Vypočítajte objem obrazca vytvoreného rotáciou ohraničenej plochy. Výpočet objemov rotačných telies pomocou určitého integrálu

Ako vypočítať objem rotačného telesa
pomocou určitého integrálu?

Vo všeobecnosti existuje veľa zaujímavých aplikácií v integrálnom počte; pomocou určitého integrálu môžete vypočítať plochu postavy, objem rotačného telesa, dĺžku oblúka, povrchovú plochu rotácia a oveľa viac. Takže to bude zábava, buďte optimistickí!

Predstavte si nejakú plochú postavu v rovine súradníc. Predstavený? ... som zvedavý, kto čo prezentoval... =))) Jej areál sme už našli. Okrem toho sa však toto číslo môže tiež otáčať a otáčať dvoma spôsobmi:

- okolo osi x;
- okolo zvislej osi.

Tento článok bude skúmať oba prípady. Zaujímavý je najmä druhý spôsob otáčania, ktorý spôsobuje najväčšie ťažkosti, no v skutočnosti je riešenie takmer rovnaké ako pri bežnejšom otáčaní okolo osi x. Ako bonus sa k tomu vrátim problém nájsť oblasť postavy, a poviem vám, ako nájsť oblasť druhým spôsobom - pozdĺž osi. Nie je to ani taký bonus, pretože materiál dobre zapadá do témy.

Začnime s najobľúbenejším typom rotácie.

plochá postava okolo osi

Vypočítajte objem telesa získaného otáčaním útvaru ohraničeného priamkami okolo osi.

Riešenie: Rovnako ako v prípade problému s nájdením oblasti, riešenie začína kresbou plochej postavy. To znamená, že v rovine je potrebné zostrojiť obrazec ohraničený čiarami a nezabudnite, že rovnica určuje os. Ako efektívnejšie a rýchlejšie dokončiť kresbu nájdete na stránkach Grafy a vlastnosti elementárnych funkcií A . Toto je čínska pripomienka a na tomto mieste sa nebudem ďalej zdržiavať.

Nákres je tu celkom jednoduchý:

Požadovaná plochá figúrka je vytieňovaná modrou farbou, je to tá, ktorá sa otáča okolo osi, výsledkom rotácie je mierne vajcovitý lietajúci tanier, ktorý je symetrický okolo osi. V skutočnosti má telo matematický názov, ale som príliš lenivý na to, aby som niečo objasnil v referenčnej knihe, takže ideme ďalej.

Ako vypočítať objem rotačného telesa?

Objem rotačného telesa možno vypočítať pomocou vzorca:

Vo vzorci musí byť číslo prítomné pred integrálom. Tak sa aj stalo – všetko, čo sa v živote točí, je spojené s touto konštantou.

Myslím, že je ľahké uhádnuť, ako nastaviť hranice integrácie „a“ a „byť“ z dokončeného výkresu.

Funkcia... čo je táto funkcia? Pozrime sa na výkres. Rovinný obrazec je ohraničený grafom paraboly v hornej časti. Toto je funkcia, ktorá je zahrnutá vo vzorci.

V praktických úlohách môže byť plochá postava niekedy umiestnená pod osou. To nič nemení - integrand vo vzorci je odmocnený: , teda integrál je vždy nezáporný, čo je veľmi logické.

Vypočítajme objem rotačného telesa pomocou tohto vzorca:

Ako som už poznamenal, integrál sa takmer vždy ukáže ako jednoduchý, hlavnou vecou je byť opatrný.

Odpoveď:

Vo svojej odpovedi musíte uviesť rozmer - kubické jednotky. To znamená, že v našom rotačnom tele je približne 3,35 „kociek“. Prečo kubický Jednotky? Pretože najuniverzálnejšia formulácia. Môžu tam byť kubické centimetre, môžu tam byť kubické metre, môžu byť kubické kilometre atď., toľko zelených mužíkov dokáže vaša fantázia vložiť do lietajúceho taniera.

Nájdite objem telesa vytvoreného rotáciou okolo osi obrazca ohraničeného priamkami , ,

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Uvažujme o dvoch zložitejších problémoch, s ktorými sa v praxi tiež často stretávame.

Vypočítajte objem telesa získaného rotáciou okolo osi x úsečky obrazca ohraničeného priamkami , , a

Riešenie: Ukážme si na výkrese plochý útvar ohraničený čiarami , , , , pričom nezabúdajme, že rovnica definuje os:

Požadovaná figúrka je vytieňovaná modrou farbou. Keď sa točí okolo svojej osi, ukáže sa, že je to neskutočná šiška so štyrmi rohmi.

Vypočítajme objem rotačného telesa ako rozdiel v objemoch telies.

Najprv sa pozrime na postavu zakrúžkovanú červenou farbou. Keď sa otáča okolo osi, získa sa zrezaný kužeľ. Označme objem tohto zrezaného kužeľa .

Zvážte postavu, ktorá je zakrúžkovaná zelenou farbou. Ak otočíte tento obrazec okolo osi, získate tiež zrezaný kužeľ, len o niečo menší. Jeho objem označme .

A samozrejme, rozdiel v objemoch je presne objemom našej „šišky“.

Na zistenie objemu rotačného telesa používame štandardný vzorec:

1) Číslo zakrúžkované červenou farbou je ohraničené priamkou, preto:

2) Zelený zakrúžkovaný obrázok je ohraničený priamkou, preto:

3) Objem požadovaného rotačného telesa:

Odpoveď:

Je zvláštne, že v tomto prípade je možné riešenie skontrolovať pomocou školského vzorca na výpočet objemu zrezaného kužeľa.

Samotné rozhodnutie je často napísané kratšie, asi takto:

Teraz si trochu oddýchneme a povieme vám o geometrických ilúziách.

Ľudia majú často ilúzie spojené so zväzkami, čo si v knihe všimol aj Perelman (iný). Zábavná geometria. Pozrite sa na plochý obrázok v riešenom probléme - zdá sa, že je malý na plochu a objem rotačného telesa je len niečo málo cez 50 kubických jednotiek, čo sa zdá byť príliš veľké. Mimochodom, priemerný človek vypije za celý život ekvivalent miestnosti 18 metrov štvorcových tekutiny, čo sa mu naopak zdá príliš malý objem.

Po lyrickej odbočke je vhodné vyriešiť kreatívnu úlohu:

Vypočítajte objem telesa vytvoreného rotáciou okolo osi plochého útvaru ohraničeného priamkami , , kde .

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. Upozorňujeme, že všetky prípady sa vyskytujú v pásme, inými slovami, hotové limity integrácie sú vlastne dané. Správne nakreslite grafy goniometrických funkcií, dovoľte mi pripomenúť vám lekciu o geometrické transformácie grafov: ak je argument delený dvoma: , potom sa grafy roztiahnu dvakrát pozdĺž osi. Je vhodné nájsť aspoň 3-4 body podľa trigonometrických tabuliek pre presnejšie dokončenie výkresu. Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny. Mimochodom, úloha sa dá vyriešiť racionálne a nie veľmi racionálne.

Výpočet objemu telesa vzniknutého rotáciou
plochá postava okolo osi

Druhý odsek bude ešte zaujímavejší ako prvý. Úloha vypočítať objem rotačného telesa okolo súradnicovej osi je tiež pomerne častým hosťom v testovacej práci. Po ceste sa bude zvažovať problém nájsť oblasť postavy druhá metóda je integrácia pozdĺž osi, čo vám umožní nielen zlepšiť svoje zručnosti, ale tiež vás naučí nájsť najziskovejšie riešenie. Je v tom aj praktický zmysel života! Ako s úsmevom spomínala moja učiteľka metód výučby matematiky, mnohí absolventi jej ďakovali slovami: „Váš predmet nám veľmi pomohol, teraz sme efektívni manažéri a optimálne riadime zamestnancov.“ Využívajúc túto príležitosť, vyjadrujem jej tiež veľkú vďaku, najmä preto, že získané vedomosti využívam na zamýšľaný účel =).

Odporúčam všetkým, aj úplným maškrtníkom. Okrem toho materiál získaný v druhom odseku poskytne neoceniteľnú pomoc pri výpočte dvojitých integrálov.

Daný plochý obrazec ohraničený čiarami , , .

1) Nájdite plochu plochej postavy ohraničenú týmito čiarami.
2) Nájdite objem telesa získaný otočením plochého útvaru ohraničeného týmito čiarami okolo osi.

Pozor! Aj keď si chcete prečítať iba druhý bod, určite si najprv prečítajte prvý!

Riešenie: Úloha pozostáva z dvoch častí. Začnime námestím.

1) Urobme si kresbu:

Je ľahké vidieť, že funkcia špecifikuje hornú vetvu paraboly a funkcia špecifikuje dolnú vetvu paraboly. Pred nami je triviálna parabola, ktorá „leží na boku“.

Požadovaná postava, ktorej oblasť sa má nájsť, je zatienená modrou farbou.

Ako nájsť oblasť postavy? Dá sa nájsť „bežným“ spôsobom, o ktorom sa diskutovalo v triede Určitý integrál. Ako vypočítať plochu obrázku. Okrem toho sa plocha obrázka zistí ako súčet plôch:
- na segmente ;
- na segmente.

Preto:

Prečo je obvyklé riešenie v tomto prípade zlé? Po prvé, máme dva integrály. Po druhé, pod integrálmi sú korene a korene v integráloch nie sú darom a okrem toho sa môžete zmiasť pri nahrádzaní hraníc integrácie. V skutočnosti integrály, samozrejme, nie sú ničivé, ale v praxi môže byť všetko oveľa smutnejšie, len som pre problém vybral „lepšie“ funkcie.

Existuje racionálnejšie riešenie: pozostáva z prechodu na inverzné funkcie a integrácie pozdĺž osi.

Ako sa dostať k inverzným funkciám? Zhruba povedané, musíte vyjadriť „x“ cez „y“. Najprv sa pozrime na parabolu:

To je dosť, ale uistite sa, že rovnakú funkciu je možné odvodiť z nižšej vetvy:

S rovnou čiarou je to jednoduchšie:

Teraz sa pozrite na os: pravidelne nakláňajte hlavu doprava o 90 stupňov, ako vysvetľujete (toto nie je vtip!). Obrázok, ktorý potrebujeme, leží na segmente, ktorý je označený červenou bodkovanou čiarou. V tomto prípade je na segmente priamka umiestnená nad parabolou, čo znamená, že oblasť obrázku by sa mala nájsť pomocou už známeho vzorca: . Čo sa zmenilo vo vzorci? Len list a nič viac.

! Poznámka: Mali by byť stanovené limity integrácie pozdĺž osi striktne zdola nahor!

Nájdenie oblasti:

V segmente teda:

Všimnite si prosím, ako som vykonal integráciu, je to najracionálnejší spôsob a v ďalšom odseku úlohy bude jasné prečo.

Pre čitateľov, ktorí pochybujú o správnosti integrácie, nájdem deriváty:

Získa sa pôvodná funkcia integrand, čo znamená, že integrácia bola vykonaná správne.

Odpoveď:

2) Vypočítajme objem telesa vytvoreného rotáciou tohto obrazca okolo osi.

Výkres prekreslím do trochu iného dizajnu:

Postava vytieňovaná modrou sa teda otáča okolo osi. Výsledkom je „vznášajúci sa motýľ“, ktorý sa otáča okolo svojej osi.

Aby sme našli objem rotačného telesa, budeme integrovať pozdĺž osi. Najprv musíme prejsť k inverzným funkciám. Toto už bolo urobené a podrobne popísané v predchádzajúcom odseku.

Teraz opäť nakloníme hlavu doprava a študujeme našu postavu. Je zrejmé, že objem rotačného telesa by sa mal nájsť ako rozdiel v objemoch.

Otáčame figúrku zakrúžkovanú červenou farbou okolo osi, výsledkom čoho je zrezaný kužeľ. Označme tento zväzok .

Zeleno zakrúžkovaný obrazec otáčame okolo osi a označíme ho objemom výsledného rotačného telesa.

Objem nášho motýľa sa rovná rozdielu v objemoch.

Na zistenie objemu rotačného telesa používame vzorec:

Aký je rozdiel od vzorca v predchádzajúcom odseku? Iba v liste.

Ale výhoda integrácie, o ktorej som nedávno hovoril, sa hľadá oveľa ľahšie , skôr ako najprv zvýšiť integrand na 4. mocninu.

Odpoveď:

Upozorňujeme, že ak sa rovnaká plochá figúrka otočí okolo osi, získate úplne iné telo otáčania, prirodzene s iným objemom.

Daná plochá postava ohraničená čiarami a osou.

1) Prejdite na inverzné funkcie a nájdite oblasť rovinného útvaru ohraničenú týmito čiarami integráciou cez premennú.
2) Vypočítajte objem telesa získaného otáčaním plochého útvaru ohraničeného týmito čiarami okolo osi.

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. Záujemcovia môžu nájsť plochu figúry aj „obvyklým“ spôsobom, a tým skontrolovať bod 1). Ale ak, opakujem, otočíte plochú postavu okolo osi, dostanete úplne iné telo otáčania s iným objemom, mimochodom, správna odpoveď (aj pre tých, ktorí radi riešia problémy).

Kompletné riešenie dvoch navrhnutých bodov úlohy je na konci hodiny.

Áno, a nezabudnite nakloniť hlavu doprava, aby ste pochopili rotáciu a limity integrácie!

Chystal som sa dokončiť článok, ale dnes priniesli zaujímavý príklad práve na zistenie objemu rotačného telesa okolo osi y. Čerstvé:

Vypočítajte objem telesa vytvoreného rotáciou okolo osi obrazca ohraničeného krivkami a .

Riešenie: Urobme kresbu:

Po ceste sa oboznamujeme s grafmi niektorých ďalších funkcií. Tu je zaujímavý graf párnej funkcie...

Objem rotačného telesa možno vypočítať pomocou vzorca:

Vo vzorci musí byť číslo prítomné pred integrálom. Tak sa aj stalo – všetko, čo sa v živote točí, je spojené s touto konštantou.

Myslím, že je ľahké uhádnuť, ako nastaviť hranice integrácie „a“ a „byť“ z dokončeného výkresu.

Funkcia... čo je táto funkcia? Pozrime sa na výkres. Rovinný obrazec je ohraničený grafom paraboly v hornej časti. Toto je funkcia, ktorá je zahrnutá vo vzorci.

V praktických úlohách môže byť plochá postava niekedy umiestnená pod osou. To nič nemení - funkcia vo vzorci je odmocnená: , teda objem rotačného telesa je vždy nezáporný, čo je veľmi logické.

Vypočítajme objem rotačného telesa pomocou tohto vzorca:

Ako som už poznamenal, integrál sa takmer vždy ukáže ako jednoduchý, hlavnou vecou je byť opatrný.

odpoveď:

Vo svojej odpovedi musíte uviesť rozmer - kubické jednotky. To znamená, že v našom rotačnom tele je približne 3,35 „kociek“. Prečo kubický Jednotky? Pretože najuniverzálnejšia formulácia. Môžu tam byť kubické centimetre, môžu tam byť kubické metre, môžu byť kubické kilometre atď., toľko zelených mužíkov dokáže vaša fantázia vložiť do lietajúceho taniera.

Príklad 2

Nájdite objem telesa vytvoreného rotáciou okolo osi obrazca ohraničeného priamkami , ,

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Uvažujme o dvoch zložitejších problémoch, s ktorými sa v praxi tiež často stretávame.

Príklad 3

Vypočítajte objem telesa získaného rotáciou okolo osi x úsečky obrazca ohraničeného priamkami , , a

Riešenie: Ukážme si na výkrese plochý obrazec ohraničený čiarami , , , , pričom nezabúdajme, že rovnica definuje os:

Požadovaná figúrka je vytieňovaná modrou farbou. Keď sa točí okolo svojej osi, ukáže sa, že je to neskutočná šiška so štyrmi rohmi.

Vypočítajme objem rotačného telesa ako rozdiel v objemoch telies.

Najprv sa pozrime na postavu zakrúžkovanú červenou farbou. Keď sa otáča okolo osi, získa sa zrezaný kužeľ. Označme objem tohto zrezaného kužeľa .

Zvážte postavu, ktorá je zakrúžkovaná zelenou farbou. Ak otočíte tento obrazec okolo osi, získate tiež zrezaný kužeľ, len o niečo menší. Jeho objem označme .

A samozrejme, rozdiel v objemoch je presne objemom našej „šišky“.

Na zistenie objemu rotačného telesa používame štandardný vzorec:

1) Číslo zakrúžkované červenou farbou je ohraničené priamkou, preto:

2) Zelený zakrúžkovaný obrázok je ohraničený priamkou, preto:

3) Objem požadovaného rotačného telesa:

odpoveď:

Je zvláštne, že v tomto prípade je možné riešenie skontrolovať pomocou školského vzorca na výpočet objemu zrezaného kužeľa.

Samotné rozhodnutie je často napísané kratšie, asi takto:

Teraz si trochu oddýchneme a povieme vám o geometrických ilúziách.

Ľudia majú často so zväzkami spojené ilúzie, ktoré si v knihe všimol aj Perelman (nie ten). Zábavná geometria. Pozrite sa na plochý obrázok v riešenom probléme - zdá sa, že je malý na plochu a objem rotačného telesa je len niečo málo cez 50 kubických jednotiek, čo sa zdá byť príliš veľké. Mimochodom, priemerný človek vypije za celý život ekvivalent miestnosti 18 metrov štvorcových tekutiny, čo sa mu naopak zdá príliš malý objem.

Vo všeobecnosti bol vzdelávací systém v ZSSR skutočne najlepší. Tá istá kniha od Perelmana, ktorú napísal ešte v roku 1950, veľmi dobre rozvíja, ako povedal humorista, myslenie a učí človeka hľadať originálne, neštandardné riešenia problémov. Nedávno som si s veľkým záujmom znovu prečítal niektoré kapitoly, odporúčam, je to prístupné aj pre humanistov. Nie, nemusíte sa usmievať, že som ponúkol voľný čas, erudícia a široké obzory v komunikácii sú super.

Po lyrickej odbočke je vhodné vyriešiť kreatívnu úlohu:

Príklad 4

Vypočítajte objem telesa vytvoreného rotáciou okolo osi plochého útvaru ohraničeného priamkami , , kde .

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. Upozorňujeme, že v kapele sa dejú všetky veci, inými slovami, sú dané prakticky hotové limity integrácie. Pokúste sa tiež správne nakresliť grafy goniometrických funkcií; ak je argument rozdelený dvoma: potom sa grafy roztiahnu dvakrát pozdĺž osi. Pokúste sa nájsť aspoň 3-4 body podľa trigonometrických tabuliek a presnejšie dokončite výkres. Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny. Mimochodom, úloha sa dá vyriešiť racionálne a nie veľmi racionálne.

Výpočet objemu telesa vzniknutého rotáciou
plochá postava okolo osi

Druhý odsek bude ešte zaujímavejší ako prvý. Úloha vypočítať objem rotačného telesa okolo súradnicovej osi je tiež pomerne častým hosťom v testovacej práci. Po ceste sa bude zvažovať problém nájsť oblasť postavy druhá metóda je integrácia pozdĺž osi, čo vám umožní nielen zlepšiť svoje zručnosti, ale tiež vás naučí nájsť najziskovejšie riešenie. Je v tom aj praktický zmysel života! Ako s úsmevom spomínala moja učiteľka metód výučby matematiky, mnohí absolventi jej ďakovali slovami: „Váš predmet nám veľmi pomohol, teraz sme efektívni manažéri a optimálne riadime zamestnancov.“ Využívajúc túto príležitosť, vyjadrujem jej tiež veľkú vďaku, najmä preto, že získané vedomosti využívam na zamýšľaný účel =).

Príklad 5

Daný plochý obrazec ohraničený čiarami , , .

1) Nájdite plochu plochej postavy ohraničenú týmito čiarami.
2) Nájdite objem telesa získaný otočením plochého útvaru ohraničeného týmito čiarami okolo osi.

Pozor! Aj keď si chcete prečítať len druhý bod, najprv Nevyhnutne prečítajte si prvý!

Riešenie:Úloha pozostáva z dvoch častí. Začnime námestím.

1) Urobme si kresbu:

Je ľahké vidieť, že funkcia špecifikuje hornú vetvu paraboly a funkcia špecifikuje dolnú vetvu paraboly. Pred nami je triviálna parabola, ktorá „leží na boku“.

Požadovaná postava, ktorej oblasť sa má nájsť, je zatienená modrou farbou.

Ako nájsť oblasť postavy? Dá sa nájsť „bežným“ spôsobom, o ktorom sa diskutovalo v triede Určitý integrál. Ako vypočítať plochu obrázku. Okrem toho sa plocha obrázka zistí ako súčet plôch:
- na segmente ;
- na segmente.

Preto:

Prečo je obvyklé riešenie v tomto prípade zlé? Po prvé, máme dva integrály. Po druhé, integrály sú korene a korene v integráloch nie sú darom a okrem toho sa môžete zmiasť pri nahrádzaní hraníc integrácie. V skutočnosti integrály, samozrejme, nie sú ničivé, ale v praxi môže byť všetko oveľa smutnejšie, len som pre problém vybral „lepšie“ funkcie.

Existuje racionálnejšie riešenie: pozostáva z prechodu na inverzné funkcie a integrácie pozdĺž osi.

Ako sa dostať k inverzným funkciám? Zhruba povedané, musíte vyjadriť „x“ cez „y“. Najprv sa pozrime na parabolu:

To je dosť, ale uistite sa, že rovnakú funkciu je možné odvodiť z nižšej vetvy:

S rovnou čiarou je to jednoduchšie:

Teraz sa pozrite na os: pravidelne nakláňajte hlavu doprava o 90 stupňov, ako vysvetľujete (toto nie je vtip!). Obrázok, ktorý potrebujeme, leží na segmente, ktorý je označený červenou bodkovanou čiarou. V tomto prípade je na segmente priamka umiestnená nad parabolou, čo znamená, že oblasť obrázku by sa mala nájsť pomocou už známeho vzorca: . Čo sa zmenilo vo vzorci? Len list a nič viac.

! Poznámka: Mali by byť nastavené integračné limity pozdĺž osi striktne zdola nahor!

Nájdenie oblasti:

V segmente teda:

Všimnite si prosím, ako som vykonal integráciu, je to najracionálnejší spôsob a v ďalšom odseku úlohy bude jasné prečo.

Pre čitateľov, ktorí pochybujú o správnosti integrácie, nájdem deriváty:

Získa sa pôvodná funkcia integrand, čo znamená, že integrácia bola vykonaná správne.

odpoveď:

2) Vypočítajme objem telesa vytvoreného rotáciou tohto obrazca okolo osi.

Výkres prekreslím do trochu iného dizajnu:

Postava vytieňovaná modrou sa teda otáča okolo osi. Výsledkom je „vznášajúci sa motýľ“, ktorý sa otáča okolo svojej osi.

Aby sme našli objem rotačného telesa, budeme integrovať pozdĺž osi. Najprv musíme prejsť k inverzným funkciám. Toto už bolo urobené a podrobne popísané v predchádzajúcom odseku.

Teraz opäť nakloníme hlavu doprava a študujeme našu postavu. Je zrejmé, že objem rotačného telesa by sa mal nájsť ako rozdiel v objemoch.

Otáčame figúrku zakrúžkovanú červenou farbou okolo osi, výsledkom čoho je zrezaný kužeľ. Označme tento zväzok .

Zeleno zakrúžkovaný obrazec otáčame okolo osi a označíme ho objemom výsledného rotačného telesa.

Objem nášho motýľa sa rovná rozdielu v objemoch.

Na zistenie objemu rotačného telesa používame vzorec:

Aký je rozdiel od vzorca v predchádzajúcom odseku? Iba v liste.

Ale výhoda integrácie, o ktorej som nedávno hovoril, sa hľadá oveľa ľahšie , skôr ako najprv zvýšiť integrand na 4. mocninu.

odpoveď:

Nie však chorľavý motýľ.

Upozorňujeme, že ak sa rovnaká plochá figúrka otočí okolo osi, získate úplne iné telo otáčania, prirodzene s iným objemom.

Príklad 6

Daná plochá postava ohraničená čiarami a osou.

1) Prejdite na inverzné funkcie a nájdite oblasť rovinného útvaru ohraničenú týmito čiarami integráciou cez premennú.
2) Vypočítajte objem telesa získaného otáčaním plochého útvaru ohraničeného týmito čiarami okolo osi.

Objem rotačného telesa možno vypočítať pomocou vzorca:

Vo vzorci musí byť číslo prítomné pred integrálom. Tak sa aj stalo – všetko, čo sa v živote točí, je spojené s touto konštantou.

Myslím, že je ľahké uhádnuť, ako nastaviť hranice integrácie „a“ a „byť“ z dokončeného výkresu.

Funkcia... čo je táto funkcia? Pozrime sa na výkres. Plochý obrazec je ohraničený grafom paraboly v hornej časti. Toto je funkcia, ktorá je zahrnutá vo vzorci.

V praktických úlohách môže byť plochá postava niekedy umiestnená pod osou. To nič nemení - integrand vo vzorci je odmocnený: teda integrál je vždy nezáporný , čo je veľmi logické.

Vypočítajme objem rotačného telesa pomocou tohto vzorca:

Ako som už poznamenal, integrál sa takmer vždy ukáže ako jednoduchý, hlavnou vecou je byť opatrný.

Odpoveď:

Vo svojej odpovedi musíte uviesť rozmer - kubické jednotky. To znamená, že v našom rotačnom tele je približne 3,35 „kociek“. Prečo kubický Jednotky? Pretože najuniverzálnejšia formulácia. Môžu tam byť kubické centimetre, môžu tam byť kubické metre, môžu byť kubické kilometre atď., toľko zelených mužíkov dokáže vaša fantázia vložiť do lietajúceho taniera.

Príklad 2

Nájdite objem telesa vytvoreného rotáciou okolo osi obrazca ohraničeného čiarami,

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Uvažujme o dvoch zložitejších problémoch, s ktorými sa v praxi tiež často stretávame.

Príklad 3

Vypočítajte objem telesa získaného otáčaním okolo osi x úsečky obrazca ohraničeného priamkami ,, a

Riešenie: Znázornime na výkrese plochý útvar ohraničený čiarami ,,,, bez toho, aby sme zabudli, že rovnica definuje os:

Požadovaná figúrka je vytieňovaná modrou farbou. Keď sa točí okolo svojej osi, ukáže sa, že je to neskutočná šiška so štyrmi rohmi.

Vypočítajme objem rotačného telesa ako rozdiel v objemoch telies.

Najprv sa pozrime na postavu zakrúžkovanú červenou farbou. Keď sa otáča okolo osi, získa sa zrezaný kužeľ. Označme objem tohto zrezaného kužeľa pomocou.

Zvážte postavu, ktorá je zakrúžkovaná zelenou farbou. Ak otočíte tento obrazec okolo osi, získate tiež zrezaný kužeľ, len o niečo menší. Označme jej objem podľa.

A samozrejme, rozdiel v objemoch je presne objemom našej „šišky“.

Na zistenie objemu rotujúceho telesa používame štandardný vzorec:

1) Číslo zakrúžkované červenou farbou je ohraničené priamkou, preto:

2) Zelený zakrúžkovaný obrázok je ohraničený priamkou, preto:

3) Objem požadovaného rotačného telesa:

Odpoveď:

Je zvláštne, že v tomto prípade je možné riešenie skontrolovať pomocou školského vzorca na výpočet objemu zrezaného kužeľa.

Samotné rozhodnutie je často napísané kratšie, asi takto:

Teraz si trochu oddýchneme a povieme vám o geometrických ilúziách.

Ľudia majú často ilúzie spojené so zväzkami, čo si v knihe všimol aj Perelman (iný). Zábavná geometria. Pozrite sa na plochý obrázok v riešenom probléme - zdá sa, že je malý na plochu a objem rotačného telesa je len niečo málo cez 50 kubických jednotiek, čo sa zdá byť príliš veľké. Mimochodom, priemerný človek vypije za celý život ekvivalent miestnosti 18 metrov štvorcových tekutiny, čo sa mu naopak zdá príliš malý objem.

Vo všeobecnosti bol vzdelávací systém v ZSSR skutočne najlepší. Tá istá kniha od Perelmana, vydaná ešte v roku 1950, veľmi dobre rozvíja, ako povedal humorista, myslenie a učí vás hľadať originálne, neštandardné riešenia problémov. Nedávno som si s veľkým záujmom znovu prečítal niektoré kapitoly, odporúčam, je to prístupné aj pre humanistov. Nie, nemusíte sa usmievať, že som ponúkol voľný čas, erudícia a široké obzory v komunikácii sú super.

Po lyrickej odbočke je vhodné vyriešiť kreatívnu úlohu:

Príklad 4

Vypočítajte objem telesa vzniknutého rotáciou okolo osi plochého útvaru ohraničeného priamkami,, kde.

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. Upozorňujeme, že všetky prípady sa vyskytujú v pásme, inými slovami, hotové limity integrácie sú vlastne dané. Správne nakreslite grafy goniometrických funkcií, dovoľte mi pripomenúť vám lekciu o geometrické transformácie grafov : ak je argument delený dvoma: , potom sa grafy roztiahnu pozdĺž osi dvakrát. Je vhodné nájsť aspoň 3-4 body podľa trigonometrických tabuliek pre presnejšie dokončenie výkresu. Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny. Mimochodom, úloha sa dá vyriešiť racionálne a nie veľmi racionálne.

Téma: „Výpočet objemov rotačných telies pomocou určitého integrálu“

Typ lekcie: kombinované.

Účel lekcie: naučiť sa počítať objemy rotačných telies pomocou integrálov.

Úlohy:

upevniť schopnosť identifikovať krivočiare lichobežníky z množstva geometrických útvarov a rozvíjať zručnosť výpočtu plôch krivočiarych lichobežníkov;

zoznámiť sa s pojmom trojrozmerná postava;

naučiť sa vypočítať objemy rotačných telies;

podporovať rozvoj logického myslenia, kompetentnú matematickú reč, presnosť pri vytváraní výkresov;

pestovať záujem o predmet, pracovať s matematickými pojmami a obrazmi, pestovať vôľu, samostatnosť a vytrvalosť pri dosahovaní konečného výsledku.

Počas vyučovania

I. Organizačný moment.

Pozdravy zo skupiny. Oznámte žiakom ciele hodiny.

Dnešnú lekciu by som chcel začať podobenstvom. „Žil raz jeden múdry muž, ktorý vedel všetko. Jeden muž chcel dokázať, že mudrc nevie všetko. V dlaniach držal motýľa a spýtal sa: „Povedz mi, mudrc, ktorý motýľ je v mojich rukách: mŕtvy alebo živý? A myslí si: „Ak povie živá, zabijem ju, ak povie mŕtva, prepustím ju. Mudrc po premýšľaní odpovedal: „Všetko je vo vašich rukách.

Pracujme preto dnes plodne, získajme novú zásobáreň vedomostí a nadobudnuté zručnosti a schopnosti uplatníme v budúcom živote a praktickej činnosti. „Všetko je vo vašich rukách.“

II. Opakovanie predtým preštudovanej látky.

Pripomeňme si hlavné body predtým študovaného materiálu. Ak to chcete urobiť, dokončite úlohu „Odstrániť ďalšie slovo“.

(Študenti povedia ďalšie slovo.)

Správny "Diferenciálny". Pokúste sa pomenovať zostávajúce slová jedným bežným slovom. (Integrovaný počet.)

Pripomeňme si hlavné etapy a pojmy spojené s integrálnym počtom.

Cvičenie. Obnovte medzery. (Študent vyjde a fixkou napíše požadované slová.)

Práca v zošitoch.

Newtonov-Leibnizov vzorec odvodili anglický fyzik Isaac Newton (1643-1727) a nemecký filozof Gottfried Leibniz (1646-1716). A to nie je prekvapujúce, pretože matematika je jazyk, ktorým hovorí samotná príroda.

Pozrime sa, ako sa tento vzorec používa na riešenie praktických problémov.

Príklad 1: Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami

Riešenie: Zostrojme grafy funkcií na súradnicovej rovine . Vyberme oblasť obrázku, ktorú je potrebné nájsť.

III. Učenie sa nového materiálu.

Venujte pozornosť obrazovke. Čo je zobrazené na prvom obrázku? (Obrázok znázorňuje plochý obrázok.)

Čo je zobrazené na druhom obrázku? Je toto číslo ploché? (Obrázok zobrazuje trojrozmerný obrázok.)

Vo vesmíre, na zemi a v každodennom živote sa stretávame nielen s plochými postavami, ale aj s trojrozmernými, ale ako môžeme vypočítať objem takýchto telies? Napríklad: objem planéty, kométy, meteoritu atď.

Ľudia myslia na objem tak pri stavbe domov, ako aj pri prelievaní vody z jednej nádoby do druhej. Museli sa objaviť pravidlá a techniky na výpočet objemov, iná vec je, nakoľko boli presné a opodstatnené.

Rok 1612 bol pre obyvateľov rakúskeho mesta Linz, kde žil známy astronóm Johannes Kepler, veľmi plodný najmä na hrozno. Ľudia pripravovali sudy na víno a chceli vedieť prakticky určiť ich objemy.

Uvažované Keplerove diela tak znamenali začiatok celého prúdu bádania, ktorý vyvrcholil v poslednej štvrtine 17. storočia. dizajn v dielach I. Newtona a G.V. Leibnizov diferenciálny a integrálny počet. Od tých čias zaujímala matematika premenných popredné miesto v systéme matematických poznatkov.

Dnes sa vy a ja zapojíme do takýchto praktických aktivít, preto

Téma našej lekcie: „Výpočet objemov rotačných telies pomocou určitého integrálu“.

Splnením nasledujúcej úlohy sa naučíte definíciu revolučného telesa.

"Labyrint".

Cvičenie. Nájdite východisko z neprehľadnej situácie a zapíšte si definíciu.

IVVýpočet objemov.

Pomocou určitého integrálu môžete vypočítať objem konkrétneho telesa, najmä rotačného telesa.

Rotačné teleso je teleso získané otáčaním zakriveného lichobežníka okolo jeho základne (obr. 1, 2)

Objem rotačného telesa sa vypočíta pomocou jedného zo vzorcov:

1. okolo osi OX.

2. , ak rotácia zakriveného lichobežníka okolo osi operačného zosilňovača.

Žiaci si zapisujú základné vzorce do zošita.

Učiteľ vysvetľuje riešenia príkladov na tabuli.

1. Nájdite objem telesa získaný rotáciou okolo osi ordinátov krivočiareho lichobežníka ohraničeného priamkami: x2 + y2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Riešenie.

Odpoveď: 1163 cm3.

2. Nájdite objem telesa získaný rotáciou parabolického lichobežníka okolo osi x y = , x = 4, y = 0.

Riešenie.

V. Simulátor matematiky.

2. Volá sa množina všetkých primitívnych prvkov danej funkcie

A) neurčitý integrál,

B) funkcia,

B) diferenciácia.

7. Nájdite objem telesa získaný rotáciou okolo osi x krivočiareho lichobežníka ohraničeného priamkami:

D/Z. Spevnenie nového materiálu

Vypočítajte objem telesa vytvoreného rotáciou okvetného lístka okolo osi x y = x2, y2 = x.

Zostavme grafy funkcie. y = x2, y2 = x. Transformujme graf y2 = x do tvaru y = .

Máme V = V1 - V2 Vypočítajme objem každej funkcie:

Záver:

Určitý integrál je určitým základom pre štúdium matematiky, ktorý nenahraditeľne prispieva k riešeniu praktických problémov.

Téma „Integrál“ jasne demonštruje prepojenie matematiky a fyziky, biológie, ekonómie a techniky.

Rozvoj modernej vedy je nemysliteľný bez použitia integrálu. V tomto smere je potrebné začať s jeho štúdiom v rámci stredného odborného vzdelávania!

VI. Klasifikácia.(S komentárom.)

Veľký Omar Khayyam - matematik, básnik, filozof. Povzbudzuje nás, aby sme boli pánmi svojho osudu. Vypočujme si úryvok z jeho diela:

Hovoríš, tento život je jeden okamih.
Vážte si to, čerpajte z toho inšpiráciu.
Ako to miniete, tak to prejde.
Nezabudnite: ona je vaším výtvorom.

I. Objemy rotačných telies. Predbežne si preštudujte kapitolu XII, odseky 197, 198 z učebnice G. M. Fikhtengoltsa * Podrobne analyzujte príklady uvedené v odseku 198.

508. Vypočítajte objem telesa, ktoré vznikne rotáciou elipsy okolo osi Ox.

teda

530. Nájdite plochu povrchu vytvorenú rotáciou okolo osi Ox oblúka sínusoidy y = sin x z bodu X = 0 do bodu X = It.

531. Vypočítajte povrch kužeľa s výškou h a polomerom r.

532. Vypočítajte vytvorený povrch

rotácia astroidu x3 -)- y* - a3 okolo osi Ox.

533. Vypočítajte plochu povrchu, ktorá vznikne otočením slučky krivky 18 ug - x (6 - x) z okolo osi Ox.

534. Nájdite povrch torusu, ktorý vznikne rotáciou kružnice X2 - j - (y-3)2 = 4 okolo osi Ox.

535. Vypočítajte povrch, ktorý vznikne rotáciou kružnice X = a cost, y = asint okolo osi Ox.

536. Vypočítajte povrch, ktorý vznikne rotáciou slučky krivky x = 9t2, y = St - 9t3 okolo osi Ox.

537. Nájdite plochu povrchu vytvorenú rotáciou oblúka krivky x = e*sint, y = el cost okolo osi Ox

od t = 0 do t = —.

538. Ukážte, že plocha vytvorená rotáciou oblúka cykloidy x = a (q> -sin φ), y = a (I - cos φ) okolo osi Oy sa rovná 16 u2 o2.

539. Nájdite plochu získanú rotáciou kardioidy okolo polárnej osi.

540. Nájdite povrchovú plochu vytvorenú rotáciou lemniskátu Okolo polárnej osi.

Dodatočné úlohy pre kapitolu IV

Plochy rovinných postáv

541. Nájdite celú oblasť oblasti ohraničenú krivkou A os Ox.

542. Nájdite oblasť oblasti ohraničenej krivkou

A os Ox.

543. Nájdite časť oblasti regiónu umiestnenú v prvom kvadrante a ohraničenú krivkou

l súradnicové osi.

544. Nájdite oblasť regiónu obsiahnutú vo vnútri

slučky:

545. Nájdite oblasť oblasti ohraničenú jednou slučkou krivky:

546. Nájdite oblasť oblasti obsiahnutej vo vnútri slučky:

547. Nájdite oblasť oblasti ohraničenej krivkou

A os Ox.

548. Nájdite oblasť oblasti ohraničenej krivkou

A os Ox.

549. Nájdite oblasť regiónu ohraničenú osou Oxr

rovné a zakrivené