
Distribučná funkcia diskrétnej náhodnej premennej sa nazýva funkcia:
,
ktorý určuje pre každú hodnotu argumentu x pravdepodobnosť, že náhodná premenná X nadobudne hodnotu menšiu ako toto x.

Matematické očakávanie diskrétnej náhodnej premennej
,
kde je hodnota diskrétnej náhodnej premennej; - pravdepodobnosť prijatia hodnôt X náhodnej premennej.
Ak náhodná premenná nadobudne spočítateľný súbor možných hodnôt, potom:
.
Matematické očakávanie počtu výskytov udalosti v n nezávislých pokusoch:
,

Disperzia a smerodajná odchýlka diskrétnej náhodnej premennej
Disperzia diskrétnej náhodnej premennej:
alebo .
Rozptyl počtu výskytov udalosti v n nezávislých pokusoch
,
kde p je pravdepodobnosť výskytu udalosti.
Smerodajná odchýlka diskrétnej náhodnej premennej:
.

Príklad 1
Zostavte zákon rozdelenia pravdepodobnosti pre diskrétnu náhodnú premennú (d.r.v.) X – počet k aspoň jednej „šestky“ v n = 8 hodoch kockou. Nakreslite distribučný polygón. Nájdite číselné charakteristiky rozdelenia (distribučný režim, matematické očakávanie M(X), rozptyl D(X), smerodajná odchýlka s(X)). Riešenie: Uveďme si zápis: udalosť A – „pri hode kockou sa šestka objavila aspoň raz“. Na nájdenie pravdepodobnosti P(A) = p javu A je vhodnejšie najskôr nájsť pravdepodobnosť P(Ā) = q opačného javu Ā – „pri hode kockou sa šestka neobjavila ani raz“.
Keďže pravdepodobnosť, že sa pri hode jednou kockou neobjaví „šestka“, je 5/6, potom podľa vety o násobení pravdepodobnosti
P(Ā) = q = = .
resp.
P(A) = p = 1 – P(Ā) = .
Testy v probléme sa vykonávajú podľa Bernoulliho schémy, preto d.r.v. rozsah X- číslo k vypadnutie aspoň jednej šestky pri hode dvoma kockami sa riadi binomickým zákonom rozdelenia pravdepodobnosti:

kde = je počet kombinácií z n Autor: k.

Je vhodné usporiadať výpočty vykonané pre tento problém vo forme tabuľky:
Rozdelenie pravdepodobnosti d.r.v. X º k (n = 8; p = ; q = )

k
PN(k)

Polygón (polygón) rozdelenia pravdepodobnosti diskrétnej náhodnej premennej X znázornené na obr.:

Ryža. Polygón rozdelenia pravdepodobnosti d.r.v. X=k.
Vertikálna čiara znázorňuje matematické očakávanie rozdelenia M(X).

Nájdite číselné charakteristiky rozdelenia pravdepodobnosti d.r.v. X. Režim distribúcie je 2 (tu P 8(2) = maximálne 0,2932). Matematické očakávanie je podľa definície:
M(X) = = 2,4444,
Kde xk = k je hodnota akceptovaná d.r.v. X. disperzia D(X) distribúcie nájdeme podľa vzorca:
D(X) = = 4,8097.
Smerodajná odchýlka (RMS):
s( X) = = 2,1931.

Príklad2
Diskrétna náhodná premenná X dané distribučným zákonom

Nájdite distribučnú funkciu F(x) a nakreslite ju.

Riešenie. Ak , potom (tretia vlastnosť).
Ak potom . naozaj, X môže nadobudnúť hodnotu 1 s pravdepodobnosťou 0,3.
Ak potom . Skutočne, ak spĺňa nerovnosť
, potom sa rovná pravdepodobnosti udalosti, ktorá sa môže uskutočniť, keď X bude nadobúdať hodnotu 1 (pravdepodobnosť tejto udalosti je 0,3) alebo hodnotu 4 (pravdepodobnosť tejto udalosti je 0,1). Keďže tieto dva javy sú nezlučiteľné, potom podľa vety o sčítaní sa pravdepodobnosť udalosti rovná súčtu pravdepodobností 0,3 + 0,1=0,4. Ak potom . Udalosť je skutočne istá, preto je jej pravdepodobnosť rovná jednej. Takže distribučnú funkciu možno analyticky zapísať takto:

Graf tejto funkcie:
Nájdite pravdepodobnosti zodpovedajúce týmto hodnotám. Podľa podmienok sú pravdepodobnosti zlyhania zariadení rovnaké: potom sa pravdepodobnosti, že zariadenia budú počas záručnej doby v prevádzke, rovnajú:




Distribučný zákon má formu:

Definícia 2.3. Náhodná premenná označená X sa nazýva diskrétna, ak naberá konečný alebo spočítateľný súbor hodnôt, t.j. množina je konečná alebo spočítateľná množina.

Zvážte príklady diskrétnych náhodných premenných.

1. Raz sa hádžu dve mince. Počet erbov v tomto experimente je náhodná veličina X. Jeho možné hodnoty sú 0,1,2, t.j. je konečná množina.

2. Zaznamenáva sa počet volaní sanitky počas daného časového obdobia. Náhodná hodnota X– počet hovorov. Jeho možné hodnoty sú 0, 1, 2, 3, ..., t.j. =(0,1,2,3,...) je spočítateľná množina.

3. V skupine je 25 žiakov. V niektorý deň sa zaznamenáva počet žiakov, ktorí prišli na vyučovanie – náhodná veličina X. Jeho možné hodnoty sú: 0, 1, 2, 3, ..., 25 t.j. =(0, 1, 2, 3, ..., 25).

Všetkých 25 ľudí v príklade 3 síce nemôže vynechať hodiny, ale náhodnú premennú X môže nadobudnúť túto hodnotu. To znamená, že hodnoty náhodnej premennej majú rôzne pravdepodobnosti.

Zvážte matematický model diskrétnej náhodnej premennej.

Nech sa vykoná náhodný experiment, ktorý zodpovedá konečnému alebo spočítateľnému priestoru elementárnych udalostí. Uvažujme priradenie tohto priestoru na množinu reálnych čísel, t.j. každú elementárnu udalosť priradíme k nejakému reálnemu číslu , . Množina čísel v tomto prípade môže byť konečná alebo spočítateľná, t.j. alebo

Systém podmnožín, ktorý zahŕňa akúkoľvek podmnožinu vrátane jednobodovej, tvorí -algebru číselnej množiny (-konečne alebo spočítateľne).

Pretože každá elementárna udalosť je spojená s určitými pravdepodobnosťami p i(v prípade konečných všetkých ), a , potom môžeme každej hodnote náhodnej premennej priradiť určitú pravdepodobnosť p i, také že .

Nechaj X je ľubovoľné reálne číslo. Označiť R X (x) pravdepodobnosť, že náhodná premenná X nadobudli hodnotu rovnú X, t.j. P X (x) \u003d P (X \u003d x). Potom funkcia R X (x) môže nadobudnúť kladné hodnoty len pre tieto hodnoty X, ktoré patria do konečnej alebo spočítateľnej množiny a pre všetky ostatné hodnoty pravdepodobnosť tejto hodnoty P X (x) = 0.

Takže sme definovali množinu hodnôt -algebra ako systém akýchkoľvek podmnožín a pre každú udalosť ( X=x) porovnala pravdepodobnosť pre akékoľvek , t.j. vytvoril priestor pravdepodobnosti.

Napríklad priestor elementárnych udalostí experimentu spočívajúceho v hádzaní symetrickej mince dvakrát pozostáva zo štyroch elementárnych udalostí: , kde

Keď sa dvakrát hodila minca, vypadli dve mriežky; keď sa dvakrát hodila minca, vypadli dva erby;

Pri prvom hode mincou vypadol rošt a pri druhom erb;

Pri prvom hode mincou vypadol erb a pri druhom rošt.

Nech náhodná premenná X je počet výpadkov mriežky. Je definovaný na a súbore jeho hodnôt . Všetky možné podmnožiny vrátane jednobodových tvoria - algebru, t.j. =(Ø, (1), (2), (0,1), (0,2), (1,2), (0,1,2)).

Pravdepodobnosť udalosti ( X = x i}, і = 1,2,3 , definujeme ako pravdepodobnosť výskytu udalosti, ktorá je jej prototypom:

Teda pri základných udalostiach ( X = x i) nastaviť číselnú funkciu R X, Takže .

Definícia 2.4. Distribučný zákon diskrétnej náhodnej premennej je množina párov čísel (x i, p i), kde x i sú možné hodnoty náhodnej premennej a p i sú pravdepodobnosti, s ktorými tieto hodnoty nadobúda, a .

Najjednoduchšou formou špecifikácie zákona o rozdelení diskrétnej náhodnej premennej je tabuľka, ktorá uvádza možné hodnoty náhodnej premennej a zodpovedajúce pravdepodobnosti:

			…		…
			…		…

Takáto tabuľka sa nazýva distribučný riadok. Aby bola distribučná séria viac vizuálna, je znázornená graficky: na osi Oh dať bodky x i a kresliť z nich kolmice dĺžky p i. Výsledné body sa spoja a získa sa mnohouholník, ktorý je jednou z foriem distribučného zákona (obr. 2.1).

Ak teda chcete nastaviť diskrétnu náhodnú premennú, musíte nastaviť jej hodnoty a zodpovedajúce pravdepodobnosti.

Príklad 2.2. Akceptor peňazí automatu sa spustí vždy, keď s pravdepodobnosťou padne minca R. Akonáhle to funguje, mince sa neznižujú. Nechaj X- počet mincí, ktoré sa musia znížiť pred spustením zariadenia na príjem peňazí. Zostrojte sériu rozdelenia diskrétnej náhodnej premennej X.

Riešenie. Možné hodnoty náhodnej premennej X: x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2, ..., x k \u003d k, ... Poďme nájsť pravdepodobnosti týchto hodnôt: p 1 je pravdepodobnosť, že zásuvka na peniaze bude fungovať pri prvom zostupe, a p1 = p; p 2 - pravdepodobnosť, že sa uskutočnia dva pokusy. K tomu je potrebné, aby: 1) pri prvom pokuse nefungoval príjemca peňazí; 2) na druhý pokus - podarilo sa. Pravdepodobnosť tejto udalosti je (1–r)r. Podobne a tak ďalej, . Rozsah distribúcie X bude mať formu

	1	2	3	…	Komu	…
	R	qp	q 2 p		q r -1 str

Všimnite si, že pravdepodobnosti r do tvoria geometrickú postupnosť s menovateľom: 1 – p = q, q<1, takže toto rozdelenie pravdepodobnosti sa nazýva geometrický.

Predpokladajme ďalej, že bol skonštruovaný matematický model experiment opísaný diskrétnou náhodnou premennou X a zvážte výpočet pravdepodobnosti výskytu svojvoľných udalostí.

Nech ľubovoľná udalosť obsahuje konečnú alebo spočítateľnú množinu hodnôt x i: A= {x 1 , x 2 ,..., x i , ...) .Udalosť A možno reprezentovať ako spojenie nezlučiteľných udalostí v tvare : . Potom aplikovaním Kolmogorovovej axiómy 3 , dostaneme

keďže sme určili, že pravdepodobnosti výskytu udalostí sa rovnajú pravdepodobnostiam výskytu udalostí, ktoré sú ich prototypmi. To znamená, že pravdepodobnosť akejkoľvek udalosti , , možno vypočítať podľa vzorca , keďže táto udalosť môže byť reprezentovaná ako spojenie udalostí, kde .

Potom distribučná funkcia F(х) = Р(–<Х<х) sa nachádza podľa vzorca. Z toho vyplýva, že distribučná funkcia diskrétnej náhodnej premennej X je nespojitá a skokovo sa zväčšuje, t. j. ide o krokovú funkciu (obr. 2.2):

Ak je množina konečná, potom je počet členov vo vzorci konečný, ak je spočítateľný, potom je spočítateľný aj počet členov.

Príklad 2.3. Technické zariadenie pozostáva z dvoch prvkov, ktoré pracujú nezávisle na sebe. Pravdepodobnosť zlyhania prvého prvku v čase T je 0,2 a pravdepodobnosť zlyhania druhého prvku je 0,1. Náhodná hodnota X- počet neúspešných prvkov v čase T. Nájdite distribučnú funkciu náhodnej premennej a zostavte jej graf.

Riešenie. Priestor elementárnych dejov experimentu, ktorý spočíva v štúdiu spoľahlivosti dvoch prvkov technického zariadenia, je určený štyrmi elementárnymi dejmi , , , : – oba prvky sú v poriadku; - prvý prvok je prevádzkyschopný, druhý je chybný; - prvý prvok je chybný, druhý je prevádzkyschopný; – oba prvky sú chybné. Každá z elementárnych udalostí môže byť vyjadrená pomocou elementárnych udalostí priestorov A , kde – prvý prvok je použiteľný; - prvý prvok je mimo prevádzky; – druhý prvok je použiteľný; - Druhý prvok je mimo prevádzky. Potom , a keďže prvky technického zariadenia fungujú nezávisle od seba, potom

8. Aká je pravdepodobnosť, že hodnoty diskrétnej náhodnej premennej patria do intervalu?

X; význam F(5); pravdepodobnosť, že náhodná premenná X naberie hodnoty z intervalu . Zostrojte distribučný polygón.

1. Distribučná funkcia F(x) diskrétnej náhodnej premennej je známa X:

Uveďte zákon rozdelenia náhodnej premennej X vo forme tabuľky.

1. Vzhľadom na zákon rozdelenia náhodnej premennej X:

X	–28	–20	–12	–4
p	0,22	0,44	0,17	0,1	0,07

1. Pravdepodobnosť, že obchod má certifikáty kvality pre celý sortiment produktov, je 0,7. Komisia preverila dostupnosť certifikátov v štyroch predajniach v okrese. Urobte distribučný zákon, vypočítajte matematické očakávanie a rozptyl počtu predajní, v ktorých sa pri kontrole nenašli certifikáty kvality.

1. Na stanovenie priemerného času horenia elektrických lámp v skupine 350 rovnakých škatúľ sa na testovanie odobrala jedna elektrická lampa z každej škatule. Odhadnite zdola pravdepodobnosť, že priemerná doba horenia vybraných elektrických lámp sa bude líšiť od priemernej doby horenia celej série o absolútnu hodnotu menej ako 7 hodín, ak je známe, že smerodajná odchýlka doby horenia elektrických lámp v každom boxe je menej ako 9 hodín.

1. Na telefónnej ústredni dôjde k nesprávnemu spojeniu s pravdepodobnosťou 0,002. Nájdite pravdepodobnosť, že medzi 500 spojeniami bude:

Nájdite distribučnú funkciu náhodnej premennej X. Nakreslite funkcie a . Vypočítajte priemer, rozptyl, modus a medián náhodnej premennej X.

1. Automat vyrába valčeky. Predpokladá sa, že ich priemer je normálne rozložená náhodná premenná s priemernou hodnotou 10 mm. Aká je štandardná odchýlka, ak s pravdepodobnosťou 0,99 leží priemer v rozsahu od 9,7 mm do 10,3 mm.

Ukážka A: 6 9 7 6 4 4

Ukážka B: 55 72 54 53 64 53 59 48

42 46 50 63 71 56 54 59

54 44 50 43 51 52 60 43

50 70 68 59 53 58 62 49

59 51 52 47 57 71 60 46

55 58 72 47 60 65 63 63

58 56 55 51 64 54 54 63

56 44 73 41 68 54 48 52

52 50 55 49 71 67 58 46

50 51 72 63 64 48 47 55

Možnosť 17.

1. Spomedzi 35 dielov je 7 neštandardných. Nájdite pravdepodobnosť, že dve náhodne vybrané časti sú štandardné.

1. Hoď tromi kockami. Nájdite pravdepodobnosť, že súčet bodov na padnutých tvárach je násobkom 9.

1. Slovo „ADVENTURE“ sa skladá z kariet, na každej je napísané jedno písmeno. Karty sa zamiešajú a vyberú jedna po druhej bez toho, aby sa vrátili. Nájdite pravdepodobnosť, že písmená vyňaté v poradí vzhľadu tvoria slovo: a) DOBRODRUŽSTVO; b) ZAJATIE.

1. Urna obsahuje 6 čiernych a 5 bielych loptičiek. Náhodne sa vyžrebuje 5 loptičiek. Nájdite pravdepodobnosť, že medzi nimi sú:
1. 2 biele gule;
2. menej ako 2 biele gule;
3. aspoň jedna čierna guľa.

1. A v jednom teste je 0,4. Nájdite pravdepodobnosti nasledujúcich udalostí:
1. udalosť A objaví sa 3-krát v sérii 7 nezávislých pokusov;
2. udalosť A sa objaví najmenej 220 a nie viac ako 235 krát v sérii 400 výziev.

1. Závod poslal do základne 5000 vysokokvalitných produktov. Pravdepodobnosť poškodenia každého produktu pri preprave je 0,002. Nájdite pravdepodobnosť, že sa na ceste nepoškodia viac ako 3 produkty.

1. Prvá urna obsahuje 4 biele a 9 čiernych loptičiek a druhá urna obsahuje 7 bielych a 3 čierne loptičky. Z prvej urny sa náhodne vyžrebujú 3 loptičky az druhej 4. Nájdite pravdepodobnosť, že všetky vyžrebované loptičky majú rovnakú farbu.

1. Vzhľadom na zákon rozdelenia náhodnej premennej X:

Vypočítajte jeho matematické očakávanie a rozptyl.

1. V krabičke je 10 ceruziek. Náhodne sú nakreslené 4 ceruzky. Náhodná hodnota X je počet modrých ceruziek medzi vybranými. Nájdite zákon jeho rozloženia, počiatočné a centrálne momenty 2. a 3. rádu.

1. Oddelenie technickej kontroly skontroluje 475 výrobkov na závady. Pravdepodobnosť, že výrobok je chybný, je 0,05. Nájdite s pravdepodobnosťou 0,95 hranice, ktoré budú obsahovať počet chybných výrobkov medzi testovanými.

1. Na telefónnej ústredni dôjde k nesprávnemu spojeniu s pravdepodobnosťou 0,003. Nájdite pravdepodobnosť, že medzi 1000 spojeniami bude:
1. najmenej 4 nesprávne pripojenia;
2. viac ako dve nesprávne pripojenia.

1. Náhodná premenná je daná funkciou hustoty rozdelenia:

Nájdite distribučnú funkciu náhodnej premennej X. Nakreslite funkcie a . Vypočítajte matematické očakávanie, rozptyl, modus a medián náhodnej premennej X.

1. Náhodná premenná je daná distribučnou funkciou:

1. Podľa vzorky A vyriešiť nasledujúce úlohy:
1. vytvoriť sériu variácií;

priemer vzorky;

Vzorový rozptyl

Režim a medián;

Ukážka A: 0 0 2 2 1 4

1. vypočítajte číselné charakteristiky variačného radu:

priemer vzorky;

Vzorový rozptyl

· smerodajná odchýlka;

režim a medián;

Ukážka B: 166 154 168 169 178 182 169 159

161 150 149 173 173 156 164 169

157 148 169 149 157 171 154 152

164 157 177 155 167 169 175 166

167 150 156 162 170 167 161 158

168 164 170 172 173 157 157 162

156 150 154 163 143 170 170 168

151 174 155 163 166 173 162 182

166 163 170 173 159 149 172 176

Možnosť 18.

1. Spomedzi 10 žrebov sú 2 výherné. Nájdite pravdepodobnosť, že jeden z piatich náhodne vyžrebovaných tiketov vyhrá.

1. Hoď tromi kockami. Nájdite pravdepodobnosť, že súčet hodených bodov je väčší ako 15.

1. Slovo "OBVOD" sa skladá z kariet, z ktorých každá má napísané jedno písmeno. Karty sa zamiešajú a vyberú jedna po druhej bez toho, aby sa vrátili. Nájdite pravdepodobnosť, že vyňaté písmená tvoria slovo: a) OBVOD; b) METER.

1. Urna obsahuje 5 čiernych a 7 bielych loptičiek. Náhodne sa vyžrebuje 5 loptičiek. Nájdite pravdepodobnosť, že medzi nimi sú:
1. 4 biele gule;
2. menej ako 2 biele gule;
3. aspoň jedna čierna guľa.

1. Pravdepodobnosť udalosti A v jednom teste je 0,55. Nájdite pravdepodobnosti nasledujúcich udalostí:
1. udalosť A objaví sa 3-krát v sérii 5 výziev;
2. udalosť A sa objaví najmenej 130 a nie viac ako 200 krát v sérii 300 výziev.

1. Pravdepodobnosť úniku v plechovke konzervovaného jedla je 0,0005. Nájdite pravdepodobnosť, že dve z 2 000 pohárov budú vytekať.

1. Prvá urna obsahuje 4 biele a 8 čiernych loptičiek a druhá urna obsahuje 7 bielych a 4 čierne gule. Z prvej urny sa náhodne vyžrebujú 2 loptičky a z druhej urny 3 loptičky. Nájdite pravdepodobnosť, že všetky vytiahnuté loptičky majú rovnakú farbu.

1. Medzi dielmi, ktoré prichádzajú na montáž, z prvého stroja je 0,1% chybných, z druhého - 0,2%, z tretieho - 0,25%, zo štvrtého - 0,5%. Produktivita strojov súvisí s pomerom 4:3:2:1. Náhodne odobratá časť sa ukázala ako štandardná. Nájdite pravdepodobnosť, že predmet bol vyrobený na prvom stroji.

1. Vzhľadom na zákon rozdelenia náhodnej premennej X:

Vypočítajte jeho matematické očakávanie a rozptyl.

1. Elektrikár má tri žiarovky, z ktorých každá má poruchu s pravdepodobnosťou 0,1 .. Žiarovky sú zaskrutkované do objímky a zapnutý prúd. Po zapnutí prúdu chybná žiarovka okamžite vyhorí a nahradí sa inou. Nájdite distribučný zákon, matematické očakávanie a rozptyl počtu testovaných žiaroviek.

1. Pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa je 0,3 na každý z 900 nezávislých výstrelov. Pomocou Čebyševovej nerovnosti odhadnite pravdepodobnosť, že cieľ bude zasiahnutý minimálne 240-krát a maximálne 300-krát.

1. Na telefónnej ústredni dôjde k nesprávnemu spojeniu s pravdepodobnosťou 0,002. Nájdite pravdepodobnosť, že medzi 800 spojeniami bude:
1. najmenej tri nesprávne pripojenia;
2. viac ako štyri nesprávne pripojenia.

1. Náhodná premenná je daná funkciou hustoty rozdelenia:

Nájdite distribučnú funkciu náhodnej premennej X. Zostrojte grafy funkcií a . Vypočítajte priemer, rozptyl, modus a medián náhodnej premennej X.

1. Náhodná premenná je daná distribučnou funkciou:

1. Podľa vzorky A vyriešiť nasledujúce úlohy:
1. vytvoriť sériu variácií;
2. vypočítať relatívne a akumulované frekvencie;
3. zostaviť empirickú distribučnú funkciu a zostaviť jej graf;
4. vypočítajte číselné charakteristiky variačného radu:

priemer vzorky;

Vzorový rozptyl

· smerodajná odchýlka;

režim a medián;

Ukážka A: 4 7 6 3 3 4

1. V prípade vzorky B vyriešte nasledujúce problémy:
1. vytvoriť zoskupenú sériu variácií;
2. zostavte histogram a mnohouholník frekvencií;
3. vypočítajte číselné charakteristiky variačného radu:

priemer vzorky;

Vzorový rozptyl

· smerodajná odchýlka;

režim a medián;

Ukážka B: 152 161 141 155 171 160 150 157

154 164 138 172 155 152 177 160

168 157 115 128 154 149 150 141

172 154 144 177 151 128 150 147

143 164 156 145 156 170 171 142

148 153 152 170 142 153 162 128

150 146 155 154 163 142 171 138

128 158 140 160 144 150 162 151

163 157 177 127 141 160 160 142

159 147 142 122 155 144 170 177

Možnosť 19.

1. Na stavbe pracuje 16 žien a 5 mužov. Náhodne boli vybraní 3 ľudia podľa personálnych počtov. Nájdite pravdepodobnosť, že všetci vybraní ľudia sú muži.

2. Hodia sa štyri mince. Nájdite pravdepodobnosť, že iba dve mince budú mať erb.

3. Slovo „PSYCHOLÓGIA“ sa skladá z kariet, z ktorých každá má napísané jedno písmeno. Karty sa zamiešajú a vyberú jedna po druhej bez toho, aby sa vrátili. Nájdite pravdepodobnosť, že vyňaté písmená tvoria slovo: a) PSYCHOLÓGIA; b) ZAMESTNANCI.

4. Urna obsahuje 6 čiernych a 7 bielych loptičiek. Náhodne sa vyžrebuje 5 loptičiek. Nájdite pravdepodobnosť, že medzi nimi sú:

a. 3 biele gule;

b. menej ako 3 biele gule;

c. aspoň jednu bielu guľu.

5. Pravdepodobnosť udalosti A v jednom teste je 0,5. Nájdite pravdepodobnosti nasledujúcich udalostí:

a. udalosť A objaví sa 3-krát v sérii 5 nezávislých pokusov;

b. udalosť A sa objaví najmenej 30 a nie viac ako 40 krát v sérii 50 výziev.

6. Existuje 100 strojov rovnakého výkonu, pracujúcich nezávisle na sebe v rovnakom režime, v ktorom je ich pohon zapnutý na 0,8 pracovnej hodiny. Aká je pravdepodobnosť, že v danom čase bude zapnutých 70 až 86 strojov?

7. Prvá urna obsahuje 4 biele a 7 čiernych loptičiek a druhá urna obsahuje 8 bielych a 3 čierne gule. Z prvej urny sa náhodne vyžrebujú 4 loptičky a z druhej urny 1 loptička. Nájdite pravdepodobnosť, že medzi vytiahnutými loptičkami sú len 4 čierne gule.

8. Každý deň sa do predajne áut dodávajú tri značky áut v objemoch: Moskvič - 40 %; "Dobre" - 20%; "Volga" - 40% všetkých dovážaných automobilov. Medzi automobilmi značky Moskvich má 0,5% zariadenie proti krádeži, Oka - 0,01%, Volga - 0,1%. Nájdite pravdepodobnosť, že auto odobraté na testovanie má zariadenie proti krádeži.

9. Čísla a sú vybrané náhodne na segmente. Nájdite pravdepodobnosť, že tieto čísla vyhovujú nerovnostiam.

10. Je daný zákon rozdelenia náhodnej veličiny X:

X
p	0,1	0,2	0,3	0,4

Nájdite distribučnú funkciu náhodnej premennej X; význam F(2); pravdepodobnosť, že náhodná premenná X naberie hodnoty z intervalu . Zostrojte distribučný polygón.

ZÁKON O ROZDELENÍ A CHARAKTERISTIKY

NÁHODNÉ HODNOTY

Náhodné veličiny, ich klasifikácia a metódy popisu.

Náhodná hodnota je veličina, ktorá v dôsledku experimentu môže nadobudnúť jednu alebo druhú hodnotu, ktorá však nie je vopred známa. Pre náhodnú premennú je preto možné zadať iba hodnoty, z ktorých jedna bude nevyhnutne brať ako výsledok experimentu. Tieto hodnoty sa budú označovať ako možné hodnoty náhodnej premennej. Keďže náhodná premenná kvantitatívne charakterizuje náhodný výsledok experimentu, možno ju považovať za kvantitatívnu charakteristiku náhodnej udalosti.

Náhodné premenné sa zvyčajne označujú veľkými písmenami latinskej abecedy, napríklad X..Y..Z, a ich možné hodnoty zodpovedajúcimi malými písmenami.

Existujú tri typy náhodných premenných:

diskrétne; Nepretržitý; Zmiešané.

Diskrétne taká náhodná premenná sa nazýva, ktorej počet možných hodnôt tvorí spočítateľnú množinu. Počítateľná množina je zasa množina, ktorej prvky možno očíslovať. Slovo „diskrétny“ pochádza z latinského discretus, čo znamená „nespojitý, pozostávajúci z oddelených častí“.

Príklad 1. Diskrétna náhodná premenná je počet chybných častí X v dávke nfl. Možné hodnoty tejto náhodnej premennej sú séria celých čísel od 0 do n.

Príklad 2. Diskrétna náhodná premenná je počet výstrelov pred prvým zásahom do cieľa. Tu, ako v príklade 1, môžu byť možné hodnoty očíslované, hoci v obmedzujúcom prípade je možná hodnota nekonečne veľké číslo.

nepretržitý sa nazýva náhodná premenná, ktorej možné hodnoty plynule vypĺňajú určitý interval číselnej osi, niekedy nazývaný interval existencie tejto náhodnej premennej. V akomkoľvek konečnom intervale existencie je teda počet možných hodnôt spojitej náhodnej premennej nekonečne veľký.

Príklad 3. Spojitá náhodná veličina je spotreba elektriny v podniku za mesiac.

Príklad 4. Spojitá náhodná veličina je chyba pri meraní výšky pomocou výškomeru. Z princípu činnosti výškomeru nech je známe, že chyba je v rozsahu od 0 do 2 m. Preto interval existencie tejto náhodnej veličiny je interval od 0 do 2 m.

Zákon rozdelenia náhodných veličín.

Náhodná premenná sa považuje za úplne špecifikovanú, ak sú jej možné hodnoty uvedené na číselnej osi a je stanovený distribučný zákon.

Zákon rozdelenia náhodnej premennej sa nazýva vzťah, ktorý vytvára vzťah medzi možnými hodnotami náhodnej premennej a zodpovedajúcimi pravdepodobnosťami.

O náhodnej premennej sa hovorí, že je rozdelená podľa daného zákona alebo podlieha danému zákonu rozdelenia. Ako distribučné zákony sa používa množstvo pravdepodobností, distribučná funkcia, hustota pravdepodobnosti, charakteristická funkcia.

Distribučný zákon poskytuje úplný pravdepodobný popis náhodnej premennej. Podľa distribučného zákona je možné pred skúsenosťou posúdiť, ktoré možné hodnoty náhodnej premennej sa budú objavovať častejšie a ktoré menej.

Pre diskrétnu náhodnú premennú môže byť distribučný zákon uvedený vo forme tabuľky, analyticky (vo forme vzorca) a graficky.

Najjednoduchšou formou špecifikácie zákona o rozdelení diskrétnej náhodnej premennej je tabuľka (matica), ktorá uvádza vzostupne všetky možné hodnoty náhodnej premennej a im zodpovedajúce pravdepodobnosti, t.j.

Takáto tabuľka sa nazýva séria rozdelenia diskrétnej náhodnej premennej. 1

Udalosti X 1 , X 2 ,..., X n , spočívajúce v tom, že v dôsledku testu náhodná premenná X nadobudne hodnoty x 1 , x 2 ,... x n, resp. , sú nekonzistentné a jediné možné (pretože v tabuľke sú uvedené všetky možné hodnoty náhodnej premennej), t.j. vytvoriť kompletnú skupinu. Preto sa súčet ich pravdepodobností rovná 1. Teda pre akúkoľvek diskrétnu náhodnú premennú

(Táto jednotka je nejakým spôsobom rozdelená medzi hodnoty náhodnej premennej, preto pojem „distribúcia“).

Distribučný rad možno zobraziť graficky, ak sú hodnoty náhodnej premennej vynesené pozdĺž osi x a ich zodpovedajúce pravdepodobnosti pozdĺž osi y. Spojenie získaných bodov tvorí prerušovanú čiaru, nazývanú polygón alebo polygón rozdelenia pravdepodobnosti (obr. 1).

Príklad Hrá sa lotéria: auto v hodnote 5000 denov. jednotky, 4 televízory v hodnote 250 den. jednotka, 5 videorekordérov v hodnote 200 den. Jednotky Celkovo sa predáva 1000 vstupeniek za 7 dňov. Jednotky Vypracujte zákon o rozdelení čistých výhier získaných účastníkom lotérie, ktorý si kúpil jeden tiket.

Riešenie. Možné hodnoty náhodnej premennej X - čisté výhry na tiket - sú 0-7 = -7 den. Jednotky (ak tiket nevyhral), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 denov. Jednotky (ak lístok vyhral videorekordér, televízor alebo auto). Vzhľadom na to, že z 1000 tiketov je počet nevýhercov 990 a uvedené výhry sú 5, 4 a 1 a pri použití klasickej definície pravdepodobnosti dostaneme.

Na tejto stránke sme zozbierali príklady riešenia výchovných problémy s diskrétnymi náhodnými premennými. Ide o pomerne rozsiahlu časť: študujú sa rôzne distribučné zákony (binomické, geometrické, hypergeometrické, Poissonove a iné), vlastnosti a numerické charakteristiky, pre každý distribučný rad je možné zostaviť grafické znázornenia: polygón (polygón) pravdepodobností, rozdelenie funkciu.

Nižšie nájdete príklady rozhodnutí o diskrétnych náhodných premenných, pri ktorých je potrebné použiť poznatky z predchádzajúcich častí teórie pravdepodobnosti na zostavenie distribučného zákona a následne vypočítať matematické očakávanie, rozptyl, smerodajnú odchýlku, zostaviť distribučnú funkciu. , odpovedať na otázky týkajúce sa DSV atď. P.

Príklady populárnych zákonov o rozdelení pravdepodobnosti:

Kalkulačky pre charakteristiky DSV

• Výpočet matematického očakávania, rozptylu a štandardnej odchýlky DSV.

Vyriešené problémy s DSV

Distribúcie blízke geometrickým

Úloha 1. Na ceste auta sú 4 semafory, z ktorých každý zakazuje ďalší pohyb auta s pravdepodobnosťou 0,5. Nájdite číslo rozloženia počtu semaforov, ktoré prešlo auto pred prvou zastávkou. Aké je matematické očakávanie a rozptyl tejto náhodnej premennej?

Úloha 2. Poľovník strieľa na zver pred prvým zásahom, ale nestihne urobiť viac ako štyri výstrely. Napíšte distribučný zákon pre počet netrafených gólov, ak pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa jednou ranou je 0,7. Nájdite rozptyl tejto náhodnej premennej.

Úloha 3. Strelec, ktorý má 3 náboje, strieľa na cieľ až do prvého zásahu. Pravdepodobnosť zasiahnutia prvého, druhého a tretieho výstrelu je 0,6, 0,5, 0,4, resp. S.V. $\xi$ - počet zostávajúcich kaziet. Zostavte distribučný rad náhodnej premennej, nájdite matematické očakávanie, rozptyl, smerodajnú odchýlku r.v., zostrojte distribučnú funkciu r.v., nájdite $P(|\xi-m| \le \sigma$.

Úloha 4. Krabička obsahuje 7 štandardných a 3 chybné diely. Časti sa odoberajú postupne, kým sa neobjaví štandardná časť, bez toho, aby sa vrátili späť. $\xi$ - počet nájdených chybných dielov.
Zostavte distribučný zákon pre diskrétnu náhodnú premennú $\xi$, vypočítajte jej matematické očakávanie, rozptyl, smerodajnú odchýlku, nakreslite distribučný mnohouholník a graf distribučnej funkcie.

Úlohy s nezávislými udalosťami

Úloha 5. Na opravnú skúšku z teórie pravdepodobnosti prišli 3 študenti. Pravdepodobnosť, že prvý zloží skúšku, je 0,8, druhý - 0,7, tretí - 0,9. Nájdite distribučný rad náhodnej premennej $\xi$ počtu študentov, ktorí zložili skúšku, zostavte graf distribučnej funkcie, nájdite $M(\xi), D(\xi)$.

Úloha 6. Pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa jedným výstrelom je 0,8 a každým výstrelom klesá o 0,1. Zostavte zákon o rozdelení počtu zásahov do terča, ak sú vystrelené tri výstrely. Nájdite matematické očakávanie, rozptyl a S.K.O. túto náhodnú premennú. Nakreslite distribučnú funkciu.

Úloha 7. Na terč sa strieľajú 4 výstrely. V tomto prípade sa pravdepodobnosť zásahu zvyšuje nasledovne: 0,2, 0,4, 0,6, 0,7. Nájdite distribučný zákon náhodnej premennej $X$ - počet zásahov. Nájdite pravdepodobnosť, že $X \ge 1$.

Úloha 8. Hodia sa dve symetrické mince, spočíta sa počet erbov na oboch horných stranách mincí. Uvažujeme diskrétnu náhodnú premennú $X$ – počet erbov na oboch minciach. Napíšte zákon rozdelenia náhodnej premennej $X$, nájdite jej matematické očakávanie.

Ďalšie úlohy a zákony distribúcie DSV

Úloha 9. Dvaja basketbalisti strieľajú tri strely do koša. Pravdepodobnosť zásahu pre prvého basketbalistu je 0,6, pre druhého - 0,7. Nech $X$ je rozdiel medzi počtom úspešných hodov prvého a druhého basketbalistu. Nájdite distribučný rad, režim a distribučnú funkciu náhodnej premennej $X$. Zostrojte distribučný polygón a nakreslite distribučnú funkciu. Vypočítajte matematické očakávanie, rozptyl a smerodajnú odchýlku. Nájdite pravdepodobnosť udalosti $(-2 \lt X \le 1)$.

Úloha 10. Počet nerezidentských lodí, ktoré denne prichádzajú na nakládku do určitého prístavu, je náhodná hodnota $X$, ktorá sa uvádza takto:
0 1 2 3 4 5
0,1 0,2 0,4 0,1 0,1 0,1
A) uistite sa, že je nastavená distribučná séria,
B) nájdite distribučnú funkciu náhodnej premennej $X$,
C) ak v daný deň prídu viac ako tri lode, prístav preberá zodpovednosť za náklady z dôvodu potreby najať ďalších vodičov a nakladačov. Aká je pravdepodobnosť, že prístavu vzniknú dodatočné náklady?
D) nájdite matematické očakávanie, rozptyl a smerodajnú odchýlku náhodnej premennej $X$.

Úloha 11. Hoď 4 kockami. Nájdite matematické očakávanie súčtu počtu bodov, ktoré padnú na všetky tváre.

Úloha 12. Dvaja hráči sa striedajú v hádzaní mincou, kým sa prvýkrát neobjaví erb. Hráč, ktorému vypadol erb, dostane od iného hráča 1 rubeľ. Nájdite matematické očakávania odmeny každého hráča.