Zbudujmy przedział ufności w MS EXCEL dla oszacowania średniej wartości rozkładu w przypadku znanej wartości wariancji.

Oczywiście wybór poziom zaufania całkowicie zależy od zadania. Zatem stopień zaufania pasażera lotniczego do niezawodności samolotu powinien oczywiście być wyższy niż stopień zaufania kupującego do niezawodności żarówki.

Formułowanie zadań

Załóżmy, że od populacja biorąc próbka rozmiar nr. Zakłada się, że odchylenie standardowe ten rozkład jest znany. Niezbędne na tej podstawie próbki oceń nieznane średnia dystrybucji(μ, ) i skonstruuj odpowiedni dwustronny przedział ufności.

Oszacowanie punktowe

Jak wiadomo z Statystyka(nazwijmy to X cf) jest bezstronne oszacowanie średniej ten populacja i ma rozkład N(μ;σ 2 /n).

Notatka: Co jeśli potrzebujesz zbudować? przedział ufności w przypadku dystrybucji, która nie jest normalna? W tym przypadku na ratunek przychodzi, który mówi, że przy odpowiednio dużym rozmiarze próbki n z dystrybucji nie- normalna, próbkowanie rozkład statystyk Х av będzie około korespondować normalna dystrybucja o parametrach N(μ;σ 2 /n).

Więc, Punktowe oszacowanie środek wartości rozkładu mamy to średnia próbki, tj. X cf. Teraz zajmijmy się przedział ufności.

Budowanie przedziału ufności

Zwykle znając rozkład i jego parametry możemy obliczyć prawdopodobieństwo, że zmienna losowa przyjmie wartość z danego przedziału. Teraz zróbmy coś odwrotnego: znajdź przedział, w którym z danym prawdopodobieństwem przypada zmienna losowa. Na przykład z właściwości normalna dystrybucja wiadomo, że z prawdopodobieństwem 95% zmienna losowa rozłożona na normalne prawo, będzie mieścić się w przedziale około +/- 2 od Średnia wartość(patrz artykuł na temat). Ten przedział będzie służył jako nasz prototyp dla przedział ufności.

Zobaczmy teraz, czy znamy rozkład , obliczyć ten przedział? Aby odpowiedzieć na pytanie, musimy określić formę rozkładu i jego parametry.

Wiemy, że forma dystrybucji to normalna dystrybucja(pamiętaj, że mówimy) dystrybucja próbek Statystyka X cf).

Parametr μ jest nam nieznany (należy go jedynie oszacować za pomocą przedział ufności), ale mamy jego oszacowanie X zob., obliczona na podstawie próbka, które można wykorzystać.

Drugi parametr to średnia próbki odchylenie standardowe będzie znany, jest równy σ/√n.

Dlatego nie znamy μ, to zbudujemy przedział +/- 2 odchylenia standardowe nie z Średnia wartość, ale na podstawie znanych szacunków X cf. Tych. przy obliczaniu przedział ufności NIE zakładamy, że X cf mieści się w przedziale +/- 2 odchylenia standardowe z μ z prawdopodobieństwem 95% i przyjmiemy, że przedział wynosi +/- 2 odchylenia standardowe z X cf z prawdopodobieństwem 95% pokryje μ - średnia populacji ogólnej, z którego próbka. Te dwa zdania są równoważne, ale drugie zdanie pozwala nam skonstruować przedział ufności.

Dodatkowo doprecyzowujemy przedział: zmienna losowa rozłożona na normalne prawo, z 95% prawdopodobieństwem mieści się w przedziale +/- 1,960 odchylenia standardowe, nie +/- 2 odchylenia standardowe. Można to obliczyć za pomocą wzoru \u003d NORM.ST.OBR ((1 + 0,95) / 2), cm. przykładowy plik Odstępy między arkuszami.

Teraz możemy sformułować twierdzenie probabilistyczne, które posłuży nam do sformułowania przedział ufności:
„Prawdopodobieństwo, że średnia populacji położony z średnia próbki w ciągu 1.960" odchylenia standardowe średniej próbki", wynosi 95%.

Wspomniana w oświadczeniu wartość prawdopodobieństwa ma specjalną nazwę , który jest powiązany z poziom istotności α (alfa) prostym wyrażeniem poziom zaufania =1 -α . W naszym przypadku poziom istotności α =1-0,95=0,05 .

Teraz, na podstawie tego twierdzenia probabilistycznego, piszemy wyrażenie do obliczania przedział ufności:

gdzie Zα/2 – standard normalna dystrybucja(taka wartość zmiennej losowej) z, Co P(z>=Zα/2 )=α/2).

Notatka: Górny α/2-kwantyl definiuje szerokość przedział ufności w odchylenia standardowe średnia próbki. Górny α/2-kwantyl standard normalna dystrybucja jest zawsze większe od 0, co jest bardzo wygodne.

W naszym przypadku przy α=0,05, górny α/2-kwantyl równa się 1.960. Dla innych poziomów istotności α (10%; 1%) górny α/2-kwantyl Zα/2 można obliczyć za pomocą wzoru \u003d NORM.ST.OBR (1-α / 2) lub, jeśli jest znany poziom zaufania, =NORM.ST.OBR((1+poziom ufności)/2).

Zwykle podczas budowania przedziały ufności do szacowania średniej tylko do użytku górna α/2-kwantyl i nie używaj niższy α/2-kwantyl. Jest to możliwe, ponieważ standard normalna dystrybucja symetryczny względem osi x ( gęstość jego dystrybucji symetryczny około średnia, czyli 0). Dlatego nie ma potrzeby obliczania niższy α/2-kwantyl(nazywa się to po prostu α /2-kwantyl), dlatego to jest równe górna α/2-kwantyl ze znakiem minus.

Przypomnijmy, że niezależnie od kształtu rozkładu x, odpowiednia zmienna losowa X cf Rozpowszechniane około Cienki N(μ;σ 2 /n) (patrz artykuł na temat). Dlatego ogólnie powyższe wyrażenie dla przedział ufności jest tylko przybliżona. Jeśli x jest rozłożone na normalne prawo N(μ;σ 2 /n), to wyrażenie na przedział ufności jest dokładne.

Obliczanie przedziału ufności w MS EXCEL

Rozwiążmy problem.
Czas odpowiedzi komponentu elektronicznego na sygnał wejściowy jest ważną cechą urządzenia. Inżynier chce wykreślić przedział ufności dla średniego czasu odpowiedzi na poziomie ufności 95%. Z dotychczasowych doświadczeń inżynier wie, że odchylenie standardowe czasu odpowiedzi wynosi 8 ms. Wiadomo, że inżynier wykonał 25 pomiarów w celu oszacowania czasu odpowiedzi, średnia wartość to 78 ms.

Rozwiązanie: Inżynier chce znać czas odpowiedzi urządzenia elektronicznego, ale rozumie, że czas odpowiedzi nie jest stały, ale zmienna losowa, która ma swój własny rozkład. Zatem jedyne, na co może liczyć, to określenie parametrów i kształtu tego rozkładu.

Niestety ze stanu problemu nie znamy formy rozkładu czasu odpowiedzi (nie musi to być normalna). , ta dystrybucja jest również nieznana. Tylko on jest znany odchylenie standardoweσ=8. Dlatego, chociaż nie możemy obliczyć prawdopodobieństw i skonstruować przedział ufności.

Jednak chociaż nie znamy dystrybucji czas oddzielna odpowiedź, wiemy, że według CPT, dystrybucja próbek średni czas odpowiedzi jest w przybliżeniu normalna(założymy, że warunki CPT są wykonywane, ponieważ Rozmiar próbki wystarczająco duży (n=25)) .

Ponadto, przeciętny ten rozkład jest równy Średnia wartość rozkłady odpowiedzi jednostkowych, tj. μ. ALE odchylenie standardowe tego rozkładu (σ/√n) można obliczyć ze wzoru =8/ROOT(25) .

Wiadomo też, że inżynier otrzymał Punktowe oszacowanie parametr μ równy 78 ms (X cf). Dlatego teraz możemy obliczyć prawdopodobieństwa, ponieważ znamy formę dystrybucji ( normalna) i jego parametry (Х ср i σ/√n).

Inżynier chce wiedzieć wartość oczekiwanaμ rozkładu czasu odpowiedzi. Jak stwierdzono powyżej, to μ jest równe oczekiwanie rozkładu próby średniego czasu odpowiedzi. Jeśli używamy normalna dystrybucja N(X cf; σ/√n), to pożądane μ będzie w przedziale +/-2*σ/√n z prawdopodobieństwem około 95%.

Poziom istotności równa się 1-0,95=0,05.

Na koniec znajdź lewą i prawą granicę przedział ufności.
Ramka lewa: \u003d 78-NORM.ST.INR (1-0,05/2) * 8 / ROOT (25) = 74,864
Ramka prawa: \u003d 78 + NORMA ST OBR (1-0,05/2) * 8 / ROOT (25) \u003d 81,136

Ramka lewa: =ROZKŁAD.NORMALNY.ODW(0,05/2, 78; 8/PIERWIASTEK(25))
Ramka prawa: =ROZKŁAD.NORMALNY.ODW (1-0,05/2, 78; 8/PIERWIASTEK(25))

Odpowiadać: przedział ufności w 95% poziom ufności i σ=8ms równa się 78 +/- 3,136 ms

W przykładowy plik na arkuszu Sigma znany stworzył formularz do obliczeń i konstrukcji dwustronny przedział ufności za arbitralne próbki z zadanym σ i poziom istotności.

Funkcja UFNOŚĆ.NORM()

Jeśli wartości próbki są w zasięgu B20:B79 , a poziom istotności równy 0,05; następnie formuła MS EXCEL:
=ŚREDNIA(B20:B79)-UFNOŚĆ(0,05;σ;LICZBA(B20:B79))
zwróci lewą ramkę przedział ufności.

Tę samą granicę można obliczyć za pomocą wzoru:
=ŚREDNIA(B20:B79)-ROZKŁAD.NORMALNY.ST.ODW (1-0,05/2)*σ/PIERWIASTEK(LICZBA(B20:B79))

Notatka: Funkcja TRUST.NORM() pojawiła się w MS EXCEL 2010. Wcześniejsze wersje MS EXCEL używały funkcji TRUST().

Przedział ufności dla oczekiwań matematycznych - jest to taki przedział wyliczony z danych, który ze znanym prawdopodobieństwem zawiera matematyczne oczekiwanie populacji ogólnej. Naturalnym oszacowaniem matematycznego oczekiwania jest średnia arytmetyczna jego obserwowanych wartości. Dlatego w dalszej części lekcji będziemy używać terminów „średnia”, „średnia wartość”. W problemach obliczania przedziału ufności najczęściej wymagana jest odpowiedź: „Przedział ufności średniej liczby [wartości w konkretnym zadaniu] wynosi od [niższa wartość] do [wyższa wartość]”. Za pomocą przedziału ufności można ocenić nie tylko średnie wartości, ale także udział tej lub innej cechy w populacji ogólnej. Na lekcji analizowane są wartości średnie, wariancja, odchylenie standardowe i błąd, przez które dojdziemy do nowych definicji i wzorów Charakterystyka próby i populacji .

Estymatory punktowe i przedziałowe średniej

Jeżeli średnia wartość populacji ogólnej jest szacowana przez liczbę (punkt), to konkretną średnią obliczoną z próby obserwacji przyjmuje się jako oszacowanie nieznanej średniej populacji ogólnej. W tym przypadku wartość średniej z próby – zmiennej losowej – nie pokrywa się ze średnią z populacji ogólnej. Dlatego przy wskazaniu wartości średniej próbki konieczne jest jednoczesne wskazanie błędu próbki. Błąd standardowy jest używany jako miara błędu próbkowania, który jest wyrażany w tych samych jednostkach co średnia. Dlatego często używa się następującej notacji: .

Jeśli oszacowanie średniej ma być powiązane z pewnym prawdopodobieństwem, to parametr populacji ogólnej zainteresowania musi być szacowany nie przez pojedynczą liczbę, ale przez przedział. Przedział ufności to przedział, w którym z pewnym prawdopodobieństwem P znaleziono wartość szacowanego wskaźnika populacji ogólnej. Przedział ufności, w którym z prawdopodobieństwem P = 1 - α jest zmienną losową , obliczana jest w następujący sposób:

,

α = 1 - P, który można znaleźć w dodatku do niemal każdej książki o statystyce.

W praktyce średnia populacji i wariancja nie są znane, więc wariancję populacji zastępuje się wariancją próby, a średnią populacji średnią próby. Zatem przedział ufności w większości przypadków oblicza się w następujący sposób:

.

Wzór przedziału ufności można wykorzystać do oszacowania średniej populacji, jeśli

• znane jest odchylenie standardowe populacji ogólnej;
• lub odchylenie standardowe populacji nie jest znane, ale wielkość próby jest większa niż 30.

Średnia próbki jest bezstronnym oszacowaniem średniej populacji. Z kolei wariancja próbki nie jest obiektywnym oszacowaniem wariancji populacji. Aby uzyskać obiektywne oszacowanie wariancji populacji we wzorze wariancji próby, wielkość próby wynosi n należy zastąpić n-1.

Przykład 1 Ze 100 losowo wybranych kawiarni w danym mieście zbierane są informacje, że średnia liczba pracowników w nich wynosi 10,5 przy odchyleniu standardowym 4,6. Określ przedział ufności 95% liczby pracowników kawiarni.

gdzie jest wartością krytyczną standardowego rozkładu normalnego dla poziomu istotności α = 0,05 .

Zatem 95% przedział ufności dla średniej liczby pracowników kawiarni wynosił od 9,6 do 11,4.

Przykład 2 Dla próby losowej z ogólnej populacji 64 obserwacji obliczono następujące wartości sumaryczne:

suma wartości w obserwacjach,

suma kwadratów odchyleń wartości od średniej .

Oblicz 95% przedział ufności dla wartości oczekiwanej.

obliczyć odchylenie standardowe:

,

obliczyć średnią wartość:

.

Zastąp wartościami w wyrażeniu przedział ufności:

gdzie jest wartością krytyczną standardowego rozkładu normalnego dla poziomu istotności α = 0,05 .

Otrzymujemy:

Zatem 95% przedział ufności dla matematycznych oczekiwań tej próbki wahał się od 7,484 do 11,266.

Przykład 3 Dla losowej próby z ogólnej populacji 100 obserwacji obliczono średnią wartość 15,2 i odchylenie standardowe 3,2. Oblicz 95% przedział ufności dla wartości oczekiwanej, a następnie 99% przedział ufności. Jeśli moc próbki i jej zmienność pozostaną takie same, ale współczynnik ufności wzrośnie, czy przedział ufności zawęzi się, czy poszerzy?

Podstawiamy te wartości do wyrażenia dla przedziału ufności:

gdzie jest wartością krytyczną standardowego rozkładu normalnego dla poziomu istotności α = 0,05 .

Otrzymujemy:

.

Zatem 95% przedział ufności dla średniej tej próbki wynosił od 14,57 do 15,82.

Ponownie podstawiamy te wartości do wyrażenia dla przedziału ufności:

gdzie jest wartością krytyczną standardowego rozkładu normalnego dla poziomu istotności α = 0,01 .

Otrzymujemy:

.

Zatem 99% przedział ufności dla średniej tej próby wahał się od 14,37 do 16,02.

Jak widać, wraz ze wzrostem współczynnika ufności wzrasta również wartość krytyczna standardowego rozkładu normalnego, a zatem punkty początkowe i końcowe przedziału znajdują się dalej od średniej, a tym samym przedziału ufności dla oczekiwanego matematycznego wzrasta.

Estymatory punktowe i przedziałowe ciężaru właściwego

Udział jakiejś cechy w próbie można interpretować jako oszacowanie punktowe udziału p ta sama cecha w populacji ogólnej. Jeśli tę wartość trzeba powiązać z prawdopodobieństwem, należy obliczyć przedział ufności ciężaru właściwego p cecha w populacji ogólnej z prawdopodobieństwem P = 1 - α :

.

Przykład 4 W jednym mieście jest dwóch kandydatów A oraz B kandydować na burmistrza. Wylosowano 200 mieszkańców miasta, z czego 46% odpowiedziało, że zagłosuje na kandydata A, 26% - dla kandydata B a 28% nie wie, na kogo zagłosuje. Określ 95% przedział ufności dla odsetka mieszkańców miasta, którzy popierają kandydata A.

Przypisanie usługi. Ta usługa określa:

• przedział ufności dla średniej ogólnej, przedział ufności dla wariancji;
• przedział ufności dla odchylenia standardowego, przedział ufności dla frakcji ogólnej;

Przykład 1. W kołchozie, ze stada liczącego 1000 owiec, 100 owiec zostało poddanych selektywnej kontroli strzyżenia. W rezultacie ustalono średnie strzyżenie wełny 4,2 kg na owcę. Określ z prawdopodobieństwem 0,99 błąd standardowy próbki przy określaniu średniego ścinania wełny na owcę oraz granic, w których mieści się wartość ścinania, jeśli wariancja wynosi 2,5. Próbka nie jest powtarzalna.
Przykład #2. Z partii produktów importowanych na poczcie Moskiewskiego Urzędu Celnego Północnego pobrano 20 próbek produktu „A” w kolejności losowego ponownego pobierania próbek. W wyniku kontroli ustalono średnią zawartość wilgoci produktu „A” w próbce, która wyniosła 6% przy odchyleniu standardowym 1%.
Wyznacz z prawdopodobieństwem 0,683 limity średniej wilgotności produktu w całej partii importowanych produktów.
Przykład #3. Ankieta przeprowadzona wśród 36 studentów wykazała, że ​​średnia liczba podręczników czytanych przez nich w roku akademickim wyniosła 6. Zakładając, że liczba podręczników czytanych przez studenta w semestrze ma normalne prawo rozkładu z odchyleniem standardowym równym 6, znajdź : A) z wiarygodnością oszacowania przedziału 0,99 dla matematycznych oczekiwań tej zmiennej losowej; B) z jakim prawdopodobieństwem można twierdzić, że średnia liczba podręczników przeczytanych przez studenta w semestrze, obliczona dla tej próby, odbiega od oczekiwań matematycznych w wartości bezwzględnej nie więcej niż o 2.

Klasyfikacja przedziałów ufności

Według typu próbki:

1. Przedział ufności dla nieskończonego próbkowania;
2. Przedział ufności dla próbki końcowej;

Obliczanie średniego błędu próbkowania dla doboru losowego

Przykładowe wzory błędów średnich
reselekcja		nie powtarzalny wybór
dla średniego	do udostępnienia	dla średniego	do udostępnienia

Wzory do obliczania liczebności próby za pomocą odpowiedniej metody doboru losowego