Sínus, kosínus, tangenta: čo to je? Ako nájsť sínus, kosínus a tangens? Univerzálna goniometrická substitúcia, odvodzovanie vzorcov, príklady.
Nebudem sa vás snažiť presvedčiť, aby ste nepísali cheaty. Napíšte! Vrátane cheatov na trigonometriu. Neskôr plánujem vysvetliť, prečo sú cheaty potrebné a prečo sú cheaty užitočné. A tu sú informácie o tom, ako sa neučiť, ale zapamätať si niektoré trigonometrické vzorce. Takže - trigonometria bez cheat sheet! Používame asociácie na zapamätanie.
1. Vzorce na sčítanie:
Kosíny vždy „vychádzajú v pároch“: kosínus-kosínus, sínus-sínus.
A ešte jedna vec: kosínusy sú „neadekvátne“. „Všetko nie je v poriadku“ pre nich, a tak menia znamienka: „-“ na „+“ a naopak.
Sínusy - "mix": sínus-kosínus, kosínus-sínus.
2. Vzorce súčtu a rozdielu:
kosínusy vždy „vychádzajú v pároch“. Pridaním dvoch kosínusov - „kolobok“, dostaneme pár kosínusov - „kolobokov“. A odčítaním určite nezískame žiadne koloboky. Dostaneme pár sínusov. Aj s mínusom dopredu.
Sínusy - "mix" :
3. Vzorce na prepočet súčinu na súčet a rozdiel.
Kedy dostaneme kosínusový pár? Keď pridáme kosínusy. Preto
Kedy dostaneme pár sínusov? Pri odčítaní kosínusov. Odtiaľ:
„Zmiešanie“ sa dosiahne pri pridávaní aj odčítaní sínusov. Čo je zábavnejšie: pridávať alebo uberať? Správne, zložiť. A pre vzorec sa pridáva:
V prvom a treťom vzorci je súčet v zátvorkách. Preskupenie miest pojmov nezmení súčet. Poradie je dôležité len pre druhý vzorec. Aby sme sa však nemýlili, pre ľahšie zapamätanie vo všetkých troch vzorcoch v prvých zátvorkách berieme rozdiel
a po druhé - množstvo
Cheat sheety vo vrecku vám dajú pokoj: ak zabudnete vzorec, môžete si ho skopírovať. A dajú vám istotu: ak sa vám nepodarí použiť cheat sheet, vzorce si ľahko zapamätáte.
Referenčné informácie o goniometrických funkciách sínus (sin x) a kosínus (cos x). Geometrická definícia, vlastnosti, grafy, vzorce. Tabuľka sínusov a kosínusov, derivácie, integrály, radové expanzie, sekans, kosekans. Vyjadrenia prostredníctvom komplexných premenných. Spojenie s hyperbolickými funkciami.
Geometrická definícia sínusu a kosínusu
|BD|- dĺžka oblúka kružnice so stredom v bode A.
α
- uhol vyjadrený v radiánoch.
Definícia
sínus (sin α) je goniometrická funkcia závislá od uhla α medzi preponou a ramenom pravouhlého trojuholníka, ktorá sa rovná pomeru dĺžky protiľahlého ramena |BC| na dĺžku prepony |AC|.
Kosínus (cos α) je goniometrická funkcia závislá od uhla α medzi preponou a ramenom pravouhlého trojuholníka, rovná pomeru dĺžky susedného ramena |AB| na dĺžku prepony |AC|.
Akceptované notácie
;
;
.
;
;
.
Graf funkcie sínus, y = sin x
Graf funkcie kosínus, y = cos x
Vlastnosti sínusu a kosínusu
Periodicita
Funkcie y = hriech x a y = cos x periodický s bodkou 2π.
Parita
Funkcia sínus je nepárna. Kosínusová funkcia je párna.
Oblasť definície a hodnôt, extrémy, nárast, pokles
Funkcie sínus a kosínus sú spojité vo svojej oblasti definície, to znamená pre všetky x (pozri dôkaz spojitosti). Ich hlavné vlastnosti sú uvedené v tabuľke (n - celé číslo).
| y = hriech x | y = cos x | |
| Rozsah a kontinuita | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Rozsah hodnôt | -1 ≤ y ≤ 1 | -1 ≤ y ≤ 1 |
| Zvyšovanie | ||
| Zostupne | ||
| Maxima, y = 1 | ||
| Minimum, y = - 1 | ||
| Nuly, y = 0 | ||
| Priesečník bodov s ordinátnou osou x = 0 | y = 0 | y = 1 |
Základné vzorce
Súčet druhých mocnín sínusu a kosínusu
Vzorce pre sínus a kosínus zo súčtu a rozdielu
;
;
Vzorce na súčin sínusov a kosínusov
Vzorce súčtu a rozdielu
Vyjadrenie sínusu cez kosínus
;
;
;
.
Vyjadrenie kosínusu cez sínus
;
;
;
.
Vyjadrenie prostredníctvom dotyčnice
; .
Kedy máme:
;
.
na :
;
.
Tabuľka sínusov a kosínusov, tangens a kotangens
Táto tabuľka zobrazuje hodnoty sínusov a kosínusov pre určité hodnoty argumentu. 
Vyjadrenia prostredníctvom komplexných premenných
;
Eulerov vzorec
{ -∞ < x < +∞ }
Sekant, kosekant
Inverzné funkcie
Inverzné funkcie sínusu a kosínusu sú arczín a arkkozín.
Arcsine, arcsin
Arccosine, arccos
Referencie:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Príručka matematiky pre inžinierov a vysokoškolských študentov, „Lan“, 2009.
– určite budú úlohy z trigonometrie. Trigonometria sa často nepáči kvôli potrebe napchať obrovské množstvo zložitých vzorcov, ktoré sa hemžia sínusmi, kosínusmi, tangentami a kotangens. Stránka už raz poskytovala rady, ako si zapamätať zabudnutý vzorec, na príklade vzorca Euler a Peel.
A v tomto článku sa pokúsime ukázať, že stačí pevne poznať iba päť jednoduchých trigonometrických vzorcov a zvyšok všeobecne pochopiť a odvodiť ich za pochodu. Je to ako s DNA: molekula neuchováva úplné plány hotového živého tvora. Obsahuje skôr návod na jeho zostavenie z dostupných aminokyselín. Takže v trigonometrii, keď poznáme niektoré všeobecné princípy, získame všetky potrebné vzorce z malého súboru tých, ktoré musíme mať na pamäti.
Budeme sa spoliehať na nasledujúce vzorce:
Zo vzorcov pre sínusové a kosínusové súčty, keď vieme o parite kosínusovej funkcie a nepárnosti sínusovej funkcie, dosadením -b namiesto b, získame vzorce pre rozdiely:
- Sínus rozdielu: hriech(a-b) = hriechacos(-b)+cosahriech(-b) = hriechacosb-cosahriechb
- Kosínus rozdielu: cos(a-b) = cosacos(-b)-hriechahriech(-b) = cosacosb+hriechahriechb
Vložením a = b do rovnakých vzorcov dostaneme vzorce pre sínus a kosínus dvojitých uhlov:
- Sínus dvojitého uhla: hriech2a = hriech(a+a) = hriechacosa+cosahriecha = 2hriechacosa
- Kosínus dvojitého uhla: cos2a = cos(a+a) = cosacosa-hriechahriecha = cos2a-hriech2a
Vzorce pre ďalšie viacnásobné uhly sa získajú podobne:
- Sínus trojitého uhla: hriech3a = hriech(2a+a) = hriech2acosa+cos2ahriecha = (2hriechacosa)cosa+(cos2a-hriech2a)hriecha = 2hriechacos2a+hriechacos2a-hriech 3a = 3 hriechacos2a-hriech 3a = 3 hriecha(1-hriech2a)-hriech 3a = 3 hriecha-4hriech 3a
- Kosínus trojitého uhla: cos3a = cos(2a+a) = cos2acosa-hriech2ahriecha = (cos2a-hriech2a)cosa-(2hriechacosa)hriecha = cos 3 a- hriech2acosa-2hriech2acosa = cos 3 a-3 hriech2acosa = cos 3 a-3 (1- cos2a)cosa = 4cos 3 a-3 cosa
Skôr než prejdeme ďalej, pozrime sa na jeden problém.
Dané: uhol je ostrý.
Nájdite jeho kosínus, ak
Riešenie od jedného študenta:
Pretože , To hriecha= 3,a cosa = 4.
(z matematického humoru)
Takže definícia dotyčnice spája túto funkciu so sínusom aj kosínusom. Ale môžete získať vzorec, ktorý spája dotyčnicu iba s kosínusom. Aby sme to odvodili, vezmeme hlavnú trigonometrickú identitu: hriech 2 a+cos 2 a= 1 a vydeľte ho cos 2 a. Dostaneme:
Takže riešenie tohto problému by bolo:
(Keďže je uhol ostrý, pri extrakcii koreňa sa berie znamienko +)
Vzorec pre tangens súčtu je ďalší, ktorý je ťažké zapamätať. Vypíšme to takto:
Okamžite zobrazené a
Z kosínusového vzorca pre dvojitý uhol môžete získať sínusový a kosínusový vzorec pre polovičné uhly. Ak to chcete urobiť, na ľavej strane kosínusového vzorca s dvojitým uhlom:
cos2
a = cos 2
a-hriech 2
a
pridáme jednu a doprava - trigonometrickú jednotku, t.j. súčet druhých mocnín sínusu a kosínusu.
cos2a+1 = cos2a-hriech2a+cos2a+hriech2a
2cos 2
a = cos2
a+1
Vyjadrovanie cosa cez cos2
a a vykonaním zmeny premenných dostaneme:
Znak sa berie v závislosti od kvadrantu.
Podobne, odpočítaním jednej od ľavej strany rovnosti a súčtu druhých mocnín sínusu a kosínusu od pravej, dostaneme:
cos2a-1 = cos2a-hriech2a-cos2a-hriech2a
2hriech 2
a = 1-cos2
a
A nakoniec, aby sme previedli súčet goniometrických funkcií na súčin, použijeme nasledujúcu techniku. Povedzme, že potrebujeme reprezentovať súčet sínusov ako súčin hriecha+hriechb. Zaveďme premenné x a y také, že a = x+y, b+x-y. Potom
hriecha+hriechb = hriech(x+y)+ hriech(x-y) = hriech X cos y+ cos X hriech y+ hriech X cos y- cos X hriech y=2 hriech X cos r. Vyjadrime teraz x a y pomocou a a b.
Pretože a = x+y, b = x-y, potom . Preto
Môžete okamžite odstúpiť
- Vzorec na rozdelenie súčin sínusu a kosínusu V čiastka: hriechacosb = 0.5(hriech(a+b)+hriech(a-b))
Vzorce na prepočet rozdielu sínusov a súčtu a rozdielu kosínusov na súčin, ako aj na delenie súčinov sínusov a kosínusov na súčet odporúčame precvičiť a odvodiť samostatne. Po absolvovaní týchto cvičení si dôkladne osvojíte zručnosť odvodzovania goniometrických vzorcov a nestratíte sa ani v tom najťažšom teste, olympiáde či testovaní.
Vzorce pre súčet a rozdiel sínusov a kosínusov pre dva uhly α a β nám umožňujú prejsť od súčtu týchto uhlov k súčinu uhlov α + β 2 a α - β 2. Hneď si všimnime, že by ste si nemali zamieňať vzorce pre súčet a rozdiel sínusov a kosínusov so vzorcami pre sínusy a kosínusy súčtu a rozdielu. Nižšie uvádzame zoznam týchto vzorcov, uvádzame ich odvodenia a ukazujeme príklady použitia pre konkrétne problémy.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Vzorce pre súčet a rozdiel sínusov a kosínusov
Napíšme si, ako vyzerajú súčtové a rozdielové vzorce pre sínusy a kosínusy
Vzorce súčtu a rozdielu pre sínusy
sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2
Vzorce súčtu a rozdielu pre kosínusy
cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2 , cos α - cos β = 2 sin α + β 2 · β - α 2
Tieto vzorce platia pre všetky uhly α a β. Uhly α + β 2 a α - β 2 sa nazývajú polovičný súčet a polovičný rozdiel uhlov alfa a beta. Uveďme formuláciu pre každý vzorec.
Definície vzorcov pre súčty a rozdiely sínusov a kosínusov
Súčet sínusov dvoch uhlov sa rovná dvojnásobku súčinu sínusu polovičného súčtu týchto uhlov a kosínusu polovičného rozdielu.
Rozdiel sínusov dvoch uhlov sa rovná dvojnásobku súčinu sínusu polovičného rozdielu týchto uhlov a kosínusu polovičného súčtu.
Súčet kosínusov dvoch uhlov sa rovná dvojnásobku súčinu kosínusu polovičného súčtu a kosínusu polovičného rozdielu týchto uhlov.
Rozdiel kosínusov dvoch uhlov sa rovná dvojnásobku súčinu sínusu polovičného súčtu a kosínusu polovičného rozdielu týchto uhlov, brané so záporným znamienkom.
Odvodenie vzorcov pre súčet a rozdiel sínusov a kosínusov
Na odvodenie vzorcov pre súčet a rozdiel sínusu a kosínusu dvoch uhlov sa používajú sčítacie vzorce. Uveďme ich nižšie
sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β sin (α - β) = sin α · cos β - cos α · sin β cos (α + β) = cos α · cos β - sin α sin β cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
Predstavme si aj samotné uhly ako súčet polovičných súčtov a polovičných rozdielov.
α = α + β 2 + α - β 2 = α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β = α + β 2 - α - β 2 = α 2 + β 2 - α 2 + β 2
Pristúpime priamo k odvodeniu súčtových a rozdielových vzorcov pre sin a cos.
Odvodenie vzorca pre súčet sínusov
V súčte sin α + sin β nahradíme α a β výrazmi pre tieto uhly uvedené vyššie. Dostaneme
sin α + sin β = sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2
Teraz použijeme sčítací vzorec na prvý výraz a na druhý - vzorec pre sínus uhlových rozdielov (pozri vzorce vyššie)
sin α + β 2 + α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 Otvorte zátvorky, pridajte podobné výrazy a získajte požadovaný vzorec
sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α + β 2 cos α - β 2
Kroky na odvodenie zostávajúcich vzorcov sú podobné.
Odvodenie vzorca pre rozdiel sínusov
sin α - sin β = sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 = hriech α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α - β 2 cos α + β 2
Odvodenie vzorca pre súčet kosínusov
cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = 2 cos α + β 2 cos α - β 2
Odvodenie vzorca pre rozdiel kosínusov
cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = - 2 sin α + β 2 sin α - β 2
Príklady riešenia praktických problémov
Najprv skontrolujeme jeden zo vzorcov tak, že do neho nahradíme konkrétne hodnoty uhla. Nech α = π 2, β = π 6. Vypočítajme hodnotu súčtu sínusov týchto uhlov. Najprv použijeme tabuľku základných hodnôt goniometrických funkcií a potom použijeme vzorec pre súčet sínusov.
Príklad 1. Kontrola vzorca pre súčet sínusov dvoch uhlov
α = π 2, β = π 6 sin π 2 + sin π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 sin π 2 + sin π 6 = 2 sin π 2 + π 6 2 cos π 2 - π 6 sin 2 = 2 π 3 cos π 6 = 2 3 2 3 2 = 3 2
Uvažujme teraz o prípade, keď sa hodnoty uhla líšia od základných hodnôt uvedených v tabuľke. Nech α = 165°, β = 75°. Vypočítajme rozdiel medzi sínusmi týchto uhlov.
Príklad 2. Aplikácia vzorca rozdielu sínusov
α = 165 °, β = 75 ° hriech α - hriech β = hriech 165 ° - hriech 75 ° hriech 165 - hriech 75 = 2 hriech 165 ° - hriech 75 ° 2 cos 165 ° + hriech 75 ° 2 = = 2 hriech 4 ° cos 120° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2
Pomocou vzorcov pre súčet a rozdiel sínusov a kosínusov môžete prejsť od súčtu alebo rozdielu k súčinu goniometrických funkcií. Tieto vzorce sa často nazývajú vzorce na prechod od sumy k produktu. Vzorce pre súčet a rozdiel sínusov a kosínusov sa široko používajú pri riešení goniometrických rovníc a pri prevode goniometrických výrazov.
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter
V tomto článku sa na to pozrieme komplexne. Základné goniometrické identity sú rovnosti, ktoré vytvárajú spojenie medzi sínusom, kosínusom, tangensom a kotangensom jedného uhla a umožňujú nájsť ktorúkoľvek z týchto goniometrických funkcií prostredníctvom známeho iného uhla.
Okamžite uvedieme hlavné trigonometrické identity, ktoré budeme analyzovať v tomto článku. Zapíšme si ich do tabuľky a nižšie uvedieme výstup týchto vzorcov a poskytneme potrebné vysvetlenia.
Navigácia na stránke.
Vzťah medzi sínusom a kosínusom jedného uhla
Niekedy nehovoria o hlavných trigonometrických identitách uvedených v tabuľke vyššie, ale o jednej jedinej základná trigonometrická identita milý 
. Vysvetlenie tohto faktu je celkom jednoduché: rovnosti sa získajú z hlavnej goniometrickej identity po vydelení oboch jej častí a, resp. 
A 
vyplývajú z definícií sínus, kosínus, tangens a kotangens. V nasledujúcich odstavcoch si o tom povieme podrobnejšie.
To znamená, že je to rovnosť, ktorá je obzvlášť zaujímavá a ktorá dostala názov hlavnej trigonometrickej identity.
Pred dokázaním hlavnej goniometrickej identity uvádzame jej formuláciu: súčet druhých mocnín sínusu a kosínusu jedného uhla je zhodne rovný jednej. Teraz to dokážme.
Základná trigonometrická identita sa veľmi často používa pri prevod goniometrických výrazov. Umožňuje nahradiť súčet druhých mocnín sínusu a kosínusu jedného uhla jednotkou. Nie menej často sa základná trigonometrická identita používa v opačnom poradí: jednotka je nahradená súčtom druhých mocnín sínusu a kosínusu ľubovoľného uhla.
Tangenta a kotangens cez sínus a kosínus
Identity spájajúce tangens a kotangens so sínusom a kosínusom jedného uhla pohľadu a 
bezprostredne vyplývajú z definícií sínus, kosínus, tangens a kotangens. Podľa definície je sínus zvislá súradnica y, kosínus je súradnicou x, dotyčnica je pomer súradnice k súradnici, tj. 
a kotangens je pomer úsečky k zvislej osi, tj. 
.
Vďaka takejto samozrejmosti identít a Tangenta a kotangens často nie sú definované pomerom úsečky a ordináty, ale pomerom sínusu a kosínusu. Tangenta uhla je teda pomer sínusu ku kosínusu tohto uhla a kotangens je pomer kosínusu a sínusu.
Na záver tohto odseku je potrebné poznamenať, že identity a prebiehajú pre všetky uhly, pri ktorých trigonometrické funkcie v nich obsiahnuté dávajú zmysel. Vzorec je teda platný pre ľubovoľný , okrem (inak bude mať menovateľ nulu a my sme nedefinovali delenie nulou) a vzorec - pre všetky , odlišné od , kde z je ľubovoľné .
Vzťah medzi tangentom a kotangensom
Ešte zreteľnejšou trigonometrickou identitou ako predchádzajúce dve je identita spájajúca tangentu a kotangens jedného uhla tvaru . Je jasné, že platí pre všetky uhly iné ako , inak nie sú dotyčnica ani kotangens definované.
Dôkaz vzorca veľmi jednoduché. Podľa definície a odkiaľ 
. Dôkaz mohol byť vykonaný trochu inak. Od r , To 
.
Tangenta a kotangens rovnakého uhla, pod ktorým dávajú zmysel, sú teda .
