Modelovanie dynamických systémov (Lagrangeova metóda a Bond graf). Lagrangeova multiplikačná metóda

Multiplikačná metódaLagrange(v anglickej literatúre „LaGrange's method of undetermined multipliers“) ˗ je numerická metóda na riešenie optimalizačných problémov, ktorá umožňuje určiť „podmienený“ extrém účelovej funkcie (minimálnu alebo maximálnu hodnotu)

za prítomnosti špecifikovaných obmedzení jeho premenných vo forme rovnosti (t. j. je definovaný rozsah prípustných hodnôt)

˗ toto sú hodnoty argumentu funkcie (kontrolovateľné parametre) na skutočnej doméne, v ktorej má funkčná hodnota tendenciu k extrému. Použitie názvu „podmienený“ extrém je spôsobené tým, že na premenné je uložená ďalšia podmienka, ktorá obmedzuje rozsah prípustných hodnôt pri hľadaní extrému funkcie.

Metóda Lagrangeovho multiplikátora umožňuje premeniť problém hľadania podmieneného extrému cieľovej funkcie na množine prípustných hodnôt na problém nepodmienenej optimalizácie funkcie.

V prípade funkcií A sú spojité spolu so svojimi parciálnymi deriváciami, potom existujú také premenné λ, ktoré nie sú súčasne rovné nule, za ktorých je splnená nasledujúca podmienka:

V súlade s metódou Lagrangeovho multiplikátora teda na nájdenie extrému účelovej funkcie na množine prípustných hodnôt zostavím Lagrangeovu funkciu L(x, λ), ktorá je ďalej optimalizovaná:

kde λ ˗ je vektor ďalších premenných nazývaných neurčité Lagrangeove multiplikátory.

Problém nájdenia podmieneného extrému funkcie f(x) sa teda zredukoval na problém nájdenia nepodmieneného extrému funkcie L(x, λ).

A

Nevyhnutná podmienka pre extrém Lagrangeovej funkcie je daná sústavou rovníc (systém pozostáva z rovníc „n + m“):

Riešenie tejto sústavy rovníc nám umožňuje určiť argumenty funkcie (X), pri ktorých hodnota funkcie L(x, λ), ako aj hodnota cieľovej funkcie f(x) zodpovedajú extrému.

Veľkosť Lagrangeových multiplikátorov (λ) je praktická, ak sú obmedzenia prezentované vo forme s voľným členom v rovnici (konštanta). V tomto prípade môžeme ďalej uvažovať (zvýšiť/znížiť) hodnotu účelovej funkcie zmenou hodnoty konštanty v sústave rovníc. Lagrangeov multiplikátor teda charakterizuje rýchlosť zmeny maxima cieľovej funkcie pri zmene limitujúcej konštanty.

Existuje niekoľko spôsobov, ako určiť povahu extrému výslednej funkcie:

Prvá metóda: Nech sú súradnice extrémneho bodu a zodpovedajúca hodnota účelovej funkcie. Zoberie sa bod blízko bodu a vypočíta sa hodnota účelovej funkcie:

Ak , potom je v bode maximum.

Ak , potom je v bode minimum.

Druhá metóda: Postačujúcou podmienkou, z ktorej možno určiť povahu extrému, je znamienko druhého diferenciálu Lagrangeovej funkcie. Druhý diferenciál Lagrangeovej funkcie je definovaný takto:

Ak v danom bode minimálne, ak , potom má účelová funkcia f(x) podmienku maximálne.

Tretia metóda: Povaha extrému funkcie môže byť tiež určená zvážením Hessiánskej Lagrangeovej funkcie. Hessova matica je symetrická štvorcová matica druhých parciálnych derivácií funkcie v bode, v ktorom sú prvky matice symetrické okolo hlavnej uhlopriečky.

Na určenie typu extrému (maximum alebo minimum funkcie) môžete použiť Sylvesterovo pravidlo:

1. Aby bol druhý diferenciál Lagrangeovej funkcie kladné znamienko je potrebné, aby uhlové minory funkcie boli kladné. Za takýchto podmienok má funkcia v tomto bode minimum.

2. Aby bol druhý diferenciál Lagrangeovej funkcie záporné znamienko , je potrebné, aby sa striedali uhlové minory funkcie a prvý prvok matice musí byť záporsv. Za takýchto podmienok má funkcia v tomto bode maximum.

Uhlovou minoritou rozumieme minor umiestnenú v prvých k riadkoch a k stĺpcoch pôvodnej matice.

Hlavným praktickým významom Lagrangeovej metódy je to, že vám umožňuje prejsť od podmienenej optimalizácie k nepodmienenej optimalizácii a podľa toho rozšíriť arzenál dostupných metód na riešenie problému. Problém riešenia systému rovníc, na ktorý sa táto metóda redukuje, však nie je vo všeobecnom prípade o nič jednoduchší ako pôvodný problém hľadania extrému. Takéto metódy sa nazývajú nepriame. Ich použitie sa vysvetľuje potrebou získať riešenie extrémneho problému v analytickej forme (napríklad pre určité teoretické výpočty). Pri riešení konkrétnych praktických problémov sa zvyčajne používajú priame metódy založené na iteračných procesoch výpočtu a porovnávania hodnôt optimalizovaných funkcií.

Metóda výpočtu

1 krok: Z danej účelovej funkcie a systému obmedzení určíme Lagrangeovu funkciu:

Vpred

Ak chcete pridať svoj komentár k článku, zaregistrujte sa na stránke.

Názov parametra	Význam
Téma článku:	Lagrangeova metóda.
Rubrika (tematická kategória)	Matematika

Nájsť polynóm znamená určiť hodnoty jeho koeficientu . Ak to chcete urobiť, pomocou podmienky interpolácie môžete vytvoriť systém lineárnych algebraických rovníc (SLAE).

Determinant tohto SLAE sa zvyčajne nazýva Vandermondov determinant. Vandermondov determinant sa nerovná nule pre for , to znamená v prípade, že vo vyhľadávacej tabuľke nie sú žiadne zodpovedajúce uzly. Dá sa však tvrdiť, že SLAE má riešenie a toto riešenie je jedinečné. Po vyriešení SLAE a určení neznámych koeficientov môžete zostrojiť interpolačný polynóm.

Polynóm, ktorý spĺňa podmienky interpolácie, je pri interpolácii Lagrangeovou metódou zostrojený vo forme lineárnej kombinácie polynómov n-tého stupňa:

Polynómy sa zvyčajne nazývajú základné polynómy. Za účelom Lagrangeov polynóm spĺňa interpolačné podmienky, je mimoriadne dôležité, aby pre jeho bázové polynómy boli splnené nasledujúce podmienky:

Pre .

Ak sú splnené tieto podmienky, potom pre všetky máme:

Navyše splnenie špecifikovaných podmienok pre bázové polynómy znamená, že sú splnené aj podmienky interpolácie.

Určme typ základných polynómov na základe obmedzení, ktoré sú na ne kladené.

1. podmienka: v .

2. podmienka: .

Nakoniec pre základný polynóm môžeme napísať:

Potom dosadením výsledného výrazu pre základné polynómy do pôvodného polynómu získame konečný tvar Lagrangeovho polynómu:

Konkrétna forma Lagrangeovho polynómu at sa zvyčajne nazýva lineárny interpolačný vzorec:

.

Lagrangeov polynóm sa zvyčajne nazýva kvadratický interpolačný vzorec:

Lagrangeova metóda. - pojem a druhy. Klasifikácia a vlastnosti kategórie "Lagrangeova metóda." 2017, 2018.

- Lagrangeova metóda (metóda variácie ľubovoľnej konštanty).

Lineárne diaľkové ovládače. Definícia. Typ DU t.j. lineárna vzhľadom na neznámu funkciu a jej derivácia sa nazýva lineárna. Pre riešenie tohto typu budeme uvažovať dve metódy: Lagrangeovu metódu a Bernoulliho metódu Uvažujme homogénnu diferenciálnu rovnicu Táto rovnica je so separovateľnými premennými Riešenie rovnice je Všeobecné... .

- Lineárne riadiace systémy, homogénne a heterogénne. Koncept všeobecného rozhodnutia. Lagrangeova metóda variácie výrobných konštánt.

Definícia. Riadiaci systém sa nazýva homogénny, ak funkcia môže byť reprezentovaná ako vzťah medzi jej argumentmi. F-tá sa nazýva homogénne f-té meranie, ak Príklady: 1) - 1. rád homogenity. 2) - 2. rád homogenity. 3) - nulový rád homogenity (jednoducho homogénny... .

- Prednáška 8. Aplikácia parciálnych derivácií: extrémna úloha. Lagrangeova metóda.

Extrémne problémy majú v ekonomických výpočtoch veľký význam. Ide napríklad o výpočet maximálneho príjmu, zisku, minimálnych nákladov v závislosti od viacerých premenných: zdroje, výrobné aktíva atď. Teória hľadania extrémov funkcií... .

- T.2.3. DE vyšších rádov. Rovnica v totálnych diferenciáloch. T.2.4. Lineárne diferenciálne rovnice druhého rádu s konštantnými koeficientmi. Lagrangeova metóda.

3. 2. 1. DE s oddeliteľnými premennými S.R. 3. V prírodných vedách, technike a ekonómii sa často treba zaoberať empirickými vzorcami, t.j. vzorce zostavené na základe spracovania štatistických údajov alebo...

Metóda na určenie podmieneného extrému začína skonštruovaním pomocnej Lagrangeovej funkcie, ktorá v oblasti realizovateľných riešení dosahuje maximum pre rovnaké hodnoty premenných. X 1 , X 2 , ..., X n , ktorá je rovnaká ako účelová funkcia z . Nech je vyriešený problém určenia podmieneného extrému funkcie z = f(X) pod obmedzeniami φ i ( X 1 , X 2 , ..., X n ) = 0, i = 1, 2, ..., m , m < n

Zostavme si funkciu

ktorá sa volá Lagrangeova funkcia. X , - konštantné faktory ( Lagrangeove multiplikátory). Všimnite si, že Lagrangeovým multiplikátorom možno pripísať ekonomický význam. Ak f(x 1 , X 2 , ..., X n ) - príjem v súlade s plánom X = (x 1 , X 2 , ..., X n ) a funkciu φ i (X 1 , X 2 , ..., X n ) - náklady na i-tý zdroj zodpovedajúci tomuto plánu X , je cena (odhad) i-tého zdroja, charakterizujúca zmenu extrémnej hodnoty účelovej funkcie v závislosti od zmeny veľkosti i-tého zdroja (hraničný odhad). L(X) - funkcia n+m premenných (X 1 , X 2 , ..., X n , λ 1 , λ 2 , ..., λ n ) . Určenie stacionárnych bodov tejto funkcie vedie k riešeniu sústavy rovníc

Je ľahké to vidieť . Teda úlohou nájsť podmienený extrém funkcie z = f(X) redukuje na nájdenie lokálneho extrému funkcie L(X) . Ak sa nájde stacionárny bod, potom sa otázka existencie extrému v najjednoduchších prípadoch vyrieši na základe dostatočných podmienok pre extrém - štúdium znamienka druhého diferenciálu d 2 L(X) v stacionárnom bode za predpokladu, že sa premenná zvyšuje Δx i - spojený vzťahmi

získané diferenciáciou väzbových rovníc.

Riešenie sústavy nelineárnych rovníc o dvoch neznámych pomocou nástroja Nájsť riešenie

nastavenie Hľadanie riešenia umožňuje nájsť riešenie systému nelineárnych rovníc s dvoma neznámymi:

Kde
- nelineárna funkcia premenných X A r ,
- ľubovoľná konštanta.

Je známe, že pár ( X , r ) je riešením sústavy rovníc (10) práve vtedy, ak je riešením rovnice s dvoma neznámymi:

S na druhej strane, riešením systému (10) sú priesečníky dvoch kriviek: f ] (X, r) = C A f 2 (x, y) = C 2 na povrchu XOY.

To vedie k metóde hľadania koreňov systému. nelineárne rovnice:

Určte (aspoň približne) interval existencie riešenia sústavy rovníc (10) alebo rovnice (11). Tu je potrebné vziať do úvahy typ rovníc zahrnutých v systéme, oblasť definície každej z ich rovníc atď. Niekedy sa používa výber počiatočnej aproximácie riešenia;

Zostavte do tabuľky riešenie rovnice (11) pre premenné x a y na zvolenom intervale alebo vytvorte grafy funkcií f 1 (X, r) = C a f 2 (x,y) = C 2 (systém(10)).

Lokalizujte predpokladané korene systému rovníc - nájdite niekoľko minimálnych hodnôt z tabuľky s koreňmi rovnice (11) alebo určte priesečníky kriviek zahrnutých v systéme (10).

4. Nájdite korene sústavy rovníc (10) pomocou doplnku Hľadanie riešenia.

Stručná teória

Metóda Lagrangeovho multiplikátora je klasická metóda na riešenie problémov matematického programovania (najmä konvexných). Žiaľ, praktická aplikácia metódy môže naraziť na značné výpočtové ťažkosti, ktoré zužujú rozsah jej použitia. O Lagrangeovej metóde tu uvažujeme najmä preto, že ide o aparát, ktorý sa aktívne používa na zdôvodnenie rôznych moderných numerických metód, ktoré sú široko používané v praxi. Čo sa týka Lagrangeovej funkcie a Lagrangeových multiplikátorov, zohrávajú samostatnú a mimoriadne dôležitú úlohu v teórii a aplikáciách nielen matematického programovania.

Zvážte klasický problém s optimalizáciou:

Medzi obmedzeniami tohto problému nie sú žiadne nerovnosti, neexistujú podmienky pre nezápornosť premenných, ich diskrétnosť a funkcie sú spojité a majú parciálne derivácie aspoň druhého rádu.

Klasický prístup k riešeniu úlohy poskytuje systém rovníc (nevyhnutné podmienky), ktoré musí spĺňať bod, ktorý poskytuje funkcii lokálny extrém na množine bodov, ktoré spĺňajú obmedzenia (pre konvexný programovací problém nájdený bod bude tiež globálnym extrémnym bodom).

Predpokladajme, že v bode má funkcia (1) lokálny podmienený extrém a poradie matice sa rovná . Potom budú potrebné podmienky napísané vo forme:

existuje Lagrangeova funkcia; – Lagrangeove multiplikátory.

Existujú aj dostatočné podmienky, za ktorých riešenie sústavy rovníc (3) určuje extrémny bod funkcie. Táto otázka je vyriešená na základe štúdia znamienka druhého diferenciálu Lagrangeovej funkcie. Dostatočné podmienky sú však predovšetkým teoretické.

Pomocou metódy Lagrangeovho multiplikátora môžete zadať nasledujúci postup riešenia problému (1), (2):

1) zostavte Lagrangeovu funkciu (4);

2) nájdite parciálne derivácie Lagrangeovej funkcie vzhľadom na všetky premenné a porovnajte ich

nula. Tak získame sústavu (3) pozostávajúcu z rovníc, vyriešte výslednú sústavu (ak to bude možné!) a nájdite tak všetky stacionárne body Lagrangeovej funkcie;

3) zo stacionárnych bodov nasnímaných bez súradníc vyberte body, v ktorých má funkcia podmienené lokálne extrémy za prítomnosti obmedzení (2). Tento výber sa robí napríklad použitím dostatočných podmienok pre lokálny extrém. Štúdia sa často zjednoduší, ak sa použijú špecifické podmienky problému.

Príklad riešenia problému

Úloha

Spoločnosť vyrába dva druhy tovaru v množstve a . Funkcia užitočných nákladov je určená vzťahom. Ceny týchto tovarov na trhu sú rovnaké a podľa toho.

Určte, pri akých objemoch výstupov sa dosiahne maximálny zisk a aký sa rovná, ak celkové náklady nepresiahnu

Máte problém pochopiť priebeh rozhodnutia? Stránka ponúka službu Riešenie problémov metódami optimálnych riešení na objednávku

Riešenie problému

Ekonomický a matematický model problému

Zisková funkcia:

Obmedzenia nákladov:

Získame nasledujúci ekonomický a matematický model:

Navyše podľa zmyslu úlohy

Lagrangeova multiplikačná metóda

Zostavme Lagrangeovu funkciu:

Nájdeme parciálne derivácie 1. rádu:

Vytvorme a vyriešme sústavu rovníc:

Odvtedy

Maximálny zisk:

Odpoveď

Preto je potrebné uvoľniť jedlo. tovar 1. druhu a jednotky. tovar 2. druhu. V tomto prípade bude zisk maximálny a bude 270.
Uvádza sa príklad riešenia úlohy kvadratického konvexného programovania pomocou grafickej metódy.

Riešenie lineárnej úlohy grafickou metódou
Uvažuje sa o grafickej metóde riešenia úlohy lineárneho programovania (LPP) s dvoma premennými. Na príklade úlohy je uvedený podrobný popis konštrukcie výkresu a nájdenia riešenia.

Wilsonov model riadenia zásob
Na príklade riešenia problému sa uvažuje o základnom modeli riadenia zásob (Wilsonov model). Boli vypočítané také modelové ukazovatele ako optimálna veľkosť dávky objednávky, ročné skladovacie náklady, interval medzi dodávkami a bod zadania objednávky.

Matica priamych nákladov a vstupno-výstupná matica
Na príklade riešenia problému sa uvažuje Leontievov medzisektorový model. Je znázornený výpočet matice koeficientov priamych materiálových nákladov, matice „input-output“, matice koeficientov nepriamych nákladov, vektorov konečnej spotreby a hrubej produkcie.

Uvažujme lineárnu nehomogénnu diferenciálnu rovnicu prvého rádu:
(1) .
Existujú tri spôsoby riešenia tejto rovnice:

• metóda variácie konštanty (Lagrangeova).

Uvažujme o riešení lineárnej diferenciálnej rovnice prvého rádu pomocou Lagrangeovej metódy.

Metóda variácie konštanty (Lagrangeova)

Pri variačnej metóde konštanty riešime rovnicu v dvoch krokoch. V prvom kroku pôvodnú rovnicu zjednodušíme a vyriešime homogénnu rovnicu. V druhej fáze nahradíme integračnú konštantu získanú v prvej fáze riešenia funkciou. Potom hľadáme všeobecné riešenie pôvodnej rovnice.

Zvážte rovnicu:
(1)

Krok 1 Riešenie homogénnej rovnice

Hľadáme riešenie homogénnej rovnice:

Toto je oddeliteľná rovnica

Premenné oddelíme - vynásobíme dx, vydelíme y:

Poďme integrovať:

Integrál nad y - tabuľkový:

Potom

Poďme potencovať:

Nahraďme konštantu e C za C a odstránime znamienko modulu, čo vedie k vynásobeniu konštantou ±1, ktorý zahrnieme do C:

Krok 2 Nahraďte konštantu C funkciou

Teraz nahraďme konštantu C funkciou x:
C → u (X)
To znamená, že budeme hľadať riešenie pôvodnej rovnice (1) ako:
(2)
Nájdenie derivátu.

Podľa pravidla diferenciácie komplexnej funkcie:
.
Podľa pravidla diferenciácie produktov:

.
Dosaďte do pôvodnej rovnice (1) :
(1) ;

.
Dvaja členovia sú znížení:
;
.
Poďme integrovať:
.
Nahradiť v (2) :
.
Výsledkom je všeobecné riešenie lineárnej diferenciálnej rovnice prvého rádu:
.

Príklad riešenia lineárnej diferenciálnej rovnice prvého rádu Lagrangeovou metódou

Vyriešte rovnicu

Riešenie

Riešime homogénnu rovnicu:

Oddeľujeme premenné:

Vynásobte:

Poďme integrovať:

tabuľkové integrály:

Poďme potencovať:

Nahraďme konštantu e C za C a odstránime znamienka modulu:

Odtiaľ:

Nahraďme konštantu C funkciou x:
C → u (X)

Nájdenie derivátu:
.
Dosaďte do pôvodnej rovnice:
;
;
alebo:
;
.
Poďme integrovať:
;
Riešenie rovnice:
.