Calculul celei de-a doua limite remarcabile. Calculator online Rezolvarea limitelor

Termenul „limită remarcabilă” este utilizat pe scară largă în manuale și materiale didactice pentru a desemna identități importante care ajută în mod semnificativ simplifica munca pentru a găsi limite.

Dar sa să poată aduce limita sa la remarcabil, trebuie să-l aruncați bine, deoarece acestea nu apar direct, ci adesea sub formă de consecințe, echipate cu termeni și factori suplimentari. Totuși, mai întâi teoria, apoi exemplele și vei reuși!

Prima limită minunată

Ți-a plăcut? Marcaj

Prima limită remarcabilă este scrisă după cum urmează (o incertitudine de forma $0/0$):

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin x)(x)=1. $$

Consecințele de la prima limită remarcabilă

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(x)(\sin x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (ax))(\sin (bx))=\frac(a)(b). $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\tan x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arcsin x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arctan x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos x)(x^2/2)=1. $$

Exemple de soluții: 1 limită minunată

Exemplul 1 Calculați limita $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x).$$

Soluţie. Primul pas este întotdeauna același - înlocuim valoarea limită $x=0$ în funcție și obținem:

$$\left[ \frac(\sin 0)(0) \right] = \left[\frac(0)(0)\right].$$

Am obținut o incertitudine de forma $\left[\frac(0)(0)\right]$, care ar trebui rezolvată. Dacă te uiți cu atenție, limita inițială este foarte asemănătoare cu prima remarcabilă, dar nu coincide cu ea. Sarcina noastră este să aducem asemănarea. Să o transformăm așa - uită-te la expresia de sub sinus, facem același lucru la numitor (relativ vorbind, am înmulțit și împărțit cu $3x$), apoi reducem și simplificăm:

$$ \lim\limits_(x\la 0)\frac(\sin 3x)(8x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(3x)\frac(3x)(8x )=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x)\frac(3)(8)=\frac(3)(8). $$

Mai sus, a fost obținută prima limită minunată: $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x) = \lim\limits_(y\to 0)\frac(\sin ( y))(y)=1, \text( a făcut o substituție condiționată ) y=3x. $$ Răspuns: $3/8$.

Exemplul 2 Calculați limita $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x).$$

Soluţie. Inlocuim valoarea limita $x=0$ in functie si obtinem:

$$\left[ \frac(1-\cos 0)(\tan 0\cdot \sin 0)\right] =\left[ \frac(1-1)( 0\cdot 0)\right] = \left [\frac(0)(0)\dreapta].$$

Avem o incertitudine de forma $\left[\frac(0)(0)\right]$. Să transformăm limita, folosind prima limită minunată în simplificare (de trei ori!):

$$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac( 2 \sin^2 (3x/2))(\sin 2x\cdot \sin 4x)\cdot \cos 2x = $$ $$ = 2\lim\limits_(x\to 0)\frac( \sin^2 (3x/2) )((3x/2)^2) \cdot \frac( 2x)(\sin 2x) \cdot \frac( 4x)( \sin 4x)\cdot \frac( (3x/2)^2)( 2x \ cdot 4x) \cdot \cos 2x = $$ $$ =2\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac( (9/4)x^2)( 8x^2 ) \cdot \cos 2x= 2 \cdot \frac( 9)( 32) \lim\limits_(x\to 0) \cos 2x=\frac(9)(16). $$

Răspuns: $9/16$.

Exemplul 3 Găsiți limita $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5).$$

Soluţie. Dar dacă există o expresie complexă sub funcția trigonometrică? Nu contează, și aici procedăm în același mod. Mai întâi, verificați tipul de incertitudine, înlocuiți $x=0$ în funcție și obțineți:

$$\left[ \frac(\sin (0+0))(0-0)\right] = \left[\frac(0)(0)\right].$$

Avem o incertitudine de forma $\left[\frac(0)(0)\right]$. Înmulțiți și împărțiți cu $2x^3+3x$:

$$ \lim\limits_(x\la 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5)=\lim\limits_(x\la 0)\frac(\sin (2x) ^3+3x))((2x^3+3x)) \cdot \frac(2x^3+3x)(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot \frac( 2x^3+3x)(5x-x^5)= \left[\frac(0)(0)\right] = $$

Am primit din nou incertitudinea, dar în acest caz este doar o fracțiune. Să reducem numărătorul și numitorul cu $x$:

$$ =\lim\limits_(x\la 0) \frac(2x^2+3)(5-x^4)= \left[\frac(0+3)(5-0)\right] =\ frac(3)(5). $$

Răspuns: $3/5$.

A doua limită minunată

A doua limită remarcabilă este scrisă după cum urmează (indeterminarea formei $1^\infty$):

$$ \lim\limits_(x\la \infty) \left(1+\frac(1)(x)\right)^(x)=e, \quad \text(sau) \quad \lim\limits_( x\la 0) \left(1+x\right)^(1/x)=e. $$

Consecințele celei de-a doua limite remarcabile

$$ \lim\limits_(x\to \infty) \left(1+\frac(a)(x)\right)^(bx)=e^(ab). $$ $$ \lim\limits_(x\la 0)\frac(\ln (1+x))(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(e^x -1)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(a^x-1)(x \ln a)=1, a>0, a \ne 1. $$ $$ \lim\limits_( x\la 0)\frac((1+x)^(a)-1)(ax)=1. $$

Exemple de soluții: 2 limită minunată

Exemplul 4 Găsiți limita $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3).$$

Soluţie. Să verificăm tipul de incertitudine, înlocuim $x=\infty$ în funcție și obținem:

$$\left[ \left(1-\frac(2)(\infty)\right)^(\infty) \right] = \left.$$

Avem o incertitudine a formei $\left$. Limita poate fi redusă la a doua remarcabilă. Să transformăm:

$$ \lim\limits_(x\la \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3) = \lim\limits_(x\la \infty)\left( 1+\frac(1)((-3x/2))\right)^(\frac(-3x/2)(-3x/2)(x+3))= $$ $$ = \lim\limits_ (x\la \infty)\left(\left(1+\frac(1)((-3x/2))\right)^((-3x/2))\right)^\frac(x+3 )(-3x/2)= $$

Expresia între paranteze este de fapt a doua limită minunată $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, doar $t=- 3x/2$, deci

$$ = \lim\limits_(x\la \infty)\left(e\right)^\frac(x+3)(-3x/2)= \lim\limits_(x\to \infty)e^\ frac(1+3/x)(-3/2)=e^(-2/3). $$

Răspuns:$e^(-2/3)$.

Exemplul 5 Găsiți limita $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x).$ $

Soluţie.Înlocuiți $x=\infty$ în funcție și obțineți incertitudinea formei $\left[ \frac(\infty)(\infty)\right]$. Și avem nevoie de $\left$. Deci, să începem prin a converti expresia între paranteze:

$$ \lim\limits_(x\la \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x) = \lim\limits_ (x\la \infty)\left(\frac(x^3+(x-7)-(x-7)+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x ) = \lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac((x^3+x-7)+(-x+7+2x^2+1))(x^3+x-7 )\right)^(x) = $$ $$ = \lim\limits_(x\la \infty)\left(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7) \right)^(x) = \lim\limits_(x\to \infty)\left(\left(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)\right) ^(\frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8))\right)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)) = $$

Expresia între paranteze este de fapt a doua limită minunată $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, doar $t=\ frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8) \la \infty$, deci

$$ = \lim\limits_(x\la \infty)\left(e\right)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7))= \lim\limits_ (x\to \infty)e^( \frac(2x^2-x+8)(x^2+1-7/x))= \lim\limits_(x\to \infty)e^( \frac (2-1/x+8/x^2)(1+1/x^2-7/x^3))=e^(2). $$

Există mai multe limite minunate, dar cele mai cunoscute sunt prima și a doua limită minunată. Lucrul remarcabil la aceste limite este că sunt utilizate pe scară largă și pot fi folosite pentru a găsi alte limite întâlnite în numeroase probleme. Aceasta este ceea ce vom face în partea practică a acestei lecții. Pentru a rezolva probleme prin reducerea la prima sau a doua limită remarcabilă, nu este necesar să dezvăluiți incertitudinile conținute în ele, deoarece valorile acestor limite au fost deduse de multă vreme de marii matematicieni.

Prima limită remarcabilă numită limita raportului dintre sinusul unui arc infinit de mic și același arc, exprimat în măsura în radiani:

Să trecem la rezolvarea problemelor la prima limită remarcabilă. Notă: dacă o funcție trigonometrică se află sub semnul limită, acesta este aproape un semn sigur că această expresie poate fi redusă la prima limită remarcabilă.

Exemplul 1 Găsiți limita.

Soluţie. Înlocuire în schimb X zero duce la incertitudine:

.

Numitorul este un sinus, prin urmare, expresia poate fi redusă la prima limită remarcabilă. Să începem transformarea:

.

În numitor - sinusul a trei x, iar în numărător există doar un x, ceea ce înseamnă că trebuie să obțineți trei x la numărător. Pentru ce? A prezenta 3 X = Ași obțineți expresia.

Și ajungem la o variație a primei limite remarcabile:

pentru că nu contează ce literă (variabilă) este în această formulă în loc de X.

Înmulțim x cu trei și împărțim imediat:

.

În conformitate cu prima limită remarcabilă menționată, înlocuim expresia fracțională:

Acum putem rezolva în sfârșit această limită:

.

Exemplul 2 Găsiți limita.

Soluţie. Substituția directă duce din nou la incertitudinea „împărțire zero la zero”:

.

Pentru a obține prima limită remarcabilă, este necesar ca x sub semnul sinus la numărător și doar x la numitor să fie cu același coeficient. Fie ca acest coeficient să fie egal cu 2. Pentru a face acest lucru, imaginați-vă coeficientul curent la x ca mai jos, efectuând acțiuni cu fracții, obținem:

.

Exemplul 3 Găsiți limita.

Soluţie. Când înlocuim, obținem din nou incertitudinea „zero împărțit la zero”:

.

Probabil că deja înțelegeți că din expresia originală puteți obține prima limită minunată înmulțită cu prima limită minunată. Pentru a face acest lucru, descompunem pătratele lui x la numărător și sinusul la numitor în aceiași factori, iar pentru a obține aceiași coeficienți pentru x și sinus, împărțim x din numărător la 3 și înmulțim imediat cu 3. Obținem:

.

Exemplul 4 Găsiți limita.

Soluţie. Din nou obținem incertitudinea „zero împărțit la zero”:

.

Putem obține raportul dintre primele două limite remarcabile. Împărțim atât numărătorul cât și numitorul cu x. Apoi, pentru ca coeficienții la sinusuri și la x să coincidă, înmulțim x-ul superior cu 2 și imediat împărțim cu 2 și înmulțim x-ul inferior cu 3 și imediat împărțim cu 3. Obținem:

Exemplul 5 Găsiți limita.

Soluţie. Și din nou, incertitudinea „zero împărțit la zero”:

Ne amintim din trigonometrie că tangenta este raportul dintre sinus și cosinus, iar cosinusul lui zero este egal cu unu. Facem transformări și obținem:

.

Exemplul 6 Găsiți limita.

Soluţie. Funcția trigonometrică sub semnul limită sugerează din nou ideea aplicării primei limite remarcabile. O reprezentăm ca raportul dintre sinus și cosinus.

Din articolul de mai sus, puteți afla care este limita și cu ce se mănâncă - acest lucru este FOARTE important. De ce? S-ar putea să nu înțelegi ce sunt determinanții și să-i rezolvi cu succes, s-ar putea să nu înțelegi deloc ce este o derivată și să-i găsești pe „cinci”. Dar dacă nu înțelegeți ce este o limită, atunci va fi dificil să rezolvați sarcinile practice. De asemenea, nu va fi de prisos să vă familiarizați cu mostrele de proiectare a deciziilor și cu recomandările mele pentru proiectare. Toate informațiile sunt prezentate într-un mod simplu și accesibil.

Și în scopul acestei lecții, avem nevoie de următoarele materiale metodologice: Limite remarcabileși Formule trigonometrice. Ele pot fi găsite pe pagină. Cel mai bine este să tipăriți manualele - este mult mai convenabil, în plus, acestea trebuie adesea accesate offline.

Ce este remarcabil la limitele minunate? Remarcabilitatea acestor limite constă în faptul că au fost dovedite de cele mai mari minți ale matematicienilor celebri, iar descendenții recunoscători nu trebuie să sufere de limite teribile cu o grămadă de funcții trigonometrice, logaritmi și grade. Adică, atunci când găsim limitele, vom folosi rezultate gata făcute care au fost dovedite teoretic.

Există mai multe limite remarcabile, dar în practică, studenții cu fracțiune de normă în 95% din cazuri au două limite remarcabile: Prima limită minunată, A doua limită minunată. Trebuie menționat că acestea sunt nume consacrate istoric, iar când, de exemplu, se vorbește despre „prima limită minunată”, înseamnă prin aceasta un lucru foarte specific, și nu o limită aleatorie luată din plafon.

Prima limită minunată

Luați în considerare următoarea limită: (în loc de litera nativă „el” voi folosi litera greacă „alfa”, aceasta este mai convenabilă în ceea ce privește prezentarea materialului).

Conform regulii noastre de găsire a limitelor (vezi articolul Limite. Exemple de soluții) încercăm să înlocuim zero în funcție: la numărător obținem zero (sinusul lui zero este zero), la numitor, evident, tot zero. Astfel, ne confruntăm cu o nedeterminare a formei, care, din fericire, nu trebuie dezvăluită. Pe parcursul analizei matematice se demonstrează că:

Acest fapt matematic se numește Prima limită minunată. Nu voi da o dovadă analitică a limitei, dar vom lua în considerare semnificația ei geometrică în lecția despre funcții infinitezimale.

Adesea, în sarcinile practice, funcțiile pot fi aranjate diferit, acest lucru nu schimbă nimic:

– aceeași primă limită minunată.

Dar nu poți rearanja numitorul și numitorul singur! Dacă o limită este dată în forma , atunci aceasta trebuie rezolvată în aceeași formă, fără a rearanja nimic.

În practică, nu doar o variabilă poate acționa ca parametru, ci și o funcție elementară, o funcție complexă. Este important doar ca tinde spre zero.

Exemple:
, , ,

Aici , , , , și totul bâzâie - se aplică prima limită minunată.

Și iată următoarea intrare - erezie:

De ce? Deoarece polinomul nu tinde spre zero, tinde spre cinci.

Apropo, întrebarea este pentru umplere, dar care este limita ? Răspunsul poate fi găsit la sfârșitul lecției.

În practică, nu totul este atât de lin, aproape niciodată unui student nu i se va oferi să rezolve o limită gratuită și să obțină un credit ușor. Hmmm... Scriu aceste rânduri și mi-a venit în minte un gând foarte important - la urma urmei, se pare că este mai bine să ne amintim definițiile și formulele matematice „libere” pe de rost, acest lucru poate fi de un ajutor neprețuit în test, când problema se va decide între „doi” și „trei”, iar profesorul decide să pună elevului o întrebare simplă sau să ofere să rezolve cel mai simplu exemplu („poate că el (a) mai știe ce?!”).

Să trecem la exemple practice:

Exemplul 1

Găsiți limita

Dacă observăm un sinus în limită, atunci acest lucru ar trebui să ne conducă imediat să ne gândim la posibilitatea aplicării primei limite remarcabile.

În primul rând, încercăm să înlocuim 0 în expresia de sub semnul limită (facem acest lucru mental sau pe o schiță):

Deci, avem o nedeterminare a formei , its asigurați-vă că indicațiîn luarea unei decizii. Expresia sub semnul limită arată ca prima limită minunată, dar aceasta nu este chiar asta, este sub sinus, dar în numitor.

În astfel de cazuri, trebuie să organizăm singuri prima limită minunată, folosind un dispozitiv artificial. Linia de raționament poate fi următoarea: „sub sinusul pe care îl avem, ceea ce înseamnă că trebuie să intrăm și în numitor”.
Și acest lucru se face foarte simplu:

Adică, numitorul este înmulțit artificial în acest caz cu 7 și împărțit la același șapte. Acum, înregistrarea a căpătat o formă familiară.
Când sarcina este întocmită manual, este recomandabil să marcați prima limită minunată cu un creion simplu:

Ce s-a întâmplat? De fapt, expresia încercuită s-a transformat într-o unitate și a dispărut în produs:

Acum rămâne doar să scăpăm de fracția cu trei etaje:

Cine a uitat de simplificarea fracțiilor cu mai multe etaje, vă rugăm să reîmprospătați materialul din cartea de referință Formule de matematică la școală fierbinte .

Gata. Răspuns final:

Dacă nu doriți să utilizați semne de creion, atunci soluția poate fi formatată astfel:

“

Folosim prima limită remarcabilă

“

Exemplul 2

Găsiți limita

Din nou vedem o fracție și un sinus în limită. Încercăm să înlocuim zero în numărător și numitor:

Într-adevăr, avem incertitudine și, prin urmare, trebuie să încercăm să organizăm prima limită remarcabilă. La lecție Limite. Exemple de soluții am luat în considerare regula conform căreia, atunci când avem incertitudine, trebuie să factorizăm numărătorul și numitorul în factori. Aici - același lucru, vom prezenta gradele ca produs (multiplicatori):

În mod similar cu exemplul anterior, conturăm cu un creion limitele minunate (aici sunt două) și indicăm că tind la una:

De fapt, răspunsul este gata:

În următoarele exemple, nu voi face artă în Paint, mă gândesc cum să elaborez corect o soluție într-un caiet - ați înțeles deja.

Exemplul 3

Găsiți limita

Inlocuim zero in expresia sub semnul limita:

S-a obținut o incertitudine care trebuie dezvăluită. Dacă există o tangentă în limită, atunci este aproape întotdeauna convertită în sinus și cosinus în conformitate cu binecunoscuta formulă trigonometrică (apropo, ei fac cam același lucru cu cotangentei, vezi materialul metodologic Formule trigonometrice fierbinți Pe pagina Formule matematice, tabele și materiale de referință).

În acest caz:

Cosinusul lui zero este egal cu unu și este ușor să scapi de el (nu uitați să marcați că tinde spre unu):

Astfel, dacă în limită cosinusul este un MULTIPLICATOR, atunci, în linii mari, trebuie transformat într-o unitate, care dispare în produs.

Aici totul a ieșit mai simplu, fără înmulțiri și împărțiri. Prima limită remarcabilă se transformă, de asemenea, în unitate și dispare în produs:

Ca urmare, se obține infinitul, se întâmplă.

Exemplul 4

Găsiți limita

Încercăm să înlocuim zero în numărător și numitor:

Incertitudinea obținută (cosinusul lui zero, după cum ne amintim, este egal cu unu)

Folosim formula trigonometrică. Ia-ti notite! Din anumite motive, limitele care utilizează această formulă sunt foarte frecvente.

Scoatem multiplicatorii constanți dincolo de pictograma limită:

Să organizăm prima limită remarcabilă:

Aici avem o singură limită minunată, care se transformă într-una și dispare în produs:

Să scăpăm de cele trei etaje:

Limita este de fapt rezolvată, indicăm că sinusul rămas tinde spre zero:

Exemplul 5

Găsiți limita

Acest exemplu este mai complicat, încercați să vă dați seama singur:

Unele limite pot fi reduse la prima limită remarcabilă prin schimbarea variabilei, puteți citi despre asta puțin mai târziu în articol Metode de rezolvare a limitelor.

A doua limită minunată

În teoria analizei matematice se demonstrează că:

Acest fapt se numește a doua limită remarcabilă.

Referinţă: este un număr irațional.

Nu doar o variabilă poate acționa ca un parametru, ci și o funcție complexă. Este important doar să se străduiască spre infinit.

Exemplul 6

Găsiți limita

Când expresia de sub semnul limită este în putere - acesta este primul semn că trebuie să încercați să aplicați a doua limită minunată.

Dar mai întâi, ca întotdeauna, încercăm să substituim un număr infinit de mare în expresie, după ce principiu se face acest lucru, a fost analizat în lecție Limite. Exemple de soluții.

Este ușor să vezi că atunci când baza gradului și exponentul - , adică există o incertitudine a formei:

Această incertitudine tocmai este dezvăluită cu ajutorul celei de-a doua limite remarcabile. Dar, așa cum se întâmplă adesea, a doua limită minunată nu stă pe un platou de argint și trebuie organizată artificial. Puteți raționa după cum urmează: în acest exemplu, parametrul înseamnă că trebuie să ne organizăm și în indicator. Pentru a face acest lucru, ridicăm baza la o putere și, pentru ca expresia să nu se schimbe, o ridicăm la o putere:

Când sarcina este întocmită de mână, notăm cu un creion:

Aproape totul este gata, gradul teribil s-a transformat într-o scrisoare frumoasă:

În același timp, pictograma limită în sine este mutată în indicator:

Exemplul 7

Găsiți limita

Atenţie! Acest tip de limită este foarte comun, vă rugăm să studiați acest exemplu cu mare atenție.

Încercăm să înlocuim un număr infinit de mare în expresia sub semnul limită:

Rezultatul este o incertitudine. Dar a doua limită remarcabilă se aplică incertitudinii formei. Ce să fac? Trebuie să convertiți baza gradului. Argumentăm astfel: la numitor avem , ceea ce înseamnă că trebuie să organizăm și la numărător.

Dovada:

Să demonstrăm mai întâi teorema pentru cazul șirului

Conform formulei binomiale a lui Newton:

Presupunând că primim

Din această egalitate (1) rezultă că pe măsură ce n crește, numărul de termeni pozitivi din partea dreaptă crește. În plus, pe măsură ce n crește, numărul scade, deci și cantitățile crește. Prin urmare, succesiunea crescând, în timp ce (2)* Să arătăm că este mărginit. Înlocuim fiecare paranteză din partea dreaptă a egalității cu una, partea dreaptă crește, obținem inegalitatea

Întărim inegalitatea rezultată, înlocuim 3,4,5, ..., stând în numitorii fracțiilor, cu numărul 2: Găsim suma între paranteze folosind formula pentru suma membrilor unei progresii geometrice: Prin urmare (3)*

Astfel, șirul este mărginit de sus, în timp ce inegalitățile (2) și (3) sunt valabile: Prin urmare, pe baza teoremei Weierstrass (un criteriu pentru convergența unei secvențe), secvența crește monoton și este mărginit, ceea ce înseamnă că are o limită, notată cu litera e. Acestea.

Știind că a doua limită remarcabilă este adevărată pentru valorile naturale ale lui x, demonstrăm a doua limită remarcabilă pentru x real, adică demonstrăm că . Luați în considerare două cazuri:

1. Fie fiecare valoare x să fie între două numere întregi pozitive: , unde este partea întreagă a lui x. => =>

Dacă , atunci Prin urmare, în funcție de limită Avem

Pe baza (pe limita unei funcţii intermediare) a existenţei limitelor

2. Fie . Să facem o înlocuire − x = t, atunci

Din aceste două cazuri rezultă că pentru x real.

Consecințe:

9 .) Comparația infinitezimale. Teorema privind înlocuirea infinitezimalelor cu echivalente în limită și teorema asupra părții principale a infinitezimale.

Fie funcțiile a( X) și b( X) – b.m. la X ® X 0 .

DEFINIȚII.

1) a( X) numit un ordin infinitezimal mai mare decât b (X) dacă

Scrieți: a( X) = o(b( X)) .

2) a( X) și b( X)numit infinitezimale de același ordin, dacă

unde Cнℝ și C¹ 0 .

Scrieți: a( X) = O(b( X)) .

3) a( X) și b( X) numit echivalent , dacă

Scrieți: a( X) ~ b( X).

4) a( X) se numește ordin infinitezimal k față de
foarte infinitezimal b( X), dacă infinitezimal A( X)și(b( X)) k au aceeași ordine, adică dacă

unde Cнℝ și C¹ 0 .

TEOREMA 6 (despre înlocuirea infinitezimalelor cu altele echivalente).

Lăsa A( X), b( X), a 1 ( X), b 1 ( X)– b.m. la x ® X 0 . În cazul în care un A( X) ~ a 1 ( X), b( X) ~ b 1 ( X),

apoi

Dovada: Fie a( X) ~ a 1 ( X), b( X) ~ b 1 ( X), apoi

TEOREMA 7 (despre partea principală a infinitului mic).

Lăsa A( X)și b( X)– b.m. la x ® X 0 , și b( X)– b.m. ordin mai mare decât A( X).

= , a deoarece b( X) – ordin mai mare decât a( X), atunci , i.e. din este clar că un( X) + b( X) ~ a( X)

10) Continuitatea funcției într-un punct (în limbajul limitelor epsilon-delta, geometric) Continuitate unilaterală. Continuitate pe un interval, pe un segment. Proprietățile funcțiilor continue.

1. Definiții de bază

Lăsa f(X) este definită într-o vecinătate a punctului X 0 .

DEFINIȚIA 1. funcția f(X) numit continuu la un punct X 0 dacă egalitatea este adevărată

Remarci.

1) Prin teorema 5 din §3, egalitatea (1) poate fi scrisă ca

Stare (2) - definirea continuității unei funcții într-un punct în limbajul limitelor unilaterale.

2) Egalitatea (1) poate fi scrisă și ca:

Ei spun: „dacă o funcție este continuă într-un punct X 0 , atunci semnul limitei și funcția pot fi schimbate.

DEFINIȚIA 2 (în limba e-d).

funcția f(X) numit continuu la un punct X 0 dacă„e>0 $d>0 astfel de, ce

dacă xОU( X 0, d) (adică | X – X 0 | < d),

apoi f(X)ОU( f(X 0), e) (adică | f(X) – f(X 0) | < e).

Lăsa X, X 0 Î D(f) (X 0 - fix, X- arbitrar)

Notă: D X= x-x 0 – increment de argument

D f(X 0) = f(X) – f(X 0) – creșterea funcției în punctul x 0

DEFINIȚIA 3 (geometrică).

funcția f(X) pe numit continuu la un punct X 0 dacă în acest moment un increment infinitezimal al argumentului corespunde unui increment infinitezimal al funcţiei, adică

Lasă funcția f(X) este definită pe intervalul [ X 0 ; X 0 + d) (pe intervalul ( X 0 - d; X 0 ]).

DEFINIȚIE. funcția f(X) numit continuu la un punct X 0 pe dreapta (stânga ), dacă egalitatea este adevărată

Este evident că f(X) este continuă la punct X 0 Û f(X) este continuă la punct X 0 dreapta si stanga.

DEFINIȚIE. funcția f(X) numit continuu pe interval e ( A; b) dacă este continuă în fiecare punct al acestui interval.

funcția f(X) se numeste continuu pe segment [A; b] dacă este continuă pe interval (A; b) și are continuitate unilaterală la punctele de limită(adică continuu la punctul A corect, punct b- pe stanga).

11) Puncte de break, clasificarea lor

DEFINIȚIE. Dacă funcția f(X) este definită într-o vecinătate a punctului x 0 , dar nu este continuă în acel moment, atunci f(X) se numeste discontinuu in punctul x 0 , dar ideea X 0 numit punct de rupere funcții f(X) .

Remarci.

1) f(X) poate fi definită într-o vecinătate incompletă a punctului X 0 .

Apoi luați în considerare continuitatea unilaterală corespunzătoare a funcției.

2) Din definiția lui z, punctul X 0 este punctul de întrerupere al funcției f(X) în două cazuri:

a) U( X 0, d)n D(f) , dar pentru f(X) egalitatea nu este satisfăcută

b) U * ( X 0, d)n D(f) .

Pentru funcțiile elementare, este posibil doar cazul b).

Lăsa X 0 - punctul de întrerupere a funcției f(X) .

DEFINIȚIE. punctul x 0 numit punctul limita eu drăguț dacă funcția f(X)are limite finite în acest punct în stânga și în dreapta.

Dacă, în plus, aceste limite sunt egale, atunci punctul x 0 numit punct de rupere , in caz contrar - punct de salt .

DEFINIȚIE. punctul x 0 numit punctul limita II drăguț dacă cel puțin una dintre limitele unilaterale ale funcției f(X)în acest punct este egal cu¥ sau nu există.

12) Proprietățile funcțiilor continue pe un segment (teoremele lui Weierstrass (fără dovezi) și teoremele lui Cauchy

Teorema Weierstrass

Fie funcția f(x) continuă pe segmentul , atunci

1)f(x) este limitat la

2) f (x) ia intervalul valorile sale cele mai mici și cele mai mari

Definiție: Valoarea funcției m=f se numește cea mai mică dacă m≤f(x) pentru orice x € D(f).

Valoarea funcției m=f se numește cea mai mare dacă m≥f(x) pentru orice x € D(f).

Funcția poate lua cea mai mică \ cea mai mare valoare în mai multe puncte ale segmentului.

f(x 3)=f(x 4)=max

teorema lui Cauchy.

Fie funcția f(x) continuă pe segment și x numărul cuprins între f(a) și f(b), atunci există cel puțin un punct x 0 € astfel încât f(x 0)= g

Formula pentru a doua limită remarcabilă este lim x → ∞ 1 + 1 x x = e . O altă formă de scriere arată astfel: lim x → 0 (1 + x) 1 x = e .

Când vorbim despre a doua limită remarcabilă, avem de-a face cu o incertitudine de forma 1 ∞ , i.e. unitate într-un grad infinit.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Luați în considerare problemele în care avem nevoie de capacitatea de a calcula a doua limită minunată.

Exemplul 1

Aflați limita limită x → ​​∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 .

Soluţie

Înlocuiți formula dorită și efectuați calculele.

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞

În răspunsul nostru, am primit o unitate la puterea infinitului. Pentru a determina metoda de rezolvare, folosim tabelul de incertitudini. Alegem a doua limită remarcabilă și facem o schimbare de variabile.

t \u003d - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 \u003d - t 2

Dacă x → ​​∞ atunci t → - ∞ .

Să vedem ce avem după înlocuire:

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = lim t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 = e - 1 2

Răspuns: lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = e - 1 2 .

Exemplul 2

Calculați limita limită x → ​​∞ x - 1 x + 1 x .

Soluţie

Înlocuiți infinitul și obțineți următoarele.

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = lim x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞

În răspuns, am primit din nou același lucru ca în problema anterioară, prin urmare, putem folosi din nou a doua limită minunată. În continuare, trebuie să selectăm partea întreagă de la baza funcției de putere:

x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1

După aceea, limita ia următoarea formă:

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x

Înlocuim variabilele. Să presupunem că t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1 ; dacă x → ​​∞ , atunci t → ∞ .

După aceea, notăm ce am obținut în limita inițială:

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t 1 + 1 t - 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 2 1 + 1 ∞ = e - 2 (1 + 0) - 1 = e - 2

Pentru a efectua această transformare, am folosit proprietățile de bază ale limitelor și puterilor.

Răspuns: lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = e - 2 .

Exemplul 3

Calculați limita limită x → ​​∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 .

Soluţie

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1∞

După aceea, trebuie să efectuăm o transformare a funcției pentru a aplica a doua limită minunată. Avem următoarele:

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = lim x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

Deoarece acum avem aceiași exponenți în numărătorul și numitorul fracției (egal cu șase), limita fracției la infinit va fi egală cu raportul acestor coeficienți la puteri mai mari.

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3

Înlocuind t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2, obținem a doua limită remarcabilă. Înseamnă ceea ce:

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 3 = e - 3

Răspuns: lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e - 3 .

concluzii

Incertitudinea 1 ∞ , i.e. unitate într-un grad infinit, este o incertitudine a legii puterii, prin urmare, poate fi dezvăluită folosind regulile pentru găsirea limitelor funcțiilor de putere exponențială.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter