Jak zrobić ułamek dziesiętny z ułamka niewłaściwego. Operacje ze wspólnymi ułamkami

Wszystkie ułamki są podzielone na dwa typy: zwykłe i dziesiętne. Frakcje tego typu nazywane są zwykłymi: 9 / 8,3 / 4,1 / 2,1 3/4. Rozróżniają górną liczbę (licznik) i dolną liczbę (mianownik). Gdy licznik jest mniejszy niż mianownik, ułamek nazywa się właściwym, w przeciwnym razie ułamek jest niewłaściwy. Ułamki takie jak 1 7/8 składają się z części całkowitej (1) i części ułamkowej (7/8) i są nazywane mieszanymi.

Tak więc ułamki to:

1. Zwykły
   1. Prawidłowy
   2. Zło
   3. mieszany
2. Dziesiętny

Jak zamienić ułamek zwykły na ułamek dziesiętny

Jak zamienić zwykły ułamek na ułamek dziesiętny, uczy podstawowego kursu matematyki w szkole. Wszystko jest niezwykle proste: musisz „ręcznie” podzielić licznik przez mianownik lub, jeśli jesteś całkowicie leniwy, na mikrokalkulatorze. Oto przykład: 2/5=0,4;3/4=0,75; 1/2=0,5. Nie jest o wiele trudniej przekonwertować na ułamek niewłaściwy dziesiętny. Przykład: 1 3/4= 7/4= 1,75. Ostatni wynik można uzyskać bez dzielenia, jeśli weźmiemy pod uwagę, że 3/4 = 0,75 i dodamy jeden: 1 + 0,75 = 1,75.

Jednak nie wszystkie zwykłe ułamki są tak proste. Na przykład spróbujmy przekonwertować 1/3 ze zwykłych ułamków zwykłych na ułamki dziesiętne. Nawet ci, którzy mieli trójkę w matematyce (według systemu pięciopunktowego) zauważą, że bez względu na to, jak długo trwa dzielenie, po zera i przecinku będzie nieskończona liczba trójek 1/3 = 0,3333 .... . Przyjęło się czytać w następujący sposób: zero liczb całkowitych, trzy w okresie. Zapisuje się ją odpowiednio w następujący sposób: 1/3=0,(3). Podobna sytuacja wystąpi, jeśli spróbujesz zamienić 5/6 na ułamek dziesiętny: 5/6=0,8(3). Takie ułamki nazywane są nieskończonymi okresami. Oto przykład dla ułamka 3/7: 3/7= 0,42857142857142857142857142857143…, czyli 3/7=0,(428571).

Tak więc w wyniku przekształcenia ułamka zwykłego na ułamek dziesiętny można uzyskać:

1. nieokresowy dziesiętny;
2. okresowy dziesiętny.

Należy zauważyć, że istnieją również nieskończone ułamki nieokresowe, które uzyskuje się wykonując takie czynności: wyciągnięcie pierwiastka z n-tego stopnia, logarytmowanie, wzmacnianie. Na przykład √3= 1,732050807568877…. Słynna liczba π≈ 3.1415926535897932384626433832795…. .

Pomnóżmy teraz 3 przez 0,(3): 3×0,(3)=0,(9)=1. Okazuje się, że 0,(9) to inna forma pisania jedności. Podobnie 9=9/9,16=16,0 itd.

Uzasadnione jest również pytanie przeciwne do podanego w tytule artykułu: „jak zamienić ułamek dziesiętny na zwykły”. Odpowiedź na to pytanie daje przykład: 0,5= 5/10=1/2. W ostatnim przykładzie zmniejszyliśmy licznik i mianownik ułamka 5/10 o 5. Oznacza to, że aby zamienić ułamek dziesiętny na zwykły, należy go przedstawić jako ułamek o mianowniku 10.

Interesujące będzie obejrzenie filmu o tym, jakie są ogólnie ułamki:

Aby dowiedzieć się, jak zamienić ułamek dziesiętny na zwykły ułamek, zobacz tutaj:

Zamiana ułamka na ułamek dziesiętny

Powiedzmy, że chcemy przekonwertować ułamek zwykły 11/4 na ułamek dziesiętny. Najłatwiej to zrobić tak:

						2∙2∙5∙5

Udało się, ponieważ w tym przypadku rozkład mianownika na czynniki pierwsze składa się tylko z dwójek. Uzupełniliśmy to rozszerzenie o dwie kolejne piątki, wykorzystaliśmy fakt, że 10 = 2∙5 i otrzymaliśmy ułamek dziesiętny. Taka procedura jest oczywiście możliwa wtedy i tylko wtedy, gdy rozkład mianownika na czynniki pierwsze zawiera tylko dwójki i piątki. Jeśli w rozwinięciu mianownika występuje jakakolwiek inna liczba pierwsza, to takiego ułamka nie można zamienić na ułamek dziesiętny. Niemniej jednak postaramy się to zrobić, ale tylko w inny sposób, z którym zapoznamy się na przykładzie tego samego ułamka 11/4. Podzielmy 11 przez 4 „róg”:

W wierszu odpowiedzi otrzymaliśmy część całkowitą (2), a także pozostałą część (3). Wcześniej zakończyliśmy dzielenie na tym, ale teraz wiemy, że przecinek i kilka zer można przypisać do dzielnej ( 11 ) po prawej stronie, co teraz mentalnie zrobimy. Po przecinku jest dziesiąte miejsce. Zero, które oznacza dywidendę w tej kategorii, przypiszemy wynikowej reszcie (3):

Teraz podział może trwać tak, jakby nic się nie stało. Musisz tylko pamiętać, aby w wierszu odpowiedzi umieścić przecinek po części całkowitej:

Teraz przypisujemy reszcie (2) zero, które oznacza dywidendę w setnych miejscach i doprowadzamy do końca podział:

W rezultacie otrzymujemy, jak poprzednio,

Teraz spróbujmy obliczyć dokładnie w ten sam sposób, ile wynosi ułamek 27/11:

Otrzymaliśmy cyfrę 2.45 w linii odpowiedzi, a cyfrę 5 w drugiej linii. Ale widzieliśmy już taką pozostałość. Dlatego możemy od razu powiedzieć, że jeśli będziemy kontynuować nasz podział przez „róg”, to następną cyfrą w wierszu odpowiedzi będzie 4, następnie padnie liczba 5, potem znowu 4 i jeszcze raz 5 i tak dalej, w nieskończoność :

27 / 11 = 2,454545454545...

Otrzymaliśmy tzw czasopismo ułamek dziesiętny z okresem 45. W przypadku takich ułamków stosuje się bardziej zwartą notację, w której okres jest wypisywany tylko raz, ale jednocześnie jest ujęty w nawiasy:

2,454545454545... = 2,(45).

Ogólnie rzecz biorąc, jeśli podzielimy jedną liczbę naturalną przez „róg”, zapisując odpowiedź jako ułamek dziesiętny, to możliwe są tylko dwa wyniki: (1) prędzej czy później otrzymamy zero w pozostałej linii, (2) lub będzie taka reszta, którą już poznaliśmy (zbiór możliwych reszt jest ograniczony, ponieważ wszystkie są oczywiście mniejsze od dzielnika). W pierwszym przypadku wynikiem dzielenia jest ostatni ułamek dziesiętny, w drugim – okresowy.

Konwersja okresowego ułamka dziesiętnego na wspólny ułamek

Dajmy dodatni okresowy ułamek dziesiętny z zerową częścią całkowitą, na przykład:

a = 0,2(45).

Jak mogę przekonwertować ten ułamek z powrotem na zwykły ułamek?

Pomnóżmy to przez 10 k, gdzie k to liczba cyfr między przecinkiem a nawiasem otwierającym, który wskazuje początek kropki. W tym przypadku k= 1 i 10 k = 10:

a∙ 10 k = 2,(45).

Pomnóż wynik przez 10 n, gdzie n- „długość” kropki, czyli liczba cyfr w nawiasach. W tym przypadku n= 2 i 10 n = 100:

a∙ 10 k ∙ 10 n = 245,(45).

Teraz obliczmy różnicę

a∙ 10 k ∙ 10 n − a∙ 10 k = 245,(45) − 2,(45).

Ponieważ części ułamkowe odjemnej i odjemnej są takie same, to część ułamkowa różnicy wynosi zero i otrzymujemy proste równanie na a:

a∙ 10 k ∙ (10 n − 1) = 245 − 2.

To równanie jest rozwiązywane za pomocą następujących przekształceń:

a∙ 10 ∙ (100 − 1) = 245 − 2.

a∙ 10 ∙ 99 = 245 − 2.

	245 − 2
	10 ∙ 99

Celowo nie doprowadzamy jeszcze obliczeń do końca, aby było wyraźnie widać, jak ten wynik można od razu wypisać, pomijając argumenty pośrednie. Zmniejszenie w liczniku ( 245 ) jest częścią ułamkową liczby

a = 0,2(45)

jeśli usuniesz nawiasy w jej wpisie. Odcinek w liczniku ( 2 ) jest nieokresową częścią liczby a, znajdujący się między przecinkiem a otwierającym nawiasem. Pierwszym czynnikiem w mianowniku (10) jest jeden, któremu przypisano tyle zer, ile jest cyfr w części nieokresowej ( k). Drugim czynnikiem w mianowniku ( 99 ) jest tyle dziewiątek, ile jest cyfr w okresie ( n).

Teraz nasze obliczenia mogą być zakończone:

Tutaj jest kropka w liczniku i tyle dziewiątek w mianowniku, ile jest cyfr w okresie. Po zmniejszeniu o 9 uzyskany ułamek jest równy

W ten sam sposób,

Ułamek to liczba składająca się z co najmniej jednego ułamka jednostki. W matematyce istnieją trzy typy ułamków zwykłych: wspólne, mieszane i dziesiętne.

• 
  Wspólne ułamki

Zwykły ułamek jest zapisywany jako stosunek, w którym licznik odzwierciedla, ile części liczby jest branych, a mianownik pokazuje, na ile części jest podzielona jednostka. Jeśli licznik jest mniejszy niż mianownik, to mamy właściwy ułamek, na przykład: ½, 3/5, 8/9.

Jeśli licznik jest równy lub większy od mianownika, mamy do czynienia z ułamkiem niewłaściwym. Na przykład: 5/5, 9/4, 5/2 Dzielenie licznika może dać skończoną liczbę. Na przykład 40/8 \u003d 5. Dlatego dowolną liczbę całkowitą można zapisać jako zwykły ułamek niewłaściwy lub serię takich ułamków. Rozważ wpisanie tej samej liczby jako serii różnych .

• frakcje mieszane

Ogólnie frakcję mieszaną można przedstawić wzorem:

Tak więc ułamek mieszany zapisywany jest jako liczba całkowita i zwykły ułamek właściwy, a taki zapis jest rozumiany jako suma całości i jej części ułamkowej.

• Ułamki dziesiętne

Ułamek dziesiętny to specjalny rodzaj ułamka, w którym mianownik można przedstawić jako potęgę 10. Istnieją nieskończone i skończone ułamki dziesiętne. Podczas pisania tego typu ułamka najpierw wskazana jest część całkowita, a następnie część ułamkowa jest ustalana przez separator (kropka lub przecinek).

Zapis części ułamkowej jest zawsze określany przez jej wymiar. Wpis dziesiętny wygląda tak:

Reguły tłumaczenia między różnymi typami ułamków

• Konwersja ułamka mieszanego na ułamek zwykły

Ułamek mieszany można przekształcić tylko w ułamek niewłaściwy. W przypadku tłumaczenia konieczne jest sprowadzenie całej części do tego samego mianownika, co część ułamkowa. Ogólnie będzie to wyglądać tak:
Rozważ użycie tej zasady na konkretnych przykładach:

• Zamiana zwykłego ułamka na ułamek mieszany

Niewłaściwy ułamek wspólny można przekształcić w ułamek mieszany przez proste dzielenie, w wyniku czego otrzymuje się część całkowitą i resztę (część ułamkową).

Na przykład przetłumaczmy ułamek 439/31 na ułamek mieszany:
​​

• Tłumaczenie zwykłego ułamka

W niektórych przypadkach konwersja ułamka zwykłego na ułamek dziesiętny jest dość prosta. W tym przypadku stosowana jest podstawowa właściwość ułamka, licznik i mianownik mnoży się przez tę samą liczbę, aby doprowadzić dzielnik do potęgi 10.

Na przykład:

W niektórych przypadkach może być konieczne znalezienie ilorazu, dzieląc róg lub korzystając z kalkulatora. A niektórych ułamków nie można zredukować do ostatniego ułamka dziesiętnego. Na przykład ułamek 1/3 nigdy nie da wyniku końcowego po podzieleniu.

Są one stosowane niezwykle szeroko i w różnych dziedzinach ludzkiej działalności, czy to obliczenia naukowe i stosowane, rozwój i eksploatacja różnych urządzeń, rachunek ekonomiczny i tak dalej. Z różnych powodów często konieczne jest przeprowadzenie inwersja dziesiętna, a także proces odwrotny do niego. Należy zauważyć, że takie przekształcenia są wytwarzane stosunkowo łatwo i zgodnie z pewnymi zasadami i metodami, które istnieją w matematyce od wielu setek lat.

Zamiana ułamka dziesiętnego na ułamek prosty

Konwersja dziesiętna na ułamek „zwykły” tworzy się dość łatwo i prosto. Aby to zrobić, stosuje się następującą technikę: liczba znajdująca się na prawo od przecinka dziesiętnego liczby pierwotnej jest brana jako licznik nowego ułamka, liczba dziesięć jest używana jako mianownik, w stopniu równym liczba cyfr licznika. Pozostała część pozostaje bez zmian. Jeżeli część całkowita jest równa zero, to po przekształceniu jest po prostu pomijana.

PRZYKŁAD 1

Pięćdziesiąt przecinek dwadzieścia pięć setnych równa się pięćdziesiąt punkt, a dwadzieścia pięć podzielone przez sto równa się pięćdziesiąt przecinek jedna czwarta.

Zamiana ułamka na ułamek dziesiętny

Zamiana ułamka na ułamek dziesiętny w rzeczywistości jest odwrotnością konwersja ułamka dziesiętnego na prosty. Jego implementacja również nie sprawia żadnych trudności i jest w rzeczywistości dość prostą operacją arytmetyczną. Do zamień ułamek zwykły na ułamek dziesiętny musisz podzielić licznik przez jego mianownik zgodnie z pewnymi zasadami.

PRZYKŁAD 1

Konieczność wdrożenia konwersja ułamków pięć ósmych dziesiętny.

Dzieląc pięć przez osiem daje dziesiętny zero przecinek sześćset dwadzieścia pięć tysięcznych.

=

0.625

Zaokrąglanie wyniku konwersji ułamka zwykłego na ułamek dziesiętny

Należy zauważyć, że w przeciwieństwie do takiego procesu jak konwersja dziesiętna, procedura ta często może trwać w nieskończoność. W takich przypadkach mówi się, że wynik procedury zamiana ułamka na ułamek dziesiętny może nie być dokładne. Praktyka pokazuje jednak, że w zdecydowanej większości przypadków uzyskanie idealnie dokładnego wyniku nie jest wymagane. Z reguły proces podziału kończy się, gdy wartości tych części dziesiętnych, które są praktyczne w każdym konkretnym przypadku, zostały już uzyskane w jego przebiegu.

PRZYKŁAD 1

Kawałek masła o wadze jednego kilograma należy pokroić na dziewięć części o tej samej masie. Podczas wykonywania tego zabiegu okazuje się, że masa każdego z nich to 1/9 kilograma. Jeśli, zgodnie ze wszystkimi zasadami, przeprowadzić transformacja ten zwykła frakcja w Ułamek dziesiętny okazuje się, że masa każdej z otrzymanych części jest równa zero liczb całkowitych i jedna w okresie kilograma.

Zaokrąglanie odbywa się według standardowych zasad przewidzianych w arytmetyce: jeśli pierwsza z „odrzuconych” cyfr ma wartość 5 lub więcej, to ostatnia z cyfr znaczących jest zwiększana o jeden. W przeciwnym razie pozostaje bez zmian.

PRZYKŁAD 2

Konwertuj wspólny ułamek jedna ósma do ułamka dziesiętnego.

Dzieląc jeden przez osiem, otrzymujesz sto dwadzieścia pięć tysięcznych punktu zero lub zaokrąglając w górę - trzynaście setnych punktu zero.

Ułamek niewłaściwy to jeden z formatów zapisywania ułamka zwykłego. Jak każdy zwykły ułamek, ma liczbę nad linią (licznik), a pod nią - mianownik. Jeśli licznik jest większy niż mianownik, jest to znak rozpoznawczy niewłaściwego ułamka. W tej formie możesz przekonwertować mieszaną zwykłą frakcję. Dziesiętny można również przedstawić w złym zwykłym zapisie, ale tylko wtedy, gdy przecinek oddzielający jest poprzedzony liczbą inną niż zero.

Instrukcja

W formacie ułamka mieszanego licznik i mianownik są oddzielone od części całkowitej spacją. Aby przekonwertować taki wpis na , najpierw pomnóż jego część całkowitą (liczbę przed spacją) przez mianownik części ułamkowej. Dodaj wynikową wartość do licznika. Obliczona w ten sposób wartość będzie licznikiem ułamka niewłaściwego, a mianownik ułamka mieszanego wstawi bez zmian w jego mianowniku. Na przykład 5 7/11 w regularnym nieregularnym formacie można zapisać w następujący sposób: (5*11+7)/11 = 62/11.

Aby przekonwertować ułamek dziesiętny na nieprawidłową notację zwykłą, określ liczbę cyfr po przecinku oddzielającym część całkowitą od ułamkowej - jest ona równa liczbie cyfr po prawej stronie tego przecinka. Użyj otrzymanej liczby jako wskaźnika potęgi, do której musisz podnieść dziesięć, aby obliczyć mianownik niewłaściwego ułamka. Licznik uzyskuje się bez żadnych obliczeń - wystarczy usunąć przecinek z ułamka dziesiętnego. Na przykład, jeśli oryginalny dziesiętny to 12,585, licznik odpowiedniej nieprawidłowej liczby powinien wynosić 10³ = 1000, a mianownik powinien wynosić 12585: 12,585 = 12585/1000.

Jak każdy zwykły ułamek, można i należy go zmniejszyć. Aby to zrobić, po uzyskaniu wyniku w sposób opisany w poprzednich dwóch krokach, spróbuj znaleźć największy wspólny dzielnik dla licznika i mianownika. Jeśli możesz to zrobić, podziel przez to, co znalazłeś po obu stronach pełnego paska. Dla przykładu z kroku drugiego tym dzielnikiem będzie liczba 5, więc ułamek niewłaściwy można zmniejszyć: 12,585 = 12585/1000 = 2517/200. A dla przykładu z pierwszego kroku nie ma wspólnego dzielnika, więc nie ma potrzeby zmniejszania otrzymanego ułamka niewłaściwego.

Powiązane wideo

Ułamki dziesiętne są wygodniejsze w obliczeniach automatycznych niż ułamki naturalne. Wszelkie naturalne frakcja można konwertować na liczby naturalne bez utraty dokładności lub z dokładnością do określonej liczby miejsc po przecinku, w zależności od stosunku licznika do mianownika.

Instrukcja

W razie potrzeby zaokrąglij wynik do wymaganej liczby miejsc po przecinku. Zasady zaokrąglania są następujące: jeśli najwyższa z usuwanych cyfr zawiera cyfrę od 0 do 4, to kolejna najwyższa cyfra (nieusuwana) nie ulega zmianie, a jeśli cyfra wynosi od 5 do 9, zwiększa się o jeden. Jeśli ostatnią z tych operacji poddaje się cyfrze o numerze 9, jednostka zostaje przeniesiona na inną, jeszcze bardziej starszą cyfrę, np. kolumnę. Należy pamiętać, że zaokrąglanie w górę do dostępnej liczby spacji znakowych nie zawsze wykonuje tę operację. Czasami w jego pamięci są ukryte cyfry, które nie są wyświetlane na wskaźniku. Logarytmiczny, mający małą dokładność (do dwóch miejsc po przecinku), często jednocześnie lepiej radzi sobie z zaokrąglaniem we właściwym kierunku.

Jeśli stwierdzisz, że pewna sekwencja cyfr powtarza się po przecinku, umieść tę sekwencję w nawiasach. Mówią o niej, że jest „”, ponieważ okresowo się powtarza. Na przykład, numer 53.7854785478547854... można zapisać jako 53,(7854).

Ułamek właściwy, którego wartość jest większa niż jeden, składa się z dwóch części: całości i ułamka. Najpierw podziel licznik części ułamkowej przez jej mianownik. Następnie dodaj wynik dzielenia do części całkowitej. Następnie, jeśli to konieczne, zaokrąglij wynik do wymaganej liczby miejsc po przecinku lub znajdź częstotliwość i zaznacz ją w nawiasach.

Ułamki dziesiętne są łatwe w obsłudze. Są rozpoznawane przez kalkulatory i wiele programów komputerowych. Ale czasami konieczne jest na przykład sporządzenie proporcji. Aby to zrobić, musisz przekonwertować ułamek dziesiętny na zwykły ułamek. Nie będzie to trudne, jeśli zrobisz krótką dygresję do szkolnego programu nauczania.

Instrukcja

Zmniejsz część ułamkową wynikowego . Aby to zrobić, licznik i mianownik ułamka należy podzielić przez ten sam dzielnik. W tym przypadku jest to liczba „5”. Tak więc „5/10” jest konwertowane na „1/2”.

Wybierz liczbę tak, aby wynik jej pomnożenia przez mianownik wynosił 10. Rozumowanie na odwrót: czy można zamienić liczbę 4 na 10? Odpowiedź: nie, ponieważ 10 nie jest podzielne przez 4. Czyli 100? Tak, 100 jest podzielne przez 4 bez reszty, wynik to 25. Pomnóż licznik i mianownik przez 25 i wpisz odpowiedź w postaci dziesiętnej:
¼ = 25/100 = 0,25.

Nie zawsze można skorzystać z metody selekcji, są jeszcze dwa sposoby. Ich zasada jest prawie taka sama, różni się tylko nagranie. Jednym z nich jest stopniowe przydzielanie miejsc po przecinku. Przykład: przetłumacz ułamek 1/8.