Vyššie uvedený príklad nám umožňuje dospieť k záveru, že hodnoty použité na analýzu závisia od náhodných príčin, preto sa takéto premenné nazývajú náhodný. Vo väčšine prípadov sa objavujú ako výsledok pozorovaní alebo experimentov, ktoré sú zhrnuté v tabuľkách, v prvom riadku ktorých sú zaznamenané rôzne pozorované hodnoty náhodnej premennej X a v druhom - zodpovedajúce frekvencie. Preto je táto tabuľka tzv empirické rozdelenie náhodnej premennej X alebo variačný rad. Pre variačné série sme zistili strednú hodnotu, rozptyl a smerodajnú odchýlku.

nepretržitý, ak jeho hodnoty úplne vypĺňajú nejaký číselný interval.

Náhodná premenná sa nazýva diskrétne, ak je možné vyčísliť všetky jeho hodnoty (najmä ak má konečný počet hodnôt).

Treba poznamenať dva charakteristické vlastnosti distribučné tabuľky diskrétnej náhodnej premennej:

Všetky čísla v druhom riadku tabuľky sú kladné;

Ich súčet sa rovná jednej.

V súlade s vykonanými štúdiami možno predpokladať, že s nárastom počtu pozorovaní sa empirické rozdelenie približuje teoretickému rozdeleniu uvedenému v tabuľkovej forme.

Dôležitou charakteristikou diskrétnej náhodnej premennej je jej matematické očakávanie.

matematické očakávanie diskrétna náhodná premenná X, ktorá nadobúda hodnoty , , ..., . s pravdepodobnosťou , , ..., sa nazýva číslo:

Matematické očakávanie sa tiež nazýva priemer.

Medzi ďalšie dôležité charakteristiky náhodnej premennej patrí rozptyl (8) a smerodajná odchýlka (9).

kde: matematické očakávanie hodnoty X.

. (9)

Grafické znázornenie informácií je oveľa názornejšie ako tabuľkové, preto sa veľmi často využíva schopnosť tabuľkových procesorov MS Excel prezentovať v nich umiestnené údaje vo forme rôznych tabuliek, grafov a histogramov. Takže okrem tabuľky je znázornené aj rozdelenie náhodnej premennej pomocou distribučný polygón. Za týmto účelom sú body so súradnicami , , ... postavené na súradnicovej rovine a spojené priamymi segmentmi.

Ak chcete získať distribučný obdĺžnik pomocou programu MS Excel, musíte:

1. Zvoľte záložku "Vložiť" ® "Area Chart" na paneli nástrojov.

2. Pravým tlačidlom myši aktivujte oblasť pre graf, ktorá sa objavila na hárku MS Excel a v kontextovom menu použite príkaz „Vybrať údaje“.

Ryža. 6. Výber zdroja údajov

Najprv definujme rozsah údajov pre graf. Ak to chcete urobiť, v príslušnej oblasti dialógového okna „Vybrať zdroj údajov“ zadajte rozsah C6:I6 (obsahuje hodnoty frekvencie s názvom Row1, obr. 7).

Ryža. 7. Pridajte riadok 1

Ak chcete zmeniť názov série, vyberte tlačidlo pre zmenu oblasti "Prvky legendy (séria)" (pozri obr. 7) a pomenujte ju .

Ak chcete pridať označenie pre os X, použite tlačidlo "Upraviť" v oblasti "Popisy horizontálnych osí (kategórie)"
(obr. 8) a uveďte hodnoty série (rozsah $C$6:$I$6).

Ryža. 8. Konečné zobrazenie dialógového okna „Vybrať zdroj údajov“

Výber tlačidla v dialógovom okne Výber zdroja údajov
(obr. 8) vám umožní získať požadovaný polygón rozloženia náhodnej premennej (obr. 9).

Ryža. 9. Polygónové rozdelenie náhodnej premennej

Urobme niekoľko zmien v dizajne prijatých grafických informácií:

Pridajte označenie osi x;

Upravte označenie osi Y;

- Pridajme názov pre graf „Distribučný mnohouholník“.

Ak to chcete urobiť, vyberte kartu „Práca s grafmi“ v oblasti panela nástrojov, kartu „Rozloženie“ a na zobrazenom paneli nástrojov príslušné tlačidlá: „Názov grafu“, „Názvy osí“ (obr. 10).

Ryža. 10. Výsledný tvar mnohouholníka rozdelenia náhodnej premennej

Náhodná premenná Nazýva sa množstvo, ktoré v dôsledku experimentu môže nadobudnúť jednu alebo druhú hodnotu, ktorá nie je vopred známa. Náhodné premenné sú nespojitý (diskrétny) A nepretržitý typu. Možné hodnoty nespojitých veličín je možné vopred vyčísliť. Možné hodnoty spojitých veličín nie je možné vopred vyčísliť a priebežne zapĺňať určitú medzeru.

Príklad diskrétnych náhodných premenných:

1) Počet výskytov erbu v troch hodoch mincou. (možné hodnoty sú 0;1;2;3)

2) Frekvencia výskytu erbu v tom istom experimente. (možné hodnoty)

3) Počet zlyhaných prvkov v zariadení pozostávajúcom z piatich prvkov. (Možné hodnoty sú 0;1;2;3;4;5)

Príklady spojitých náhodných premenných:

1) Abscisa (ordináta) bodu zásahu pri výstrele.

2) Vzdialenosť od bodu dopadu do stredu terča.

3) Doba bezporuchovej prevádzky zariadenia (rádiové trubice).

Náhodné premenné sú označené veľkými písmenami a ich možné hodnoty zodpovedajúcimi malými písmenami. Napríklad X je počet zásahov pri troch výstreloch; možné hodnoty: X1=0, X2=1, X3=2, X4=3.

Uvažujme nespojitú náhodnú premennú X s možnými hodnotami X 1 , X 2 , ... , X n . Každá z týchto hodnôt je možná, ale nie istá a hodnota X môže mať každú z nich s určitou pravdepodobnosťou. Výsledkom experimentu je, že veličina X nadobudne jednu z týchto hodnôt, to znamená, že dôjde k jednej z celej skupiny nekompatibilných udalostí.

Označme pravdepodobnosti týchto udalostí písmenami p so zodpovedajúcimi indexmi:

Keďže nekompatibilné udalosti tvoria ucelenú skupinu

to znamená, že súčet pravdepodobností všetkých možných hodnôt náhodnej premennej je rovný 1. Táto celková pravdepodobnosť je nejakým spôsobom rozdelená medzi jednotlivé hodnoty. Náhodná premenná bude z pravdepodobnostného hľadiska úplne opísaná, ak toto rozdelenie špecifikujeme, teda presne uvedieme, akú pravdepodobnosť má každá z udalostí. (Tým sa vytvorí takzvaný zákon rozdelenia náhodných premenných.)

Zákon rozdelenia náhodnej premennej Volá sa akýkoľvek vzťah, ktorý vytvára spojenie medzi možnými hodnotami náhodnej premennej a zodpovedajúcou pravdepodobnosťou. (O náhodnej premennej povieme, že podlieha danému distribučnému zákonu)

Najjednoduchšou formou špecifikácie zákona o rozdelení náhodnej premennej je tabuľka, ktorá uvádza možné hodnoty náhodnej premennej a ich zodpovedajúce pravdepodobnosti.

Stôl 1.

náhodné premenné. Distribučný polygón

Náhodné premenné: diskrétne a spojité.

Pri vykonávaní stochastického experimentu sa vytvára priestor elementárnych dejov - možné výstupy tohto experimentu. Uvažuje sa, že na tomto priestore elementárnych udalostí náhodná hodnota X, ak je daný zákon (pravidlo), podľa ktorého je každej elementárnej udalosti pridelené číslo. Náhodnú premennú X teda môžeme považovať za funkciu definovanú na priestore elementárnych udalostí.

■ Náhodné- hodnota, ktorá pri každej skúške nadobudne jednu alebo druhú číselnú hodnotu (nie je vopred známe, ktorá), v závislosti od náhodných príčin, ktoré nemožno vopred zohľadniť. Náhodné premenné sú označené veľkými písmenami latinskej abecedy a možné hodnoty náhodnej premennej sú označené malými písmenami. Takže, keď je hod kockou, nastane udalosť spojená s číslom x, kde x je počet hodených bodov. Počet bodov je náhodná hodnota a čísla 1, 2, 3, 4, 5, 6 sú možné hodnoty tejto hodnoty. Vzdialenosť, ktorú projektil preletí pri výstrele z pištole, je tiež náhodná premenná (závisí od inštalácie zameriavača, sily a smeru vetra, teploty a iných faktorov) a možných hodnôt z tohto množstva patrí do určitého intervalu (a; b).

■ Diskrétna náhodná premenná- náhodná premenná, ktorá nadobúda samostatné, izolované možné hodnoty s určitou pravdepodobnosťou. Počet možných hodnôt diskrétnej náhodnej premennej môže byť konečný alebo nekonečný.

■ Spojitá náhodná premenná je náhodná premenná, ktorá môže nadobudnúť všetky hodnoty z určitého konečného alebo nekonečného intervalu. Počet možných hodnôt spojitej náhodnej premennej je nekonečný.

Napríklad počet stratených bodov pri hode kockou, skóre za kontrolnú prácu sú diskrétne náhodné premenné; vzdialenosť, ktorú preletí projektil pri výstrele zo zbrane, chyba merania ukazovateľa času asimilácie vzdelávacieho materiálu, výška a hmotnosť osoby sú spojité náhodné veličiny.

Zákon distribúcie náhodnej premennej– súlad medzi možnými hodnotami náhodnej premennej a ich pravdepodobnosťami, t.j. každá možná hodnota x i je spojená s pravdepodobnosťou p i, s ktorou môže náhodná premenná nadobudnúť túto hodnotu. Zákon rozdelenia náhodnej premennej môže byť uvedený tabuľkovo (vo forme tabuľky), analyticky (vo forme vzorca) a graficky.

Nech diskrétna náhodná premenná X nadobúda hodnoty x 1 , x 2 , …, x n s pravdepodobnosťami p 1 , p 2 , …, p n, t.j. P(X=x1) = p1, P(X=x2) = p2, ..., P(X=xn) = pn. Pri tabuľkovom priradení distribučného zákona tejto hodnoty obsahuje prvý riadok tabuľky možné hodnoty x 1, x 2, ..., x n a druhý - ich pravdepodobnosti

X	x 1	x2	…	x n
p	p1	p2	…	p n

Výsledkom testu je, že diskrétna náhodná premenná X nadobúda iba jednu z možných hodnôt, takže udalosti X=x 1 , X=x 2 , ..., X=x n tvoria úplnú skupinu párovo nekompatibilných udalostí a , preto sa súčet pravdepodobností týchto udalostí rovná jednej , t.j. p 1 + p 2 + ... + p n \u003d 1.

Zákon rozdelenia diskrétnej náhodnej premennej. Polygónové (polygónové) rozdelenie.

Ako viete, náhodná premenná je premenná, ktorá môže nadobudnúť určité hodnoty v závislosti od prípadu. Náhodné premenné sú označené veľkými písmenami latinskej abecedy (X, Y, Z) a ich hodnoty - zodpovedajúcimi malými písmenami (x, y, z). Náhodné veličiny sa delia na nespojité (diskrétne) a spojité.

Diskrétna náhodná premenná je náhodná premenná, ktorá má iba konečnú alebo nekonečnú (počítateľnú) množinu hodnôt s určitými nenulovými pravdepodobnosťami.

Zákon rozdelenia diskrétnej náhodnej premennej je funkcia, ktorá spája hodnoty náhodnej premennej s ich zodpovedajúcimi pravdepodobnosťami. Distribučný zákon možno špecifikovať jedným z nasledujúcich spôsobov.

1. Rozdeľovací zákon môže byť daný tabuľkou:

kde λ>0, k = 0, 1, 2, ….

c) pomocou distribučnej funkcie F(x), ktorá pre každú hodnotu x určí pravdepodobnosť, že náhodná premenná X nadobudne hodnotu menšiu ako x, t.j. F(x) = P(X< x).

Vlastnosti funkcie F(x)

3. Zákon rozdelenia je možné špecifikovať graficky - rozdeľovacím polygónom (polygónom) (pozri úlohu 3).

Upozorňujeme, že na vyriešenie niektorých problémov nie je potrebné poznať distribučný zákon. V niektorých prípadoch stačí poznať jedno alebo viac čísel, ktoré odrážajú najdôležitejšie znaky distribučného zákona. Môže to byť číslo, ktoré má význam „priemernej hodnoty“ náhodnej veličiny, alebo číslo, ktoré zobrazuje priemernú veľkosť odchýlky náhodnej veličiny od jej priemernej hodnoty. Čísla tohto druhu sa nazývajú číselné charakteristiky náhodnej premennej.

Hlavné číselné charakteristiky diskrétnej náhodnej premennej:

Matematické očakávanie (priemerná hodnota) diskrétnej náhodnej premennej M(X)=Σ x i p i .
Pre binomické rozdelenie M(X)=np, pre Poissonovo rozdelenie M(X)=λ
Disperzia diskrétnej náhodnej veličiny D(X)= M 2 alebo D(X) = M(X 2)− 2 . Rozdiel X–M(X) sa nazýva odchýlka náhodnej premennej od jej matematického očakávania.
Pre binomické rozdelenie D(X)=npq, pre Poissonovo rozdelenie D(X)=λ
Smerodajná odchýlka (štandardná odchýlka) σ(X)=√D(X).

· Pre prehľadnosť zobrazenia variačného radu majú veľký význam jeho grafické znázornenia. Graficky možno sériu variácií zobraziť ako polygón, histogram a kumuláciu.

· Distribučný mnohouholník (doslova distribučný mnohouholník) sa nazýva prerušovaná čiara, ktorá je postavená v pravouhlom súradnicovom systéme. Hodnota atribútu je vynesená na osi x, zodpovedajúce frekvencie (alebo relatívne frekvencie) - pozdĺž osi y. Body (alebo ) sú spojené úsečkami a získa sa distribučný polygón. Najčastejšie sa polygóny používajú na zobrazenie diskrétnych variačných sérií, ale dajú sa použiť aj na intervalové rady. V tomto prípade sú body zodpovedajúce stredom týchto intervalov vynesené na osi x.

X i	x1	x2	…	X n
Pi	P1	P2	…	P n

Takáto tabuľka je tzv blízko distribúcie náhodné premenné.

Aby distribučná séria získala vizuálnejšiu formu, uchýli sa k jej grafickému znázorneniu: možné hodnoty náhodnej premennej sú vynesené pozdĺž osi x a pravdepodobnosti týchto hodnôt sú vynesené pozdĺž osi y. (Pre prehľadnosť sú získané body spojené úsečkami.)

Obrázok 1 - distribučný polygón

Takáto postava sa nazýva distribučný polygón. Distribučný polygón, podobne ako distribučný rad, úplne charakterizuje náhodnú premennú; je to forma zákona rozdeľovania.

Príklad:

vykoná sa jeden experiment, v ktorom môže, ale nemusí nastať udalosť A. Pravdepodobnosť udalosti A = 0,3. Uvažuje sa náhodná premenná X - počet výskytov udalosti A v tomto experimente. Je potrebné postaviť sériu a polygón rozloženia X.

Tabuľka 2

X i
Pi	0,7	0,3

Obrázok 2 - Distribučná funkcia

distribučná funkcia je univerzálna charakteristika náhodnej premennej. Existuje pre všetky náhodné premenné: nespojité aj nespojité. Distribučná funkcia úplne charakterizuje náhodnú premennú z pravdepodobnostného hľadiska, to znamená, že je jednou z foriem distribučného zákona.

Na kvantifikáciu tohto rozdelenia pravdepodobnosti je vhodné použiť nie pravdepodobnosť udalosti X=x, ale pravdepodobnosť udalosti X

Distribučná funkcia F(x) sa niekedy nazýva aj integrálna distribučná funkcia alebo zákon integrálneho rozdelenia.

Vlastnosti distribučnej funkcie náhodnej premennej

1. Distribučná funkcia F(x) je neklesajúca funkcia jej argumentu, teda pre ;

2. V mínus nekonečne:

3. Na plus nekonečno:

Obrázok 3 - graf distribučnej funkcie

Graf distribučnej funkcie vo všeobecnom prípade ide o graf neklesajúcej funkcie, ktorej hodnoty začínajú od 0 a dosahujú 1.

Poznaním distribučného radu náhodnej premennej je možné zostrojiť distribučnú funkciu náhodnej premennej.

Príklad:

pre podmienky predchádzajúceho príkladu zostrojte distribučnú funkciu náhodnej premennej.

Zostavme distribučnú funkciu X:

Obrázok 4 - distribučná funkcia X

distribučná funkcia každej nespojitej diskrétnej náhodnej premennej vždy existuje nespojitá kroková funkcia, ktorej skoky sa vyskytujú v bodoch zodpovedajúcich možným hodnotám náhodnej premennej a rovnajú sa pravdepodobnostiam týchto hodnôt. Súčet všetkých skokov v distribučnej funkcii je 1.

Keď sa počet možných hodnôt náhodnej premennej zvyšuje a intervaly medzi nimi sa zmenšujú, počet skokov sa zväčšuje a samotné skoky sa zmenšujú:

Obrázok 5

Krivka kroku sa stáva hladšou:

Obrázok 6

Náhodná premenná sa postupne približuje ku spojitej hodnote a jej distribučná funkcia sa blíži ku spojitej funkcii. Existujú aj náhodné premenné, ktorých možné hodnoty nepretržite vypĺňajú určitú medzeru, ale pre ktoré nie je distribučná funkcia všade spojitá. A v niektorých momentoch sa to zlomí. Takéto náhodné premenné sa nazývajú zmiešané.

Obrázok 7

Úloha 14. V peňažnej lotérii sa hrá 1 výhra 1 000 000 rubľov, 10 výhier po 100 000 rubľov. a 100 výhier vo výške 1 000 rubľov. s celkovým počtom tiketov 10000. Nájdite zákon rozdeľovania náhodných výhier X pre majiteľa jedného žrebu.

Riešenie. Možné hodnoty pre X: X 1 = 0; X 2 = 1000; X 3 = 100000;

X 4 \u003d 1000000. Ich pravdepodobnosti sú v tomto poradí rovnaké: R 2 = 0,01; R 3 = 0,001; R 4 = 0,0001; R 1 = 1 – 0,01 – 0,001 – 0,0001 = 0,9889.

Preto distribučný zákon výplaty X môže byť uvedené v nasledujúcej tabuľke:

Úloha 15. Diskrétna náhodná premenná X podľa distribučného zákona:

Zostrojte distribučný polygón.

Riešenie. Zostrojíme pravouhlý súradnicový systém a pozdĺž osi x nakreslíme možné hodnoty x i, a pozdĺž osi y - zodpovedajúce pravdepodobnosti p i. Poďme stavať body M 1 (1;0,2), M 2 (3;0,1), M 3 (6; 0,4) a M 4 (8; 0,3). Spojením týchto bodov s úsečkami získame požadovaný distribučný polygón.

§2. Numerické charakteristiky náhodných premenných

Náhodnú premennú úplne charakterizuje jej distribučný zákon. Priemerný popis náhodnej premennej možno získať pomocou jej číselných charakteristík

2.1. Očakávaná hodnota. Disperzia.

Nech náhodná premenná nadobudne hodnoty s pravdepodobnosťou, resp.

Definícia. Matematické očakávanie diskrétnej náhodnej premennej je súčtom produktov všetkých jej možných hodnôt a zodpovedajúcich pravdepodobností:

Vlastnosti matematického očakávania.

Rozptyl náhodnej premennej okolo strednej hodnoty je charakterizovaný rozptylom a štandardnou odchýlkou.

Disperzia náhodnej premennej je matematickým očakávaním štvorcovej odchýlky náhodnej premennej od jej matematického očakávania:

Na výpočty sa používa nasledujúci vzorec

Disperzné vlastnosti.

2. , kde sú vzájomne nezávislé náhodné premenné.

3. Smerodajná odchýlka.

Úloha 16. Nájdite matematické očakávanie náhodnej premennej Z = X+ 2Y, ak sú známe matematické očakávania náhodných premenných X A Y: M(X) = 5, M(Y) = 3.

Riešenie. Využívame vlastnosti matematického očakávania. Potom dostaneme:

M(X+ 2Y)= M(X) + M(2Y) = M(X) + 2M(Y) = 5 + 2 . 3 = 11.

Úloha 17. Rozptyl náhodnej premennej X rovný 3. Nájdite rozptyl náhodných premenných: a) –3 X; b) 4 X + 3.

Riešenie. Aplikujme vlastnosti 3, 4 a 2 disperzie. Máme:

A) D(–3X) = (–3) 2 D(X) = 9D(X) = 9 . 3 = 27;

b) D(4X + 3) = D(4X) + D(3) = 16D(X) + 0 = 16 . 3 = 48.

Úloha 18. Daná nezávislá náhodná premenná Y je počet bodov získaných hodom kockou. Nájdite zákon rozdelenia, matematické očakávanie, rozptyl a smerodajnú odchýlku náhodnej premennej Y.

Riešenie. Distribučná tabuľka náhodných premenných Y vyzerá ako:

Potom M(Y) = 1 1/6 + 2 1/6 + 3 1/6 + 4 1/6 + 5 1/6 + 6 1/6 = 3,5;

D(Y) \u003d (1 - 3,5) 2 1/6 + (2 - 3,5) 2 / 6 + (3 - 3,5) 2 1/6 + (4 - 3,5) 2 / 6 + (5 - -3,5) 2 1/ 6 + (6 - 3,5) 2, 1/6 \u003d 2,917; σ (Y) =Ö 2,917 = 1,708.