Modelovanie dynamických systémov (Lagrangeova metóda a Bondova metóda). Lagrangeova multiplikačná metóda

multiplikačná metódaLagrange(v anglickej literatúre "LaGrange" s method of undetermined multipliers") ˗ ide o numerickú metódu na riešenie optimalizačných problémov, ktorá umožňuje určiť "podmienený" extrém účelovej funkcie (minimálnu alebo maximálnu hodnotu)

za prítomnosti daných obmedzení jeho premenných vo forme rovnosti (t. j. je definovaný rozsah prípustných hodnôt)

˗ sú to hodnoty argumentu funkcie (riadené parametre) na reálnej ploche, v ktorej hodnota funkcie smeruje k extrému. Použitie názvu „podmienený“ extrém je spôsobené tým, že na premenné je uložená ďalšia podmienka, ktorá obmedzuje oblasť prípustných hodnôt pri hľadaní extrému funkcie.

Metóda Lagrangeovho multiplikátora umožňuje previesť problém nájdenia podmieneného extrému cieľovej funkcie na množine prípustných hodnôt na problém nepodmienenej optimalizácie funkcie.

Ak funkcie A sú spojité spolu so svojimi parciálnymi deriváciami, potom existujú premenné λ, ktoré nie sú súčasne rovné nule, za ktorých je splnená nasledujúca podmienka:

Preto v súlade s metódou Lagrangeových multiplikátorov na hľadanie extrému účelovej funkcie na množine prípustných hodnôt zostavím Lagrangeovu funkciu L(x, λ), ktorá je ďalej optimalizovaná:

kde λ ˗ je vektor ďalších premenných nazývaných neurčité Lagrangeove multiplikátory.

Problém nájdenia podmieneného extrému funkcie f(x) sa teda zredukoval na problém nájdenia nepodmieneného extrému funkcie L(x, λ).

A

Nevyhnutná podmienka pre extrém Lagrangeovej funkcie je daná sústavou rovníc (systém pozostáva z rovníc "n + m"):

Riešenie tejto sústavy rovníc umožňuje určiť argumenty funkcie (X), pri ktorých hodnota funkcie L(x, λ), ako aj hodnota účelovej funkcie f(x) zodpovedajú extrém.

Hodnota Lagrangeových multiplikátorov (λ) je praktická, ak sú obmedzenia prezentované vo forme s voľným členom rovnice (konštanta). V tomto prípade môžeme ďalej uvažovať (zvýšiť/znížiť) hodnotu účelovej funkcie zmenou hodnoty konštanty v sústave rovníc . Lagrangeov multiplikátor teda charakterizuje rýchlosť zmeny maxima účelovej funkcie so zmenou limitnej konštanty.

Existuje niekoľko spôsobov, ako určiť povahu extrému výslednej funkcie:

Prvý spôsob: Nech - súradnice extrémneho bodu a - zodpovedajúca hodnota účelovej funkcie. Zoberie sa bod, ktorý je blízko bodu a vypočíta sa hodnota účelovej funkcie:

Ak , potom je v bode maximum.

Ak , potom je v bode minimum.

Druhý spôsob: Postačujúcou podmienkou, z ktorej možno určiť povahu extrému, je znak druhého diferenciálu Lagrangeovej funkcie. Druhý diferenciál Lagrangeovej funkcie je definovaný takto:

Ak v danom bode minimálne, ak , potom účelová funkcia f(x) má podmienenú maximálne.

Tretí spôsob: Povahu extrému funkcie možno tiež zistiť zvážením Hessiánskej Lagrangeovej funkcie. Hessova matica je symetrická štvorcová matica druhých parciálnych derivácií funkcie v bode, kde sú prvky matice symetrické okolo hlavnej uhlopriečky.

Na určenie typu extrému (maximum alebo minimum funkcie) môžete použiť Sylvesterovo pravidlo:

1. Aby bol druhý diferenciál Lagrangeovej funkcie kladné znamienko je potrebné, aby uhlové minory funkcie boli kladné. Za takýchto podmienok má funkcia v tomto bode minimum.

2. Aby bol druhý diferenciál Lagrangeovej funkcie znamienkovo-negatívny , je potrebné, aby sa striedali uhlové minory funkcie a prvý prvok matice musí byť záporný sv . Za takýchto podmienok má funkcia v tomto bode maximum.

Uhlová minor je vedľajšia umiestnená v prvých k riadkoch a k stĺpcoch pôvodnej matice.

Hlavným praktickým významom metódy Lagrange je to, že vám umožňuje prejsť z podmienenej optimalizácie na nepodmienenú a podľa toho rozšíriť arzenál dostupných metód na riešenie problému. Problém riešenia sústavy rovníc, na ktorý je táto metóda redukovaná, však vo všeobecnom prípade nie je jednoduchší ako pôvodný problém hľadania extrému. Takéto metódy sa nazývajú nepriame. Ich použitie sa vysvetľuje potrebou získať riešenie extrémneho problému v analytickej forme (napríklad pre určité teoretické výpočty). Pri riešení konkrétnych praktických problémov sa zvyčajne používajú priame metódy založené na iteračných procesoch výpočtu a porovnávania hodnôt optimalizovaných funkcií.

Spôsob výpočtu

1 krok: Z danej účelovej funkcie a systému obmedzení určíme Lagrangeovu funkciu:

Vpred

Ak chcete pridať svoj komentár k článku, zaregistrujte sa na stránke.

Názov parametra	Význam
Predmet článku:	Lagrangeova metóda.
Rubrika (tematická kategória)	Matematika

Nájsť polynóm znamená určiť hodnoty jeho koeficientu . Ak to chcete urobiť, pomocou podmienky interpolácie môžete vytvoriť systém lineárnych algebraických rovníc (SLAE).

Determinant tohto SLAE sa zvyčajne nazýva Vandermondov determinant. Vandermondov determinant sa nerovná nule, keď for , teda v prípade, keď vo vyhľadávacej tabuľke nie sú žiadne zodpovedajúce uzly. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, možno tvrdiť, že SLAE má riešenie a toto riešenie je jedinečné. Riešenie SLAE a určenie neznámych koeficientov dá sa zostrojiť interpolačný polynóm.

Polynóm, ktorý spĺňa podmienky interpolácie, je pri interpolácii Lagrangeovou metódou konštruovaný ako lineárna kombinácia polynómov n-tého stupňa:

Polynómy sa nazývajú základné polynómy. Za účelom Lagrangeov polynóm spĺňa interpolačné podmienky, je mimoriadne dôležité, aby pre jeho základné polynómy boli splnené nasledujúce podmienky:

Pre .

Ak sú splnené tieto podmienky, potom pre všetky máme:

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, splnenie daných podmienok pre základné polynómy znamená, že sú splnené aj podmienky interpolácie.

Určme tvar základných polynómov na základe obmedzení, ktoré sú na ne kladené.

1. podmienka: v .

2. podmienka: .

Nakoniec pre základný polynóm môžeme napísať:

Potom dosadením výsledného výrazu pre základné polynómy do pôvodného polynómu získame konečný tvar Lagrangeovho polynómu:

Konkrétna forma Lagrangeovho polynómu at sa zvyčajne nazýva lineárny interpolačný vzorec:

.

Lagrangeov polynóm sa zvyčajne nazýva kvadratický interpolačný vzorec:

Lagrangeova metóda. - pojem a druhy. Klasifikácia a vlastnosti kategórie "Lagrangeova metóda." 2017, 2018.

- Lagrangeova metóda (metóda variácie ľubovoľnej konštanty).

Lineárne diaľkové ovládače. Definícia. typové ovládanie t.j. lineárna vzhľadom na neznámu funkciu a jej derivácia sa nazýva lineárna. Pre riešenie tohto typu ur-th uvažujme dve metódy: Lagrangeovu metódu a Bernoulliho metódu Uvažujme homogénnu DE.

- Lineárne diaľkové ovládanie, homogénne a heterogénne. Koncept všeobecného riešenia. Lagrangeova metóda variácie súčinov konštánt.

Definícia. DU sa nazýva homogénna, ak f-i môže byť reprezentované ako f-i vo vzťahu k ich argumentom Príklad. F-tá sa nazýva homogénne f-té meranie, ak Príklady: 1) - 1. rád homogenity. 2) - 2. rád homogenity. 3) - nulový rád homogenity (len homogénny... .

- Prednáška 8. Aplikácia parciálnych derivácií: úlohy pre extrém. Lagrangeova metóda.

Extrémne úlohy majú veľký význam v ekonomických výpočtoch. Ide napríklad o výpočet maximálneho príjmu, zisku, minimálnych nákladov v závislosti od viacerých premenných: zdroje, výrobné aktíva atď. Teória hľadania extrémov funkcií... .

- T.2.3. DE vyšších rádov. Rovnica v totálnych diferenciáloch. T.2.4. Lineárne DE druhého rádu s konštantnými koeficientmi. Lagrangeova metóda.

3. 2. 1. DE s oddeliteľnými premennými S.R. 3. V prírodných vedách, technike a ekonómii sa často treba zaoberať empirickými vzorcami, t.j. vzorce zostavené na základe spracovania štatistických údajov alebo ...

Metóda na určenie podmieneného extrému začína konštrukciou pomocnej Lagrangeovej funkcie, ktorá v oblasti realizovateľných riešení dosahuje maximum pre rovnaké hodnoty premenných. X 1 , X 2 , ..., X n , čo je účelová funkcia z . Nech je problém určenia podmieneného extrému funkcie z=f(X) pod obmedzeniami φ i ( X 1 , X 2 , ..., X n ) = 0, i = 1, 2, ..., m , m < n

Zostavte funkciu

ktorá sa volá Lagrangeova funkcia. X , - konštantné faktory ( Lagrangeove multiplikátory). Všimnite si, že Lagrangeove multiplikátory môžu mať ekonomický význam. Ak f(x 1 , X 2 , ..., X n ) - príjem podľa plánu X = (x 1 , X 2 , ..., X n ) a funkciu φ i (X 1 , X 2 , ..., X n ) sú náklady na i-tý zdroj zodpovedajúce tomuto plánu X , - cena (odhad) i-tého zdroja, ktorá charakterizuje zmenu extrémnej hodnoty účelovej funkcie v závislosti od zmeny veľkosti i-tého zdroja (hraničný odhad). L(X) - funkcia n+m premenných (X 1 , X 2 , ..., X n , λ 1 , λ 2 , ..., λ n ) . Určenie stacionárnych bodov tejto funkcie vedie k riešeniu sústavy rovníc

Je ľahké to vidieť . Teda problém nájsť podmienený extrém funkcie z=f(X) redukuje na nájdenie lokálneho extrému funkcie L(X) . Ak sa nájde stacionárny bod, potom sa otázka existencie extrému v najjednoduchších prípadoch rieši na základe dostatočných podmienok pre extrém - štúdium znamenia druhého diferenciálu d 2 L(X) v stacionárnom bode za predpokladu, že sa premenná zvyšuje Δx i - súvisiaci vzťahmi

získaná diferenciáciou obmedzujúcich rovníc.

Riešenie sústavy nelineárnych rovníc s dvoma neznámymi pomocou nástroja Riešiteľ

Nastavenie Hľadanie riešenia umožňuje nájsť riešenie systému nelineárnych rovníc s dvoma neznámymi:

Kde
- nelineárna funkcia premenných X A r ,
je ľubovoľná konštanta.

Je známe, že pár X , r ) je riešením sústavy rovníc (10) práve vtedy, ak je riešením nasledujúcej rovnice o dvoch neznámych:

S na druhej strane riešením sústavy (10) sú priesečníky dvoch kriviek: f ] (X, r) = C A f 2 (x, y) = C 2 na povrchu XOY.

Z toho vyplýva metóda hľadania koreňov systému. nelineárne rovnice:

Určte (aspoň približne) interval existencie riešenia sústavy rovníc (10) alebo rovnice (11). Tu je potrebné vziať do úvahy typ rovníc zahrnutých v systéme, oblasť definície každej z ich rovníc atď. Niekedy sa používa výber počiatočnej aproximácie riešenia;

Zostavte riešenie rovnice (11) pre premenné x a y na zvolenom intervale alebo vytvorte grafy funkcií f 1 (X, r) = C a f 2 (x, y) = C 2 (systém(10)).

Lokalizácia predpokladaných koreňov sústavy rovníc - nájdite niekoľko minimálnych hodnôt z tabuľkovej tabuľky koreňov rovnice (11) alebo určte priesečníky kriviek zahrnutých v sústave (10).

4. Nájdite korene pre sústavu rovníc (10) pomocou doplnku Hľadajte riešenie.

Stručná teória

Metóda Lagrangeových multiplikátorov je klasickou metódou na riešenie problémov matematického programovania (najmä konvexných). Bohužiaľ, pri praktickej aplikácii metódy sa môžu vyskytnúť značné výpočtové ťažkosti, ktoré zužujú oblasť jej použitia. Uvažujeme tu o Lagrangeovej metóde najmä preto, že ide o aparát aktívne používaný na zdôvodnenie rôznych moderných numerických metód, ktoré sú v praxi široko používané. Čo sa týka Lagrangeovej funkcie a Lagrangeových multiplikátorov, zohrávajú samostatnú a mimoriadne dôležitú úlohu v teórii a aplikáciách nielen matematického programovania.

Zvážte klasický problém optimalizácie:

Medzi obmedzeniami tohto problému nie sú žiadne nerovnosti, neexistujú podmienky pre nezápornosť premenných, ich diskrétnosť a funkcie a sú spojité a majú parciálne derivácie aspoň druhého rádu.

Klasický prístup k riešeniu úlohy dáva systém rovníc (nevyhnutné podmienky), ktoré musí spĺňať bod, ktorý poskytuje funkcii lokálny extrém na množine bodov, ktoré spĺňajú obmedzenia (pre konvexný problém programovania nájdený bod bude súčasne globálnym extrémnym bodom).

Predpokladajme, že funkcia (1) má v bode lokálny podmienený extrém a poradie matice sa rovná . Potom je možné potrebné podmienky zapísať takto:

je Lagrangeova funkcia; sú Lagrangeove multiplikátory.

Existujú aj dostatočné podmienky, za ktorých riešenie sústavy rovníc (3) určuje extrémny bod funkcie . Táto otázka je riešená na základe štúdia znamienka druhého diferenciálu Lagrangeovej funkcie. Dostatočné podmienky sú však predovšetkým teoretické.

Pomocou metódy Lagrangeovho multiplikátora môžete zadať nasledujúci postup riešenia problému (1), (2):

1) zostavte Lagrangeovu funkciu (4);

2) nájdite parciálne derivácie Lagrangeovej funkcie vzhľadom na všetky premenné a porovnajte ich

nula. Dostaneme tak sústavu (3) pozostávajúcu z rovníc.. Vyriešte výslednú sústavu (ak sa ukáže, že je to možné!) a nájdite tak všetky stacionárne body Lagrangeovej funkcie;

3) zo stacionárnych bodov bez súradníc vyberte body, v ktorých má funkcia podmienené lokálne extrémy za prítomnosti obmedzení (2). Tento výber sa robí napríklad použitím dostatočných podmienok pre lokálny extrém. Štúdia sa často zjednoduší, ak sa použijú špecifické podmienky problému.

Príklad riešenia problému

Úloha

Firma vyrába dva druhy tovaru v množstvách a . Funkcia užitočných nákladov je definovaná vzťahom . Ceny týchto tovarov na trhu sú rovnaké resp.

Určte, pri akých objemoch výkonu sa dosahuje maximálny zisk a aký sa rovná, ak celkové náklady nepresiahnu

Máte problém pochopiť proces riešenia? Stránka má službu Riešenie problémov metódami optimálnych riešení na objednávku

Riešenie problému

Ekonomický a matematický model problému

Zisková funkcia:

Obmedzenia nákladov:

Získame nasledujúci ekonomický a matematický model:

Navyše podľa zmyslu úlohy

Lagrangeova multiplikačná metóda

Zostavme Lagrangeovu funkciu:

Nájdeme parciálne derivácie 1. rádu:

Zostavíme a vyriešime sústavu rovníc:

Odvtedy

Maximálny zisk:

Odpoveď

Preto je potrebné vyrábať jednotky. tovar 1. druhu a jednotky. tovar 2. druhu. V tomto prípade bude zisk maximálny a bude 270.
Uvádza sa príklad riešenia úlohy kvadratického konvexného programovania grafickou metódou.

Riešenie lineárnej úlohy grafickou metódou
Uvažuje sa o grafickej metóde riešenia úlohy lineárneho programovania (LPP) s dvoma premennými. Na príklade úlohy je uvedený podrobný popis konštrukcie výkresu a nájdenia riešenia.

Wilsonov model riadenia zásob
Na príklade riešenia problému sa uvažuje o hlavnom modeli riadenia zásob (Wilsonov model). Vypočítavajú sa také ukazovatele modelu, ako je optimálna veľkosť šarže objednávky, ročné skladovacie náklady, interval medzi dodávkami a miesto zadania objednávky.

Matica priamych nákladov a vstupno-výstupná matica
Na príklade riešenia problému sa uvažuje Leontievov medzisektorový model. Je znázornený výpočet matice koeficientov priamych materiálových nákladov, matice „input-output“, matice koeficientov nepriamych nákladov, vektorov konečnej spotreby a hrubej produkcie.

Uvažujme lineárnu nehomogénnu diferenciálnu rovnicu prvého rádu:
(1) .
Existujú tri spôsoby riešenia tejto rovnice:

• metóda konštantnej variácie (Lagrange).

Uvažujme o riešení lineárnej diferenciálnej rovnice prvého rádu Lagrangeovou metódou.

Metóda konštantnej variácie (Lagrange)

V metóde konštantnej variácie riešime rovnicu v dvoch krokoch. V prvej fáze zjednodušíme pôvodnú rovnicu a vyriešime homogénnu rovnicu. V druhej fáze nahradíme integračnú konštantu získanú v prvej fáze riešenia funkciou. Potom hľadáme všeobecné riešenie pôvodnej rovnice.

Zvážte rovnicu:
(1)

Krok 1 Riešenie homogénnej rovnice

Hľadáme riešenie homogénnej rovnice:

Toto je oddeliteľná rovnica

Samostatné premenné - vynásobte dx, vydeľte y:

Integrujeme:

Integrál nad y - tabuľkový:

Potom

Zosilniť:

Konštantu e C nahraďme C a odstránime znamienko modulu, ktoré sa redukuje na násobenie konštantou ±1, ktoré zaraďujeme do C :

Krok 2 Nahraďte konštantu C funkciou

Teraz nahradíme konštantu C funkciou x:
c → u (X)
To znamená, že budeme hľadať riešenie pôvodnej rovnice (1) ako:
(2)
Nájdeme derivát.

Podľa pravidla diferenciácie komplexnej funkcie:
.
Podľa pravidla diferenciácie produktov:

.
Dosadíme do pôvodnej rovnice (1) :
(1) ;

.
Dva termíny sa redukujú:
;
.
Integrujeme:
.
Nahradiť v (2) :
.
Výsledkom je všeobecné riešenie lineárnej diferenciálnej rovnice prvého rádu:
.

Príklad riešenia lineárnej diferenciálnej rovnice prvého rádu Lagrangeovou metódou

vyriešiť rovnicu

Riešenie

Riešime homogénnu rovnicu:

Oddelenie premenných:

Vynásobme:

Integrujeme:

Tabuľkové integrály:

Zosilniť:

Nahraďme konštantu e C za C a odstránime znamienka modulu:

Odtiaľ:

Nahraďme konštantu C funkciou x :
c → u (X)

Nájdeme derivát:
.
Do pôvodnej rovnice dosadíme:
;
;
alebo:
;
.
Integrujeme:
;
Riešenie rovnice:
.