Calcolo del secondo limite notevole. Calcolatore online Risoluzione dei limiti

Il termine "limite notevole" è ampiamente utilizzato nei libri di testo e nei sussidi didattici per riferirsi a identità importanti che aiutano in modo significativo semplificare il lavoro per trovare dei limiti.

Ma a essere in grado di portare il suo limite al notevole, è necessario guardarlo bene, perché non si verificano direttamente, ma spesso sotto forma di conseguenze, dotate di termini e fattori aggiuntivi. Tuttavia, prima la teoria, poi gli esempi e ci riuscirai!

Primo meraviglioso limite

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Il primo limite notevole è scritto come segue (un'incertezza della forma $0/0$):

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin x)(x)=1. $$

Conseguenze dal primo limite notevole

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(x)(\sin x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (ax))(\sin (bx))=\frac(a)(b). $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\tan x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arcsin x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arctan x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos x)(x^2/2)=1. $$

Esempi di soluzioni: 1 meraviglioso limite

Esempio 1 Limite di calcolo $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x).$$

Soluzione. Il primo passaggio è sempre lo stesso: sostituiamo il valore limite $x=0$ nella funzione e otteniamo:

$$\left[ \frac(\sin 0)(0) \right] = \left[\frac(0)(0)\right].$$

Abbiamo un'incertezza della forma $\left[\frac(0)(0)\right]$, che dovrebbe essere risolta. A ben guardare, il limite originale è molto simile al primo notevole, ma non coincide con esso. Il nostro compito è portare alla somiglianza. Trasformiamolo in questo modo: osserva l'espressione sotto il seno, fai lo stesso al denominatore (relativamente parlando, moltiplichiamo e dividi per $ 3x $), riduci e semplifica ulteriormente:

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(3x)\frac(3x)(8x )=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x)\frac(3)(8)=\frac(3)(8). $$

Sopra, il primo meraviglioso limite è stato ottenuto: $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x) = \lim\limits_(y\to 0)\frac(\sin ( y))(y)=1, \text( ha effettuato una sostituzione condizionale ) y=3x. $$ Risposta: $3/8$.

Esempio 2 Limite di calcolo $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x).$$

Soluzione. Sostituiamo il valore limite $x=0$ nella funzione e otteniamo:

$$\left[ \frac(1-\cos 0)(\tan 0\cdot \sin 0)\right] =\left[ \frac(1-1)( 0\cdot 0)\right] = \left [\frac(0)(0)\destra].$$

Abbiamo un'incertezza della forma $\left[\frac(0)(0)\right]$. Trasformiamo il limite, utilizzando il primo meraviglioso limite in semplificazione (tre volte!):

$$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac( 2 \sin^2 (3x/2))(\sin 2x\cdot \sin 4x)\cdot \cos 2x = $$ $$ = 2\lim\limits_(x\to 0)\frac( \sin^2 (3x/2) )((3x/2)^2) \cdot \frac( 2x)(\sin 2x) \cdot \frac( 4x)( \sin 4x)\cdot \frac( (3x/2)^2)( 2x \ cdot 4x) \cdot \cos 2x = $$ $$ =2\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac( (9/4)x^2)( 8x^2 ) \cdot \cos 2x= 2 \cdot \frac( 9)( 32) \lim\limits_(x\to 0) \cos 2x=\frac(9)(16). $$

Risposta: $9/16$.

Esempio 3 Trova il limite $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5).$$

Soluzione. Ma cosa succede se c'è un'espressione complessa sotto la funzione trigonometrica? Non importa, e qui agiamo allo stesso modo. Innanzitutto, controlla il tipo di incertezza, sostituisci $x=0$ nella funzione e ottieni:

$$\sinistra[ \frac(\sin (0+0))(0-0)\destra] = \sinistra[\frac(0)(0)\destra].$$

Abbiamo un'incertezza della forma $\left[\frac(0)(0)\right]$. Moltiplica e dividi per $2x^3+3x$:

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x ^3+3x))((2x^3+3x)) \cdot \frac(2x^3+3x)(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot \frac( 2x^3+3x)(5x-x^5)= \sinistra[\frac(0)(0)\destra] = $$

Ancora una volta ho avuto l'incertezza, ma in questo caso è solo una frazione. Riduciamo numeratore e denominatore di $x$:

$$ =\lim\limits_(x\to 0) \frac(2x^2+3)(5-x^4)= \left[\frac(0+3)(5-0)\right] =\ frac(3)(5). $$

Risposta: $3/5$.

Il secondo meraviglioso limite

Il secondo limite notevole è scritto come segue (indeterminatezza della forma $1^\infty$):

$$ \lim\limits_(x\to \infty) \left(1+\frac(1)(x)\right)^(x)=e, \quad \text(or) \quad \lim\limits_( x\a 0) \sinistra(1+x\destra)^(1/x)=e. $$

Conseguenze del secondo limite notevole

$$ \lim\limits_(x\to \infty) \left(1+\frac(a)(x)\right)^(bx)=e^(ab). $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\ln (1+x))(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(e^x -1)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(a^x-1)(x \ln a)=1, a>0, a \ne 1. $$ $$ \lim\limits_( x\to 0)\frac((1+x)^(a)-1)(ax)=1. $$

Esempi di soluzioni: 2 meraviglioso limite

Esempio 4 Trova il limite $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3).$$

Soluzione. Controlliamo il tipo di incertezza, sostituiamo $x=\infty$ nella funzione e otteniamo:

$$\left[ \left(1-\frac(2)(\infty)\right)^(\infty) \right] = \left.$$

Abbiamo un'incertezza della forma $\left$. Il limite si può ridurre al secondo notevole. Trasformiamo:

$$ \lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3) = \lim\limits_(x\to \infty)\left( 1+\frac(1)((-3x/2))\destra)^(\frac(-3x/2)(-3x/2)(x+3))= $$ $$ = \lim\limits_ (x\to \infty)\left(\left(1+\frac(1)((-3x/2))\right)^((-3x/2))\right)^\frac(x+3 )(-3x/2)= $$$

L'espressione tra parentesi è in realtà il secondo meraviglioso limite $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, solo $t=- 3x/2$, quindi

$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(e\right)^\frac(x+3)(-3x/2)= \lim\limits_(x\to \infty)e^\ frac(1+3/x)(-3/2)=e^(-2/3). $$

Risposta:$e^(-2/3)$.

Esempio 5 Trova il limite $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x).$ $

Soluzione. Sostituisci $x=\infty$ nella funzione e ottieni l'incertezza della forma $\left[ \frac(\infty)(\infty)\right]$. E abbiamo bisogno di $\left$. Quindi iniziamo convertendo l'espressione tra parentesi:

$$ \lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x) = \lim\limits_ (x\to \infty)\left(\frac(x^3+(x-7)-(x-7)+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x ) = \lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac((x^3+x-7)+(-x+7+2x^2+1))(x^3+x-7 )\destra)^(x) = $$ $$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7) \right)^(x) = \lim\limits_(x\to \infty)\left(\left(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)\right) ^(\frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8))\destra)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)) = $ $

L'espressione tra parentesi è in realtà il secondo meraviglioso limite $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, solo $t=\ frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8) \to \infty$, quindi

$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(e\right)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7))= \lim\limits_ (x\to \infty)e^( \frac(2x^2-x+8)(x^2+1-7/x))= \lim\limits_(x\to \infty)e^( \frac (2-1/x+8/x^2)(1+1/x^2-7/x^3))=e^(2). $$

Ci sono molti meravigliosi limiti, ma i più famosi sono il primo e il secondo meraviglioso limite. La cosa notevole di questi limiti è che sono ampiamente usati e possono essere usati per trovare altri limiti incontrati in numerosi problemi. Questo è ciò che faremo nella parte pratica di questa lezione. Per risolvere problemi riducendo al primo o al secondo limite notevole, non è necessario svelare le incertezze in essi contenute, poiché i valori di questi limiti sono stati a lungo dedotti da grandi matematici.

Il primo limite notevole chiamato limite del rapporto tra il seno di un arco infinitamente piccolo e lo stesso arco, espresso in misura radiante:

Passiamo alla soluzione dei problemi sul primo limite notevole. Nota: se una funzione trigonometrica è sotto il segno limite, questo è quasi un segno sicuro che questa espressione può essere ridotta al primo limite notevole.

Esempio 1 Trova il limite.

Soluzione. Sostituzione invece X zero porta all'incertezza:

.

Il denominatore è un seno, quindi l'espressione può essere ridotta al primo limite notevole. Iniziamo la trasformazione:

.

Nel denominatore - il seno di tre x, e nel numeratore c'è solo una x, il che significa che devi ottenere tre x nel numeratore. Per quello? Presentare 3 X = un e ottieni l'espressione

E arriviamo a una variazione del primo limite notevole:

perché non importa quale lettera (variabile) in questa formula sia invece di x.

Moltiplichiamo x per tre e subito dividiamo:

.

In accordo con il primo limite notevole annotato, sostituiamo l'espressione frazionaria:

Ora possiamo finalmente risolvere questo limite:

.

Esempio 2 Trova il limite.

Soluzione. La sostituzione diretta porta ancora una volta all'incertezza "divisione zero per zero":

.

Per ottenere il primo limite notevole, è necessario che la x sotto il segno del seno al numeratore e solo la x al denominatore abbiano lo stesso coefficiente. Lascia che questo coefficiente sia uguale a 2. Per fare ciò, immaginiamo il coefficiente corrente in x come di seguito, eseguendo azioni con frazioni, otteniamo:

.

Esempio 3 Trova il limite.

Soluzione. Quando sostituiamo, otteniamo di nuovo l'incertezza "zero diviso per zero":

.

Probabilmente hai già capito che dall'espressione originale puoi ottenere il primo meraviglioso limite moltiplicato per il primo meraviglioso limite. Per fare ciò, scomponiamo i quadrati di x al numeratore e seno al denominatore negli stessi fattori, e per ottenere gli stessi coefficienti per x e seno, dividiamo x al numeratore per 3 e immediatamente moltiplichiamo per 3. Otteniamo:

.

Esempio 4 Trova il limite.

Soluzione. Di nuovo otteniamo l'incertezza "zero diviso per zero":

.

Possiamo ottenere il rapporto tra i primi due limiti notevoli. Dividiamo sia il numeratore che il denominatore per x. Quindi, affinché i coefficienti in seno e in x coincidano, moltiplichiamo la x superiore per 2 e immediatamente dividiamo per 2, e moltiplichiamo la x inferiore per 3 e immediatamente dividiamo per 3. Otteniamo:

Esempio 5 Trova il limite.

Soluzione. E ancora, l'incertezza dello "zero diviso per zero":

Ricordiamo dalla trigonometria che la tangente è il rapporto tra seno e coseno e il coseno di zero è uguale a uno. Effettuiamo trasformazioni e otteniamo:

.

Esempio 6 Trova il limite.

Soluzione. La funzione trigonometrica sotto il segno limite suggerisce ancora una volta l'idea di applicare il primo limite notevole. Lo rappresentiamo come il rapporto tra seno e coseno.

Dall'articolo sopra, puoi scoprire qual è il limite e con cosa viene mangiato: questo è MOLTO importante. Come mai? Potresti non capire quali sono i determinanti e risolverli con successo, potresti non capire affatto cosa sia un derivato e trovarli sul "cinque". Ma se non capisci cos'è un limite, sarà difficile risolvere compiti pratici. Inoltre, non sarà superfluo familiarizzare con i campioni del design delle decisioni e le mie raccomandazioni per il design. Tutte le informazioni sono presentate in modo semplice e accessibile.

E ai fini di questa lezione, abbiamo bisogno dei seguenti materiali metodologici: Limiti notevoli e Formule trigonometriche. Si possono trovare sulla pagina. È meglio stampare i manuali: è molto più conveniente, inoltre, è spesso necessario accedervi offline.

Cosa c'è di straordinario nei meravigliosi limiti? La particolarità di questi limiti sta nel fatto che sono stati dimostrati dalle più grandi menti di famosi matematici, e i discendenti riconoscenti non devono soffrire di limiti terribili con un mucchio di funzioni trigonometriche, logaritmi e gradi. Cioè, quando troveremo i limiti, utilizzeremo risultati già pronti che sono stati dimostrati teoricamente.

Ci sono diversi limiti notevoli, ma in pratica gli studenti part-time nel 95% dei casi hanno due limiti notevoli: Primo meraviglioso limite, Il secondo meraviglioso limite. Va notato che si tratta di nomi storicamente consolidati, e quando, ad esempio, si parla di "primo limite notevole", intendono con questo una cosa molto specifica, e non un limite casuale preso dal soffitto.

Primo meraviglioso limite

Considera il seguente limite: (invece della lettera nativa "lui" userò la lettera greca "alfa", questo è più conveniente in termini di presentazione del materiale).

Secondo la nostra regola per la ricerca dei limiti (vedi art Limiti. Esempi di soluzioni) proviamo a sostituire zero nella funzione: al numeratore otteniamo zero (il seno di zero è zero), al denominatore, ovviamente, anche zero. Ci troviamo quindi di fronte a un'indeterminatezza della forma, che, fortunatamente, non ha bisogno di essere divulgata. Nel corso dell'analisi matematica si dimostra che:

Questo fatto matematico è chiamato Primo meraviglioso limite. Non darò una prova analitica del limite, ma ne considereremo il significato geometrico nella lezione successiva funzioni infinitesime.

Spesso nelle attività pratiche, le funzioni possono essere disposte in modo diverso, questo non cambia nulla:

– lo stesso primo meraviglioso limite.

Ma non puoi riordinare da solo numeratore e denominatore! Se viene fornito un limite nella forma , allora deve essere risolto nella stessa forma, senza riordinare nulla.

In pratica, non solo una variabile può fungere da parametro, ma anche una funzione elementare, una funzione complessa. È solo importante che tenda a zero.

Esempi:
, , ,

Qui , , , , e tutto ronza: il primo meraviglioso limite è applicabile.

Ed ecco la voce successiva - eresia:

Come mai? Poiché il polinomio non tende a zero, tende a cinque.

A proposito, la domanda è per il riempimento, ma qual è il limite ? La risposta può essere trovata alla fine della lezione.

In pratica non tutto è così liscio, quasi mai a uno studente verrà offerto di risolvere un limite gratuito e ottenere un credito facile. Hmmm... sto scrivendo queste righe e mi è venuta in mente un pensiero molto importante - dopotutto, sembra sia meglio ricordare a memoria definizioni e formule matematiche "libere", questo può essere di inestimabile aiuto nel test, quando la questione verrà decisa tra il "due" e il "tre", e l'insegnante decide di porre allo studente qualche semplice domanda o di offrire di risolvere l'esempio più semplice ("forse lui (a) sa ancora cosa ?!").

Passiamo agli esempi pratici:

Esempio 1

Trova il limite

Se notiamo un seno nel limite, allora questo dovrebbe indurci subito a pensare alla possibilità di applicare il primo limite notevole.

Per prima cosa, proviamo a sostituire 0 nell'espressione sotto il segno di limite (lo facciamo mentalmente o su una bozza):

Quindi, abbiamo un'indeterminatezza della forma , its assicurati di indicare nel prendere una decisione. L'espressione sotto il segno del limite sembra il primo meraviglioso limite, ma non è proprio questo, è sotto il seno, ma nel denominatore.

In questi casi, dobbiamo organizzare da soli il primo meraviglioso limite, utilizzando un dispositivo artificiale. La linea di ragionamento può essere la seguente: "sotto il seno abbiamo, il che significa che dobbiamo entrare anche nel denominatore".
E questo viene fatto molto semplicemente:

Cioè, il denominatore viene moltiplicato artificialmente in questo caso per 7 e diviso per lo stesso sette. Ora il record ha assunto una forma familiare.
Quando il compito viene redatto a mano, è consigliabile segnare il primo meraviglioso limite con una semplice matita:

Quello che è successo? In effetti, l'espressione cerchiata si è trasformata in un'unità ed è scomparsa nel prodotto:

Ora non resta che sbarazzarsi della frazione a tre piani:

Chi ha dimenticato la semplificazione delle frazioni multipiano, si prega di aggiornare il materiale nel libro di riferimento Formule matematiche della scuola calda .

Pronto. Risposta finale:

Se non si desidera utilizzare segni di matita, la soluzione può essere formattata in questo modo:

“

Usiamo il primo limite notevole

“

Esempio 2

Trova il limite

Di nuovo vediamo una frazione e un seno nel limite. Proviamo a sostituire zero al numeratore e al denominatore:

In effetti, abbiamo incertezza e, quindi, dobbiamo cercare di organizzare il primo limite notevole. Sulla lezione Limiti. Esempi di soluzioni abbiamo considerato la regola per cui quando abbiamo incertezza, allora dobbiamo fattorizzare il numeratore e il denominatore in fattori. Qui - la stessa cosa, presenteremo i gradi come un prodotto (moltiplicatori):

Analogamente all'esempio precedente, delineiamo con una matita i meravigliosi limiti (qui ce ne sono due), e indichiamo che tendono a uno:

In realtà, la risposta è pronta:

Nei seguenti esempi, non farò arte in Paint, penso a come elaborare correttamente una soluzione in un taccuino: lo capisci già.

Esempio 3

Trova il limite

Sostituiamo zero nell'espressione sotto il segno limite:

Si è ottenuta un'incertezza che deve essere svelata. Se c'è una tangente nel limite, allora viene quasi sempre convertita in seno e coseno secondo la nota formula trigonometrica (a proposito, fanno più o meno lo stesso con la cotangente, vedi il materiale metodologico Formule trigonometriche calde Sulla pagina Formule matematiche, tabelle e materiali di riferimento).

In questo caso:

Il coseno di zero è uguale a uno ed è facile liberarsene (non dimenticare di notare che tende a uno):

Quindi, se nel limite il coseno è un MOLTIPLICATORE, allora, grosso modo, deve essere trasformato in un'unità, che scompare nel prodotto.

Qui tutto si è rivelato più semplice, senza moltiplicazioni e divisioni. Anche il primo limite notevole si trasforma in unità e scompare nel prodotto:

Di conseguenza, si ottiene l'infinito, succede.

Esempio 4

Trova il limite

Proviamo a sostituire zero al numeratore e al denominatore:

Incertezza ottenuta (il coseno di zero, come ricordiamo, è uguale a uno)

Usiamo la formula trigonometrica. Prendi nota! Per qualche ragione, i limiti che utilizzano questa formula sono molto comuni.

Eliminiamo i moltiplicatori costanti oltre l'icona del limite:

Organizziamo il primo limite notevole:

Qui abbiamo solo un meraviglioso limite, che si trasforma in uno e scompare nel prodotto:

Eliminiamo i tre piani:

Il limite è effettivamente risolto, indichiamo che il seno rimanente tende a zero:

Esempio 5

Trova il limite

Questo esempio è più complicato, prova a capirlo da solo:

Alcuni limiti possono essere ridotti al 1° limite notevole modificando la variabile, puoi leggerlo un po' più avanti nell'articolo Limitare i metodi di risoluzione.

Il secondo meraviglioso limite

Nella teoria dell'analisi matematica è dimostrato che:

Questo fatto è chiamato secondo limite notevole.

Riferimento: è un numero irrazionale

Non solo una variabile può fungere da parametro, ma anche una funzione complessa. È solo importante che si sforzi per l'infinito.

Esempio 6

Trova il limite

Quando l'espressione sotto il segno limite è al potere, questo è il primo segno che devi provare ad applicare il secondo meraviglioso limite.

Ma prima, come sempre, proviamo a sostituire nell'espressione un numero infinitamente grande, secondo quale principio si fa, è stato analizzato nella lezione Limiti. Esempi di soluzioni.

È facile vederlo quando la base del grado e l'esponente - , cioè c'è un'incertezza della forma:

Questa incertezza è appena rivelata con l'aiuto del secondo limite notevole. Ma, come spesso accade, il secondo meraviglioso limite non sta su un piatto d'argento, e deve essere organizzato artificialmente. Puoi ragionare come segue: in questo esempio, il parametro significa che dobbiamo anche organizzare nell'indicatore. Per fare ciò, eleviamo la base a potenza, e affinché l'espressione non cambi, la eleviamo a potenza:

Quando il compito viene redatto a mano, segniamo con una matita:

Quasi tutto è pronto, il terribile grado si è trasformato in una bella lettera:

Allo stesso tempo, l'icona del limite stesso viene spostata sull'indicatore:

Esempio 7

Trova il limite

Attenzione! Questo tipo di limite è molto comune, si prega di studiare questo esempio molto attentamente.

Proviamo a sostituire un numero infinitamente grande nell'espressione sotto il segno limite:

Il risultato è un'incertezza. Ma il secondo notevole limite si applica all'incertezza della forma. Cosa fare? Devi convertire la base del grado. Argomentiamo così: al denominatore abbiamo , il che significa che dobbiamo organizzare anche al numeratore.

Prova:

Dimostriamo prima il teorema per il caso della successione

Secondo la formula binomiale di Newton:

Supponendo che otteniamo

Da questa uguaglianza (1) consegue che all'aumentare di n, il numero di termini positivi a destra aumenta. Inoltre, all'aumentare di n, il numero diminuisce, quindi le quantità aumento. Quindi la sequenza crescente, mentre (2)* Dimostriamo che è limitato. Sostituiamo ogni parentesi sul lato destro dell'uguaglianza con una, il lato destro aumenta, otteniamo la disuguaglianza

Rafforziamo la disuguaglianza risultante, sostituiamo 3,4,5, ..., stando ai denominatori delle frazioni, con il numero 2: Troviamo la somma tra parentesi usando la formula per la somma dei membri di una progressione geometrica: Pertanto (3)*

Pertanto, la sequenza è delimitata dall'alto, mentre le disuguaglianze (2) e (3) valgono: Pertanto, in base al teorema di Weierstrass (un criterio per la convergenza di una successione), la successione aumenta in modo monotono ed è delimitato, il che significa che ha un limite, indicato dalla lettera e. Quelli.

Sapendo che il secondo limite notevole vale per i valori naturali di x, dimostriamo il secondo limite notevole per x reale, cioè dimostriamo che . Considera due casi:

1. Sia ogni valore x compreso tra due interi positivi: , dove è la parte intera di x. => =>

Se , allora Pertanto, secondo il limite abbiamo

Sulla base (sul limite di una funzione intermedia) dell'esistenza di limiti

2. Lascia. Facciamo una sostituzione − x = t, allora

Da questi due casi ne consegue che per x reale.

Conseguenze:

9 .) Confronto di infinitesimi. Il teorema sulla sostituzione degli infinitesimi con equivalenti al limite e il teorema sulla parte principale degli infinitesimi.

Lascia che le funzioni a( X) e B( X) – b.m. a X ® X 0 .

DEFINIZIONI.

1) un( X) chiamato un ordine infinitesimo superiore a b (X) Se

Annota: a( X) = o(b( X)) .

2) un( X) e b( X)chiamato infinitesimi dello stesso ordine, Se

dove Cнℝ e C¹ 0 .

Annota: a( X) = o(b( X)) .

3) un( X) e b( X) chiamato equivalente , Se

Annota: a( X) ~ b( X).

4) un( X) è chiamato ordine infinitesimo k rispetto a
molto infinitesimale b( X), se infinitesimale un( X)e(b( X)) K avere lo stesso ordine, cioè Se

dove Cнℝ e C¹ 0 .

TEOREMA 6 (sulla sostituzione degli infinitesimi con quelli equivalenti).

Permettere un( X), b( X), un 1 ( X), b 1 ( X)– b.m. a x ® X 0 . Se una un( X) ~ a 1 ( X), b( X) ~ b 1 ( X),

poi

Dimostrazione: Sia a( X) ~ a 1 ( X), b( X) ~ b 1 ( X), poi

TEOREMA 7 (circa la parte principale dell'infinitamente piccolo).

Permettere un( X)e b( X)– b.m. a x ® X 0 , e b( X)– b.m. ordine superiore a un( X).

= , a poiché b( X) – ordine superiore a ( X) , quindi , cioè da è chiaro che a( X) + b( X) ~ a( X)

10) Continuità di funzione in un punto (nel linguaggio dei limiti epsilon-delta, geometrico) Continuità unilaterale. Continuità su un intervallo, su un segmento. Proprietà delle funzioni continue.

1. Definizioni di base

Permettere f(X) è definito in alcune vicinanze del punto X 0 .

DEFINIZIONE 1. funzione f(X) chiamato continuo in un punto X 0 se l'uguaglianza è vera

Osservazioni.

1) Per il Teorema 5 del §3, l'uguaglianza (1) può essere scritta come

Condizione (2) - definizione della continuità di una funzione in un punto nel linguaggio dei limiti unilaterali.

2) L'uguaglianza (1) può anche essere scritta come:

Dicono: "se una funzione è continua in un punto X 0 , allora il segno del limite e la funzione possono essere scambiati.

DEFINIZIONE 2 (in lingua e-d).

funzione f(X) chiamato continuo in un punto X 0 Se"e>0 $d>0 tale, che cosa

se xОU( X 0 , d) (ovvero | X – X 0 | < d),

poi f(X)ОU( f(X 0), e) (cioè | f(X) – f(X 0) | < e).

Permettere X, X 0 Î D(f) (X 0 - fisso, X- arbitrario)

Denota: D X= x-x 0 – incremento dell'argomento

D f(X 0) = f(X) – f(X 0) – incremento della funzione nel punto x 0

DEFINIZIONE 3 (geometrica).

funzione f(X) sul chiamato continuo in un punto X 0 se a questo punto un incremento infinitesimo dell'argomento corrisponde ad un incremento infinitesimo della funzione, cioè.

Lascia che la funzione f(X) è definito sull'intervallo [ X 0 ; X 0 + d) (sull'intervallo ( X 0 - d; X 0 ]).

DEFINIZIONE. funzione f(X) chiamato continuo in un punto X 0 sulla destra (sinistra ), se l'uguaglianza è vera

È ovvio che f(X) è continua nel punto X 0 Û f(X) è continua nel punto X 0 destra e sinistra.

DEFINIZIONE. funzione f(X) chiamato continuo per intervallo e ( un; b) se è continuo in ogni punto di questo intervallo.

funzione f(X) è detto continuo sul segmento [un; b] se è continuo sull'intervallo (un; b) e ha continuità unilaterale ai punti di confine(cioè continuo al punto un giusto, punto b- sulla sinistra).

11) Break point, loro classifica

DEFINIZIONE. Se la funzione f(X) è definito in un intorno del punto x 0 , ma non è continuo a quel punto, quindi f(X) è detto discontinuo nel punto x 0 , ma il punto X 0 chiamato punto di rottura funzioni f(X) .

Osservazioni.

1) f(X) può essere definito in un intorno incompleto del punto X 0 .

Quindi considera la corrispondente continuità unilaterale della funzione.

2) Dalla definizione di z, il punto X 0 è il punto di interruzione della funzione f(X) in due casi:

a) U( X 0, d) н D(f) , ma per f(X) l'uguaglianza non è soddisfatta

b) U * ( X 0, d) н D(f) .

Per le funzioni elementari è possibile solo il caso b).

Permettere X 0 - punto di interruzione della funzione f(X) .

DEFINIZIONE. punto x 0 chiamato punto di rottura io tipo se la funzione f(X)ha limiti finiti a questo punto a sinistra ea destra.

Se, inoltre, questi limiti sono uguali, allora il punto x 0 chiamato punto di rottura , altrimenti - punto di salto .

DEFINIZIONE. punto x 0 chiamato punto di rottura II tipo se almeno uno dei limiti unilaterali della funzione f(X)a questo punto è uguale a¥ o non esiste.

12) Proprietà delle funzioni continue su un segmento (teoremi di Weierstrass (senza dimostrazione) e di Cauchy

Teorema di Weierstrass

Sia quindi la funzione f(x) continua sul segmento

1)f(x) è limitato a

2) f (x) assume sull'intervallo i suoi valori minimo e massimo

Definizione: Il valore della funzione m=f è chiamato minimo se m≤f(x) per ogni x ∈ D(f).

Il valore della funzione m=f è detto massimo se m≥f(x) per ogni x ∈ D(f).

La funzione può assumere il valore più piccolo \ più grande in diversi punti del segmento.

f(x 3)=f(x 4)=max

Il teorema di Cauchy.

Sia la funzione f(x) continua sul segmento e x il numero racchiuso tra f(a) e f(b), allora esiste almeno un punto x 0 € tale che f(x 0)= g

La formula per il secondo limite notevole è lim x → ∞ 1 + 1 x x = e . Un'altra forma di scrittura si presenta così: lim x → 0 (1 + x) 1 x = e .

Quando si parla del secondo limite notevole, si ha a che fare con un'incertezza della forma 1 ∞ , cioè unità in misura infinita.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Considera i problemi in cui abbiamo bisogno della capacità di calcolare il secondo meraviglioso limite.

Esempio 1

Trova il limite lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 .

Soluzione

Sostituire la formula desiderata ed eseguire i calcoli.

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞

Nella nostra risposta, abbiamo ottenuto un'unità al potere dell'infinito. Per determinare il metodo risolutivo, utilizziamo la tabella delle incertezze. Scegliamo il secondo limite notevole e facciamo un cambio di variabili.

t \u003d - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 \u003d - t 2

Se x → ∞ allora t → - ∞ .

Vediamo cosa abbiamo ottenuto dopo la sostituzione:

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = lim t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 = e - 1 2

Risposta: lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = e - 1 2 .

Esempio 2

Calcola il limite lim x → ∞ x - 1 x + 1 x .

Soluzione

Sostituisci infinito e ottieni quanto segue.

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = lim x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞

Nella risposta, abbiamo ottenuto di nuovo la stessa cosa del problema precedente, quindi possiamo usare di nuovo il secondo meraviglioso limite. Successivamente, dobbiamo selezionare la parte intera alla base della funzione di potenza:

x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1

Successivamente, il limite assume la seguente forma:

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x

Sostituiamo le variabili. Diciamo che t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1 ; se x → ∞ , allora t → ∞ .

Dopodiché, scriviamo ciò che abbiamo ottenuto nel limite originale:

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t 1 + 1 t - 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 2 1 + 1 ∞ = e - 2 (1 + 0) - 1 = e - 2

Per eseguire questa trasformazione, abbiamo utilizzato le proprietà di base dei limiti e delle potenze.

Risposta: lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = e - 2 .

Esempio 3

Calcola il limite lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 .

Soluzione

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1∞

Dopodiché, dobbiamo eseguire una trasformazione di funzione per applicare il secondo meraviglioso limite. Abbiamo ottenuto quanto segue:

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = lim x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

Poiché ora abbiamo gli stessi esponenti al numeratore e al denominatore della frazione (uguale a sei), il limite della frazione all'infinito sarà uguale al rapporto di questi coefficienti alle potenze superiori.

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3

Sostituendo t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2, otteniamo il secondo limite notevole. Significa che cosa:

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 3 = e - 3

Risposta: lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e - 3 .

conclusioni

Incertezza 1 ∞ , cioè unità a un grado infinito, è un'incertezza della legge di potenza, quindi può essere rivelata usando le regole per trovare i limiti delle funzioni di potenza esponenziali.

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