Equazione lineare omogenea del secondo ordine. Equazioni differenziali di secondo ordine e di ordine superiore

Questo articolo rivela la questione della risoluzione di equazioni differenziali lineari disomogenee del secondo ordine con coefficienti costanti. La teoria sarà considerata insieme ad esempi dei problemi dati. Per decifrare termini incomprensibili è necessario fare riferimento al tema delle definizioni e dei concetti di base della teoria delle equazioni differenziali.

Considera un'equazione differenziale lineare (LDE) del secondo ordine con coefficienti costanti della forma y "" + p y " + q y \u003d f (x) , dove p e q sono numeri arbitrari e la funzione esistente f (x) è continua sull'intervallo di integrazione x .

Passiamo alla formulazione del teorema generale della soluzione per LIDE.

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Teorema generale della soluzione per LDNU

Teorema 1

La soluzione generale, situata sull'intervallo x, di un'equazione differenziale disomogenea della forma y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + . . . + f 0 (x) y = f (x) con coefficienti di integrazione continua sull'intervallo x f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) e una funzione continua f (x) è uguale alla somma della soluzione generale y 0 , che corrisponde al LODE, e qualche soluzione particolare y ~ , dove l'equazione disomogenea originale è y = y 0 + y ~ .

Ciò mostra che la soluzione di tale equazione del secondo ordine ha la forma y = y 0 + y ~ . L'algoritmo per trovare y 0 è considerato nell'articolo sulle equazioni differenziali lineari omogenee del secondo ordine a coefficienti costanti. Successivamente, si dovrebbe procedere alla definizione di y ~ .

La scelta di una particolare soluzione alla LIDE dipende dal tipo di funzione disponibile f (x) situata sul lato destro dell'equazione. Per fare ciò, è necessario considerare separatamente le soluzioni di equazioni differenziali lineari disomogenee del secondo ordine a coefficienti costanti.

Quando f (x) è considerato un polinomio di n-esimo grado f (x) = P n (x) , ne consegue che una particolare soluzione della LIDE è trovata da una formula della forma y ~ = Q n (x ) x γ , dove Q n ( x) è un polinomio di grado n, r è il numero di radici zero dell'equazione caratteristica. Il valore di y ~ è una soluzione particolare y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , quindi i coefficienti disponibili, che sono definiti dal polinomio
Q n (x) , troviamo utilizzando il metodo dei coefficienti indefiniti dall'uguaglianza y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Esempio 1

Calcola usando il teorema di Cauchy y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .

Soluzione

In altre parole, è necessario passare ad una soluzione particolare di un'equazione differenziale lineare disomogenea del secondo ordine a coefficienti costanti y "" - 2 y " = x 2 + 1 , che soddisfi le condizioni date y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .

La soluzione generale di un'equazione disomogenea lineare è la somma della soluzione generale che corrisponde all'equazione y 0 o una soluzione particolare dell'equazione disomogenea y ~ , cioè y = y 0 + y ~ .

Per prima cosa, troviamo una soluzione generale per l'LNDE e poi una particolare.

Passiamo alla ricerca di y 0 . Scrivere l'equazione caratteristica aiuterà a trovare le radici. Lo capiamo

k 2 - 2 k \u003d 0 k (k - 2) \u003d 0 k 1 \u003d 0, k 2 \u003d 2

Abbiamo scoperto che le radici sono diverse e reali. Pertanto, scriviamo

y 0 \u003d C 1 e 0 x + C 2 e 2 x \u003d C 1 + C 2 e 2 x.

Troviamo y ~ . Si può vedere che il lato destro dell'equazione data è un polinomio di secondo grado, quindi una delle radici è uguale a zero. Da qui otteniamo che sarà una soluzione particolare per y ~

y ~ = Q 2 (x) x γ \u003d (A x 2 + B x + C) x \u003d A x 3 + B x 2 + C x, dove i valori di A, B, C prendere coefficienti indefiniti.

Troviamoli da un'uguaglianza della forma y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 .

Quindi otteniamo che:

y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (LA x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (LA x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 LA x 2 + x (6 LA - 4 SI) + 2 LA - 2 DO = x 2 + 1

Uguagliando i coefficienti con gli stessi esponenti x , otteniamo un sistema di espressioni lineari - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1 . Quando risolviamo in uno dei modi, troviamo i coefficienti e scriviamo: A \u003d - 1 6, B \u003d - 1 4, C \u003d - 3 4 e y ~ \u003d A x 3 + B x 2 + C x \u003d - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .

Questa voce è chiamata la soluzione generale dell'equazione differenziale del secondo ordine disomogenea lineare originale con coefficienti costanti.

Per trovare una soluzione particolare che soddisfi le condizioni y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 , è necessario determinare i valori C1 e C2, basato su un'uguaglianza della forma y \u003d C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x.

Lo otteniamo:

y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y "(0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x "x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4

Lavoriamo con il sistema di equazioni risultante della forma C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4 , dove C 1 = 3 2 , C 2 = 1 2 .

Applicando il teorema di Cauchy, abbiamo quello

y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

Risposta: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .

Quando la funzione f (x) è rappresentata come prodotto di un polinomio di grado n ed esponente f (x) = P n (x) e a x , allora da qui otteniamo che una particolare soluzione della LIDE del secondo ordine sarà un'equazione della forma y ~ = e a x Q n (x) · x γ , dove Q n (x) è un polinomio di n-esimo grado, ed r è il numero di radici dell'equazione caratteristica pari a α .

I coefficienti appartenenti a Q n (x) si trovano dall'uguaglianza y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Esempio 2

Trova la soluzione generale di un'equazione differenziale della forma y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x .

Soluzione

Equazione generale y = y 0 + y ~ . L'equazione indicata corrisponde al LOD y "" - 2 y " = 0. L'esempio precedente mostra che le sue radici sono k1 = 0 e k 2 = 2 e y 0 = C 1 + C 2 e 2 x secondo l'equazione caratteristica.

Si può vedere che il lato destro dell'equazione è x 2 + 1 · e x . Da qui, LNDE si trova attraverso y ~ = e a x Q n (x) x γ , dove Q n (x) , che è un polinomio di secondo grado, dove α = 1 e r = 0 , perché l'equazione caratteristica non avere una radice uguale a 1 . Quindi lo otteniamo

y ~ = e un x Q n (x) x γ = e x UN x 2 + B x + C x 0 = e x UN x 2 + B x + C .

A, B, C sono coefficienti sconosciuti, che possono essere trovati dall'uguaglianza y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x .

Capito

y ~ "= e x A x 2 + B x + C" = e x A x 2 + B x + C + e x 2 A x + B == e x A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 LA + SI + 2 LA + 2 SI + C

y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 e x ⇔ e x - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - LA x 2 - LA x + 2 LA - DO = 1 x 2 + 0 x + 1

Udentifichiamo gli indicatori per gli stessi coefficienti e otteniamo un sistema di equazioni lineari. Da qui troviamo A, B, C:

A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3

Risposta: si può vedere che y ~ = e x (A x 2 + B x + C) = e x - x 2 + 0 x - 3 = - e x x 2 + 3 è una soluzione particolare di LIDE, e y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3

Quando la funzione è scritta come f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x , e A 1 e IN 1 sono numeri, quindi un'equazione della forma y ~ = A cos β x + B sin β x x γ , dove A e B sono considerati coefficienti indefiniti, e r il numero di radici coniugate complesse relative all'equazione caratteristica, pari a ± io β . In questo caso, la ricerca dei coefficienti è effettuata dall'uguaglianza y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Esempio 3

Trova la soluzione generale di un'equazione differenziale della forma y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

Soluzione

Prima di scrivere l'equazione caratteristica, troviamo y 0 . Quindi

k 2 + 4 \u003d 0 k 2 \u003d - 4 k 1 \u003d 2 io, k 2 \u003d - 2 io

Abbiamo una coppia di complesse radici coniugate. Trasformiamo e otteniamo:

y 0 \u003d e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) \u003d C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)

Le radici dell'equazione caratteristica sono considerate una coppia coniugata ± 2 i , quindi f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x) . Ciò mostra che la ricerca di y ~ sarà effettuata da y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x. Sconosciute i coefficienti A e B saranno ricercati da un'uguaglianza della forma y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

Trasformiamo:

y ~ " = ((Un cos (2 x) + B peccato (2 x) x) " = = (- 2 UN peccato (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + UN cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)

Poi si vede che

y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4B cos(2x) = cos(2x) + 3 sin(2x)

È necessario eguagliare i coefficienti di seno e coseno. Otteniamo un sistema della forma:

4 LA = 3 4 LA = 1 ⇔ LA = - 3 4 LA = 1 4

Ne consegue che y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x .

Risposta: si considera essere la soluzione generale della LIDE originaria del secondo ordine a coefficienti costanti

y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x

Quando f (x) = e a x P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x) , allora y ~ = e a x (L m (x) sin (β x) + N m (x ) cos (β x) x γ Abbiamo che r è il numero di coppie complesse coniugate di radici relative all'equazione caratteristica, pari a α ± i β , dove P n (x) , Q k (x) , L m ( x) e N m (x) sono polinomi di grado n, k, m, dove m = m un x (n, k). Trovare coefficienti Lm (x) e N m (x) viene prodotto in base all'uguaglianza y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Esempio 4

Trova la soluzione generale y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .

Soluzione

È chiaro dalla condizione che

α = 3 , β = 5 , P n (x) = - 38 x - 45 , Q k (x) = - 8 x + 5 , n = 1 , k = 1

Allora m = m un x (n , k) = 1 . Troviamo y 0 scrivendo prima l'equazione caratteristica della forma:

k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1, k 2 = 3 + 1 2 = 2

Abbiamo scoperto che le radici sono reali e distinte. Quindi y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x . Successivamente, è necessario cercare una soluzione generale basata su un'equazione disomogenea y ~ della forma

y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))

È noto che A, B, C sono coefficienti, r = 0, perché non esiste coppia di radici coniugate relative all'equazione caratteristica con α ± i β = 3 ± 5 · i . Questi coefficienti si trovano dall'uguaglianza risultante:

y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))

Trovare la derivata e termini simili dà

E 3 x ((15 A + 23 C) x sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sin (5 x) + + (23 A - 15 C) x cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) cos (5 x)) = = - e 3 x (38 x sin (5 x) + 45 sin (5 x) + + 8 x cos ( 5 x) - 5 cos (5 x))

Dopo aver eguagliato i coefficienti, otteniamo un sistema della forma

15 LA + 23 DO = 38 10 LA + 15 SI - 3 DO + 23 RE = 45 23 LA - 15 DO = 8 - 3 LA + 23 LA - 10 DO - 15 RE = - 5 ⇔ LA = 1 B = 1 DO = 1 D = 1

Da tutto ne consegue che

y ~= e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) == e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x +1)peccato(5x))

Risposta: ora è stata ottenuta la soluzione generale dell'equazione lineare data:

y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))

Algoritmo per la risoluzione di LDNU

Definizione 1

Qualsiasi altro tipo di funzione f (x) per la soluzione prevede l'algoritmo risolutivo:

• trovare la soluzione generale della corrispondente equazione lineare omogenea, dove y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2 , dove si 1 e y2 sono soluzioni particolari linearmente indipendenti di LODE, Da 1 e Da 2 sono considerate costanti arbitrarie;
• accettazione come soluzione generale della LIDE y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 ;
• definizione di derivate di una funzione attraverso un sistema della forma C 1 "(x) + y 1 (x) + C 2 "(x) y 2 (x) = 0 C 1 "(x) + y 1" (x ) + C 2 "(x) y 2 "(x) = f (x) e trovare funzioni C 1 (x) e C 2 (x) per integrazione.

Esempio 5

Trova la soluzione generale per y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x .

Soluzione

Si procede alla scrittura dell'equazione caratteristica, avendo precedentemente scritto y 0 , y "" + 36 y = 0 . Scriviamo e risolviamo:

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 io , k 2 = - 6 io ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = peccato (6 x)

Abbiamo che la registrazione della soluzione generale dell'equazione data assumerà la forma y = C 1 (x) cos (6 x) + C 2 (x) sin (6 x) . Occorre passare alla definizione di funzioni derivate C 1 (x) e C2(x) secondo il sistema con equazioni:

C 1 "(x) cos (6 x) + C 2" (x) sin (6 x) = 0 C 1 "(x) (cos (6 x))" + C 2 "(x) (peccato (6 x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 sin (6 x) + C 2 " (x) (6 cos (6 x)) \u003d \u003d 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x

Occorre prendere una decisione in merito C 1 "(x) e C2" (x) usando qualsiasi metodo. Allora scriviamo:

C 1 "(x) \u003d - 4 sin 2 (6 x) + 2 sin (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2 "(x) \u003d 4 sin (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)

Ciascuna delle equazioni deve essere integrata. Quindi scriviamo le equazioni risultanti:

C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x peccato (6 x) + C 4

Ne consegue che la soluzione generale avrà la forma:

y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 peccato (6 x)

Risposta: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 volte)

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Fondamenti di risoluzione di equazioni differenziali lineari disomogenee del secondo ordine (LNDE-2) a coefficienti costanti (PC)

Un CLDE del secondo ordine con coefficienti costanti $p$ e $q$ ha la forma $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, dove $f\left( x \right)$ è una funzione continua.

Le due affermazioni seguenti sono vere rispetto al 2° LNDE con PC.

Si supponga che una qualche funzione $U$ sia una soluzione particolare arbitraria di un'equazione differenziale disomogenea. Assumiamo anche che qualche funzione $Y$ sia una soluzione generale (OR) della corrispondente equazione differenziale lineare omogenea (LODE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. Allora l'OR di LNDE-2 è uguale alla somma delle soluzioni private e generali indicate, ovvero $y=U+Y$.

Se il lato destro del LIDE di 2° ordine è la somma delle funzioni, cioè $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x\right) )+.. ..+f_(r) \left(x\right)$, quindi prima puoi trovare il PD $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r) $ che corrispondono a ciascuno delle funzioni $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, e dopo scrivi il LNDE-2 PD come $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.

Soluzione di 2° ordine LNDE con PC

Ovviamente, la forma dell'uno o dell'altro PD $U$ di un dato LNDE-2 dipende dalla forma specifica del suo lato destro $f\left(x\right)$. I casi più semplici di ricerca del PD di LNDE-2 sono formulati come le seguenti quattro regole.

Regola numero 1.

Il lato destro di LNDE-2 ha la forma $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, dove $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, cioè si chiama a polinomio di grado $n$. Quindi il suo PR $U$ viene cercato nella forma $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $, dove $Q_(n) \left(x\right)$ è un altro polinomio dello stesso grado di $P_(n) \left(x\right)$, e $r$ è il numero di radici zero dell'equazione caratteristica del corrispondente LODE-2. I coefficienti del polinomio $Q_(n) \left(x\right)$ si trovano con il metodo dei coefficienti indefiniti (NC).

Regola numero 2.

Il lato destro di LNDE-2 ha la forma $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, dove $P_(n) \left( x\right)$ è un polinomio di grado $n$. Quindi il suo PD $U$ viene cercato nella forma $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $, dove $Q_(n ) \ left(x\right)$ è un altro polinomio dello stesso grado di $P_(n) \left(x\right)$, e $r$ è il numero di radici dell'equazione caratteristica del corrispondente LODE-2 uguale a $\alfa $. I coefficienti del polinomio $Q_(n) \left(x\right)$ si trovano con il metodo NK.

Regola numero 3.

La parte destra di LNDE-2 ha la forma $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \right) $, dove $a$, $b$ e $\beta $ sono numeri noti. Quindi viene cercato il suo PD $U$ nella forma $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) )\right )\cdot x^(r) $, dove $A$ e $B$ sono coefficienti sconosciuti, e $r$ è il numero di radici dell'equazione caratteristica del corrispondente LODE-2 pari a $i\cdot \beta $. I coefficienti $A$ e $B$ si trovano con il metodo NDT.

Regola numero 4.

Il lato destro di LNDE-2 ha la forma $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, dove $P_(n) \left(x\right)$ è un polinomio di grado $ n$, e $P_(m) \left(x\right)$ è un polinomio di grado $m$. Quindi viene cercato il suo PD $U$ nella forma $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, dove $Q_(s) \left(x\right) $ e $ R_(s) \left(x\right)$ sono polinomi di grado $s$, il numero $s$ è il massimo di due numeri $n$ e $m$, e $r$ è il numero di radici dell'equazione caratteristica del corrispondente LODE-2, pari a $\alpha +i\cdot \beta $. I coefficienti dei polinomi $Q_(s) \left(x\right)$ e $R_(s) \left(x\right)$ si trovano con il metodo NK.

Il metodo NK consiste nell'applicare la seguente regola. Per trovare i coefficienti incogniti del polinomio, che fanno parte della particolare soluzione dell'equazione differenziale disomogenea LNDE-2, è necessario:

• sostituire il PD $U$, scritto in forma generale, nella parte sinistra di LNDE-2;
• sul lato sinistro di LNDE-2, eseguire semplificazioni e raggruppare termini con gli stessi poteri $x$;
• nell'identità risultante, uguagliare i coefficienti dei termini con le stesse potenze $x$ dei lati sinistro e destro;
• risolvere il sistema risultante di equazioni lineari per coefficienti sconosciuti.

Esempio 1

Compito: trova OR LNDE-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Trova anche il PR , soddisfacendo le condizioni iniziali $y=6$ per $x=0$ e $y"=1$ per $x=0$.

Scrivi il LODA-2 corrispondente: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

Equazione caratteristica: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. Le radici dell'equazione caratteristica: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Queste radici sono reali e distinte. Pertanto, l'OR del corrispondente LODE-2 ha la forma: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.

La parte destra di questo LNDE-2 ha la forma $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Occorre considerare il coefficiente dell'esponente dell'esponente $\alpha =3$. Questo coefficiente non coincide con nessuna delle radici dell'equazione caratteristica. Pertanto, il PR di questo LNDE-2 ha la forma $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Cercheremo i coefficienti $A$, $B$ usando il metodo NK.

Troviamo la derivata prima della CR:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cpunto x) \right)^((") ) =$

$=A\cpunto e^(3\cpunto x) +\sinistra(A\cpunto x+B\destra)\cpunto 3\cpunto e^(3\cpunto x) =\sinistra(A+3\cpunto A\ cpunto x+3\cpunto B\destra)\cpunto e^(3\cpunto x) .$

Troviamo la derivata seconda della CR:

$U""=\sinistra(A+3\cpunto A\cpunto x+3\cpunto B\destra)^((") ) \cpunto e^(3\cpunto x) +\sinistra(A+3\cpunto A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=3\cpunto A\cpunto e^(3\cpunto x) +\sinistra(A+3\cpunto A\cpunto x+3\cpunto B\destra)\cpunto 3\cpunto e^(3\cpunto x) =\sinistra(6\cpunto A+9\cpunto A\cpunto x+9\cpunto B\destra)\cpunto e^(3\cpunto x) .$

Sostituiamo le funzioni $U""$, $U"$ e $U$ invece di $y""$, $y"$ e $y$ nel dato LNDE-2 $y""-3\cdot y" -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ Allo stesso tempo, poiché l'esponente $e^(3\cdot x) $ è incluso come fattore in tutti i componenti, allora può essere omesso.

$6\cpunto A+9\cpunto A\cpunto x+9\cpunto B-3\cpunto \sinistra(A+3\cpunto A\cpunto x+3\cpunto B\destra)-18\cpunto \sinistra(A\ cpunto x+B\destra)=36\cpunto x+12.$

Eseguiamo azioni sul lato sinistro dell'uguaglianza risultante:

$-18\cpunto A\cpunto x+3\cpunto A-18\cpunto B=36\cpunto x+12.$

Usiamo il metodo NC. Otteniamo un sistema di equazioni lineari con due incognite:

$-18\cpunto A=36;$

$3\cpunto A-18\cpunto B=12.$

La soluzione a questo sistema è: $A=-2$, $B=-1$.

Il CR $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ per il nostro problema è simile a questo: $U=\left(-2\cdot x-1\right ) \cpunto e^(3\cpunto x) $.

L'OR $y=Y+U$ per il nostro problema è simile a questo: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ sinistra(-2\cdot x-1\destra)\cdot e^(3\cdot x) $.

Per cercare una PD che soddisfi le condizioni iniziali date, troviamo la derivata $y"$ OR:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

Sostituiamo in $y$ e $y"$ le ​​condizioni iniziali $y=6$ per $x=0$ e $y"=1$ per $x=0$:

$6=C_(1) +C_(2) -1; $

$1=-3\cpunto C_(1) +6\cpunto C_(2) -2-3=-3\cpunto C_(1) +6\cpunto C_(2) -5.$

Abbiamo un sistema di equazioni:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cpunto C_(1) +6\cpunto C_(2) =6.$

Lo risolviamo. Troviamo $C_(1) $ usando la formula di Cramer e $C_(2) $ è determinato dalla prima equazione:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ begin(array)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cpunto 6-\sinistra(-3\destra)\cpunto 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

Quindi, il PD di questa equazione differenziale è: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right )\cpunto e^(3\cpunto x) $.

Equazioni differenziali del secondo ordine e degli ordini superiori.
Lineare DE del secondo ordine a coefficienti costanti.
Esempi di soluzioni.

Si passa alla considerazione delle equazioni differenziali del secondo ordine e delle equazioni differenziali degli ordini superiori. Se hai una vaga idea di cosa sia un'equazione differenziale (o non capisci affatto di cosa si tratta), allora ti consiglio di iniziare con la lezione Equazioni differenziali del primo ordine. Esempi di soluzioni. Molti principi risolutivi e concetti di base delle differenze del primo ordine vengono quindi automaticamente estesi alle equazioni differenziali di ordine superiore è molto importante capire prima le equazioni del primo ordine.

Molti lettori potrebbero avere un pregiudizio sul fatto che il DE del 2°, 3° e altri ordini sia qualcosa di molto difficile e inaccessibile da padroneggiare. Questo non è vero . Imparare a risolvere i diffusi di ordine superiore non è affatto più difficile dei DE "ordinari" di 1° ordine. E in alcuni luoghi è ancora più facile, dal momento che il materiale del curriculum scolastico viene utilizzato attivamente nelle decisioni.

Più popolare equazioni differenziali del secondo ordine. In un'equazione differenziale del secondo ordine necessariamente include la derivata seconda e non incluso

Va notato che alcuni dei bambini (e anche tutti in una volta) potrebbero mancare nell'equazione, è importante che il padre fosse a casa. L'equazione differenziale del secondo ordine più primitiva si presenta così:

Le equazioni differenziali di terzo ordine nei compiti pratici sono molto meno comuni, secondo le mie osservazioni soggettive alla Duma di Stato, guadagnerebbero circa il 3-4% dei voti.

In un'equazione differenziale del terzo ordine necessariamente include la derivata terza e non incluso derivati ​​di ordini superiori:

L'equazione differenziale più semplice del terzo ordine si presenta così: - papà è a casa, tutti i bambini sono fuori a fare una passeggiata.

Allo stesso modo si possono definire equazioni differenziali del 4°, 5° ordine e superiori. Nei problemi pratici, tale DE scivola molto raramente, tuttavia, cercherò di fornire esempi pertinenti.

Le equazioni differenziali di ordine superiore proposte nei problemi pratici possono essere suddivise in due gruppi principali.

1) Il primo gruppo - il cosiddetto equazioni di ordine inferiore. Vola!

2) Il secondo gruppo - equazioni lineari di ordine superiore a coefficienti costanti. Che inizieremo a considerare proprio ora.

Equazioni differenziali lineari del secondo ordine
a coefficienti costanti

In teoria e in pratica, si distinguono due tipi di tali equazioni: equazione omogenea e equazione disomogenea.

DE omogeneo del secondo ordine a coefficienti costanti ha la seguente forma:
, dove e sono costanti (numeri) e sul lato destro - rigorosamente zero.

Come puoi vedere, non ci sono particolari difficoltà con le equazioni omogenee, la cosa principale è quella risolvere correttamente l'equazione quadratica.

A volte ci sono equazioni omogenee non standard, ad esempio un'equazione nella forma , dove alla derivata seconda c'è una costante , diversa dall'unità (e, ovviamente, diversa da zero). L'algoritmo di soluzione non cambia affatto, si dovrebbe comporre con calma l'equazione caratteristica e trovarne le radici. Se l'equazione caratteristica avrà due diverse radici reali, ad esempio: , allora la soluzione generale può essere scritta nel solito modo: .

In alcuni casi, a causa di un errore di battitura nella condizione, possono risultare radici "cattive", qualcosa del genere . Cosa fare, la risposta dovrà essere scritta in questo modo:

Con radici complesse coniugate "cattive" come nessun problema neanche, soluzione generale:

Questo è, una soluzione generale esiste in ogni caso. Perché ogni equazione quadratica ha due radici.

Nell'ultimo paragrafo, come promesso, considereremo brevemente:

Equazioni omogenee lineari di ordine superiore

Tutto è molto, molto simile.

L'equazione lineare omogenea del terzo ordine ha la seguente forma:
, dove sono le costanti.
Per questa equazione, devi anche comporre un'equazione caratteristica e trovarne le radici. L'equazione caratteristica, come molti hanno intuito, si presenta così:
, ed esso comunque Esso ha esattamente tre radice.

Sia, per esempio, tutte le radici reali e distinte: , allora la soluzione generale può essere scritta come segue:

Se una radice è reale e le altre due sono complesse coniugate, allora scriviamo la soluzione generale come segue:

Un caso speciale è quando tutte e tre le radici sono multiple (le stesse). Consideriamo il DE omogeneo più semplice del 3° ordine con un padre solitario: . L'equazione caratteristica ha tre radici zero coincidenti. Scriviamo la soluzione generale come segue:

Se l'equazione caratteristica ha, ad esempio, tre radici multiple, quindi la soluzione generale, rispettivamente, è:

Esempio 9

Risolvi un'equazione differenziale omogenea del terzo ordine

Soluzione: Componiamo e risolviamo l'equazione caratteristica:

, - si ottengono una radice reale e due radici complesse coniugate.

Risposta: decisione comune

Allo stesso modo, possiamo considerare un'equazione lineare omogenea del quarto ordine a coefficienti costanti: , dove sono le costanti.