Čo sú vlastné vektory a vlastné hodnoty. Vlastné hodnoty (čísla) a vlastné vektory Príklady riešení

Ako vložiť matematické vzorce na webovú stránku?

Ak niekedy potrebujete pridať jeden alebo dva matematické vzorce na webovú stránku, najjednoduchší spôsob, ako to urobiť, je popísaný v článku: matematické vzorce sa jednoducho vložia na stránku vo forme obrázkov, ktoré automaticky generuje Wolfram Alpha. . Táto univerzálna metóda okrem jednoduchosti pomôže zlepšiť viditeľnosť stránky vo vyhľadávačoch. Funguje to už dlho (a myslím si, že bude fungovať navždy), ale je už morálne zastarané.

Ak na svojej stránke pravidelne používate matematické vzorce, potom vám odporúčam použiť MathJax – špeciálnu knižnicu JavaScript, ktorá zobrazuje matematický zápis vo webových prehliadačoch pomocou značiek MathML, LaTeX alebo ASCIIMathML.

Existujú dva spôsoby, ako začať používať MathJax: (1) pomocou jednoduchého kódu môžete rýchlo pripojiť skript MathJax k vašej webovej stránke, ktorý sa automaticky načíta zo vzdialeného servera v správnom čase (zoznam serverov); (2) stiahnite si skript MathJax zo vzdialeného servera na váš server a pripojte ho ku všetkým stránkam vášho webu. Druhý spôsob – zložitejší a časovo náročnejší – zrýchli načítavanie stránok vášho webu a ak sa materský server MathJax z nejakého dôvodu stane dočasne nedostupným, váš vlastný web to nijako neovplyvní. Napriek týmto výhodám som zvolil prvý spôsob, keďže je jednoduchší, rýchlejší a nevyžaduje technické zručnosti. Nasledujte môj príklad a už za 5 minút budete môcť na svojej stránke využívať všetky funkcie MathJax.

Skript knižnice MathJax môžete pripojiť zo vzdialeného servera pomocou dvoch možností kódu prevzatých z hlavnej webovej stránky MathJax alebo na stránke dokumentácie:

Jednu z týchto možností kódu je potrebné skopírovať a vložiť do kódu vašej webovej stránky, najlepšie medzi značky alebo bezprostredne za značku. Podľa prvej možnosti sa MathJax načítava rýchlejšie a menej spomaľuje stránku. Ale druhá možnosť automaticky monitoruje a načítava najnovšie verzie MathJax. Ak vložíte prvý kód, bude potrebné ho pravidelne aktualizovať. Ak vložíte druhý kód, stránky sa budú načítavať pomalšie, ale nebudete musieť neustále sledovať aktualizácie MathJax.

Najjednoduchší spôsob pripojenia MathJax je v Blogger alebo WordPress: na ovládacom paneli lokality pridajte miniaplikáciu určenú na vkladanie kódu JavaScript tretej strany, skopírujte do nej prvú alebo druhú verziu vyššie uvedeného kódu na stiahnutie a umiestnite miniaplikáciu bližšie. na začiatok šablóny (mimochodom, nie je to vôbec potrebné, pretože skript MathJax sa načítava asynchrónne). To je všetko. Teraz sa naučte syntax značiek MathML, LaTeX a ASCIIMathML a ste pripravení vložiť matematické vzorce do webových stránok vašej lokality.

Akýkoľvek fraktál je skonštruovaný podľa určitého pravidla, ktoré sa dôsledne uplatňuje neobmedzený počet krát. Každý takýto čas sa nazýva iterácia.

Iteračný algoritmus na zostavenie Mengerovej špongie je celkom jednoduchý: pôvodná kocka so stranou 1 je rozdelená rovinami rovnobežnými s jej plochami na 27 rovnakých kociek. Odstráni sa z nej jedna centrálna kocka a 6 kociek, ktoré k nej priliehajú pozdĺž plôch. Výsledkom je sada pozostávajúca zo zvyšných 20 menších kociek. Ak urobíme to isté s každou z týchto kociek, dostaneme súpravu pozostávajúcu zo 400 menších kociek. Pokračujúc v tomto procese donekonečna, dostaneme Mengerovu špongiu.

SYSTÉM HOMOGÉNNYCH LINEÁRNYCH ROVNIC

Systém homogénnych lineárnych rovníc je systém tvaru

Je jasné, že v tomto prípade , pretože všetky prvky jedného zo stĺpcov v týchto determinantoch sa rovnajú nule.

Keďže neznáme sa nachádzajú podľa vzorcov , potom v prípade, keď Δ ≠ 0, systém má jedinečné nulové riešenie X = r = z= 0. V mnohých problémoch je však zaujímavá otázka, či homogénny systém má iné riešenia ako nulu.

Veta. Na to, aby sústava lineárnych homogénnych rovníc mala nenulové riešenie, je potrebné a postačujúce, aby Δ ≠ 0.

Takže, ak je determinant Δ ≠ 0, potom má systém jedinečné riešenie. Ak Δ ≠ 0, potom systém lineárnych homogénnych rovníc má nekonečný počet riešení.

Príklady.

Vlastné vektory a vlastné hodnoty matice

Nech je daná štvorcová matica , X– nejaký maticový stĺpec, ktorého výška sa zhoduje s poradím matice A. .

V mnohých úlohách musíme zvážiť rovnicu pre X

kde λ je určité číslo. Je jasné, že pre ľubovoľné λ má táto rovnica nulové riešenie.

Číslo λ, pre ktoré má táto rovnica nenulové riešenia, sa nazýva vlastná hodnota matice A, A X lebo také λ sa nazýva vlastný vektor matice A.

Poďme nájsť vlastný vektor matice A. Pretože E∙X = X, potom je možné maticovú rovnicu prepísať ako alebo . V rozšírenej forme môže byť táto rovnica prepísaná ako systém lineárnych rovníc. Naozaj .

A preto

Získali sme teda systém homogénnych lineárnych rovníc na určenie súradníc x 1, x 2, x 3 vektor X. Aby mal systém nenulové riešenia je potrebné a postačujúce, aby determinant systému bol rovný nule, t.j.

Toto je rovnica 3. stupňa pre λ. Volá sa charakteristická rovnica matice A a slúži na určenie vlastných hodnôt λ.

Každá vlastná hodnota λ zodpovedá vlastnému vektoru X, ktorého súradnice sú určené zo systému pri zodpovedajúcej hodnote λ.

Príklady.

VEKTOROVÁ ALGEBRA. KONCEPCIA VEKTORA

Pri štúdiu rôznych odvetví fyziky existujú veličiny, ktoré sú úplne určené uvedením ich číselných hodnôt, napríklad dĺžka, plocha, hmotnosť, teplota atď. Takéto množstvá sa nazývajú skalárne. Okrem nich však existujú aj veličiny, na určenie ktorých je okrem číselnej hodnoty potrebné poznať aj ich smer v priestore, napríklad sila pôsobiaca na teleso, rýchlosť a zrýchlenie telesa. telesa, keď sa pohybuje v priestore, sila magnetického poľa v danom bode v priestore a pod. Takéto veličiny sa nazývajú vektorové veličiny.

Uveďme prísnu definíciu.

Riadený segment Nazvime segment, vzhľadom na ktorého konce je známe, ktorý z nich je prvý a ktorý je druhý.

Vektor nazývaný usmernený segment majúci určitú dĺžku, t.j. Ide o úsek určitej dĺžky, v ktorom sa jeden z bodov, ktorý ho obmedzuje, považuje za začiatok a druhý za koniec. Ak A- začiatok vektora, B je jeho koniec, potom sa vektor označuje symbolom, okrem toho sa vektor často označuje jedným písmenom. Na obrázku je vektor označený segmentom a jeho smer šípkou.

modul alebo dĺžka Vektor sa nazýva dĺžka smerovaného segmentu, ktorý ho definuje. Označené || alebo ||.

Ako vektory zahrnieme aj takzvaný nulový vektor, ktorého začiatok a koniec sa zhodujú. Je určený. Nulový vektor nemá špecifický smer a jeho modul je nula ||=0.

Vektory sú tzv kolineárne, ak sú umiestnené na rovnakej čiare alebo na rovnobežných čiarach. Navyše, ak sú vektory a v rovnakom smere, napíšeme , naopak.

Nazývajú sa vektory umiestnené na priamkach rovnobežných s tou istou rovinou koplanárny.

Tieto dva vektory sa nazývajú rovný, ak sú kolineárne, majú rovnaký smer a sú rovnako dlhé. V tomto prípade píšu.

Z definície rovnosti vektorov vyplýva, že vektor sa môže prepravovať rovnobežne so sebou samým, pričom jeho počiatok je v akomkoľvek bode priestoru.

Napríklad .

LINEÁRNE OPERÁCIE NA VEKTOROCH

Násobenie vektora číslom.

Súčin vektora a čísla λ je nový vektor taký, že:

Súčin vektora a čísla λ označujeme .

Napríklad existuje vektor nasmerovaný rovnakým smerom ako vektor a má polovičnú dĺžku ako vektor.

Zavedená operácia má nasledujúce vlastnosti:

Vektorové pridanie.

Dovoliť a byť dva ľubovoľné vektory. Zoberme si ľubovoľný bod O a skonštruovať vektor. Potom od bodu A vektor nechajme bokom. Volá sa vektor spájajúci začiatok prvého vektora s koncom druhého čiastka týchto vektorov a je označený .

Formulovaná definícia sčítania vektorov sa nazýva paralelogramové pravidlo, keďže rovnaký súčet vektorov možno získať nasledovne. Odložme od veci O vektory a . Zostrojme na týchto vektoroch rovnobežník OABC. Keďže vektory, potom vektor, čo je uhlopriečka rovnobežníka nakreslená z vrcholu O, bude samozrejme súčtom vektorov.

Je ľahké skontrolovať nasledujúce vlastnosti sčítania vektorov.

Vektorový rozdiel.

Volá sa vektor kolineárny k danému vektoru, rovnakej dĺžky a opačne orientovaný opak vektor pre vektor a označuje sa ako . Opačný vektor možno považovať za výsledok vynásobenia vektora číslom λ = –1: .

Vlastný vektor štvorcovej matice je taký, ktorý po vynásobení danou maticou vedie ku kolineárnemu vektoru. Jednoducho povedané, keď je matica vynásobená vlastným vektorom, tento zostáva rovnaký, ale vynásobený určitým číslom.

Definícia

Vlastný vektor je nenulový vektor V, ktorý sa po vynásobení štvorcovou maticou M sám zvýši o nejaké číslo λ. V algebraickom zápise to vyzerá takto:

M × V = λ × V,

kde λ je vlastná hodnota matice M.

Pozrime sa na číselný príklad. Pre uľahčenie zaznamenávania budú čísla v matici oddelené bodkočiarkou. Dajme si maticu:

• M = 0; 4;
• 6; 10.

Vynásobme to stĺpcovým vektorom:

• V = -2;

Keď vynásobíme maticu stĺpcovým vektorom, dostaneme aj stĺpcový vektor. V striktnom matematickom jazyku bude vzorec na násobenie matice 2 × 2 stĺpcovým vektorom vyzerať takto:

• M × V = M11 × V11 + M12 × V21;
• M21 × V11 + M22 × V21.

M11 znamená prvok matice M umiestnený v prvom riadku a prvom stĺpci a M22 znamená prvok umiestnený v druhom riadku a druhom stĺpci. Pre našu maticu sa tieto prvky rovnajú M11 = 0, M12 = 4, M21 = 6, M22 10. Pre stĺpcový vektor sa tieto hodnoty rovnajú V11 = –2, V21 = 1. Podľa tohto vzorca dostaneme nasledujúci výsledok súčinu štvorcovej matice vektorom:

• M x V = 0 x (-2) + (4) x (1) = 4;
• 6 x (-2) + 10 x (1) = -2.

Pre pohodlie napíšme stĺpcový vektor do riadku. Štvorcovú maticu sme teda vynásobili vektorom (-2; 1), čím sme získali vektor (4; -2). Je zrejmé, že ide o rovnaký vektor vynásobený λ = -2. Lambda v tomto prípade označuje vlastnú hodnotu matice.

Vlastný vektor matice je kolineárny vektor, to znamená objekt, ktorý po vynásobení maticou nemení svoju polohu v priestore. Pojem kolinearity vo vektorovej algebre je podobný pojmu rovnobežnosť v geometrii. V geometrickej interpretácii sú kolineárne vektory paralelne smerované segmenty rôznych dĺžok. Od čias Euklida vieme, že jedna priamka má nekonečný počet rovnobežných priamok, takže je logické predpokladať, že každá matica má nekonečný počet vlastných vektorov.

Z predchádzajúceho príkladu je jasné, že vlastné vektory môžu byť (-8; 4) a (16; -8) a (32, -16). Všetko sú to kolineárne vektory zodpovedajúce vlastnej hodnote λ = -2. Pri vynásobení pôvodnej matice týmito vektormi aj tak skončíme s vektorom, ktorý sa od originálu líši 2-krát. Preto je pri riešení úloh hľadania vlastného vektora potrebné nájsť len lineárne nezávislé vektorové objekty. Najčastejšie pre maticu n × n existuje n počet vlastných vektorov. Naša kalkulačka je určená na analýzu štvorcových matíc druhého rádu, takže takmer vždy výsledok nájde dva vlastné vektory, s výnimkou prípadov, keď sa zhodujú.

Vo vyššie uvedenom príklade sme vopred poznali vlastný vektor pôvodnej matice a jasne sme určili číslo lambda. V praxi sa však všetko deje naopak: najskôr sa nájdu vlastné hodnoty a až potom vlastné vektory.

Algoritmus riešenia

Pozrime sa ešte raz na pôvodnú maticu M a skúsme nájsť oba jej vlastné vektory. Matica teda vyzerá takto:

• M = 0; 4;
• 6; 10.

Najprv musíme určiť vlastnú hodnotu λ, čo si vyžaduje výpočet determinantu nasledujúcej matice:

• (0 - λ); 4;
• 6; (10 - λ).

Táto matica sa získa odčítaním neznámeho λ od prvkov na hlavnej diagonále. Determinant sa určuje pomocou štandardného vzorca:

• detA = M11 × M21 − M12 × M22
• detA = (0 − λ) × (10 − λ) − 24

Keďže náš vektor musí byť nenulový, akceptujeme výslednú rovnicu ako lineárne závislú a prirovnáme náš determinant detA k nule.

(0 − λ) × (10 − λ) − 24 = 0

Otvorme zátvorky a získame charakteristickú rovnicu matice:

λ 2 − 10λ − 24 = 0

Toto je štandardná kvadratická rovnica, ktorú je potrebné vyriešiť pomocou diskriminantu.

D = b 2 − 4ac = (-10) × 2 − 4 × (-1) × 24 = 100 + 96 = 196

Koreň diskriminantu je sqrt(D) = 14, teda λ1 = -2, λ2 = 12. Teraz pre každú hodnotu lambda musíme nájsť vlastný vektor. Vyjadrime systémové koeficienty pre λ = -2.

• M - λ × E = 2; 4;
• 6; 12.

V tomto vzorci je E matica identity. Na základe výslednej matice vytvoríme sústavu lineárnych rovníc:

2x + 4 roky = 6x + 12 rokov,

kde x a y sú prvky vlastného vektora.

Zozbierajme všetky X na ľavej strane a všetky Y na pravej strane. Samozrejme - 4x = 8r. Rozdeľte výraz číslom -4 a získajte x = -2y. Teraz môžeme určiť prvý vlastný vektor matice s ľubovoľnými hodnotami neznámych (pamätajte na nekonečno lineárne závislých vlastných vektorov). Zoberme si y = 1, potom x = –2. Preto prvý vlastný vektor vyzerá ako V1 = (–2; 1). Vráťte sa na začiatok článku. Bol to tento vektorový objekt, ktorým sme vynásobili maticu, aby sme demonštrovali koncept vlastného vektora.

Teraz nájdime vlastný vektor pre λ = 12.

• M - X x E = -12; 4
• 6; -2.

Vytvorme rovnaký systém lineárnych rovníc;

• -12x + 4r = 6x − 2r
• -18x = -6r
• 3x = y.

Teraz vezmeme x = 1, teda y = 3. Druhý vlastný vektor teda vyzerá ako V2 = (1; 3). Pri vynásobení pôvodnej matice daným vektorom bude výsledkom vždy rovnaký vektor vynásobený 12. Tu sa algoritmus riešenia končí. Teraz viete, ako ručne určiť vlastný vektor matice.

• determinant;
• stopa, teda súčet prvkov na hlavnej diagonále;
• poradie, teda maximálny počet lineárne nezávislých riadkov/stĺpcov.

Program pracuje podľa vyššie uvedeného algoritmu, čo najviac skracuje proces riešenia. Je dôležité zdôrazniť, že v programe je lambda označená písmenom „c“. Pozrime sa na číselný príklad.

Príklad fungovania programu

Pokúsme sa určiť vlastné vektory pre nasledujúcu maticu:

• M = 5; 13;
• 4; 14.

Zadajte tieto hodnoty do buniek kalkulačky a získajte odpoveď v nasledujúcom tvare:

• Poradie matice: 2;
• Maticový determinant: 18;
• Maticová stopa: 19;
• Výpočet vlastného vektora: c 2 − 19,00c + 18,00 (charakteristická rovnica);
• Výpočet vlastného vektora: 18 (prvá hodnota lambda);
• Výpočet vlastného vektora: 1 (druhá hodnota lambda);
• Systém rovníc pre vektor 1: -13x1 + 13y1 = 4x1 − 4y1;
• Systém rovníc pre vektor 2: 4x1 + 13y1 = 4x1 + 13y1;
• Vlastný vektor 1: (1; 1);
• Vlastný vektor 2: (-3,25; 1).

Takto sme získali dva lineárne nezávislé vlastné vektory.

Záver

Lineárna algebra a analytická geometria sú štandardnými predmetmi pre každého študenta prvého stupňa inžinierstva. Veľké množstvo vektorov a matíc je desivé a pri takýchto ťažkopádnych výpočtoch je ľahké urobiť chyby. Náš program umožní študentom skontrolovať svoje výpočty alebo automaticky vyriešiť problém s nájdením vlastného vektora. V našom katalógu sú aj ďalšie kalkulačky lineárnej algebry, použite ich pri štúdiu alebo práci.

Definícia 9.3. Vektor X sa nazýva vlastný vektor matice A, ak také číslo existuje λ, že platí rovnosť: Ах = λх, teda výsledok prihlášky do X lineárna transformácia špecifikovaná maticou A, je vynásobenie tohto vektora číslom λ . Samotné číslo λ sa nazýva vlastná hodnota matice A.

Nahrádzanie do vzorcov (9.3) x`j = λxj, získame sústavu rovníc na určenie súradníc vlastného vektora:

. (9.5)

Tento lineárny homogénny systém bude mať netriviálne riešenie iba vtedy, ak jeho hlavný determinant je 0 (Cramerovo pravidlo). Zapísaním tejto podmienky vo forme:

získame rovnicu na určenie vlastných hodnôt λ , nazývaná charakteristická rovnica. Stručne to možno znázorniť takto:

| A - λE | = 0, (9.6)

keďže jeho ľavá strana obsahuje determinant matice A-λE. Polynomický relatívny λ | A - λE| sa nazýva charakteristický polynóm matice A.

Vlastnosti charakteristického polynómu:

1) Charakteristický polynóm lineárnej transformácie nezávisí od výberu bázy. Dôkaz. (pozri (9.4)), ale teda,. Nezáleží teda na výbere základu. To znamená, že | A-λE| sa pri prechode na nový základ nemení.

2) Ak je matica A lineárna transformácia je symetrická (t.j. a ij =a ji), potom všetky korene charakteristickej rovnice (9.6) sú reálne čísla.

Vlastnosti vlastných čísel a vlastných vektorov:

1) Ak si vyberiete základ z vlastných vektorov x 1, x 2, x 3, zodpovedajúce vlastným hodnotám λ 1, λ 2, λ 3 matice A, potom v tomto základe má lineárna transformácia A maticu diagonálneho tvaru:

(9.7) Dôkaz tejto vlastnosti vyplýva z definície vlastných vektorov.

2) Ak sú vlastné hodnoty transformácie A sú rôzne, potom ich zodpovedajúce vlastné vektory sú lineárne nezávislé.

3) Ak je charakteristický polynóm matice A má tri rôzne korene, potom v nejakom základe matice A má diagonálny vzhľad.

Poďme nájsť vlastné hodnoty a vlastné vektory matice Vytvorme charakteristickú rovnicu: (1- λ )(5 - λ )(1 - λ ) + 6 - 9(5 - λ ) - (1 - λ ) - (1 - λ ) = 0, λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2, λ 2 = 3, λ 3 = 6.

Nájdite súradnice vlastných vektorov zodpovedajúcich každej nájdenej hodnote λ. Z (9.5) vyplýva, že ak X (1) ={x 1, x 2, x 3) – vlastný vektor zodpovedajúci λ 1 = -2, teda

- kooperatívny, ale neistý systém. Jeho riešenie môže byť napísané vo forme X (1) ={a,0,-a), kde a je ľubovoľné číslo. Najmä ak požadujeme, aby | X (1) |=1, X (1) =

Nahrádzanie do systému (9.5) λ 2 = 3, získame systém na určenie súradníc druhého vlastného vektora - X (2) ={y 1, y 2, y 3}:

, kde X (2) ={b, -b, b) alebo, ak | X (2) |=1, X (2) =

Pre λ 3 = 6 nájdite vlastný vektor X (3) ={z 1, z 2, z 3}:

, X (3) ={c,2c,c) alebo v normalizovanej verzii

x(3) = Dá sa to všimnúť X (1) X (2) = ab–ab= 0, X (1) X (3) = ac-ac= 0, X (2) X (3) = bc- 2bc + bc= 0. Vlastné vektory tejto matice sú teda párovo ortogonálne.

Prednáška 10.

Kvadratické formy a ich spojenie so symetrickými maticami. Vlastnosti vlastných vektorov a vlastných hodnôt symetrickej matice. Redukcia kvadratickej formy na kanonickú formu.

Definícia 10.1. Kvadratická forma reálnych premenných x 1, x 2,…, x n sa v týchto premenných nazýva polynóm druhého stupňa, ktorý neobsahuje voľný člen a členy prvého stupňa.

Príklady kvadratických foriem:

(n = 2),

(n = 3). (10.1)

Pripomeňme si definíciu symetrickej matice uvedenú v poslednej prednáške:

Definícia 10.2.Štvorcová matica sa nazýva symetrická, to znamená, ak sú prvky matice, ktoré sú symetrické okolo hlavnej uhlopriečky, rovnaké.

Vlastnosti vlastných hodnôt a vlastných vektorov symetrickej matice:

1) Všetky vlastné hodnoty symetrickej matice sú skutočné.

Dôkaz (pre n = 2).

Nechajte maticu A má tvar: . Vytvorme charakteristickú rovnicu:

(10.2) Nájdime diskriminant:

Preto má rovnica len skutočné korene.

2) Vlastné vektory symetrickej matice sú ortogonálne.

Dôkaz (pre n= 2).

Súradnice vlastných vektorov a musia spĺňať rovnice.