Čo je to exponenciálna rovnica a ako ju vyriešiť. Metódy riešenia exponenciálnych rovníc

Vo fáze prípravy na záverečný test si stredoškoláci potrebujú zlepšiť svoje znalosti na tému „Exponenciálne rovnice“. Skúsenosti z minulých rokov naznačujú, že takéto úlohy spôsobujú školákom určité ťažkosti. Preto si stredoškoláci bez ohľadu na úroveň prípravy potrebujú dôkladne osvojiť teóriu, zapamätať si vzorce a pochopiť princíp riešenia takýchto rovníc. Keď sa absolventi naučili vyrovnať sa s týmto typom problémov, môžu sa spoľahnúť na vysoké skóre pri absolvovaní jednotnej štátnej skúšky z matematiky.

Pripravte sa na testovanie so Shkolkovo!

Pri preberaní materiálov, ktoré prebrali, sa mnohí študenti stretávajú s problémom nájsť vzorce potrebné na riešenie rovníc. Školská učebnica nie je vždy po ruke a výber potrebných informácií k téme na internete trvá dlho.

Vzdelávací portál Shkolkovo pozýva študentov, aby využívali našu vedomostnú základňu. Implementujeme úplne nový spôsob prípravy na záverečný test. Štúdiom na našej webovej stránke budete môcť identifikovať medzery vo vedomostiach a venovať pozornosť tým úlohám, ktoré spôsobujú najväčšie ťažkosti.

Učitelia Shkolkovo zhromaždili, systematizovali a prezentovali všetok materiál potrebný na úspešné absolvovanie jednotnej štátnej skúšky v najjednoduchšej a najdostupnejšej forme.

Základné definície a vzorce sú uvedené v časti „Teoretické východiská“.

Pre lepšie pochopenie látky odporúčame precvičiť si plnenie zadaní. Pozorne si prečítajte príklady exponenciálnych rovníc s riešeniami uvedenými na tejto stránke, aby ste pochopili algoritmus výpočtu. Potom pokračujte v vykonávaní úloh v časti „Adresáre“. Môžete začať s najjednoduchšími úlohami alebo prejsť priamo k riešeniu zložitých exponenciálnych rovníc s niekoľkými neznámymi alebo . Databáza cvikov na našej stránke je neustále dopĺňaná a aktualizovaná.

Príklady s indikátormi, ktoré vám spôsobili ťažkosti, môžete pridať do „Obľúbené“. Takto ich môžete rýchlo nájsť a prediskutovať riešenie s učiteľom.

Ak chcete úspešne zložiť jednotnú štátnu skúšku, študujte na portáli Shkolkovo každý deň!

Exponenciálne rovnice sú tie, v ktorých je neznáma obsiahnutá v exponente. Najjednoduchšia exponenciálna rovnica má tvar: a x = a b, kde a> 0, a 1, x je neznáma.

Hlavné vlastnosti mocnín, ktorými sa transformujú exponenciálne rovnice: a>0, b>0.

Pri riešení exponenciálnych rovníc sa využívajú aj tieto vlastnosti exponenciálnej funkcie: y = a x, a > 0, a1:

Na vyjadrenie čísla ako mocniny použite základnú logaritmickú identitu: b = , a > 0, a1, b > 0.

Problémy a testy na tému "Exponenciálne rovnice"

• Exponenciálne rovnice

  Lekcie: 4 Zadania: 21 Testy: 1

• Exponenciálne rovnice - Dôležité témy pre opakovanie Jednotnej štátnej skúšky z matematiky

  Úlohy: 14

• Systémy exponenciálnych a logaritmických rovníc - Exponenciálne a logaritmické funkcie 11. stupeň

  Lekcie: 1 Zadania: 15 Testy: 1

• §2.1. Riešenie exponenciálnych rovníc

  Lekcie: 1 Úlohy: 27

• §7 Exponenciálne a logaritmické rovnice a nerovnice - Časť 5. Exponenciálne a logaritmické funkcie, stupeň 10

  Lekcie: 1 Úlohy: 17

Ak chcete úspešne vyriešiť exponenciálne rovnice, musíte poznať základné vlastnosti mocnin, vlastnosti exponenciálnej funkcie a základnú logaritmickú identitu.

Pri riešení exponenciálnych rovníc sa používajú dve hlavné metódy:

1. prechod z rovnice a f(x) = a g(x) na rovnicu f(x) = g(x);
2. zavedenie nových liniek.

Príklady.

1. Rovnice zredukované na najjednoduchšie. Riešia sa redukciou oboch strán rovnice na mocninu s rovnakým základom.

3 x = 9 x – 2.

Riešenie:

3 x = (3 2) x – 2 ;
3 x = 3 2x – 4 ;
x = 2x –4;
x = 4.

odpoveď: 4.

2. Rovnice vyriešené odstránením spoločného činiteľa zo zátvoriek.

Riešenie:

3 x – 3 x – 2 = 24
3 x – 2 (3 2 – 1) = 24
3 x – 2 × 8 = 24
3 x – 2 = 3
x – 2 = 1
x = 3.

odpoveď: 3.

3. Rovnice riešené pomocou zmeny premennej.

Riešenie:

2 2x + 2x – 12 = 0
Označujeme 2 x = y.
y2 + y – 12 = 0
yi = -4; y2 = 3.
a) 2 x = - 4. Rovnica nemá riešenia, pretože 2 x > 0.
b) 2 x = 3; 2 x = 2 log23; x = log 2 3.

odpoveď: denník 2 3.

4. Rovnice obsahujúce mocniny s dvoma rôznymi (na seba neredukovateľnými) bázami.

3 × 2 x + 1 – 2 × 5 x – 2 = 5 x + 2 x – 2.

3× 2 x + 1 – 2 x – 2 = 5 x – 2 × 5 x – 2
2 x – 2 × 23 = 5 x – 2
×23
2 x – 2 = 5 x – 2
(5/2) x– 2 = 1
x – 2 = 0
x = 2.

odpoveď: 2.

5. Rovnice, ktoré sú homogénne vzhľadom na a x a b x.

Všeobecná forma: .

9 x + 4 x = 2,5 x 6 x.

Riešenie:

3 2x – 2,5 × 2 x × 3 x +2 2x = 0 |: 2 2x > 0
(3/2) 2x – 2,5 × (3/2) x + 1 = 0.
Označme (3/2) x = y.
y 2 – 2,5 r + 1 = 0,
yi = 2; y2 = ½.

odpoveď: poleno 3/2 2; - denník 3/2 2.

Riešenie exponenciálnych rovníc. Príklady.

Pozor!
Existujú ďalšie
materiály v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí sú veľmi „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)

Čo sa stalo exponenciálna rovnica? Toto je rovnica, v ktorej sú neznáme (x) a výrazy s nimi ukazovatele niektoré stupne. A len tam! To je dôležité.

Tak tu si príklady exponenciálnych rovníc:

3 x 2 x = 8 x + 3

Poznámka! V základoch stupňov (nižšie) - iba čísla. IN ukazovatele stupne (vyššie) - široká škála výrazov s X. Ak sa náhle X objaví v rovnici niekde inde ako indikátor, napríklad:

toto už bude rovnica zmiešaného typu. Takéto rovnice nemajú jasné pravidlá na ich riešenie. Zatiaľ ich nebudeme zvažovať. Tu sa budeme zaoberať riešenie exponenciálnych rovníc vo svojej najčistejšej forme.

V skutočnosti ani čisté exponenciálne rovnice nie sú vždy vyriešené jasne. Existujú však určité typy exponenciálnych rovníc, ktoré sa dajú a mali by vyriešiť. Toto sú typy, ktoré zvážime.

Riešenie jednoduchých exponenciálnych rovníc.

Najprv poďme vyriešiť niečo úplne základné. Napríklad:

Aj bez akýchkoľvek teórií je jednoduchým výberom jasné, že x = 2. Nič viac, však!? Žiadna iná hodnota X nefunguje. Teraz sa pozrime na riešenie tejto zložitej exponenciálnej rovnice:

čo sme urobili? V skutočnosti sme jednoducho vyhodili rovnaké základy (trojky). Úplne vyhodené. A dobrá správa je, že sme trafili klinec po hlavičke!

V skutočnosti, ak v exponenciálnej rovnici existujú ľavé a pravé rovnakýčísla v ľubovoľných mocninách, tieto čísla možno odstrániť a exponenty vyrovnať. Matematika umožňuje. Zostáva vyriešiť oveľa jednoduchšiu rovnicu. Skvelé, však?)

Pamätajme však pevne: Základy môžete odstrániť iba vtedy, keď sú čísla základne vľavo a vpravo v nádhernej izolácii! Bez akýchkoľvek susedov a koeficientov. Povedzme v rovniciach:

2 x +2 x+1 = 2 3, príp

dvojky sa nedajú odstrániť!

No to najdôležitejšie sme zvládli. Ako prejsť od zlých exponenciálnych výrazov k jednoduchším rovniciam.

"To sú časy!" - ty hovoríš. "Kto by dal také primitívne lekcie o testoch a skúškach?"

musim suhlasit. Nikto nebude. Teraz však viete, kam sa zamerať pri riešení zložitých príkladov. Musí sa uviesť do formulára, kde je vľavo a vpravo rovnaké základné číslo. Potom bude všetko jednoduchšie. V skutočnosti je to klasika matematiky. Zoberieme pôvodný príklad a transformujeme ho na požadovaný nás myseľ. Podľa pravidiel matematiky, samozrejme.

Pozrime sa na príklady, ktoré si vyžadujú ďalšie úsilie na ich redukciu na najjednoduchšie. Zavolajme im jednoduché exponenciálne rovnice.

Riešenie jednoduchých exponenciálnych rovníc. Príklady.

Pri riešení exponenciálnych rovníc sú hlavné pravidlá akcie s titulmi. Bez znalosti týchto akcií nebude nič fungovať.

K činom s titulmi treba pridať osobný postreh a vynaliezavosť. Potrebujeme rovnaké základné čísla? V príklade ich teda hľadáme v explicitnej alebo zašifrovanej forme.

Pozrime sa, ako sa to robí v praxi?

Uveďme si príklad:

2 2x - 8x+1 = 0

Prvý ostrý pohľad je na dôvodov. Oni... Sú iní! Dva a osem. Ale je príliš skoro na to, aby sme sa nechali odradiť. Je načase si to pripomenúť

Dva a osem sú príbuzní v stupni.) Je celkom možné napísať:

8 x + 1 = (2 3) x + 1

Ak si spomenieme na vzorec z operácií so stupňami:

(a n) m = a nm,

toto ide super:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3 (x+1)

Pôvodný príklad začal vyzerať takto:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Prenášame 2 3 (x+1) doprava (nikto nezrušil základné operácie matematiky!), dostaneme:

2 2x = 2 3(x+1)

To je prakticky všetko. Odstránenie základov:

Vyriešime toto monštrum a dostaneme

Toto je správna odpoveď.

V tomto príklade nám pomohlo poznať sily dvoch. my identifikované v osmičke je zašifrovaná dvojka. Táto technika (kódovanie spoločných základov pod rôznymi číslami) je veľmi populárna technika v exponenciálnych rovniciach! Áno, a tiež v logaritmoch. Musíte byť schopní rozpoznať mocniny iných čísel v číslach. To je mimoriadne dôležité pre riešenie exponenciálnych rovníc.

Faktom je, že zvýšiť akékoľvek číslo na akúkoľvek moc nie je problém. Vynásobte, dokonca aj na papieri, a je to. Napríklad, ktokoľvek môže zvýšiť 3 na piatu mocninu. 243 vyjde, ak poznáte tabuľku násobenia.) Ale v exponenciálnych rovniciach oveľa častejšie nie je potrebné zvyšovať na mocninu, ale naopak... Zistite aké číslo do akej miery sa skrýva za číslom 243, alebo povedzme 343... Tu vám nepomôže žiadna kalkulačka.

Treba vedieť mocniny niektorých čísel zrakom, nie... Poďme si zacvičiť?

Určte, aké mocniny a aké čísla sú čísla:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Odpovede (samozrejme v neporiadku!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Ak sa pozriete pozorne, môžete vidieť zvláštnu skutočnosť. Odpovedí je podstatne viac ako úloh! No, stáva sa... Napríklad 2 6, 4 3, 8 2 - to je všetko 64.

Predpokladajme, že ste si všimli informácie o znalosti čísel.) Pripomínam tiež, že na riešenie exponenciálnych rovníc používame všetky zásoba matematických vedomostí. Vrátane tých z juniorskej a strednej triedy. Nešiel si rovno na strednú školu, však?)

Napríklad pri riešení exponenciálnych rovníc často pomáha vyňatie spoločného činiteľa zo zátvoriek (ahoj 7. ročník!). Pozrime sa na príklad:

3 2x+4 -119x = 210

A opäť, prvý pohľad smeruje k základom! Základy stupňov sú rôzne... Tri a deväť. Ale chceme, aby boli rovnaké. No, v tomto prípade je túžba úplne splnená!) Pretože:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Pri zaobchádzaní s titulmi použite rovnaké pravidlá:

3 2x+4 = 3 2x ·3 4

To je skvelé, môžete si to zapísať:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Z rovnakých dôvodov sme uviedli príklad. Takže, čo bude ďalej!? Nemôžeš vyhodiť trojky... Slepá ulička?

Vôbec nie. Pamätajte na najuniverzálnejšie a najmocnejšie rozhodovacie pravidlo každý matematické úlohy:

Ak neviete, čo potrebujete, urobte, čo môžete!

Pozri, všetko bude fungovať).

Čo je v tejto exponenciálnej rovnici Môcť robiť? Áno, na ľavej strane si to žiada vytiahnuť zo zátvoriek! Celkový multiplikátor 3 2x tomu jasne napovedá. Skúsme a potom uvidíme:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Príklad je stále lepší a lepší!

Pamätáme si, že na odstránenie dôvodov potrebujeme čistý stupeň, bez akýchkoľvek koeficientov. Trápi nás číslo 70. Takže obe strany rovnice vydelíme 70, dostaneme:

Ojoj! Všetko sa zlepšilo!

Toto je konečná odpoveď.

Stáva sa však, že sa dosiahne rolovanie na rovnakom základe, ale ich eliminácia nie je možná. To sa deje v iných typoch exponenciálnych rovníc. Osvojme si tento typ.

Nahradenie premennej pri riešení exponenciálnych rovníc. Príklady.

Poďme vyriešiť rovnicu:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Najprv - ako obvykle. Prejdime k jednej základni. Na dvojku.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Dostaneme rovnicu:

2 2x - 3 2x +2 = 0

A tu sa stretávame. Predchádzajúce techniky nebudú fungovať, bez ohľadu na to, ako sa na to pozeráte. Budeme musieť z nášho arzenálu vytiahnuť ďalšiu účinnú a univerzálnu metódu. Volá sa variabilná náhrada.

Podstata metódy je prekvapivo jednoduchá. Namiesto jednej zložitej ikony (v našom prípade - 2 x) napíšeme inú, jednoduchšiu (napríklad - t). Takáto zdanlivo nezmyselná výmena vedie k úžasným výsledkom!) Všetko sa stáva jasným a zrozumiteľným!

Tak nech

Potom 2 2x = 2 x 2 = (2 x) 2 = t 2

V našej rovnici nahradíme všetky mocniny x za t:

No, svitá vám?) Už ste zabudli na kvadratické rovnice? Riešením cez diskriminant dostaneme:

Tu ide hlavne o to neprestať, ako sa to stáva... Toto ešte nie je odpoveď, potrebujeme x, nie t. Vráťme sa k X, t.j. vykonáme spätnú výmenu. Najprv pre t 1:

teda

Našiel sa jeden koreň. Hľadáme druhého z t 2:

Hm... 2 x vľavo, 1 vpravo... Problém? Vôbec nie! Stačí si zapamätať (z operácií s mocnosťami áno...), že jednotka je akýkoľvekčíslo na nulovú mocninu. Akýkoľvek. Čokoľvek je potrebné, nainštalujeme. Potrebujeme dvojku. znamená:

To je teraz všetko. Máme 2 korene:

Toto je odpoveď.

o riešenie exponenciálnych rovníc na konci niekedy skončíte s nejakým trápnym výrazom. Typ:

Sedem sa nedá premeniť na dve pomocou jednoduchej sily. Nie sú príbuzní... Ako môžeme byť? Niekto môže byť zmätený... Ale ten, kto si na tejto stránke prečítal tému „Čo je to logaritmus?“ , len sa striedmo usmeje a pevnou rukou zapíše absolútne správnu odpoveď:

Takáto odpoveď nemôže byť v úlohách „B“ na jednotnej štátnej skúške. Vyžaduje sa tam konkrétne číslo. Ale v úlohách „C“ je to jednoduché.

Táto lekcia poskytuje príklady riešenia najbežnejších exponenciálnych rovníc. Zdôraznime hlavné body.

Praktické rady:

1. V prvom rade sa pozrieme na dôvodov stupňa. Zaujímalo by nás, či je možné ich vyrobiť identické. Skúsme to urobiť aktívnym používaním akcie s titulmi. Nezabudnite, že aj čísla bez x sa dajú previesť na mocniny!

2. Snažíme sa uviesť exponenciálnu rovnicu do tvaru, keď je vľavo a vpravo rovnakýčísla v akejkoľvek mocnine. Používame akcie s titulmi A faktorizácia.Čo sa dá spočítať na čísla, to spočítame.

3. Ak druhý tip nefunguje, skúste použiť variabilnú náhradu. Výsledkom môže byť rovnica, ktorá sa dá ľahko vyriešiť. Najčastejšie - štvorcový. Alebo zlomkové, ktoré sa tiež zmenší na štvorec.

4. Na úspešné vyriešenie exponenciálnych rovníc potrebujete poznať mocniny niektorých čísel zrakom.

Ako obvykle, na konci lekcie ste vyzvaní, aby ste sa trochu rozhodli.) Sami. Od jednoduchých po zložité.

Riešte exponenciálne rovnice:

Ťažšie:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5 x + 1 - 8 = 0

Nájdite produkt koreňov:

2 3 + 2 x = 9

Stalo?

No, potom veľmi zložitý príklad (aj keď sa dá vyriešiť v mysli...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Čo je zaujímavejšie? Potom je tu pre vás zlý príklad. Celkom lákavé pre zvýšenú náročnosť. Dovoľte mi naznačiť, že v tomto príklade vás zachráni vynaliezavosť a najuniverzálnejšie pravidlo na riešenie všetkých matematických problémov.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Jednoduchší príklad pre relaxáciu):

9 2 x - 4 3 x = 0

A na dezert. Nájdite súčet koreňov rovnice:

x 3 x - 9 x + 7 3 x - 63 = 0

Áno áno! Toto je rovnica zmiešaného typu! Čo sme v tejto lekcii nezohľadnili. Načo ich zvažovať, treba ich vyriešiť!) Táto lekcia úplne stačí na vyriešenie rovnice. No, potrebujete vynaliezavosť... A nech vám pomôže siedma trieda (toto je nápoveda!).

Odpovede (v neporiadku, oddelené bodkočiarkou):

1; 2; 3; 4; neexistujú žiadne riešenia; 2; -2; -5; 4; 0.

Je všetko úspešné? Skvelé.

Je tu problém? Žiaden problém! Špeciálna sekcia 555 rieši všetky tieto exponenciálne rovnice s podrobnými vysvetleniami. Čo, prečo a prečo. A samozrejme sú tu ďalšie cenné informácie o práci so všetkými druhmi exponenciálnych rovníc. Nielen tieto.)

Posledná zábavná otázka na zváženie. V tejto lekcii sme pracovali s exponenciálnymi rovnicami. Prečo som tu nepovedal ani slovo o ODZ? V rovniciach je to mimochodom veľmi dôležitá vec...

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učme sa - so záujmom!)

Môžete sa zoznámiť s funkciami a derivátmi.