Modelarea sistemelor dinamice (metoda Lagrange și abordarea graficului Bond). Metoda multiplicatorului Lagrange

metoda multiplicatoruluiLagrange(în literatura engleză metoda „LaGrange” a multiplicatorilor nedeterminați”) ˗ aceasta este o metodă numerică pentru rezolvarea problemelor de optimizare care vă permite să determinați extremul „condițional” al funcției obiectiv (valoare minimă sau maximă)

în prezența unor restricții date asupra variabilelor sale sub formă de egalități (adică este definită gama de valori admisibile)

˗ acestea sunt valorile argumentului funcției (parametri controlați) pe zona reală la care valoarea funcției tinde spre un extrem. Utilizarea numelui de extremum „condițional” se datorează faptului că variabilelor se impune o condiție suplimentară, care limitează aria valorilor admisibile la căutarea extremului funcției.

Metoda multiplicatorului Lagrange permite ca problema găsirii unui extremum condiționat al funcției obiectiv pe setul de valori admisibile să fie convertită în problema optimizării funcției necondiționate.

Dacă funcţiile și sunt continue împreună cu derivatele lor parțiale, atunci există variabile λ care nu sunt simultan egale cu zero, în care este îndeplinită următoarea condiție:

Astfel, în conformitate cu metoda multiplicatorilor Lagrange de a căuta extremul funcției obiectiv pe mulțimea de valori admisibile, compun funcția Lagrange L(x, λ), care este optimizată în continuare:

unde λ ˗ este un vector de variabile suplimentare numite multiplicatori Lagrange nedefiniti.

Astfel, problema găsirii extremului condiționat al funcției f(x) a fost redusă la problema găsirii extremului necondiționat al funcției L(x, λ).

și

Condiția necesară pentru extremul funcției Lagrange este dată de un sistem de ecuații (sistemul este format din ecuații „n + m”):

Rezolvarea acestui sistem de ecuații face posibilă determinarea argumentelor funcției (X), la care corespunde valoarea funcției L(x, λ), precum și valoarea funcției obiectiv f(x). extremul.

Valoarea multiplicatorilor Lagrange (λ) este de interes practic dacă constrângerile sunt prezentate sub forma cu termen liber al ecuației (constant). În acest caz, putem considera în continuare (creșterea/scăderea) valoarea funcției obiectiv prin modificarea valorii constantei din sistemul de ecuații . Astfel, multiplicatorul Lagrange caracterizează rata de modificare a maximului funcției obiectiv cu o modificare a constantei limitatoare.

Există mai multe moduri de a determina natura extremului funcției rezultate:

Prima modalitate: Fie - coordonatele punctului extremum și - valoarea corespunzătoare a funcției obiectiv. Se ia un punct care este aproape de punctul și se calculează valoarea funcției obiectiv:

În cazul în care un , atunci există un maxim la punct.

În cazul în care un , atunci există un minim la punct.

A doua cale: O condiție suficientă din care se poate determina natura extremului este semnul celei de-a doua diferențe a funcției Lagrange. A doua diferență a funcției Lagrange este definită după cum urmează:

Dacă la un moment dat minim, dacă , atunci funcția obiectiv f(x) are condițională maxim.

A treia cale: De asemenea, natura extremului funcției poate fi găsită luând în considerare Hessianul funcției Lagrange. Matricea Hessian este o matrice pătrată simetrică a derivatelor a doua parțiale ale funcției în punctul în care elementele matricei sunt simetrice față de diagonala principală.

Pentru a determina tipul de extremum (maxim sau minim al unei funcții), puteți folosi regula Sylvester:

1. Pentru ca a doua diferenta a functiei Lagrange sa fie de semn pozitiv este necesar ca minorele unghiulare ale funcției să fie pozitive. În astfel de condiții, funcția are un minim în acest moment.

2. Pentru ca a doua diferenţială a funcţiei Lagrange să fie semn-negativă , este necesar ca minorele unghiulare ale funcției să se alterneze, iar primul element al matricei să fie negativ sv . În astfel de condiții, funcția are un maxim în acest moment.

Un minor unghiular este un minor situat în primele k rânduri și k coloane ale matricei originale.

Principala semnificație practică a metodei Lagrange este că vă permite să treceți de la optimizarea condiționată la cea necondiționată și, în consecință, extindeți arsenalul de metode disponibile pentru rezolvarea problemei. Cu toate acestea, problema rezolvării sistemului de ecuații, la care se reduce această metodă, în cazul general nu este mai simplă decât problema inițială a găsirii unui extremum. Astfel de metode sunt numite indirecte. Utilizarea lor se explică prin necesitatea de a obține o soluție la o problemă extremă într-o formă analitică (de exemplu, pentru anumite calcule teoretice). La rezolvarea unor probleme practice specifice, se folosesc de obicei metode directe, bazate pe procese iterative de calcul și comparare a valorilor funcțiilor optimizate.

Metoda de calcul

1 pas: Determinăm funcția Lagrange din funcția obiectiv dată și sistemul de constrângeri:

Redirecţiona

Pentru a adăuga comentariul dumneavoastră la articol, vă rugăm să vă înregistrați pe site.

Numele parametrului	Sens
Subiect articol:	Metoda Lagrange.
Rubrica (categoria tematica)	Matematica

A găsi un polinom înseamnă a determina valorile coeficientului său . Pentru a face acest lucru, folosind condiția de interpolare, puteți forma un sistem de ecuații algebrice liniare (SLAE).

Determinantul acestui SLAE este de obicei numit determinant Vandermonde. Determinantul Vandermonde nu este egal cu zero atunci când pentru , adică în cazul în care nu există noduri care se potrivesc în tabelul de căutare. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, se poate argumenta că SLAE are o soluție și această soluție este unică. Rezolvarea SLAE și determinarea coeficienților necunoscuți se poate construi un polinom de interpolare.

Un polinom care satisface condițiile de interpolare, atunci când este interpolat prin metoda Lagrange, este construit ca o combinație liniară de polinoame de gradul al n-lea:

Polinoamele se numesc de bază polinomiale. La polinomul Lagrange satisface condițiile de interpolare, este extrem de important ca următoarele condiții să fie îndeplinite pentru polinoamele sale de bază:

pentru .

Dacă aceste condiții sunt îndeplinite, atunci pentru oricare avem:

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, îndeplinirea condițiilor date pentru polinoamele de bază înseamnă că și condițiile de interpolare sunt îndeplinite.

Să determinăm forma polinoamelor de bază pe baza restricțiilor impuse acestora.

Prima condiție: la .

a 2-a condiție: .

În cele din urmă, pentru polinomul de bază, putem scrie:

Apoi, înlocuind expresia rezultată pentru polinoamele de bază în polinomul original, obținem forma finală a polinoamului Lagrange:

O formă particulară a polinomului Lagrange la este de obicei numită formulă de interpolare liniară:

.

Polinomul Lagrange luat la se numește de obicei formulă de interpolare pătratică:

Metoda Lagrange. - concept și tipuri. Clasificarea și caracteristicile categoriei „Metoda Lagrange”. 2017, 2018.

- Metoda Lagrange (metoda de variaţie a unei constante arbitrare).

Telecomenzi liniare. Definiție. control de tip, adică liniară în raport cu funcția necunoscută și derivata ei se numește liniară. Pentru o soluție de acest tip, ur-th luăm în considerare două metode: metoda Lagrange și metoda Bernoulli Să considerăm un DE omogen.

- Telecomanda liniara, omogena si eterogena. Conceptul de soluție generală. Metoda lui Lagrange de variație a produselor constantelor.

Definiție. DU se numește omogen dacă f-i poate fi reprezentat ca f-i în raport cu argumentele lor Exemplu. F-a se numește f-a măsură omogenă dacă Exemple: 1) - ordinul 1 de omogenitate. 2) - ordinul 2 de omogenitate. 3) - ordinul zero al omogenității (doar omogen... .

- Curs 8. Aplicarea derivatelor parțiale: sarcini pentru extremum. Metoda Lagrange.

Sarcinile extreme sunt de mare importanță în calculele economice. Acesta este calculul, de exemplu, al venitului maxim, al profitului, al costurilor minime, în funcție de mai multe variabile: resurse, active de producție etc. Teoria găsirii extremelor de funcții... .

- T.2.3. DE de ordine superioare. Ecuație în diferențiale totale. T.2.4. DE liniar de ordinul doi cu coeficienți constanți. Metoda Lagrange.

3. 2. 1. DE cu variabile separabile S.R. 3. În știința naturii, tehnologie și economie, de multe ori trebuie să se ocupe de formule empirice, i.e. formule întocmite pe baza prelucrării datelor statistice sau...

Metoda de determinare a extremului condiționat începe cu construirea unei funcții Lagrange auxiliare, care, în regiunea soluțiilor fezabile, atinge un maxim pentru aceleași valori ale variabilelor. X 1 , X 2 , ..., X n , care este funcția obiectiv z . Fie problema determinării extremului condiționat al funcției z=f(X) sub restricții φ i ( X 1 , X 2 , ..., X n ) = 0, i = 1, 2, ..., m , m < n

Compuneți o funcție

Care e numit Funcția Lagrange. X , - factori constanți ( Multiplicatori de Lagrange). Rețineți că multiplicatorilor Lagrange li se poate da un sens economic. În cazul în care un f(x 1 , X 2 , ..., X n ) - venituri conform planului X = (x 1 , X 2 , ..., X n ) , și funcția φ i (X 1 , X 2 , ..., X n ) sunt costurile i-a resursă corespunzătoare acestui plan, atunci X , - preţul (estimarea) resursei i-a, care caracterizează modificarea valorii extreme a funcţiei obiectiv în funcţie de modificarea mărimii resursei i-a (estimare marginală). L(X) - functie n+m variabile (X 1 , X 2 , ..., X n , λ 1 , λ 2 , ..., λ n ) . Determinarea punctelor staționare ale acestei funcții duce la rezolvarea sistemului de ecuații

Este ușor să vezi asta . Astfel, problema găsirii extremului condiționat al funcției z=f(X) se reduce la găsirea extremului local al funcției L(X) . Dacă se găsește punctul staționar, atunci problema existenței unui extremum în cele mai simple cazuri este rezolvată pe baza unor condiții suficiente pentru extremum - studiul semnului celei de-a doua diferențe. d 2 L(X) într-un punct staționar, cu condiția ca variabila să crească Δx i - legate prin relaţii

obţinute prin diferenţierea ecuaţiilor de constrângere.

Rezolvarea unui sistem de ecuații neliniare cu două necunoscute folosind instrumentul Solver

Setare Găsirea unei soluții vă permite să găsiți o soluție la un sistem de ecuații neliniare cu două necunoscute:

Unde
- funcţia neliniară a variabilelor X și y ,
este o constantă arbitrară.

Se știe că perechea X , y ) este o soluție a sistemului de ecuații (10) dacă și numai dacă este o soluție a următoarei ecuații în două necunoscute:

DIN pe de altă parte, soluția sistemului (10) este punctele de intersecție a două curbe: f ] (X, y) = C și f 2 (x, y) = C 2 la suprafata XOY.

De aici urmează o metodă de găsire a rădăcinilor sistemului. ecuații neliniare:

Determinați (cel puțin aproximativ) intervalul de existență a unei soluții la sistemul de ecuații (10) sau ecuația (11). Aici este necesar să se țină cont de tipul de ecuații incluse în sistem, domeniul de definire al fiecăreia dintre ecuațiile lor etc. Uneori se folosește selecția aproximării inițiale a soluției;

Tabelați soluția ecuației (11) pentru variabilele x și y pe intervalul selectat sau construiți grafice ale funcțiilor f 1 (X, y) = C, și f 2 (x, y) = C 2 (sistem(10)).

Localizați presupusele rădăcini ale sistemului de ecuații - găsiți mai multe valori minime din tabelul de tabelare a rădăcinilor ecuației (11) sau determinați punctele de intersecție ale curbelor incluse în sistem (10).

4. Găsiți rădăcinile sistemului de ecuații (10) folosind suplimentul Căutați o soluție.

Scurtă teorie

Metoda multiplicatorilor Lagrange este o metodă clasică de rezolvare a problemelor de programare matematică (în special, convexe). Din păcate, în aplicarea practică a metodei, pot apărea dificultăți de calcul semnificative, restrângând aria de utilizare a acesteia. Considerăm aici metoda Lagrange în principal pentru că este un aparat utilizat în mod activ pentru a justifica diverse metode numerice moderne care sunt utilizate pe scară largă în practică. În ceea ce privește funcția Lagrange și multiplicatorii Lagrange, acestea joacă un rol independent și extrem de important în teoria și aplicațiile nu numai ale programării matematice.

Luați în considerare o problemă clasică de optimizare:

Printre restricțiile acestei probleme nu există inegalități, nu există condiții pentru nenegativitatea variabilelor, discretitatea acestora și funcțiile și sunt continue și au derivate parțiale de cel puțin ordinul doi.

Abordarea clasică a rezolvării problemei oferă un sistem de ecuații (condiții necesare) care trebuie satisfăcut de punctul care asigură funcția cu un extremum local pe mulțimea de puncte care satisfac constrângerile (pentru o problemă de programare convexă, punctul găsit va fi în același timp punctul extremum global).

Să presupunem că funcția (1) are un extremum condiționat local în punctul și rangul matricei este egal cu . Atunci condițiile necesare pot fi scrise ca:

este funcția Lagrange; sunt multiplicatorii Lagrange.

Există și condiții suficiente în care soluția sistemului de ecuații (3) determină punctul extremum al funcției . Această întrebare este rezolvată pe baza studiului semnului celei de-a doua diferenţiale a funcţiei Lagrange. Cu toate acestea, condițiile suficiente sunt în principal de interes teoretic.

Puteți specifica următoarea procedură pentru rezolvarea problemei (1), (2) prin metoda multiplicatorului Lagrange:

1) alcătuiți funcția Lagrange (4);

2) găsiți derivatele parțiale ale funcției Lagrange în raport cu toate variabilele și egalați-le

zero. Astfel, se va obtine un sistem (3) format din ecuatii Rezolvati sistemul rezultat (daca se dovedeste a fi posibil!) si gasiti astfel toate punctele stationare ale functiei Lagrange;

3) din punctele staționare luate fără coordonate, selectați puncte la care funcția are extreme locale condiționate în prezența restricțiilor (2). Această alegere se face, de exemplu, folosind condiții suficiente pentru un extremum local. Adesea, studiul este simplificat dacă sunt utilizate condiții specifice ale problemei.

Exemplu de rezolvare a problemei

Sarcina

Firma produce două tipuri de mărfuri în cantităţi şi . Funcția de cost util este definită de relația . Prețurile acestor bunuri pe piață sunt egale și respectiv.

Determinați la ce volume de producție se realizează profitul maxim și cu ce este egal dacă costurile totale nu depășesc

Aveți dificultăți în înțelegerea procesului de soluționare? Site-ul dispune de un serviciu Rezolvarea problemelor prin metode de solutii optime la comanda

Rezolvarea problemei

Modelul economic și matematic al problemei

Funcția de profit:

Limite de cost:

Obținem următorul model economic și matematic:

În plus, conform sensului sarcinii

Metoda multiplicatorului Lagrange

Să compunem funcția Lagrange:

Găsim derivate parțiale de ordinul I:

Compunem și rezolvăm sistemul de ecuații:

De atunci

Profit maxim:

Răspuns

Astfel, este necesar să se producă unități. mărfuri de primul tip și unități. bunuri de al 2-lea tip. În acest caz, profitul va fi maxim și va fi de 270.
Este dat un exemplu de rezolvare a problemei programării convexe pătratice printr-o metodă grafică.

Rezolvarea unei probleme liniare printr-o metodă grafică
Este considerată o metodă grafică pentru rezolvarea unei probleme de programare liniară (LPP) cu două variabile. Pe exemplul problemei, se oferă o descriere detaliată a construcției unui desen și găsirea unei soluții.

Modelul de gestionare a stocurilor Wilson
Pe exemplul de rezolvare a problemei se ia în considerare modelul principal de gestionare a stocurilor (modelul Wilson). Se calculează indicatori ai modelului precum dimensiunea optimă a lotului de comandă, costurile anuale de depozitare, intervalul dintre livrări și punctul de plasare a comenzii.

Matricea raportului cost direct și matricea intrări-ieșiri
Pe exemplul rezolvării problemei, este luat în considerare modelul intersectorial Leontiev. Se arată calculul matricei coeficienților costurilor directe ale materialelor, matricei „input-output”, matricei coeficienților costurilor indirecte, vectorilor consumului final și producției brute.

Considerăm o ecuație diferențială liniară neomogenă de ordinul întâi:
(1) .
Există trei moduri de a rezolva această ecuație:

• metoda variației constante (Lagrange).

Luați în considerare soluția unei ecuații diferențiale liniare de ordinul întâi prin metoda Lagrange.

Metoda variației constante (Lagrange)

În metoda variației constante, rezolvăm ecuația în doi pași. În prima etapă, simplificăm ecuația inițială și rezolvăm ecuația omogenă. În a doua etapă, vom înlocui constanta de integrare obținută în prima etapă a soluției cu o funcție. Apoi căutăm soluția generală a ecuației inițiale.

Luați în considerare ecuația:
(1)

Pasul 1 Rezolvarea ecuației omogene

Căutăm o soluție pentru ecuația omogenă:

Aceasta este o ecuație separabilă

Separați variabile - înmulțiți cu dx, împărțiți cu y:

Integram:

Integrală peste y - tabelar:

Apoi

Potențiați:

Să înlocuim constanta e C cu C și să eliminăm semnul modulului, care se reduce la înmulțire cu constanta ±1, pe care îl includem în C:

Pasul 2 Înlocuiește constanta C cu funcția

Acum să înlocuim constanta C cu o funcție a lui x:
c → u (X)
Adică, vom căuta o soluție la ecuația originală (1) la fel de:
(2)
Găsim derivata.

Conform regulii de diferențiere a unei funcții complexe:
.
Conform regulii de diferențiere a produselor:

.
Inlocuim in ecuatia initiala (1) :
(1) ;

.
Se reduc doi termeni:
;
.
Integram:
.
Înlocuiește în (2) :
.
Ca rezultat, obținem soluția generală a ecuației diferențiale liniare de ordinul întâi:
.

Un exemplu de rezolvare a unei ecuații diferențiale liniare de ordinul întâi prin metoda Lagrange

rezolva ecuatia

Soluţie

Rezolvăm ecuația omogenă:

Separarea variabilelor:

Să înmulțim cu:

Integram:

Integrale de tabel:

Potențiați:

Să înlocuim constanta e C cu C și să eliminăm semnele modulului:

De aici:

Să înlocuim constanta C cu o funcție a lui x:
c → u (X)

Găsim derivata:
.
Inlocuim in ecuatia initiala:
;
;
Sau:
;
.
Integram:
;
Soluția ecuației:
.