Ecuația x2 y2. Rezolvarea ecuațiilor în două variabile

1. Sisteme de ecuații liniare cu un parametru

Sistemele de ecuații liniare cu un parametru sunt rezolvate prin aceleași metode de bază ca și sistemele obișnuite de ecuații: metoda substituției, metoda adunării ecuațiilor și metoda grafică. Cunoașterea interpretării grafice a sistemelor liniare facilitează răspunsul la întrebarea despre numărul de rădăcini și existența acestora.

Exemplul 1.

Găsiți toate valorile parametrului a pentru care sistemul de ecuații nu are soluții.

(x + (a 2 – 3)y = a,
(x + y = 2.

Soluţie.

Să ne uităm la mai multe moduri de a rezolva această sarcină.

1 cale. Folosim proprietatea: sistemul nu are soluții dacă raportul coeficienților din fața lui x este egal cu raportul coeficienților din fața lui y, dar nu este egal cu raportul termenilor liberi (a/a 1 = b /b 1 ≠ c/c 1). Atunci noi avem:

1/1 = (a 2 – 3)/1 ≠ a/2 sau sistem

(și 2 – 3 = 1,
(a ≠ 2.

Din prima ecuație a 2 = 4, deci, ținând cont de condiția ca a ≠ 2, obținem răspunsul.

Răspuns: a = -2.

Metoda 2. Rezolvăm prin metoda substituției.

(2 – y + (a 2 – 3)y = a,
(x = 2 – y,

((a 2 – 3)y – y = a – 2,
(x = 2 – y.

După ce scoatem factorul comun y din paranteze în prima ecuație, obținem:

((a 2 – 4)y = a – 2,
(x = 2 – y.

Sistemul nu are soluții dacă prima ecuație nu are soluții, adică

(și 2 – 4 = 0,
(a – 2 ≠ 0.

Evident, a = ±2, dar ținând cont de a doua condiție, răspunsul vine doar cu un răspuns în minus.

Răspuns: a = -2.

Exemplul 2.

Găsiți toate valorile parametrului a pentru care sistemul de ecuații are un număr infinit de soluții.

(8x + ay = 2,
(ax + 2y = 1.

Soluţie.

Conform proprietății, dacă raportul dintre coeficienții lui x și y este același și este egal cu raportul membrilor liberi ai sistemului, atunci acesta are un număr infinit de soluții (adică a/a 1 = b/ b 1 = c/c 1). Prin urmare 8/a = a/2 = 2/1. Rezolvând fiecare dintre ecuațiile rezultate, aflăm că a = 4 este răspunsul în acest exemplu.

Răspuns: a = 4.

2. Sisteme de ecuații raționale cu un parametru

Exemplul 3.

(3|x| + y = 2,
(|x| + 2y = a.

Soluţie.

Să înmulțim prima ecuație a sistemului cu 2:

(6|x| + 2y = 4,
(|x| + 2y = a.

Scăzând a doua ecuație din prima, obținem 5|x| = 4 – a. Această ecuație va avea o soluție unică pentru a = 4. În alte cazuri, această ecuație va avea două soluții (pentru a< 4) или ни одного (при а > 4).

Răspuns: a = 4.

Exemplul 4.

Găsiți toate valorile parametrului a pentru care sistemul de ecuații are o soluție unică.

(x + y = a,
(y – x 2 = 1.

Soluţie.

Vom rezolva acest sistem folosind metoda grafică. Astfel, graficul celei de-a doua ecuații a sistemului este o parabolă ridicată de-a lungul axei Oy în sus cu un segment de unitate. Prima ecuație specifică un set de drepte paralele cu dreapta y = -x (poza 1). Din figură se vede clar că sistemul are o soluție dacă dreapta y = -x + a este tangentă la parabolă într-un punct cu coordonate (-0,5, 1,25). Înlocuind aceste coordonate în ecuația de linie dreaptă în loc de x și y, găsim valoarea parametrului a:

1,25 = 0,5 + a;

Răspuns: a = 0,75.

Exemplul 5.

Folosind metoda substituției, aflați la ce valoare a parametrului a, sistemul are o soluție unică.

(ax – y = a + 1,
(ax + (a + 2)y = 2.

Soluţie.

Din prima ecuație exprimăm y și îl înlocuim în a doua:

(y = ax – a – 1,
(ax + (a + 2)(ax – a – 1) = 2.

Să reducem a doua ecuație la forma kx = b, care va avea o soluție unică pentru k ≠ 0. Avem:

ax + a 2 x – a 2 – a + 2ax – 2a – 2 = 2;

a 2 x + 3ax = 2 + a 2 + 3a + 2.

Reprezentăm trinomul pătrat a 2 + 3a + 2 ca produs de paranteze

(a + 2)(a + 1), iar în stânga scoatem x din paranteze:

(a 2 + 3a)x = 2 + (a + 2)(a + 1).

Evident, un 2 + 3a nu ar trebui să fie egal cu zero, prin urmare,

a 2 + 3a ≠ 0, a(a + 3) ≠ 0, ceea ce înseamnă a ≠ 0 și ≠ -3.

Răspuns: a ≠ 0; ≠ -3.

Exemplul 6.

Folosind metoda soluției grafice, determinați la ce valoare a parametrului sistemul are o soluție unică.

(x 2 + y 2 = 9,
(y – |x| = a.

Soluţie.

Pe baza condiției, construim un cerc cu un centru la origine și o rază de 3 segmente unitare; aceasta este ceea ce este specificat de prima ecuație a sistemului

x 2 + y 2 = 9. A doua ecuație a sistemului (y = |x| + a) este o linie întreruptă. Prin utilizarea figura 2 Luăm în considerare toate cazurile posibile ale locației sale în raport cu cerc. Este ușor de observat că a = 3.

Răspuns: a = 3.

Mai ai întrebări? Nu știi cum să rezolvi sisteme de ecuații?
Pentru a obține ajutor de la un tutor, înregistrați-vă.
Prima lecție este gratuită!

site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.

Instrucțiuni

Metoda de substituțieExprimați o variabilă și înlocuiți-o într-o altă ecuație. Puteți exprima orice variabilă la discreția dvs. De exemplu, exprimați y din a doua ecuație:
x-y=2 => y=x-2Apoi înlocuiți totul în prima ecuație:
2x+(x-2)=10 Mută ​​totul fără „x” în partea dreaptă și calculează:
2x+x=10+2
3x=12 În continuare, pentru a obține x, împărțiți ambele părți ale ecuației la 3:
x = 4. Deci, ați găsit „x. Găsiți „y. Pentru a face acest lucru, înlocuiți „x” în ecuația din care ați exprimat „y”:
y=x-2=4-2=2
y=2.

Faceți o verificare. Pentru a face acest lucru, înlocuiți valorile rezultate în ecuații:
2*4+2=10
4-2=2
Necunoscutele au fost găsite corect!

O modalitate de a adăuga sau scădea ecuații Scăpați imediat de orice variabilă. În cazul nostru, acest lucru este mai ușor de făcut cu „y.
Deoarece în ecuație „y” are semnul „+”, iar în al doilea „-”, atunci puteți efectua operația de adunare, adică. îndoiți partea stângă cu stânga și dreapta cu dreapta:
2x+y+(x-y)=10+2Convertire:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4Înlocuiți „x” în orice ecuație și găsiți „y”:
2*4+y=10
8+y=10
y=10-8
y=2 Folosind prima metodă, puteți verifica dacă rădăcinile sunt găsite corect.

Dacă nu există variabile clar definite, atunci este necesar să se transforme ușor ecuațiile.
În prima ecuație avem „2x”, iar în a doua avem pur și simplu „x”. Pentru a reduce x atunci când adăugați sau scădeți, înmulțiți a doua ecuație cu 2:
x-y=2
2x-2y=4Apoi scade a doua din prima ecuație:
2x+y-(2x-2y)=10-4 Rețineți că dacă există un minus în fața parantezei, atunci după deschidere, schimbați semnele cu cele opuse:
2x+y-2x+2y=6
3у=6
găsiți y=2x exprimând din orice ecuație, i.e.
x=4

Video pe tema

La rezolvarea ecuațiilor diferențiale, argumentul x (sau timpul t în problemele fizice) nu este întotdeauna disponibil în mod explicit. Cu toate acestea, acesta este un caz special simplificat de specificare a unei ecuații diferențiale, care adesea ajută la simplificarea căutării integralei sale.

Instrucțiuni

Luați în considerare o problemă de fizică care are ca rezultat o ecuație diferențială în care lipsește argumentul t. Aceasta este o problemă legată de oscilațiile unei mase m suspendate pe un fir de lungime r situat într-un plan vertical. Ecuația mișcării pendulului este necesară dacă a fost inițial nemișcat și înclinat din starea de echilibru cu un unghi α. Forțele trebuie neglijate (vezi Fig. 1a).

Soluţie. Un pendul matematic este un punct material suspendat pe un fir imponderabil și inextensibil în punctul O. Două forțe acționează asupra punctului: forța gravitațională G=mg și forța de întindere a firului N. Ambele forțe se află în plan vertical. . Prin urmare, pentru a rezolva problema, puteți aplica ecuația mișcării de rotație a unui punct în jurul unei axe orizontale care trece prin punctul O. Ecuația mișcării de rotație a unui corp are forma prezentată în Fig. 1b. În acest caz, I este momentul de inerție al punctului material; j este unghiul de rotație al firului împreună cu punctul, măsurat de pe axa verticală în sens invers acelor de ceasornic; M este momentul forțelor aplicate unui punct material.

Calculați aceste valori. I=mr^2, M=M(G)+M(N). Dar M(N)=0, întrucât linia de acţiune a forţei trece prin punctul O. M(G)=-mgrsinj. Semnul „-” înseamnă că momentul forței este îndreptat în direcția opusă mișcării. Înlocuiți momentul de inerție și momentul forței în ecuația de mișcare și obțineți ecuația prezentată în Fig. 1s. Prin reducerea masei, apare o relație (vezi Fig. 1d). Nu există niciun argument aici.

Rezolvarea ecuațiilor în numere întregi este una dintre cele mai vechi probleme matematice. Deja la începutul mileniului II î.Hr. e. Babilonienii știau să rezolve sisteme de astfel de ecuații cu două variabile. Această zonă a matematicii a atins cea mai mare înflorire în Grecia Antică. Sursa noastră principală este Aritmetica lui Diofantus, care conține diverse tipuri de ecuații. În ea, Diophantus (după numele său numele ecuațiilor este ecuații diofantine) anticipează o serie de metode de studiere a ecuațiilor de gradul 2 și 3, care s-au dezvoltat abia în secolul al XIX-lea.

Cele mai simple ecuații diofantine sunt ax + y = 1 (ecuația cu două variabile, gradul I) x2 + y2 = z2 (ecuația cu trei variabile, gradul II)

Ecuațiile algebrice au fost studiate pe deplin; soluția lor a fost una dintre cele mai importante probleme ale algebrei din secolele al XVI-lea și al XVII-lea.

Până la începutul secolului al XIX-lea, lucrările lui P. Fermat, L. Euler, K. Gauss au investigat o ecuație diofantină de forma: ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, unde a, b, c , d, e, f sunt numere; x, y variabile necunoscute.

Aceasta este o ecuație de gradul 2 cu două necunoscute.

K. Gauss a dezvoltat o teorie generală a formelor pătratice, care stă la baza rezolvării anumitor tipuri de ecuații cu două variabile (ecuații diofantine). Există un număr mare de ecuații diofantine specifice care pot fi rezolvate folosind metode elementare. /p>

Material teoretic.

În această parte a lucrării se vor descrie conceptele matematice de bază, se vor defini termenii, iar teorema de expansiune va fi formulată folosind metoda coeficienților nedeterminați, care au fost studiate și luate în considerare la rezolvarea ecuațiilor cu două variabile.

Definiția 1: Ecuația de forma ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, unde a, b, c, d, e, f sunt numere; x, y variabile necunoscute se numesc ecuație de gradul doi cu două variabile.

Într-un curs școlar de matematică se studiază ecuația pătratică ax2 + bx + c = 0, unde a, b, c ale numărului x este o variabilă, cu o variabilă. Există mai multe moduri de a rezolva această ecuație:

1. Găsirea rădăcinilor folosind un discriminant;

2. Aflarea rădăcinilor pentru coeficientul par în (conform D1=);

3. Găsirea rădăcinilor folosind teorema lui Vieta;

4. Găsirea rădăcinilor prin izolarea pătratului perfect al unui binom.

Rezolvarea unei ecuații înseamnă găsirea tuturor rădăcinilor acesteia sau demonstrarea faptului că acestea nu există.

Definiția 2: Rădăcina unei ecuații este un număr care, atunci când este substituit într-o ecuație, formează o egalitate adevărată.

Definiția 3: Soluția unei ecuații cu două variabile se numește pereche de numere (x, y) atunci când este substituită în ecuație, se transformă într-o egalitate adevărată.

Procesul de găsire a soluțiilor unei ecuații de foarte multe ori constă de obicei în înlocuirea ecuației cu o ecuație echivalentă, dar care este mai simplu de rezolvat. Astfel de ecuații se numesc echivalente.

Definiția 4: Se spune că două ecuații sunt echivalente dacă fiecare soluție a unei ecuații este o soluție a celeilalte ecuații și invers, iar ambele ecuații sunt considerate în același domeniu.

Pentru a rezolva ecuații cu două variabile, folosiți teorema despre descompunerea ecuației într-o sumă de pătrate complete (prin metoda coeficienților nedeterminați).

Pentru ecuația de ordinul doi ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 (1), are loc expansiunea a(x + py + q)2 + r(y + s)2 + h (2)

Să formulăm condițiile în care are loc expansiunea (2) pentru ecuația (1) a două variabile.

Teoremă: Dacă coeficienții a, b, c ai ecuației (1) îndeplinesc condițiile a0 și 4ab – c20, atunci expansiunea (2) se determină într-un mod unic.

Cu alte cuvinte, ecuația (1) cu două variabile poate fi redusă la forma (2) folosind metoda coeficienților nedeterminați dacă sunt îndeplinite condițiile teoremei.

Să ne uităm la un exemplu despre cum este implementată metoda coeficienților nedeterminați.

METODA Nr. 1. Rezolvați ecuația folosind metoda coeficienților nedeterminați

2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.

1. Să verificăm îndeplinirea condițiilor teoremei, a=2, b=1, c=2, ceea ce înseamnă a=2.4av – c2= 4∙2∙1- 22= 40.

2. Sunt îndeplinite condițiile teoremei, ele pot fi extinse conform formulei (2).

3. 2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 2(x + py + q)2 + r(y + s)2 +h, pe baza condițiilor teoremei, ambele părți ale identității sunt echivalente. Să simplificăm partea dreaptă a identității.

4. 2(x + py + q)2 + r(y +s)2 +h =

2(x2+ p2y2 + q2 + 2pxy + 2pqy + 2qx) + r(y2 + 2sy + s2) + h =

2x2+ 2p2y2 + 2q2 + 4pxy + 4pqy + 4qx + ry2 + 2rsy + rs2 + h =

X2(2) + y2(2p2 + r) + xy(4p) + x(4q) + y(4pq + 2rs) + (2q2 + rs2 + h).

5. Echivalăm coeficienții pentru variabile identice cu puterile lor.

x2 2 = 2 y21 = 2p2 + r) xy2 = 4p x2 = 4q y0 = 4pq + 2rs x01 = 2q2 + rs2 + h

6. Să obținem un sistem de ecuații, să-l rezolvăm și să găsim valorile coeficienților.

7. Înlocuiți coeficienții în (2), apoi ecuația va lua forma

2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 2(x + 0.5y + 0.5)2 + 0.5(y -1)2 +0

Astfel, ecuația inițială este echivalentă cu ecuația

2(x + 0,5y + 0,5)2 + 0,5(y -1)2 = 0 (3), această ecuație este echivalentă cu un sistem de două ecuații liniare.

Răspuns: (-1; 1).

Dacă acordați atenție tipului de expansiune (3), veți observa că este identică ca formă cu izolarea unui pătrat complet dintr-o ecuație pătratică cu o variabilă: ax2 + inx + c = a(x +)2 +.

Să aplicăm această tehnică atunci când rezolvăm o ecuație cu două variabile. Să rezolvăm, folosind selecția unui pătrat complet, o ecuație pătratică cu două variabile care a fost deja rezolvată folosind teorema.

METODA Nr. 2: Rezolvați ecuația 2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.

Rezolvare: 1. Să ne imaginăm 2x2 ca suma a doi termeni x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.

2. Să grupăm termenii în așa fel încât să îi putem plia folosind formula unui pătrat complet.

(x2 + y2 + 2xy) + (x2 + 2x +1) = 0.

3. Selectați pătrate complete din expresiile din paranteze.

(x + y)2 + (x + 1)2 = 0.

4. Această ecuație este echivalentă cu un sistem de ecuații liniare.

Răspuns: (-1;1).

Dacă comparați rezultatele, puteți observa că ecuația rezolvată prin metoda nr. 1 folosind teorema și metoda coeficienților nedeterminați și ecuația rezolvată prin metoda nr. 2 folosind extragerea unui pătrat complet au aceleași rădăcini.

Concluzie: O ecuație pătratică cu două variabile poate fi extinsă într-o sumă de pătrate în două moduri:

➢ Prima metodă este metoda coeficienților nedeterminați, care se bazează pe teorema și expansiunea (2).

➢ A doua modalitate este utilizarea transformărilor de identitate care vă permit să selectați pătrate complete secvenţial.

Desigur, la rezolvarea problemelor, a doua metodă este de preferat, deoarece nu necesită memorarea expansiunii (2) și condițiilor.

Această metodă poate fi folosită și pentru ecuații pătratice cu trei variabile. Izolarea unui pătrat perfect în astfel de ecuații necesită mai multă muncă. Voi face acest tip de transformare anul viitor.

Este interesant de observat că o funcție care are forma: f(x,y) = ax2 + vxy + cy2 + dx + ey + f se numește funcție pătratică a două variabile. Funcțiile cuadratice joacă un rol important în diferite ramuri ale matematicii:

În programarea matematică (programare pătratică)

În algebră liniară și geometrie (forme pătratice)

În teoria ecuațiilor diferențiale (reducerea unei ecuații liniare de ordinul doi la formă canonică).

Atunci când rezolvăm aceste diverse probleme, trebuie în esență să aplicați procedura de izolare a unui pătrat complet dintr-o ecuație pătratică (una, două sau mai multe variabile).

Liniile ale căror ecuații sunt descrise printr-o ecuație pătratică a două variabile se numesc curbe de ordinul doi.

Acesta este un cerc, elipsă, hiperbolă.

Atunci când se construiesc grafice ale acestor curbe, se folosește și metoda de izolare secvențială a unui pătrat complet.

Să vedem cum funcționează metoda de selectare secvențială a unui pătrat complet folosind exemple specifice.

Partea practică.

Rezolvați ecuații folosind metoda izolării secvenţiale a unui pătrat complet.

1. 2x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0; x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0;

(x +1)2 + (x + y)2 = 0;

Răspuns:(-1;1).

2. x2 + 5y2 + 2xy + 4y + 1 = 0; x2 + 4y2 + y2 + 2xy + 4y + 1 = 0;

(x + y)2 + (2y + 1)2 = 0;

Răspuns: (0,5; - 0,5).

3. 3x2 + 4y2 - 6xy - 2y + 1 = 0;

3x2 + 3y2 + y2 – 6xy – 2y +1 = 0;

3x2 +3y2 – 6xy + y2 –2y +1 = 0;

3(x2 - 2xy + y2) + y2 - 2y + 1 = 0;

3(x2 - 2xy + y2)+(y2 - 2y + 1)=0;

3(x-y)2 + (y-1)2 = 0;

Răspuns:(-1;1).

Rezolvarea ecuațiilor:

1. 2x2 + 3y2 – 4xy + 6y +9 =0

(reduceți la forma: 2(x-y)2 + (y +3)2 = 0)

Răspuns: (-3; -3)

2. – 3x2 – 2y2 – 6xy –2y + 1=0

(reduceți la forma: -3(x+y)2 + (y –1)2= 0)

Răspuns: (-1; 1)

3. x2 + 3y2+2xy + 28y +98 =0

(reduceți la forma: (x+y)2 +2(y+7)2 =0)

Răspuns: (7; -7)

Concluzie.

În această lucrare științifică au fost studiate ecuații cu două variabile de gradul II și au fost luate în considerare metode de rezolvare a acestora. Sarcina a fost finalizată, a fost formulată și descrisă o metodă mai scurtă de rezolvare, bazată pe izolarea unui pătrat complet și înlocuirea ecuației cu un sistem echivalent de ecuații, drept urmare procedura de găsire a rădăcinilor unei ecuații cu două variabile a fost fost simplificat.

Un punct important al lucrării este că tehnica luată în considerare este utilizată atunci când se rezolvă diverse probleme matematice legate de o funcție pătratică, se construiesc curbe de ordinul doi și se află cea mai mare (cea mai mică) valoare a expresiilor.

Astfel, tehnica descompunerii unei ecuații de ordinul doi cu două variabile într-o sumă de pătrate are cele mai numeroase aplicații în matematică.

Ecuații nedefinite în numere naturale.

Instituția de învățământ de stat „Liceul raional Rechitsa”

Pregătite de: .

Supraveghetor: .

Introducere

1. Rezolvarea ecuațiilor folosind metoda factorizării…………4

2. Rezolvarea ecuaţiilor cu două variabile (metoda discriminantă)……………………………………………………………………………….11

3. Metoda reziduală.............................................. ......................................13

4. Metoda „Coborâre fără sfârșit”................................................ ......... ..............15

5.Metoda de eșantionare…………………………………………………………...16

Concluzie................................................. ........................................18

Introducere

Eu, Slava, învăț la Liceul raional Rechița, elev în clasa a X-a.

Totul începe cu o idee! Mi s-a cerut să rezolv o ecuație cu trei necunoscute 29x+30y+31 z =366. Acum consider această ecuație ca o problemă - o glumă, dar prima dată mi-am zguduit creierele. Pentru mine, această ecuație a devenit oarecum incertă, cum să o rezolv, în ce fel.

Sub ecuații nedefinite trebuie să înțelegem că acestea sunt ecuații care conțin mai multe necunoscute. De obicei, oamenii care rezolvă aceste ecuații caută soluții în numere întregi.

Rezolvarea ecuațiilor nedeterminate este o activitate foarte incitantă și educativă care contribuie la dezvoltarea inteligenței, a observației, a atenției elevilor, precum și la dezvoltarea memoriei și orientării, a capacității de a gândi logic, de a analiza, de a compara și de a generaliza. Nu am găsit încă o metodă generală, dar acum vă voi spune despre câteva metode pentru rezolvarea unor astfel de ecuații în numere naturale.

Acest subiect nu este pe deplin prezentat în manualele actuale de matematică, iar problemele sunt oferite la olimpiade și la testarea centralizată. Acest lucru m-a interesat și m-a captivat atât de mult încât în ​​timp ce rezolveam diverse ecuații și probleme, am adunat o întreagă colecție de soluții proprii, pe care eu și profesorul meu le-am împărțit în metode și soluții. Deci, care este scopul meu de muncă?

Ale mele ţintă analiza solutii la ecuatii cu mai multe variabile din multimea numerelor naturale.

În primul rând, ne vom uita la problemele practice, apoi vom trece la rezolvarea ecuațiilor.

Care este lungimea laturilor unui dreptunghi dacă perimetrul acestuia este numeric egal cu aria sa?

P=2(x+y),

S = xy, x€ N și y€ N

P=S

2x+2y=xy, dimensiunea fontului:14.0pt;înălțimea liniei: 150%;familia fontului:" times new roman>+dimensiunea fontului:14.0pt;înălțimea liniei: 150%;familie fonturilor:" times new roman>=dimensiunea fontului: 14.0pt; înălțimea liniei: 150%; familia fontului:" times new roman poziție: relativă>font-size: 14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman> +dimensiunea fontului:14.0pt;înălțimea liniei: 150%;familia fontului:" times new roman> =font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman>Răspuns: (4:4); (3:6); (6:3).

Găsiți modalități de a plăti 47 de ruble dacă puteți folosi doar bancnote de trei și cinci ruble.

Soluţie

5x+3y=47

x=1, y=14

x=1 – 3K, y= 14+5K, K€ Z

Valorile naturale ale lui x și y corespund cu K = 0, -1, -2;

(1:14) (4:9) (7:4)

Sarcina este o glumă

Demonstrați că există o soluție pentru ecuația 29x+30y+31 z=336 în numere naturale.

Dovada

Un an bisect are 366 de zile și o lună - 29 de zile, patru luni - 30 de zile,

7 luni – 31 de zile.

Soluția este trei (1:4:7). Aceasta înseamnă că există o soluție a ecuației în numere naturale.

1. Rezolvarea ecuațiilor folosind metoda factorizării

1) Rezolvați ecuația x2-y2=91 în numere naturale

Soluţie

(x-y)(x+y)=91

8 soluții de sisteme

dimensiunea fontului: 14.0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>x-y=1

x+y=91

(46:45)

dimensiunea fontului: 14.0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>x-y=91

x+y=1

(46: -45)

x-y=13

x+y=7

(10: -3)

x-y =7

x+y=13

(10:3)

x-y= -1

x+y= -91

(-46: 45)

x-y = -91

x+y= -1

(-46: -45)

x-y = -13

x+y= -7

(-10:3)

X y dimensiunea fontului: 14.0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>= -7

x+y= -13

(-10: -3)

Răspuns: ( 46:45):(10:3).

2) Rezolvați ecuația x3+91 =y3 în numere naturale

Soluţie

(y-x)(y2+xy+x2)=91

91=1*91=91*1=13*7=7*13= (-1)*(-91)=(-7)*(-13)

8 soluții de sisteme

y-x=1

y2+xy+x2=91

(5:6)(-6: -5)

dimensiunea fontului: 14.0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>y-x= 91

y2+xy+x2= 1

y-x=13

y2+xy+x2=7

nu are soluții în numere întregi

y-x=7

y2+xy+x2=91

(-3: 4)(-4: 3)

Cele 4 sisteme rămase nu au soluții întregi. O soluție satisface condiția.

Răspuns: (5:6).

3) Rezolvați ecuația xy=x+y în numere naturale

Soluţie

xy-x-y+1=1

x(y-1)-(y-1)=1

(y-1)(x-1)=1

1= 1*1=(-1)*(-1)

Soluția 2 sisteme

dimensiunea fontului: 14.0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>у-1= -1

x-1= -1

(0:0)

dimensiunea fontului: 14.0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>у-1=1

x-1=1

(2:2)

Răspuns: (2:2).

4) Rezolvați ecuația 2x2+5xy-12y2=28 în numere naturale

Soluţie

2x2-3xy+8xy-12y2=28

(2x-3y)(x+4y)=28

x;y – numere naturale; (x+4y)€ N

(x+4y)≥5

dimensiunea fontului: 14.0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>2х-3у=1

x+4y=28

(8:5)

dimensiunea fontului: 14.0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>2х-3у =4

x+4y= 7

2x-3y=2

x+4y=14

fără soluții în numere naturale

Răspuns: (8:5).

5) Rezolvați ecuația 2xy=x2+2y în numere naturale

Soluţie

x2-2xy+2y=0

(x2-2xy+y2)-y2+2y-1+1=0

(x-y)2-(y-1)2= -1

(x-y-y+1)(x-y+y-1)= -1

(x-2y+1)(x-1)= -1

x-2y+1= -1

x-1= 1

(2:2)

x-2y+1=1

x-1= -1

fără soluții în numere naturale

Răspuns: (2:2).

6) Rezolvați ecuația Xlaz-3 X y-2 xz+ yz+6 X-3 y-2 z= -4 în numere naturale

Soluţie

xy(z -3)-2 x (z -3)+ y (z -3)-2 z +4=0

xy(z -3)-2 x (z -3)+ y (z -3)-2 z +6-2=0

xy(z -3)-2 x (z -3)+ y (z -3)-2(z -3)=2

(z-3)(xy-2x+y-2)=2

(z-3)(x(y-2)+(y-2))=2

(z-3)(x+1)(y-2)=2

6 soluții de sisteme

z -3= 1

x +1=1

y -2 = 2

(0 : 4 : 4 )

z-3= -1

x+1=-1

y-2= 2

(- 2: 4 : 2 )

EN-US" style="font-size: 14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman>z-3= 1

x+1=2

y-2 =1

(1 : 3 : 4 )

z-3=2

x+1=1

y-2=1

(0 :3: 5 )

z-3= -1

x +1 = 2

y -2 = -1

(1:1:2)

z -3=2

x +1= -1

y -2= -1

(-2:1:5)

Răspuns: (1:3:4).

Să luăm în considerare o ecuație mai complexă pentru mine.

7) Rezolvați ecuația x2-4xy-5y2=1996 în numere naturale

Soluţie

(x2-4xy+4y2)-9y2=1996

(x-2y)2-9y2=1996

(x-5y)(x+5y)=1996

1996=1*1996= -1*(-1996)=2*998= (-2)*(-998)=4*499= -4*(-499)

x€ N, y€ N; (x+y)€ N ; (x+y)>1

x-5y=1

x+y=1996

fara solutii

dimensiunea fontului: 14.0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>х-5у=499

x+y= 4

fara solutii

dimensiunea fontului: 14.0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>х-5у=4

x+y=499

fara solutii

x-5y=2

x+y=998

(832:166)

x-5y=988

x+y=2

fara solutii

Răspuns: x=832, y=166.

Să conchidem:la rezolvarea ecuațiilor folosind metoda factorizării, se folosesc formule de înmulțire abreviate, o metodă de grupare și o metodă de izolare a unui pătrat complet .

2. Rezolvarea ecuațiilor cu două variabile (metoda discriminantă)

1) Rezolvați ecuația 5x2+5y2+8xy+2y-2x+2=0 în numere naturale

Soluţie

5x2+(8y-2)x+5y2+2y+2=0

D= (8y – 2)2 – 4*5*(5y2+2y+2)= 4((4y – 1)2 –5*(5y2+2y+2))

x1,2= dimensiunea fontului:14.0pt;înălțimea liniei: 150%;familie fonturilor:" times new roman>=dimensiunea fontului:14.0pt;înălțimea liniei: 150%;familie fonturilor:" times new roman>

D=0, dimensiunea fontului:14.0pt;înălțimea liniei: 150%;familie fonturilor:" times new roman>=0

y=-1, x=1

Răspuns: nu exista solutii.

2) Rezolvați ecuația 3(x2+xy+y2)=x+8y în numere naturale

Soluţie

3(x2+xy+y2)=x+8y

3x2+3(y-1)x+3y2-8y=0

D=(3y-1)2-4*3(3y2-8y)=9y2-6y+1-36y2+96y=-27y2+90y+1

D≥0, -27у2+90у+1≥0

dimensiunea fontului:14.0pt;înălțimea liniei: 150%;familie fonturilor:" times new roman>≤у≤dimensiunea fontului:14.0pt;înălțimea liniei:150%;familia fontului:" times new roman>у€ N , y=1, 2, 3. Trecând prin aceste valori, avem (1:1).

Răspuns: (1:1).

3) Rezolvați ecuația x4-y4-20x2+28y2=107 în numere naturale

Soluţie

Introducem înlocuirea: x2=a, y2=a;

a2-a2-20a+28a=107

a2-20a+28a-a2=0

a1.2=-10± +96 dimensiunea fontului: 14.0pt; înălțimea liniei: 150%; familia fontului:" times new roman culoare: negru>a2-20a+28a-a2-96=11

a1.2=10± dimensiunea fontului:14.0pt;înălțimea liniei: 150%;familie fonturilor:" times new roman>= 10±dimensiunea fontului:14.0pt;înălțimea liniei: 150%;familie fonturilor:" times new roman>= 10±(a-14)

a1= a-4, a2=24-a

Ecuația arată astfel:

(a-a+4)(a+a-24)=1

dimensiunea fontului: 14.0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>х2-у2+4=1

x2+y2 – 24=11

nu există soluții în numerele naturale;

x2 - y2+4=11

x2+y2 – 24=1

(4:3),(-4:-3),(-4:3), (4: -3)

dimensiunea fontului: 14.0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>x2 - y2+4= -1

x2+y2 – 24= -11

(2:3),(-2: -3),(-2:3),(2: -3)

x2 - y2+4= -11

x2+y2 – 24= -1 nu există soluții în numere naturale sau întregiRăspuns: (4:3),(2:3).

3. Metoda reziduală

La rezolvarea ecuațiilor folosind metoda reziduală, sunt adesea folosite următoarele probleme:

A) Ce resturi se pot obține la împărțirea la 3 și 4?

Este foarte simplu, când sunt împărțite la 3 sau 4, pătratele exacte pot da două resturi posibile: 0 sau 1.

B) Ce resturi pot da cuburi exacte când sunt împărțite la 7 și 9?

Când se împarte la 7, resturile pot fi: 0, 1, 6; și la împărțirea la 9: 0, 1, 8.

1) Rezolvați ecuația x2+y2=4 z-1 în numere naturale

Soluţie

x2+y2+1=4 z

Să luăm în considerare ce rămâne părțile stânga și dreaptă ale acestei ecuații pot produce atunci când sunt împărțite la 4. Când sunt împărțite la 4, pătratele perfecte pot da doar două resturi diferite 0 și 1. Atunci x2+y2+1 când este împărțit la 4 dă resturile 1, 2, 3 și 4 z împărțit fără rest.

Prin urmare, această ecuație nu are soluții.

2) Rezolvați ecuația 1!+2!+3!+ …+x!= y2 în numere naturale

Soluţie

A) X=1, 1!=1, apoi y2=1, y=±1 (1:1)

b) x=3, 1!+2!+3!= 1+2+6= 9, adică y2= 9, y=±3 (3:3)

c) x=2, 1!+2!= 1+2= 3, y2=3, adică y=±dimensiunea fontului:14.0pt;înălțimea liniei:150%; font-family:" times new roman>d)x=4, 1!+2!+3!+4!= 1+2+6+24=33, x=4 (nu), y2=33

e) x≥5, 5!+6!+…+x!, imaginați-vă 10 n, n € N

1!+2!+3! +5!+…+x!=33+10 n

Un număr care se termină cu 3 înseamnă că nu poate fi pătratul unui număr întreg. Prin urmare, x≥5 nu are soluții în numere naturale.

Răspuns:(3:3) și (1:1).

3) Demonstrați că nu există soluții în numerele naturale

x2-y3=7

z 2 – 2у2=1

Dovada

Să presupunem că sistemul este rezolvabil z 2 =2у2+1, z2 - numar impar

z =2 m +1

y 2 +2 m 2 +2 m , y2– număr par, y = 2 n, n € N

x2=8 n 3 +7, adică x2– un număr impar și X impar, x = 2 r +1, n € N

Să înlocuim X Și la în prima ecuație,

2(r2 + r-2n3)=3

Nu este posibil, deoarece partea stângă a ecuației este divizibilă cu doi, dar dreapta nu este, ceea ce înseamnă că presupunerea noastră nu este corectă, adică sistemul nu are soluții în numere naturale.

4. Metoda coborârii infinite

Rezolvăm după următoarea schemă:

Să presupunem că ecuația are o soluție, construim un fel de proces infinit, în timp ce, conform sensului însuși al problemei, acest proces ar trebui să se termine într-un pas egal.

1)Demonstrați că ecuația este 8x4+4y4+2 z4 = t4 nu are soluții în numere naturale

Dovada

Să presupunem că ecuația are o soluție în numere întregi, apoi rezultă că

t 4 este un număr par, atunci t este de asemenea par

t=2t1 , t1€ Z

8x4+4y4+2 z 4 = 16t14

4x4+2y4+ z 4 = 8t14

z 4 =8t14 - 4x4 - 2y4

z 4 este par, atunci z =2 z 1 , z 1 € Z

Să înlocuim

4x4+2y4+16 z 4 =8t14

y4= 4t14 – 2x4 - 8 z 1 4

x – par, adică x=2x, x1€ Z, atunci

16х14 – 2 t 1 4 – 4 z 1 4 +8 y 1 4 =0

8х14+4у14+2 z 1 4 = t 1 4

Asa de X y, z , t – numere pare, apoi x1, y1, z1, t1 - chiar. Atunci x, y, z, t și x1, y1, z1, t1 sunt divizibile cu 2, adică, dimensiunea fontului:14.0pt;înălțimea liniei:150%;familia fontului:" times new roman position:relative>font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>,dimensiunea fontului:14.0pt;înălțimea liniei: 150%;familia fontului:" times new roman>,dimensiunea fontului: 14.0pt; înălțimea liniei: 150%; familia fontului:" times new roman> șidimensiunea fontului:14.0pt;înălțimea liniei: 150%;familia fontului:" times new roman>,dimensiunea fontului:14.0pt;înălțimea liniei: 150%;familia fontului:" times new roman>,dimensiunea fontului:14.0pt;înălțimea liniei: 150%;familia fontului:" times new roman>,dimensiunea fontului:14.0pt;înălțimea liniei: 150%;familie fonturilor:" times new roman>.

Deci, rezultă că numărul satisface ecuația; sunt multipli ai lui 2 și indiferent de câte ori îi împărțim la 2, vom obține întotdeauna numere care sunt multipli ai lui 2. Singurul număr care îndeplinește această condiție este zero. Dar zero nu aparține mulțimii numerelor naturale.

5. Metoda eșantionului

1) Găsiți soluții pentru ecuație dimensiunea fontului:14.0pt;înălțimea liniei: 150%;familia fontului:" times new roman>+dimensiunea fontului:14.0pt;înălțimea liniei: 150%;familie fonturilor:" times new roman>=dimensiunea fontului:14.0pt;înălțimea liniei:150%;familia fonturilor:" times new roman>Soluție

dimensiunea fontului:14.0pt;înălțimea liniei: 150%;familie fonturilor:" times new roman>=dimensiunea fontului:14.0pt;înălțimea liniei:150%;familia fontului:" times new roman>p(x+y)=xy

xy=px+ru

xy-ryh-ru=0

xy-rx-ru+p2=p2

x(y-r)-r(y-r)=p2

(y-r)(x-r)=p2

р2= ±р= ±1= ±р2

6 soluții de sisteme

dimensiunea fontului: 14.0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>у-р= р

x-p=p

y=2p, x=2p

y-r= - r

x-p= - p

y=0, x=0

y-r=1

x-p=1

y=1+p, x=1+p

y-r= -1

x-p= -1

y=p-1, x=p-1

dimensiunea fontului: 14.0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>у-р= р2

x-p= p2

y=p2+p, x=p2+p

dimensiunea fontului: 14.0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>у-р= - р2

x-p= - p2

y=p-p2, x=p-p2

Răspuns:(2р:2р), ( 1+р:1+р), (р-1:р-1), (р2+р: р2+р), (р-р2: р-р2).

Concluzie

De obicei, soluțiile ecuațiilor nedeterminate sunt căutate în numere întregi. Ecuațiile în care se caută numai soluții întregi se numesc diafantine.

Am analizat soluții la ecuații cu mai mult de un număr necunoscut, pe mulțimea numerelor naturale. Astfel de ecuații sunt atât de diverse încât nu există aproape nicio modalitate sau algoritm de rezolvare a acestora. Rezolvarea unor astfel de ecuații necesită ingeniozitate și contribuie la dobândirea abilităților de lucru independent în matematică.

Am rezolvat exemplele folosind cele mai simple tehnici. Cel mai simplu mod de a rezolva astfel de ecuații este să exprimi o variabilă în termenii celorlalte și obții o expresie pe care o vom explora pentru a găsi aceste variabile pentru care este naturală (întreg).

În acest caz, conceptele și fapte legate de divizibilitate - cum ar fi numere prime și compuse, semne de divizibilitate, numere coprime etc.

Folosit mai ales des:

1) Dacă un produs este divizibil cu un număr prim p, atunci cel puțin unul dintre factorii săi este divizibil cu p.

2) Dacă produsul este divizibil cu un anumit număr Cu iar unul dintre factori este coprim cu numărul Cu, apoi al doilea factor este împărțit la Cu.