Błędy pomiarowe. Błędy bezwzględne, względne

Błąd pomiaru

Błąd pomiaru- ocena odchylenia wartości mierzonej wielkości od jej rzeczywistej wartości. Błąd pomiaru jest cechą (miarą) dokładności pomiaru.

• Zmniejszony błąd- błąd względny, wyrażony jako stosunek błędu bezwzględnego przyrządu pomiarowego do warunkowo przyjętej wartości wielkości, stały w całym zakresie pomiarowym lub w części zakresu. Obliczone według wzoru

gdzie X n- wartość normalizacyjną, która zależy od rodzaju skali przyrządu pomiarowego i jest określona przez jej podziałkę:

Jeśli skala urządzenia jest jednostronna, tj. dolna granica pomiaru to zero, to X n jest określana jako równa górnej granicy pomiarów;
- jeżeli skala urządzenia jest dwustronna, to wartość normalizująca jest równa szerokości zakresu pomiarowego urządzenia.

Podany błąd jest wartością bezwymiarową (można go zmierzyć w procentach).

Ze względu na wystąpienie

• Błędy instrumentalne / instrumentalne- błędy, które wynikają z błędów zastosowanych przyrządów pomiarowych i są spowodowane niedoskonałością zasady działania, niedokładnością podziałki skali oraz brakiem widoczności urządzenia.
• Błędy metodologiczne- błędy wynikające z niedoskonałości metody, a także uproszczenia leżące u podstaw metodyki.
• Błędy podmiotowe/operatorskie/osobiste- błędy wynikające ze stopnia uwagi, koncentracji, gotowości i innych cech operatora.

W inżynierii urządzenia są używane do pomiaru tylko z pewną z góry określoną dokładnością - główny błąd dozwolony przez normalne w normalnych warunkach pracy dla tego urządzenia.

Jeśli urządzenie pracuje w warunkach innych niż normalne, pojawia się dodatkowy błąd, zwiększający ogólny błąd urządzenia. Dodatkowe błędy to: temperatura, spowodowana odchyleniem temperatury otoczenia od normalnej, instalacja, spowodowana odchyleniem położenia urządzenia od normalnego położenia pracy itp. Za normalną temperaturę otoczenia przyjęto 20°C, a za normalne ciśnienie atmosferyczne 01,325 kPa.

Uogólnioną charakterystyką przyrządów pomiarowych jest klasa dokładności określona przez wartości graniczne dopuszczalnych błędów podstawowych i dodatkowych, a także inne parametry, które wpływają na dokładność przyrządów pomiarowych; wartość parametrów jest określona przez normy dla niektórych rodzajów przyrządów pomiarowych. Klasa dokładności przyrządów pomiarowych charakteryzuje ich właściwości dokładnościowe, ale nie jest bezpośrednim wskaźnikiem dokładności pomiarów wykonywanych tymi przyrządami, ponieważ dokładność zależy również od metody pomiaru i warunków ich wykonania. Przyrządom pomiarowym, których granice dopuszczalnego błędu podstawowego podane są w postaci pomniejszonych błędów podstawowych (względnych), przypisuje się klasy dokładności wybrane spośród kilku następujących liczb: (1; 1,5; 2,0; 2,5; 3,0; 4,0 ;5,0;6,0)*10n, gdzie n = 1; 0; -jeden; -2 itd.

Zgodnie z naturą manifestacji

• błąd losowy- błąd, zmieniający się (pod względem wielkości i znaku) od pomiaru do pomiaru. Błędy losowe mogą być związane z niedoskonałością urządzeń (tarcie w urządzeniach mechanicznych itp.), drżeniem w warunkach miejskich, z niedoskonałością przedmiotu pomiaru (na przykład przy pomiarze średnicy cienkiego drutu, który może nie mieć całkowicie okrągły przekrój w wyniku niedoskonałości procesu produkcyjnego), o cechach samej wielkości mierzonej (np. przy pomiarze liczby cząstek elementarnych przechodzących na minutę przez licznik Geigera).
• Błąd systematyczny- błąd, który zmienia się w czasie zgodnie z pewnym prawem (szczególnym przypadkiem jest stały błąd, który nie zmienia się w czasie). Błędy systematyczne mogą być związane z błędami instrumentu (nieprawidłowa skala, kalibracja itp.) nieuwzględnionymi przez eksperymentatora.
• Błąd progresywny (dryf) jest nieprzewidywalnym błędem, który zmienia się powoli w czasie. Jest to niestacjonarny proces losowy.
• Błąd brutto (chybiony)- błąd wynikający z niedopatrzenia eksperymentatora lub wadliwego działania sprzętu (na przykład, jeśli eksperymentator błędnie odczytał numer działki na skali urządzenia, jeśli wystąpiło zwarcie w obwodzie elektrycznym).

Zgodnie z metodą pomiaru

• Dokładność pomiarów bezpośrednich
• Niepewność pomiarów pośrednich- błąd obliczonej (nie mierzonej bezpośrednio) wartości:

Jeśli F = F(x 1 ,x 2 ...x n) , gdzie x i- wielkości niezależne mierzone bezpośrednio z błędem Δ x i, następnie:

Zobacz też

• Pomiar wielkości fizycznych
• System do automatycznego zbierania danych z liczników bezprzewodowo

Literatura

• Nazarov N.G. Metrologia. Podstawowe pojęcia i modele matematyczne. M.: Szkoła Wyższa 2002r. 348 s.

• Zajęcia laboratoryjne z fizyki. Podręcznik / Goldin L. L., Igoshin F. F., Kozel S. M. i inni; wyd. Goldina L. L. - M .: Nauka. Wydanie główne literatury fizycznej i matematycznej, 1983. - 704 s.

Fundacja Wikimedia. 2010 .

błąd pomiaru czasu- laiko matavimo paklaida statusas T sritis automatika atitikmenys: engl. błąd pomiaru czasu vok. Zeitmeßfehler, m rus. błąd pomiaru czasu, fpranc. erreur de mesure de temps, f … Automatikos terminų žodynas

błąd systematyczny (pomiar)- wprowadzić błąd systematyczny - Tematy Przemysł naftowy i gazowniczy Synonimy wprowadzają błąd systematyczny EN bias ...

STANDARDOWE BŁĘDY POMIARÓW- Ocena stopnia, w jakim można oczekiwać, że pewien zestaw pomiarów uzyskanych w danej sytuacji (na przykład w teście lub w jednej z kilku równoległych form testu) będzie odbiegał od prawdziwych wartości. Oznaczony jako (M) ...

błąd nakładki- Spowodowane przez nakładanie się impulsów wyjściowych o krótkiej odpowiedzi, gdy odstęp czasowy między impulsami prądu wejściowego jest krótszy niż czas trwania pojedynczego impulsu wyjściowego odpowiedzi. Błędy nakładki mogą być ... ... Podręcznik tłumacza technicznego

błąd- 01.02.47 błąd (dane cyfrowe) (1-4): Wynik zbierania, przechowywania, przetwarzania i przesyłania danych, w którym bit lub bity przyjmują nieodpowiednie wartości lub w strumieniu danych jest za mało bitów. 4) Terminologiczny ... ... Słownik-odnośnik terminów dokumentacji normatywnej i technicznej

Nie ma ruchu, powiedział brodaty mędrzec. Drugi zamilkł i zaczął iść przed nim. Nie mógł sprzeciwić się mocniej; Wszyscy chwalili zawiłą odpowiedź. Ale, panowie, ten śmieszny przypadek Inny przykład przywodzi mi na myśl: w końcu każdego dnia… Wikipedia

OPCJE BŁĘDÓW- Wielkość wariancji, której nie można wyjaśnić czynnikami kontrolowanymi. Błąd wariancji jest kompensowany błędami próbkowania, błędami pomiaru, błędami eksperymentalnymi itp. Wyjaśniający słownik psychologii

Pomiar wielkości jest operacją, w wyniku której dowiadujemy się, ile razy zmierzona wartość jest większa (lub mniejsza) od odpowiadającej jej wartości, przyjętej jako standard (jednostka miary). Wszystkie pomiary można podzielić na dwa typy: bezpośrednie i pośrednie.

BEZPOŚREDNIE to pomiary, w których mierzona jest interesująca nas wielkość fizyczna (masa, długość, odstępy czasu, zmiana temperatury itp.).

POŚREDNIE - są to pomiary, w których interesująca nas ilość jest określana (obliczana) na podstawie wyników bezpośrednich pomiarów innych wielkości związanych z nią pewną zależnością funkcjonalną. Na przykład określenie prędkości ruchu jednostajnego poprzez pomiar odległości przebytej w czasie, pomiar gęstości ciała poprzez pomiar masy i objętości ciała itp.

Wspólną cechą pomiarów jest niemożność uzyskania prawdziwej wartości mierzonej wielkości, wynik pomiaru zawsze zawiera jakiś błąd (błąd). Tłumaczy się to zarówno zasadniczo ograniczoną dokładnością pomiaru, jak i charakterem samych mierzonych obiektów. Dlatego, aby wskazać, jak bardzo uzyskany wynik jest zbliżony do wartości prawdziwej, błąd pomiaru jest wskazywany wraz z uzyskanym wynikiem.

Na przykład zmierzyliśmy ogniskową obiektywu f i napisaliśmy, że

f = (256 ± 2) mm (1)

Oznacza to, że ogniskowa mieści się w przedziale od 254 do 258 mm. W rzeczywistości jednak ta równość (1) ma znaczenie probabilistyczne. Nie możemy powiedzieć z całkowitą pewnością, że wartość mieści się we wskazanych granicach, istnieje tylko pewne prawdopodobieństwo tego, dlatego równość (1) należy uzupełnić o wskazanie prawdopodobieństwa, z jakim ten stosunek ma sens (poniżej to sformułujemy oświadczenie dokładniej).

Ocena błędów jest konieczna, ponieważ nie wiedząc, czym one są, nie można wyciągnąć jednoznacznych wniosków z eksperymentu.

Zwykle obliczaj błąd bezwzględny i względny. Błąd bezwzględny Δx to różnica między rzeczywistą wartością mierzonej wielkości μ a wynikiem pomiaru x, tj. Δx = μ - x

Stosunek błędu bezwzględnego do rzeczywistej wartości zmierzonej wartości ε = (μ - x)/μ nazywany jest błędem względnym.

Błąd bezwzględny charakteryzuje błąd metody wybranej do pomiaru.

Błąd względny charakteryzuje jakość pomiarów. Dokładność pomiaru jest odwrotnością błędu względnego, tj. 1/ε.

§ 2. Klasyfikacja błędów

Wszystkie błędy pomiarowe dzielą się na trzy klasy: chybienia (błędy brutto), błędy systematyczne i losowe.

STRATA jest spowodowana ostrym naruszeniem warunków pomiaru w poszczególnych obserwacjach. Jest to błąd związany z wstrząsem lub uszkodzeniem urządzenia, rażącym błędem w obliczeniach eksperymentatora, nieprzewidzianą ingerencją itp. poważny błąd pojawia się zwykle w nie więcej niż jednym lub dwóch wymiarach i znacznie różni się wielkością od innych błędów. Obecność chybienia może znacznie przekrzywić wynik zawierający chybienie. Najprostszym sposobem jest ustalenie przyczyny poślizgu i wyeliminowanie go w trakcie pomiaru. Jeżeli poślizg nie został wykluczony podczas procesu pomiarowego, należy to zrobić podczas przetwarzania wyników pomiaru, stosując specjalne kryteria, które pozwalają obiektywnie zidentyfikować poważny błąd w każdej serii obserwacji, jeśli taki istnieje.

Błąd systematyczny jest składową błędu pomiaru, która pozostaje stała i regularnie zmienia się podczas powtarzanych pomiarów tej samej wartości. Błędy systematyczne powstają, jeśli na przykład rozszerzalność cieplna nie jest brana pod uwagę podczas pomiaru objętości cieczy lub gazu w wolno zmieniającej się temperaturze; jeżeli przy pomiarze masy nie uwzględnia się wpływu siły wyporu powietrza na ważone ciało i ciężarki itp.

Błędy systematyczne obserwuje się, jeśli skala linijki jest stosowana niedokładnie (nierównomiernie); kapilara termometru w różnych częściach ma inny przekrój; w przypadku braku prądu elektrycznego przez amperomierz strzałka urządzenia nie jest równa zeru itp.

Jak widać na przykładach błąd systematyczny spowodowany jest pewnymi przyczynami, jego wartość pozostaje stała (przesunięcie zerowe skali instrumentu, nierówne skale) lub zmienia się zgodnie z pewnym (czasem dość złożonym) prawem (niejednorodność skala, nierówny przekrój kapilary termometru itp.).

Można powiedzieć, że błąd systematyczny jest złagodzonym wyrażeniem, które zastępuje słowa „błąd eksperymentatora”.

Te błędy występują, ponieważ:

1. niedokładne przyrządy pomiarowe;
2. rzeczywista instalacja różni się nieco od ideału;
3. teoria zjawiska nie jest do końca poprawna, tj. nie uwzględniono żadnych skutków.

Wiemy, co zrobić w pierwszym przypadku, potrzebna jest kalibracja lub skalowanie. W pozostałych dwóch przypadkach nie ma gotowego przepisu. Im lepiej znasz fizykę, tym większe masz doświadczenie, tym większe prawdopodobieństwo, że wykryjesz takie efekty, a tym samym je wyeliminujesz. Nie ma ogólnych zasad, przepisów na identyfikowanie i eliminowanie błędów systematycznych, ale można dokonać pewnej klasyfikacji. Wyróżniamy cztery rodzaje błędów systematycznych.

1. Błędy systematyczne, których charakter jest Państwu znany, a ich wartość można znaleźć w związku z tym wykluczone przez wprowadzenie poprawek. Przykład. Ważenie na nierównych wagach. Niech różnica długości ramion 0,001 mm. Z wahaczem o długości 70 mm i zważona masa ciała 200 G błąd systematyczny wyniesie 2,86 mg. Błąd systematyczny tego pomiaru można wyeliminować, stosując specjalne metody ważenia (metoda Gaussa, metoda Mendelejewa itp.).
2. Błędy systematyczne, o których wiadomo, że są mniejsze lub równe określonej wartości. W takim przypadku podczas rejestrowania odpowiedzi można wskazać ich maksymalną wartość. Przykład. Paszport dołączony do mikrometru mówi: „Dopuszczalny błąd wynosi ± 0,004 mm. Temperatura +20 ± 4 ° C. Oznacza to, że przy pomiarze wymiarów ciała tym mikrometrem w temperaturach wskazanych w paszporcie będziemy mieli błąd bezwzględny nieprzekraczający ± 0,004 mm dla dowolnych wyników pomiarów.

   Często maksymalny błąd bezwzględny podawany przez dany przyrząd jest wskazywany przez klasę dokładności przyrządu, która jest wyświetlana na skali przyrządu przez odpowiednią liczbę, najczęściej zakreśloną w kółko.

   Liczba wskazująca klasę dokładności wskazuje maksymalny błąd bezwzględny przyrządu, wyrażony jako procent największej wartości mierzonej wartości na górnej granicy skali.

   Do pomiarów należy użyć woltomierza o skali od 0 do 250 W, jego klasa dokładności wynosi 1. Oznacza to, że maksymalny błąd bezwzględny, jaki można popełnić podczas pomiaru tym woltomierzem, nie będzie większy niż 1% najwyższej wartości napięcia, jaką można zmierzyć na tej skali przyrządu, innymi słowy:

   = ±0,01 250 W= ±2,5 W.

   Klasa dokładności elektrycznych przyrządów pomiarowych określa błąd maksymalny, którego wartość nie zmienia się podczas przechodzenia od początku do końca skali. W tym przypadku błąd względny zmienia się dramatycznie, ponieważ przyrządy zapewniają dobrą dokładność, gdy strzałka odchyla się prawie do całej skali i nie daje jej podczas pomiaru na początku skali. Stąd zalecenie: wybierz instrument (lub skalę instrumentu wielozakresowego) tak, aby strzałka instrumentu podczas pomiarów wychodziła poza środek skali.

   Jeżeli klasa dokładności urządzenia nie jest określona i nie ma danych paszportowych, za maksymalny błąd urządzenia przyjmuje się połowę ceny najmniejszej podziałki skali urządzenia.

   Kilka słów o dokładności władców. Linijki metalowe są bardzo dokładne: podziałki milimetrowe są stosowane z błędem nie większym niż ±0,05 mm, a centymetrowe nie gorsze niż z dokładnością do 0,1 mm. Błąd pomiarów wykonanych z dokładnością takich linijek jest praktycznie równy błędowi odczytu wzrokowego (≤0,5 mm). Lepiej nie używać linijek drewnianych i plastikowych, ich błędy mogą okazać się nadspodziewanie duże.

   Roboczy mikrometr zapewnia dokładność 0,01 mm, a błąd pomiaru suwmiarką zależy od dokładności, z jaką można dokonać odczytu, tj. dokładność noniusza (zwykle 0,1 mm lub 0,05 mm).

3. Błędy systematyczne wynikające z właściwości mierzonego obiektu. Błędy te często można sprowadzić do błędów losowych. Przykład.. Określono przewodność elektryczną niektórych materiałów. Jeśli do takiego pomiaru zostanie pobrany kawałek drutu, który ma jakąś wadę (pogrubienie, pęknięcie, niejednorodność), to zostanie popełniony błąd w określeniu przewodności elektrycznej. Powtarzanie pomiarów daje tę samą wartość, tj. jest jakiś systematyczny błąd. Zmierzmy rezystancję kilku odcinków takiego przewodu i znajdźmy średnią wartość przewodności elektrycznej tego materiału, która może być większa lub mniejsza od przewodności elektrycznej poszczególnych pomiarów, dlatego można przypisać błędy popełnione w tych pomiarach do tzw. błędów losowych.
4. Błędy systematyczne, których istnienie nie jest znane. Przykład.. Określ gęstość dowolnego metalu. Najpierw znajdź objętość i masę próbki. Wewnątrz próbki jest pustka, o której nic nie wiemy. Zostanie popełniony błąd w wyznaczeniu gęstości, który będzie powtarzany dla dowolnej liczby pomiarów. Podany przykład jest prosty, źródło błędu i jego wielkość można określić bez większych trudności. Błędy tego typu można wykryć za pomocą dodatkowych badań, wykonując pomiary zupełnie inną metodą i w innych warunkach.

RANDOM to składowa błędu pomiaru, która zmienia się losowo przy powtarzanych pomiarach o tej samej wartości.

Gdy powtarzane pomiary tej samej stałej, niezmiennej wielkości są wykonywane z taką samą starannością iw tych samych warunkach, otrzymujemy wyniki pomiarów, niektóre z nich różnią się od siebie, a niektóre pokrywają się. Takie rozbieżności w wynikach pomiarów wskazują na obecność w nich składowych błędu losowego.

Błąd przypadkowy wynika z jednoczesnego działania wielu źródeł, z których każde samo w sobie ma niezauważalny wpływ na wynik pomiaru, ale łączny wpływ wszystkich źródeł może być dość silny.

Błąd przypadkowy może przyjmować różne wartości bezwzględne, których nie można przewidzieć dla danego aktu pomiarowego. Ten błąd może być zarówno pozytywny, jak i negatywny. W eksperymencie zawsze występują błędy losowe. W przypadku braku błędów systematycznych powodują one rozproszenie powtarzanych pomiarów wokół wartości prawdziwej ( rys.14).

Jeżeli dodatkowo wystąpi błąd systematyczny, to wyniki pomiarów będą rozrzucone względem nie prawdziwej, ale obciążonej wartości ( rys.15).

Ryż. 14 Rys. piętnaście

Załóżmy, że za pomocą stopera mierzymy okres drgań wahadła, a pomiar powtarzamy wielokrotnie. Błędy w uruchamianiu i zatrzymywaniu stopera, błąd wartości odniesienia, niewielki nierównomierny ruch wahadła wszystko to powoduje rozrzut wyników powtarzanych pomiarów i dlatego można je zaliczyć do błędów przypadkowych.

Jeśli nie ma innych błędów, niektóre wyniki będą nieco zawyżone, a inne nieco zaniżone. Ale jeśli oprócz tego zegar również się spóźnia, wszystkie wyniki będą niedoszacowane. To już jest systematyczny błąd.

Niektóre czynniki mogą jednocześnie powodować błędy systematyczne i losowe. Tak więc, włączając i wyłączając stoper, możemy stworzyć niewielki nieregularny rozrzut w momentach uruchamiania i zatrzymywania zegara względem ruchu wahadła i tym samym wprowadzić przypadkowy błąd. Ale jeśli dodatkowo za każdym razem, gdy spieszymy się, aby włączyć stoper i nieco się spóźniamy, to doprowadzi to do systematycznego błędu.

Błędy losowe spowodowane są błędem paralaksy przy odczycie podziałek skali instrumentu, drżeniem fundamentu budynku, wpływem niewielkich ruchów powietrza itp.

Choć nie da się wykluczyć błędów przypadkowych poszczególnych pomiarów, matematyczna teoria zjawisk losowych umożliwia ograniczenie wpływu tych błędów na ostateczny wynik pomiaru. Poniżej zostanie pokazane, że w tym celu należy wykonać nie jeden, a kilka pomiarów, a im mniejszą wartość błędu chcemy uzyskać, tym więcej pomiarów trzeba wykonać.

Należy pamiętać, że jeśli błąd przypadkowy uzyskany z danych pomiarowych okaże się znacznie mniejszy niż błąd określony przez dokładność przyrządu, to oczywiste jest, że nie ma sensu próbować dalej zmniejszać wielkości błąd przypadkowy tak czy inaczej, wyniki pomiarów nie będą z tego bardziej dokładne.

Wręcz przeciwnie, jeśli błąd przypadkowy jest większy od błędu instrumentalnego (systematycznego), to pomiar należy wykonać kilka razy, aby zmniejszyć wartość błędu dla danej serii pomiarów i uczynić ten błąd mniejszym lub o jeden rząd wielkość z błędem instrumentu.

Błąd bezwzględny i względny są wykorzystywane do oceny niedokładności obliczeń wykonanych o dużej złożoności. Wykorzystywane są również w różnych pomiarach i do zaokrąglania wyników obliczeń. Zastanów się, jak określić błąd bezwzględny i względny.

Absolutny błąd

Błąd absolutny liczby nazwij różnicę między tą liczbą a jej dokładną wartością.
Rozważ przykład : W szkole uczy się 374 uczniów. Jeśli ta liczba jest zaokrąglana do 400, to bezwzględny błąd pomiaru wynosi 400-374=26.

Aby obliczyć błąd bezwzględny, odejmij mniejszą liczbę od większej.

Jest wzór na błąd absolutny. Dokładną liczbę oznaczamy literą A, a literą a - przybliżeniem do dokładnej liczby. Liczba przybliżona to liczba, która nieznacznie różni się od liczby dokładnej i zwykle zastępuje ją w obliczeniach. Wtedy formuła będzie wyglądać tak:

Δa=A-a. Jak znaleźć błąd bezwzględny według wzoru, omówiliśmy powyżej.

W praktyce błąd bezwzględny nie wystarcza do dokładnej oceny pomiaru. Rzadko jest możliwe dokładne poznanie wartości mierzonej wielkości w celu obliczenia błędu bezwzględnego. Jeśli mierzysz książkę o długości 20 cm i dopuszczasz błąd 1 cm, możesz odczytać pomiar z dużym błędem. Ale jeśli podczas pomiaru ściany o długości 20 metrów popełniono błąd 1 cm, pomiar ten można uznać za tak dokładny, jak to tylko możliwe. Dlatego w praktyce ważniejsze jest wyznaczenie względnego błędu pomiaru.

Zapisz bezwzględny błąd liczby za pomocą znaku ±. Na przykład , długość rolki tapety wynosi 30 m ± 3 cm Granica błędu bezwzględnego nazywana jest granicznym błędem bezwzględnym.

Względny błąd

Względny błąd nazywany stosunkiem bezwzględnego błędu liczby do samej liczby. Aby obliczyć błąd względny w przykładzie studenta, podziel 26 przez 374. Otrzymujemy liczbę 0,0695, konwertujemy ją na procent i otrzymujemy 6%. Błąd względny jest wyrażony w procentach, ponieważ jest to wielkość bezwymiarowa. Błąd względny to dokładne oszacowanie błędu pomiaru. Jeśli przy pomiarze długości odcinków 10 cm i 10 m przyjmiemy błąd bezwzględny 1 cm, to błędy względne wyniosą odpowiednio 10% i 0,1%. Dla odcinka o długości 10 cm błąd 1 cm jest bardzo duży, jest to błąd 10%. A dla dziesięciometrowego segmentu 1 cm nie ma znaczenia, tylko 0,1%.

Występują błędy systematyczne i losowe. Błąd systematyczny to błąd, który pozostaje niezmieniony podczas powtarzanych pomiarów. Błąd przypadkowy powstaje w wyniku wpływu czynników zewnętrznych na proces pomiarowy i może zmieniać jego wartość.

Zasady obliczania błędów

Istnieje kilka zasad nominalnego szacowania błędów:

• przy dodawaniu i odejmowaniu liczb konieczne jest dodanie ich bezwzględnych błędów;
• przy dzieleniu i mnożeniu liczb wymagane jest dodanie błędów względnych;
• gdy jest wykładany, względny błąd jest mnożony przez wykładnik.

Liczby przybliżone i dokładne są zapisywane przy użyciu ułamków dziesiętnych. Pobierana jest tylko wartość średnia, ponieważ dokładna wartość może być nieskończenie długa. Aby zrozumieć, jak pisać te liczby, musisz poznać prawidłowe i wątpliwe liczby.

Liczby prawdziwe to te liczby, których cyfra przekracza bezwzględny błąd liczby. Jeśli cyfra cyfry jest mniejsza niż błąd bezwzględny, nazywa się to wątpliwe. Na przykład , dla ułamka 3,6714 z błędem 0,002, poprawne będą liczby 3,6,7, a wątpliwe 1 i 4. W zapisie liczby przybliżonej pozostają tylko prawidłowe liczby. Ułamek w tym przypadku będzie wyglądał tak - 3,67.

Bezwzględny błąd pomiaru zwana wartością określoną przez różnicę między wynikiem pomiaru x I prawdziwa wartość mierzonej ilości! x 0:

Δ x = |x - x 0 |.

Wartość δ, równa stosunkowi bezwzględnego błędu pomiaru do wyniku pomiaru, nazywana jest błędem względnym:

Przykład 2.1. Przybliżona wartość liczby π to 3,14. Wtedy jego błąd to 0,00159. Błąd bezwzględny można uznać za równy 0,0016, a błąd względny równy 0,0016/3,14 = 0,00051 = 0,051%.

Znaczące liczby. Jeśli błąd bezwzględny wartości a nie przekracza jednej jednostki ostatniej cyfry liczby a, to mówią, że liczba ma wszystkie znaki poprawne. Należy spisywać przybliżone liczby, zachowując tylko prawidłowe znaki. Jeżeli np. błąd bezwzględny liczby 52400 jest równy 100, to liczbę tę należy zapisać np. jako 524·10 2 lub 0,524·10 5 . Możesz oszacować błąd przybliżonej liczby, wskazując, ile zawiera ona prawdziwych cyfr znaczących. Podczas liczenia cyfr znaczących zera po lewej stronie liczby nie są liczone.

Na przykład liczba 0.0283 ma trzy ważne cyfry znaczące, a 2.5400 ma pięć ważnych cyfr znaczących.

Zasady zaokrąglania liczb. Jeśli przybliżona liczba zawiera dodatkowe (lub nieprawidłowe) znaki, należy ją zaokrąglić. Podczas zaokrąglania pojawia się dodatkowy błąd, nieprzekraczający połowy jednostki ostatniej cyfry znaczącej ( d) liczba zaokrąglona. Podczas zaokrąglania zachowane są tylko prawidłowe znaki; dodatkowe znaki są odrzucane, a jeśli pierwsza odrzucona cyfra jest większa lub równa d/2, to ostatnia zapisana cyfra jest zwiększana o jeden.

Dodatkowe cyfry w liczbach całkowitych są zastępowane zerami, a w ułamkach dziesiętnych są odrzucane (podobnie jak dodatkowe zera). Na przykład, jeśli błąd pomiaru wynosi 0,001 mm, wynik 1,07005 jest zaokrąglany do 1,070. Jeśli pierwsza ze zmodyfikowanych i odrzuconych cyfr jest mniejsza niż 5, pozostałe cyfry nie są zmieniane. Na przykład liczba 148935 z dokładnością pomiaru 50 ma zaokrąglenie do 148900. Jeśli pierwsza cyfra, która ma zostać zastąpiona zerami lub odrzucona, to 5, a po niej nie ma cyfr ani zer, to zaokrąglanie jest wykonywane do najbliższej parzystej numer. Na przykład liczba 123,50 jest zaokrąglana do 124. Jeśli pierwsza cyfra, która ma zostać zastąpiona zerami lub odrzucona, jest większa niż 5 lub równa 5, ale następuje po niej cyfra znacząca, to ostatnia pozostała cyfra jest zwiększana o jeden. Na przykład liczba 6783.6 jest zaokrąglana do 6784.

Przykład 2.2. Przy zaokrąglaniu liczby 1284 do 1300 błąd bezwzględny wynosi 1300 - 1284 = 16, a przy zaokrąglaniu do 1280 błąd bezwzględny wynosi 1280 - 1284 = 4.

Przykład 2.3. Przy zaokrąglaniu liczby 197 do 200 błąd bezwzględny wynosi 200 - 197 = 3. Błąd względny wynosi 3/197 0,01523 lub około 3/200 ≈ 1,5%.

Przykład 2.4. Sprzedawca waży arbuza na wadze. W zestawie odważników najmniejsza jest 50 g. Ważenie dało 3600 g. Ta liczba jest orientacyjna. Dokładna waga arbuza nie jest znana. Ale błąd bezwzględny nie przekracza 50 g. Błąd względny nie przekracza 50/3600 = 1,4%.

Błędy w rozwiązaniu problemu na PC

Za główne źródła błędów uważa się zwykle trzy rodzaje błędów. Są to tak zwane błędy obcięcia, błędy zaokrągleń i błędy propagacji. Na przykład przy użyciu metod iteracyjnych do znajdowania pierwiastków równań nieliniowych wyniki są przybliżone, w przeciwieństwie do metod bezpośrednich, które dają dokładne rozwiązanie.

Błędy obcinania

Ten rodzaj błędu jest związany z błędem tkwiącym w samym problemie. Może to być spowodowane niedokładnością definicji danych początkowych. Na przykład, jeśli w stanie problemu są określone jakieś wymiary, to w praktyce dla obiektów rzeczywistych wymiary te są zawsze znane z pewną dokładnością. To samo dotyczy wszelkich innych parametrów fizycznych. Obejmuje to również niedokładność formuł obliczeniowych i zawartych w nich współczynników liczbowych.

Błędy propagacji

Ten rodzaj błędu wiąże się z zastosowaniem takiej lub innej metody rozwiązania problemu. W trakcie obliczeń nieuchronnie dochodzi do kumulacji, czyli propagacji błędów. Oprócz tego, że same oryginalne dane nie są dokładne, pojawia się nowy błąd, gdy są one mnożone, dodawane itp. Nagromadzenie błędu zależy od charakteru i liczby operacji arytmetycznych użytych w obliczeniach.

Błędy zaokrąglania

Ten rodzaj błędu wynika z faktu, że prawdziwa wartość liczby nie zawsze jest dokładnie przechowywana przez komputer. Gdy liczba rzeczywista jest przechowywana w pamięci komputera, jest zapisywana jako mantysa i wykładnik w podobny sposób, jak liczba wyświetlana na kalkulatorze.

W fizyce i innych naukach bardzo często konieczne jest mierzenie różnych wielkości (na przykład długości, masy, czasu, temperatury, oporności elektrycznej itp.).

Pomiar- proces wyznaczania wartości wielkości fizycznej za pomocą specjalnych środków technicznych - przyrządów pomiarowych.

Urządzenie pomiarowe nazywany urządzeniem, za pomocą którego zmierzona wielkość jest porównywana z wielkością fizyczną tego samego rodzaju, przyjmowaną jako jednostka miary.

Istnieją metody pomiaru bezpośredniego i pośredniego.

Metody pomiaru bezpośredniego - metody, w których wartości wyznaczanych wielkości znajdują się poprzez bezpośrednie porównanie mierzonego obiektu z jednostką miary (standard). Na przykład długość ciała mierzona linijką jest porównywana z jednostką długości - metr, masa ciała mierzona wagą jest porównywana z jednostką masy - kilogramem itp. Tak więc w wyniku pomiar bezpośredni, wyznaczoną wartość uzyskuje się natychmiast, bezpośrednio.

Pośrednie metody pomiaru- metody, w których wartości wyznaczanych wielkości są obliczane z wyników bezpośrednich pomiarów innych wielkości, z którymi łączy je znana zależność funkcjonalna. Na przykład wyznaczenie obwodu koła na podstawie wyników pomiaru średnicy lub określenie objętości ciała na podstawie wyników pomiaru jego wymiarów liniowych.

Ze względu na niedoskonałość przyrządów pomiarowych, naszych narządów zmysłów, wpływ czynników zewnętrznych na sprzęt pomiarowy i przedmiot pomiaru, a także inne czynniki, wszelkie pomiary można wykonać tylko z pewnym stopniem dokładności; dlatego wyniki pomiarów nie dają prawdziwej wartości mierzonej wielkości, a jedynie przybliżoną. Jeżeli np. masę ciała określa się z dokładnością do 0,1 mg, oznacza to, że znaleziona waga różni się od rzeczywistej masy ciała o mniej niż 0,1 mg.

Dokładność pomiarów – charakterystyka jakości pomiaru, odzwierciedlająca bliskość wyników pomiaru do rzeczywistej wartości mierzonej wielkości.

Im mniejsze błędy pomiarowe, tym większa dokładność pomiaru. Dokładność pomiaru zależy od przyrządów użytych do pomiarów oraz od ogólnych metod pomiarowych. Próba przekroczenia tej granicy dokładności przy wykonywaniu pomiarów w danych warunkach jest absolutnie bezużyteczna. Możliwe jest zminimalizowanie wpływu przyczyn, które zmniejszają dokładność pomiarów, ale nie da się ich całkowicie pozbyć, czyli mniej lub bardziej znaczące błędy (błędy) są zawsze popełniane podczas pomiarów. Aby zwiększyć dokładność wyniku końcowego, każdy pomiar fizyczny musi być wykonany nie raz, ale kilka razy w tych samych warunkach doświadczalnych.

W wyniku i-tego pomiaru (i jest numerem pomiaru) o wartości „X” uzyskuje się przybliżoną liczbę X i, która różni się od wartości prawdziwej Xist o pewną wartość ∆X i = |X i - X |, który jest błędem lub innymi słowy błędem.Prawdziwy błąd nie jest nam znany, ponieważ nie znamy prawdziwej wartości mierzonej wielkości.Prawdziwa wartość mierzonej wielkości fizycznej leży w przedziale

ja – ∆Х< Х i – ∆Х < Х i + ∆Х

gdzie X i jest wartością wartości X uzyskanej podczas pomiaru (czyli wartością zmierzoną); ∆X to bezwzględny błąd w określeniu wartości X.

Absolutny błąd (błąd) pomiaru ∆X jest wartością bezwzględną różnicy między rzeczywistą wartością mierzonej wielkości Hist a wynikiem pomiaru X i: ∆X = |X ist - X i |.

Względny błąd (błąd) pomiar δ (charakteryzujący dokładność pomiaru) jest liczbowo równy stosunkowi bezwzględnego błędu pomiaru ∆X do prawdziwej wartości zmierzonej wartości X sist (często wyrażonej w procentach): δ \u003d (∆X / X siostrzane) 100% .

Błędy lub błędy pomiaru można podzielić na trzy klasy: systematyczne, losowe i rażące (chybienia).

Systematyczny nazywają taki błąd, który pozostaje stały lub naturalnie (zgodnie z pewną zależnością funkcjonalną) zmienia się podczas powtarzanych pomiarów tej samej wielkości. Błędy te wynikają z cech konstrukcyjnych przyrządów pomiarowych, niedoskonałości przyjętej metody pomiarowej, ewentualnych zaniedbań eksperymentatora, wpływu warunków zewnętrznych lub wady samego obiektu pomiarowego.

W każdym urządzeniu pomiarowym tkwi jeden lub inny systematyczny błąd, którego nie można wyeliminować, ale którego kolejność można wziąć pod uwagę. Błędy systematyczne zwiększają lub zmniejszają wyniki pomiarów, to znaczy błędy te charakteryzują się stałym znakiem. Np. jeśli podczas ważenia jeden z odważników ma masę o 0,01 g większą niż podana na nim, to znaleziona wartość masy ciała zostanie zawyżona o tę wartość, bez względu na to, ile pomiarów zostanie wykonanych. Czasami błędy systematyczne można wziąć pod uwagę lub wyeliminować, czasami nie da się tego zrobić. Na przykład błędy krytyczne obejmują błędy instrumentu, o których możemy tylko powiedzieć, że nie przekraczają określonej wartości.

Losowe błędy zwane błędami, które zmieniają swoją wielkość i znakują się w nieprzewidywalny sposób od doświadczenia do doświadczenia. Pojawienie się przypadkowych błędów wynika z działania wielu różnorodnych i niekontrolowanych przyczyn.

Na przykład podczas ważenia wagą przyczyną mogą być drgania powietrza, osiadłe cząsteczki kurzu, różne tarcie w lewym i prawym zawieszeniu kubków itp. różne wartości: X1, X2, X3,…, X i , …, X n , gdzie X i jest wynikiem i-tego pomiaru. Nie jest możliwe ustalenie żadnej prawidłowości między wynikami, dlatego wynik i -tego pomiaru X jest uważany za zmienną losową. Błędy losowe mogą mieć pewien wpływ na pojedynczy pomiar, ale przy pomiarach powtarzanych są zgodne z prawami statystycznymi i ich wpływ na wyniki pomiarów można uwzględnić lub znacznie zmniejszyć.

Pomyłki i pomyłki– zbyt duże błędy, które wyraźnie zniekształcają wynik pomiaru. Ta klasa błędów jest najczęściej spowodowana nieprawidłowymi działaniami eksperymentatora (na przykład z powodu nieuwagi zamiast odczytu urządzenia „212” zapisywana jest zupełnie inna liczba - „221”). Pomiary zawierające chybienia i poważne błędy należy odrzucić.

Pomiary mogą być wykonane pod względem ich dokładności metodami technicznymi i laboratoryjnymi.

Przy zastosowaniu metod technicznych pomiar przeprowadza się jednorazowo. W tym przypadku zadowala ich taka dokładność, przy której błąd nie przekracza pewnej określonej, z góry określonej wartości, określonej błędem użytego sprzętu pomiarowego.

Przy laboratoryjnych metodach pomiarowych wymagane jest dokładniejsze wskazanie wartości mierzonej wielkości, niż pozwala na to jej pojedynczy pomiar metodą techniczną. W takim przypadku wykonuje się kilka pomiarów i oblicza się średnią arytmetyczną uzyskanych wartości, którą przyjmuje się jako najbardziej wiarygodną (prawdziwą) wartość zmierzonej wartości. Następnie oceniana jest dokładność wyniku pomiaru (z uwzględnieniem błędów losowych).

Z możliwości wykonywania pomiarów dwiema metodami wynika istnienie dwóch metod oceny dokładności pomiarów: technicznej i laboratoryjnej.