Jak udowodnić, że proste przecinają się w przestrzeni. Przekraczanie linii

W tym artykule najpierw zdefiniujemy kąt pomiędzy przecinającymi się liniami i przedstawimy ilustrację graficzną. Następnie odpowiemy na pytanie: „Jak znaleźć kąt między przecinającymi się liniami, jeśli znane są współrzędne wektorów kierunkowych tych linii w prostokątnym układzie współrzędnych”? Podsumowując, będziemy ćwiczyć znajdowanie kąta między przecinającymi się liniami podczas rozwiązywania przykładów i problemów.

Nawigacja strony.

Kąt pomiędzy przecinającymi się prostymi - definicja.

Do wyznaczania kąta pomiędzy przecinającymi się prostymi będziemy podchodzić stopniowo.

Najpierw przypomnijmy sobie definicję linii skośnych: nazywa się dwie linie w przestrzeni trójwymiarowej krzyżowanie, jeśli nie leżą w tej samej płaszczyźnie. Z tej definicji wynika, że ​​przecinające się linie nie przecinają się, nie są równoległe, a ponadto nie pokrywają się, w przeciwnym razie obie leżałyby w pewnej płaszczyźnie.

Podajmy dalsze uzasadnienie pomocnicze.

Niech dwie przecinające się linie aib będą dane w przestrzeni trójwymiarowej. Skonstruujmy proste a 1 i b 1 tak, aby były równoległe odpowiednio do linii ukośnych a i b i przechodziły przez jakiś punkt przestrzeni M 1 . W ten sposób otrzymujemy dwie przecinające się linie a 1 i b 1. Niech kąt pomiędzy przecinającymi się liniami a 1 i b 1 będzie równy kątowi . Teraz skonstruujmy linie a 2 i b 2, równoległe odpowiednio do linii ukośnych a i b, przechodzących przez punkt M 2, inny niż punkt M 1. Kąt między przecinającymi się liniami a 2 i b 2 będzie również równy kątowi. To stwierdzenie jest prawdziwe, ponieważ linie proste a 1 i b 1 będą pokrywać się odpowiednio z liniami prostymi a 2 i b 2, jeśli zostanie wykonane równoległe przeniesienie, w którym punkt M 1 przesuwa się do punktu M 2. Zatem miara kąta pomiędzy dwiema prostymi przecinającymi się w punkcie M, odpowiednio równoległymi do danych przecinających się prostych, nie zależy od wyboru punktu M.

Teraz jesteśmy gotowi zdefiniować kąt pomiędzy przecinającymi się liniami.

Definicja.

Kąt między przecinającymi się liniami jest kątem między dwiema przecinającymi się liniami, które są odpowiednio równoległe do danych przecinających się linii.

Z definicji wynika, że ​​kąt pomiędzy przecinającymi się liniami również nie będzie zależał od wyboru punktu M. Zatem za punkt M możemy przyjąć dowolny punkt należący do jednej z przecinających się prostych.

Podajmy ilustrację wyznaczania kąta między przecinającymi się liniami.

Znajdowanie kąta pomiędzy przecinającymi się liniami.

Ponieważ kąt między przecinającymi się liniami jest wyznaczany przez kąt między przecinającymi się liniami, znalezienie kąta między przecinającymi się liniami sprowadza się do znalezienia kąta między odpowiednimi przecinającymi się liniami w przestrzeni trójwymiarowej.

Bez wątpienia metody poznane na lekcjach geometrii w szkole średniej nadają się do wyznaczania kąta między przecinającymi się prostymi. Oznacza to, że po wykonaniu niezbędnych konstrukcji możesz połączyć żądany kąt z dowolnym kątem znanym z warunku, w oparciu o równość lub podobieństwo figur, w niektórych przypadkach pomoże to twierdzenie cosinus, a czasami prowadzi do rezultatu definicja sinusa, cosinusa i tangensa kąta trójkąt prostokątny.

Jednak bardzo wygodne jest rozwiązanie problemu znalezienia kąta między przecinającymi się liniami za pomocą metody współrzędnych. To właśnie rozważymy.

Niech Oxyz zostanie wprowadzony w trójwymiarową przestrzeń (choć w wielu zadaniach trzeba do niej wejść samemu).

Postawmy sobie zadanie: znajdź kąt pomiędzy przecinającymi się liniami a i b, które odpowiadają pewnym równaniom prostej w przestrzeni w prostokątnym układzie współrzędnych Oxyz.

Rozwiążmy to.

Weźmy dowolny punkt w przestrzeni trójwymiarowej M i załóżmy, że przechodzą przez niego proste a 1 i b 1, równoległe do przecinających się odpowiednio prostych a i b. Wtedy wymagany kąt między przecinającymi się liniami a i b jest z definicji równy kątowi między przecinającymi się liniami a 1 i b 1.

Zatem musimy tylko znaleźć kąt między przecinającymi się liniami a 1 i b 1. Aby zastosować wzór na znalezienie kąta między dwiema przecinającymi się liniami w przestrzeni, musimy znać współrzędne wektorów kierunkowych linii a 1 i b 1.

Jak możemy je zdobyć? To jest bardzo proste. Definicja wektora kierunkowego linii prostej pozwala stwierdzić, że zbiory wektorów kierunkowych linii równoległych są zbieżne. Dlatego wektory kierunkowe linii prostych a 1 i b 1 można przyjąć jako wektory kierunkowe I linie proste odpowiednio a i b.

Więc, Kąt między dwiema przecinającymi się liniami a i b oblicza się ze wzoru
, Gdzie I są wektorami kierunkowymi linii prostych a i b, odpowiednio.

Wzór na znalezienie cosinusa kąta pomiędzy przecinającymi się liniami a i b mają postać .

Pozwala znaleźć sinus kąta między przecinającymi się liniami, jeśli znany jest cosinus: .

Pozostaje przeanalizować rozwiązania przykładów.

Przykład.

Znajdź kąt pomiędzy przecinającymi się liniami a i b, które są określone w prostokątnym układzie współrzędnych Oxyz za pomocą równań I .

Rozwiązanie.

Równania kanoniczne prostej w przestrzeni pozwalają na natychmiastowe określenie współrzędnych wektora kierującego tej prostej - są one podawane przez liczby w mianownikach ułamków, czyli . Równania parametryczne prostej w przestrzeni umożliwiają także natychmiastowe zapisanie współrzędnych wektora kierunku - są one równe współczynnikom stojącym przed parametrem, czyli - wektor bezpośredni . Mamy zatem wszystkie niezbędne dane, aby zastosować wzór, według którego obliczany jest kąt między przecinającymi się liniami:

Odpowiedź:

Kąt pomiędzy danymi przecinającymi się liniami jest równy .

Przykład.

Znajdź sinus i cosinus kąta pomiędzy przecięciami prostych, na których leżą krawędzie AD i BC ostrosłupa ABCD, jeśli znane są współrzędne jego wierzchołków: .

Rozwiązanie.

Wektory kierunkowe przecinających się linii AD i BC to wektory i . Obliczmy ich współrzędne jako różnicę między odpowiednimi współrzędnymi punktu końcowego i początkowego wektora:

Według formuły możemy obliczyć cosinus kąta pomiędzy określonymi przecinającymi się liniami:

Obliczmy teraz sinus kąta pomiędzy przecinającymi się liniami:

Odpowiedź:

Podsumowując, rozważymy rozwiązanie problemu, w którym konieczne jest znalezienie kąta między przecinającymi się liniami, a prostokątny układ współrzędnych należy wprowadzić niezależnie.

Przykład.

Biorąc pod uwagę prostokątny równoległościan ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, który ma AB = 3, AD = 2 i AA 1 = 7 jednostek. Punkt E leży na krawędzi AA 1 i dzieli ją w stosunku 5 do 2, licząc od punktu A. Znajdź kąt pomiędzy przecinającymi się liniami BE i A 1 C.

Rozwiązanie.

Ponieważ krawędzie prostokątnego równoległościanu w jednym wierzchołku są wzajemnie prostopadłe, wygodnie jest wprowadzić prostokątny układ współrzędnych i określić kąt między wskazanymi liniami przecięcia metodą współrzędnych poprzez kąt między wektorami kierunkowymi tych linii.

Wprowadźmy prostokątny układ współrzędnych Oxyz w następujący sposób: niech początek układu współrzędnych pokrywa się z wierzchołkiem A, oś Ox pokrywa się z prostą AD, oś Oy z prostą AB, a oś Oz z prostą AA 1.

Następnie punkt B ma współrzędne, punkt E - (jeśli to konieczne, zobacz artykuł), punkt A 1 - i punkt C -. Ze współrzędnych tych punktów możemy obliczyć współrzędne wektorów i . Mamy , .

Pozostaje zastosować wzór na znalezienie kąta między przecinającymi się liniami przy użyciu współrzędnych wektorów kierunkowych:

Odpowiedź:

Bibliografia.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometria. Podręcznik dla klas 10-11 szkoły średniej.
• Pogorelov A.V., Geometria. Podręcznik dla klas 7-11 szkół ogólnokształcących.
• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Wyższa matematyka. Tom pierwszy: Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Geometria analityczna.

linie l1 i l2 nazywane są skośnymi, jeśli nie leżą w tej samej płaszczyźnie. Niech a i b będą wektorami kierunku tych prostych i niech punkty M1 i M2 należą odpowiednio do prostych l1 i l2

Wtedy wektory a, b, M1M2> nie są współpłaszczyznowe, a zatem ich iloczyn mieszany nie jest równy zeru, czyli (a, b, M1M2>) =/= 0. Prawdziwe jest również stwierdzenie odwrotne: if (a, b , M1M2> ) =/= 0, wówczas wektory a, b, M1M2> nie są współpłaszczyznowe, a zatem linie l1 i l2 nie leżą w tej samej płaszczyźnie, to znaczy przecinają się. Zatem dwie linie przecinają się wtedy i tylko wtedy, gdy warunek(a, b, M1M2>) =/= 0, gdzie a i b są wektorami kierunku prostych, a M1 i M2 są odpowiednio punktami należącymi do tych prostych. Warunek (a, b, M1M2>) = 0 jest warunkiem koniecznym i wystarczającym tego, że proste leżą w tej samej płaszczyźnie. Jeśli linie są dane przez ich równania kanoniczne

wówczas a = (a1; a2; a3), b = (b1; b2; b3), M1 (x1; y1; z1), M2(x2; y2; z2) i warunek (2) zapisuje się następująco:

Odległość pomiędzy przecinającymi się liniami

jest to odległość między jedną z przecinających się linii a płaszczyzną do niej równoległą, przechodzącą przez inną linię. Odległość między przecinającymi się liniami to odległość od pewnego punktu jednej z przecinających się linii do płaszczyzny przechodzącej przez inną linię równoległą do pierwszej. linia.

26.Definicja elipsy, równanie kanoniczne. Wyprowadzenie równania kanonicznego. Nieruchomości.

Elipsa to geometryczne miejsce punktów na płaszczyźnie, dla którego suma odległości do dwóch skupionych punktów F1 i F2 tej płaszczyzny, zwanych ogniskami, jest wartością stałą. W tym przypadku zbieżność ognisk elipsy wynosi nie wykluczone. Jeśli smaki się pokrywają, to elipsa jest okręgiem. Dla każdej elipsy można znaleźć kartezjański układ współrzędnych taki, że elipsa będzie opisana równaniem (równaniem kanonicznym elipsy):

Opisuje elipsę wyśrodkowaną w początku układu współrzędnych, której osie pokrywają się z osiami współrzędnych.

Jeśli po prawej stronie znajduje się jednostka ze znakiem minus, wówczas wynikowe równanie będzie wyglądało następująco:

opisuje wyimaginowaną elipsę. Nie da się zobrazować takiej elipsy w płaszczyźnie rzeczywistej. Oznaczmy ogniska przez F1 i F2, a odległość między nimi przez 2c, a sumę odległości od dowolnego punktu elipsy do ognisk przez 2a.

Aby wyprowadzić równanie elipsy, wybieramy układ współrzędnych Oxy tak, aby ogniska F1 i F2 leżały na osi Ox, a początek pokrywał się ze środkiem odcinka F1F2. Wtedy ogniska będą miały następujące współrzędne: oraz Niech M(x;y) będzie dowolnym punktem elipsy. Następnie zgodnie z definicją elipsy, tj.

W istocie jest to równanie elipsy.

27. Definicja hiperboli, równanie kanoniczne. Wyprowadzenie równania kanonicznego. Nieruchomości

Hiperbola to miejsce geometryczne punktów na płaszczyźnie, dla którego wartość bezwzględna różnicy odległości do dwóch stałych punktów F1 i F2 tej płaszczyzny, zwana ogniskami, jest wartością stałą. Niech M(x;y) będzie wartością dowolną punkt hiperboli. Wtedy zgodnie z definicją hiperboli |MF 1 – MF 2 |=2a lub MF 1 – MF 2 =±2a,

28. Definicja paraboli, równanie kanoniczne. Wyprowadzenie równania kanonicznego. Nieruchomości. Parabola to HMT płaszczyzny, dla której odległość do jakiegoś stałego punktu F tej płaszczyzny jest równa odległości do jakiejś ustalonej prostej, również znajdującej się w rozważanej płaszczyźnie. F – ognisko paraboli; linia stała jest kierownicą paraboli. r=d,

r=; d=x+p/2; (x-p/2) 2 +y 2 =(x+p/2) 2 ; x 2 -xp+p 2 /4+y 2 =x 2 +px+p 2 /4; y 2 =2 piksele;

Nieruchomości: 1. Parabola ma oś symetrii (oś paraboli); 2.Wszystkie

parabola leży w prawej półpłaszczyźnie płaszczyzny Oxy w p>0, a w lewej

Jeżeli p<0. 3.Директриса параболы, определяемая каноническим уравнением, имеет уравнение x= -p/2.

"

Względne położenie dwóch linii w przestrzeni.

Względne położenie dwóch linii w przestrzeni charakteryzuje się trzema następującymi możliwościami.

Linie leżą w tej samej płaszczyźnie i nie mają punktów wspólnych - linie równoległe.

Linie leżą na tej samej płaszczyźnie i mają jeden punkt wspólny – linie się przecinają.

W przestrzeni dwie linie proste można także położyć tak, aby nie leżały w żadnej płaszczyźnie. Takie linie nazywane są skośnymi (nie przecinają się lub są równoległe).

PRZYKŁAD:

ZADANIE 434 Trójkąt ABC leży na płaszczyźnie a

Trójkąt ABC leży na płaszczyźnie, ale punkt D nie leży na tej płaszczyźnie. Punkty M, N i K są odpowiednio środkami odcinków DA, DB i DC

Twierdzenie. Jeżeli jedna z dwóch prostych leży na pewnej płaszczyźnie, a druga przecina tę płaszczyznę w punkcie nie leżącym na pierwszej prostej, to te proste przecinają się.

Na ryc. 26 Linia prosta a leży na płaszczyźnie, a prosta c przecina się w punkcie N. Linie a i c przecinają się.

Twierdzenie. Przez każdą z dwóch przecinających się prostych przechodzi tylko jedna płaszczyzna równoległa do drugiej prostej.

Na ryc. 26 linii aib przecina się. Rysowana jest linia prosta i płaszczyzna (alfa) || b (w płaszczyźnie B (beta) zaznaczona jest prosta a1 || b).

Twierdzenie 3.2.

Dwie linie równoległe do trzeciej są równoległe.

Ta właściwość nazywa się przechodniość równoległość linii.

Dowód

Niech linie aib będą jednocześnie równoległe do linii c. Załóżmy, że a nie jest równoległa do b, to linia a przecina linię b w pewnym punkcie A, który pod warunkiem nie leży na prostej c. W rezultacie mamy dwie proste a i b, przechodzące przez punkt A, nie leżące na danej prostej c, a jednocześnie do niej równoległe. Jest to sprzeczne z aksjomatem 3.1. Twierdzenie zostało udowodnione.

Twierdzenie 3.3.

Przez punkt nie leżący na danej prostej można poprowadzić jedną i tylko jedną prostą równoległą do danej.

Dowód

Niech (AB) będzie daną linią, a C punktem na niej nie leżącym. Linia AC dzieli płaszczyznę na dwie półpłaszczyzny. Punkt B leży w jednym z nich. Zgodnie z aksjomatem 3.2 możliwe jest nałożenie kąta (ACD) z promienia C A równego kątowi (CAB) w inną półpłaszczyznę. ACD i CAB są równe wewnętrzne, leżące w poprzek prostych AB i CD oraz siecznej (AC). Następnie zgodnie z Twierdzeniem 3.1 (AB) || (PŁYTA CD). Biorąc pod uwagę aksjomat 3.1. Twierdzenie zostało udowodnione.

Własność linii równoległych opisuje następujące twierdzenie, będące odwrotnością Twierdzenia 3.1.

Twierdzenie 3.4.

Jeśli dwie równoległe linie przecina trzecia linia, to przecinające się kąty wewnętrzne są równe.

Dowód

Niech (AB) || (PŁYTA CD). Załóżmy, że ACD ≠ BAC. Przez punkt A rysujemy prostą AE tak, że EAC = ACD. Ale wtedy, zgodnie z Twierdzeniem 3.1 (AE ) || (CD) i według warunku – (AB) || (PŁYTA CD). Zgodnie z Twierdzeniem 3.2 (AE ) || (AB). Jest to sprzeczne z Twierdzeniem 3.3, zgodnie z którym przez punkt A nie leżący na prostej CD można poprowadzić do niego jedyną prostą równoległą. Twierdzenie zostało udowodnione.

Rysunek 3.3.1.

Na podstawie tego twierdzenia można łatwo uzasadnić następujące właściwości.

Jeśli dwie równoległe linie przecina trzecia linia, wówczas odpowiadające im kąty są równe.

Jeżeli dwie równoległe linie przecina trzecia linia, to suma kątów wewnętrznych jednostronnych wynosi 180°.

Wniosek 3.2.

Jeżeli prosta jest prostopadła do jednej z równoległych linii, to jest także prostopadła do drugiej.

Pojęcie równoległości pozwala nam wprowadzić następującą nową koncepcję, która będzie potrzebna w dalszej części rozdziału 11.

Nazywa się dwa promienie jednakowo skierowane, jeśli istnieje taka prosta, że ​​po pierwsze są one prostopadłe do tej linii, a po drugie, promienie leżą w tej samej półpłaszczyźnie względem tej linii.

Nazywa się dwa promienie skierowane przeciwnie, jeśli każdy z nich jest jednakowo skierowany promieniem komplementarnym do drugiego.

Będziemy oznaczać promienie skierowane identycznie AB i CD: oraz promienie skierowane przeciwnie AB i CD -

Rysunek 3.3.2.

Znak przecięcia linii.

Jeżeli jedna z dwóch prostych leży na pewnej płaszczyźnie, a druga prosta przecina tę płaszczyznę w punkcie nie leżącym na pierwszej prostej, to te proste przecinają się.

Przypadki wzajemnego ułożenia linii w przestrzeni.

1. Istnieją cztery różne przypadki rozmieszczenia dwóch linii w przestrzeni:

   
   

   – przejazd na wprost, tj. nie leżeć w tej samej płaszczyźnie;

   – linie proste przecinają się, tj. leżą w tej samej płaszczyźnie i mają jeden wspólny punkt;

   – linie równoległe, tj. leżą w tej samej płaszczyźnie i nie przecinają się;

   - linie się pokrywają.

   
   

   Uzyskajmy charakterystykę tych przypadków względnego położenia prostych podanych przez równania kanoniczne

   
   
   Gdzie — punkty należące do prostych I odpowiednio, A— wektory kierunkowe (ryc. 4.34). Oznaczmy przezwektor łączący dane punkty.
   
   

   Przypadkom względnego położenia linii odpowiadają wymienione powyżej cechy:

   
   

   – wektory proste i przecinające się nie są współpłaszczyznowe;

   
   

   – linie proste i przecinające się wektory są współpłaszczyznowe, ale wektory nie są współliniowe;

   
   

   – wektory proste i równoległe są współliniowe, ale wektory nie są współliniowe;

   
   

   – linie proste i wektory zbieżne są współliniowe.

   
   

   Warunki te można zapisać wykorzystując właściwości produktów mieszanych i wektorowych. Przypomnijmy, że mieszany iloczyn wektorów w prawym prostokątnym układzie współrzędnych można znaleźć według wzoru:

   
   
   a wyznacznik przecina się z zerem, a jego drugi i trzeci rząd nie są proporcjonalne, tj.
   

   – proste i równoległe druga i trzecia linia wyznacznika są proporcjonalne, tj. a dwie pierwsze linie nie są proporcjonalne, tj.

   
   

   – linie proste i wszystkie linie wyznacznika pokrywają się i są proporcjonalne, tj.

Dowód testu linii skośnej.

Jeżeli jedna z dwóch prostych leży na płaszczyźnie, a druga przecina tę płaszczyznę w punkcie nie należącym do pierwszej prostej, to te dwie proste przecinają się.

Dowód

Niech a należy do α, b przecina α = A, A nie należy do a (Rysunek 2.1.2). Załóżmy, że proste aib nie przecinają się, czyli przecinają się. Istnieje wówczas płaszczyzna β, do której należą proste aib. W tej płaszczyźnie β leży prosta a i punkt A. Ponieważ prosta a i znajdujący się na jej zewnątrz punkt A wyznaczają jedną płaszczyznę, to β = α. Ale b dyski β i b nie należą do α, zatem równość β = α jest niemożliwa.

Twierdzenie. Jeżeli jedna prosta leży na danej płaszczyźnie, a inna prosta przecina tę płaszczyznę w punkcie nie należącym do pierwszej prostej, to te dwie proste przecinają się. Znak przecięcia linii Dowód. Niech prosta a leży na płaszczyźnie, a prosta b przecina płaszczyznę w punkcie B, który nie należy do prostej a. Jeżeli linie a i b leżą w tej samej płaszczyźnie, to punkt B również będzie leżał w tej płaszczyźnie. Ponieważ przez tę linię przechodzi tylko jedna płaszczyzna i punkt poza tą linią, to płaszczyzna ta musi być płaszczyzną. Ale wtedy prosta b leżałaby na płaszczyźnie, co jest sprzeczne z warunkiem. W związku z tym linie proste aib nie leżą w tej samej płaszczyźnie, tj. krzyżować.

Ile jest par linii ukośnych, które zawierają krawędzie regularnego trójkątnego pryzmatu? Rozwiązanie: Dla każdej krawędzi podstaw istnieją trzy krawędzie, które się z nią przecinają. Dla każdej krawędzi bocznej znajdują się dwa przecinające się z nią żebra. Dlatego wymagana liczba par linii skośnych to Ćwiczenie 5

Ile par linii ukośnych zawiera krawędzie foremnego graniastosłupa sześciokątnego? Rozwiązanie: Każda krawędź podstaw uczestniczy w 8 parach przecinających się linii. Każda krawędź boczna uczestniczy w 8 parach przecinających się linii. Dlatego wymagana liczba par linii skośnych to Ćwiczenie 6