직선이 공간에서 교차한다는 것을 증명하는 방법. 도를 넘었다

이 기사에서는 먼저 교차하는 선 사이의 각도를 정의하고 그래픽 일러스트레이션을 제공합니다. 다음으로, "직각 좌표계에서 이러한 선의 방향 벡터 좌표가 알려진 경우 교차 선 사이의 각도를 찾는 방법"이라는 질문에 답하겠습니다. 결론적으로 예제와 문제를 풀 때 교차하는 선 사이의 각도를 찾는 연습을 하게 됩니다.

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교차하는 직선 사이의 각도 - 정의.

우리는 교차하는 직선 사이의 각도를 점차적으로 결정하는 방법에 접근할 것입니다.

먼저, 기울어진 선의 정의를 떠올려 보겠습니다. 3차원 공간에 있는 두 개의 선을 호출합니다. 이종교배, 동일한 평면에 있지 않은 경우. 이 정의에 따르면 교차하는 선은 교차하지 않고 평행하지 않으며 또한 일치하지 않습니다. 그렇지 않으면 둘 다 특정 평면에 놓이게 됩니다.

추가로 보조적인 추론을 해보자.

두 개의 교차선 a와 b가 3차원 공간에 있다고 가정합니다. 직선 a 1 과 b 1 이 각각 기울어진 선 a 및 b와 평행하고 공간 M 1 의 어떤 점을 통과하도록 구성해 보겠습니다. 따라서 우리는 두 개의 교차 선 a 1과 b 1을 얻습니다. 교차하는 선 a 1 과 b 1 사이의 각도를 각도 와 동일하게 만듭니다. 이제 점 M 1과 다른 점 M 2를 통과하면서 각각 기울어진 선 a 및 b에 평행한 선 a 2 및 b 2를 구성해 보겠습니다. 교차선 a 2와 b 2 사이의 각도도 각도와 같습니다. 이 진술은 사실입니다. 왜냐하면 점 M 1이 점 M 2로 이동하는 병렬 전송이 수행되면 직선 a 1 및 b 1이 직선 a 2 및 b 2와 각각 일치하기 때문입니다. 따라서 주어진 교차선에 각각 평행한 점 M에서 교차하는 두 직선 사이의 각도 측정은 점 M의 선택에 의존하지 않습니다.

이제 교차하는 선 사이의 각도를 정의할 준비가 되었습니다.

정의.

교차선 사이의 각도주어진 교차선에 각각 평행한 두 교차선 사이의 각도입니다.

정의에 따르면 교차선 사이의 각도도 점 M의 선택에 의존하지 않습니다. 따라서 교차하는 선 중 하나에 속하는 모든 점을 점 M으로 사용할 수 있습니다.

교차하는 선 사이의 각도를 결정하는 방법을 설명하겠습니다.

교차하는 선 사이의 각도를 찾습니다.

교차하는 선 사이의 각도는 교차하는 선 사이의 각도를 통해 결정되므로 교차하는 선 사이의 각도를 찾는 것은 3차원 공간에서 해당 교차 선 사이의 각도를 찾는 것으로 축소됩니다.

의심할 바 없이 고등학교 기하학 수업에서 배운 방법은 교차하는 선 사이의 각도를 찾는 데 적합합니다. 즉, 필요한 구성을 완료한 후 그림의 동일성 또는 유사성을 기반으로 원하는 각도를 조건에서 알려진 각도와 연결할 수 있으며 경우에 따라 도움이 될 수 있습니다. 코사인 정리, 때로는 결과로 이어지기도 합니다. 사인, 코사인 및 각도의 탄젠트 정의정삼각형.

그러나 교차하는 선 사이의 각도를 찾는 문제는 좌표법을 사용하여 해결하는 것이 매우 편리합니다. 그것이 우리가 고려할 것입니다.

Oxyz를 3차원 공간에 소개합니다(많은 문제에서는 직접 입력해야 하지만).

직교 좌표계 Oxyz에서 공간의 선 방정식에 해당하는 교차선 a와 b 사이의 각도를 찾는 작업을 설정해 보겠습니다.

해결해 봅시다.

3차원 공간 M에서 임의의 점을 선택하고 직선 a 1 및 b 1 이 이를 통과하며 교차하는 직선 a 및 b에 각각 평행하다고 가정해 보겠습니다. 그런 다음 교차선 a와 b 사이에 필요한 각도는 정의에 따라 교차선 a 1과 b 1 사이의 각도와 같습니다.

따라서 우리는 교차하는 선 a 1 과 b 1 사이의 각도를 찾으면 됩니다. 공간에서 교차하는 두 선 사이의 각도를 찾는 공식을 적용하려면 선 a 1과 b 1의 방향 벡터 좌표를 알아야 합니다.

어떻게 얻을 수 있나요? 그리고 그것은 매우 간단합니다. 직선의 방향 벡터를 정의하면 평행선의 방향 벡터 집합이 일치한다고 주장할 수 있습니다. 따라서 직선 a 1 과 b 1 의 방향 벡터를 방향 벡터로 취할 수 있습니다. 그리고 각각 직선 a와 b입니다.

그래서, 두 교차선 a와 b 사이의 각도는 다음 공식으로 계산됩니다.
, 어디 그리고 는 각각 직선 a와 b의 방향 벡터입니다.

교차하는 선 사이의 각도의 코사인을 구하는 공식 a와 b는 다음과 같은 형태를 갖는다 .

코사인을 알고 있는 경우 교차하는 선 사이의 각도의 사인을 찾을 수 있습니다. .

예제에 대한 솔루션을 분석하는 것이 남아 있습니다.

예.

Oxyz 직각 좌표계에서 다음 방정식으로 정의된 교차선 a와 b 사이의 각도를 구합니다. 그리고 .

해결책.

공간에서 직선의 표준 방정식을 사용하면 이 직선의 방향 벡터 좌표를 즉시 결정할 수 있습니다. 이는 분수의 분모에 있는 숫자, 즉 다음과 같이 지정됩니다. . 공간에서 직선의 매개변수 방정식을 사용하면 방향 벡터의 좌표를 즉시 기록할 수 있습니다. 즉, 매개변수 앞의 계수와 같습니다. - 직접 벡터 . 따라서 교차하는 선 사이의 각도를 계산하는 공식을 적용하는 데 필요한 모든 데이터가 있습니다.

답변:

주어진 교차선 사이의 각도는 와 같습니다.

예.

정점의 좌표가 알려진 경우 피라미드 ABCD의 모서리 AD와 BC가 놓여 있는 교차선 사이의 각도의 사인과 코사인을 찾습니다.

해결책.

교차선 AD와 BC의 방향 벡터는 벡터 및 입니다. 벡터의 끝점과 시작점의 해당 좌표 간의 차이로 좌표를 계산해 보겠습니다.

공식에 따르면 지정된 교차선 사이의 각도의 코사인을 계산할 수 있습니다.

이제 교차선 사이의 각도의 사인을 계산해 보겠습니다.

답변:

결론적으로 교차하는 선 사이의 각도를 구해야 하고, 직교 좌표계를 독립적으로 입력해야 하는 문제에 대한 해결책을 고려해 보겠습니다.

예.

AB = 3, AD = 2, AA 1 = 7 단위를 갖는 직육면체 ABCDA 1 B 1 C 1 D 1이 있다고 가정합니다. 점 E는 가장자리 AA 1에 위치하며 점 A를 기준으로 5:2의 비율로 나눕니다. 교차선 BE와 A 1 C 사이의 각도를 구합니다.

해결책.

한 꼭지점에서 직육면체의 모서리는 서로 수직이므로 직교 좌표계를 도입하고 이 선의 방향 벡터 사이의 각도를 통해 좌표 방법을 사용하여 표시된 교차 선 사이의 각도를 결정하는 것이 편리합니다.

직교 좌표계 Oxyz를 다음과 같이 소개하겠습니다. 원점이 꼭지점 A와 일치하고, Ox 축이 직선 AD와 일치하고, Oy 축이 직선 AB와, Oz 축이 직선 AA 1과 일치한다고 가정합니다.

그런 다음 점 B에는 점 E - (필요한 경우 기사 참조) 점 A 1 - 및 점 C - 좌표가 있습니다. 이 점의 좌표로부터 벡터의 좌표를 계산할 수 있습니다. 우리는 , .

방향 벡터의 좌표를 사용하여 교차하는 선 사이의 각도를 찾기 위해 공식을 적용하는 것이 남아 있습니다.

답변:

서지.

Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. 기하학. 10-11학년 중등학교를 위한 교과서입니다.
Pogorelov A.V., 기하학. 일반 교육 기관의 7-11학년을 위한 교과서입니다.
Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. 더 높은 수학. 제1권: 선형대수학 및 분석기하학의 요소.
Ilyin V.A., Poznyak E.G. 분석 기하학.

선 l1과 l2가 동일한 평면에 있지 않으면 스큐라고 합니다. a와 b를 이 선들의 방향 벡터로 두고 점 M1과 M2가 각각 선 l1과 l2에 속한다고 가정합니다.

그러면 벡터 a, b, M1M2>는 동일 평면에 있지 않으므로 혼합 곱은 0이 아닙니다. 즉, (a, b, M1M2>) =/= 0입니다. 반대의 진술도 참입니다: if (a, b , M1M2> ) =/= 0이면 벡터 a, b, M1M2>는 동일 평면에 있지 않으므로 선 l1과 l2는 동일한 평면에 있지 않습니다. 즉 서로 교차합니다. 따라서 두 선이 교차합니다. 조건(a, b, M1M2>) =/= 0인 경우에만 해당됩니다. 여기서 a와 b는 선의 방향 벡터이고 M1과 M2는 각각 이 선에 속하는 점입니다. 조건 (a, b, M1M2>) = 0은 선이 동일한 평면에 있다는 사실에 대한 필요 충분 조건입니다. 선이 표준 방정식으로 제공되는 경우

그러면 a = (a1; a2; a3), b = (b1; b2; b3), M1 (x1; y1; z1), M2(x2; y2; z2) 및 조건 (2)는 다음과 같이 작성됩니다.

교차선 사이의 거리

이것은 교차하는 선 중 하나와 다른 선을 통과하는 평행한 평면 사이의 거리입니다. 교차하는 선 사이의 거리는 교차하는 선 중 하나의 일부 지점에서 첫 번째 선과 평행한 다른 선을 통과하는 평면까지의 거리입니다. 선.

26. 타원, 표준 방정식의 정의. 표준 방정식의 유도. 속성.

타원은 초점이라고 하는 이 평면의 두 초점 F1 및 F2까지의 거리의 합이 일정한 값인 평면 위 점의 기하학적 자취입니다. 이 경우 타원 초점의 일치는 다음과 같습니다. 제외되지 않습니다. 맛이 일치하면 타원은 원입니다. 모든 타원에 대해 타원이 방정식(타원의 표준 방정식)으로 설명되는 데카르트 좌표계를 찾을 수 있습니다.

이는 축이 좌표축과 일치하는 원점을 중심으로 하는 타원을 설명합니다.

오른쪽에 빼기 기호가 있는 단위가 있으면 결과 방정식은 다음과 같습니다.

가상의 타원을 설명합니다. 실제 평면에서 이러한 타원을 그리는 것은 불가능합니다. 초점을 F1과 F2로 표시하고 둘 사이의 거리를 2c로 표시하고 타원의 임의 지점에서 초점까지의 거리의 합을 2a로 표시하겠습니다.

타원의 방정식을 도출하기 위해 초점 F1과 F2가 Ox 축에 있고 원점이 세그먼트 F1F2의 중간과 일치하도록 좌표계 Oxy를 선택합니다. 그러면 초점은 다음과 같은 좌표를 갖게 됩니다. 그리고 M(x;y)를 타원의 임의의 점으로 둡니다. 그런 다음 타원의 정의에 따라, 즉

이것은 본질적으로 타원의 방정식입니다.

27. 쌍곡선의 정의, 표준 방정식. 표준 방정식의 유도. 속성

쌍곡선은 초점이라고 하는 이 평면의 두 고정점 F1 및 F2까지의 거리 차이의 절대값이 상수인 평면 위 점의 기하학적 자취입니다. M(x;y)를 임의의 값으로 지정합니다. 쌍곡선의 점. 그런 다음 쌍곡선 |MF 1 – MF 2 |=2a 또는 MF 1 – MF 2 =±2a의 정의에 따라,

28. 포물선, 표준 방정식의 정의. 표준 방정식의 유도. 속성. 포물선은 이 평면의 일부 고정점 F까지의 거리가 고려 중인 평면에 위치한 일부 고정된 직선까지의 거리와 동일한 평면의 HMT입니다. F - 포물선의 초점; 고정선은 포물선의 준선입니다. r=d,

r=; d=x+p/2; (x-p/2) 2 +y 2 =(x+p/2) 2 ; x 2 -xp+p 2 /4+y 2 =x 2 +px+p 2 /4; 와이 2 =2px;

속성: 1. 포물선에는 대칭축(포물선 축)이 있습니다. 2.모두

포물선은 p>0인 Oxy 평면의 오른쪽 절반 평면에 위치하고 왼쪽에는

만약 p라면<0. 3.Директриса параболы, определяемая каноническим уравнением, имеет уравнение x= -p/2.

공간에서 두 선의 상대적 위치입니다.

공간에서 두 선의 상대적 위치는 다음 세 가지 가능성으로 특징지어집니다.

선은 동일한 평면에 있고 공통점이 없습니다. 즉 평행선입니다.

선은 동일한 평면에 있고 하나의 공통점, 즉 선이 교차합니다.

우주에서는 두 개의 직선이 어떤 평면에도 놓이지 않는 방식으로 위치할 수도 있습니다. 이러한 선을 스큐라고 합니다(교차하지 않거나 평행함).

예:

문제 434 삼각형 ABC가 평면에 놓여 있습니다.

삼각형 ABC는 평면 위에 있지만 점 D는 이 평면에 없습니다. 점 M, N 및 K는 각각 세그먼트 DA, DB 및 DC의 중간점입니다.

정리.두 선 중 하나가 특정 평면에 있고 다른 선이 첫 번째 선에 있지 않은 점에서 이 평면과 교차하면 이 선이 교차합니다.

그림에서. 26 직선 a는 평면 위에 놓여 있고 직선 c는 점 N에서 교차합니다. 직선 a와 c는 교차합니다.

정리.두 개의 교차선 각각을 통과하면 다른 선과 평행한 평면 하나만 통과합니다.

그림에서. 26개의 선 a와 b가 교차합니다. 직선이 그려지고 평면이 그려집니다(알파) || b (평면 B (베타)에는 직선 a1 || b가 표시됩니다).

정리 3.2.

세 번째 선과 평행한 두 선은 평행합니다.

이 속성은 전이성선의 평행성.

증거

선 a와 b가 선 c와 동시에 평행하다고 가정합니다. a가 b와 평행하지 않다고 가정하면 선 a는 조건에 따라 선 c 위에 놓이지 않는 어떤 점 A에서 선 b와 교차합니다. 결과적으로 우리는 주어진 선 c 위에 있지 않고 점 A를 통과하고 동시에 그 점과 평행한 두 개의 선 a와 b를 갖게 됩니다. 이는 공리 3.1과 모순된다. 정리가 입증되었습니다.

정리 3.3.

주어진 직선 위에 있지 않은 점을 통해 주어진 직선에 평행하게 단 하나의 선만 그릴 수 있습니다.

증거

(AB)를 주어진 직선으로, C를 그 위에 있지 않은 점으로 놓습니다. AC선은 평면을 두 개의 반 평면으로 나눕니다. B 지점은 그 중 하나에 있습니다. 공리 3.2에 따르면 각도(CAB)와 동일한 광선 CA의 각도(ACD)를 다른 반평면에 배치하는 것이 가능합니다. ACD와 CAB는 선 AB, CD와 시컨트(AC)를 사이에 두고 내부 십자형으로 동일합니다. 그러면 정리 3.1(AB) || (CD). 공리 3.1을 고려합니다. 정리가 입증되었습니다.

평행선의 특성은 정리 3.1과 반대되는 다음 정리로 제공됩니다.

정리 3.4.

두 개의 평행선이 세 번째 선과 교차하면 교차하는 내각은 동일합니다.

증거

하자 (AB) || (CD). ACD ≠ BAC라고 가정해 보겠습니다. 점 A를 지나 EAC = ACD가 되는 직선 AE를 그립니다. 그러나 정리 3.1(AE ) || (CD ) 및 조건별 – (AB ) || (CD). 정리 3.2에 따름 (AE ) || (AB). 이는 정리 3.3에 모순됩니다. 즉 직선 CD 위에 있지 않은 점 A를 통해 그 점에 평행한 고유한 선을 그릴 수 있다는 것입니다. 정리가 입증되었습니다.

그림 3.3.1.

이 정리를 바탕으로 다음 속성을 쉽게 정당화할 수 있습니다.

두 개의 평행선이 세 번째 선과 교차하면 해당 각도는 동일합니다.

두 평행선이 세 번째 선과 교차하면 내각의 합은 180°입니다.

결과 3.2.

선이 평행선 중 하나와 수직이면 다른 평행선에도 수직입니다.

병렬성의 개념을 통해 우리는 11장 후반부에서 필요할 다음과 같은 새로운 개념을 도입할 수 있습니다.

두 개의 광선이 호출됩니다. 동등하게 지시됨, 첫째로 이 선에 수직이고 두 번째로 광선이 이 선을 기준으로 동일한 절반 평면에 있는 선이 있는 경우.

두 개의 광선이 호출됩니다. 반대 방향, 각각이 서로 상보적인 광선으로 동일하게 향하는 경우.

동일한 방향의 광선 AB 및 CD를 표시하고 반대 방향의 광선 AB 및 CD를 나타냅니다.

그림 3.3.2.

교차선의 표시.

두 선 중 하나가 특정 평면에 있고 다른 선이 첫 번째 선에 있지 않은 점에서 이 평면과 교차하면 이 선이 교차합니다.

공간에서 선의 상호 배열 사례.

공간에서 두 선을 배열하는 네 가지 경우가 있습니다.

– 직선 교차, 즉 같은 평면에 누워 있지 마십시오.

– 직선이 교차합니다. 즉, 같은 평면에 있고 공통점이 하나 있습니다.

– 평행선, 즉 같은 평면에 놓여 있고 교차하지 않습니다.

- 줄이 일치합니다.

표준 방정식에 의해 주어진 선의 상대적 위치에 대한 이러한 경우의 특성을 얻습니다.

어디 — 선에 속하는 점그리고 따라서,- 방향 벡터(그림 4.34). 다음으로 나타내자주어진 점들을 연결하는 벡터.

다음 특성은 위에 나열된 선의 상대적 위치에 해당합니다.

– 직선 및 교차 벡터는 동일 평면상에 있지 않습니다.

– 직선과 교차 벡터는 동일 평면상에 있지만 벡터는 동일 선상에 있지 않습니다.

– 직접 및 평행 벡터는 동일선상에 있지만 벡터는 동일선상에 있지 않습니다.

– 직선과 일치 벡터는 동일선상에 있습니다.

이러한 조건은 혼합제품과 벡터제품의 특성을 이용하여 작성할 수 있습니다. 오른쪽 직각 좌표계에서 벡터의 혼합 곱은 다음 공식으로 구됩니다.

행렬식의 교차점은 0이고 두 번째와 세 번째 행은 비례하지 않습니다.
– 행렬식의 직선 및 평행 두 번째 및 세 번째 선은 비례합니다. 즉 처음 두 줄은 비례하지 않습니다. 즉

– 직선과 행렬식의 모든 직선은 일치하고 비례합니다. 즉

스큐 라인 테스트의 증명.

두 선 중 하나가 평면에 있고 다른 선이 첫 번째 선에 속하지 않는 점에서 이 평면과 교차하는 경우 이 두 선은 교차합니다.

증거

a가 α에 속하고, b가 α = A와 교차하고, A는 a에 속하지 않습니다(그림 2.1.2). 선 a와 b가 교차하지 않는, 즉 교차한다고 가정해 보겠습니다. 그러면 선 a와 b가 속하는 평면 β가 존재합니다. 이 평면 β에는 선 a와 점 A가 놓여 있습니다. 선 a와 그 외부의 점 A는 단일 평면을 정의하므로 β = α입니다. 그러나 b는 β를 구동하고 b는 α에 속하지 않으므로 β = α 등식은 불가능합니다.

정리. 한 선이 주어진 평면에 있고 다른 선이 첫 번째 선에 속하지 않는 점에서 이 평면과 교차하는 경우 이 두 선은 교차합니다. 교차선 표시 증거. 선 a가 평면 위에 있고 선 b가 선 a에 속하지 않는 점 B에서 평면과 교차한다고 가정합니다. 선 a와 b가 같은 평면에 있으면 점 B도 이 평면에 놓이게 됩니다. 선을 통과하는 평면은 하나만 있고 이 선 외부에는 점이 있으므로 이 평면은 평면이어야 합니다. 그러나 직선 b는 평면 위에 놓이게 되며 이는 조건에 모순됩니다. 결과적으로 직선 a와 b는 같은 평면에 있지 않습니다. 이종 교배.