Znajdź maksymalną szybkość wzrostu funkcji. Jak znaleźć gradient funkcji

Gradient Funkcje jest wielkością wektorową, której ustalenie jest związane z definicją pochodnych cząstkowych funkcji. Kierunek gradientu wskazuje ścieżkę najszybszego wzrostu funkcji z jednego punktu pola skalarnego do drugiego.

Instrukcja

1. Do rozwiązania problemu gradientu funkcji stosuje się metody rachunku różniczkowego, a mianowicie znajdowanie pochodnych cząstkowych pierwszego rzędu w trzech zmiennych. Zakłada się, że sama funkcja i wszystkie jej pochodne cząstkowe mają własność ciągłości w dziedzinie funkcji.

2. Gradient to wektor, którego kierunek wskazuje kierunek najszybszego wzrostu funkcji F. W tym celu na wykresie wybierane są dwa punkty M0 i M1, które są końcami wektora. Wartość gradientu jest równa szybkości narastania funkcji od punktu M0 do punktu M1.

3. Funkcja jest różniczkowalna we wszystkich punktach tego wektora, dlatego rzuty wektora na osie współrzędnych są jego pochodnymi cząstkowymi. Wtedy wzór gradientu wygląda tak: grad = (?F/?x) i + (?F/?y) j + (?F/?z) k, gdzie i, j, k są współrzędnymi wektora jednostkowego. Innymi słowy, gradient funkcji jest wektorem, którego współrzędne są jego pochodnymi cząstkowymi grad F = (?F/?х, ?F/?y, ?F/?z).

4. Przykład 1. Niech zostanie podana funkcja F = sin (x z?) / y. Wymagane jest znalezienie jego nachylenia w punkcie (?/6, 1/4, 1).

5. Rozwiązanie Określ pochodne cząstkowe w odniesieniu do dowolnej zmiennej: F'_x \u003d 1 / y cos (x z?) z?; F'_y \u003d sin (x z?) (-1) 1 / (y?); F '_z \u003d 1/y cos(x z?) 2 x z.

6. Zastąp współrzędne znanego punktu: F'_x = 4 cos(?/6) = 2 ?3; F'_y = sin(?/6) (-1) 16 = -8; F'_z \u003d 4 cos (? / 6) 2? / 6 \u003d 2? /? 3.

7. Zastosuj wzór gradientu funkcji: grad F = 2 ?3 i – 8 j + 2 ?/?3 k.

8. Przykład 2. Znajdź współrzędne gradientu funkcji F = y arсtg (z / x) w punkcie (1, 2, 1).

9. Rozwiązanie F'_x \u003d 0 arctg (z / x) + y (arctg (z / x)) '_x \u003d y 1 / (1 + (z / x)?) (-z / x?) \u003d -y z / (x? (1 + (z/x)?)) = -1;F'_y = 1 arctg(z/x) = arctg 1 = ?/4;F'_z = 0 arctg(z/x ) + y (arctg(z/x))'_z = y 1/(1 + (z/x)?) 1/x = y/(x (1 + (z/x)?)) = 1.grad = (- 1, ?/4, 1).

Skalarny gradient pola jest wielkością wektorową. Tak więc, aby go znaleźć, konieczne jest wyznaczenie wszystkich składowych odpowiedniego wektora, w oparciu o wiedzę o podziale pola skalarnego.

Instrukcja

1. Przeczytaj w podręczniku matematyki wyższej, czym jest gradient pola skalarnego. Jak wiecie, ta wielkość wektorowa ma kierunek charakteryzujący się maksymalną szybkością zaniku funkcji skalarnej. Taki sens danej wielkości wektorowej uzasadnia wyrażenie określające jej składowe.

2. Pamiętaj, że każdy wektor jest zdefiniowany przez wartości jego składowych. Komponenty wektora są w rzeczywistości rzutami tego wektora na jedną lub drugą oś współrzędnych. Tak więc, jeśli weźmiemy pod uwagę przestrzeń trójwymiarową, wektor musi mieć trzy składniki.

3. Napisz, jak wyznaczane są składowe wektora będącego gradientem jakiegoś pola. Wszystkie współrzędne takiego wektora są równe pochodnej potencjału skalarnego względem zmiennej, której współrzędna jest obliczana. Oznacza to, że jeśli chcesz obliczyć składową „x” wektora gradientu pola, musisz zróżnicować funkcję skalarną względem zmiennej „x”. Zauważ, że pochodna musi być ilorazowa. Oznacza to, że przy różnicowaniu pozostałe zmienne, które w nim nie uczestniczą, należy uznać za stałe.

4. Napisz wyrażenie dla pola skalarnego. Jak wiecie, termin ten oznacza każdą tylko funkcję skalarną kilku zmiennych, które są również wielkościami skalarnymi. Liczba zmiennych funkcji skalarnej jest ograniczona wymiarem przestrzeni.

5. Rozróżnij oddzielnie funkcję skalarną w odniesieniu do każdej zmiennej. W rezultacie będziesz mieć trzy nowe funkcje. Napisz dowolną funkcję w wyrażeniu na wektor gradientu pola skalarnego. Każda z uzyskanych funkcji jest tak naprawdę wskaźnikiem wektora jednostkowego danej współrzędnej. Zatem końcowy wektor gradientu powinien wyglądać jak wielomian z wykładnikami jako pochodnymi funkcji.

Rozważając kwestie związane z reprezentacją gradientu, bardziej powszechne jest myślenie o każdym z nich jako o polu skalarnym. Dlatego musimy wprowadzić odpowiednią notację.

Będziesz potrzebować

• - Bum;
• - długopis.

Instrukcja

1. Niech funkcja będzie podana trzema argumentami u=f(x,y,z). Pochodną cząstkową funkcji, na przykład względem x, definiuje się jako pochodną względem tego argumentu, uzyskaną przez ustalenie pozostałych argumentów. Pozostałe argumenty są podobne. Notacja pochodnej cząstkowej jest zapisana jako: df / dx \u003d u’x ...

2. Całkowita różnica będzie równa du \u003d (df / dx) dx + (df / dy) dy + (df / dz) dz. Pochodne częściowe można rozumieć jako pochodne w kierunkach osi współrzędnych. W związku z tym pojawia się pytanie o znalezienie pochodnej względem kierunku danego wektora s w punkcie M(x,y,z) (nie zapominajmy, że kierunek s określa wektor jednostkowy-or s^o). W tym przypadku wektor różniczkowy argumentów to (dx, dy, dz)=(dscos(alfa), dscos(beta), dscos(gamma)).

3. Biorąc pod uwagę postać różniczki całkowitej du można wnioskować, że pochodna względem kierunku s w punkcie M to: (du/ds)|M=((df/dx)|M)cos(alpha) + ((df/dy) |M) cos(beta) +((df/dz)|M) cos(gamma). Jeśli s= s(sx,sy,sz), to cosinusy kierunku (cos(alpha), obliczane są cos(beta), cos(gamma)) (patrz rys. 1a).

4. Definicję pochodnej w kierunku, biorąc pod uwagę punkt M jako zmienną, można przepisać jako iloczyn skalarny: (du/ds)=((df/dx, df/dy,df/dz), (cos(alpha) , cos(beta), cos (gamma)))=(stopień u, s^o). To wyrażenie będzie obiektywne dla pola skalarnego. Jeśli weźmiemy pod uwagę funkcję łatwą, to gradf jest wektorem, którego współrzędne pokrywają się z pochodnymi cząstkowymi f(x, y, z).gradf(x,y,z)=((df/dx, df/dy, df/ dz )=)=(df/dx)i+(df/dy)j +(df/dz)k. Tutaj (i, j, k) są wektory jednostkowe osi współrzędnych w prostokątnym kartezjańskim układzie współrzędnych.

5. Jeśli użyjemy operatora wektorów różniczkowych Hamiltona Nabla, to gradf można zapisać jako pomnożenie tego wektora operatora przez skalar f (patrz rys. 1b). Z punktu widzenia związku gradf z pochodną kierunkową, równość (gradf, s^o)=0 jest dopuszczalna, jeśli wektory te są ortogonalne. W konsekwencji graf jest często definiowany jako kierunek najszybszej metamorfozy pola skalarnego. A z punktu widzenia operacji różniczkowych (gradf jest jednym z nich) własności gradf dokładnie powtarzają własności różniczkowania funkcji. W szczególności, jeśli f=uv, to gradf=(vgradu+ugradv).

Powiązane wideo

Gradient jest to narzędzie, które w edytorach graficznych wypełnia sylwetkę płynnym przejściem jednego koloru w drugi. Gradient może nadać sylwetce efekt objętości, symulować oświetlenie, odbicia światła na powierzchni obiektu lub efekt zachodu słońca w tle zdjęcia. To narzędzie ma szerokie zastosowanie, dlatego przy obróbce zdjęć czy tworzeniu ilustracji bardzo ważne jest nauczenie się jego obsługi.

Będziesz potrzebować

• Komputer, edytor graficzny Adobe Photoshop, Corel Draw, Paint.Net lub inny.

Instrukcja

1. Otwórz obraz w programie lub zrób nowy. Zrób sylwetkę lub wybierz żądany obszar na obrazie.

2. Włącz narzędzie Gradient na pasku narzędzi edytora graficznego. Umieść kursor myszy w punkcie wewnątrz zaznaczonego obszaru lub sylwetki, gdzie rozpocznie się pierwszy kolor gradientu. Kliknij i przytrzymaj lewy przycisk myszy. Przesuń kursor do punktu, w którym gradient powinien przejść do ostatecznego koloru. Zwolnij lewy przycisk myszy. Wybrana sylwetka zostanie wypełniona wypełnieniem gradientowym.

3. Gradient y możliwe jest ustawienie przezroczystości, kolorów i ich proporcji w określonym punkcie wypełnienia. Aby to zrobić, otwórz okno Edycja gradientu. Aby otworzyć okno edycji w Photoshopie, kliknij przykład gradientu w panelu Opcje.

4. W oknie, które zostanie otwarte, dostępne opcje wypełnienia gradientem są wyświetlane jako przykłady. Aby edytować jedną z opcji, wybierz ją kliknięciem myszy.

5. Przykładowy gradient wyświetlany jest na dole okna w postaci szerokiej skali z suwakami. Suwaki wskazują punkty, w których gradient powinien mieć określone zestawienia, aw odstępie między suwakami kolor przechodzi równomiernie od określonego w pierwszym punkcie do koloru w drugim punkcie.

6. Suwaki znajdujące się u góry skali ustawiają przezroczystość gradientu. Aby zmienić przezroczystość, kliknij żądany suwak. Pod skalą pojawi się pole, w którym wpisz w procentach wymagany stopień przezroczystości.

7. Suwaki na dole skali ustawiają kolory gradientu. Klikając na jeden z nich, będziesz mógł wybrać żądany kolor.

8. Gradient może mieć wiele kolorów przejściowych. Aby ustawić inny kolor, kliknij puste miejsce na dole skali. Pojawi się na nim kolejny suwak. Ustaw dla niego żądany kolor. Skala wyświetli przykład gradientu z jeszcze jednym punktem. Suwaki można przesuwać przytrzymując je przy pomocy lewego przycisku myszy w celu uzyskania pożądanej kombinacji.

9. Gradient Istnieje kilka rodzajów, które mogą nadać kształt płaskim sylwetkom. Powiedzmy, że aby nadać okręgowi kształt kuli, stosuje się gradient promieniowy, a aby nadać kształt stożka, stosuje się gradient stożkowy. Gradient zwierciadlany może być użyty, aby nadać powierzchni iluzję wypukłości, a gradientu diamentowego można użyć do stworzenia podświetleń.

Powiązane wideo

Powiązane wideo

Jeżeli w każdym punkcie przestrzeni lub części przestrzeni jest określona wartość pewnej wielkości, to mówi się, że dane jest pole tej wielkości. Pole nazywa się skalarnym, jeśli rozważana wartość jest skalarna, tj. dobrze charakteryzuje się wartością liczbową. Na przykład pole temperatury. Pole skalarne jest dane przez funkcję skalarną punktu u = /(M). Jeżeli w przestrzeni wprowadzimy kartezjański układ współrzędnych, to istnieje funkcja trzech zmiennych x, yt z - współrzędne punktu M: Definicja. Pozioma powierzchnia pola skalarnego to zbiór punktów, w których funkcja f(M) przyjmuje tę samą wartość. Przykład równania powierzchni poziomu. równanie powierzchni będzie. Jest to równanie kuli (z Ф 0) wyśrodkowanej na początku. Pole skalarne nazywamy płaskim, jeśli pole jest takie samo we wszystkich płaszczyznach równoległych do jakiejś płaszczyzny. Jeśli określona płaszczyzna zostanie przyjęta jako płaszczyzna xOy, to funkcja pola nie będzie zależeć od współrzędnej z, tj. będzie funkcją tylko argumentów x i y. a także znaczenia. Równanie linii poziomu - Przykład 2. Znajdź linie poziomu pola skalarnego Linie poziomu są podane przez równania Przy c = 0 otrzymujemy parę linii, otrzymujemy rodzinę hiperboli (ryc. 1). 1.1. Pochodna kierunkowa Niech będzie pole skalarne określone przez funkcję skalarną u = /(Af). Weźmy punkt Afo i wybierzmy kierunek wyznaczony przez wektor I. Weźmy inny punkt M tak, aby wektor M0M był równoległy do ​​wektora 1 (rys. 2). Oznaczmy długość wektora MoM przez A/, a przyrost funkcji /(Af) - /(Afo), odpowiadający przemieszczeniu D1, przez Di. Stosunek ten określa średnią szybkość zmian pola skalarnego na jednostkę długości w danym kierunku.Dążymy teraz do zera, aby wektor М0М pozostawał przez cały czas równoległy do ​​wektora I. Definicja. Jeżeli dla D/O istnieje skończona granica zależności (5), to nazywamy ją pochodną funkcji w danym punkcie Afo do danego kierunku I i oznaczamy symbolem zr!^. Tak więc z definicji ta definicja nie jest związana z wyborem układu współrzędnych, to znaczy ma charakter **wariantowy. Znajdźmy wyrażenie na pochodną względem kierunku w kartezjańskim układzie współrzędnych. Niech funkcja / będzie różniczkowalna w punkcie. Rozważ wartość /(Af) w punkcie. Wówczas całkowity przyrost funkcji można zapisać w postaci: gdzie i symbole oznaczają, że pochodne cząstkowe oblicza się w punkcie Afo. Stąd tutaj wielkości jfi, ^ są cosinusami kierunku wektora. Ponieważ wektory MoM i I są współkierunkowe, ich cosinusy kierunku są takie same: pochodne, są pochodnymi funkcji i wzdłuż kierunków osi współrzędnych z zewnętrznym nno- Przykład 3. Znajdź pochodną funkcji w kierunku punktu Wektor ma długość. Jego cosinusy kierunku: Ze wzoru (9) będziemy mieli Fakt, że oznacza, że ​​pole skalarne w punkcie w danym kierunku wieku- Dla pola płaskiego pochodną w kierunku I w punkcie oblicza się ze wzoru gdzie a jest kątem utworzonym przez wektor I z osią Oh. Zmmchmm 2. Wzór (9) obliczania pochodnej wzdłuż kierunku I w danym punkcie Afo pozostaje w mocy nawet wtedy, gdy punkt M zbliża się do punktu Mo wzdłuż krzywej, dla której wektor I jest styczny do punktu PrISchr 4. Oblicz pochodna pola skalarnego w punkcie Afo(l, 1). należąca do paraboli w kierunku tej krzywej (w kierunku rosnącej odciętej). Kierunek ] paraboli w punkcie jest kierunkiem stycznej do paraboli w tym punkcie (rys. 3). Niech styczna do paraboli w punkcie Afo tworzy kąt o z osią Ox. Następnie skąd kierunkowe cosinusy stycznej Obliczmy wartości i w punkcie. Mamy teraz według wzoru (10), który otrzymujemy. Znajdź pochodną pola skalarnego w punkcie w kierunku okręgu Równanie wektorowe okręgu ma postać. Znajdujemy wektor jednostkowy stycznej do okręgu m. Punkt odpowiada wartości parametru. Gradient pola skalarnego Niech pole skalarne będzie definiowane przez funkcję skalarną, o której zakłada się, że jest różniczkowalna. Definicja. Gradient pola skalarnego » w danym punkcie M jest wektorem oznaczonym symbolem grad i zdefiniowanym przez równość. Jasne jest, że ten wektor zależy zarówno od funkcji /, jak i od punktu M, w którym obliczana jest jego pochodna. Niech 1 będzie wektorem jednostkowym w kierunku Wtedy wzór na pochodną kierunkową można zapisać w następujący sposób: . zatem pochodna funkcji u wzdłuż kierunku 1 jest równa iloczynowi skalarnemu gradientu funkcji u(M) i wersecie 1° kierunku I. 2.1. Podstawowe własności gradientu Twierdzenie 1. Skalarny gradient pola jest prostopadły do ​​powierzchni poziomu (lub do linii poziomu, jeśli pole jest płaskie). (2) Narysujmy płaską powierzchnię u = const przez dowolny punkt M i wybierzmy gładką krzywą L na tej powierzchni przechodzącą przez punkt M (rys. 4). Niech ja będę wektorem stycznym do krzywej L w punkcie M. Ponieważ na powierzchni poziomej u(M) = u(M|) dla dowolnego punktu Mj ∈ L, to Z drugiej strony = (gradu, 1°) . Dlatego. Oznacza to, że wektory grad i i 1° są ortogonalne, a zatem wektor grad i jest ortogonalny do dowolnej stycznej do powierzchni poziomu w punkcie M. Zatem jest ortogonalny do samej powierzchni poziomu w punkcie M. Twierdzenie 2 Gradient skierowany jest w kierunku narastającej funkcji pola. Wcześniej wykazaliśmy, że gradient pola skalarnego jest skierowany wzdłuż normalnej do powierzchni poziomu, który może być zorientowany albo na wzrost funkcji u(M), albo na jej spadek. Oznaczmy przez n normalną powierzchni poziomu zorientowaną w kierunku rosnącej funkcji ti(M) i znajdź pochodną funkcji u w kierunku tej normalnej (rys. 5). Mamy Od zgodnie z warunkiem z rys. 5, a zatem ANALIZA WEKTOROWA Pole skalarne Powierzchnie i linie poziomu Pochodna w kierunku Pochodna Gradient pola skalarnego Podstawowe właściwości gradientu Niezmienna definicja gradientu Zasady obliczania gradientu Wynika z tego, że jest skierowana w tym samym kierunku, w którym wybraliśmy normalną n, czyli w kierunku rosnącej funkcji u(M). Twierdzenie 3. Długość gradientu jest równa największej pochodnej względem kierunku w danym punkcie pola (tu max $ jest brane we wszystkich możliwych kierunkach w danym punkcie M do punktu). Mamy gdzie jest kąt między wektorami 1 i grad n. Ponieważ największą wartością jest Przykład 1. Znajdź kierunek największego imonu pola skalarnego w tym punkcie, a także wielkość tej największej zmiany w określonym punkcie. Kierunek największej zmiany pola skalarnego wskazuje wektor. Mamy tak Ten wektor wyznacza kierunek największego przyrostu pola do punktu. Wartość największej zmiany pola w tym momencie wynosi 2,2. Niezmiennicza definicja gradientu Wielkości, które charakteryzują właściwości badanego obiektu i nie zależą od wyboru układu współrzędnych, nazywamy niezmiennikami danego obiektu. Na przykład długość krzywej jest niezmiennikiem tej krzywej, ale kąt stycznej do krzywej z osią x nie jest niezmiennikiem. W oparciu o powyższe trzy własności skalarnego gradientu pola możemy podać następującą niezmienną definicję gradientu. Definicja. Skalarny gradient pola jest wektorem skierowanym wzdłuż normalnej do powierzchni poziomu w kierunku narastającej funkcji pola i mającym długość równą największej pochodnej kierunkowej (w danym punkcie). Niech będzie jednostkowym wektorem normalnym skierowanym w kierunku narastającego pola. Następnie Przykład 2. Znajdź gradient odległości - jakiś stały punkt i M(x,y,z) - aktualny. 4 Mamy gdzie jest wektor kierunku jednostkowego. Zasady obliczania gradientu, gdzie c jest liczbą stałą. Powyższe wzory są otrzymywane bezpośrednio z definicji gradientu i właściwości pochodnych. Zasada różniczkowania iloczynu Dowód jest podobny do dowodu własności Niech F(u) będzie różniczkowalną funkcją skalarną. Następnie 4 Zgodnie z definicją gradientu mamy do wszystkich terminów po prawej stronie zasadę różniczkowania funkcji zespolonej. W szczególności Formuła (6) wynika z płaszczyzny formuły do ​​dwóch stałych punktów tej płaszczyzny. Rozważ dowolną elipsę z ogniskami Fj i F] i udowodnij, że każdy promień światła, który wyłania się z jednego ogniska elipsy, po odbiciu od elipsy, przechodzi w jej inne ognisko. Linie poziomu funkcji (7) to ANALIZA WEKTOROWA Pole skalarne Powierzchnie i linie poziomu Pochodna kierunkowa Pochodna Gradient pola skalarnego Podstawowe własności gradientu Niezmienna definicja gradientu Zasady obliczania gradientu Równania (8) opisują rodzinę elips z ogniskami w punktach F ) i Fj. Zgodnie z wynikiem przykładu 2 mamy i wektory promienia. narysowana do punktu P(x, y) z ognisk F| i Fj, a więc leży na dwusiecznej kąta między tymi wektorami promienia (rys. 6). Według Tooromo 1 gradient PQ jest prostopadły do ​​elipsy (8) w punkcie. Dlatego rys.6. normalna do elipsy (8) w dowolnym punkcie przecina na pół kąt między wektorami promienia narysowanymi do tego punktu. Stąd iz tego, że kąt padania jest równy kątowi odbicia, otrzymujemy: promień światła wychodzący z jednego ogniska elipsy, odbity od niego, z pewnością wpadnie w drugie ognisko tej elipsy.