Tabuľka základných vzorcov pre určitý integrál. Základné vzorce a metódy integrácie

V škole veľa ľudí nerieši integrály alebo majú s nimi nejaké ťažkosti. Tento článok vám pomôže prísť na to, keďže v ňom nájdete všetko. integrálne tabuľky.

Integrálne je jedným z hlavných výpočtov a konceptov v matematickej analýze. Jeho vzhľad vyplynul z dvoch účelov:
Prvý gól- obnoviť funkciu pomocou jej derivácie.
Druhý gól- výpočet plochy nachádzajúcej sa vo vzdialenosti od grafu k funkcii f(x) na priamke, kde a je väčšie alebo rovné x väčšie alebo rovné b a os x.

Tieto ciele nás vedú k určitým a neurčitým integrálom. Spojenie medzi týmito integrálmi spočíva v hľadaní vlastností a výpočte. Ale všetko plynie a všetko sa časom mení, našli sa nové riešenia, identifikovali sa dodatky, čím sa určité a neurčité integrály dostali k iným formám integrácie.

Čo sa stalo neurčitý integrál pýtaš sa. Ide o primitívnu funkciu F(x) jednej premennej x v intervale a väčšom ako x väčšom ako b. sa nazýva ľubovoľná funkcia F(x), v danom intervale pre ľubovoľné označenie x sa derivácia rovná F(x). Je jasné, že F(x) je primitívne pre f(x) v intervale a je väčšie ako x je väčšie ako b. To znamená F1(x) = F(x) + C. C - je ľubovoľná konštanta a primitívna derivácia pre f(x) v danom intervale. Toto tvrdenie je invertibilné, pre funkciu f(x) - 2 sa primitívne derivácie líšia iba konštantou. Na základe vety o integrálnom počte sa ukazuje, že každá spojitá v intervale a

Určitý integrál sa chápe ako limita v celočíselných súčtoch, alebo v situácii danej funkcie f(x) definovanej na niektorom riadku (a,b), na ktorom je primitívne F, teda rozdiel jeho výrazov na koncoch daného riadku. F(b) - F(a).

Na ilustráciu štúdia tejto témy navrhujem pozrieť si video. Podrobne hovorí a ukazuje, ako nájsť integrály.

Každá tabuľka integrálov je sama o sebe veľmi užitočná, pretože pomáha pri riešení konkrétneho typu integrálu.

Všetky možné druhy písacích potrieb a ďalšie. Môžete si kúpiť prostredníctvom internetového obchodu v-kant.ru. Alebo jednoducho kliknite na odkaz Papiernictvo Samara (http://v-kant.ru), kvalita a ceny vás milo prekvapia.

Hlavné integrály, ktoré by mal poznať každý študent

Uvedené integrály sú základom, základom základov. Tieto vzorce si určite treba zapamätať. Pri výpočte zložitejších integrálov ich budete musieť neustále používať.

Venujte zvláštnu pozornosť vzorcom (5), (7), (9), (12), (13), (17) a (19). Pri integrácii nezabudnite do odpovede pridať ľubovoľnú konštantu C!

Integrál konštanty

∫ A d x = A x + C (1)

Integrácia funkcie napájania

V skutočnosti bolo možné obmedziť sa len na vzorce (5) a (7), ale ostatné integrály z tejto skupiny sa vyskytujú tak často, že stojí za to im venovať trochu pozornosti.

∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = ln | x | +C (5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)

Integrály exponenciálnych funkcií a hyperbolických funkcií

Samozrejme, vzorec (8) (možno najvhodnejší na zapamätanie) možno považovať za špeciálny prípad vzorca (9). Vzorce (10) a (11) pre integrály hyperbolického sínusu a hyperbolického kosínusu možno ľahko odvodiť zo vzorca (8), ale je lepšie si tieto vzťahy jednoducho zapamätať.

∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)

Základné integrály goniometrických funkcií

Chybou, ktorú študenti často robia, je, že si zamieňajú znamienka vo vzorcoch (12) a (13). Pamätajúc si, že derivácia sínusu sa rovná kosínusu, z nejakého dôvodu mnohí ľudia veria, že integrál funkcie sinx sa rovná cosx. To nie je pravda! Integrál sínusu sa rovná „mínus kosínus“, ale integrál cosx sa rovná „len sínus“:

∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = hriech x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C (15)

Integrály, ktoré redukujú na inverzné goniometrické funkcie

Vzorec (16) vedúci k arkustangensu je prirodzene špeciálnym prípadom vzorca (17) pre a=1. Podobne (18) je špeciálny prípad (19).

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)

Zložitejšie integrály

Tieto vzorce je tiež vhodné zapamätať. Používajú sa tiež pomerne často a ich výstup je dosť únavný.

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | +C (20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C (21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a > 0) (23)
∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) (24)

Všeobecné pravidlá integrácie

1) Integrál súčtu dvoch funkcií sa rovná súčtu zodpovedajúcich integrálov: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) Integrál rozdielu dvoch funkcií sa rovná rozdielu zodpovedajúcich integrálov: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)

3) Konštantu možno vyňať zo znamienka integrálu: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)

Je ľahké vidieť, že vlastnosť (26) je jednoducho kombináciou vlastností (25) a (27).

4) Integrál komplexnej funkcie, ak je vnútorná funkcia lineárna: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

F(x) je tu primitívna derivácia funkcie f(x). Poznámka: tento vzorec funguje iba vtedy, keď je vnútorná funkcia Ax + B.

Dôležité: neexistuje univerzálny vzorec pre integrál súčinu dvoch funkcií, ako aj pre integrál zlomku:

∫ f (x) g (x) d x = ? ∫ f (x) g (x) d x = ? (tridsať)

To samozrejme neznamená, že zlomok alebo produkt nemožno integrovať. Je to tak, že zakaždým, keď uvidíte integrál ako (30), budete musieť vymyslieť spôsob, ako s ním „bojovať“. V niektorých prípadoch vám pomôže integrácia po častiach, v iných budete musieť urobiť zmenu premennej a niekedy môžu pomôcť aj „školské“ vzorce algebry či trigonometrie.

Jednoduchý príklad výpočtu neurčitého integrálu

Príklad 1. Nájdite integrál: ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d x

Použime vzorce (25) a (26) (integrál súčtu alebo rozdielu funkcií sa rovná súčtu alebo rozdielu príslušných integrálov. Získame: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x

Pripomeňme si, že konštantu možno vyňať zo znamienka integrálu (vzorec (27)). Výraz sa prevedie do formy

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e ​​​​x d x + 12 ∫ 1 d x

Teraz použijeme tabuľku základných integrálov. Budeme musieť použiť vzorce (3), (12), (8) a (1). Integrujme mocninnú funkciu, sínus, exponenciálnu a konštantnú 1. Nezabudnite na koniec pridať ľubovoľnú konštantu C:

3 x 3 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

Po elementárnych transformáciách dostaneme konečnú odpoveď:

X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

Otestujte sa diferenciáciou: zoberte deriváciu výslednej funkcie a uistite sa, že sa rovná pôvodnému integrandu.

Súhrnná tabuľka integrálov

∫ Ad x = A x + C

∫ x d x = x 2 2 + C

∫ x 2 d x = x 3 3 + C

∫ 1 x d x = 2 x + C

∫ 1 x d x = ln | x | +C

∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1)

∫ e x d x = e x + C

∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1)

∫ s h x d x = c h x + C

∫ c h x d x = s h x + C

∫ sin x d x = − cos x + C

∫ cos x d x = sin x + C

∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C

∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C

∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0)

∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C

∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0)

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | +C

∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C

∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0)

∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a > 0)

∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0)

Stiahnite si tabuľku integrálov (časť II) z tohto odkazu

Ak študujete na vysokej škole, ak máte problémy s vyššou matematikou (matematická analýza, lineárna algebra, teória pravdepodobnosti, štatistika), ak potrebujete služby kvalifikovaného učiteľa, prejdite na stránku vyššieho učiteľa matematiky. Vaše problémy vyriešime spoločne!

Tiež by vás mohlo zaujímať

Uveďme si integrály elementárnych funkcií, ktoré sa niekedy nazývajú tabuľkové:

Ktorýkoľvek z vyššie uvedených vzorcov môže byť dokázaný deriváciou pravej strany (výsledkom bude integrand).

Integračné metódy

Pozrime sa na niektoré základné integračné metódy. Tie obsahujú:

1. Metóda rozkladu(priama integrácia).

Táto metóda je založená na priamom použití tabuľkových integrálov, ako aj na použití vlastností 4 a 5 neurčitého integrálu (t. j. vyňatie konštantného faktora zo zátvoriek a/alebo reprezentovanie integrandu ako súčtu funkcií - rozklad integrandu do pojmov).

Príklad 1 Napríklad na nájdenie(dx/x 4) môžete priamo použiť tabuľkový integrál prex n dx. V skutočnosti (dx/x 4) =x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.

Pozrime sa na niekoľko ďalších príkladov.

Príklad 2 Na jeho nájdenie použijeme rovnaký integrál:

Príklad 3 Aby ste to našli, musíte si vziať

Príklad 4. Aby sme našli, reprezentujeme funkciu integrandu vo forme a použite tabuľkový integrál pre exponenciálnu funkciu:

Uvažujme použitie bracketingu ako konštantný faktor.

Príklad 5.Nájdime si napr . Vzhľadom na to, dostávame

Príklad 6. My to nájdeme. Pretože , použime tabuľkový integrál Dostaneme

V nasledujúcich dvoch príkladoch môžete použiť aj hranaté a tabuľkové integrály:

Príklad 7.

(používame a );

Príklad 8.

(používame A ).

Pozrime sa na zložitejšie príklady, ktoré používajú súčtový integrál.

Príklad 9. Napríklad nájdime
. Na aplikáciu metódy expanzie v čitateli použijeme vzorec súčtovej kocky  a výsledný polynóm potom vydelíme menovateľom, člen po člen.

=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx=

Treba poznamenať, že na konci riešenia je napísaná jedna spoločná konštanta C (a nie samostatné pri integrácii každého člena). V budúcnosti sa tiež navrhuje vynechať z integrácie jednotlivých členov v procese riešenia konštanty, pokiaľ výraz obsahuje aspoň jeden neurčitý integrál (na konci riešenia budeme písať jednu konštantu).

Príklad 10. nájdeme . Aby sme tento problém vyriešili, rozložme čitateľa na faktor (potom môžeme menovateľa zmenšiť).

Príklad 11. My to nájdeme. Tu možno použiť trigonometrické identity.

Niekedy, aby ste rozložili výraz na pojmy, musíte použiť zložitejšie techniky.

Príklad 12. nájdeme . V integrande vyberieme celú časť zlomku . Potom

Príklad 13. nájdeme

2. Variabilná náhradná metóda (substitučná metóda)

Metóda je založená na nasledujúcom vzorci: f(x)dx=f((t))`(t)dt, kde x =(t) je funkcia diferencovateľná na uvažovanom intervale.

Dôkaz. Nájdite derivácie vzhľadom na premennú t z ľavej a pravej strany vzorca.

Všimnite si, že na ľavej strane je komplexná funkcia, ktorej stredný argument je x = (t). Preto, aby sme ho diferencovali vzhľadom na t, najprv derivujeme integrál vzhľadom na x a potom vezmeme deriváciu stredného argumentu vzhľadom na t.

( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)

Derivát z pravej strany:

(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)

Keďže tieto derivácie sú rovnaké, v dôsledku Lagrangeovej vety sa ľavá a pravá strana dokazovaného vzorca líšia o určitú konštantu. Keďže samotné neurčité integrály sú definované až do neurčitého konštantného člena, túto konštantu možno z konečného zápisu vynechať. Osvedčené.

Úspešná zmena premennej umožňuje zjednodušiť pôvodný integrál a v najjednoduchších prípadoch ho zredukovať na tabuľkový. Pri aplikácii tejto metódy sa rozlišuje lineárna a nelineárna substitučná metóda.

a) Lineárna substitučná metóda Pozrime sa na príklad.

Príklad 1
. Nech je t = 1 – 2x

dx=d(½-½t) = -½dt

Je potrebné poznamenať, že novú premennú nie je potrebné explicitne vypisovať. V takýchto prípadoch hovoria o transformácii funkcie pod diferenciálnym znamienkom alebo o zavedení konštánt a premenných pod diferenciálnym znamienkom, t.j. O implicitné nahradenie premennej.

Príklad 2 Napríklad nájdimecos(3x + 2)dx. Podľa vlastností diferenciálu dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), potomcos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.

V oboch uvažovaných príkladoch bola na nájdenie integrálov použitá lineárna substitúcia t=kx+b(k0).

Vo všeobecnom prípade platí nasledujúca veta.

Veta o lineárnej substitúcii. Nech F(x) je nejaká primitívna derivácia funkcie f(x). Potomf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, kde k a b sú nejaké konštanty,k0.

Dôkaz.

Podľa definície integrálu f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. Vyberme konštantný faktor k zo ​​znamienka integrálu: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. Teraz môžeme rozdeliť ľavú a pravú stranu rovnosti na dve a získať tvrdenie, ktoré sa má dokázať až po označenie konštantného člena.

Táto veta hovorí, že ak v definícii integrálu f(x)dx= F(x) + C namiesto argumentu x dosadíme výraz (kx+b), povedie to k objaveniu sa ďalšieho faktor 1/k pred primitívnou hodnotou.

Pomocou overenej vety riešime nasledujúce príklady.

Príklad 3

nájdeme . Tu kx+b= 3 –x, teda k= -1,b= 3. Potom

Príklad 4.

My to nájdeme. Herekx+b= 4x+ 3, t.j. k= 4,b= 3. Potom

Príklad 5.

nájdeme . Tu kx+b= -2x+ 7, t.j. k= -2,b= 7. Potom

.

Príklad 6. nájdeme
. Tu kx+b= 2x+ 0, t.j. k= 2,b= 0.

.

Získaný výsledok porovnajme s príkladom 8, ktorý sme riešili rozkladovou metódou. Pri riešení rovnakého problému pomocou inej metódy sme dostali odpoveď
. Porovnajme výsledky: Tieto výrazy sa teda navzájom líšia konštantným pojmom , t.j. Prijaté odpovede si navzájom neodporujú.

Príklad 7. nájdeme
. Vyberme dokonalý štvorec v menovateli.

V niektorých prípadoch zmena premennej neredukuje integrál priamo na tabuľkový, ale môže zjednodušiť riešenie, vďaka čomu je možné použiť metódu expanzie v nasledujúcom kroku.

Príklad 8. Napríklad nájdime . Nahraďte t=x+ 2, potom dt=d(x+ 2) =dx. Potom

,

kde C = C 1 – 6 (pri dosadení výrazu (x+ 2) namiesto prvých dvoch členov dostaneme ½x 2 -2x– 6).

Príklad 9. nájdeme
. Nech t= 2x+ 1, potom dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2.

Dosadíme výraz (2x+ 1) za t, otvoríme zátvorky a dáme podobné.

Všimnite si, že v procese transformácií sme prešli k inému konštantnému členu, pretože skupina konštantných členov by sa mohla počas transformačného procesu vynechať.

b) Nelineárna substitučná metóda Pozrime sa na príklad.

Príklad 1
. Lett= -x 2. Ďalej by sa dalo vyjadriť x pomocou t, potom nájsť výraz pre dx a implementovať zmenu premennej v požadovanom integráli. Ale v tomto prípade je jednoduchšie robiť veci inak. Nájdeme t=d(-x 2) = -2xdx. Všimnite si, že výraz xdx je faktorom integrandu požadovaného integrálu. Vyjadrime to z výslednej rovnostixdx= - ½dt. Potom

Nižšie sú uvedené štyri hlavné spôsoby integrácie.

1) Pravidlo pre integráciu súčtu alebo rozdielu.
.
Tu a nižšie u, v, w sú funkcie integračnej premennej x.

2) Presun konštanty mimo znamienka integrálu.
Nech c je konštanta nezávislá od x. Potom ho možno vyňať zo znamienka integrálu.

3) Variabilná metóda výmeny.
Zoberme si neurčitý integrál.
Ak dokážeme nájsť takúto funkciu φ (X) od x, takže
,
potom nahradením premennej t = φ(x) máme
.

4) Vzorec na integráciu podľa častí.
,
kde u a v sú funkcie integračnej premennej.

Konečným cieľom výpočtu neurčitých integrálov je pomocou transformácií zredukovať daný integrál na najjednoduchšie integrály, ktoré sa nazývajú tabuľkové integrály. Tabuľkové integrály sú vyjadrené prostredníctvom elementárnych funkcií pomocou známych vzorcov.
Pozri tabuľku integrálov >>>

Príklad

Vypočítajte neurčitý integrál

Riešenie

Všimli sme si, že integrand je súčet a rozdiel troch členov:
, A .
Aplikácia metódy 1 .

Ďalej si všimneme, že integrandy nových integrálov sú vynásobené konštantami 5, 4, A 2 , resp. Aplikácia metódy 2 .

V tabuľke integrálov nájdeme vzorec
.
Za predpokladu n = 2 , nájdeme prvý integrál.

Prepíšme druhý integrál do tvaru
.
Všímame si to. Potom

Využime tretiu metódu. Zmeníme premennú t = φ (x) = log x.
.
V tabuľke integrálov nájdeme vzorec

Keďže premennú integrácie možno označiť ľubovoľným písmenom

Prepíšme tretí integrál do tvaru
.
Aplikujeme vzorec integrácie po častiach.
Dajme tomu.
Potom
;
;

;
;
.

Nakoniec máme
.
Zozbierajme výrazy s x 3 .
.

Odpoveď

Referencie:
N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, Zbierka úloh z vyššej matematiky, „Lan“, 2003.

Primitívna funkcia a neurčitý integrál

Fakt 1. Integrácia je inverzná akcia diferenciácie, konkrétne obnovenie funkcie zo známej derivácie tejto funkcie. Funkcia tak obnovená F(X) sa nazýva primitívny pre funkciu f(X).

Definícia 1. Funkcia F(X f(X) v určitom intervale X, ak pre všetky hodnoty X od tohto intervalu platí rovnosť F "(X)=f(X), teda túto funkciu f(X) je deriváciou primitívnej funkcie F(X). .

Napríklad funkcia F(X) = hriech X je primitívnym derivátom funkcie f(X) = cos X na celej číselnej osi, keďže pre akúkoľvek hodnotu x (hriech X)" = (cos X) .

Definícia 2. Neurčitý integrál funkcie f(X) je množina všetkých jeho primitívnych derivátov. V tomto prípade sa používa notácia

∫

f(X)dx

,

kde je znamenie ∫ nazývaný znak integrálu, funkcia f(X) – integrandová funkcia a f(X)dx – integrandové vyjadrenie.

Teda ak F(X) – nejaký primitívny prvok pre f(X), To

∫

f(X)dx = F(X) +C

Kde C - ľubovoľná konštanta (konštanta).

Na pochopenie významu množiny primitívnych funkcií funkcie ako neurčitého integrálu je vhodná nasledujúca analógia. Nech sú dvere (tradičné drevené dvere). Jeho funkciou je „byť dverami“. Z čoho sú dvere vyrobené? Vyrobené z dreva. To znamená, že množinou primitív integrandu funkcie „byť dverami“, teda jej neurčitého integrálu, je funkcia „byť stromom + C“, kde C je konštanta, ktorá v tomto kontexte môže označujú napríklad druh stromu. Rovnako ako sú dvere vyrobené z dreva pomocou niektorých nástrojov, derivát funkcie je „vyrobený“ z primitívnej funkcie pomocou vzorce, ktoré sme sa naučili pri štúdiu derivácie .

Potom je tabuľka funkcií bežných predmetov a im zodpovedajúcich priradení („byť dverami“ – „byť stromom“, „byť lyžičkou“ – „byť kovový“ atď.) podobná tabuľke základných neurčité integrály, ktoré budú uvedené nižšie. V tabuľke neurčitých integrálov sú uvedené bežné funkcie s uvedením primitív, z ktorých sú tieto funkcie „vyrobené“. V časti problémov s hľadaním neurčitého integrálu sú uvedené integrandy, ktoré je možné integrovať priamo bez veľkého úsilia, to znamená pomocou tabuľky neurčitých integrálov. V zložitejších problémoch je potrebné integrand najskôr transformovať, aby bolo možné použiť tabuľkové integrály.

Fakt 2. Pri obnove funkcie ako primitívnej derivácie musíme brať do úvahy ľubovoľnú konštantu (konštantu) C a aby ste nepísali zoznam primitív s rôznymi konštantami od 1 do nekonečna, musíte napísať sadu primitív s ľubovoľnou konštantou C, napríklad takto: 5 X³+C. Vo výraze primitívneho prvku je teda zahrnutá ľubovoľná konštanta (konštanta), pretože primitívom môže byť funkcia, napríklad 5 X³+4 alebo 5 X³+3 a pri diferenciácii sa 4 alebo 3 alebo akákoľvek iná konštanta vynuluje.

Položme si problém integrácie: pre túto funkciu f(X) nájsť takúto funkciu F(X), ktorých derivát rovná f(X).

Príklad 1 Nájdite množinu primitívnych prvkov funkcie

Riešenie. Pre túto funkciu je primitívnou funkciou funkcia

Funkcia F(X) sa nazýva primitívum funkcie f(X), ak je derivát F(X) rovná sa f(X), alebo, čo je to isté, diferenciál F(X) je rovnaký f(X) dx, t.j.

(2)

Preto je funkcia priradenou funkciou. Nie je to však jediný priradený prvok pre . Slúžia aj ako funkcie

Kde S– ľubovoľná konštanta. Dá sa to overiť diferenciáciou.

Ak teda existuje jedna primitívna funkcia pre funkciu, potom pre ňu existuje nekonečný počet primitív, ktoré sa líšia konštantným členom. Všetky primitívne derivácie funkcie sú napísané vo vyššie uvedenom tvare. Vyplýva to z nasledujúcej vety.

Veta (formálne vyjadrenie skutočnosti 2). Ak F(X) – priradenie funkcie f(X) v určitom intervale X, potom akýkoľvek iný priradený prvok pre f(X) na rovnakom intervale môžu byť zastúpené vo forme F(X) + C, Kde S– ľubovoľná konštanta.

V ďalšom príklade sa obrátime na tabuľku integrálov, ktorá bude uvedená v odseku 3, po vlastnostiach neurčitého integrálu. Robíme to pred prečítaním celej tabuľky, aby bola jasná podstata vyššie uvedeného. A po tabuľke a vlastnostiach ich celé použijeme pri integrácii.

Príklad 2 Nájdite sady primitívnych funkcií:

Riešenie. Nájdeme množiny primitívnych funkcií, z ktorých sú tieto funkcie „vyrobené“. Pri zmienke o vzorcoch z tabuľky integrálov sa zatiaľ zmierte s tým, že takéto vzorce tam sú a samotnú tabuľku neurčitých integrálov budeme študovať trochu ďalej.

1) Použitie vzorca (7) z tabuľky integrálov pre n= 3, dostaneme

2) Pomocou vzorca (10) z tabuľky integrálov pre n= 1/3, máme

3) Odvtedy

potom podľa vzorca (7) s n= -1/4 nájdeme

Nie je to samotná funkcia, ktorá sa píše pod znamienkom integrálu. f a jeho súčin diferenciálom dx. Toto sa robí predovšetkým preto, aby sa naznačilo, podľa ktorej premennej sa hľadá primitívny derivát. Napríklad,

, ;

tu sa v oboch prípadoch integrand rovná , ale jeho neurčité integrály v uvažovaných prípadoch sa ukážu byť odlišné. V prvom prípade sa táto funkcia považuje za funkciu premennej X, a v druhom - ako funkcia z .

Proces hľadania neurčitého integrálu funkcie sa nazýva integrácia tejto funkcie.

Geometrický význam neurčitého integrálu

Predpokladajme, že potrebujeme nájsť krivku y=F(x) a už vieme, že dotyčnica dotyčnicového uhla v každom jeho bode je daná funkcia f(x)úsečka tohto bodu.

Podľa geometrického významu derivácie tangens uhla sklonu dotyčnice v danom bode krivky y=F(x) rovná hodnote derivátu F"(x). Musíme teda nájsť takúto funkciu F(x), pre ktoré F"(x)=f(x). Funkcia požadovaná v úlohe F(x) je primitívnym derivátom f(x). Podmienky úlohy nie sú splnené jednou krivkou, ale skupinou kriviek. y=F(x)- jedna z týchto kriviek a akákoľvek iná krivka sa z nej dá získať paralelným posunom pozdĺž osi Oj.

Nazvime graf primitívnej funkcie o f(x) integrálna krivka. Ak F"(x)=f(x), potom graf funkcie y=F(x) existuje integrálna krivka.

Fakt 3. Neurčitý integrál je geometricky reprezentovaný radom všetkých integrálnych kriviek , ako na obrázku nižšie. Vzdialenosť každej krivky od začiatku súradníc je určená ľubovoľnou integračnou konštantou C.

Vlastnosti neurčitého integrálu

Fakt 4. Veta 1. Derivácia neurčitého integrálu sa rovná integrandu a jeho diferenciál sa rovná integrandu.

Fakt 5. Veta 2. Neurčitý integrál diferenciálu funkcie f(X) sa rovná funkcii f(X) až do konštantného obdobia , t.j.

(3)

Vety 1 a 2 ukazujú, že diferenciácia a integrácia sú vzájomne inverzné operácie.

Fakt 6. Veta 3. Konštantný faktor v integrande možno vyňať zo znamienka neurčitého integrálu , t.j.