Bezwzględne i względne błędy pomiaru. Bezwzględny błąd pomiaru

Błąd pomiaru- ocena odchylenia zmierzonej wartości wielkości od jej rzeczywistej wartości. Błąd pomiaru jest cechą (miarą) dokładności pomiaru.

Ponieważ niemożliwe jest ustalenie z absolutną dokładnością prawdziwej wartości dowolnej wielkości, niemożliwe jest również wskazanie wielkości odchylenia zmierzonej wartości od rzeczywistej. (To odchylenie jest zwykle nazywane błędem pomiaru. W wielu źródłach, na przykład w Wielkiej Encyklopedii Radzieckiej, terminy błąd pomiaru oraz błąd pomiaru są używane jako synonimy, ale zgodnie z RMG 29-99 termin błąd pomiaru niezalecane jako mniej skuteczne). Oszacowanie wielkości tego odchylenia jest możliwe tylko na przykład za pomocą metod statystycznych. W praktyce zamiast prawdziwej wartości używamy aktualna wartość x d, czyli wartość wielkości fizycznej uzyskanej eksperymentalnie i tak bliskiej rzeczywistej, że można ją wykorzystać zamiast niej w zadanym zadaniu pomiarowym. Taka wartość jest zwykle obliczana jako średnia wartość uzyskana w wyniku statystycznej obróbki wyników serii pomiarów. Uzyskana wartość nie jest dokładna, a jedynie najbardziej prawdopodobna. Dlatego konieczne jest wskazanie w pomiarach, jaka jest ich dokładność. Aby to zrobić, wraz z uzyskanym wynikiem wskazany jest błąd pomiaru. Na przykład wpis T=2,8±0,1 c. oznacza, że ​​prawdziwa wartość ilości T leży w przedziale od 2,7 sekundy zanim 2,9 sekundy z pewnym określonym prawdopodobieństwem

W 2004 r. przyjęto nowy dokument na poziomie międzynarodowym, dyktujący warunki wykonywania pomiarów i ustanawiający nowe zasady porównywania norm państwowych. Pojęcie „błędu” stało się przestarzałe, zamiast tego wprowadzono pojęcie „niepewności pomiaru”, jednak GOST R 50.2.038-2004 zezwala na użycie terminu błąd dla dokumentów używanych w Rosji.

Istnieją następujące rodzaje błędów:

Absolutny błąd

Względny błąd

zmniejszony błąd;

Główny błąd

Dodatkowy błąd

· błąd systematyczny;

Błąd losowy

Błąd instrumentalny

· błąd metodyczny;

· błąd osobisty;

· błąd statyczny;

błąd dynamiczny.

Błędy pomiarowe są klasyfikowane według następujących kryteriów.

· Zgodnie z metodą wyrażenia matematycznego błędy dzielą się na błędy bezwzględne i błędy względne.

· Zgodnie z interakcją zmian w czasie i wartości wejściowej, błędy dzielą się na błędy statyczne i błędy dynamiczne.

Ze względu na charakter występowania błędów dzielą się na błędy systematyczne i błędy losowe.

· W zależności od charakteru zależności błędu od wielkości wpływających, błędy dzieli się na podstawowe i dodatkowe.

· W zależności od charakteru zależności błędu od wartości wejściowej błędy dzieli się na addytywne i multiplikatywne.

Absolutny błąd to wartość obliczona jako różnica między wartością wielkości otrzymanej w procesie pomiaru a rzeczywistą (rzeczywistą) wartością danej wielkości. Błąd bezwzględny oblicza się według następującego wzoru:

AQ n = Q n /Q 0 , gdzie AQ n jest błędem bezwzględnym; Qn- wartość pewnej wielkości uzyskanej w procesie pomiaru; Q0- wartość tej samej wielkości, przyjmowana za podstawę porównania (wartość rzeczywista).

Bezwzględny błąd pomiaru to wartość obliczona jako różnica między liczbą, która jest nominalną wartością miary, a rzeczywistą (rzeczywistą) wartością wielkości odtworzonej przez miarę.

Względny błąd to liczba, która odzwierciedla stopień dokładności pomiaru. Błąd względny oblicza się według następującego wzoru:

Gdzie ∆Q jest błędem bezwzględnym; Q0 jest rzeczywistą (rzeczywistą) wartością mierzonej wielkości. Błąd względny wyrażany jest w procentach.

Zmniejszony błąd to wartość obliczona jako stosunek wartości błędu bezwzględnego do wartości normalizacyjnej.

Wartość normalizacyjną definiuje się następująco:

W przypadku przyrządów pomiarowych, dla których zatwierdzono wartość nominalną, tę wartość nominalną przyjmuje się jako wartość normalizacyjną;

· dla przyrządów pomiarowych, w których wartość zero znajduje się na krawędzi skali pomiarowej lub poza skalą, przyjmuje się wartość normalizacyjną równą wartości końcowej z zakresu pomiarowego. Wyjątkiem są przyrządy pomiarowe o znacznie nierównej skali pomiarowej;

· dla przyrządów pomiarowych, w których znak zerowy znajduje się w zakresie pomiarowym, przyjmuje się wartość normalizacyjną równą sumie końcowych wartości liczbowych zakresu pomiarowego;

W przypadku przyrządów pomiarowych (przyrządów pomiarowych) o nierównej skali przyjmuje się wartość normalizacyjną równą całej długości skali pomiarowej lub długości jej części, która odpowiada zakresowi pomiarowemu. Błąd bezwzględny jest wtedy wyrażony w jednostkach długości.

Błąd pomiaru obejmuje błąd instrumentalny, błąd metodologiczny i błąd odczytu. Ponadto błąd odczytu wynika z niedokładności określenia ułamków podziału skali pomiarowej.

Błąd instrumentalny- jest to błąd wynikający z błędów popełnionych w procesie produkcyjnym części funkcjonalnych przyrządów do pomiaru błędów.

Błąd metodologiczny jest błędem z następujących powodów:

· niedokładność w budowaniu modelu procesu fizycznego, na którym opiera się przyrząd pomiarowy;

Nieprawidłowe użycie przyrządów pomiarowych.

Błąd subiektywny- jest to błąd wynikający z niskiego stopnia kwalifikacji operatora przyrządu pomiarowego, a także z powodu błędu narządu wzroku człowieka, tzn. czynnik ludzki jest przyczyną błędu subiektywnego.

Błędy w interakcji zmian w czasie i wartości wejściowej dzielą się na błędy statyczne i dynamiczne.

Błąd statyczny- jest to błąd, który pojawia się w procesie pomiaru wartości stałej (niezmiennej w czasie).

Błąd dynamiczny- jest to błąd, którego wartość liczbową oblicza się jako różnicę pomiędzy błędem występującym przy pomiarze wielkości niestałej (zmiennej w czasie) a błędem statycznym (błąd wartości mierzonej wielkości przy w pewnym momencie).

W zależności od charakteru zależności błędu od wielkości wpływających, błędy dzielą się na podstawowe i dodatkowe.

Podstawowy błąd jest błędem uzyskanym w normalnych warunkach pracy przyrządu pomiarowego (przy normalnych wartościach wielkości wpływających).

Dodatkowy błąd- jest to błąd, który występuje, gdy wartości wielkości wpływających nie odpowiadają ich normalnym wartościom lub jeśli wielkość wpływająca wykracza poza granice obszaru wartości normalnych.

Normalne warunki to warunki, w których wszystkie wartości wielkości wpływających są normalne lub nie wykraczają poza granice zakresu wartości normalnych.

Warunki pracy- są to stany, w których zmiana wielkości wpływających ma szerszy zakres (wartości wpływających nie wykraczają poza granice zakresu roboczego wartości).

Zakres roboczy wartości wielkości wpływającej to zakres wartości, w którym znormalizowane są wartości błędu dodatkowego.

W zależności od charakteru zależności błędu od wartości wejściowej błędy dzieli się na addytywne i multiplikatywne.

Błąd addytywny- jest to błąd, który pojawia się na skutek sumowania wartości liczbowych i nie zależy od wartości mierzonej wielkości, przyjmowanej modulo (bezwzględnie).

Błąd mnożnikowy- jest to błąd, który zmienia się wraz ze zmianą wartości mierzonej wielkości.

Należy zauważyć, że wartość bezwzględnego błędu addytywnego nie jest związana z wartością mierzonej wielkości i czułością przyrządu pomiarowego. Bezwzględne błędy addytywne pozostają niezmienione w całym zakresie pomiarowym.

Wartość bezwzględnego błędu addytywnego określa minimalną wartość wielkości, jaką może zmierzyć przyrząd pomiarowy.

Wartości błędów multiplikatywnych zmieniają się proporcjonalnie do zmian wartości mierzonej wielkości. Wartości błędów multiplikatywnych są również proporcjonalne do czułości przyrządu pomiarowego.Błąd multiplikatywny powstaje w wyniku wpływu wielkości wpływających na parametry parametryczne elementów przyrządu.

Błędy, które mogą wystąpić podczas procesu pomiarowego, są klasyfikowane według charakteru ich wystąpienia. Przeznaczyć:

błędy systematyczne;

przypadkowe błędy.

W procesie pomiaru mogą również pojawić się poważne błędy i pomyłki.

Błąd systematyczny- jest to integralna część całego błędu wyniku pomiaru, który nie zmienia się lub zmienia naturalnie przy powtarzanych pomiarach tej samej wartości. Zwykle próbuje się wyeliminować błąd systematyczny możliwymi sposobami (na przykład za pomocą metod pomiarowych, które zmniejszają prawdopodobieństwo jego wystąpienia), ale jeśli nie można wykluczyć błędu systematycznego, oblicza się go przed rozpoczęciem pomiarów i odpowiednio dokonywane są korekty wyniku pomiaru. W procesie normalizacji błędu systematycznego określane są granice jego dopuszczalnych wartości. Błąd systematyczny decyduje o poprawności pomiarów przyrządów pomiarowych (właściwości metrologiczne). Błędy systematyczne w niektórych przypadkach można określić eksperymentalnie. Wynik pomiaru można następnie doprecyzować, wprowadzając poprawkę.

Metody eliminowania błędów systematycznych dzielą się na cztery typy:

eliminacja przyczyn i źródeł błędów przed rozpoczęciem pomiarów;

· Eliminacja błędów w procesie już rozpoczętego pomiaru metodami substytucji, kompensacji błędów znaku, opozycji, obserwacji symetrycznych;

Korekta wyników pomiarów poprzez wprowadzenie poprawki (eliminacja błędów przez obliczenia);

Określenie granic błędu systematycznego w przypadku, gdy nie można go wyeliminować.

Eliminacja przyczyn i źródeł błędów przed rozpoczęciem pomiarów. Ta metoda jest najlepszą opcją, ponieważ jej zastosowanie upraszcza dalszy przebieg pomiarów (nie ma potrzeby eliminowania błędów w procesie już rozpoczętego pomiaru ani korygowania wyniku).

Aby wyeliminować systematyczne błędy w procesie już rozpoczętego pomiaru, stosuje się różne metody.

Metoda zmiany opiera się na znajomości błędu systematycznego i aktualnych wzorców jego zmiany. Przy zastosowaniu tej metody wynik pomiaru uzyskany z błędami systematycznymi podlega korekcie równej wielkości tym błędom, ale o odwrotnym znaku.

metoda substytucji polega na tym, że wartość mierzona zostaje zastąpiona miarą umieszczoną w tych samych warunkach, w jakich znajdował się przedmiot pomiaru. Metodę substytucyjną stosuje się przy pomiarach następujących parametrów elektrycznych: rezystancji, pojemności i indukcyjności.

Metoda kompensacji błędów znaku polega na tym, że pomiary wykonywane są dwukrotnie w taki sposób, że błąd o nieznanej wielkości uwzględniony jest w wynikach pomiarów ze znakiem przeciwnym.

Metoda kontrastowa podobna do rekompensaty opartej na znaku. Metoda ta polega na tym, że pomiary wykonywane są dwukrotnie w taki sposób, że źródło błędu w pierwszym pomiarze ma odwrotny wpływ na wynik drugiego pomiaru.

błąd losowy- jest to składowa błędu wyniku pomiaru, która zmienia się losowo, nieregularnie podczas powtarzanych pomiarów o tej samej wartości. Nie można przewidzieć i przewidzieć wystąpienia błędu losowego. Błąd przypadkowy nie może być całkowicie wyeliminowany, zawsze w pewnym stopniu zniekształca końcowe wyniki pomiarów. Możesz jednak zwiększyć dokładność wyniku pomiaru, wykonując wielokrotne pomiary. Przyczyną błędu losowego może być np. losowa zmiana czynników zewnętrznych wpływających na proces pomiarowy. Błąd przypadkowy podczas wielokrotnych pomiarów o wystarczająco wysokim stopniu dokładności prowadzi do rozproszenia wyników.

Pomyłki i pomyłki są błędami znacznie większymi od błędów systematycznych i przypadkowych oczekiwanych w danych warunkach pomiarowych. Poślizgi i poważne błędy mogą wystąpić z powodu poważnych błędów w procesie pomiarowym, awarii technicznej przyrządu pomiarowego i nieoczekiwanych zmian warunków zewnętrznych.

Niech jakaś zmienna losowa a wymierzony n razy w tych samych warunkach. Wyniki pomiarów dały zestaw n różne liczby

Absolutny błąd- wartość wymiarowa. Wśród n wartości błędów bezwzględnych z konieczności spełniają zarówno pozytywne, jak i negatywne.

Dla najbardziej prawdopodobnej wartości ilości a zwykle bierze przeciętny znaczenie wyników pomiarów

.

Im większa liczba pomiarów, tym bliższa jest wartość średnia wartości prawdziwej.

Absolutny błądi

.

Względny błądi wymiar nazywa się ilością

Błąd względny to wielkość bezwymiarowa. Zwykle błąd względny jest wyrażany w procentach, w tym celu e ja pomnóż przez 100%. Wartość błędu względnego charakteryzuje dokładność pomiaru.

Średni błąd bezwzględny jest zdefiniowany w następujący sposób:

.

Podkreślamy potrzebę sumowania wartości bezwzględnych (modułów) wielkości D i ja . W przeciwnym razie uzyskany zostanie identyczny wynik zerowy.

Średni błąd względny nazywa się ilością

.

Do dużej liczby pomiarów.

Błąd względny można uznać za wartość błędu na jednostkę mierzonej wielkości.

Dokładność pomiarów ocenia się na podstawie porównania błędów wyników pomiarów. Błędy pomiaru są zatem wyrażane w takiej postaci, że do oceny dokładności wystarczyłoby porównanie tylko błędów wyników, bez porównywania rozmiarów mierzonych obiektów lub bardzo przybliżonej znajomości tych rozmiarów. Z praktyki wiadomo, że bezwzględny błąd pomiaru kąta nie zależy od wartości kąta, a bezwzględny błąd pomiaru długości zależy od wartości długości. Im większa wartość długości, tym większy błąd bezwzględny dla tej metody i warunków pomiaru. Dlatego, zgodnie z błędem bezwzględnym wyniku, można ocenić dokładność pomiaru kąta, ale nie można ocenić dokładności pomiaru długości. Wyrażenie błędu w postaci względnej umożliwia w niektórych przypadkach porównanie dokładności pomiarów kątowych i liniowych.

Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa. Błąd losowy.

Błąd losowy nazywana składową błędu pomiaru, która zmienia się losowo przy powtarzanych pomiarach tej samej wielkości.

Gdy powtarzane pomiary tej samej stałej, niezmiennej wielkości są wykonywane z taką samą starannością i w tych samych warunkach, otrzymujemy wyniki pomiarów – niektóre różnią się od siebie, a niektóre pokrywają się. Takie rozbieżności w wynikach pomiarów wskazują na obecność w nich składowych błędu losowego.

Błąd przypadkowy wynika z jednoczesnego działania wielu źródeł, z których każde samo w sobie ma niezauważalny wpływ na wynik pomiaru, ale łączny wpływ wszystkich źródeł może być dość silny.

Błędy losowe są nieuniknioną konsekwencją każdego pomiaru i wynikają z:

a) niedokładne odczyty na skali przyrządów i narzędzi;

b) nie identyczne warunki dla powtarzanych pomiarów;

c) losowe zmiany warunków zewnętrznych (temperatura, ciśnienie, pole sił itp.), których nie można kontrolować;

d) wszelkie inne wpływy na pomiary, których przyczyny nie są nam znane. Wielkość błędu losowego można zminimalizować poprzez wielokrotne powtarzanie eksperymentu i odpowiednią matematyczną obróbkę wyników.

Błąd przypadkowy może przyjmować różne wartości bezwzględne, których nie można przewidzieć dla danego aktu pomiarowego. Ten błąd może być zarówno pozytywny, jak i negatywny. W eksperymencie zawsze występują błędy losowe. W przypadku braku błędów systematycznych powodują one rozproszenie wielokrotnych pomiarów wokół wartości prawdziwej.

Załóżmy, że za pomocą stopera mierzymy okres drgań wahadła, a pomiar powtarzamy wielokrotnie. Błędy w uruchamianiu i zatrzymywaniu stopera, błąd wartości odniesienia, niewielki nierównomierny ruch wahadła – wszystko to powoduje rozrzut wyników powtarzanych pomiarów i dlatego można je zaliczyć do błędów przypadkowych.

Jeśli nie ma innych błędów, niektóre wyniki będą nieco zawyżone, a inne nieco zaniżone. Ale jeśli oprócz tego zegar również się spóźnia, wszystkie wyniki będą niedoszacowane. To już jest systematyczny błąd.

Niektóre czynniki mogą jednocześnie powodować błędy systematyczne i losowe. Tak więc, włączając i wyłączając stoper, możemy stworzyć niewielki nieregularny rozrzut w momentach uruchamiania i zatrzymywania zegara względem ruchu wahadła i tym samym wprowadzić przypadkowy błąd. Ale jeśli dodatkowo za każdym razem, gdy spieszymy się, aby włączyć stoper i nieco się spóźniamy, to doprowadzi to do systematycznego błędu.

Błędy losowe spowodowane są błędem paralaksy przy odczycie podziałek skali instrumentu, drżeniem fundamentu budynku, wpływem niewielkich ruchów powietrza itp.

Choć nie da się wykluczyć błędów przypadkowych poszczególnych pomiarów, matematyczna teoria zjawisk losowych pozwala na zmniejszenie wpływu tych błędów na ostateczny wynik pomiaru. Poniżej zostanie pokazane, że w tym celu należy wykonać nie jeden, a kilka pomiarów, a im mniejszą wartość błędu chcemy uzyskać, tym więcej pomiarów trzeba wykonać.

W związku z tym, że występowanie błędów losowych jest nieuniknione i nieuniknione, głównym zadaniem każdego procesu pomiarowego jest sprowadzenie błędów do minimum.

Teoria błędów opiera się na dwóch głównych założeniach, potwierdzonych doświadczeniem:

1. Przy dużej liczbie pomiarów dość powszechne są błędy losowe tej samej wielkości, ale o innym znaku, tj. błędy w kierunku narastania i zmniejszania wyniku.

2. Duże błędy bezwzględne są mniej powszechne niż małe, więc prawdopodobieństwo błędu maleje wraz ze wzrostem jego wartości.

Zachowanie zmiennych losowych jest opisane regularnościami statystycznymi, które są przedmiotem teorii prawdopodobieństwa. Statystyczna definicja prawdopodobieństwa w ja rozwój i jest postawa?

gdzie n- łączna liczba eksperymentów, n ja- liczba eksperymentów, w których zdarzenie i stało się. W takim przypadku łączna liczba eksperymentów powinna być bardzo duża ( n®¥). Przy dużej liczbie pomiarów błędy losowe są zgodne z rozkładem normalnym (rozkład Gaussa), którego głównymi cechami są:

1. Im większe odchylenie wartości mierzonej od wartości prawdziwej, tym mniejsze prawdopodobieństwo takiego wyniku.

2. Odchylenia w obu kierunkach od wartości prawdziwej są jednakowo prawdopodobne.

Z powyższych założeń wynika, że ​​w celu ograniczenia wpływu błędów losowych konieczne jest kilkukrotne zmierzenie tej wielkości. Załóżmy, że mierzymy jakąś wartość x. Niech wyprodukowany n pomiary: x 1 , x 2 , ... x n- tą samą metodą iz taką samą starannością. Można się spodziewać, że liczba dn uzyskane wyniki, które leżą w dość wąskim przedziale od x zanim x + dx, powinna być proporcjonalna do:

Wartość wziętego interwału dx;

Całkowita liczba pomiarów n.

Prawdopodobieństwo dw(x) że jakaś wartość x leży w przedziale od x zanim x+dx, zdefiniowany w następujący sposób :

(z liczbą pomiarów n ®¥).

Funkcjonować f(X) nazywa się dystrybuantą lub gęstością prawdopodobieństwa.

Jako postulat teorii błędów przyjmuje się, że wyniki pomiarów bezpośrednich i ich błędy losowe, przy dużej ich liczbie, są zgodne z prawem rozkładu normalnego.

Funkcja dystrybucji ciągłej zmiennej losowej znaleziona przez Gaussa x ma następującą postać:

, gdzie pan - parametry dystrybucji .

Parametr m rozkładu normalnego jest równy średniej wartości á xñ zmienna losowa, która dla dowolnej znanej funkcji dystrybucji jest wyznaczona przez całkę

.

W ten sposób, wartość m jest najbardziej prawdopodobną wartością mierzonej wartości x, tj. jej najlepsze oszacowanie.

Parametr s 2 rozkładu normalnego jest równy wariancji D zmiennej losowej, która jest ogólnie określona przez następującą całkę

.

Pierwiastek kwadratowy z wariancji nazywamy odchyleniem standardowym zmiennej losowej.

Średnie odchylenie (błąd) zmiennej losowej ásñ wyznacza się za pomocą funkcji rozkładu w następujący sposób:

Średni błąd pomiaru ásń, obliczony z funkcji rozkładu Gaussa, jest powiązany z wartością odchylenia standardowego s w następujący sposób:

< s > = 0,8s.

Parametry s i m są powiązane w następujący sposób:

.

To wyrażenie pozwala znaleźć odchylenie standardowe s, jeśli istnieje krzywa rozkładu normalnego.

Wykres funkcji Gaussa pokazano na rysunkach. Funkcjonować f(x) jest symetryczna względem rzędnej narysowanej w punkcie x= m; przechodzi przez maksimum w punkcie x= mi ma przegięcie w punktach m ±s. Zatem dyspersja charakteryzuje szerokość funkcji rozkładu, czyli pokazuje, jak szeroko wartości zmiennej losowej są rozproszone w stosunku do jej wartości rzeczywistej. Im dokładniejsze pomiary, tym bliższe prawdziwej wartości są wyniki poszczególnych pomiarów, tj. wartość s jest mniejsza. Rysunek A pokazuje funkcję f(x) dla trzech wartości s .

Powierzchnia figury ograniczona krzywą f(x) i pionowe linie rysowane z punktów x 1 i x 2 (rys. B) , jest liczbowo równa prawdopodobieństwu, że wynik pomiaru mieści się w przedziale D x = x 1 -x 2 , który jest nazywany poziomem ufności. Obszar pod całą krzywą f(x) jest równe prawdopodobieństwu, że zmienna losowa znajdzie się w przedziale od 0 do ¥, tj.

,

ponieważ prawdopodobieństwo pewnego zdarzenia jest równe jeden.

Wykorzystując rozkład normalny, teoria błędów stawia i rozwiązuje dwa główne problemy. Pierwsza to ocena dokładności pomiarów. Drugi to ocena dokładności średniej arytmetycznej wyników pomiarów.5. Przedział ufności. Współczynnik studenta.

Teoria prawdopodobieństwa pozwala określić wielkość przedziału, w którym ze znanym prawdopodobieństwem w są wynikami poszczególnych pomiarów. To prawdopodobieństwo nazywa się poziom zaufania i odpowiedni przedział (<x>±D x)w nazywa przedział ufności. Poziom ufności jest również równy względnej proporcji wyników mieszczących się w przedziale ufności.

Jeśli liczba pomiarów n jest wystarczająco duże, to prawdopodobieństwo ufności wyraża proporcję liczby całkowitej n te pomiary, w których zmierzona wartość mieściła się w przedziale ufności. Każdy poziom ufności w odpowiada jego przedziałowi ufności w 2 80%. Im szerszy przedział ufności, tym większe prawdopodobieństwo uzyskania wyniku w tym przedziale. W teorii prawdopodobieństwa ustala się związek ilościowy między wartością przedziału ufności, prawdopodobieństwem ufności i liczbą pomiarów.

Jeśli jako przedział ufności wybierzemy przedział odpowiadający średniemu błędowi, czyli D a = OGŁOSZENIE añ, to dla wystarczająco dużej liczby pomiarów odpowiada prawdopodobieństwu ufności w 60%. Wraz ze spadkiem liczby pomiarów prawdopodobieństwo ufności odpowiadające takiemu przedziałowi ufności ( añ ± OGŁOSZENIE añ) maleje.

Zatem do oszacowania przedziału ufności zmiennej losowej można wykorzystać wartość błędu średniegoáD añ .

Aby scharakteryzować wielkość błędu losowego, konieczne jest ustalenie dwóch liczb, a mianowicie wielkości przedziału ufności i wielkości prawdopodobieństwa ufności . Wskazanie tylko wielkości błędu bez odpowiedniego prawdopodobieństwa ufności jest w dużej mierze bez znaczenia.

Jeżeli średni błąd pomiaru ásñ jest znany, przedział ufności zapisany jako (<x> ±asń) w, określony z prawdopodobieństwem ufności w= 0,57.

Jeśli znane jest odchylenie standardowe s rozkład wyników pomiarów, wskazany przedział ma postać (<x>± dwa s) w, gdzie dwa- współczynnik zależny od wartości prawdopodobieństwa ufności i obliczany zgodnie z rozkładem Gaussa.

Najczęściej stosowane wielkości D x przedstawiono w tabeli 1.

Strona 1

Błąd bezwzględny oznaczenia nie przekracza 0,01 μg fosforu. Metodę tę wykorzystaliśmy do oznaczenia fosforu w kwasach azotowym, octowym, solnym i siarkowym oraz acetonie wraz z ich wstępnym odparowaniem.

Bezwzględny błąd oznaczenia wynosi 0 2 - 0 3 mg.

Błąd bezwzględny oznaczania zawartości cynku w ferrytach cynkowo-manganowych proponowaną metodą nie przekracza 0,2 % rel.

Błąd bezwzględny w oznaczaniu węglowodorów C2 - C4, gdy ich zawartość w gazie wynosi 0 2 - 50%, wynosi odpowiednio 0,01 - 0 2%.

Tutaj Ay jest błędem bezwzględnym w definicji r/, który wynika z błędu Tak w definicji a. Na przykład błąd względny kwadratu liczby jest dwukrotnością błędu w określeniu samej liczby, a błąd względny liczby pod pierwiastkiem sześcianu to tylko jedna trzecia błędu w określeniu tej liczby.

Bardziej złożone rozważania są konieczne przy wyborze miary porównania błędów bezwzględnych w określaniu czasu początku wypadku TV - Ts, gdzie Tv i Ts to odpowiednio czas odrestaurowanego i rzeczywistego wypadku. Przez analogię tutaj możemy użyć średniego czasu, aby osiągnąć szczyt zanieczyszczenia od rzeczywistego zrzutu do tych punktów monitorowania, które zarejestrowały wypadek podczas czasu przejścia zanieczyszczenia Tsm. Obliczenie niezawodności wyznaczania mocy wypadków opiera się na obliczeniu błędu względnego MV - Ms / Mv, gdzie Mv i Ms to odpowiednio moc przywrócona i moc rzeczywista. Wreszcie błąd względny w określeniu czasu trwania awaryjnego zwolnienia charakteryzuje się wartością rv - rs / re, gdzie rv i rs to odpowiednio zrekonstruowane i rzeczywiste czasy trwania wypadków.

Bardziej złożone rozważania są konieczne przy wyborze miary porównania błędów bezwzględnych w określaniu czasu początku wypadku TV - Ts, gdzie Tv i Ts to odpowiednio czas odrestaurowanego i rzeczywistego wypadku. Przez analogię tutaj możemy użyć średniego czasu, aby osiągnąć szczyt zanieczyszczenia od rzeczywistego zrzutu do tych punktów monitorowania, które zarejestrowały wypadek podczas czasu przejścia zanieczyszczenia Tsm. Obliczenie wiarygodności wyznaczania mocy wypadków opiera się na obliczeniu błędu względnego Mv - Ms / Ms, gdzie Mv i Ms to odpowiednio moc przywrócona i moc rzeczywista. Wreszcie błąd względny w określeniu czasu trwania awaryjnego zwolnienia charakteryzuje się wartością rv - rs / rs, gdzie rv i rs to odpowiednio zrekonstruowane i rzeczywiste czasy trwania wypadków.

Przy tym samym bezwzględnym błędzie pomiaru ay, bezwzględny błąd w określeniu ilości siekiery maleje wraz ze wzrostem czułości metody.

Ponieważ błędy są oparte nie na błędach losowych, ale na błędach systematycznych, ostateczny bezwzględny błąd w określaniu przyssawek może sięgać 10% teoretycznie wymaganej ilości powietrza. Jedynie przy niedopuszczalnie luźnych piecach (A 0 25) ogólnie przyjęta metoda daje mniej lub bardziej zadowalające wyniki. Opisany jest dobrze znany nastawnikom, którzy obniżając bilans powietrza gęstych pieców, często uzyskują ujemne wartości ssania.

Analiza błędu określenia wartości pet wykazała, że ​​składa się on z 4 składowych: błędu bezwzględnego określenia masy matrycy, pojemności próbki, ważenia oraz błędu względnego ze względu na wahania masy próbki wokół wartość równowagi.

Z zastrzeżeniem wszystkich zasad doboru, liczenia objętości i analizy gazów przy użyciu analizatora gazów GKhP-3, całkowity błąd bezwzględny w oznaczaniu zawartości CO2 i O2 nie powinien przekraczać 0,2-0,4 ich rzeczywistej wartości.

Z tabeli. 1 - 3 możemy wywnioskować, że dane, których używamy dla substancji wyjściowych, pobrane z różnych źródeł, wykazują stosunkowo niewielkie różnice, które mieszczą się w błędach bezwzględnych przy określaniu tych ilości.

Błędy losowe mogą być bezwzględne lub względne. Błąd przypadkowy, który ma wymiar wartości mierzonej, nazywany jest błędem bezwzględnym określenia. Średnia arytmetyczna błędów bezwzględnych wszystkich poszczególnych pomiarów nazywana jest błędem bezwzględnym metody analizy.

Wartość dopuszczalnego odchylenia lub przedziału ufności nie jest ustalana arbitralnie, ale jest obliczana na podstawie konkretnych danych pomiarowych i charakterystyki używanych przyrządów. Odchylenie wyniku pojedynczego pomiaru od prawdziwej wartości wielkości nazywa się błędem bezwzględnym określenia lub po prostu błędem. Stosunek błędu bezwzględnego do wartości mierzonej nazywany jest błędem względnym, który zwykle wyrażany jest w procentach. Znajomość błędu pojedynczego pomiaru nie ma niezależnego znaczenia, aw każdym poważnym eksperymencie należy przeprowadzić kilka równoległych pomiarów, z których oblicza się błąd eksperymentu. Błędy pomiarowe, w zależności od przyczyn ich wystąpienia, dzielą się na trzy typy.

Praktycznie niemożliwe jest dokładne określenie prawdziwej wartości wielkości fizycznej, ponieważ każda operacja pomiaru wiąże się z wieloma błędami lub, w przeciwnym razie, błędami. Przyczyny błędów mogą być bardzo różne. Ich występowanie może wynikać z niedokładności w produkcji i regulacji urządzenia pomiarowego, ze względu na cechy fizyczne badanego obiektu (na przykład przy pomiarze średnicy drutu o niejednorodnej grubości wynik losowo zależy od wyboru obszar pomiaru), przyczyny losowe itp.

Zadaniem eksperymentatora jest zmniejszenie ich wpływu na wynik, a także wskazanie, jak bardzo jest on zbliżony do prawdziwego.

Istnieją pojęcia błędu absolutnego i względnego.

Pod absolutny błąd pomiar zrozumie różnicę między wynikiem pomiaru a rzeczywistą wartością mierzonej wielkości:

∆x i =x i -x i (2)

gdzie ∆x i jest błędem bezwzględnym i-tego pomiaru, x i _ jest wynikiem i-tego pomiaru, x i jest prawdziwą wartością zmierzonej wartości.

Wynik dowolnego pomiaru fizycznego jest zwykle zapisywany jako:

gdzie jest średnią arytmetyczną wielkości mierzonej najbliższą wartości prawdziwej (ważność x i zostanie pokazana poniżej), jest błędem bezwzględnym pomiaru.

Równość (3) należy rozumieć w taki sposób, aby prawdziwa wartość wartości mierzonej znajdowała się w przedziale [- , + ].

Błąd bezwzględny jest wartością wymiarową, ma taki sam wymiar jak wartość zmierzona.

Błąd bezwzględny nie charakteryzuje w pełni dokładności wykonanych pomiarów. Rzeczywiście, jeśli mierzymy z tym samym błędem bezwzględnym ± 1 mm odcinki o długości 1 mi 5 mm, dokładność pomiaru będzie nieporównywalna. Dlatego wraz z bezwzględnym błędem pomiaru obliczany jest błąd względny.

Względny błąd pomiary to stosunek błędu bezwzględnego do samej wartości mierzonej:

Błąd względny to wielkość bezwymiarowa. Wyraża się w procentach:

W powyższym przykładzie błędy względne wynoszą 0,1% i 20%. Różnią się one znacznie od siebie, chociaż wartości bezwzględne są takie same. Błąd względny daje informację o dokładności

Błędy pomiaru

W zależności od charakteru przejawu i przyczyn pojawienia się błędu można go warunkowo podzielić na następujące klasy: instrumentalne, systematyczne, losowe i chybienia (błędy brutto).

Błędy wynikają albo z nieprawidłowego działania urządzenia, albo z naruszenia metodologii lub warunków eksperymentalnych, albo mają charakter subiektywny. W praktyce definiuje się je jako wyniki, które znacznie różnią się od innych. Aby wyeliminować ich wygląd, należy przestrzegać dokładności i dokładności w pracy z urządzeniami. Wyniki zawierające chybienia muszą być wyłączone z rozpatrzenia (odrzucone).

błędy instrumentalne. Jeśli urządzenie pomiarowe jest sprawne i wyregulowane, pomiary można na nim wykonywać z ograniczoną dokładnością, określoną przez typ urządzenia. Przyjmuje się, że błąd instrumentalny instrumentu wskaźnikowego jest równy połowie najmniejszej działki jego skali. W urządzeniach z odczytem cyfrowym błąd przyrządu jest przyrównywany do wartości jednej najmniejszej cyfry na skali przyrządu.

Błędy systematyczne to błędy, których wielkość i znak są stałe dla całej serii pomiarów wykonanych tą samą metodą i przy użyciu tych samych przyrządów pomiarowych.

Przy wykonywaniu pomiarów ważne jest nie tylko uwzględnienie błędów systematycznych, ale także osiągnięcie ich eliminacji.

Błędy systematyczne są warunkowo podzielone na cztery grupy:

1) błędy, których charakter jest znany, a ich wielkość można dość dokładnie określić. Takim błędem jest np. zmiana masy mierzonej w powietrzu, która zależy od temperatury, wilgotności, ciśnienia powietrza itp.;

2) błędy, których charakter jest znany, ale wielkość samego błędu jest nieznana. Błędy takie obejmują błędy spowodowane przez urządzenie pomiarowe: wadliwe działanie samego urządzenia, niezgodność wagi z wartością zerową, klasa dokładności tego urządzenia;

3) błędy, których istnienia nie można podejrzewać, ale ich wielkość często może być znacząca. Takie błędy występują najczęściej przy skomplikowanych pomiarach. Prostym przykładem takiego błędu jest pomiar gęstości próbki zawierającej wewnątrz wnękę;

4) błędy wynikające z właściwości samego obiektu pomiarowego. Na przykład podczas pomiaru przewodności elektrycznej metalu pobierany jest z niego kawałek drutu. Błędy mogą wystąpić, jeśli w materiale wystąpi jakakolwiek wada - pęknięcie, zgrubienie drutu lub niejednorodność zmieniająca jego wytrzymałość.

Błędy losowe to błędy, które zmieniają się losowo pod względem znaku i wielkości w identycznych warunkach dla powtarzanych pomiarów tej samej wielkości.

Podobne informacje.

Bezwzględny błąd pomiaru zwana wartością określoną przez różnicę między wynikiem pomiaru x I prawdziwa wartość mierzonej ilości! x 0:

Δ x = |x - x 0 |.

Wartość δ, równa stosunkowi bezwzględnego błędu pomiaru do wyniku pomiaru, nazywana jest błędem względnym:

Przykład 2.1. Przybliżona wartość liczby π to 3,14. Wtedy jego błąd to 0,00159. Błąd bezwzględny można uznać za równy 0,0016, a błąd względny równy 0,0016/3,14 = 0,00051 = 0,051%.

Znaczące liczby. Jeśli błąd bezwzględny wartości a nie przekracza jednej jednostki ostatniej cyfry liczby a, to mówią, że liczba ma wszystkie znaki poprawne. Należy spisywać przybliżone liczby, zachowując tylko prawidłowe znaki. Jeżeli np. błąd bezwzględny liczby 52400 jest równy 100, to liczbę tę należy zapisać np. jako 524·10 2 lub 0,524·10 5 . Możesz oszacować błąd przybliżonej liczby, wskazując, ile zawiera ona prawdziwych cyfr znaczących. Podczas liczenia cyfr znaczących zera po lewej stronie liczby nie są liczone.

Na przykład liczba 0.0283 ma trzy ważne cyfry znaczące, a 2.5400 ma pięć ważnych cyfr znaczących.

Zasady zaokrąglania liczb. Jeśli przybliżona liczba zawiera dodatkowe (lub nieprawidłowe) znaki, należy ją zaokrąglić. Podczas zaokrąglania pojawia się dodatkowy błąd, nieprzekraczający połowy jednostki ostatniej cyfry znaczącej ( d) liczba zaokrąglona. Podczas zaokrąglania zachowane są tylko prawidłowe znaki; dodatkowe znaki są odrzucane, a jeśli pierwsza odrzucona cyfra jest większa lub równa d/2, to ostatnia zapisana cyfra jest zwiększana o jeden.

Dodatkowe cyfry w liczbach całkowitych są zastępowane zerami, a w ułamkach dziesiętnych są odrzucane (podobnie jak dodatkowe zera). Na przykład, jeśli błąd pomiaru wynosi 0,001 mm, wynik 1,07005 jest zaokrąglany do 1,070. Jeśli pierwsza ze zmodyfikowanych i odrzuconych cyfr jest mniejsza niż 5, pozostałe cyfry nie są zmieniane. Na przykład liczba 148935 z dokładnością pomiaru 50 ma zaokrąglenie do 148900. Jeśli pierwsza cyfra, która ma zostać zastąpiona zerami lub odrzucona, to 5, a po niej nie ma cyfr ani zer, to zaokrąglanie jest wykonywane do najbliższej parzystej numer. Na przykład liczba 123,50 jest zaokrąglana do 124. Jeśli pierwsza cyfra, która ma zostać zastąpiona zerami lub odrzucona, jest większa niż 5 lub równa 5, ale następuje po niej cyfra znacząca, to ostatnia pozostała cyfra jest zwiększana o jeden. Na przykład liczba 6783.6 jest zaokrąglana do 6784.

Przykład 2.2. Przy zaokrąglaniu liczby 1284 do 1300 błąd bezwzględny wynosi 1300 - 1284 = 16, a przy zaokrąglaniu do 1280 błąd bezwzględny wynosi 1280 - 1284 = 4.

Przykład 2.3. Przy zaokrąglaniu liczby 197 do 200 błąd bezwzględny wynosi 200 - 197 = 3. Błąd względny wynosi 3/197 0,01523 lub około 3/200 ≈ 1,5%.

Przykład 2.4. Sprzedawca waży arbuza na wadze. W zestawie odważników najmniejsza jest 50 g. Ważenie dało 3600 g. Ta liczba jest orientacyjna. Dokładna waga arbuza nie jest znana. Ale błąd bezwzględny nie przekracza 50 g. Błąd względny nie przekracza 50/3600 = 1,4%.

Błędy w rozwiązaniu problemu na PC

Za główne źródła błędów uważa się zwykle trzy rodzaje błędów. Są to tak zwane błędy obcięcia, błędy zaokrągleń i błędy propagacji. Na przykład przy użyciu metod iteracyjnych do znajdowania pierwiastków równań nieliniowych wyniki są przybliżone, w przeciwieństwie do metod bezpośrednich, które dają dokładne rozwiązanie.

Błędy obcinania

Ten rodzaj błędu jest związany z błędem tkwiącym w samym problemie. Może to być spowodowane niedokładnością definicji danych początkowych. Na przykład, jeśli w stanie problemu są określone jakieś wymiary, to w praktyce dla obiektów rzeczywistych wymiary te są zawsze znane z pewną dokładnością. To samo dotyczy wszelkich innych parametrów fizycznych. Obejmuje to również niedokładność formuł obliczeniowych i zawartych w nich współczynników liczbowych.

Błędy propagacji

Ten rodzaj błędu wiąże się z zastosowaniem takiej lub innej metody rozwiązania problemu. W trakcie obliczeń nieuchronnie dochodzi do kumulacji, czyli propagacji błędów. Oprócz tego, że same oryginalne dane nie są dokładne, pojawia się nowy błąd, gdy są one mnożone, dodawane itp. Nagromadzenie błędu zależy od charakteru i liczby operacji arytmetycznych użytych w obliczeniach.

Błędy zaokrąglania

Ten rodzaj błędu wynika z faktu, że prawdziwa wartość liczby nie zawsze jest dokładnie przechowywana przez komputer. Gdy liczba rzeczywista jest przechowywana w pamięci komputera, jest zapisywana jako mantysa i wykładnik w podobny sposób, jak liczba wyświetlana na kalkulatorze.