Uveďte vlastnosti sčítania pri ich čítaní. Vlastnosti sčítania, násobenia, odčítania a delenia celých čísel

Na károvaný papier si nakreslíme obdĺžnik so stranami 5 cm a 3 cm, ktorý rozdelíme na štvorce so stranami 1 cm (obr. 143). Spočítajme počet buniek umiestnených v obdĺžniku. Dá sa to urobiť napríklad takto.

Počet štvorcov so stranou 1 cm je 5 * 3. Každý takýto štvorec pozostáva zo štyroch buniek. Preto je celkový počet buniek (5 * 3) * 4.

Ten istý problém sa dá riešiť inak. Každý z piatich stĺpcov obdĺžnika pozostáva z troch štvorcov so stranou 1 cm. Jeden stĺpec teda obsahuje 3 * 4 bunky. Celkovo teda bude 5 * (3 * 4) buniek.

Počítanie buniek na obrázku 143 ilustruje dvoma spôsobmi asociatívna vlastnosť násobenia pre čísla 5, 3 a 4 . Máme: (5 * 3 ) * 4 = 5 * (3 * 4 ).

Ak chcete vynásobiť súčin dvoch čísel tretím číslom, môžete prvé číslo vynásobiť súčinom druhého a tretieho čísla.

(ab)c = a(bc)

Z komutatívnych a kombinačných vlastností násobenia vyplýva, že pri násobení viacerých čísel je možné faktory zameniť a umiestniť do zátvoriek, čím sa určí poradie výpočtov.

Napríklad rovnosť je pravdivá:

abc = cba,

17 * 2 * 3 * 5 = (17 * 3 ) * (2 * 5 ).

Na obrázku 144 segment AB rozdeľuje obdĺžnik diskutovaný vyššie na obdĺžnik a štvorec.

Spočítajme počet štvorcov so stranou 1 cm dvoma spôsobmi.

Na jednej strane výsledný štvorec obsahuje 3 * 3 z nich a obdĺžnik obsahuje 3 * 2. Celkovo dostaneme 3 * 3 + 3 * 2 štvorce. Na druhej strane v každom z troch riadkov tohto obdĺžnika sú 3 + 2 štvorce. Potom je ich celkový počet 3 * (3 + 2).

Ilustruje sa rovné 3 * (3 + 2) = 3 * 3 + 3 * 2 distributívna vlastnosť násobenia vzhľadom na sčítanie.

Ak chcete vynásobiť číslo súčtom dvoch čísel, môžete toto číslo vynásobiť každým súčtom a pridať výsledné produkty.

V doslovnej forme je táto vlastnosť napísaná takto:

a(b + c) = ab + ac

Z distributívnej vlastnosti násobenia vo vzťahu k sčítaniu vyplýva, že

ab + ac = a(b + c).

Táto rovnosť umožňuje, aby vzorec P = 2 a + 2 b našiel obvod obdĺžnika, ktorý sa má zapísať v tomto tvare:

P = 2 (a + b).

Všimnite si, že distribučná vlastnosť je platná pre tri alebo viac termínov. Napríklad:

a(m + n + p + q) = am + an + ap + aq.

Distributívna vlastnosť násobenia vo vzťahu k odčítaniu je tiež pravdivá: ak b > c alebo b = c, potom

a(b − c) = ab − ac

Príklad 1 . Vypočítajte pohodlným spôsobom:

1 ) 25 * 867 * 4 ;

2 ) 329 * 75 + 329 * 246 .

1) Používame komutatívne a potom asociatívne vlastnosti násobenia:

25 * 867 * 4 = 867 * (25 * 4 ) = 867 * 100 = 86 700 .

2) Máme:

329 * 754 + 329 * 246 = 329 * (754 + 246 ) = 329 * 1 000 = 329 000 .

Príklad 2 . Zjednodušte výraz:

1) 4a*3b;

2) 18 m − 13 m.

1) Pomocou komutatívnych a asociatívnych vlastností násobenia dostaneme:

4 a * 3 b = (4 * 3) * ab = 12 ab.

2) Použitím distribučnej vlastnosti násobenia vo vzťahu k odčítaniu dostaneme:

18 m − 13 m = m(18 − 13 ) = m * 5 = 5 m.

Príklad 3 . Napíšte výraz 5 (2 m + 7) tak, aby neobsahoval zátvorky.

Podľa distribučnej vlastnosti násobenia vzhľadom na sčítanie máme:

5 (2 m + 7) = 5 x 2 m + 5 x 7 = 10 m + 35.

Táto premena sa nazýva otváracie zátvorky.

Príklad 4 . Pohodlným spôsobom vypočítajte hodnotu výrazu 125 * 24 * 283.

Riešenie. Máme:

125 * 24 * 283 = 125 * 8 * 3 * 283 = (125 * 8 ) * (3 * 283 ) = 1 000 * 849 = 849 000 .

Príklad 5 . Vykonajte násobenie: 3 dni 18 hodín * 6.

Riešenie. Máme:

3 dni 18 hodín * 6 = 18 dní 108 hodín = 22 dní 12 hodín.

Pri riešení príkladu bola použitá distributívna vlastnosť násobenia vzhľadom na sčítanie:

3 dni 18 hodín * 6 = (3 dni + 18 hodín) * 6 = 3 dni * 6 + 18 hodín * 6 = 18 dní + 108 hodín = 18 dní + 96 hodín + 12 hodín = 18 dní + 4 dni + 12 hodín = 22 dní 12 hodín.

Je možné zaznamenať množstvo výsledkov, ktoré sú súčasťou tejto akcie. Tieto výsledky sú tzv vlastnosti sčítania prirodzených čísel. V tomto článku podrobne analyzujeme vlastnosti sčítania prirodzených čísel, napíšeme ich pomocou písmen a uvedieme vysvetľujúce príklady.

Navigácia na stránke.

Kombinatívna vlastnosť sčítania prirodzených čísel.

Teraz uveďme príklad ilustrujúci asociatívnu vlastnosť sčítania prirodzených čísel.

Predstavme si situáciu: z prvej jablone spadlo 1 jablko a z druhej jablone 2 jablká a ďalšie 4 jablká. Teraz zvážte túto situáciu: 1 jablko a 2 ďalšie jablká spadli z prvej jablone a 4 jablká spadli z druhej jablone. Je jasné, že v prvom aj druhom prípade bude na zemi rovnaký počet jabĺk (čo je možné skontrolovať prepočítanie). To znamená, že výsledok sčítania čísla 1 so súčtom čísel 2 a 4 sa rovná výsledku sčítania súčtu čísel 1 a 2 s číslom 4.

Uvažovaný príklad nám umožňuje formulovať kombinačnú vlastnosť sčítania prirodzených čísel: aby sme k danému číslu pripočítali daný súčet dvoch čísel, môžeme k tomuto číslu pripočítať prvý člen daného súčtu a pridať druhý člen čísla. daný súčet k výslednému výsledku. Táto vlastnosť môže byť napísaná pomocou písmen, ako je toto: a+(b+c)=(a+b)+c, kde a, b a c sú ľubovoľné prirodzené čísla.

Upozorňujeme, že rovnosť a+(b+c)=(a+b)+c obsahuje zátvorky „(“ a „“). Zátvorky sa používajú vo výrazoch na označenie poradia, v ktorom sa akcie vykonávajú - akcie v zátvorkách sa vykonávajú ako prvé (viac o tom je napísané v časti). Inými slovami, výrazy, ktorých hodnoty sú vyhodnotené ako prvé, sú umiestnené v zátvorkách.

Na záver tohto odseku poznamenávame, že asociatívna vlastnosť sčítania nám umožňuje jednoznačne určiť sčítanie troch, štyroch alebo viacerých prirodzených čísel.

Vlastnosť sčítania nuly a prirodzeného čísla, vlastnosť sčítania nuly a nuly.

Vieme, že nula NIE JE prirodzené číslo. Prečo sme sa teda rozhodli v tomto článku pozrieť na vlastnosť sčítania nuly a prirodzeného čísla? Sú na to tri dôvody. Po prvé: táto vlastnosť sa používa, keď sčítanie prirodzených čísel v stĺpci. Po druhé: táto vlastnosť sa používa, keď odčítanie prirodzených čísel. Po tretie: ak predpokladáme, že nula znamená neprítomnosť niečoho, potom význam pridania nuly a prirodzeného čísla sa zhoduje s význam sčítania dvoch prirodzených čísel.

Urobme nejaké úvahy, ktoré nám pomôžu sformulovať vlastnosť sčítania nuly a prirodzeného čísla. Predstavme si, že v rámčeku nie sú žiadne predmety (inými slovami, v rámčeku je 0 predmetov) a sú v ňom umiestnené predmety, kde a je ľubovoľné prirodzené číslo. To znamená, že sme pridali 0 a objekty. Je jasné, že po tejto akcii sú v krabici predmety. Preto platí rovnosť 0+a=a.

Podobne, ak krabica obsahuje položky a je do nej pridaných 0 položiek (teda nie sú pridané žiadne položky), potom po tejto akcii budú položky v krabici. Takže a+0=a .

Teraz môžeme dať formuláciu vlastnosti sčítania nuly a prirodzeného čísla: súčet dvoch čísel, z ktorých jedno je nula, sa rovná druhému číslu. Matematicky možno túto vlastnosť zapísať ako nasledujúcu rovnosť: 0+a=a alebo a+0=a, kde a je ľubovoľné prirodzené číslo.

Samostatne si všimnime, že pri sčítaní prirodzeného čísla a nuly zostáva pravdivá komutatívna vlastnosť sčítania, teda a+0=0+a.

Nakoniec sformulujme vlastnosť pridania nuly k nule (je to celkom zrejmé a nepotrebuje ďalšie komentáre): súčet dvoch čísel, z ktorých každé sa rovná nule, sa rovná nule. teda 0+0=0 .

Teraz je čas prísť na to, ako na to sčítanie prirodzených čísel.

Bibliografia.

• Matematika. Akékoľvek učebnice pre 1., 2., 3., 4. ročník všeobecnovzdelávacích inštitúcií.
• Matematika. Akékoľvek učebnice pre 5. ročník inštitúcií všeobecného vzdelávania.

Témou, ktorej je venovaná táto lekcia, je „Vlastnosti sčítania“. V nej sa zoznámite s komutatívnymi a asociatívnymi vlastnosťami sčítania a preskúmate ich na konkrétnych príkladoch. Zistite, v akých prípadoch ich môžete použiť na uľahčenie procesu výpočtu. Skúšobné príklady pomôžu zistiť, ako dobre ste zvládli preberaný materiál.

Lekcia: Vlastnosti sčítania

Pozorne si pozrite výraz:

9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3

Musíme nájsť jeho hodnotu. Poďme na to.

9 + 6 = 15
15 + 8 = 23
23 + 7 = 30
30 + 2 = 32
32 + 4 = 36
36 + 1 = 37
37 + 3 = 40

Výsledok výrazu je 9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3 = 40.
Povedz mi, bolo to pohodlné počítať? Nebolo veľmi pohodlné počítať. Pozrite sa znova na čísla v tomto výraze. Je možné ich zameniť, aby boli výpočty pohodlnejšie?

Ak čísla preusporiadame inak:

9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = …
9 + 1 = 10
10 + 8 = 18
18 + 2 = 20
20 + 7 = 27
27 + 3 = 30
30 + 6 = 36
36 + 4 = 40

Konečný výsledok výrazu je 9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = 40.
Vidíme, že výsledky výrazov sú rovnaké.

Podmienky je možné zameniť, ak je to vhodné pre výpočty, a hodnota súčtu sa nezmení.

V matematike existuje zákon: Komutatívny zákon sčítania. Hovorí, že súčet sa nemení od preusporiadania podmienok.

Strýko Fjodor a Šarik sa hádali. Sharik našiel význam výrazu tak, ako bol napísaný, a strýko Fjodor povedal, že pozná iný, pohodlnejší spôsob výpočtu. Vidíte pohodlnejší spôsob výpočtu?

Lopta vyriešila výraz tak, ako sa píše. A strýko Fjodor povedal, že pozná zákon, ktorý umožňuje zamieňať pojmy, a zamenil si čísla 25 a 3.

37 + 25 + 3 = 65 37 + 25 = 62

37 + 3 + 25 = 65 37 + 3 = 40

Vidíme, že výsledok zostáva rovnaký, ale výpočet je oveľa jednoduchší.

Pozrite si nasledujúce výrazy a prečítajte si ich.

6 + (24 + 51) = 81 (k 6 pridajte súčet 24 a 51)
Existuje pohodlný spôsob výpočtu?
Vidíme, že ak sčítame 6 a 24, dostaneme okrúhle číslo. K okrúhlemu číslu je vždy jednoduchšie niečo pridať. Súčet čísel 6 a 24 dáme do zátvoriek.
(6 + 24) + 51 = …
(pripočítajte 51 k súčtu čísel 6 a 24)

Vypočítajme hodnotu výrazu a uvidíme, či sa hodnota výrazu zmenila?

6 + 24 = 30
30 + 51 = 81

Vidíme, že význam výrazu zostáva rovnaký.

Precvičme si ešte jeden príklad.

(27 + 19) + 1 = 47 (pripočítajte 1 k súčtu čísel 27 a 19)
Aké čísla je vhodné zoskupiť, aby vytvorili pohodlnú metódu?
Uhádli ste, že ide o čísla 19 a 1. Súčet čísel 19 a 1 dáme do zátvoriek.
27 + (19 + 1) = …
(k 27 pridajte súčet čísel 19 a 1)
Poďme nájsť význam tohto výrazu. Pamätáme si, že najprv sa vykoná akcia v zátvorkách.
19 + 1 = 20
27 + 20 = 47

Význam nášho výrazu zostáva rovnaký.

Asociačný zákon sčítania: dva susedné výrazy možno nahradiť ich súčtom.

Teraz si precvičme používanie oboch zákonov. Musíme vypočítať hodnotu výrazu:

38 + 14 + 2 + 6 = …

Najprv použijeme komutatívnu vlastnosť sčítania, ktorá nám umožňuje zamieňať pojmy. Vymeňme si pojmy 14 a 2.

38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = …

Teraz používame asociatívnu vlastnosť, ktorá nám umožňuje nahradiť dva susedné členy ich súčtom.

38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = (38 + 2) + (14 + 6) =…

Najprv zistíme hodnotu súčtu 38 a 2.

Teraz je súčet 14 a 6.

3. Festival pedagogických myšlienok „Otvorená hodina“ ().

robiť doma

1. Vypočítajte súčet členov rôznymi spôsobmi:

a) 5 + 3 + 5 b) 7 + 8 + 13 c) 24 + 9 + 16

2. Vypočítajte výsledky výrazov:

a) 19 + 4 + 16 + 1 b) 8 + 15 + 12 + 5 c) 20 + 9 + 30 + 1

3. Vypočítajte si množstvo pohodlným spôsobom:

a) 10 + 12 + 8 + 20 b) 17 + 4 + 3 + 16 c) 9 + 7 + 21 + 13

Definovali sme sčítanie, násobenie, odčítanie a delenie celých čísel. Tieto akcie (operácie) majú množstvo charakteristických výsledkov, ktoré sa nazývajú vlastnosti. V tomto článku sa budeme zaoberať základnými vlastnosťami sčítania a násobenia celých čísel, z ktorých vyplývajú všetky ostatné vlastnosti týchto operácií, ako aj vlastnosti odčítania a delenia celých čísel.

Navigácia na stránke.

Sčítanie celých čísel má niekoľko ďalších veľmi dôležitých vlastností.

Jeden z nich súvisí s existenciou nuly. Táto vlastnosť sčítania celých čísel hovorí, že pridanie nuly k ľubovoľnému celému číslu toto číslo nezmení. Túto vlastnosť sčítania zapíšme pomocou písmen: a+0=a a 0+a=a (táto rovnosť platí vďaka komutatívnej vlastnosti sčítania), a je ľubovoľné celé číslo. Môžete počuť, že celá nula sa navyše nazýva neutrálny prvok. Uveďme pár príkladov. Súčet celého čísla -78 a nuly je -78; ak pripočítame kladné celé číslo 999 k nule, dostaneme ako výsledok číslo 999.

Teraz sformulujeme ďalšiu vlastnosť celočíselného sčítania, ktorá súvisí s existenciou opačného čísla pre ľubovoľné celé číslo. Súčet akéhokoľvek celého čísla s jeho opačným číslom je nula. Tu je doslovný tvar tejto vlastnosti: a+(−a)=0 , kde a a −a sú opačné celé čísla. Napríklad súčet 901+(-901) je nula; podobne súčet opačných celých čísel −97 a 97 je nula.

Základné vlastnosti násobenia celých čísel

Násobenie celých čísel má všetky vlastnosti násobenia prirodzených čísel. Uveďme hlavné z týchto vlastností.

Rovnako ako nula je neutrálne celé číslo vzhľadom na sčítanie, jedna je neutrálne celé číslo vzhľadom na násobenie celých čísel. teda vynásobením akéhokoľvek celého čísla jednou sa nezmení násobené číslo. Takže 1·a=a, kde a je ľubovoľné celé číslo. Posledná rovnosť môže byť prepísaná ako 1=a , čo nám umožňuje vytvoriť komutatívnu vlastnosť násobenia. Uveďme dva príklady. Súčin celého čísla 556 x 1 je 556; súčin jednej a záporného celého čísla −78 sa rovná −78.

Ďalšia vlastnosť násobenia celých čísel súvisí s násobením nulou. Výsledkom vynásobenia ľubovoľného celého čísla a nulou je nula, to znamená a·0=0. Rovnosť 0·a=0 je tiež pravdivá vďaka komutatívnej vlastnosti násobenia celých čísel. V špeciálnom prípade, keď a=0, sa súčin nuly a nuly rovná nule.

Pre násobenie celých čísel platí aj inverzná vlastnosť k predchádzajúcej. To tvrdí súčin dvoch celých čísel sa rovná nule, ak sa aspoň jeden z faktorov rovná nule. V doslovnom tvare možno túto vlastnosť zapísať nasledovne: a·b=0 , ak buď a=0 , alebo b=0 , alebo obe a aj b sa rovnajú nule súčasne.

Distributívna vlastnosť násobenia celých čísel vzhľadom na sčítanie

Spolu sčítanie a násobenie celých čísel nám umožňuje zvážiť distributívnu vlastnosť násobenia vzhľadom na sčítanie, ktoré spája dva naznačené akcie. Spoločné používanie sčítania a násobenia otvára ďalšie možnosti, ktoré by nám chýbali, ak by sme sčítanie zvažovali oddelene od násobenia.

Distributívna vlastnosť násobenia vzhľadom na sčítanie teda hovorí, že súčin celého čísla a a súčtu dvoch celých čísel aab sa rovná súčtu súčinov ab a ac, to znamená, a (b+c)=a b+a c. Rovnaká vlastnosť môže byť napísaná v inej forme: (a+b) c=a c+b c .

Distributívna vlastnosť násobenia celých čísel vzhľadom na sčítanie spolu s asociatívnou vlastnosťou sčítania umožňuje určiť násobenie celého čísla súčtom troch alebo viacerých celých čísel a potom násobenie súčtu celých čísel súčet.

Všimnite si tiež, že všetky ostatné vlastnosti sčítania a násobenia celých čísel možno získať z vlastností, ktoré sme naznačili, to znamená, že sú dôsledkom vyššie uvedených vlastností.

Vlastnosti odčítania celých čísel

Zo získanej rovnosti, ako aj z vlastností sčítania a násobenia celých čísel vyplývajú nasledujúce vlastnosti odčítania celých čísel (a, b a c sú ľubovoľné celé čísla):

• Odčítanie celých čísel vo všeobecnosti NEMÁ komutatívnu vlastnosť: a−b≠b−a.
• Rozdiel rovnakých celých čísel je nula: a−a=0.
• Vlastnosť odčítania súčtu dvoch celých čísel od daného celého čísla: a−(b+c)=(a−b)−c .
• Vlastnosť odčítania celého čísla od súčtu dvoch celých čísel: (a+b)−c=(a−c)+b=a+(b−c) .
• Distributívna vlastnosť násobenia vo vzťahu k odčítaniu: a·(b−c)=a·b−a·c a (a−b)·c=a·c−b·c.
• A všetky ostatné vlastnosti odčítania celých čísel.

Vlastnosti delenia celých čísel

Pri diskusii o význame delenia celých čísel sme zistili, že delenie celých čísel je inverzná akcia násobenia. Dali sme nasledujúcu definíciu: delenie celých čísel je nájdenie neznámeho faktora zo známeho produktu a známeho faktora. To znamená, že celé číslo c nazývame podielom delenia celého čísla a celým číslom b, keď súčin c·b sa rovná a.

Táto definícia, ako aj všetky vlastnosti operácií s celými číslami diskutované vyššie, umožňujú stanoviť platnosť nasledujúcich vlastností delenia celých čísel:

• Žiadne celé číslo nemožno deliť nulou.
• Vlastnosť delenia nuly ľubovoľným celým číslom a iným ako nula: 0:a=0.
• Vlastnosť delenia rovnakých celých čísel: a:a=1, kde a je akékoľvek celé číslo iné ako nula.
• Vlastnosť delenia ľubovoľného celého čísla a jedným: a:1=a.
• Vo všeobecnosti delenie celých čísel NEMÁ komutatívnu vlastnosť: a:b≠b:a .
• Vlastnosti delenia súčtu a rozdielu dvoch celých čísel celým číslom: (a+b):c=a:c+b:c a (a−b):c=a:c−b:c, kde a, b , a c sú celé čísla také, že a aj b sú deliteľné c a c je nenulové.
• Vlastnosť delenia súčinu dvoch celých čísel a a b nenulovým celým číslom c : (a b):c=(a:c) b, ak a je deliteľné c ; (a b):c=a (b:c), ak b je deliteľné c; (a b):c=(a:c) b=a (b:c), ak obe a aj b sú deliteľné c .
• Vlastnosť delenia celého čísla a súčinom dvoch celých čísel b a c (čísla a , b a c také, že je možné deliť a b c): a:(b c)=(a:b) c=(a :c ) b.
• Akákoľvek iná vlastnosť celočíselného delenia.