Absolútne a relatívne chyby merania. Absolútna chyba merania

Chyba merania- posúdenie odchýlky nameranej hodnoty veličiny od jej skutočnej hodnoty. Chyba merania je charakteristika (miera) presnosti merania.

Keďže nie je možné s absolútnou presnosťou určiť skutočnú hodnotu akejkoľvek veličiny, nie je možné určiť veľkosť odchýlky nameranej hodnoty od skutočnej. (Táto odchýlka sa zvyčajne nazýva chyba merania. V mnohých zdrojoch, napríklad vo Veľkej sovietskej encyklopédii, sa výrazy chyba merania A chyba merania sa používajú ako synonymá, ale podľa RMG 29-99 termín chyba merania Neodporúča sa používať ako menej úspešné). Veľkosť tejto odchýlky je možné len odhadnúť napríklad pomocou štatistických metód. V praxi namiesto skutočnej hodnoty používajú skutočná hodnota množstva x d, teda hodnota fyzikálnej veličiny získaná experimentálne a natoľko blízka skutočnej hodnote, že ju možno v danej meracej úlohe použiť namiesto nej. Táto hodnota sa zvyčajne vypočíta ako priemerná hodnota získaná zo štatistického spracovania výsledkov série meraní. Táto získaná hodnota nie je presná, ale len najpravdepodobnejšia. Preto je potrebné v meraniach uviesť, aká je ich presnosť. Na tento účel sa zobrazí chyba merania spolu s dosiahnutým výsledkom. Napríklad záznam T = 2,8 ± 0,1 c. znamená, že skutočná hodnota množstva T leží v rozmedzí od 2,7 s. predtým 2,9 s. s určitou špecifikovanou pravdepodobnosťou

V roku 2004 bol na medzinárodnej úrovni prijatý nový dokument, ktorý diktuje podmienky vykonávania meraní a stanovuje nové pravidlá pre porovnávanie štátnych noriem. Pojem „chyba“ sa stal zastaraným, namiesto toho sa zaviedol pojem „neistota merania“, avšak GOST R 50.2.038-2004 povoľuje používanie termínu chyba pre dokumenty používané v Rusku.

Rozlišujú sa tieto typy chýb:

· absolútna chyba;

· relatívna chyba;

· znížená chybovosť;

· základná chyba;

· dodatočná chyba;

· systematická chyba;

· náhodná chyba;

· prístrojová chyba;

· metodická chyba;

· osobná chyba;

· statická chyba;

· dynamická chyba.

Chyby merania sa klasifikujú podľa nasledujúcich kritérií.

· Podľa spôsobu matematického vyjadrenia sa chyby delia na absolútne chyby a relatívne chyby.

· Podľa interakcie zmien v čase a vstupnej hodnoty sa chyby delia na statické chyby a dynamické chyby.

· Na základe charakteru ich výskytu sa chyby delia na systematické chyby a náhodné chyby.

· Podľa charakteru závislosti chyby od ovplyvňujúcich veličín sa chyby delia na základné a dodatočné.

· Na základe charakteru závislosti chyby od vstupnej hodnoty sa chyby delia na aditívne a multiplikatívne.

Absolútna chyba– ide o hodnotu vypočítanú ako rozdiel medzi hodnotou veličiny získanou počas procesu merania a skutočnou (skutočnou) hodnotou tejto veličiny. Absolútna chyba sa vypočíta podľa nasledujúceho vzorca:

AQn=Qn/Qo, kde AQn je absolútna chyba; Q n– hodnotu určitej veličiny získanú počas procesu merania; Q 0– hodnota tej istej veličiny braná ako základ porovnania (skutočná hodnota).

Absolútna chyba merania– ide o hodnotu vypočítanú ako rozdiel medzi číslom, ktoré je nominálnou hodnotou miery, a skutočnou (skutočnou) hodnotou veličiny reprodukovanej mierou.

Relatívna chyba je číslo, ktoré vyjadruje stupeň presnosti merania. Relatívna chyba sa vypočíta podľa nasledujúceho vzorca:

kde ∆Q je absolútna chyba; Q 0– reálna (reálna) hodnota meranej veličiny. Relatívna chyba je vyjadrená v percentách.

Znížená chyba je hodnota vypočítaná ako pomer hodnoty absolútnej chyby k normalizačnej hodnote.

Štandardná hodnota sa určuje takto:

· pre meradlá, pre ktoré je schválená nominálna hodnota, sa táto nominálna hodnota považuje za normovú hodnotu;

· pri meradlách, v ktorých sa nulová hodnota nachádza na okraji meracej stupnice alebo mimo stupnice, sa normalizačná hodnota berie rovnajúca sa konečnej hodnote z meracieho rozsahu. Výnimkou sú meracie prístroje s výrazne nerovnomernou stupnicou merania;

· pre meracie prístroje, ktorých nulová značka sa nachádza vo vnútri meracieho rozsahu, sa normalizačná hodnota rovná súčtu konečných číselných hodnôt meracieho rozsahu;

· pri meradlách (meradlách), ktorých stupnica je nerovnomerná, sa normalizačná hodnota berie rovnajúcu sa celej dĺžke meracej stupnice alebo dĺžke tej jej časti, ktorá zodpovedá rozsahu merania. Absolútna chyba je potom vyjadrená v jednotkách dĺžky.

Chyba merania zahŕňa chybu prístroja, chybu metódy a chybu počítania. Okrem toho chyba počítania vzniká v dôsledku nepresnosti pri určovaní deliacich zlomkov meracej stupnice.

Inštrumentálna chyba– ide o chybu, ktorá vzniká v dôsledku chýb pri výrobe funkčných častí meracích prístrojov.

Metodologická chyba je chyba, ktorá sa vyskytuje z nasledujúcich dôvodov:

· nepresnosť pri zostavovaní modelu fyzikálneho procesu, na ktorom je merací prístroj založený;

· nesprávne používanie meracích prístrojov.

Subjektívna chyba– ide o chybu, ktorá vzniká v dôsledku nízkej kvalifikácie obsluhy meracieho prístroja, ako aj v dôsledku chyby zrakových orgánov človeka, t.j. príčinou subjektívnej chyby je ľudský faktor.

Chyby v interakcii zmien v čase a vstupnej veličiny sa delia na statické a dynamické chyby.

Statická chyba– ide o chybu, ktorá vzniká v procese merania konštantnej (v čase nemenej) veličiny.

Dynamická chyba je chyba, ktorej číselná hodnota sa vypočíta ako rozdiel medzi chybou, ktorá vzniká pri meraní nekonštantnej (časovo premennej) veličiny a statickou chybou (chybou hodnoty meranej veličiny v určitom bode r. čas).

Podľa charakteru závislosti chyby od ovplyvňujúcich veličín sa chyby delia na základné a dodatočné.

Základná chyba– ide o chybu získanú za normálnych prevádzkových podmienok meracieho prístroja (pri normálnych hodnotách ovplyvňujúcich veličín).

Dodatočná chyba- ide o chybu, ktorá nastáva, keď hodnoty ovplyvňujúcich veličín nezodpovedajú ich normálnym hodnotám, alebo ak ovplyvňujúca veličina presahuje hranice oblasti normálnych hodnôt.

Normálne podmienky- to sú podmienky, v ktorých sú všetky hodnoty ovplyvňujúcich veličín normálne alebo neprekračujú hranice normálneho rozsahu.

Pracovné podmienky- sú to stavy, v ktorých má zmena ovplyvňujúcich veličín širší rozsah (ovplyvňujúce hodnoty nepresahujú hranice pracovného rozsahu hodnôt).

Pracovný rozsah ovplyvňujúcich veličín- toto je rozsah hodnôt, v ktorom sú normalizované hodnoty dodatočnej chyby.

Na základe charakteru závislosti chyby od vstupnej hodnoty sa chyby delia na aditívne a multiplikatívne.

Aditívna chyba– ide o chybu, ktorá vzniká súčtom číselných hodnôt a nezávisí od hodnoty meranej veličiny odoberanej modulo (absolútne).

Multiplikačná zaujatosť je chyba, ktorá sa mení so zmenami hodnôt meranej veličiny.

Treba si uvedomiť, že hodnota absolútnej aditívnej chyby nesúvisí s hodnotou meranej veličiny a citlivosťou meracieho prístroja. Absolútne aditívne chyby sú konštantné v celom rozsahu merania.

Hodnota absolútnej aditívnej chyby určuje minimálnu hodnotu veličiny, ktorú je možné merať meracím prístrojom.

Hodnoty multiplikačných chýb sa menia úmerne zmenám hodnôt meranej veličiny. Hodnoty multiplikačných chýb sú tiež úmerné citlivosti meracieho prístroja. Multiplikačná chyba vzniká vplyvom ovplyvňujúcich veličín na parametrické charakteristiky prvkov prístroja.

Chyby, ktoré môžu vzniknúť počas procesu merania, sú klasifikované podľa povahy ich výskytu. Zlatý klinec:

· systematické chyby;

· náhodné chyby.

Počas procesu merania sa môžu vyskytnúť aj hrubé chyby a chyby.

Systematická chyba- ide o zložku celej chyby výsledku merania, ktorá sa pri opakovanom meraní tej istej veličiny nemení alebo sa prirodzene mení. Systematická chyba sa zvyčajne snaží eliminovať možnými spôsobmi (napríklad použitím meracích metód, ktoré znižujú pravdepodobnosť jej výskytu), ale ak sa systematickú chybu odstrániť nedá, vypočíta sa pred začiatkom meraní a príslušným vo výsledku merania sa vykonajú korekcie. V procese normalizácie systematickej chyby sa určujú hranice jej prípustných hodnôt. Systematická chyba určuje presnosť meraní meracích prístrojov (metrologická vlastnosť). Systematické chyby v niektorých prípadoch možno určiť experimentálne. Výsledok merania je potom možné objasniť zavedením korekcie.

Metódy na odstránenie systematických chýb sú rozdelené do štyroch typov:

· odstránenie príčin a zdrojov chýb pred začatím meraní;

· odstránenie chýb v procese už začatého merania pomocou substitúcie, kompenzácie chýb znamienkom, opozíciou, symetrickými pozorovaniami;

· oprava výsledkov meraní vykonaním opráv (eliminácia chýb výpočtami);

· určenie hraníc systematickej chyby v prípade, že ju nemožno odstrániť.

Odstránenie príčin a zdrojov chýb pred začatím meraní. Táto metóda je najlepšou možnosťou, pretože jej použitie zjednodušuje ďalší priebeh meraní (nie je potrebné odstraňovať chyby v procese už začatého merania alebo vykonávať korekcie získaného výsledku).

Na odstránenie systematických chýb v procese už začatého merania sa používajú rôzne metódy

Spôsob zavádzania pozmeňujúcich a doplňujúcich návrhov vychádza zo znalosti systematickej chyby a súčasných zákonitostí jej zmeny. Pri použití tejto metódy sa urobia korekcie výsledku merania získaného so systematickými chybami, ktorých veľkosť sa rovná týmto chybám, ale majú opačné znamienko.

Substitučná metóda spočíva v tom, že meraná veličina je nahradená mierou umiestnenou v rovnakých podmienkach, v ktorých sa nachádzal predmet merania. Metóda náhrady sa používa pri meraní nasledujúcich elektrických parametrov: odpor, kapacita a indukčnosť.

Metóda kompenzácie chyby znamienka spočíva v tom, že merania sa vykonajú dvakrát tak, že do výsledkov merania sa započíta chyba neznámej veľkosti s opačným znamienkom.

Metóda opozície podobne ako pri metóde kompenzácie znamienka. Táto metóda pozostáva z merania dvakrát, takže zdroj chyby v prvom meraní má opačný vplyv na výsledok druhého merania.

Náhodná chyba- ide o zložku chyby výsledku merania, meniacu sa náhodne, nepravidelne pri vykonávaní opakovaných meraní tej istej veličiny. Výskyt náhodnej chyby nemožno predvídať ani predvídať. Náhodnú chybu nemožno úplne odstrániť, vždy do určitej miery skresľuje konečné výsledky merania. Výsledok merania však môžete spresniť opakovaným meraním. Príčinou náhodnej chyby môže byť napríklad náhodná zmena vonkajších faktorov ovplyvňujúcich proces merania. Náhodná chyba pri vykonávaní opakovaných meraní s dostatočne vysokou presnosťou vedie k rozptylu výsledkov.

Chyby a hrubé chyby– ide o chyby, ktoré ďaleko presahujú systematické a náhodné chyby očakávané za daných podmienok merania. Chyby a hrubé chyby sa môžu objaviť v dôsledku hrubých chýb počas procesu merania, technickej poruchy meracieho prístroja alebo neočakávaných zmien vonkajších podmienok.

Nechaj nejakú náhodnú premennú a merané n krát za rovnakých podmienok. Výsledky merania dali súbor n rôzne čísla

Absolútna chyba- rozmerová hodnota. Medzi n Hodnoty absolútnej chyby sú nevyhnutne kladné aj záporné.

Za najpravdepodobnejšiu hodnotu množstva A zvyčajne braný priemer hodnotu výsledkov merania

.

Čím väčší je počet meraní, tým je priemerná hodnota bližšie k skutočnej hodnote.

Absolútna chybai

.

Relatívna chybai-té meranie sa nazýva množstvo

Relatívna chyba je bezrozmerná veličina. Relatívna chyba sa zvyčajne vyjadruje v percentách e i vynásobiť 100 %. Veľkosť relatívnej chyby charakterizuje presnosť merania.

Priemerná absolútna chyba je definovaná takto:

.

Zdôrazňujeme potrebu sčítať absolútne hodnoty (moduly) veličín D a ja. V opačnom prípade bude výsledok rovnako nulový.

Priemerná relatívna chyba sa nazýva množstvo

.

Pre veľké množstvo meraní.

Relatívnu chybu možno považovať za hodnotu chyby na jednotku nameranej hodnoty.

Presnosť meraní sa posudzuje porovnaním chýb výsledkov meraní. Chyby merania sú preto vyjadrené v takej forme, že na posúdenie presnosti stačí porovnať iba chyby výsledkov bez toho, aby sme porovnávali veľkosti meraných objektov alebo tieto veľkosti veľmi približne poznali. Z praxe je známe, že absolútna chyba pri meraní uhla nezávisí od hodnoty uhla a absolútna chyba pri meraní dĺžky závisí od hodnoty dĺžky. Čím väčšia je dĺžka, tým väčšia je absolútna chyba pre danú metódu a podmienky merania. V dôsledku toho možno na posúdenie presnosti merania uhla použiť absolútnu chybu výsledku, ale nemožno posúdiť presnosť merania dĺžky. Vyjadrenie chyby v relatívnej forme umožňuje porovnať presnosť uhlových a lineárnych meraní v známych prípadoch.

Základné pojmy teórie pravdepodobnosti. Náhodná chyba.

Náhodná chyba nazývaná zložka chyby merania, ktorá sa náhodne mení pri opakovaných meraniach tej istej veličiny.

Pri opakovaných meraniach tej istej konštantnej, nemennej veličiny s rovnakou starostlivosťou a za rovnakých podmienok získame výsledky meraní - niektoré sa navzájom líšia a niektoré sa zhodujú. Takéto nezrovnalosti vo výsledkoch meraní naznačujú prítomnosť náhodných chybových komponentov v nich.

Náhodná chyba vzniká súčasným vplyvom mnohých zdrojov, z ktorých každý má sám o sebe nepostrehnuteľný vplyv na výsledok merania, ale celkový vplyv všetkých zdrojov môže byť dosť silný.

Náhodné chyby sú nevyhnutným dôsledkom akýchkoľvek meraní a sú spôsobené:

a) nepresnosť údajov na stupnici prístrojov a prístrojov;

b) neidentifikácia podmienok pre opakované merania;

c) náhodné zmeny vonkajších podmienok (teplota, tlak, silové pole a pod.), ktoré nemožno kontrolovať;

d) všetky ostatné vplyvy na merania, ktorých príčiny nám nie sú známe. Veľkosť náhodnej chyby je možné minimalizovať mnohonásobným opakovaním experimentu a zodpovedajúcim matematickým spracovaním získaných výsledkov.

Náhodná chyba môže nadobudnúť rôzne absolútne hodnoty, ktoré nie je možné predpovedať pre dané meranie. Táto chyba môže byť rovnako pozitívna alebo negatívna. V experimente sú vždy prítomné náhodné chyby. Pri absencii systematických chýb spôsobujú rozptyl opakovaných meraní vzhľadom na skutočnú hodnotu.

Predpokladajme, že perióda kmitania kyvadla sa meria pomocou stopiek a meranie sa mnohokrát opakuje. Chyby pri spúšťaní a zastavovaní stopiek, chyba odčítanej hodnoty, mierna nerovnomernosť pohybu kyvadla – to všetko spôsobuje rozptyl výsledkov opakovaných meraní a preto je možné ich klasifikovať ako náhodné chyby.

Ak neexistujú žiadne iné chyby, niektoré výsledky budú trochu nadhodnotené, zatiaľ čo iné budú trochu podhodnotené. Ak však okrem toho zaostávajú aj hodiny, všetky výsledky budú podhodnotené. To už je systematická chyba.

Niektoré faktory môžu spôsobiť systematické aj náhodné chyby súčasne. Takže zapínaním a vypínaním stopiek môžeme vytvoriť malý nepravidelný rozptyl v časoch spustenia a zastavenia hodín vzhľadom na pohyb kyvadla a tým zaviesť náhodnú chybu. Ak sa však so zapínaním stopiek zakaždým ponáhľame a meškáme s ich vypnutím, povedie to k systematickej chybe.

Náhodné chyby sú spôsobené chybou paralaxy pri počítaní dielikov prístrojovej stupnice, otrasom základov budovy, vplyvom mierneho pohybu vzduchu atď.

Hoci nie je možné eliminovať náhodné chyby v jednotlivých meraniach, matematická teória náhodných javov nám umožňuje znížiť vplyv týchto chýb na konečný výsledok merania. Nižšie sa ukáže, že na to je potrebné vykonať nie jedno, ale niekoľko meraní a čím menšiu hodnotu chyby chceme získať, tým viac meraní je potrebné vykonať.

Vzhľadom na skutočnosť, že výskyt náhodných chýb je nevyhnutný a nevyhnutný, hlavnou úlohou každého procesu merania je znížiť chyby na minimum.

Teória chýb je založená na dvoch hlavných predpokladoch, potvrdených skúsenosťami:

1. Pri veľkom počte meraní sa pomerne často vyskytujú náhodné chyby rovnakej veľkosti, ale rôznych znamienok, teda chyby v smere zvyšovania a znižovania výsledku.

2. Chyby, ktoré sú veľké v absolútnej hodnote, sú menej časté ako malé, takže pravdepodobnosť výskytu chyby klesá so zvyšujúcou sa jej veľkosťou.

Správanie náhodných premenných je popísané štatistickými vzormi, ktoré sú predmetom teórie pravdepodobnosti. Štatistická definícia pravdepodobnosti w i diania i je vzťah

Kde n- celkový počet pokusov, n i- počet pokusov, pri ktorých sa udalosť i Stalo. V tomto prípade by celkový počet experimentov mal byť veľmi veľký ( n®¥). Pri veľkom počte meraní sa náhodné chyby riadia normálnym rozdelením (Gaussovo rozdelenie), ktorého hlavné črty sú tieto:

1. Čím väčšia je odchýlka nameranej hodnoty od skutočnej hodnoty, tým menšia je pravdepodobnosť takéhoto výsledku.

2. Odchýlky v oboch smeroch od skutočnej hodnoty sú rovnako pravdepodobné.

Z vyššie uvedených predpokladov vyplýva, že na zníženie vplyvu náhodných chýb je potrebné túto hodnotu zmerať niekoľkokrát. Predpokladajme, že meriame nejaké množstvo x. Nech sa vyrába n miery: x 1 , x 2 , ... x n- použitím rovnakej metódy as rovnakou starostlivosťou. Dá sa očakávať, že počet dn získané výsledky, ktoré ležia v nejakom dosť úzkom intervale od X predtým x + dx, musí byť proporcionálne:

Veľkosť prijatého intervalu dx;

Celkový počet meraní n.

Pravdepodobnosť dw(X), ktorá má nejakú hodnotu X leží v rozmedzí od X predtým x + dx, je definovaný nasledovne :

(s počtom meraní n ®¥).

Funkcia f(X) sa nazýva distribučná funkcia alebo hustota pravdepodobnosti.

Ako postulát teórie chýb sa uznáva, že výsledky priamych meraní a ich náhodné chyby, ak ich je veľký počet, sa riadia zákonom normálneho rozdelenia.

Distribučná funkcia spojitej náhodnej premennej nájdená Gaussom X má nasledujúci tvar:

, kde mis - distribučných parametrov .

Parameter m normálneho rozdelenia sa rovná strednej hodnote b Xñ náhodná premenná, ktorá je pre ľubovoľnú známu distribučnú funkciu určená integrálom

.

teda hodnota m je najpravdepodobnejšia hodnota meranej veličiny x, t.j. jej najlepší odhad.

Parameter s 2 normálneho rozdelenia sa rovná rozptylu D náhodnej premennej, ktorá je vo všeobecnom prípade určená nasledujúcim integrálom

.

Druhá odmocnina rozptylu sa nazýva štandardná odchýlka náhodnej premennej.

Priemerná odchýlka (chyba) náhodnej premennej ásñ sa určí pomocou distribučnej funkcie nasledovne

Priemerná chyba merania asñ vypočítaná z funkcie Gaussovho rozdelenia súvisí s hodnotou štandardnej odchýlky s takto:

< s > = 0,8 s.

Parametre s a m spolu súvisia takto:

.

Tento výraz vám umožňuje nájsť smerodajnú odchýlku s, ak existuje krivka normálneho rozdelenia.

Graf Gaussovej funkcie je znázornený na obrázkoch. Funkcia f(X) je symetrický podľa ordináty nakreslenej v bode x = m; prechádza cez maximum v bode x = m a má inflexiu v bodoch m ±s. Rozptyl teda charakterizuje šírku distribučnej funkcie alebo ukazuje, do akej miery sú hodnoty náhodnej premennej rozptýlené vzhľadom na jej skutočnú hodnotu. Čím presnejšie merania, tým bližšie k skutočnej hodnote sú výsledky jednotlivých meraní, t.j. hodnota s je menšia. Obrázok A znázorňuje funkciu f(X) pre tri hodnoty s .

Oblasť postavy ohraničená krivkou f(X) a zvislé čiary nakreslené z bodov X 1 a X 2 (obr. B) , číselne sa rovná pravdepodobnosti, že výsledok merania spadne do intervalu D x = x 1 -X 2, ktorá sa nazýva pravdepodobnosť spoľahlivosti. Oblasť pod celou krivkou f(X) sa rovná pravdepodobnosti náhodnej premennej spadajúcej do intervalu od 0 do ¥, t.j.

,

keďže pravdepodobnosť spoľahlivej udalosti sa rovná jednej.

Pomocou normálneho rozdelenia teória chýb predstavuje a rieši dva hlavné problémy. Prvým je posúdenie presnosti vykonaných meraní. Druhým je posúdenie presnosti aritmetického priemeru výsledkov merania.5. Interval spoľahlivosti. Študentský koeficient.

Teória pravdepodobnosti nám umožňuje určiť veľkosť intervalu, v ktorom so známou pravdepodobnosťou w zisťujú sa výsledky jednotlivých meraní. Táto pravdepodobnosť sa nazýva pravdepodobnosť dôvery a zodpovedajúci interval (<X>±D X)w volal interval spoľahlivosti. Pravdepodobnosť spoľahlivosti sa tiež rovná relatívnemu podielu výsledkov, ktoré spadajú do intervalu spoľahlivosti.

Ak počet meraní n je dostatočne veľká, potom pravdepodobnosť spoľahlivosti vyjadruje podiel z celkového počtu n tie merania, pri ktorých bola nameraná hodnota v rámci intervalu spoľahlivosti. Pravdepodobnosť každej spoľahlivosti w zodpovedá jeho intervalu spoľahlivosti w 2 80 %. Čím širší je interval spoľahlivosti, tým väčšia je pravdepodobnosť dosiahnutia výsledku v rámci tohto intervalu. V teórii pravdepodobnosti sa stanovuje kvantitatívny vzťah medzi hodnotou intervalu spoľahlivosti, pravdepodobnosťou spoľahlivosti a počtom meraní.

Ak ako interval spoľahlivosti zvolíme interval zodpovedajúci priemernej chybe, teda D a =áD Añ, potom pre dostatočne veľký počet meraní zodpovedá pravdepodobnosti spoľahlivosti w 60 %. Keď sa počet meraní znižuje, pravdepodobnosť spoľahlivosti zodpovedajúca takémuto intervalu spoľahlivosti (a Añ ± áD Añ), klesá.

Na odhadnutie intervalu spoľahlivosti náhodnej premennej je teda možné použiť hodnotu priemernej chyby áD Añ .

Na charakterizáciu veľkosti náhodnej chyby je potrebné špecifikovať dve čísla, a to hodnotu intervalu spoľahlivosti a hodnotu pravdepodobnosti spoľahlivosti. . Uvádzať iba veľkosť chyby bez zodpovedajúcej pravdepodobnosti spoľahlivosti je do značnej miery nezmyselné.

Ak je známa priemerná chyba merania asñ, interval spoľahlivosti zapísaný ako (<X> ± ásñ) w, určené s pravdepodobnosťou spoľahlivosti w= 0,57.

Ak je známa smerodajná odchýlka s rozdelenie výsledkov meraní, zadaný interval má tvar (<X>± t w s) w, Kde t w- koeficient v závislosti od hodnoty pravdepodobnosti spoľahlivosti a vypočítaný pomocou Gaussovho rozdelenia.

Najčastejšie používané množstvá D X sú uvedené v tabuľke 1.

Strana 1

Absolútna chyba stanovenia nepresahuje 0,01 μg fosforu. Touto metódou sme stanovili fosfor v kyseline dusičnej, octovej, chlorovodíkovej a sírovej a acetón s ich predbežným odparením.

Absolútna chyba stanovenia je 0 2 - 0 3 mg.

Absolútna chyba pri stanovení zinku v zinko-mangánových feritoch navrhovanou metódou nepresahuje 0 2 % rel.

Absolútna chyba pri určovaní uhľovodíkov C2 - C4, keď je ich obsah v plyne 0 2 - 5 0 %, je 0 01 - 0 2 %, resp.

Tu je Ау absolútna chyba pri určení r/, ktorá vyplýva z chyby Áno pri určení a. Napríklad relatívna chyba druhej mocniny čísla je dvojnásobkom chyby pri určovaní samotného čísla a relatívna chyba čísla pod odmocninou je jednoducho jedna tretina chyby pri určovaní čísla.

Zložitejšie úvahy sú potrebné pri výbere miery pre porovnania absolútnych chýb pri určovaní času začiatku havárie TV - Ts, kde Tv a Ts je čas rekonštruovanej a skutočnej havárie, resp. Analogicky sa tu dá použiť priemerný čas cesty vrcholu znečistenia od skutočného vypúšťania do tých monitorovacích bodov, ktoré zaznamenali haváriu pri prechode znečistenia Tsm. Výpočet spoľahlivosti určenia sily nehôd je založený na výpočte relatívnej chyby MV - Ms / Mv, kde Mv a Ms sú obnovené, resp. Nakoniec, relatívna chyba pri určovaní trvania núdzového uvoľnenia je charakterizovaná hodnotou rv - rs / re, kde rv a rs sú rekonštruované a skutočné trvanie nehôd.

Zložitejšie úvahy sú potrebné pri výbere miery pre porovnania absolútnych chýb pri určovaní času začiatku havárie TV - Ts, kde Tv a Ts je čas rekonštruovanej a skutočnej havárie, resp. Analogicky sa tu dá použiť priemerný čas cesty vrcholu znečistenia od skutočného vypúšťania do tých monitorovacích bodov, ktoré zaznamenali haváriu pri prechode znečistenia Tsm. Výpočet spoľahlivosti určenia sily nehôd je založený na výpočte relatívnej chyby Mv - Ms / Ms, kde Mv a Ms sú obnovené a skutočné sily, resp. Nakoniec, relatívna chyba pri určovaní trvania núdzového uvoľnenia je charakterizovaná hodnotou rv - rs / rs, kde rv a rs sú rekonštruované a skutočné trvanie nehôd.

Pre rovnakú absolútnu chybu merania ay absolútna chyba v určení veličiny ax klesá so zvyšujúcou sa citlivosťou metódy.

Keďže chyby nie sú založené na náhodných, ale na systematických chybách, konečná absolútna chyba pri určovaní prísaviek môže dosiahnuť 10% teoreticky potrebného množstva vzduchu. Len pri neakceptovateľne netesných ohniskách (A a0 25) dáva všeobecne akceptovaná metóda viac-menej uspokojivé výsledky. Toto je dobre známe servisným technikom, ktorí pri vyrovnávaní vzduchovej bilancie hustých kúrenísk často dosahujú záporné hodnoty nasávania.

Analýza chyby pri určovaní hodnoty zvieraťa ukázala, že pozostáva zo 4 zložiek: absolútna chyba pri určovaní hmotnosti matrice, kapacita vzorky, váženie a relatívna chyba v dôsledku kolísania hmotnosti vzorky okolo rovnováhy. hodnotu.

Pri dodržaní všetkých pravidiel pre výber, meranie objemov a analýzu plynov pomocou analyzátora plynov GKhP-3 by celková absolútna chyba pri stanovení obsahu CO2 a O2 nemala presiahnuť 0 2 - 0 4 % ich skutočnej hodnoty.

Od stola 1 - 3 môžeme konštatovať, že údaje, ktoré používame pre východiskové látky, prevzaté z rôznych zdrojov, majú relatívne malé rozdiely, ktoré ležia v rámci absolútnych chýb pri určovaní týchto veličín.

Náhodné chyby môžu byť absolútne a relatívne. Náhodná chyba s rozmerom meranej hodnoty sa nazýva absolútna chyba určenia. Aritmetický priemer absolútnych chýb všetkých jednotlivých meraní sa nazýva absolútna chyba analytickej metódy.

Hodnota dovolenej odchýlky alebo intervalu spoľahlivosti nie je stanovená svojvoľne, ale vypočítava sa z konkrétnych nameraných údajov a charakteristík použitých prístrojov. Odchýlka výsledku jednotlivého merania od skutočnej hodnoty veličiny sa nazýva absolútna chyba určenia alebo jednoducho chyba. Pomer absolútnej chyby k nameranej hodnote sa nazýva relatívna chyba, ktorá sa zvyčajne vyjadruje v percentách. Poznanie chyby jednotlivého merania nemá žiadny nezávislý význam a v každom seriózne vedenom experimente je potrebné vykonať niekoľko paralelných meraní, z ktorých sa vypočíta experimentálna chyba. Chyby merania, v závislosti od dôvodov ich výskytu, sú rozdelené do troch typov.

Je takmer nemožné určiť skutočnú hodnotu fyzikálnej veličiny absolútne presne, pretože každá operácia merania je spojená s množstvom chýb alebo inými slovami nepresností. Príčiny chýb môžu byť veľmi odlišné. Ich výskyt môže súvisieť s nepresnosťami pri výrobe a nastavovaní meracieho zariadenia v dôsledku fyzikálnych vlastností skúmaného objektu (napríklad pri meraní priemeru drôtu nerovnomernej hrúbky výsledok náhodne závisí od výber miesta merania), náhodné dôvody a pod.

Úlohou experimentátora je znížiť ich vplyv na výsledok a tiež ukázať, nakoľko sa získaný výsledok približuje skutočnému.

Existujú pojmy absolútnej a relatívnej chyby.

Pod absolútna chyba merania pochopí rozdiel medzi výsledkom merania a skutočnou hodnotou meranej veličiny:

∆x i =x i -x a (2)

kde ∆x i je absolútna chyba i-tého merania, x i _ je výsledok i-tého merania, x a je skutočná hodnota nameranej hodnoty.

Výsledok akéhokoľvek fyzického merania sa zvyčajne zapisuje v tvare:

kde je aritmetický priemer nameranej hodnoty, ktorý je najbližšie k skutočnej hodnote (platnosť x a≈ bude uvedená nižšie), je absolútna chyba merania.

Rovnosť (3) treba chápať tak, že skutočná hodnota meranej veličiny leží v intervale [ - , + ].

Absolútna chyba je rozmerová veličina, má rovnaký rozmer ako meraná veličina.

Absolútna chyba úplne necharakterizuje presnosť vykonaných meraní. V skutočnosti, ak nameriame segmenty dlhé 1 m a 5 mm s rovnakou absolútnou chybou ± 1 mm, presnosť meraní bude neporovnateľná. Preto sa spolu s absolútnou chybou merania vypočíta aj relatívna chyba.

Relatívna chyba merania je pomer absolútnej chyby k samotnej nameranej hodnote:

Relatívna chyba je bezrozmerná veličina. Vyjadruje sa v percentách:

Vo vyššie uvedenom príklade sú relatívne chyby 0,1 % a 20 %. Výrazne sa od seba líšia, hoci absolútne hodnoty sú rovnaké. Relatívna chyba poskytuje informáciu o presnosti

Chyby merania

Podľa charakteru prejavu a príčin vzniku chýb ich možno rozdeliť do tried: inštrumentálne, systematické, náhodné a omyly (hrubé chyby).

Chyby sú spôsobené buď nefunkčnosťou zariadenia, alebo porušením metodiky či experimentálnych podmienok, alebo sú subjektívneho charakteru. V praxi sú definované ako výsledky, ktoré sa výrazne líšia od ostatných. Na elimináciu ich výskytu je potrebné pri práci s prístrojmi postupovať opatrne a dôkladne. Výsledky obsahujúce chyby musia byť vylúčené z posudzovania (vyradené).

Chyby prístroja. Ak je meracie zariadenie v dobrom prevádzkovom stave a je nastavené, možno na ňom vykonávať merania s obmedzenou presnosťou určenou typom zariadenia. Je zvykom považovať chybu prístroja ukazovacieho prístroja za rovnajúcu sa polovici najmenšieho dielika jeho stupnice. V prístrojoch s digitálnym odčítaním sa chyba prístroja rovná hodnote jednej najmenšej číslice stupnice prístroja.

Systematické chyby sú chyby, ktorých veľkosť a znamienko sú konštantné pre celú sériu meraní vykonaných tou istou metódou a použitím rovnakých meracích prístrojov.

Pri realizácii meraní je dôležité brať do úvahy nielen systematické chyby, ale je potrebné zabezpečiť aj ich odstránenie.

Systematické chyby sa bežne delia do štyroch skupín:

1) chyby, ktorých povaha je známa a ich veľkosť sa dá celkom presne určiť. Takouto chybou je napríklad zmena nameranej hmotnosti vo vzduchu, ktorá závisí od teploty, vlhkosti, tlaku vzduchu a pod.;

2) chyby, ktorých povaha je známa, ale veľkosť samotnej chyby nie je známa. Medzi takéto chyby patria chyby spôsobené meracím zariadením: porucha samotného zariadenia, stupnica, ktorá nezodpovedá nulovej hodnote alebo trieda presnosti zariadenia;

3) chyby, o ktorých existencii nemožno pochybovať, ale ich rozsah môže byť často významný. Takéto chyby sa vyskytujú najčastejšie pri zložitých meraniach. Jednoduchým príkladom takejto chyby je meranie hustoty nejakej vzorky obsahujúcej vo vnútri dutinu;

4) chyby spôsobené charakteristikami samotného meraného objektu. Napríklad pri meraní elektrickej vodivosti kovu sa z kovu odoberie kus drôtu. Chyby môžu nastať, ak je v materiáli akákoľvek chyba – prasklina, zhrubnutie drôtu alebo nehomogenita, ktorá mení jeho odpor.

Náhodné chyby sú chyby, ktoré sa náhodne menia v znamienku a veľkosti za rovnakých podmienok opakovaných meraní tej istej veličiny.

Súvisiace informácie.

Absolútna chyba merania je veličina určená rozdielom medzi výsledkom merania X a skutočnú hodnotu meranej veličiny X 0:

Δ X = |X - X 0 |.

Hodnota δ, ktorá sa rovná pomeru absolútnej chyby merania k výsledku merania, sa nazýva relatívna chyba:

Príklad 2.1. Približná hodnota π je 3,14. Potom je jeho chyba 0,00159. Absolútnu chybu možno považovať za rovnú 0,0016 a relatívnu chybu rovnú 0,0016/3,14 = 0,00051 = 0,051 %.

Významné čísla. Ak absolútna chyba hodnoty a nepresahuje jednu jednotku miesta poslednej číslice čísla a, potom sa hovorí, že číslo má všetky správne znamienka. Zapíšte si približné čísla, pričom ponechajte iba správne znamienka. Ak je napríklad absolútna chyba čísla 52400 100, potom by sa toto číslo malo zapísať napríklad ako 524·10 2 alebo 0,524·10 5. Chybu približného čísla môžete odhadnúť tak, že uvediete, koľko správnych platných číslic obsahuje. Pri počítaní platných číslic sa nuly na ľavej strane čísla nepočítajú.

Napríklad číslo 0,0283 má tri platné platné číslice a číslo 2,5400 má päť platných platných číslic.

Pravidlá zaokrúhľovania čísel. Ak približné číslo obsahuje ďalšie (alebo nesprávne) číslice, malo by byť zaokrúhlené. Pri zaokrúhľovaní sa vyskytne dodatočná chyba, ktorá nepresahuje polovicu jednotky miesta poslednej platnej číslice ( d) zaokrúhlené číslo. Pri zaokrúhľovaní sa zachovajú iba správne číslice; ďalšie znaky sa zahodia a ak je prvá vyradená číslica väčšia alebo rovná d/2, potom sa posledná uložená číslica zvýši o jednu.

Ďalšie číslice v celých číslach sú nahradené nulami a v desatinných číslach sú vyradené (rovnako ako nuly navyše). Napríklad, ak je chyba merania 0,001 mm, potom sa výsledok 1,07005 zaokrúhli na 1,070. Ak je prvá z číslic upravených nulami a vyradená menšia ako 5, zostávajúce číslice sa nezmenia. Napríklad číslo 148935 s presnosťou merania 50 má zaokrúhľovaciu hodnotu 148900. Ak prvá z číslic nahradených nulami alebo vyradená je 5 a za ňou nenasledujú žiadne číslice ani nuly, zaokrúhli sa na najbližšiu párne číslo. Napríklad číslo 123,50 sa zaokrúhli na 124. Ak je prvá nula alebo klesajúca číslica väčšia ako 5 alebo rovná 5, ale za ňou nasleduje platná číslica, posledná zostávajúca číslica sa zvýši o jednotku. Napríklad číslo 6783,6 je zaokrúhlené na 6784.

Príklad 2.2. Pri zaokrúhľovaní 1284 na 1300 je absolútna chyba 1300 - 1284 = 16 a pri zaokrúhľovaní na 1280 je absolútna chyba 1280 - 1284 = 4.

Príklad 2.3. Pri zaokrúhlení čísla 197 na 200 je absolútna chyba 200 - 197 = 3. Relatívna chyba je 3/197 ≈ 0,01523 alebo približne 3/200 ≈ 1,5 %.

Príklad 2.4. Predavač váži melón na váhe. Najmenšia váha v súprave je 50g.Vážením vyšlo 3600g.Toto číslo je približné. Presná hmotnosť vodného melónu nie je známa. Ale absolútna chyba nepresahuje 50 g Relatívna chyba nepresahuje 50/3600 = 1,4 %.

Chyby pri riešení problému na PC

Za hlavné zdroje chýb sa zvyčajne považujú tri typy chýb. Tieto sa nazývajú chyby skrátenia, chyby zaokrúhľovania a chyby šírenia. Napríklad pri použití iteračných metód na hľadanie koreňov nelineárnych rovníc sú výsledky približné, na rozdiel od priamych metód, ktoré poskytujú presné riešenie.

Chyby skrátenia

Tento typ chyby je spojený s chybou, ktorá je súčasťou samotnej úlohy. Môže to byť spôsobené nepresnosťou pri určovaní zdrojových údajov. Napríklad, ak sú v popise problému špecifikované nejaké rozmery, potom v praxi pre skutočné objekty sú tieto rozmery vždy známe s určitou presnosťou. To isté platí pre akékoľvek iné fyzické parametre. To zahŕňa aj nepresnosť výpočtových vzorcov a číselných koeficientov v nich zahrnutých.

Chyby šírenia

Tento typ chyby je spojený s použitím jedného alebo druhého spôsobu riešenia problému. Počas výpočtov nevyhnutne dochádza k hromadeniu chýb alebo, inými slovami, k šíreniu. Okrem toho, že samotné pôvodné údaje nie sú presné, vzniká nová chyba pri ich násobení, sčítaní atď. Hromadenie chýb závisí od charakteru a počtu aritmetických operácií použitých pri výpočte.

Chyby zaokrúhľovania

Tento typ chyby sa vyskytuje, pretože skutočná hodnota čísla nie je vždy presne uložená počítačom. Keď je reálne číslo uložené v pamäti počítača, zapíše sa ako mantisa a exponent v podstate rovnakým spôsobom, ako sa číslo zobrazuje na kalkulačke.