Nazywana jest optymalna wartość funkcji celu. Testy do bieżącej kontroli wiedzy

Dzielimy trzeci rząd przez element kluczowy równy 5, otrzymujemy trzeci rząd nowej tabeli.

Kolumny podstawowe odpowiadają pojedynczym kolumnom.

Obliczenie pozostałych wartości tabeli:

„BP — plan podstawowy”:

; ;

"x1": ; ;

"x5": ; .

Wartości wiersza indeksu są nieujemne, dlatego otrzymujemy optymalne rozwiązanie: , ; .

Odpowiadać: maksymalny zysk ze sprzedaży wyprodukowanych wyrobów, równy 160/3 szt., zapewnia dopuszczenie tylko wyrobów drugiego rodzaju w ilości 80/9 szt.

Zadanie numer 2

Podano problem programowania nieliniowego. Znajdź maksimum i minimum funkcji celu za pomocą metody grafowo-analitycznej. Skomponuj funkcję Lagrange'a i pokaż, że w punktach ekstremów są spełnione wystarczające warunki minimalne (maksymalne).

Dlatego ostatnia cyfra szyfru to 8, a następnie A=2; B=5.

Dlatego przedostatnia cyfra szyfru to 1, należy wybrać zadanie numer 1.

Rozwiązanie:

1) Narysujmy obszar, który definiuje system nierówności.

Obszar ten to trójkąt ABC o współrzędnych wierzchołków: A(0; 2); B(4; 6) i C(16/3; 14/3).

Poziomami funkcji celu są koła wyśrodkowane w punkcie (2; 5). Kwadraty promieni będą wartościami funkcji celu. Następnie rysunek pokazuje, że minimalna wartość funkcji celu jest osiągnięta w punkcie H, maksymalna wartość jest w punkcie A lub w punkcie C.

Wartość funkcji celu w punkcie A: ;

Wartość funkcji celu w punkcie C: ;

Oznacza to, że maksymalna wartość funkcji jest osiągnięta w punkcie A(0;2) i jest równa 13.

Znajdźmy współrzędne punktu H.

Aby to zrobić, rozważ system:

ó

ó

Linia jest styczna do okręgu, jeśli równanie ma unikalne rozwiązanie. Równanie kwadratowe ma unikalne rozwiązanie, jeśli dyskryminator wynosi 0.

Następnie ; ; - minimalna wartość funkcji.

2) Skomponuj funkcję Lagrange'a, aby znaleźć minimalne rozwiązanie:

Na x 1 =2.5; x 2 =4.5 otrzymujemy:

ó

System posiada rozwiązanie m.in. spełnione są wystarczające warunki ekstremalne.

Tworzymy funkcję Lagrange'a, aby znaleźć maksymalne rozwiązanie:

Wystarczające warunki dla ekstremum:

Na x 1 =0; x 2 =2 otrzymujemy:

ó ó

System posiada również rozwiązanie tj. spełnione są wystarczające warunki ekstremalne.

Odpowiadać: minimum funkcji celu jest osiągane przy ; ; maksymalna funkcja celu zostaje osiągnięta, gdy ; .

Zadanie numer 3

Dwa przedsiębiorstwa otrzymują środki w wysokości d jednostki. Po przydzieleniu do pierwszego przedsiębiorstwa na rok x jednostki środków, które zapewnia dochód k 1 x jednostek, a gdy przydzielone do drugiego przedsiębiorstwa tak jednostki funduszy, zapewnia dochód k 1 tak jednostki. Saldo środków na koniec roku dla pierwszego przedsiębiorstwa wynosi nx, a po drugie mój. Jak rozdysponować wszystkie środki w ciągu 4 lat, aby łączny dochód był jak największy? Rozwiąż problem poprzez programowanie dynamiczne.

i=8, k=1.

A=2200; k1=6; k2=1; n=0,2; m=0,5.

Rozwiązanie:

Cały okres 4 lat podzielony jest na 4 etapy, z których każdy jest równy jednemu rokowi. Ponumerujmy etapy począwszy od pierwszego roku. Niech X k i Y k będą środkami przydzielonymi odpowiednio przedsiębiorstwom A i B na k-tym etapie. Wtedy suma X k + Y k = a k jest sumą środków wykorzystanych na k - tym etapie i pozostałych z poprzedniego etapu k - 1. Na pierwszym etapie wykorzystywane są wszystkie przydzielone środki i a 1 = 2200 jednostek. dochód, który zostanie uzyskany na k - tym etapie, w którym zostaną przydzielone jednostki X k i Y k, wyniesie 6X k + 1Y k . niech maksymalny dochód uzyskany na ostatnich etapach począwszy od k - ten etap to f k (a k) jednostek. Napiszmy równanie funkcyjne Bellmana wyrażające zasadę optymalności: niezależnie od stanu początkowego i rozwiązania początkowego, kolejne rozwiązanie musi być optymalne ze względu na stan uzyskany w wyniku stanu początkowego:

Dla każdego etapu należy wybrać wartość X k , oraz wartość Y k=ak- Xk. Mając to na uwadze, znajdziemy dochód na k-tym etapie:

Funkcjonalne równanie Bellmana będzie wyglądać tak:

Rozważ wszystkie etapy, zaczynając od ostatniego.

(ponieważ maksimum funkcji liniowej jest osiągnięte na końcu odcinka przy x 4 = a 4);

Konstruujemy na płaszczyźnie zbiór możliwych rozwiązań układu nierówności liniowych i geometrycznie znajdujemy minimalną wartość funkcji celu.

Budujemy w układzie współrzędnych x 1 oh 2 linie

Znajdujemy półpłaszczyzny wyznaczone przez system. Ponieważ nierówności systemu są spełnione dla dowolnego punktu z odpowiedniej półpłaszczyzny, wystarczy sprawdzić je w dowolnym punkcie. Używamy punktu (0;0). Wstawmy jego współrzędne do pierwszej nierówności układu. Dlatego , to nierówność definiuje półpłaszczyznę, która nie zawiera punktu (0;0). Podobnie definiujemy pozostałe półpłaszczyzny. Zestaw możliwych rozwiązań znajdujemy jako wspólną część uzyskanych półpłaszczyzn - jest to obszar zacieniony.

Budujemy wektor i prostopadłą do niego prostą o poziomie zerowym.

Przesuwając linię (5) w kierunku wektora, widzimy, że maksymalny punkt regionu będzie w punkcie A przecięcia prostej (3) i prostej (2). Znajdujemy rozwiązanie układu równań:

Tak więc dostaliśmy punkt (13;11) i.

Przesuwając linię (5) w kierunku wektora widzimy, że minimalny punkt regionu będzie w punkcie B przecięcia prostej (1) i prostej (4). Znajdujemy rozwiązanie układu równań:

Tak więc otrzymaliśmy punkt (6;6) i.

2. Firma meblowa produkuje szafy kombinowane i stoły komputerowe. Ich produkcja jest ograniczona dostępnością surowców (wysokiej jakości płyty, okucia) oraz czasem pracy maszyn, które je przetwarzają. Każda szafka wymaga 5 m2 desek, na stół 2 m2. Okucia za 10 USD wydawane są na jedną szafkę, a 8 USD na jeden stół. Firma może otrzymywać od swoich dostawców do 600 m2 płyt miesięcznie oraz akcesoria za 2000 USD. Na każdą szafkę wymagane jest 7 godzin pracy maszyny, na stół - 3 godziny. Możliwe jest wykorzystanie tylko 840 godzin pracy maszyny miesięcznie.

Ile kombinowanych szafek i stołów komputerowych powinna produkować miesięcznie firma, aby zmaksymalizować zysk, jeśli jedna szafka przynosi 100 dolarów, a każdy stół przynosi 50 dolarów?

• 1. Ułożyć matematyczny model problemu i rozwiązać go metodą simpleks.
• 2. Skomponować matematyczny model problemu dualnego, zapisać jego rozwiązanie na podstawie rozwiązania pierwotnego.
• 3. Określ stopień niedoboru wykorzystywanych zasobów i uzasadnij opłacalność optymalnego planu.
• 4. Zbadaj możliwości dalszego zwiększania wydajności, w zależności od wykorzystania każdego rodzaju zasobu.
• 5. Ocenić możliwość wprowadzenia nowego typu produktu - regałów, jeśli na wyprodukowanie jednej półki wydamy 1 m 2 płyt i akcesoriów za 5 USD, a wymagane jest 0,25 godziny pracy maszyny i zysk ze sprzedaży jedna półka to 20 USD.
• 1. Zbudujmy model matematyczny tego problemu:

Oznaczmy przez x 1 - wielkość produkcji szafek, a x 2 - wielkość produkcji stołów. Skomponujmy układ ograniczeń i funkcję celu:

Problem rozwiązujemy metodą simpleks. Napiszmy to w formie kanonicznej:

Zapiszmy dane zadania w postaci tabeli:

Tabela 1

Dlatego teraz wszystkie delty są większe od zera, to dalsze zwiększanie wartości funkcji celu f jest niemożliwe i otrzymaliśmy plan optymalny.

Wstęp

Współczesny etap rozwoju człowieka różni się tym, że wiek energii zostaje zastąpiony przez epokę informatyki. We wszystkich sferach działalności człowieka następuje intensywne wprowadzanie nowych technologii. Istnieje realny problem przejścia do społeczeństwa informacyjnego, dla którego rozwój edukacji powinien stać się priorytetem. Zmienia się również struktura wiedzy w społeczeństwie. Podstawowa wiedza, która przyczynia się do twórczego rozwoju jednostki, staje się coraz ważniejsza w życiu praktycznym. Ważna jest również konstruktywność zdobytej wiedzy, umiejętność jej uporządkowania zgodnie z celem. Na bazie wiedzy powstają nowe zasoby informacyjne społeczeństwa. Formowanie i zdobywanie nowej wiedzy powinno opierać się na ścisłej metodologii podejścia systematycznego, w ramach którego odrębne miejsce zajmuje podejście modelowe. Możliwości podejścia modelowego są niezwykle zróżnicowane zarówno pod względem stosowanych modeli formalnych, jak i sposobów wdrażania metod modelowania. Modelowanie fizyczne umożliwia uzyskanie wiarygodnych wyników dla dość prostych systemów.

Obecnie nie sposób wymienić obszaru działalności człowieka, w którym w takim czy innym stopniu nie byłyby stosowane metody modelowania. Dotyczy to zwłaszcza zarządzania różnymi systemami, gdzie głównymi są procesy decyzyjne oparte na otrzymanych informacjach.

1. Stwierdzenie problemu

minimalna funkcja celu

Rozwiąż zadanie znalezienia minimum funkcji celu dla układu ograniczeń określonego wielokątem decyzyjnym zgodnie z opcją nr 16 zadania. Wielokąt decyzyjny pokazano na rysunku 1:

Rysunek 1 - Wielokąt rozwiązań problemów

Poniżej przedstawiono system ograniczeń oraz funkcję celu problemu:

Konieczne jest rozwiązanie problemu za pomocą następujących metod:

Graficzna metoda rozwiązywania problemów LP;

Metoda algebraiczna rozwiązywania problemów LP;

Metoda simpleksowa do rozwiązywania problemów LP;

Metoda znajdowania realnego rozwiązania problemów LP;

Rozwiązanie problemu podwójnego LP;

Metoda „gałęzi i granic” do rozwiązywania problemów z liczbami całkowitymi LP;

metoda Gomory'ego rozwiązywania problemów z liczbami całkowitymi LP;

Metoda Balash do rozwiązywania problemów logicznych LP.

Porównaj wyniki rozwiązania różnymi metodami, aby wyciągnąć odpowiednie wnioski z pracy.

2. Graficzne rozwiązanie problemu programowania liniowego

Graficzną metodę rozwiązywania problemów programowania liniowego stosuje się w przypadkach, gdy liczba niewiadomych nie przekracza trzech. Jest wygodny do jakościowego badania właściwości roztworów i jest stosowany w połączeniu z innymi metodami (algebraicznymi, rozgałęzionymi i związanymi itp.). Idea metody opiera się na graficznym rozwiązaniu układu nierówności liniowych.

Ryż. 2 Graficzne rozwiązanie problemu LP

Niski punkt

Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty A1 i A2:

AB: (0;1); (3;3)

Słońce: (3;3); (4;1)

CD: (4;1); (3;0)

EA: (1;0); (0;1)

CF: (0;1); (5;2)

z ograniczeniami:

Rozwiązywanie zadania programowania liniowego metodą algebraiczną simpleks

Zastosowanie metody algebraicznej do rozwiązania problemu wymaga uogólnienia reprezentacji problemu LP. Pierwotny system więzów podanych w postaci nierówności jest konwertowany do standardowego zapisu, gdy więzy podane są w postaci równości. Konwersja systemu wiązań do postaci standardowej obejmuje następujące kroki:

Przekształć nierówności w taki sposób, aby zmienne i wolne elementy znajdowały się po lewej stronie, a 0 po prawej, tj. że lewa strona jest większa lub równa zero;

Wprowadź dodatkowe zmienne, których liczba jest równa liczbie nierówności w systemie ograniczeń;

Wprowadzając dodatkowe ograniczenia dotyczące nieujemności dodanych zmiennych, zastąp znaki nierówności ścisłymi znakami równości.

Przy rozwiązywaniu problemu LP metodą algebraiczną dodawany jest warunek: funkcja celu powinna dążyć do minimum. Jeżeli warunek ten nie jest spełniony, konieczne jest odpowiednie przekształcenie funkcji celu (pomnożenie przez -1) i rozwiązanie problemu minimalizacji. Po znalezieniu rozwiązania podstaw wartości zmiennych w pierwotnej funkcji i oblicz jej wartość.

Rozwiązanie problemu metodą algebraiczną uważa się za optymalne, gdy wartości wszystkich podstawowych zmiennych są nieujemne, a współczynniki dla zmiennych swobodnych w równaniu funkcji celu są również nieujemne. Jeśli te warunki nie są spełnione, konieczne jest przekształcenie systemu nierówności, wyrażając jedne zmienne w kategoriach innych (zmienne swobodne i podstawowe), aby osiągnąć powyższe ograniczenia. Zakłada się, że wartość wszystkich wolnych zmiennych wynosi zero.

Algebraiczna metoda rozwiązywania zadań programowania liniowego jest jedną z najskuteczniejszych metod ręcznego rozwiązywania zadań o małych wymiarach. nie wymaga dużej liczby obliczeń arytmetycznych. Implementacja maszynowa tej metody jest bardziej skomplikowana niż np. dla metody simplex, ponieważ algorytm rozwiązywania metody algebraicznej jest w pewnym stopniu heurystyczny, a skuteczność rozwiązania w dużej mierze zależy od osobistych doświadczeń.

wolne zmienne

Św - Dodaj. zestaw

Warunki nieujemności są spełnione, dlatego znaleziono optymalne rozwiązanie.

3. Rozwiązywanie problemu programowania liniowego przy użyciu tablicy simpleksowej

Rozwiązanie: Przenieśmy problem do standardowego formularza do rozwiązania za pomocą tablicy simpleksowej.

Sprowadzamy wszystkie równania układu do postaci:

Budujemy tablicę simpleksową:

W górnym rogu każdej komórki tabeli wpisujemy współczynniki z układu równań;

Wybieramy maksymalny element dodatni w wierszu F, z wyjątkiem tego, że będzie to kolumna ogólna;

Aby znaleźć element ogólny, budujemy relację dla wszystkich pozytywnych. 3/3; 9/1;- minimalny współczynnik w linii x3. Stąd - ogólny ciąg i =3 - ogólny element.

Znajdujemy =1/=1/3. Wprowadzamy dolny róg komórki, w którym znajduje się element ogólny;

We wszystkich niewypełnionych dolnych rogach linii ogólnej wpisujemy iloczyn wartości w górnym rogu komórki wg;

Wybierz górne rogi linii ogólnej;

We wszystkich dolnych rogach kolumny ogólnej wpisujemy iloczyn wartości w górnym rogu przez - i wybieramy otrzymane wartości;

Pozostałe komórki tabeli są wypełniane jako iloczyny odpowiednich wybranych elementów;

Następnie budujemy nową tabelę, w której oznaczenia komórek elementów ogólnej kolumny i wiersza są odwrócone (x2 i x3);

W górnym rogu poprzedniego ogólnego wiersza i kolumny zapisane są wartości, które wcześniej znajdowały się w dolnym rogu;

Suma wartości górnych i dolnych rogów tych komórek w poprzedniej tabeli jest zapisana w górnym rogu pozostałych komórek

4. Rozwiązywanie problemu programowania liniowego poprzez znalezienie wykonalnego rozwiązania

Niech będzie dany układ liniowych równań algebraicznych:

Możemy założyć, że wszystko, w przeciwnym razie pomnożymy odpowiednie równanie przez -1.

Wprowadzamy zmienne pomocnicze:

Wprowadzamy również funkcję pomocniczą

Zminimalizujemy system pod ograniczeniami (2) i warunkami.

REGUŁA WYSZUKIWANIA MOŻLIWEGO ROZWIĄZANIA: Aby znaleźć wykonalne rozwiązanie dla systemu (1), minimalizujemy formę (3) pod ograniczeniami (2), jako swobodne niewiadome przyjmujemy xj jako podstawowe.

Podczas rozwiązywania problemu metodą simpleks mogą pojawić się dwa przypadki:

min f=0, to wszystko i musi być równe zero. A wynikowe wartości xj będą wykonalnym rozwiązaniem dla systemu (1).

min f>0, tj. oryginalny system nie ma prawidłowego rozwiązania.

System źródłowy:

Wykorzystywany jest stan problemu z poprzedniego tematu.

Dodajmy dodatkowe zmienne:

Znaleziono dopuszczalne rozwiązanie pierwotnego problemu: x1 = 3, x2 = 3, F = -12. Na podstawie uzyskanego rozwiązania dopuszczalnego znajdujemy optymalne rozwiązanie pierwotnego problemu metodą simpleks. W tym celu zbudujemy nową tabelę simpleks z tabeli uzyskanej powyżej, usuwając wiersz i wiersz z funkcją docelową zadania pomocniczego:

Analizując skonstruowaną tablicę simpleks, widzimy, że optymalne rozwiązanie pierwotnego problemu zostało już znalezione (elementy w wierszu odpowiadającym funkcji celu są ujemne). Zatem możliwe rozwiązanie znalezione podczas rozwiązywania problemu pomocniczego pokrywa się z optymalnym rozwiązaniem pierwotnego problemu:

6. Dualny problem programowania liniowego

Początkowy układ ograniczeń oraz funkcję celu problemu przedstawiono na poniższym rysunku.

z ograniczeniami:

Rozwiązanie: Sprowadzamy system ograniczeń do standardowej formy:

Zadanie podwójne do tego będzie wyglądać tak:

Problem dualny zostanie rozwiązany metodą simpleks.

Przekształćmy funkcję celu tak, aby rozwiązać problem minimalizacji i zapiszmy układ ograniczeń w postaci standardowej do rozwiązania metodą simpleks.

y6 = 1 - (-2 y1 + 2y2 + y3 + y4+ y5)

y7 = 5 - (-3y1 - y2 + y3 + y4)

Ф = 0 - (3y1 + 9y2 + 3y3 + y4) ??min

Skonstruujmy początkową tablicę simpleksową do rozwiązania problemu podwójnego LP.

Drugi krok metody simplex

Tak więc w trzecim kroku metody simpleks znaleziono optymalne rozwiązanie problemu minimalizacji z następującymi wynikami: y2 = -7 /8, y1 = -11/8, Ф = 12. Aby znaleźć wartość funkcję celu problemu dualnego, znalezione wartości zmiennych podstawowych i wolnych podstawiamy do funkcji maksymalizacji:

Фmax = - Фmin = 3*(-11/8) + 9(-7/8) + 3*0 + 0 = -12

Ponieważ wartość funkcji celu problemów bezpośrednich i dualnych jest taka sama, znaleziono rozwiązanie problemu bezpośredniego i jest ono równe 12.

Fmin \u003d Fmax \u003d -12

7. Rozwiązywanie problemu programowania liniowego całkowitoliczbowego metodą „gałęzi i granic”

Przekształćmy pierwotny problem w taki sposób, aby warunek liczby całkowitej nie był spełniony przy rozwiązywaniu metodami konwencjonalnymi.

Wielokąt początkowy rozwiązań problemu programowania liczb całkowitych.

Skonstruujmy nowy układ więzów dla przekształconego wielokąta rozwiązania.

Zapisujemy układ więzów w postaci równości, do rozwiązania metodą algebraiczną.

W wyniku rozwiązania ustalono optymalny plan zadań: x1 = 9/4, x2 = 5/2, F = -41/4. To rozwiązanie nie spełnia warunku integralności określonego w zadaniu. Dzielimy oryginalny wielokąt rozwiązania na dwa regiony, wyłączając z niego region 3

Zmieniony wielokąt rozwiązań problemów

Skomponujmy nowe układy ograniczeń dla utworzonych obszarów wielokąta rozwiązania. Lewy obszar jest czworobokiem (trapez). Poniżej przedstawiono układ więzów dla lewego obszaru wieloboku rozwiązania.

System ograniczeń dla lewego regionu

Prawy region reprezentuje punkt C.

Poniżej przedstawiono system ograniczeń dla właściwego obszaru decyzyjnego.

Nowe systemy ograniczeń to dwa dodatkowe problemy, które należy rozwiązać niezależnie od siebie. Rozwiążmy problem programowania liczb całkowitych dla lewego obszaru wielokąta rozwiązania.

W wyniku rozwiązania ustalono optymalny plan zadań: x1 = 3, x2 = 3, F = -12. Plan ten spełnia warunek zmiennych całkowitych w zadaniu i może być traktowany jako optymalny plan odniesienia dla pierwotnego problemu programowania liniowego całkowitoliczbowego. Nie ma sensu przeprowadzać rozwiązania dla właściwego regionu rozwiązania. Poniższy rysunek przedstawia postęp w rozwiązaniu problemu programowania liniowego całkowitoliczbowego w postaci drzewa.

Przebieg rozwiązywania problemu programowania liniowego całkowitoliczbowego metodą Gomory'ego.

W wielu praktycznych zastosowaniach dużym zainteresowaniem cieszy się problem programowania całkowitoliczbowego, w którym podano układ nierówności liniowych i postać liniową

Wymagane jest znalezienie rozwiązania całkowitoliczbowego układu (1), które minimalizuje funkcję celu F, a wszystkie współczynniki są liczbami całkowitymi.

Jedną z metod rozwiązania problemu programowania liczb całkowitych zaproponował Gomori. Ideą metody jest wykorzystanie metod ciągłego programowania liniowego, w szczególności metody simplex.

1) Metodą simpleks wyznacza się rozwiązanie problemu (1), (2), dla którego usuwa się wymaganie, aby rozwiązanie było liczbą całkowitą; jeśli rozwiązanie okaże się liczbą całkowitą, wówczas zostanie również znalezione pożądane rozwiązanie problemu liczb całkowitych;

2) W przeciwnym razie, jeśli jakaś współrzędna nie jest liczbą całkowitą, otrzymane rozwiązanie problemu sprawdza się pod kątem możliwości istnienia rozwiązania całkowitoliczbowego (obecność punktów całkowitych w dopuszczalnym wielościanie):

jeśli w dowolnym wierszu z ułamkowym elementem swobodnym wszystkie inne współczynniki okazują się liczbami całkowitymi, to nie ma liczb całkowitych, punktów w dopuszczalnym wielościanie, a problem programowania liczb całkowitych nie ma rozwiązania;

W przeciwnym razie wprowadzane jest dodatkowe ograniczenie liniowe, które odcina od dopuszczalnego wielościanu część mało obiecującą dla znalezienia rozwiązania problemu programowania liczb całkowitych;

3) Aby skonstruować dodatkowe więzy liniowe, wybierz l-ty wiersz z ułamkowym elementem swobodnym i zapisz dodatkowe więzy

gdzie i są odpowiednio częściami ułamkowymi współczynników i free

członek. Wprowadźmy zmienną pomocniczą do ograniczenia (3):

Wyznaczmy współczynniki i uwzględnijmy w ograniczeniu (4):

gdzie i są najbliższymi niższymi liczbami całkowitymi odpowiednio dla i .

Gomory udowodnił, że skończona liczba takich kroków prowadzi do problemu programowania liniowego, którego rozwiązaniem jest liczba całkowita, a więc pożądana.

Rozwiązanie: Sprowadzamy system ograniczeń liniowych i funkcję celu do postaci kanonicznej:

Wyznaczmy optymalne rozwiązanie układu więzów liniowych, tymczasowo odrzucając warunek całkowity. Używamy do tego metody simplex. Poniższe tabele przedstawiają kolejno wstępne rozwiązanie problemu, a przekształcenia oryginalnej tabeli podano w celu uzyskania optymalnego rozwiązania problemu:

Rozwiązywanie problemów logicznych LP metodą Balash.

Skomponuj samodzielnie wariant zadania całkowitoliczbowego programowania liniowego ze zmiennymi boolowskimi, biorąc pod uwagę następujące zasady: w zadaniu wykorzystuje się co najmniej 5 zmiennych, co najmniej 4 ograniczenia, współczynniki ograniczeń i funkcję celu dobierane są arbitralnie, ale w takim sposób, aby system ograniczeń był kompatybilny. Zadanie polega na rozwiązaniu ZCLP ze zmiennymi boolowskimi za pomocą algorytmu Balash i wyznaczeniu redukcji złożoności obliczeniowej w stosunku do rozwiązania problemu poprzez wyszukiwanie wyczerpujące.

Egzekucja ograniczeń

Wartość F

Ograniczenie filtra:

Wyznaczanie redukcji obliczeń

Rozwiązaniem problemu metodą wyszukiwania wyczerpującego jest 6*25=192 wyrażeń obliczonych. Rozwiązaniem problemu metodą Balasha jest 3*6+(25-3)=47 wyrażeń obliczonych. Całkowite zmniejszenie złożoności obliczeń w stosunku do rozwiązania problemu metodą wyszukiwania wyczerpującego jest.

Wniosek

Proces projektowania systemów informatycznych wdrażających nowe technologie informatyczne jest stale udoskonalany. Coraz bardziej złożone systemy stają się przedmiotem uwagi inżynierów systemowych, co utrudnia korzystanie z modeli fizycznych oraz zwiększa znaczenie modeli matematycznych i komputerowej symulacji systemów. Modelowanie maszyn stało się skutecznym narzędziem do badań i projektowania złożonych systemów. Znaczenie modeli matematycznych stale rośnie ze względu na ich elastyczność, adekwatność do rzeczywistych procesów, niski koszt wdrożenia w oparciu o nowoczesne komputery PC. Coraz więcej możliwości ma użytkownik, czyli specjalista od modelowania systemów za pomocą technologii komputerowej. Zastosowanie modelowania jest szczególnie efektywne na wczesnych etapach projektowania systemów zautomatyzowanych, kiedy koszt błędnych decyzji jest najbardziej znaczący.

Nowoczesne narzędzia obliczeniowe umożliwiły znaczne zwiększenie złożoności modeli wykorzystywanych w badaniu systemów, stało się możliwe budowanie modeli kombinowanych, analitycznych i symulacyjnych, które uwzględniają całą różnorodność czynników zachodzących w rzeczywistych systemach, czyli wykorzystanie modeli bardziej adekwatnych do badanych zjawisk.

Literatura:

1. Lyashchenko I.N. Programowanie liniowe i nieliniowe / IN Lyashchenko, E.A. Karagodova, N.V. Chernikova, N.Z. Shor. - K.: „Szkoła Wyższa”, 1975, 372 s.

2. Wytyczne dotyczące realizacji projektu kursu w dyscyplinie „Matematyka stosowana” dla studentów specjalności „Systemy komputerowe i sieci” stacjonarne i niestacjonarne formy kształcenia / Opracowali: I.A. Balakireva, A.V. Skatkov - Sewastopol: Wydawnictwo SevNTU , 2003. - 15 s.

3. Wytyczne do badania dyscypliny „Matematyka stosowana”, sekcja „Metody globalnego wyszukiwania i jednowymiarowej minimalizacji” / Comp. A.V. Skatkov, I.A. Balakireva, L.A. Litvinova - Sewastopol: Wydawnictwo SevGTU, 2000. - 31 s.

4. Wytyczne dotyczące studiowania dyscypliny „Matematyka stosowana” dla studentów specjalności „Systemy i sieci komputerowe” Sekcja „Rozwiązywanie problemów programowania liniowego całkowitoliczbowego” stacjonarnych i korespondencyjnych form kształcenia / Opracowali: I.A. Balakireva, A.V. Skatkov - Sewastopol : Wydawnictwo SevNTU, 2000. - 13 s.

5. Akulicz I.L. Programowanie matematyczne w przykładach i zadaniach:

6. Proc. dodatek na gospodarkę studencką. specjalista. uniwersytety.-M.: Wyższe. szkoła, 1986.- 319., chor.

7. Andronov S.A. Optymalne metody projektowania: Tekst wykładu / SPbGUAP. SPb., 2001. 169 s.: chor.

Podobne dokumenty

Algorytm rozwiązywania problemów programowania liniowego metodą simpleks. Budowa modelu matematycznego zadania programowania liniowego. Rozwiązywanie problemu programowania liniowego w Excelu. Znalezienie zysku i optymalnego planu produkcji.

praca semestralna, dodana 21.03.2012


Graficzne rozwiązywanie problemów. Opracowanie modelu matematycznego. Wyznaczanie maksymalnej wartości funkcji celu. Rozwiązanie metodą simpleks ze sztuczną podstawą problemu kanonicznego programowania liniowego. Sprawdzenie optymalności rozwiązania.

test, dodano 04.05.2016


Teoretyczne podstawy programowania liniowego. Problemy programowania liniowego, metody rozwiązywania. Analiza optymalnego rozwiązania. Rozwiązanie problemu programowania liniowego z jednym indeksem. Stwierdzenie problemu i wprowadzenie danych. Budowa modelu i kroki rozwiązania.

praca semestralna, dodana 12.09.2008


Budowa modelu matematycznego. Wybór, uzasadnienie i opis metody rozwiązywania bezpośredniego problemu programowania liniowego metodą simpleks z wykorzystaniem tablicy simpleksowej. Formułowanie i rozwiązanie problemu dualnego. Analiza modelu pod kątem wrażliwości.

praca semestralna, dodana 31.10.2014


Budowanie modelu matematycznego w celu maksymalizacji zysku przedsiębiorstwa, graficzne rozwiązanie problemu. Rozwiązywanie problemów za pomocą dodatku SOLVER. Analiza zmian zasobów zasobów. Wyznaczanie granic zmian współczynników funkcji celu.

praca semestralna, dodana 17.12.2014


Programowanie matematyczne. Programowanie liniowe. Problemy programowania liniowego. Graficzna metoda rozwiązywania zadania programowania liniowego. Ekonomiczne sformułowanie problemu programowania liniowego. Budowa modelu matematycznego.

praca semestralna, dodana 13.10.2008


Rozwiązywanie problemu programowania liniowego metodą graficzną, jego weryfikacja w MS Excel. Analiza wewnętrznej struktury rozwiązania problemu w programie. Optymalizacja planu produkcyjnego. Rozwiązanie problemu metodą simpleks. Wielokanałowy system kolejkowania.

test, dodano 05/02/2012


Rozwiązanie problemu programowania liniowego metodą simpleks: postawienie problemu, zbudowanie modelu ekonomicznego i matematycznego. Rozwiązanie problemu transportowego metodą potencjałów: budowa wstępnego planu odniesienia, wyznaczenie jego optymalnej wartości.

test, dodano 04/11/2012


Stwierdzenie problemu programowania nieliniowego. Wyznaczanie punktów stacjonarnych i ich rodzaju. Budowa linii poziomu, trójwymiarowy wykres funkcji celu i ograniczeń. Graficzne i analityczne rozwiązanie problemu. Instrukcja obsługi i schemat algorytmu.

praca semestralna, dodana 17.12.2012


Analiza rozwiązania problemu programowania liniowego. Metoda simpleksowa z wykorzystaniem tablic simpleksowych. Modelowanie i rozwiązywanie problemów LP na komputerze. Ekonomiczna interpretacja optymalnego rozwiązania problemu. Matematyczne sformułowanie problemu transportowego.

Jeśli w zadaniu programowania liniowego występują tylko dwie zmienne, to można je rozwiązać graficznie.

Rozważmy problem programowania liniowego z dwiema zmiennymi i :
(1.1) ;
(1.2)
Tutaj są dowolne liczby. Zadaniem może być zarówno znalezienie maksimum (max), jak i znalezienie minimum (min). W systemie ograniczeń mogą występować zarówno znaki, jak i znaki.

Budowa domeny wykonalnych rozwiązań

Graficzna metoda rozwiązania problemu (1) jest następująca.
Najpierw rysujemy osie współrzędnych i wybieramy skalę. Każda z nierówności systemu więzów (1.2) definiuje półpłaszczyznę ograniczoną odpowiednią linią.

Więc pierwsza nierówność
(1.2.1)
definiuje półpłaszczyznę ograniczoną linią. Po jednej stronie tej linii i po drugiej stronie. Na najprostszej linii. Aby dowiedzieć się, z której strony nierówność (1.2.1) jest spełniona, wybieramy dowolny punkt, który nie leży na linii. Następnie podstawiamy współrzędne tego punktu w (1.2.1). Jeśli nierówność się utrzymuje, to półpłaszczyzna zawiera wybrany punkt. Jeżeli nierówność nie jest spełniona, to półpłaszczyzna znajduje się po drugiej stronie (nie zawiera wybranego punktu). Zacieniamy półpłaszczyznę, dla której nierówność (1.2.1) jest spełniona.

To samo robimy dla pozostałych nierówności systemu (1.2). Więc otrzymujemy zacienione półpłaszczyzny. Punkty z dziedziny dopuszczalnych rozwiązań spełniają wszystkie nierówności (1.2). Dlatego graficznie obszar dopuszczalnych rozwiązań (ODD) jest przecięciem wszystkich skonstruowanych półpłaszczyzn. Zacieniamy ODR. Jest to wielokąt wypukły, którego ściany należą do skonstruowanych linii. Również ODR może być nieograniczoną wypukłą figurą, segmentem, promieniem lub linią prostą.

Może się również zdarzyć, że półpłaszczyzny nie zawierają punktów wspólnych. Wtedy domeną dopuszczalnych rozwiązań jest zbiór pusty. Ten problem nie ma rozwiązania.

Możesz uprościć metodę. Nie możesz zacieniać każdej półpłaszczyzny, ale najpierw zbuduj wszystkie linie
(2)
Następnie wybierz dowolny punkt, który nie należy do żadnej z tych linii. Podstaw współrzędne tego punktu do układu nierówności (1.2). Jeżeli wszystkie nierówności są spełnione, to obszar możliwych rozwiązań jest ograniczony konstruowanymi liniami i obejmuje wybrany punkt. Zacieniamy obszar dopuszczalnych rozwiązań wzdłuż granic linii tak, aby obejmował wybrany punkt.

Jeśli przynajmniej jedna nierówność nie jest spełniona, wybierz inny punkt. I tak dalej, aż do znalezienia jednego punktu, którego współrzędne spełniają wymagania układu (1.2).

Znajdowanie ekstremum funkcji celu

Mamy więc zacieniony obszar możliwych rozwiązań (ODD). Jest ograniczony linią łamaną składającą się z odcinków i promieni należących do skonstruowanych linii (2). ODR jest zawsze zestawem wypukłym. Może to być zbiór ograniczony lub zbiór nieograniczony wzdłuż niektórych kierunków.

Teraz możemy poszukać ekstremum funkcji celu
(1.1) .

Aby to zrobić, wybierz dowolną liczbę i zbuduj linię prostą
(3) .
Dla wygody dalszej prezentacji zakładamy, że ta prosta linia przechodzi przez ODS. Na tej prostej funkcja celu jest stała i równa . taka linia prosta nazywana jest linią poziomu funkcji. Linia ta dzieli płaszczyznę na dwie półpłaszczyzny. Na jednej połowie płaszczyzny
.
Na drugiej połowie płaszczyzny
.
Oznacza to, że po jednej stronie prostej (3) funkcja celu wzrasta. A im dalej oddalimy punkt od prostej (3), tym większa będzie wartość. Po drugiej stronie prostej (3) funkcja celu maleje. A im dalej przesuniemy punkt od prostej (3) na drugą stronę, tym mniejsza będzie wartość. Jeśli narysujemy linię równoległą do linii (3), to nowa linia będzie również linią poziomu funkcji celu, ale o innej wartości .

Tak więc, aby znaleźć maksymalną wartość funkcji celu, należy narysować linię prostą równoległą do prostej (3), jak najdalej od niej w kierunku rosnących wartości , i przechodzącą przez co najmniej jeden punkt ODT. Aby znaleźć minimalną wartość funkcji celu, należy narysować linię prostą równoległą do prostej (3) i jak najdalej od niej w kierunku malejących wartości i przechodzącą przez co najmniej jeden punkt ODT.

Jeżeli ODE jest nieograniczony, to może zaistnieć sytuacja, w której takiej linii prostej nie da się narysować. Oznacza to, że bez względu na to, jak usuniemy linię prostą z linii poziomu (3) w kierunku wzrostu (spadku), linia prosta zawsze będzie przechodzić przez ODR. W takim przypadku może być dowolnie duży (mały). Dlatego nie ma maksymalnej (minimalnej) wartości. Problem nie ma rozwiązań.

Rozważmy przypadek, w którym skrajna linia równoległa do dowolnej prostej postaci (3) przechodzi przez jeden wierzchołek wielokąta ODD. Z wykresu określamy współrzędne tego wierzchołka. Wówczas maksymalną (minimalną) wartość funkcji celu określa wzór:
.
Rozwiązaniem problemu jest
.

Może również zaistnieć przypadek, gdy linia prosta jest równoległa do jednej z powierzchni ODS. Następnie linia przechodzi przez dwa wierzchołki wielokąta ODD. Określamy współrzędne tych wierzchołków. Aby określić maksymalną (minimalną) wartość funkcji celu, możesz użyć współrzędnych dowolnego z tych wierzchołków:
.
Problem ma nieskończenie wiele rozwiązań. Rozwiązaniem jest dowolny punkt znajdujący się na odcinku pomiędzy punktami i , łącznie z samymi punktami i .

Przykład rozwiązania problemu programowania liniowego metodą graficzną

Zadanie

Firma produkuje sukienki w dwóch modelach A i B. Stosowane są trzy rodzaje tkanin. Do wykonania jednej sukienki modelu A potrzebne są 2 m tkaniny pierwszego typu, 1 m tkaniny drugiego typu, 2 m tkaniny trzeciego typu. Do produkcji jednej sukienki modelu B potrzebne są 3 m tkaniny pierwszego typu, 1 m tkaniny drugiego typu, 2 m tkaniny trzeciego typu. Zapasy tkanin pierwszego typu wynoszą 21 m, drugiego typu - 10 m, trzeciego typu - 16 m. Wydanie jednego produktu typu A przynosi dochód w wysokości 400 den. szt., jeden produkt typu B - 300 den. jednostki

Opracuj plan produkcji, który zapewni firmie największe dochody. Rozwiąż problem graficznie.

Rozwiązanie

Niech zmienne i oznaczają odpowiednio liczbę wyprodukowanych sukien modeli A i B. Wtedy ilość użytej tkanki pierwszego typu będzie wynosić:
(m)
Ilość użytej tkaniny drugiego rodzaju będzie wynosić:
(m)
Ilość użytej tkaniny trzeciego rodzaju będzie wynosić:
(m)
Ponieważ liczba wyprodukowanych sukienek nie może być ujemna, więc
oraz .
Dochód z wyprodukowanych sukienek wyniesie:
(jednostki den)

Wówczas model ekonomiczno-matematyczny problemu ma postać:

Rozwiązujemy to graficznie.
Narysuj osie współrzędnych i .

Budujemy linię prostą.
Na .
Na .
Narysujemy linię prostą przez punkty (0; 7) i (10,5; 0).

Budujemy linię prostą.
Na .
Na .
Wykreślamy linię prostą przez punkty (0; 10) i (10; 0).

Budujemy linię prostą.
Na .
Na .
Wykreślamy linię prostą przez punkty (0; 8) i (8; 0).

Zacieniamy obszar tak, aby punkt (2; 2) wpadł w zacienioną część. Otrzymujemy czworokątny OABC.

(P1.1) .
Na .
Na .
Wykreślamy linię prostą przez punkty (0; 4) i (3; 0).

Ponadto zauważamy, że skoro współczynniki dla i funkcji celu są dodatnie (400 i 300), to rośnie wraz ze wzrostem i . Rysujemy linię prostą równoległą do linii prostej (A1.1), jak najdalej od niej w kierunku wzrostu i przechodzącą przez co najmniej jeden punkt czworoboku OABC. Taka prosta przechodzi przez punkt C. Z konstrukcji wyznaczamy jej współrzędne.
.

Rozwiązanie problemu: ;

Odpowiadać

.
Czyli, aby uzyskać jak największy dochód, należy wykonać 8 sukienek modelu A. Dochód w tym przypadku wyniesie 3200 den. jednostki

Przykład 2

Zadanie

Rozwiąż zadanie programowania liniowego metodą graficzną.

Rozwiązanie

Rozwiązujemy to graficznie.
Narysuj osie współrzędnych i .

Budujemy linię prostą.
Na .
Na .
Wykreślamy linię prostą przez punkty (0; 6) i (6; 0).

Budujemy linię prostą.
Stąd.
Na .
Na .
Wykreślamy linię prostą przez punkty (3; 0) i (7; 2).

Budujemy linię prostą.
Budujemy linię prostą (oś odciętych).

Dziedzinę rozwiązań dopuszczalnych (DDR) ograniczają skonstruowane linie proste. Aby dowiedzieć się, z której strony, zauważamy, że punkt należy do ODT, ponieważ spełnia system nierówności:

Zacieniamy obszar wzdłuż granic skonstruowanych linii, tak aby punkt (4; 1) wpadł w zacienioną część. Otrzymujemy trójkąt ABC.

Konstruujemy dowolną linię poziomu funkcji celu, na przykład
.
Na .
Na .
Przez punkty (0; 6) i (4; 0) rysujemy prostą poziomą linię.
Ponieważ funkcja celu rośnie wraz ze wzrostem i , rysujemy linię prostą równoległą do linii poziomu i jak najdalej od niej w kierunku rosnącym , przechodzącą przez co najmniej jeden punkt trójkąta ABC. Taka prosta przechodzi przez punkt C. Z konstrukcji wyznaczamy jej współrzędne.
.

Rozwiązanie problemu: ;

Odpowiadać

Przykład braku rozwiązania

Zadanie

Rozwiąż graficznie problem programowania liniowego. Znajdź maksymalną i minimalną wartość funkcji celu.

Rozwiązanie

Rozwiązujemy problem graficznie.
Narysuj osie współrzędnych i .

Budujemy linię prostą.
Na .
Na .
Wykreślamy linię prostą przez punkty (0; 8) i (2,667; 0).

Budujemy linię prostą.
Na .
Na .
Wykreślamy linię prostą przez punkty (0; 3) i (6; 0).

Budujemy linię prostą.
Na .
Na .
Wykreślamy linię prostą przez punkty (3; 0) i (6; 3).

Linie i są osiami współrzędnych.

Dziedzinę rozwiązań dopuszczalnych (SDR) ograniczają skonstruowane linie proste i osie współrzędnych. Aby dowiedzieć się, z której strony, zauważamy, że punkt należy do ODT, ponieważ spełnia system nierówności:

Zacieniamy obszar tak, aby punkt (3; 3) wpadł w zacienioną część. Otrzymujemy nieograniczony obszar ograniczony linią przerywaną ABCDE.

Konstruujemy dowolną linię poziomu funkcji celu, na przykład
(P3.1) .
Na .
Na .
Wykreślamy linię prostą przez punkty (0; 7) i (7; 0).
Ponieważ współczynniki w i są dodatnie, wzrasta wraz ze wzrostem i .

Aby znaleźć maksimum, musisz narysować równoległą linię prostą, jak najdalej w kierunku wzrostu i przechodzącą przez co najmniej jeden punkt obszaru ABCDE. Ponieważ jednak region jest nieograniczony po stronie dużych wartości i , nie można narysować takiej linii prostej. Jakąkolwiek prostą narysujemy, zawsze będą punkty w regionie, które są bardziej odległe w kierunku wzrostu i . Dlatego nie ma maksimum. możesz zrobić to tak duże, jak chcesz.

Szukamy minimum. Rysujemy linię prostą równoległą do linii prostej (A3.1) i jak najdalej od niej w kierunku malejącym i przechodzącą przez co najmniej jeden punkt obszaru ABCDE. Taka prosta przechodzi przez punkt C. Z konstrukcji wyznaczamy jej współrzędne.
.
Minimalna wartość funkcji celu:

Odpowiadać

Nie ma maksymalnej wartości.
Minimalna wartość
.