Obliczenie drugiego niezwykłego limitu. Kalkulator online Rozwiązywanie granic

Termin „niezwykła granica” jest szeroko stosowany w podręcznikach i pomocach dydaktycznych w odniesieniu do ważnych tożsamości, które znacząco pomagają uprościć pracę znaleźć granice.

Ale być w stanie przynieść jej granica do niezwykłości, trzeba się jej dobrze przyjrzeć, ponieważ nie występują one bezpośrednio, ale często w postaci konsekwencji, opatrzonych dodatkowymi terminami i czynnikami. Najpierw jednak teoria, potem przykłady i odniesiesz sukces!

Pierwszy wspaniały limit

Podobało Ci się? Zakładka

Pierwsza godna uwagi granica jest zapisana następująco (niepewność postaci $0/0$):

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin x)(x)=1. $$

Konsekwencje pierwszego znaczącego limitu

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(x)(\sin x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (ax))(\sin (bx))=\frac(a)(b). $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\tan x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arcsin x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arctan x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos x)(x^2/2)=1. $$

Przykłady rozwiązań: 1 wspaniała granica

Przykład 1 Limit obliczeniowy $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x).$$

Rozwiązanie. Pierwszy krok jest zawsze taki sam - podstawiamy wartość limitu $x=0$ do funkcji i otrzymujemy:

$$\left[ \frac(\sin 0)(0) \right] = \left[\frac(0)(0)\right].$$

Otrzymaliśmy niepewność postaci $\lewo[\frac(0)(0)\prawo]$, którą należy rozwiązać. Jeśli przyjrzysz się uważnie, pierwotny limit jest bardzo podobny do pierwszego niezwykłego, ale nie pokrywa się z nim. Naszym zadaniem jest doprowadzenie do podobieństwa. Przekształćmy to w ten sposób - spójrz na wyrażenie pod sinusem, zrób to samo w mianowniku (relatywnie pomnóż i podziel przez $3x$), dalej zmniejsz i uprość:

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(3x)\frac(3x)(8x )=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x)\frac(3)(8)=\frac(3)(8). $$

Powyżej uzyskano pierwsze wspaniałe ograniczenie: $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x) = \lim\limits_(y\to 0)\frac(\sin ( y))(y)=1, \text( wykonał podstawienie warunkowe ) y=3x. $$ Odpowiadać: $3/8$.

Przykład 2 Limit obliczeniowy $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x).$$

Rozwiązanie. Wstawiamy do funkcji wartość graniczną $x=0$ i otrzymujemy:

$$\left[ \frac(1-\cos 0)(\tan 0\cdot \sin 0)\right] =\left[ \frac(1-1)( 0\cdot 0)\right] = \left [\frac(0)(0)\prawo].$$

Otrzymaliśmy niepewność postaci $\lewo[\frac(0)(0)\prawo]$. Przekształćmy limit, korzystając z pierwszego wspaniałego limitu w uproszczeniu (trzy razy!):

$$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac( 2 \sin^2 (3x/2))(\sin 2x\cdot \sin 4x)\cdot \cos 2x = $$ $$ = 2\lim\limits_(x\to 0)\frac( \sin^2 (3x/2) )((3x/2)^2) \cdot \frac( 2x)(\sin 2x) \cdot \frac( 4x)( \sin 4x)\cdot \frac( (3x/2)^2)( 2x \ cdot 4x) \cdot \cos 2x = $$ $$ =2\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac( (9/4)x^2)( 8x^2 ) \cdot \cos 2x= 2 \cdot \frac( 9)( 32) \lim\limits_(x\to 0) \cos 2x=\frac(9)(16). $$

Odpowiadać: $9/16$.

Przykład 3 Znajdź limit $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5).$$

Rozwiązanie. Ale co, jeśli w funkcji trygonometrycznej istnieje wyrażenie złożone? To nie ma znaczenia, a tutaj postępujemy w ten sam sposób. Najpierw sprawdź rodzaj niepewności, zamień $x=0$ do funkcji i uzyskaj:

$$\lewo[ \frac(\sin (0+0))(0-0)\prawo] = \lewo[\frac(0)(0)\prawo].$$

Otrzymaliśmy niepewność postaci $\lewo[\frac(0)(0)\prawo]$. Pomnóż i podziel przez $2x^3+3x$:

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x ^3+3x))((2x^3+3x)) \cdot \frac(2x^3+3x)(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot \frac( 2x^3+3x)(5x-x^5)= \lewo[\frac(0)(0)\prawo] = $$

Znowu dostałem niepewność, ale w tym przypadku to tylko ułamek. Zmniejszmy licznik i mianownik o $x$:

$$ =\lim\limits_(x\to 0) \frac(2x^2+3)(5-x^4)= \left[\frac(0+3)(5-0)\right] =\ frac(3)(5). $$

Odpowiadać: $3/5$.

Drugi wspaniały limit

Druga godna uwagi granica jest zapisana następująco (nieokreślenie postaci $1^\infty$):

$$ \lim\limits_(x\to \infty) \left(1+\frac(1)(x)\right)^(x)=e, \quad \text(or) \quad \lim\limits_( x\to 0) \left(1+x\right)^(1/x)=e. $$

Konsekwencje drugiej niezwykłej granicy

$$ \lim\limits_(x\to \infty) \left(1+\frac(a)(x)\right)^(bx)=e^(ab). $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\ln (1+x))(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(e^x -1)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(a^x-1)(x \ln a)=1, a>0, a \ne 1. $$ $$ \lim\limits_( x\to 0)\frac((1+x)^(a)-1)(ax)=1. $$

Przykłady rozwiązań: 2 wspaniałe limity

Przykład 4 Znajdź limit $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3).$$

Rozwiązanie. Sprawdźmy rodzaj niepewności, podstawmy $x=\infty$ do funkcji i otrzymamy:

$$\left[ \left(1-\frac(2)(\infty)\right)^(\infty) \right] = \left.$$

Otrzymaliśmy niepewność postaci $\left$. Granicę można sprowadzić do drugiego niezwykłego. Przekształćmy:

$$ \lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3) = \lim\limits_(x\to \infty)\left( 1+\frac(1)((-3x/2))\right)^(\frac(-3x/2)(-3x/2)(x+3))= $$ $$ = \lim\limits_ (x\to \infty)\left(\left(1+\frac(1)((-3x/2))\right)^((-3x/2))\right)^\frac(x+3 )(-3x/2)= $$

Wyrażenie w nawiasach jest w rzeczywistości drugą wspaniałą granicą $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, tylko $t=- 3x/2$, więc

$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(e\right)^\frac(x+3)(-3x/2)= \lim\limits_(x\to \infty)e^\ frac(1+3/x)(-3/2)=e^(-2/3). $$

Odpowiadać:$e^(-3/3)$.

Przykład 5 Znajdź limit $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x).$ $

Rozwiązanie. Podstaw $x=\infty$ do funkcji i uzyskaj niepewność postaci $\left[ \frac(\infty)(\infty)\right]$. A my potrzebujemy $\left$. Zacznijmy więc od konwersji wyrażenia w nawiasach:

$$ \lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x) = \lim\limits_ (x\to \infty)\left(\frac(x^3+(x-7)-(x-7)+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x ) = \lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac((x^3+x-7)+(-x+7+2x^2+1))(x^3+x-7 )\right)^(x) = $$ $$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7) \right)^(x) = \lim\limits_(x\to \infty)\left(\left(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)\right) ^(\frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8))\right)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)) = $$

Wyrażenie w nawiasach jest w rzeczywistości drugą wspaniałą granicą $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, tylko $t=\ frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8) \to \infty$, więc

$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(e\right)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7))= \lim\limits_ (x\to \infty)e^( \frac(2x^2-x+8)(x^2+1-7/x))= \lim\limits_(x\to \infty)e^( \frac (2-1/x+8/x^2)(1+1/x^2-7/x^3))=e^(2). $$

Istnieje kilka wspaniałych granic, ale najbardziej znane to pierwsza i druga wspaniała granica. Niezwykłą cechą tych limitów jest to, że są one szeroko stosowane i można je wykorzystać do znalezienia innych ograniczeń napotykanych w wielu problemach. To właśnie będziemy robić w praktycznej części tej lekcji. Aby rozwiązać problemy, sprowadzając się do pierwszej lub drugiej niezwykłej granicy, nie jest konieczne ujawnianie zawartych w nich niepewności, ponieważ wartości tych granic od dawna wywnioskowali wielcy matematycy.

Pierwsza godna uwagi granica nazywamy granicą stosunku sinusa nieskończenie małego łuku do tego samego łuku, wyrażoną w radianach:

Przejdźmy do rozwiązywania problemów na pierwszym znaczącym limicie. Uwaga: jeśli funkcja trygonometryczna znajduje się poniżej znaku granicy, jest to prawie pewny znak, że wyrażenie to można zredukować do pierwszej znaczącej granicy.

Przykład 1 Znajdź limit.

Rozwiązanie. Zamiast tego zastępstwo x zero prowadzi do niepewności:

.

Mianownik jest sinusem, dlatego wyrażenie można sprowadzić do pierwszej niezwykłej granicy. Zacznijmy transformację:

.

W mianowniku - sinus trzech x, aw liczniku jest tylko jeden x, co oznacza, że ​​w liczniku trzeba uzyskać trzy x. Po co? Prezentować 3 x = a i zdobądź wyrażenie.

I dochodzimy do odmiany pierwszego niezwykłego limitu:

ponieważ nie ma znaczenia, jaka litera (zmienna) w tej formule jest zamiast X.

Mnożymy x przez trzy i od razu dzielimy:

.

Zgodnie ze wspomnianą pierwszą godną uwagi granicą, zastępujemy wyrażenie ułamkowe:

Teraz możemy wreszcie rozwiązać ten limit:

.

Przykład 2 Znajdź limit.

Rozwiązanie. Bezpośrednie podstawienie ponownie prowadzi do niepewności „dzielenia zera przez zero”:

.

Aby uzyskać pierwszą godną uwagi granicę, konieczne jest, aby x pod znakiem sinusa w liczniku i tylko x w mianowniku miały ten sam współczynnik. Niech ten współczynnik będzie równy 2. Aby to zrobić, wyobraź sobie bieżący współczynnik w x jak poniżej, wykonując akcje z ułamkami, otrzymujemy:

.

Przykład 3 Znajdź limit.

Rozwiązanie. Przy podstawieniu ponownie otrzymujemy niepewność „zero podzielone przez zero”:

.

Prawdopodobnie już rozumiesz, że z oryginalnego wyrażenia możesz otrzymać pierwszy wspaniały limit pomnożony przez pierwszy wspaniały limit. Aby to zrobić, rozkładamy kwadraty x w liczniku i sinus w mianowniku na te same czynniki, a aby otrzymać te same współczynniki dla x i sinusa, dzielimy x w liczniku przez 3 i natychmiast pomnóż przez 3. Otrzymujemy:

.

Przykład 4 Znajdź limit.

Rozwiązanie. Ponownie otrzymujemy niepewność „zero podzielone przez zero”:

.

Możemy uzyskać stosunek pierwszych dwóch niezwykłych granic. Licznik i mianownik dzielimy przez x. Następnie, aby współczynniki przy sinusach i przy x pokrywały się, mnożymy górny x przez 2 i od razu dzielimy przez 2, a dolny x mnożymy przez 3 i od razu dzielimy przez 3. Otrzymujemy:

Przykład 5 Znajdź limit.

Rozwiązanie. I znowu niepewność „zera podzielonego przez zero”:

Z trygonometrii pamiętamy, że tangens to stosunek sinusa do cosinusa, a cosinus zera jest równy jeden. Dokonujemy przekształceń i otrzymujemy:

.

Przykład 6 Znajdź limit.

Rozwiązanie. Funkcja trygonometryczna pod znakiem limitu ponownie sugeruje pomysł zastosowania pierwszego niezwykłego limitu. Przedstawiamy go jako stosunek sinusa do cosinusa.

Z powyższego artykułu dowiesz się, jaki jest limit i z czym jest spożywany - to BARDZO ważne. Czemu? Możesz nie rozumieć, czym są wyznaczniki i je pomyślnie rozwiązać, możesz w ogóle nie rozumieć, czym jest pochodna i znaleźć je na „piątce”. Ale jeśli nie rozumiesz, czym jest limit, trudno będzie rozwiązać praktyczne zadania. Nie będzie również zbyteczne zapoznanie się z próbkami projektów decyzji i moimi zaleceniami dotyczącymi projektowania. Wszystkie informacje prezentowane są w prosty i przystępny sposób.

Na potrzeby tej lekcji potrzebujemy następujących materiałów metodologicznych: Niezwykłe limity oraz Wzory trygonometryczne. Można je znaleźć na stronie. Najlepiej jest wydrukować instrukcje - jest to o wiele wygodniejsze, poza tym często trzeba mieć do nich dostęp offline.

Co jest niezwykłego w cudownych granicach? Niezwykłość tych granic polega na tym, że udowodniły je najwybitniejsze umysły słynnych matematyków, a wdzięczni potomkowie nie muszą cierpieć z powodu straszliwych ograniczeń ze stertą funkcji trygonometrycznych, logarytmów i stopni. Oznacza to, że przy ustalaniu granic posłużymy się gotowymi wynikami, które zostały udowodnione teoretycznie.

Istnieje kilka godnych uwagi ograniczeń, ale w praktyce studenci studiów niestacjonarnych w 95% przypadków mają dwa niezwykłe ograniczenia: Pierwszy wspaniały limit, Drugi wspaniały limit. Należy zauważyć, że są to nazwy ugruntowane historycznie, a gdy np. mówią o „pierwszej niezwykłej granicy”, mają na myśli bardzo konkretną rzecz, a nie jakąś przypadkową granicę zaczerpniętą z sufitu.

Pierwszy wspaniały limit

Rozważmy następujący limit: (zamiast rodzimej litery „on” użyję greckiej litery „alfa”, jest to wygodniejsze z punktu widzenia prezentacji materiału).

Zgodnie z naszą zasadą znajdowania limitów (patrz artykuł Granice. Przykłady rozwiązań) próbujemy podstawić zero do funkcji: w liczniku otrzymujemy zero (sinus zera to zero), w mianowniku oczywiście też zero. Mamy więc do czynienia z nieokreślonością formy, której na szczęście nie trzeba ujawniać. W toku analizy matematycznej udowodniono, że:

Ten matematyczny fakt nazywa się Pierwszy wspaniały limit. Nie podam analitycznego dowodu granicy, ale rozważymy jej geometryczne znaczenie w lekcji na temat nieskończenie małe funkcje.

Często w zadaniach praktycznych funkcje można ułożyć inaczej, to niczego nie zmienia:

– ten sam pierwszy wspaniały limit.

Ale nie możesz sam zmienić licznika i mianownika! Jeśli granica jest podana w formie , to musi być rozwiązana w tej samej formie, bez przestawiania czegokolwiek.

W praktyce nie tylko zmienna może pełnić rolę parametru, ale także funkcja elementarna, funkcja złożona. Ważne jest tylko, aby dążył do zera.

Przykłady:
, , ,

Tutaj , , , , i wszystko brzęczy - obowiązuje pierwsza godna uwagi granica.

A oto kolejny wpis – herezja:

Czemu? Ponieważ wielomian nie ma tendencji do zera, ma tendencję do pięciu.

Swoją drogą pytanie dotyczy zasypywania, ale jaki jest limit ? Odpowiedź znajdziesz na końcu lekcji.

W praktyce nie wszystko przebiega tak gładko, prawie nigdy studentowi nie zostanie zaproponowane rozwiązanie darmowego limitu i uzyskanie łatwego kredytu. Hmmm... piszę te wersy i przyszła mi do głowy bardzo ważna myśl - w końcu wydaje się, że lepiej zapamiętać „darmowe” matematyczne definicje i wzory, może to być nieoceniona pomoc w teście, gdy kwestia zostanie rozstrzygnięta między „dwa” i „trzy”, a nauczyciel decyduje się zadać uczniowi proste pytanie lub propozycję rozwiązania najprostszego przykładu („może on (a) jeszcze wie co?!”).

Przejdźmy do praktycznych przykładów:

Przykład 1

Znajdź granicę

Jeśli zauważymy sinus w limicie, to powinno to od razu skłonić nas do zastanowienia się nad możliwością zastosowania pierwszego niezwykłego limitu.

Najpierw staramy się zastąpić 0 w wyrażeniu pod znakiem limitu (robimy to w myślach lub na szkicu):

Mamy więc nieokreśloność formy , jej pamiętaj, aby wskazać w podejmowaniu decyzji. Wyrażenie pod znakiem limitu wygląda jak pierwsza cudowna granica, ale to nie do końca, jest pod sinusem, ale w mianowniku.

W takich przypadkach pierwszy wspaniały limit musimy zorganizować sami, za pomocą sztucznego urządzenia. Tok rozumowania może być następujący: „pod sinusem mamy, co oznacza, że ​​musimy również wejść w mianownik”.
Robi się to bardzo prosto:

Oznacza to, że mianownik jest w tym przypadku sztucznie pomnożony przez 7 i podzielony przez tę samą siódemkę. Teraz płyta przybrała znajomy kształt.
Kiedy zadanie jest sporządzane ręcznie, wskazane jest zaznaczenie pierwszego wspaniałego limitu prostym ołówkiem:

Co się stało? W rzeczywistości zakreślone w kółko wyrażenie zamieniło się w jednostkę i zniknęło w produkcie:

Teraz pozostaje tylko pozbyć się trzypiętrowej frakcji:

Kto zapomniał o uproszczeniu wielopiętrowych frakcji, proszę o odświeżenie materiału w księdze referencyjnej Formuły matematyczne gorącej szkoły .

Gotowy. Ostatnia odpowiedź:

Jeśli nie chcesz używać znaków ołówka, rozwiązanie można sformatować w następujący sposób:

“

Używamy pierwszego znaczącego limitu

“

Przykład 2

Znajdź granicę

Ponownie widzimy ułamek i sinus w limicie. Staramy się podstawić zero w liczniku i mianowniku:

Rzeczywiście, mamy do czynienia z niepewnością i dlatego musimy spróbować zorganizować pierwszą godną uwagi granicę. Na lekcji Granice. Przykłady rozwiązań wzięliśmy pod uwagę zasadę, że jeśli mamy niepewność , to musimy rozłożyć licznik i mianownik na czynniki. Tutaj - to samo, przedstawimy stopnie jako produkt (mnożniki):

Podobnie jak w poprzednim przykładzie, nakreślamy ołówkiem cudowne granice (tu są dwie z nich) i wskazujemy, że skłaniają się one do jednej:

Właściwie odpowiedź jest gotowa:

W poniższych przykładach nie będę robił sztuki w Paint, myślę, jak poprawnie sporządzić rozwiązanie w zeszycie - już rozumiesz.

Przykład 3

Znajdź granicę

W wyrażeniu pod znakiem limitu podstawiamy zero:

Otrzymano niepewność, którą należy ujawnić. Jeśli w limicie jest tangens, to prawie zawsze jest on zamieniany na sinus i cosinus zgodnie ze znanym wzorem trygonometrycznym (nawiasem mówiąc, robią mniej więcej to samo z cotangensem, patrz materiał metodologiczny Gorące formuły trygonometryczne Na stronie Wzory matematyczne, tabele i materiały referencyjne).

W tym przypadku:

Cosinus zera jest równy jeden i łatwo się go pozbyć (nie zapomnij zaznaczyć, że ma tendencję do jedności):

Tak więc, jeśli w limicie cosinus jest MNOŻNIKIEM, to z grubsza trzeba go zamienić na jednostkę, która znika w iloczynie.

Tutaj wszystko okazało się prostsze, bez mnożenia i dzielenia. Pierwsza godna uwagi granica również zamienia się w jedność i znika w produkcie:

W rezultacie uzyskuje się nieskończoność, to się dzieje.

Przykład 4

Znajdź granicę

Staramy się podstawić zero w liczniku i mianowniku:

Uzyskana niepewność (cosinus zera, jak pamiętamy, jest równy jeden)

Używamy wzoru trygonometrycznego. Uwaga! Z jakiegoś powodu limity przy użyciu tej formuły są bardzo powszechne.

Wyciągamy stałe mnożniki poza ikonę limitu:

Zorganizujmy pierwszy godny uwagi limit:

Tutaj mamy tylko jedną cudowną granicę, która zamienia się w jedno i znika w produkcie:

Pozbądźmy się trzypiętrowego:

Granica jest faktycznie rozwiązana, wskazujemy, że pozostały sinus dąży do zera:

Przykład 5

Znajdź granicę

Ten przykład jest bardziej skomplikowany, spróbuj sam to rozgryźć:

Niektóre limity można zredukować do pierwszego znaczącego limitu, zmieniając zmienną, o czym możesz przeczytać w dalszej części artykułu Metody rozwiązywania limitów.

Drugi wspaniały limit

W teorii analizy matematycznej udowodniono, że:

Ten fakt nazywa się drugi niezwykły limit.

Odniesienie: jest liczbą niewymierną.

Jako parametr może pełnić nie tylko zmienna, ale także złożona funkcja. Ważne jest tylko, że dąży do nieskończoności.

Przykład 6

Znajdź granicę

Kiedy wyrażenie pod znakiem granicy jest w mocy - to pierwszy znak, że musisz spróbować zastosować drugą cudowną granicę.

Ale najpierw, jak zawsze, staramy się podstawić do wyrażenia nieskończenie dużą liczbę, zgodnie z jaką zasadą to się robi, zostało to przeanalizowane na lekcji Granice. Przykłady rozwiązań.

Łatwo to zauważyć, kiedy podstawa stopnia i wykładnik - , czyli istnieje niepewność formy:

Ta niepewność została właśnie ujawniona za pomocą drugiej niezwykłej granicy. Ale, jak to często bywa, druga wspaniała granica nie leży na srebrnym talerzu i musi być sztucznie zorganizowana. Możesz rozumować w następujący sposób: w tym przykładzie parametr oznacza, że ​​musimy również zorganizować we wskaźniku. Aby to zrobić, podnosimy podstawę do potęgi i aby wyrażenie się nie zmieniło, podnosimy ją do potęgi:

Kiedy zadanie jest sporządzane ręcznie, zaznaczamy ołówkiem:

Prawie wszystko jest gotowe, straszny stopień zamienił się w ładny list:

W tym samym czasie sama ikona limitu zostaje przeniesiona do wskaźnika:

Przykład 7

Znajdź granicę

Uwaga! Ten rodzaj limitu jest bardzo powszechny, prosimy o dokładne przestudiowanie tego przykładu.

W wyrażeniu pod znakiem granicy próbujemy podstawić nieskończenie dużą liczbę:

Rezultatem jest niepewność. Ale druga godna uwagi granica dotyczy niepewności formy. Co robić? Musisz przekonwertować podstawę stopnia. Argumentujemy w ten sposób: w mianowniku mamy , co oznacza, że ​​musimy również zorganizować w liczniku.

Dowód:

Najpierw udowodnijmy twierdzenie dla przypadku ciągu

Zgodnie z dwumianem Newtona:

Zakładając, że otrzymamy

Z tej równości (1) wynika, że ​​wraz ze wzrostem n zwiększa się liczba wyrazów dodatnich po prawej stronie. Ponadto wraz ze wzrostem n liczba maleje, więc ilości zwiększają się. Dlatego sekwencja wzrastający, a (2)* Pokażmy, że jest ograniczony. Zamieniamy każdy nawias po prawej stronie równości na jeden, prawa strona wzrasta, otrzymujemy nierówność

Wzmacniamy powstałą nierówność, zamieniamy 3,4,5, ..., stojące w mianownikach ułamków, na liczbę 2: Sumę znajdujemy w nawiasach, korzystając ze wzoru na sumę elementów postępu geometrycznego: Zatem (3)*

Tak więc ciąg jest ograniczony od góry, podczas gdy nierówności (2) i (3) utrzymują: Dlatego na podstawie twierdzenia Weierstrassa (kryterium zbieżności ciągu) ciąg rośnie monotonicznie i jest ograniczony, co oznacza, że ​​ma granicę, oznaczoną literą e. Tych.

Wiedząc, że druga niezwykła granica jest prawdziwa dla naturalnych wartości x, udowadniamy drugą niezwykłą granicę dla rzeczywistego x, czyli udowadniamy, że . Rozważ dwa przypadki:

1. Niech każda wartość x będzie pomiędzy dwiema dodatnimi liczbami całkowitymi: , gdzie jest częścią całkowitą x. => =>

Jeśli , to Dlatego zgodnie z limitem Mamy

Na podstawie (na granicy funkcji pośredniej) istnienia granic

2. Niech . Zróbmy podstawienie − x = t, wtedy

Z tych dwóch przypadków wynika, że dla prawdziwego x.

Konsekwencje:

9 .) Porównanie nieskończenie małych. Twierdzenie o zamianie nieskończenie małych na równoważne w granicy i twierdzenie o głównej części nieskończenie małych.

Niech funkcje a( x) oraz b( x) – b.m. w x ® x 0 .

DEFINICJE.

1) a( x) nazywa nieskończenie wyższy rząd niż b (x) jeśli

Zapisz: a( x) = o(b( x)) .

2) a( x) oraz b( x)nazywa nieskończenie małe tego samego rzędu, jeśli

gdzie Cнℝ i C¹ 0 .

Zapisz: a( x) = O(b( x)) .

3) a( x) oraz b( x) nazywa równowartość , jeśli

Zapisz: a( x) ~ b( x).

4) a( x) nazywa się nieskończenie małym porządkiem k względem
bardzo nieskończenie małe b( x), jeśli nieskończenie małe a( x)oraz(b( x)) k mają to samo zamówienie, tj. jeśli

gdzie Cнℝ i C¹ 0 .

TWIERDZENIE 6 (o zastępowaniu nieskończenie małych przez równoważne).

Wynajmować a( x), b( x), 1 ( x), b 1 ( x)– ur. o x ® x 0 . Jeśli a( x) ~ 1 ( x), b( x) ~ b 1 ( x),

następnie

Dowód: Niech ( x) ~ 1 ( x), b( x) ~ b 1 ( x), następnie

TWIERDZENIE 7 (o głównej części nieskończenie małej).

Wynajmować a( x)oraz b( x)– ur. o x ® x 0 , oraz b( x)– ur. wyższy rząd niż a( x).

= , a ponieważ b( x) – wyższy rząd niż a( x), to znaczy z jasne jest, że ( x) + b( x) ~ a( x)

10) Ciągłość funkcji w punkcie (w języku granic epsilon-delta, geometryczna) Ciągłość jednostronna. Ciągłość na interwale, na segmencie. Własności funkcji ciągłych.

1. Podstawowe definicje

Wynajmować f(x) jest określone w pewnym sąsiedztwie punktu x 0 .

DEFINICJA 1. funkcja f(x) nazywa ciągły w punkcie x 0 jeśli równość jest prawdziwa

Uwagi.

1) Zgodnie z twierdzeniem 5 z §3, równość (1) można zapisać jako

Warunek (2) - definicja ciągłości funkcji w punkcie w języku granic jednostronnych.

2) Równość (1) można również zapisać jako:

Mówią: „jeśli funkcja jest ciągła w punkcie x 0 , to znak limitu i funkcję można zamienić.

DEFINICJA 2 (w języku e-d).

funkcja f(x) nazywa ciągły w punkcie x 0 jeśli„e>0 $d>0 taki, Co

jeśli xОU( x 0 , d) (tj. | x – x 0 | < d),

wtedy f(x)ОU( f(x 0), e) (czyli | f(x) – f(x 0) | < e).

Wynajmować x, x 0 Î D(f) (x 0 - naprawiono, x- arbitralny)

Oznacz: D x= x-x 0 – przyrost argumentów

D f(x 0) = f(x) – f(x 0) – przyrost funkcji w punkcie x 0

DEFINICJA 3 (geometryczna).

funkcja f(x) na nazywa ciągły w punkcie x 0 jeśli w tym momencie nieskończenie mały przyrost argumentu odpowiada nieskończenie małemu przyrostowi funkcji, tj.

Niech funkcja f(x) jest zdefiniowany w przedziale [ x 0 ; x 0 + d) (w przedziale ( x 0-d; x 0 ]).

DEFINICJA. funkcja f(x) nazywa ciągły w punkcie x 0 po prawej (lewy ), jeśli równość jest prawdziwa

To oczywiste, że f(x) jest ciągła w punkcie x 0 Û f(x) jest ciągła w punkcie x 0 prawo i lewo.

DEFINICJA. funkcja f(x) nazywa ciągła na interwał e ( a; b) jeśli jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału.

funkcja f(x) nazywana jest ciągłą na odcinku [a; b] jeśli jest ciągły w przedziale (a; b) i ma jednostronną ciągłość w punktach granicznych(tj. ciągły w punkcie a racja, punkt b- po lewej).

11) Punkty załamania, ich klasyfikacja

DEFINICJA. Jeżeli funkcja f(x) jest określony w pewnym sąsiedztwie punktu x 0 , ale w tym momencie nie jest ciągła, więc f(x) nazywana jest nieciągłą w punkcie x 0 , ale o to chodzi! x 0 zwany przełomowym funkcje f(x) .

Uwagi.

1) f(x) można zdefiniować w niepełnym sąsiedztwie punktu x 0 .

Następnie rozważ odpowiednią jednostronną ciągłość funkcji.

2) Z definicji z, punkt x 0 to punkt przerwania funkcji f(x) w dwóch przypadkach:

a) U( x 0 , d ) D(f) , ale dla f(x) równość nie jest spełniona

b) U * ( x 0 , d ) D(f) .

W przypadku funkcji elementarnych możliwy jest tylko przypadek b).

Wynajmować x 0 - punkt załamania funkcji f(x) .

DEFINICJA. punkt x 0 nazywa moment przełomowy I uprzejmy jeśli funkcja f(x)ma skończone granice w tym miejscu po lewej i po prawej stronie.

Jeżeli dodatkowo te granice są równe, to punkt x 0 nazywa punkt przerwania , Inaczej - punkt skoku .

DEFINICJA. punkt x 0 nazywa moment przełomowy II uprzejmy jeśli przynajmniej jedna z jednostronnych granic funkcji f(x)w tym momencie jest równe¥ lub nie istnieje.

12) Własności funkcji ciągłych na odcinku (twierdzenia Weierstrassa (bez dowodu) i Cauchy'ego

Twierdzenie Weierstrassa

Niech funkcja f(x) będzie ciągła na odcinku , wtedy

1)f(x) jest ograniczone do

2) f (x) przyjmuje w przedziale najmniejszą i największą wartość

Definicja: Wartość funkcji m=f nazywana jest najmniejszą, jeśli m≤f(x) dla dowolnego x € D(f).

Wartość funkcji m=f nazywamy największą, jeśli m≥f(x) dla dowolnego x ∈ D(f).

Funkcja może przyjąć najmniejszą \ największą wartość w kilku punktach segmentu.

f(x 3)=f(x 4)=max

Twierdzenie Cauchy'ego.

Niech funkcja f(x) będzie ciągła na odcinku i x będzie liczbą zawartą między f(a) i f(b), wtedy istnieje co najmniej jeden punkt x 0 € taki, że f(x 0)= g

Wzór na drugą godną uwagi granicę to lim x → ∞ 1 + 1 x x = e . Inna forma zapisu wygląda tak: lim x → 0 (1 + x) 1 x = e .

Kiedy mówimy o drugiej godnej uwagi granicy, mamy do czynienia z niepewnością postaci 1 ∞ , tj. jednostki do nieskończonego stopnia.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Rozważ problemy, w których potrzebujemy umiejętności obliczenia drugiej wspaniałej granicy.

Przykład 1

Znajdź granicę lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 .

Rozwiązanie

Zastąp żądany wzór i wykonaj obliczenia.

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞

W naszej odpowiedzi otrzymaliśmy jednostkę do potęgi nieskończoności. Aby określić metodę rozwiązania, posługujemy się tabelą niepewności. Wybieramy drugą godną uwagi granicę i dokonujemy zmiany zmiennych.

t \u003d - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 \u003d - t 2

Jeśli x → ∞ to t → - ∞ .

Zobaczmy, co otrzymaliśmy po wymianie:

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = lim t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 = e - 1 2

Odpowiadać: lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = e - 1 2 .

Przykład 2

Oblicz granicę lim x → ∞ x - 1 x + 1 x .

Rozwiązanie

Zastąp nieskończoność i uzyskaj co następuje.

ogranicz x → ∞ x - 1 x + 1 x = ogranicz x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞

W odpowiedzi ponownie otrzymaliśmy to samo, co w poprzednim problemie, dlatego możemy ponownie użyć drugiego wspaniałego limitu. Następnie musimy wybrać część całkowitą u podstawy funkcji potęgowej:

x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1

Następnie limit przyjmuje następującą formę:

ograniczony x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = ograniczony x → ∞ 1 - 2 x + 1 x

Zamieniamy zmienne. Powiedzmy, że t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1 ; jeśli x → ∞ , to t → ∞ .

Następnie zapisujemy, co otrzymaliśmy w pierwotnym limicie:

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t 1 + 1 t - 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 2 1 + 1 ∞ = e - 2 (1 + 0) - 1 = e - 2

Do przeprowadzenia tej transformacji wykorzystaliśmy podstawowe właściwości granic i mocy.

Odpowiadać: lim x → x - 1 x + 1 x = e - 2 .

Przykład 3

Oblicz granicę lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 .

Rozwiązanie

ograniczony x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = ograniczony x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1∞

Następnie musimy przeprowadzić transformację funkcji, aby zastosować drugą wspaniałą granicę. Otrzymaliśmy:

ograniczony x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = ograniczony x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = ograniczony x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

ograniczony x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = ograniczony x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = ograniczony x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

Ponieważ teraz mamy te same wykładniki w liczniku i mianowniku ułamka (równe sześć), granica ułamka w nieskończoności będzie równa stosunkowi tych współczynników przy wyższych potęgach.

ograniczony x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = ograniczony x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = ograniczony x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3

Zastępując t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2, otrzymujemy drugą godną uwagi granicę. Znaczy co:

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 3 = e - 3

Odpowiadać: lim x → x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e - 3 .

wnioski

Niepewność 1 ∞ , tj. jedność w nieskończonym stopniu jest niepewnością prawa potęgowego, dlatego można ją ujawnić za pomocą reguł wyznaczania granic wykładniczych funkcji potęgowych.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter