Tabelul funcției Laplace integrale. Calculul funcției Laplace în Microsoft Excel

Funcția Laplace este o funcție neelementară și este adesea folosită atât în ​​teoria ecuațiilor diferențiale și teoria probabilităților, cât și în statistică. Funcția Laplace necesită un anumit set de cunoștințe și pregătire, deoarece vă permite să rezolvați diverse probleme din domeniul aplicațiilor aplicate și teoretice.

Funcția Laplace este adesea folosită pentru a rezolva ecuații diferențiale și este adesea denumită integrală de probabilitate. Să vedem cum poate fi utilizată această funcție în Excel și cum funcționează.

Integrala de probabilitate sau funcția Laplace din Excel corespunde operatorului „NORMSDIST”, care are sintaxa: „=NORMSDIST(z). În versiunile mai noi ale programului, operatorul are și numele „NORM.ST.DIST”. și o sintaxă ușor modificată „=NORM.ST.DIST(z; integral).

Argumentul „Z” este responsabil pentru valoarea numerică a distribuției. Argumentul „Integral” - returnează două valori - „1” - funcția de distribuție integrală, „0” - funcția de distribuție a greutății.

Teoria este înțeleasă. Să trecem la practică. Luați în considerare utilizarea funcției Laplace în Excel.

1. Scrieți o valoare într-o celulă, introduceți o funcție în următoarea.

2. Să scriem manual funcția „=NORM.ST.DIST(B4;1).

3. Sau utilizați expertul de inserare a funcției - mergeți la categoria „Static” și selectați „Lista alfabetică completă.

4. În fereastra apărută a argumentelor funcției, indicați spre valorile inițiale. Celula noastră originală va fi responsabilă pentru variabila „Z” și va introduce „1” în „Integral”. Funcția noastră va returna funcția de distribuție cumulativă.

5. Obținem o soluție gata făcută a distribuției integrale normale standard pentru această funcție „NORM.ST.DIST”. Dar asta nu este tot, scopul nostru a fost să găsim funcția Laplace sau integrala de probabilitate, așa că să mai facem câțiva pași.

6. Funcția Laplace implică faptul că „0,5” trebuie scăzut din valoarea funcției obținute. Adăugăm la funcție operația necesară. Apăsați „Enter” și obțineți soluția finală. Valoarea dorită este corectă și rapid găsită.

Excel calculează cu ușurință această funcție pentru orice valoare de celulă, interval de celule sau referințe de celule. Funcția NORM.ST.DIST este un operator standard pentru găsirea integralei de probabilitate sau, așa cum se mai numește, funcția Laplace.

Formula Bayes

Evenimentele B 1 , B 2 ,…, B n sunt incompatibile și formează un grup complet, adică. Р(В 1)+ Р(В 2)+…+ Р(В n)=1. Și să fie evenimentul A poate apărea numai când apare unul dintre evenimentele B 1 , B 2 ,…, B n. Atunci probabilitatea evenimentului A se găsește prin formula probabilității totale.

Fie ca evenimentul A să fi avut deja loc. Atunci probabilitățile ipotezelor B 1 , B 2 ,…, B n pot fi supraestimate folosind formula Bayes:

formula Bernoulli

Să se facă n încercări independente, în fiecare dintre ele evenimentul A poate să apară sau nu. Probabilitatea de apariție (nu de apariție) a evenimentului A este aceeași și egală cu p (q=1-p).

Probabilitatea ca în n încercări independente evenimentul A să apară exact de k ori (conform figurii, în ce secvență) este găsită prin formula Bernoulli:

Probabilitatea ca în n încercări independente evenimentul să se producă:

A). Mai puțin de ori P n (0)+P n (1)+…+P n (k-1).

b). Mai mult de k ori P n (k+1)+P n (k+2)+…+P n (n).

în). de cel puțin k ori P n (k)+P n (k+1)+…+P n (n).

G). nu mai mult de k ori P n (0)+P n (1)+…+P n (k).

Teoreme locale și integrale ale lui Laplace.

Folosim aceste teoreme atunci când n este suficient de mare.

Teorema Laplace locală

Probabilitatea ca în n încercări independente un eveniment să apară exact de `k" ori este aproximativ egală cu:

Tabelul de funcții pentru valorile pozitive (x) este prezentat în cartea de probleme a lui Gmurman în Anexa 1, pp. 324-325.

Deoarece chiar (), atunci pentru valori negative \u200b\u200b(x) folosim același tabel.

Teorema integrală a lui Laplace.

Probabilitatea ca în n încercări independente evenimentul să apară de cel puțin `k" ori este aproximativ egală cu:

Funcția Laplace

Tabelul de funcții pentru valori pozitive este dat în cartea de probleme a lui Gmurman în Anexa 2, pp. 326-327. Pentru valori mai mari de 5, setăm Ф(х)=0,5.

Deoarece funcția Laplace este impară F(-x)=-F(x), atunci pentru valori negative (x) folosim același tabel, doar luăm valorile funcției cu semnul minus.

Legea distribuției probabilității pentru o variabilă aleatoare discretă

Legea distribuției binomiale.

Discret- o variabilă aleatorie, ale cărei valori posibile sunt numere izolate separate, pe care această variabilă le ia cu anumite probabilități. Cu alte cuvinte, valorile posibile ale unei variabile aleatoare discrete pot fi numerotate.

Numărul de valori posibile ale unei variabile aleatoare discrete poate fi finit sau infinit.

Variabilele aleatoare discrete sunt notate cu litere mari X, iar valorile lor posibile - cu litere mici x1, x2, x3 ...

De exemplu.

X este numărul de puncte aruncate pe zar; X ia șase valori posibile: x1=1, x2=1, x3=3, x4=4, x5=5, x6=6 cu probabilități p1=1/6, p2=1/6, p3=1/6 .. p6 =1/6.

Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete numiți o listă a valorilor posibile ale acesteia și a probabilităților corespunzătoare.

Legea distribuției poate fi dată:

1. sub forma unui tabel.

2. Analitic – sub forma unei formule.

3. grafic. În acest caz, punctele М1(х1,р1), М2(х2,р2), … Мn(хn,рn) sunt construite în sistemul de coordonate dreptunghiular XOP. Aceste puncte sunt legate prin linii drepte. Forma rezultată se numește poligon de distribuție.

Pentru a scrie legea distribuției unei variabile aleatoare discrete (x), este necesar să enumerați toate valorile posibile ale acesteia și să găsiți probabilitățile corespunzătoare acestora.

Dacă probabilitățile corespunzătoare acestora sunt găsite prin formula Bernoulli, atunci o astfel de lege de distribuție se numește binom.

Exemplul nr. 168, 167, 171, 123, 173, 174, 175.

Valori numerice ale variabilelor aleatoare discrete.

Așteptări matematice, varianță și abatere standard.

Valoarea medie a unei variabile aleatoare discrete este caracterizată de așteptarea matematică.

așteptări matematice O variabilă aleatorie discretă este suma produselor tuturor valorilor sale posibile și probabilitățile acestora. Acestea. dacă este dată legea distribuției, atunci așteptarea matematică

Dacă numărul de valori posibile ale unei variabile aleatoare discrete este infinit, atunci

Mai mult, seria din partea dreaptă a egalității converge absolut, iar suma tuturor probabilităților pi este egală cu unu.

Proprietățile așteptărilor matematice.

1. M(S)=S, S=cons.

2. M(Cx)=CM(x)

3. М(х1+х2+…+хn)=М(х1)+М(х2)+…+М(хn)

4. М(х1*х2*…*хn)=М(х1)*М(х2)*…*М(хn).

5. Pentru legea distribuției binomiale, așteptarea matematică se găsește prin formula:

O caracteristică a dispersării valorilor posibile ale unei variabile aleatoare în jurul așteptării matematice este varianța și abaterea standard.

dispersie variabila aleatoare discretă (x) se numește așteptarea matematică a abaterii la pătrat. D(x)=M(x-M(x))2.

Dispersia este calculată în mod convenabil prin formula: D (x) \u003d M (x 2) - (M (x)) 2.

Proprietăți de dispersie.

1. D(S)=0, S=cons.

2. D (Cx) \u003d C 2 D (x)

3. D(x1+x2+…+xn)=D(x1)+D(x2)+…+D(xn)

4. Dispersia legii distribuției binomiale

Deviație standard variabila aleatoare se numește rădăcina pătrată a varianței.

exemple. 191, 193, 194, 209, d/z.

Funcția de distribuție integrală (IDF, DF) a probabilităților unei variabile aleatoare continue (NSV). continuu- o cantitate care poate lua toate valorile dintr-un interval finit sau infinit. Există un număr de valori NSV posibile și nu poate fi renumerotat.

De exemplu.

Distanța pe care o parcurge proiectilul când este tras este NSV.

FMI se numește funcția F(x), care determină pentru fiecare valoare a lui x probabilitatea ca NSV X să ia valoarea X<х, т.е. F(x)=Р(X

Adesea se spune FR în loc de IFR.

Geometric, egalitatea F(x)=P(X

proprietăți IF.

1. Valoarea IF aparține intervalului , i.e. F(x).

2. DACA este o functie nedescrescatoare, i.e. x2 > x1,.

Corolarul 1. Probabilitatea ca NSV X să ia valoarea conținută în intervalul (a; c) este egală cu incrementul funcției integrale pe acest interval, i.e.

P(a

Corolarul 2. Probabilitatea ca NSV X să ia o anumită valoare, de exemplu, x1=0, este egală cu 0, adică. P(x=x1)=0.

3. Dacă toate valorile posibile ale NSV X aparțin lui (a; c), atunci F(x)=0 pentru x<а, и F(x)=1 при х>în.

Corolarul 3. Următoarele relații limită sunt valabile.

Funcția de distribuție diferențială (DDF) a probabilităților unei variabile aleatoare continue (NSV) (densitatea probabilității).

DF f(x) Distribuții de probabilitate NSV numiți prima derivată a IGF:

Adesea, în loc de PDD, se spune densitatea de probabilitate (PD).

Din definiție rezultă că, cunoscând IF F(x), se poate găsi DF f(x). Dar se realizează și transformarea inversă: cunoscând DF f(x), putem găsi IF F(x).

Probabilitatea ca NSW X să ia o valoare aparținând (a; c) este:

DAR). Dacă se dă IF - consecința 1.

B). Dacă se dă DF

Proprietăți DF.

1. DF - nu negativ, i.e. .

2. integrala improprie a DF în (), este egală cu 1, adică. .

Corolarul 1. Dacă toate valorile posibile ale NSV X aparțin lui (a; c), atunci.

Exemple. Nr. 263, 265, 266, 268, 1111, 272, d/s.

Caracteristicile numerice ale NSV.

1. Așteptările matematice (MO) ale NSW X, ale căror posibile valori aparțin întregii axe OX, este determinată de formula:

Dacă toate valorile posibile ale NSV X aparțin (a; c), atunci MO este determinată de formula:

Toate proprietățile MO, indicate pentru cantități discrete, sunt păstrate și pentru cantități continue.

2. Dispersia NSW X, ale cărei valori posibile aparțin întregii axe OX, este determinată de formula:

Dacă toate valorile posibile ale NSV X aparțin (a; c), atunci varianța este determinată de formula:

Toate proprietățile dispersiei indicate pentru cantități discrete sunt păstrate și pentru cantități continue.

3. Abaterea standard a NSW X este determinată în același mod ca și pentru cantitățile discrete:

Exemple. Nr. 276, 279, X, d/z.

Calcul operațional (OI).

OI este o metodă care vă permite să reduceți operațiile de diferențiere și integrare a funcțiilor la acțiuni mai simple: înmulțirea și împărțirea printr-un argument al așa-numitelor imagini ale acestor funcții.

Utilizarea OI facilitează rezolvarea multor probleme. În special, problemele integrării LDE-urilor cu coeficienți constanți și sisteme de astfel de ecuații, reducându-le la cele algebrice liniare.

originale și imagini. Transformări Laplace.

f(t)-original; F(p)-imagine.

Se numește tranziția f(t)F(p). Transformarea Laplace.

Transformarea Laplace a funcției f(t) se numește F(p), care depinde de o variabilă complexă și este definită prin formula:

Această integrală se numește integrală Laplace. Pentru ca această integrală improprie să convergă, este suficient să presupunem că f(t) este continuă pe bucăți în interval și pentru unele constante M > 0 și satisface inegalitatea

Se numește o funcție f(t) cu astfel de proprietăți original, iar tranziția de la original la imaginea sa se numește Transformarea Laplace.

Proprietățile transformării Laplace.

Determinarea directă a imaginilor prin formula (2) este de obicei dificilă și poate fi mult facilitată prin utilizarea proprietăților transformării Laplace.

Fie F(p) și G(p) imaginile originalelor f(t) și respectiv g(t). Apoi au loc următoarele proprietăți-relații:

1. С*f(t)С*F(p), С=const - proprietate de omogenitate.

2. f(t)+g(t)F(p)+G(p) - proprietatea aditivității.

3. f(t)F(p-) - teorema deplasării.

tranziția derivatei a n-a a originalului în imagine (teorema de diferențiere originală).

Teoreme Laplace locale și integrale

Acest articol este o continuare firească a lecției despre teste independente unde ne-am întâlnit formula Bernoulliși a elaborat exemple tipice pe această temă. Teoremele locale și integrale ale lui Laplace (Moivre-Laplace) rezolvă o problemă similară cu diferența că sunt aplicabile unui număr destul de mare de teste independente. Cuvintele „local”, „integral”, „teoreme” nu trebuie să fie reduse la tăcere - materialul este stăpânit cu aceeași ușurință cu care Laplace a bătut capul creț al lui Napoleon. Prin urmare, fără complexe și observații preliminare, vom lua imediat în considerare un exemplu demonstrativ:

Moneda este aruncată de 400 de ori. Găsiți probabilitatea ca capetele să apară de 200 de ori.

După trăsături caracteristice, aici este necesar să se aplice formula lui Bernoulli . Să ne amintim semnificația acestor litere:

este probabilitatea ca un eveniment aleatoriu să apară exact o dată în studii independente;
– coeficient binomial;
este probabilitatea ca un eveniment să apară în fiecare încercare;

Pentru sarcina noastră:
este numărul total de teste;
- numărul de aruncări în care ar trebui să cadă vulturul;

Astfel, probabilitatea ca 400 de aruncări de monede să ducă la exact 200 de capete este: ...Stop, ce să faci în continuare? Microcalculatorul (cel puțin al meu) nu a făcut față gradului 400 și a capitulat factoriale. Dar nu am avut chef să număr prin produs =) Să folosim Funcția standard Excel, care a reușit să prelucreze monstrul: .

Vă atrag atenția asupra a ceea ce s-a primit corect valoare și o astfel de soluție pare a fi ideală. La prima vedere. Iată câteva contraargumente convingătoare:

- în primul rând, software-ul poate să nu fie la îndemână;
- și în al doilea rând, soluția va arăta nestandard (cu mare probabilitate va trebui să o refaceți);

Prin urmare, dragi cititori, în viitorul apropiat așteptăm:

Teorema Laplace locală

Dacă probabilitatea apariției unui eveniment aleatoriu în fiecare încercare este constantă, atunci probabilitatea ca evenimentul să apară exact o dată în încercări este aproximativ egală cu:
, Unde .

În acest caz, cu cât este mai mare, cu atât probabilitatea calculată va aproxima mai bine valoarea exactă obținută (cel putin ipotetic) conform formulei Bernoulli. Numărul minim recomandat de teste este de aproximativ 50-100, altfel rezultatul poate fi departe de adevăr. În plus, teorema locală Laplace funcționează cu atât mai bine, cu atât probabilitatea este mai apropiată de 0,5 și invers - dă o eroare semnificativă pentru valori apropiate de zero sau unu. Din acest motiv, un alt criteriu pentru utilizarea eficientă a formulei este împlinirea inegalității () .

Deci, de exemplu, dacă , atunci aplicarea teoremei lui Laplace pentru 50 de încercări este justificată. Dar dacă și , atunci aproximarea (la valoarea exacta) va fi rău.

Despre de ce și despre o funcție specială vom vorbi în clasă despre distribuția normală de probabilitate, dar deocamdată avem nevoie de latura formal-computațională a problemei. În special, un fapt important este paritate aceasta functie: .

Să oficializăm relația cu exemplul nostru:

Sarcina 1

Moneda este aruncată de 400 de ori. Găsiți probabilitatea ca capete să aterizeze exact:

a) de 200 de ori;
b) de 225 de ori.

Unde sa încep soluţie? Mai întâi, să notăm cantitățile cunoscute, astfel încât să fie în fața ochilor noștri:

este numărul total de teste independente;
este probabilitatea de a obține capete la fiecare aruncare;
este probabilitatea de a obține cozi.

a) Aflați probabilitatea ca într-o serie de 400 de aruncări capete să cadă exact o dată. Datorită numărului mare de teste, folosim teorema locală Laplace: , Unde .

La primul pas, calculăm valoarea necesară a argumentului:

În continuare, găsim valoarea corespunzătoare a funcției: . Acest lucru se poate face în mai multe moduri. În primul rând, desigur, apar calcule directe:

Rotunjirea se face de obicei la 4 zecimale.

Dezavantajul calculului direct este că nu orice microcalculator digeră exponentul, în plus, calculele nu sunt foarte plăcute și necesită timp. De ce să suferi așa? Utilizare calculator terver (punctul 4)și obține valoare instantaneu!

În plus, există tabelul cu valorile funcției, care este disponibil în aproape orice carte despre teoria probabilității, în special într-un manual V.E. Gmurman. Descărcați, cine nu a descărcat încă - în general există o mulțime de lucruri utile ;-) Și asigurați-vă că învățați cum să utilizați tabelul (chiar acum!)- tehnologia informatică adecvată poate să nu fie întotdeauna la îndemână!

În etapa finală, aplicăm formula :
este probabilitatea ca în 400 de aruncări ale unei monede capete să apară exact de 200 de ori.

După cum puteți vedea, rezultatul obținut este foarte aproape de valoarea exactă calculată din formula Bernoulli.

b) Aflați probabilitatea ca capete să apară exact o dată într-o serie de 400 de încercări. Folosim teorema locală Laplace. Unu, doi, trei - și gata:

este probabilitatea dorită.

Răspuns:

Următorul exemplu, după cum mulți au ghicit, este dedicat nașterii - și acesta este pentru a vă decide singur :)

Sarcina 2

Probabilitatea de a avea un băiat este de 0,52. Aflați probabilitatea ca între 100 de nou-născuți să fie exact: a) 40 de băieți, b) 50 de băieți, c) 30 de fete.

Rotunjiți rezultatele la 4 zecimale.

... Expresia „teste independente” sună interesant aici =) Apropo, real probabilitate statistică rata natalității unui băiat în multe regiuni ale lumii variază de la 0,51 la 0,52.

Un exemplu de sarcină la sfârșitul lecției.

Toată lumea a observat că numerele se dovedesc a fi destul de mici, iar acest lucru nu ar trebui să inducă în eroare - la urma urmei, vorbim despre probabilitățile individuale, local valori (de unde și numele teoremei). Și există multe astfel de valori și, la figurat vorbind, probabilitatea „ar trebui să fie suficientă pentru toată lumea”. Într-adevăr, multe evenimente practic imposibil.

Permiteți-mi să explic cele de mai sus folosind un exemplu cu monede: într-o serie de patru sute de încercări, capetele pot cădea teoretic de la 0 la 400 de ori, iar aceste evenimente se formează grup complet:

Cu toate acestea, cele mai multe dintre aceste valori reprezintă o sumă slabă, așa că, de exemplu, probabilitatea ca capetele să cadă de 250 de ori este deja una din zece milioneme:. Despre valori precum tact cu tact =)

Pe de altă parte, rezultatele modeste nu trebuie subestimate: dacă este vorba doar despre , atunci probabilitatea ca capetele să cadă, să zicem, De 220 până la 250 de ori, va fi foarte vizibil.

Acum să ne gândim: cum să calculăm această probabilitate? Nu conta după teorema de adunare pentru probabilitățile evenimentelor incompatibile Cantitate:

Mult mai usor aceste valori uni. Și unirea a ceva, după cum știți, se numește integrare:

Teorema integrală a Laplace

Dacă probabilitatea de apariție a unui eveniment aleatoriu în fiecare încercare este constantă, atunci probabilitatea faptul că în probe va veni evenimentul nici mai puțin și nici de mai multe ori (de la ori inclusiv), este aproximativ egal cu:

În acest caz, numărul de încercări, desigur, trebuie să fie suficient de mare și probabilitatea să nu fie prea mică/mare (aproximativ), altfel aproximarea va fi neimportantă sau proastă.

Funcția este numită Funcția Laplace, iar valorile sale sunt din nou rezumate într-un tabel standard ( găsiți și învățați cum să lucrați cu el!!). Microcalculatorul nu va ajuta aici, deoarece integrala este neretractabilă. Dar în Excel există o funcționalitate corespunzătoare - utilizarea punctul 5 layout-ul de proiectare.

În practică, cele mai comune valori sunt:
- Notează-l în caiet.
Pornind de la , putem presupune că , sau, dacă este scris mai strict:

În plus, funcția Laplace ciudat: , iar această proprietate este exploatată activ în sarcinile care ne-au așteptat deja:

Sarcina 3

Probabilitatea ca trăgătorul să lovească ținta este de 0,7. Găsiți probabilitatea ca, cu 100 de lovituri, ținta să fie lovită de la 65 la 80 de ori.

Am luat exemplul cel mai realist, altfel am găsit aici câteva sarcini în care trăgătorul face mii de lovituri =)

Soluţie: în această problemă despre care vorbim teste independente repetate, iar numărul lor este destul de mare. Conform condiției, este necesar să se găsească probabilitatea ca ținta să fie lovită de cel puțin 65, dar nu mai mult de 80 de ori, ceea ce înseamnă că trebuie să utilizați teorema integrală Laplace: , unde

Pentru comoditate, rescriem datele originale într-o coloană:
- lovituri totale;
- numărul minim de accesări;
- numărul maxim de accesări;
- probabilitatea de a lovi ținta la fiecare lovitură;
- probabilitatea unei rateuri la fiecare lovitură.

Prin urmare, teorema lui Laplace va oferi o bună aproximare.

Să calculăm valorile argumentelor:

Vă atrag atenția asupra faptului că lucrarea nu trebuie extrasă complet de sub rădăcină (deoarece autorilor de probleme le place să „ajusteze” numerele)- fără umbră de îndoială, extragem rădăcina și rotunjim rezultatul; Obisnuiam sa las 4 zecimale. Dar valorile obținute sunt de obicei rotunjite la 2 zecimale - din această tradiție provine tabelele de valori ale funcției, unde argumentele sunt prezentate sub această formă.

Utilizați tabelul de mai sus sau layout design terver (punctul 5).
Ca comentariu scris, vă sfătuiesc să puneți următoarea frază: găsim valorile funcției conform tabelului corespunzător:

- probabilitatea ca cu 100 de lovituri ținta să fie lovită de la 65 la 80 de ori.

Asigurați-vă că utilizați ciudatenia funcției! Pentru orice eventualitate, o sa scriu in detaliu:

Adevărul este că tabelul cu valorile funcției conține doar „x” pozitiv și lucrăm (cel puțin conform legendei) cu o masa!

Răspuns:

Rezultatul este cel mai adesea rotunjit la 4 zecimale. (din nou conform formatului tabelului).

Pentru o soluție de sine stătătoare:

Sarcina 4

În clădire sunt 2500 de lămpi, probabilitatea ca fiecare dintre ele să fie aprinsă seara este de 0,5. Găsiți probabilitatea ca cel puțin 1250 și cel mult 1275 de lămpi să fie aprinse seara.

O mostră aproximativă de finisare la sfârșitul lecției.

Trebuie remarcat faptul că sarcinile luate în considerare se găsesc foarte des într-o formă „impersonală”, de exemplu:

Se efectuează un experiment în care poate apărea un eveniment aleatoriu cu o probabilitate de 0,5. Experimentul se repetă în condiții neschimbate de 2500 de ori. Determinați probabilitatea ca în 2500 de experimente evenimentul să se producă de la 1250 la 1275 de ori

Și cuvinte similare prin acoperiș. Datorită naturii șablonului sarcinilor, ei încearcă adesea să mascheze starea - aceasta este „singura șansă” de a diversifica și complica cumva soluția:

Sarcina 5

La institut învață 1000 de studenți. Sala de mese are 105 locuri. Fiecare elev merge la cantină în timpul pauzei mari cu o probabilitate de 0,1. Care este probabilitatea ca într-o zi obișnuită de școală:

a) sala de mese va fi umplută în cel mult două treimi;
b) nu există locuri suficiente pentru toată lumea.

Vă atrag atenția asupra clauzei esențiale „într-o zi de școală REGULARE” - asigură imuabilitatea relativă a situației. După vacanță, la institut pot veni semnificativ mai puțini studenți, iar o delegație flămândă va coborî în „Ziua Porților Deschise” =) Adică, într-o zi „neobișnuită”, probabilitățile vor diferi semnificativ.

Soluţie: folosim teorema integrală a lui Laplace, unde

În această sarcină:
– numărul total de studenți în institut;
- probabilitatea ca elevul să meargă la cantină la o pauză mare;
este probabilitatea evenimentului opus.

a) Calculați câte locuri reprezintă două treimi din total: locuri

Să aflăm probabilitatea ca într-o zi obișnuită de școală cantina să fie umplută cu cel mult două treimi. Ce înseamnă? Asta înseamnă că la marea pauză vor veni de la 0 la 70 de persoane. Faptul că nu va veni nimeni sau vor veni doar câțiva studenți - sunt evenimente practic imposibil, totuși, pentru a aplica teorema integrală Laplace, aceste probabilități ar trebui totuși luate în considerare. În acest fel:

Să calculăm argumentele corespunzătoare:

Ca urmare:

- probabilitatea ca într-o zi obișnuită de școală cantina să fie umplută cu cel mult două treimi.

Aducere aminte : când funcţia Laplace este considerată egală cu .

Zdrobiți, totuși =)

b) Eveniment „Nu sunt suficiente locuri pentru toată lumea” constă în faptul că de la 106 la 1000 de persoane vor veni în sala de mese într-o pauză mare (cel mai important, sigilați bine =)). Este clar că participarea mare este incredibilă, dar totuși: .

Numărarea argumentelor:

Astfel, probabilitatea ca nu vor fi suficiente locuri pentru toată lumea:

Răspuns:

Acum să ne concentrăm pe unul nuanță importantă metoda: cand efectuam calcule pe o secțiune separată, atunci totul este „fără nor” - decideți în funcție de șablonul considerat. Totuși, dacă se ia în considerare grup complet de evenimente ar trebui să arate o anumită precizie. Permiteți-mi să explic acest punct folosind exemplul problemei analizate. În paragraful „fi”, am găsit probabilitatea că nu vor fi suficiente locuri pentru toată lumea. În plus, conform aceleiași scheme, calculăm:
- probabilitatea ca să fie suficiente locuri.

Pentru că aceste evenimente opus, atunci suma probabilităților trebuie să fie egală cu unu:

Ce s-a întâmplat? – totul pare să fie logic aici. Ideea este că funcția Laplace este continuu, dar nu am ținut cont interval de la 105 la 106. Aici a dispărut piesa 0,0338. De aceea prin aceeași formulă standard ar trebui calculat:

Ei bine, sau chiar mai ușor:

Se pune întrebarea: ce se întâmplă dacă am găsi ÎNTÂI? Apoi va exista o altă versiune a soluției:

Dar cum poate fi asta?! – în două moduri se obțin răspunsuri diferite! Este simplu: teorema integrală a lui Laplace este o metodă aproximativ calcule și, prin urmare, ambele căi sunt acceptabile.

Pentru calcule mai precise, utilizați formula Bernoulliși, de exemplu, funcția excel BINOMDIST. Ca urmare aplicarea acestuia primim:

Și îmi exprim recunoștința față de unul dintre vizitatorii site-ului care a atras atenția asupra acestei subtilități - a ieșit din câmpul meu vizual, deoarece studiul unui grup complet de evenimente este rar întâlnit în practică. Cei care doresc se pot familiariza cu