Risolvi il sistema usando il metodo gaussiano. Risolvere sistemi di equazioni lineari mediante il metodo di Gauss

Il metodo Gauss è facile! Come mai? Il famoso matematico tedesco Johann Carl Friedrich Gauss, durante la sua vita, ricevette il riconoscimento come il più grande matematico di tutti i tempi, un genio, e persino il soprannome di "Re della Matematica". E tutto ciò che è geniale, come sai, è semplice! A proposito, non solo i babbei, ma anche i geni entrano nel denaro: il ritratto di Gauss sfoggiato su una banconota da 10 marchi tedeschi (prima dell'introduzione dell'euro), e Gauss sorride ancora misteriosamente ai tedeschi dai normali francobolli.

Il metodo Gauss è semplice in quanto BASTA LA CONOSCENZA DI UNO STUDENTE DI QUINTA GRADO per padroneggiarlo. Deve essere in grado di sommare e moltiplicare! Non è un caso che il metodo della successiva eliminazione delle incognite sia spesso considerato dai docenti delle scuole matematiche elettive. È un paradosso, ma il metodo Gauss causa le maggiori difficoltà agli studenti. Niente di sorprendente: si tratta della metodologia e cercherò di raccontare in una forma accessibile l'algoritmo del metodo.

In primo luogo, sistemiamo un po' le conoscenze sui sistemi di equazioni lineari. Un sistema di equazioni lineari può:

1) Avere una soluzione unica.
2) Avere infinite soluzioni.
3) Non avere soluzioni (be incompatibile).

Il metodo di Gauss è lo strumento più potente e versatile per trovare una soluzione qualunque sistemi di equazioni lineari. Come ricordiamo Regola di Cramer e metodo delle matrici sono inadatti nei casi in cui il sistema ha infinite soluzioni o è incoerente. Un metodo di eliminazione successiva di incognite comunque guidaci alla risposta! In questa lezione considereremo ancora il metodo di Gauss per il caso n. 1 (l'unica soluzione del sistema), l'articolo è riservato alle situazioni dei punti n. 2-3. Noto che l'algoritmo del metodo stesso funziona allo stesso modo in tutti e tre i casi.

Torniamo al sistema più semplice della lezione Come risolvere un sistema di equazioni lineari?
e risolverlo usando il metodo gaussiano.

Il primo passo è scrivere sistema a matrice estesa:
. Secondo quale principio vengono registrati i coefficienti, penso che tutti possano vederlo. La linea verticale all'interno della matrice non ha alcun significato matematico: è solo una barratura per facilitare la progettazione.

Riferimento :Consiglio di ricordare termini algebra lineare. Matrice di sistemaè una matrice composta solo da coefficienti per incognite, in questo esempio la matrice del sistema: . Matrice di sistema estesaè la stessa matrice del sistema più una colonna di termini liberi, in questo caso: . Una qualsiasi delle matrici può essere chiamata semplicemente una matrice per brevità.

Dopo aver scritto la matrice estesa del sistema, è necessario eseguire alcune azioni con essa, che vengono anche chiamate trasformazioni elementari.

Esistono le seguenti trasformazioni elementari:

1) stringhe matrici Potere riordinare posti. Ad esempio, nella matrice in esame, puoi tranquillamente riordinare la prima e la seconda riga:

2) Se ci sono (o sono apparse) righe proporzionali (come caso speciale - identiche) nella matrice, ne segue Elimina dalla matrice, tutte queste righe tranne una. Si consideri, ad esempio, la matrice . In questa matrice le ultime tre righe sono proporzionali, quindi è sufficiente lasciarne solo una: .

3) Se durante le trasformazioni è apparsa una riga zero nella matrice, ne consegue anche Elimina. Non disegnerò, ovviamente, la linea dello zero è la linea in cui solo zeri.

4) La riga della matrice può essere moltiplicare (dividere) per qualsiasi numero diverso da zero. Si consideri, ad esempio, la matrice. Qui è consigliabile dividere la prima riga per -3 e moltiplicare la seconda riga per 2: . Questa azione è molto utile, in quanto semplifica ulteriori trasformazioni della matrice.

5) Questa trasformazione causa la maggior parte delle difficoltà, ma in realtà non c'è niente di complicato. Alla riga della matrice, puoi aggiungi un'altra stringa moltiplicata per un numero, diverso da zero. Considera la nostra matrice da un esempio pratico: . In primo luogo, descriverò la trasformazione in dettaglio. Moltiplica la prima riga per -2: , e alla seconda riga aggiungiamo la prima riga moltiplicata per -2: . Ora la prima riga può essere divisa "indietro" per -2: . Come puoi vedere, la riga che è AGGIUNTA LI – non è cambiato. È sempre la riga viene modificata, A CUI AGGIUNTA UT.

In pratica, ovviamente, non dipingono in modo così dettagliato, ma scrivono in modo più breve:

Ancora una volta: alla seconda riga aggiunta la prima riga moltiplicata per -2. La linea viene solitamente moltiplicata oralmente o su una bozza, mentre il corso mentale dei calcoli è qualcosa del genere:

“Riscrivo la matrice e riscrivo la prima riga: »

Prima la prima colonna. Sotto ho bisogno di ottenere zero. Pertanto, moltiplico l'unità sopra per -2: e aggiungo la prima alla seconda riga: 2 + (-2) = 0. Scrivo il risultato nella seconda riga: »

“Ora la seconda colonna. Sopra -1 volte -2: . Aggiungo il primo alla seconda riga: 1 + 2 = 3. Scrivo il risultato alla seconda riga: »

«E la terza colonna. Sopra -5 volte -2: . Aggiungo la prima riga alla seconda riga: -7 + 10 = 3. Scrivo il risultato nella seconda riga: »

Per favore pensa attentamente a questo esempio e comprendi l'algoritmo di calcolo sequenziale, se lo capisci, il metodo Gauss è praticamente "in tasca". Ma, ovviamente, stiamo ancora lavorando a questa trasformazione.

Le trasformazioni elementari non cambiano la soluzione del sistema di equazioni

! ATTENZIONE: manipolazioni considerate non posso usare, se ti viene offerto un compito in cui le matrici sono fornite "da sole". Ad esempio, con "classico" matrici in nessun caso dovresti riorganizzare qualcosa all'interno delle matrici!

Torniamo al nostro sistema. È praticamente fatta a pezzi.

Scriviamo la matrice aumentata del sistema e, utilizzando trasformazioni elementari, la riduciamo a vista a gradini:

(1) La prima riga è stata aggiunta alla seconda riga, moltiplicata per -2. E ancora: perché moltiplichiamo la prima riga per -2? Per ottenere zero in fondo, il che significa eliminare una variabile nella seconda riga.

(2) Dividi la seconda riga per 3.

Lo scopo delle trasformazioni elementari – convertire la matrice in forma di passaggio: . Nella progettazione dell'attività, estraggono direttamente la "scala" con una semplice matita e circondano anche i numeri che si trovano sui "gradini". Il termine stesso "vista a gradini" non è del tutto teorico; nella letteratura scientifica e educativa, viene spesso chiamato vista trapezoidale o vista triangolare.

Come risultato di trasformazioni elementari, abbiamo ottenuto equivalente sistema di equazioni originale:

Ora il sistema deve essere "svitato" nella direzione opposta: dal basso verso l'alto, viene chiamato questo processo metodo di Gauss inverso.

Nell'equazione inferiore, abbiamo già il risultato finale: .

Considera la prima equazione del sistema e sostituisci in essa il valore già noto di "y":

Consideriamo la situazione più comune, quando il metodo gaussiano è richiesto per risolvere un sistema di tre equazioni lineari con tre incognite.

Esempio 1

Risolvi il sistema di equazioni usando il metodo di Gauss:

Scriviamo la matrice aumentata del sistema:

Ora disegnerò subito il risultato a cui arriveremo nel corso della soluzione:

E ripeto, il nostro obiettivo è portare la matrice a una forma a gradini usando trasformazioni elementari. Da dove iniziare ad agire?

Per prima cosa, guarda il numero in alto a sinistra:

Dovrebbe essere quasi sempre qui unità. In generale, anche -1 (e talvolta altri numeri) andrà bene, ma in qualche modo è successo tradizionalmente che un'unità sia solitamente piazzata lì. Come organizzare un'unità? Guardiamo la prima colonna: abbiamo un'unità finita! Trasformazione uno: scambia la prima e la terza riga:

Ora la prima riga rimarrà invariata fino alla fine della soluzione. Ora bene.

L'unità in alto a sinistra è organizzata. Ora devi ottenere zeri in questi posti:

Gli zeri si ottengono solo con l'aiuto di una trasformazione "difficile". Innanzitutto, trattiamo la seconda riga (2, -1, 3, 13). Cosa bisogna fare per ottenere lo zero in prima posizione? Bisogno alla seconda riga aggiungere la prima riga moltiplicata per -2. Mentalmente o su una bozza, moltiplichiamo la prima riga per -2: (-2, -4, 2, -18). E eseguiamo costantemente (di nuovo mentalmente o su una bozza) l'aggiunta, alla seconda riga aggiungiamo la prima riga, già moltiplicata per -2:

Il risultato è scritto nella seconda riga:

Allo stesso modo, trattiamo la terza riga (3, 2, -5, -1). Per ottenere zero nella prima posizione, è necessario alla terza riga aggiungi la prima riga moltiplicata per -3. Mentalmente o su una bozza, moltiplichiamo la prima riga per -3: (-3, -6, 3, -27). E alla terza riga aggiungiamo la prima riga moltiplicata per -3:

Il risultato è scritto nella terza riga:

In pratica, queste azioni vengono solitamente eseguite verbalmente e scritte in un unico passaggio:

Non c'è bisogno di contare tutto in una volta e allo stesso tempo. L'ordine dei calcoli e "inserimento" dei risultati coerente e di solito in questo modo: prima riscriviamo la prima riga e ci sbuffiamo tranquillamente - COSTANTEMENTE e CON ATTENZIONE:


E ho già considerato il corso mentale dei calcoli stessi sopra.

In questo esempio, questo è facile da fare, dividiamo la seconda riga per -5 (poiché tutti i numeri sono divisibili per 5 senza resto). Allo stesso tempo, dividiamo la terza riga per -2, perché più piccolo è il numero, più semplice è la soluzione:

Nella fase finale delle trasformazioni elementari, qui deve essere ottenuto un altro zero:

Per questo alla terza riga aggiungiamo la seconda riga, moltiplicata per -2:


Prova ad analizzare tu stesso questa azione: moltiplica mentalmente la seconda riga per -2 ed esegui l'addizione.

L'ultima azione eseguita è l'acconciatura del risultato, dividi la terza riga per 3.

Come risultato di trasformazioni elementari, è stato ottenuto un sistema iniziale equivalente di equazioni lineari:

Freddo.

Ora entra in gioco il corso inverso del metodo gaussiano. Le equazioni "si svolgono" dal basso verso l'alto.

Nella terza equazione, abbiamo già il risultato finale:

Diamo un'occhiata alla seconda equazione: . Il significato di "z" è già noto, quindi:

E infine, la prima equazione: . "Y" e "Z" sono noti, la questione è piccola:

Risposta:

Come è stato più volte notato, per qualsiasi sistema di equazioni è possibile e necessario verificare la soluzione trovata, fortunatamente non è difficile e veloce.

Esempio 2

Questo è un esempio di auto-risoluzione, un esempio di rifinitura e una risposta alla fine della lezione.

Va notato che il tuo corso di azione potrebbe non coincidere con la mia linea di condotta, e questa è una caratteristica del metodo di Gauss. Ma le risposte devono essere le stesse!

Esempio 3

Risolvi un sistema di equazioni lineari usando il metodo di Gauss

Scriviamo la matrice estesa del sistema e, utilizzando trasformazioni elementari, la portiamo a una forma a gradini:

Guardiamo il "passo" in alto a sinistra. Lì dovremmo avere un'unità. Il problema è che non ce ne sono affatto nella prima colonna, quindi nulla può essere risolto riordinando le righe. In questi casi, l'unità deve essere organizzata utilizzando una trasformazione elementare. Questo di solito può essere fatto in diversi modi. L'ho fatto:
(1) Alla prima riga aggiungiamo la seconda riga, moltiplicata per -1. Cioè, abbiamo moltiplicato mentalmente la seconda riga per -1 ed eseguito l'aggiunta della prima e della seconda riga, mentre la seconda riga non è cambiata.

Ora in alto a sinistra "meno uno", che ci si addice perfettamente. Chi vuole ottenere +1 può eseguire un gesto aggiuntivo: moltiplicare la prima riga per -1 (cambiarne il segno).

(2) Alla seconda riga è stata aggiunta la prima riga moltiplicata per 5. Alla terza riga è stata aggiunta la prima riga moltiplicata per 3.

(3) La prima riga è stata moltiplicata per -1, in linea di principio, questo è per la bellezza. Anche il segno della terza riga è stato cambiato e spostato al secondo posto, quindi, sul secondo “gradino, avevamo l'unità desiderata.

(4) La seconda riga moltiplicata per 2 è stata aggiunta alla terza riga.

(5) La terza riga è stata divisa per 3.

Un brutto segno che indica un errore di calcolo (meno spesso un errore di battitura) è una linea di fondo "cattiva". Cioè, se avessimo qualcosa come di seguito e, di conseguenza, , quindi con un alto grado di probabilità si può sostenere che è stato commesso un errore nel corso delle trasformazioni elementari.

Addebitiamo la mossa inversa, nella progettazione di esempi, il sistema stesso spesso non viene riscritto e le equazioni vengono "prese direttamente dalla matrice data". La mossa inversa, te lo ricordo, funziona dal basso verso l'alto. Sì, ecco un regalo:

Risposta: .

Esempio 4

Risolvi un sistema di equazioni lineari usando il metodo di Gauss

Questo è un esempio per una soluzione indipendente, è un po' più complicato. Va bene se qualcuno si confonde. Soluzione completa ed esempio di progetto alla fine della lezione. La tua soluzione potrebbe essere diversa dalla mia.

Nell'ultima parte, consideriamo alcune caratteristiche dell'algoritmo di Gauss.
La prima caratteristica è che a volte mancano alcune variabili nelle equazioni del sistema, ad esempio:

Come scrivere correttamente la matrice aumentata del sistema? Ho già parlato di questo momento nella lezione. La regola di Cramer. Metodo matriciale. Nella matrice espansa del sistema mettiamo degli zeri al posto delle variabili mancanti:

A proposito, questo è un esempio abbastanza semplice, poiché c'è già uno zero nella prima colonna e ci sono meno trasformazioni elementari da eseguire.

La seconda caratteristica è questa. In tutti gli esempi considerati, abbiamo posizionato –1 o +1 sui “gradini”. Potrebbero esserci altri numeri? In alcuni casi possono. Considera il sistema: .

Qui sul "passo" in alto a sinistra abbiamo un due. Ma notiamo il fatto che tutti i numeri nella prima colonna sono divisibili per 2 senza resto - e altri due e sei. E il diavolo in alto a sinistra ci starà bene! Al primo passaggio, è necessario eseguire le seguenti trasformazioni: aggiungere la prima riga moltiplicata per -1 alla seconda riga; alla terza riga aggiungi la prima riga moltiplicata per -3. Pertanto, otterremo gli zeri desiderati nella prima colonna.

O un altro ipotetico esempio: . Qui ci si addice anche la tripla del secondo “scatto”, poiché 12 (il punto in cui dobbiamo arrivare a zero) è divisibile per 3 senza resto. È necessario eseguire la seguente trasformazione: alla terza riga, aggiungere la seconda riga, moltiplicata per -4, in conseguenza della quale si otterrà lo zero di cui abbiamo bisogno.

Il metodo di Gauss è universale, ma c'è una particolarità. Puoi imparare con sicurezza come risolvere i sistemi con altri metodi (metodo di Cramer, metodo a matrice) letteralmente dalla prima volta: esiste un algoritmo molto rigido. Ma per sentirti sicuro del metodo Gauss, dovresti "riempire la tua mano" e risolvere almeno 5-10 sistemi. Pertanto, all'inizio potrebbero esserci confusione, errori nei calcoli e non c'è nulla di insolito o tragico in questo.

Tempo piovoso autunnale fuori dalla finestra .... Quindi, per tutti, un esempio più complesso per una soluzione indipendente:

Esempio 5

Risolvi un sistema di quattro equazioni lineari con quattro incognite usando il metodo di Gauss.

Un tale compito in pratica non è così raro. Penso che anche una teiera che ha studiato questa pagina in dettaglio capisca l'algoritmo per risolvere un tale sistema in modo intuitivo. Fondamentalmente lo stesso - solo più azione.

I casi in cui il sistema non ha soluzioni (incoerenti) o ha infinite soluzioni sono considerati nella lezione Sistemi incompatibili e sistemi con una soluzione generale. Lì puoi correggere l'algoritmo considerato del metodo Gauss.

Ti auguro successo!

Soluzioni e risposte:

Esempio 2: Soluzione : Scriviamo la matrice estesa del sistema e, utilizzando trasformazioni elementari, la portiamo a una forma a gradini.


Trasformazioni elementari eseguite:
(1) La prima riga è stata aggiunta alla seconda riga, moltiplicata per -2. La prima riga è stata aggiunta alla terza riga, moltiplicata per -1. Attenzione! Qui potrebbe essere allettante sottrarre la prima dalla terza riga, non consiglio vivamente di sottrarre: il rischio di errore aumenta notevolmente. Abbiamo appena piegato!
(2) Il segno della seconda riga è stato modificato (moltiplicato per -1). La seconda e la terza riga sono state scambiate. Nota che sui “gradini” ci accontentiamo non solo di uno, ma anche di -1, che è ancora più conveniente.
(3) Alla terza riga, aggiungi la seconda, moltiplicata per 5.
(4) Il segno della seconda riga è stato modificato (moltiplicato per -1). La terza riga è stata divisa per 14.

Mossa inversa:

Risposta: .

Esempio 4: Soluzione : Scriviamo la matrice estesa del sistema e, utilizzando trasformazioni elementari, la portiamo a una forma a gradini:

Conversioni eseguite:
(1) La seconda riga è stata aggiunta alla prima riga. Pertanto, l'unità desiderata è organizzata sul "passo" in alto a sinistra.
(2) Alla seconda riga è stata aggiunta la prima riga moltiplicata per 7. Alla terza riga è stata aggiunta la prima riga moltiplicata per 6.

Con il secondo "passo" tutto è peggio , i "candidati" sono i numeri 17 e 23 e abbiamo bisogno di uno o di -1. Le trasformazioni (3) e (4) saranno finalizzate all'ottenimento dell'unità desiderata

(3) La seconda riga è stata aggiunta alla terza riga, moltiplicata per -1.
(4) La terza riga, moltiplicata per -3, è stata aggiunta alla seconda riga.
(3) Alla terza riga è stata aggiunta la seconda riga moltiplicata per 4. Alla quarta riga è stata aggiunta la seconda riga moltiplicata per -1.
(4) Il segno della seconda riga è stato modificato. La quarta riga è stata divisa per 3 e posizionata al posto della terza riga.
(5) La terza riga è stata aggiunta alla quarta riga, moltiplicata per -5.

Mossa inversa:

Uno dei metodi universali ed efficaci per risolvere i sistemi algebrici lineari è Metodo Gauss , consistente nella successiva eliminazione di incognite.

Ricordiamo che i due sistemi sono chiamati equivalente (equivalente) se gli insiemi delle loro soluzioni sono gli stessi. In altre parole, i sistemi sono equivalenti se ogni soluzione per uno di essi è una soluzione per l'altro, e viceversa. Si ottengono sistemi equivalenti con trasformazioni elementari equazioni di sistema:

moltiplicando entrambi i membri dell'equazione per un numero diverso da zero;

sommando a qualche equazione le parti corrispondenti di un'altra equazione, moltiplicate per un numero diverso da zero;

permutazione di due equazioni.

Sia il sistema di equazioni

Il processo di risoluzione di questo sistema con il metodo di Gauss consiste in due fasi. Nella prima fase (corsa in avanti), il sistema viene ridotto mediante trasformazioni elementari a fatto un passo , o triangolare mente, e al secondo stadio (movimento inverso) c'è una sequenziale, a partire dall'ultima variabile, la definizione delle incognite dal sistema di passi risultante.

Assumiamo che il coefficiente di questo sistema
, altrimenti nel sistema la prima riga può essere scambiata con qualsiasi altra riga in modo che il coefficiente at era diverso da zero.

Trasformiamo il sistema, eliminando l'ignoto in tutte le equazioni tranne la prima. Per fare ciò, moltiplica entrambi i membri della prima equazione per e aggiungi termine per termine con la seconda equazione del sistema. Quindi moltiplica entrambi i membri della prima equazione per e aggiungilo alla terza equazione del sistema. Continuando questo processo, otteniamo un sistema equivalente

Qui
sono i nuovi valori dei coefficienti e dei termini liberi, che si ottengono dopo il primo passaggio.

Allo stesso modo, considerando l'elemento principale
, escludere l'ignoto da tutte le equazioni del sistema, tranne la prima e la seconda. Continuiamo questo processo il più a lungo possibile, di conseguenza otteniamo un sistema a fasi

,

dove ,
,…,- gli elementi principali del sistema
.

Se nel processo di portare il sistema a una forma a gradini, appaiono le equazioni, cioè le uguaglianze della forma
, vengono scartati, poiché qualsiasi insieme di numeri li soddisfa
. Se a
appare un'equazione della forma che non ha soluzioni, questo indica l'incoerenza del sistema.

Nel corso inverso, la prima incognita è espressa dall'ultima equazione del sistema di gradini trasformato attraverso tutte le altre incognite
che sono chiamati gratuito . Quindi l'espressione variabile dall'ultima equazione del sistema viene sostituita nella penultima equazione e da essa si esprime la variabile
. Le variabili sono definite in modo simile
. Variabili
, espressi in termini di variabili libere, vengono chiamati di base (dipendente). Si ottiene così la soluzione generale del sistema di equazioni lineari.

Trovare soluzione privata sistemi, libero sconosciuto
nella soluzione generale vengono assegnati valori arbitrari e vengono calcolati i valori delle variabili
.

È tecnicamente più conveniente assoggettare le trasformazioni elementari non alle equazioni del sistema, ma alla matrice estesa del sistema

.

Il metodo di Gauss è un metodo universale che consente di risolvere non solo sistemi quadrati, ma anche rettangolari in cui il numero di incognite
non uguale al numero di equazioni
.

Il vantaggio di questo metodo risiede anche nel fatto che nel processo di risoluzione esaminiamo simultaneamente il sistema per la compatibilità, poiché, avendo ridotto la matrice aumentata
alla forma a gradini, è facile determinare i ranghi della matrice e matrice estesa
e applicare il teorema di Kronecker-Capelli .

Esempio 2.1 Risolvi il sistema usando il metodo di Gauss

Soluzione. Numero di equazioni
e il numero di incognite
.

Componiamo la matrice estesa del sistema assegnando a destra della matrice dei coefficienti colonna membri gratuiti .

Portiamo la matrice a forma triangolare; per fare ciò, otterremo "0" sotto gli elementi sulla diagonale principale utilizzando trasformazioni elementari.

Per ottenere "0" nella seconda posizione della prima colonna, moltiplica la prima riga per (-1) e aggiungi alla seconda riga.

Scriviamo questa trasformazione come un numero (-1) rispetto alla prima riga e la indichiamo con una freccia che va dalla prima riga alla seconda riga.

Per ottenere "0" nella terza posizione della prima colonna, moltiplica la prima riga per (-3) e aggiungi alla terza riga; Mostriamo questa azione con una freccia che va dalla prima riga alla terza.

.

Nella matrice risultante, scritta secondo nella catena di matrici, otteniamo "0" nella seconda colonna nella terza posizione. Per fare ciò, moltiplica la seconda riga per (-4) e aggiungi alla terza. Nella matrice risultante, moltiplichiamo la seconda riga per (-1) e dividiamo la terza riga per (-8). Tutti gli elementi di questa matrice che si trovano al di sotto degli elementi diagonali sono zeri.

Perché , il sistema è collaborativo e specifico.

Il sistema di equazioni corrispondente all'ultima matrice ha una forma triangolare:

Dall'ultima (terza) equazione
. Sostituisci nella seconda equazione e ottieni
.

Sostituto
e
nella prima equazione troviamo


.

Continuiamo a considerare sistemi di equazioni lineari. Questa lezione è la terza sull'argomento. Se hai una vaga idea di cosa sia in generale un sistema di equazioni lineari, ti senti come una teiera, allora ti consiglio di iniziare con le basi nella pagina Successiva, è utile studiare la lezione.

Il metodo Gauss è facile! Come mai? Il famoso matematico tedesco Johann Carl Friedrich Gauss, durante la sua vita, ricevette il riconoscimento come il più grande matematico di tutti i tempi, un genio, e persino il soprannome di "Re della Matematica". E tutto ciò che è geniale, come sai, è semplice! A proposito, non solo i babbei, ma anche i geni entrano nel denaro: il ritratto di Gauss sfoggiato su una banconota da 10 marchi tedeschi (prima dell'introduzione dell'euro), e Gauss sorride ancora misteriosamente ai tedeschi dai normali francobolli.

Il metodo Gauss è semplice in quanto BASTA LA CONOSCENZA DI UNO STUDENTE DI QUINTA GRADO per padroneggiarlo. Deve essere in grado di sommare e moltiplicare! Non è un caso che il metodo della successiva eliminazione delle incognite sia spesso considerato dai docenti delle scuole matematiche elettive. È un paradosso, ma il metodo Gauss causa le maggiori difficoltà agli studenti. Niente di sorprendente: si tratta della metodologia e cercherò di raccontare in una forma accessibile l'algoritmo del metodo.

In primo luogo, sistemiamo un po' le conoscenze sui sistemi di equazioni lineari. Un sistema di equazioni lineari può:

1) Avere una soluzione unica. 2) Avere infinite soluzioni. 3) Non avere soluzioni (be incompatibile).

Il metodo di Gauss è lo strumento più potente e versatile per trovare una soluzione qualunque sistemi di equazioni lineari. Come ricordiamo Regola di Cramer e metodo delle matrici sono inadatti nei casi in cui il sistema ha infinite soluzioni o è incoerente. Un metodo di eliminazione successiva di incognite comunque guidaci alla risposta! In questa lezione considereremo ancora il metodo di Gauss per il caso n. 1 (l'unica soluzione del sistema), un articolo è riservato alle situazioni dei punti n. 2-3. Noto che l'algoritmo del metodo stesso funziona allo stesso modo in tutti e tre i casi.

Torniamo al sistema più semplice della lezione Come risolvere un sistema di equazioni lineari? e risolverlo usando il metodo gaussiano.

Il primo passo è scrivere sistema a matrice estesa: . Secondo quale principio vengono registrati i coefficienti, penso che tutti possano vederlo. La linea verticale all'interno della matrice non ha alcun significato matematico: è solo una barratura per facilitare la progettazione.

Riferimento : Consiglio di ricordare termini algebra lineare. Matrice di sistema è una matrice composta solo da coefficienti per incognite, in questo esempio la matrice del sistema: . Matrice di sistema estesa è la stessa matrice del sistema più una colonna di membri liberi, in questo caso: . Una qualsiasi delle matrici può essere chiamata semplicemente una matrice per brevità.

Dopo aver scritto la matrice estesa del sistema, è necessario eseguire alcune azioni con essa, che vengono anche chiamate trasformazioni elementari.

Esistono le seguenti trasformazioni elementari:

1) stringhe matrici Potere riordinare posti. Ad esempio, nella matrice in esame, puoi tranquillamente riordinare la prima e la seconda riga:

2) Se ci sono (o sono apparse) righe proporzionali (come caso speciale - identiche) nella matrice, ne segue Elimina dalla matrice, tutte queste righe tranne una. Si consideri, ad esempio, la matrice . In questa matrice le ultime tre righe sono proporzionali, quindi è sufficiente lasciarne solo una: .

3) Se durante le trasformazioni è apparsa una riga zero nella matrice, ne consegue anche Elimina. Non disegnerò, ovviamente, la linea dello zero è la linea in cui solo zeri.

4) La riga della matrice può essere moltiplicare (dividere) per qualsiasi numero diverso da zero. Si consideri, ad esempio, la matrice. Qui è consigliabile dividere la prima riga per -3 e moltiplicare la seconda riga per 2: . Questa azione è molto utile, in quanto semplifica ulteriori trasformazioni della matrice.

5) Questa trasformazione causa la maggior parte delle difficoltà, ma in realtà non c'è niente di complicato. Alla riga della matrice, puoi aggiungi un'altra stringa moltiplicata per un numero, diverso da zero. Considera la nostra matrice da un esempio pratico: . In primo luogo, descriverò la trasformazione in dettaglio. Moltiplica la prima riga per -2: , e alla seconda riga aggiungiamo la prima riga moltiplicata per -2: . Ora la prima riga può essere divisa "indietro" per -2: . Come puoi vedere, la riga che è AGGIUNTA LI – non è cambiato. È sempre la riga viene modificata, A CUI AGGIUNTA UT.

In pratica, ovviamente, non dipingono in modo così dettagliato, ma scrivono in modo più breve: Ancora una volta: alla seconda riga aggiunta la prima riga moltiplicata per -2. La linea viene solitamente moltiplicata oralmente o su una bozza, mentre il corso mentale dei calcoli è qualcosa del genere:

“Riscrivo la matrice e riscrivo la prima riga: »

Prima la prima colonna. Sotto ho bisogno di ottenere zero. Pertanto, moltiplico l'unità sopra per -2: e aggiungo la prima alla seconda riga: 2 + (-2) = 0. Scrivo il risultato nella seconda riga: »

“Ora la seconda colonna. Sopra -1 volte -2: . Aggiungo il primo alla seconda riga: 1 + 2 = 3. Scrivo il risultato alla seconda riga: »

«E la terza colonna. Sopra -5 volte -2: . Aggiungo la prima riga alla seconda riga: -7 + 10 = 3. Scrivo il risultato nella seconda riga: »

Per favore pensa attentamente a questo esempio e comprendi l'algoritmo di calcolo sequenziale, se lo capisci, il metodo Gauss è praticamente "in tasca". Ma, ovviamente, stiamo ancora lavorando a questa trasformazione.

Le trasformazioni elementari non cambiano la soluzione del sistema di equazioni

! ATTENZIONE: manipolazioni considerate non posso usare, se ti viene offerto un compito in cui le matrici sono fornite "da sole". Ad esempio, con "classico" matrici in nessun caso dovresti riorganizzare qualcosa all'interno delle matrici! Torniamo al nostro sistema. È praticamente fatta a pezzi.

Scriviamo la matrice aumentata del sistema e, utilizzando trasformazioni elementari, la riduciamo a vista a gradini:

(1) La prima riga è stata aggiunta alla seconda riga, moltiplicata per -2. E ancora: perché moltiplichiamo la prima riga per -2? Per ottenere zero in fondo, il che significa eliminare una variabile nella seconda riga.

(2) Dividi la seconda riga per 3.

Lo scopo delle trasformazioni elementari – convertire la matrice in forma di passaggio: . Nella progettazione dell'attività, estraggono direttamente la "scala" con una semplice matita e circondano anche i numeri che si trovano sui "gradini". Il termine stesso "vista a gradini" non è del tutto teorico; nella letteratura scientifica e educativa, viene spesso chiamato vista trapezoidale o vista triangolare.

Come risultato di trasformazioni elementari, abbiamo ottenuto equivalente sistema di equazioni originale:

Ora il sistema deve essere "svitato" nella direzione opposta: dal basso verso l'alto, viene chiamato questo processo metodo di Gauss inverso.

Nell'equazione inferiore, abbiamo già il risultato finale: .

Considera la prima equazione del sistema e sostituisci in essa il valore già noto di "y":

Consideriamo la situazione più comune, quando il metodo gaussiano è richiesto per risolvere un sistema di tre equazioni lineari con tre incognite.

Esempio 1

Risolvi il sistema di equazioni usando il metodo di Gauss:

Scriviamo la matrice aumentata del sistema:

Ora disegnerò subito il risultato a cui arriveremo nel corso della soluzione: E ripeto, il nostro obiettivo è portare la matrice a una forma a gradini usando trasformazioni elementari. Da dove iniziare ad agire?

Per prima cosa, guarda il numero in alto a sinistra: Dovrebbe essere quasi sempre qui unità. In generale, anche -1 (e talvolta altri numeri) andrà bene, ma in qualche modo è successo tradizionalmente che un'unità sia solitamente piazzata lì. Come organizzare un'unità? Guardiamo la prima colonna: abbiamo un'unità finita! Trasformazione uno: scambia la prima e la terza riga:

Ora la prima riga rimarrà invariata fino alla fine della soluzione. Ora bene.

L'unità in alto a sinistra è organizzata. Ora devi ottenere zeri in questi posti:

Gli zeri si ottengono solo con l'aiuto di una trasformazione "difficile". Innanzitutto, trattiamo la seconda riga (2, -1, 3, 13). Cosa bisogna fare per ottenere lo zero in prima posizione? Bisogno alla seconda riga aggiungere la prima riga moltiplicata per -2. Mentalmente o su una bozza, moltiplichiamo la prima riga per -2: (-2, -4, 2, -18). E eseguiamo costantemente (di nuovo mentalmente o su una bozza) l'aggiunta, alla seconda riga aggiungiamo la prima riga, già moltiplicata per -2:

Il risultato è scritto nella seconda riga:

Allo stesso modo, trattiamo la terza riga (3, 2, -5, -1). Per ottenere zero nella prima posizione, è necessario alla terza riga aggiungi la prima riga moltiplicata per -3. Mentalmente o su una bozza, moltiplichiamo la prima riga per -3: (-3, -6, 3, -27). E alla terza riga aggiungiamo la prima riga moltiplicata per -3:

Il risultato è scritto nella terza riga:

In pratica, queste azioni vengono solitamente eseguite verbalmente e scritte in un unico passaggio:

Non c'è bisogno di contare tutto in una volta e allo stesso tempo. L'ordine dei calcoli e "inserimento" dei risultati coerente e di solito in questo modo: prima riscriviamo la prima riga e ci sbuffiamo tranquillamente - COSTANTEMENTE e CON ATTENZIONE:
E ho già considerato il corso mentale dei calcoli stessi sopra.

In questo esempio, questo è facile da fare, dividiamo la seconda riga per -5 (poiché tutti i numeri sono divisibili per 5 senza resto). Allo stesso tempo, dividiamo la terza riga per -2, perché più piccolo è il numero, più semplice è la soluzione:

Nella fase finale delle trasformazioni elementari, qui deve essere ottenuto un altro zero:

Per questo alla terza riga aggiungiamo la seconda riga, moltiplicata per -2:
Prova ad analizzare tu stesso questa azione: moltiplica mentalmente la seconda riga per -2 ed esegui l'addizione.

L'ultima azione eseguita è l'acconciatura del risultato, dividi la terza riga per 3.

Come risultato di trasformazioni elementari, è stato ottenuto un sistema iniziale equivalente di equazioni lineari: Freddo.

Ora entra in gioco il corso inverso del metodo gaussiano. Le equazioni "si svolgono" dal basso verso l'alto.

Nella terza equazione, abbiamo già il risultato finale:

Diamo un'occhiata alla seconda equazione: . Il significato di "z" è già noto, quindi:

E infine, la prima equazione: . "Y" e "Z" sono noti, la questione è piccola:

Risposta:

Come è stato più volte notato, per qualsiasi sistema di equazioni è possibile e necessario verificare la soluzione trovata, fortunatamente non è difficile e veloce.

Esempio 2

Questo è un esempio di auto-risoluzione, un esempio di rifinitura e una risposta alla fine della lezione.

Va notato che il tuo corso di azione potrebbe non coincidere con la mia linea di condotta, e questa è una caratteristica del metodo di Gauss. Ma le risposte devono essere le stesse!

Esempio 3

Risolvi un sistema di equazioni lineari usando il metodo di Gauss

Guardiamo il "passo" in alto a sinistra. Lì dovremmo avere un'unità. Il problema è che non ce ne sono affatto nella prima colonna, quindi nulla può essere risolto riordinando le righe. In questi casi, l'unità deve essere organizzata utilizzando una trasformazione elementare. Questo di solito può essere fatto in diversi modi. Ho fatto questo: (1) Alla prima riga aggiungiamo la seconda riga, moltiplicata per -1. Cioè, abbiamo moltiplicato mentalmente la seconda riga per -1 ed eseguito l'aggiunta della prima e della seconda riga, mentre la seconda riga non è cambiata.

Ora in alto a sinistra "meno uno", che ci si addice perfettamente. Chi vuole ottenere +1 può eseguire un gesto aggiuntivo: moltiplicare la prima riga per -1 (cambiarne il segno).

(2) Alla seconda riga è stata aggiunta la prima riga moltiplicata per 5. Alla terza riga è stata aggiunta la prima riga moltiplicata per 3.

(3) La prima riga è stata moltiplicata per -1, in linea di principio, questo è per la bellezza. Anche il segno della terza riga è stato cambiato e spostato al secondo posto, quindi, sul secondo “gradino, avevamo l'unità desiderata.

(4) La seconda riga moltiplicata per 2 è stata aggiunta alla terza riga.

(5) La terza riga è stata divisa per 3.

Un brutto segno che indica un errore di calcolo (meno spesso un errore di battitura) è una linea di fondo "cattiva". Cioè, se avessimo qualcosa come di seguito e, di conseguenza, , quindi con un alto grado di probabilità si può sostenere che è stato commesso un errore nel corso delle trasformazioni elementari.

Addebitiamo la mossa inversa, nella progettazione di esempi, il sistema stesso spesso non viene riscritto e le equazioni vengono "prese direttamente dalla matrice data". La mossa inversa, te lo ricordo, funziona dal basso verso l'alto. Sì, ecco un regalo:

Risposta: .

Esempio 4

Risolvi un sistema di equazioni lineari usando il metodo di Gauss

Questo è un esempio per una soluzione indipendente, è un po' più complicato. Va bene se qualcuno si confonde. Soluzione completa ed esempio di progetto alla fine della lezione. La tua soluzione potrebbe essere diversa dalla mia.

Nell'ultima parte, consideriamo alcune caratteristiche dell'algoritmo di Gauss. La prima caratteristica è che a volte mancano alcune variabili nelle equazioni del sistema, ad esempio: Come scrivere correttamente la matrice aumentata del sistema? Ho già parlato di questo momento nella lezione. La regola di Cramer. Metodo matriciale. Nella matrice espansa del sistema mettiamo degli zeri al posto delle variabili mancanti: A proposito, questo è un esempio abbastanza semplice, poiché c'è già uno zero nella prima colonna e ci sono meno trasformazioni elementari da eseguire.

La seconda caratteristica è questa. In tutti gli esempi considerati, abbiamo posizionato –1 o +1 sui “gradini”. Potrebbero esserci altri numeri? In alcuni casi possono. Considera il sistema: .

Qui sul "passo" in alto a sinistra abbiamo un due. Ma notiamo il fatto che tutti i numeri nella prima colonna sono divisibili per 2 senza resto - e altri due e sei. E il diavolo in alto a sinistra ci starà bene! Al primo passaggio, è necessario eseguire le seguenti trasformazioni: aggiungere la prima riga moltiplicata per -1 alla seconda riga; alla terza riga aggiungi la prima riga moltiplicata per -3. Pertanto, otterremo gli zeri desiderati nella prima colonna.

O un altro ipotetico esempio: . Qui ci si addice anche la tripla del secondo “scatto”, poiché 12 (il punto in cui dobbiamo arrivare a zero) è divisibile per 3 senza resto. È necessario eseguire la seguente trasformazione: alla terza riga, aggiungere la seconda riga, moltiplicata per -4, in conseguenza della quale si otterrà lo zero di cui abbiamo bisogno.

Il metodo di Gauss è universale, ma c'è una particolarità. Puoi imparare con sicurezza come risolvere i sistemi con altri metodi (metodo di Cramer, metodo a matrice) letteralmente dalla prima volta: esiste un algoritmo molto rigido. Ma per sentirti sicuro del metodo Gauss, dovresti "riempire la tua mano" e risolvere almeno 5-10 dieci sistemi. Pertanto, all'inizio potrebbero esserci confusione, errori nei calcoli e non c'è nulla di insolito o tragico in questo.

Tempo piovoso autunnale fuori dalla finestra .... Quindi, per tutti, un esempio più complesso per una soluzione indipendente:

Esempio 5

Risolvi un sistema di 4 equazioni lineari con quattro incognite usando il metodo di Gauss.

Un tale compito in pratica non è così raro. Penso che anche una teiera che ha studiato questa pagina in dettaglio capisca l'algoritmo per risolvere un tale sistema in modo intuitivo. Fondamentalmente lo stesso - solo più azione.

Nella lezione vengono presi in considerazione i casi in cui il sistema non ha soluzioni (incoerenti) o ha infinite soluzioni. Sistemi incompatibili e sistemi con una soluzione comune. Lì puoi correggere l'algoritmo considerato del metodo Gauss.

Ti auguro successo!

Soluzioni e risposte:

Esempio 2: Soluzione : Scriviamo la matrice estesa del sistema e, utilizzando trasformazioni elementari, la portiamo a una forma a gradini.
Trasformazioni elementari eseguite: (1) La prima riga è stata aggiunta alla seconda riga, moltiplicata per -2. La prima riga è stata aggiunta alla terza riga, moltiplicata per -1. Attenzione! Qui potrebbe essere allettante sottrarre la prima dalla terza riga, non consiglio vivamente di sottrarre: il rischio di errore aumenta notevolmente. Abbiamo appena piegato! (2) Il segno della seconda riga è stato modificato (moltiplicato per -1). La seconda e la terza riga sono state scambiate. Nota che sui “gradini” ci accontentiamo non solo di uno, ma anche di -1, che è ancora più conveniente. (3) Alla terza riga, aggiungi la seconda, moltiplicata per 5. (4) Il segno della seconda riga è stato modificato (moltiplicato per -1). La terza riga è stata divisa per 14.

Mossa inversa:

Risposta : .

Esempio 4: Soluzione : Scriviamo la matrice estesa del sistema e, utilizzando trasformazioni elementari, la portiamo a una forma a gradini:

Conversioni eseguite: (1) La seconda riga è stata aggiunta alla prima riga. Pertanto, l'unità desiderata è organizzata sul "passo" in alto a sinistra. (2) Alla seconda riga è stata aggiunta la prima riga moltiplicata per 7. Alla terza riga è stata aggiunta la prima riga moltiplicata per 6.

Con il secondo "passo" tutto è peggio , i "candidati" sono i numeri 17 e 23 e abbiamo bisogno di uno o di -1. Le trasformazioni (3) e (4) saranno finalizzate all'ottenimento dell'unità desiderata (3) La seconda riga è stata aggiunta alla terza riga, moltiplicata per -1. (4) La terza riga, moltiplicata per -3, è stata aggiunta alla seconda riga. La cosa necessaria sul secondo passaggio è ricevuta . (5) Alla terza riga si aggiunge la seconda, moltiplicata per 6. (6) La seconda riga è stata moltiplicata per -1, la terza riga è stata divisa per -83.

Mossa inversa:

Risposta :

Esempio 5: Soluzione : Scriviamo la matrice del sistema e, utilizzando trasformazioni elementari, portiamola a una forma graduale:

Conversioni eseguite: (1) La prima e la seconda riga sono state scambiate. (2) La prima riga è stata aggiunta alla seconda riga, moltiplicata per -2. La prima riga è stata aggiunta alla terza riga, moltiplicata per -2. La prima riga è stata aggiunta alla quarta riga, moltiplicata per -3. (3) Alla terza riga è stata aggiunta la seconda riga moltiplicata per 4. Alla quarta riga è stata aggiunta la seconda riga moltiplicata per -1. (4) Il segno della seconda riga è stato modificato. La quarta riga è stata divisa per 3 e posizionata al posto della terza riga. (5) La terza riga è stata aggiunta alla quarta riga, moltiplicata per -5.

Mossa inversa:

Risposta :

Il metodo gaussiano, detto anche metodo della successiva eliminazione delle incognite, consiste in quanto segue. Usando trasformazioni elementari, il sistema di equazioni lineari viene portato in una forma tale che la sua matrice di coefficienti risulta essere trapezoidale (come triangolare o a gradini) o vicino al trapezoidale (il corso diretto del metodo Gauss, quindi - solo una mossa diretta). Un esempio di tale sistema e della sua soluzione è mostrato nella figura sopra.

In un tale sistema, l'ultima equazione contiene solo una variabile e il suo valore può essere trovato in modo univoco. Quindi il valore di questa variabile viene sostituito nell'equazione precedente ( Rovescio gaussiano , quindi - solo una mossa inversa), da cui viene trovata la variabile precedente e così via.

In un sistema trapezoidale (triangolare), come si vede, la terza equazione non contiene più variabili y e X, e la seconda equazione - variabile X .

Dopo che la matrice del sistema ha assunto una forma trapezoidale, non è più difficile risolvere la questione della compatibilità del sistema, determinare il numero di soluzioni e trovare le soluzioni stesse.

Vantaggi del metodo:

1. quando si risolvono sistemi di equazioni lineari con più di tre equazioni e incognite, il metodo di Gauss non è ingombrante come il metodo Cramer, poiché sono necessari meno calcoli per risolvere il metodo di Gauss;
2. utilizzando il metodo di Gauss si possono risolvere sistemi indefiniti di equazioni lineari, cioè avendo una soluzione comune (e li analizzeremo in questa lezione), e utilizzando il metodo Cramer si può solo affermare che il sistema è incerto;
3. puoi risolvere sistemi di equazioni lineari in cui il numero di incognite non è uguale al numero di equazioni (le analizzeremo anche in questa lezione);
4. il metodo si basa sui metodi elementari (scolastici): il metodo di sostituzione delle incognite e il metodo di aggiunta di equazioni, di cui abbiamo parlato nell'articolo corrispondente.

Affinché tutti siano imbevuti della semplicità con cui vengono risolti i sistemi trapezoidali (triangolari, a gradini) di equazioni lineari, presentiamo la soluzione di un tale sistema usando il tratto inverso. Una rapida soluzione a questo sistema è stata mostrata nell'immagine all'inizio della lezione.

Esempio 1 Risolvi un sistema di equazioni lineari usando la mossa inversa:

Soluzione. In questo sistema trapezoidale, la variabile z si trova in modo univoco dalla terza equazione. Sostituiamo il suo valore nella seconda equazione e otteniamo il valore della variabile y:

Ora conosciamo i valori di due variabili - z e y. Li sostituiamo nella prima equazione e otteniamo il valore della variabile X:

Dai passaggi precedenti, scriviamo la soluzione del sistema di equazioni:

Per ottenere un tale sistema trapezoidale di equazioni lineari, che abbiamo risolto in modo molto semplice, è necessario applicare un movimento diretto associato a trasformazioni elementari del sistema di equazioni lineari. Inoltre non è molto difficile.

Trasformazioni elementari di un sistema di equazioni lineari

Ripetendo il metodo scolastico dell'addizione algebrica delle equazioni del sistema, abbiamo scoperto che un'altra equazione del sistema può essere aggiunta a una delle equazioni del sistema e ciascuna delle equazioni può essere moltiplicata per alcuni numeri. Di conseguenza, otteniamo un sistema di equazioni lineari equivalente a quello dato. In essa, un'equazione conteneva già solo una variabile, sostituendo il valore di cui in altre equazioni, arriviamo a una soluzione. Tale addizione è uno dei tipi di trasformazione elementare del sistema. Quando utilizziamo il metodo di Gauss, possiamo utilizzare diversi tipi di trasformazioni.

L'animazione sopra mostra come il sistema di equazioni si trasformi gradualmente in un sistema trapezoidale. Cioè, quello che hai visto nella prima animazione e ti sei assicurato che sia facile trovare i valori di tutte le incognite da esso. Come eseguire tale trasformazione e, naturalmente, esempi, saranno discussi ulteriormente.

Quando si risolvono sistemi di equazioni lineari con un numero qualsiasi di equazioni e incognite nel sistema di equazioni e nella matrice espansa del sistema Potere:

1. scambia le linee (questo è stato menzionato all'inizio di questo articolo);
2. se a seguito di altre trasformazioni sono apparse linee uguali o proporzionali, possono essere cancellate, tranne una;
3. eliminare le righe "null", dove tutti i coefficienti sono uguali a zero;
4. moltiplicare o dividere qualsiasi stringa per un numero;
5. aggiungi a qualsiasi riga un'altra riga moltiplicata per un numero.

Come risultato delle trasformazioni, otteniamo un sistema di equazioni lineari equivalente a quello dato.

Algoritmo ed esempi di risoluzione con il metodo di Gauss di un sistema di equazioni lineari a matrice quadrata del sistema

Consideriamo prima la soluzione di sistemi di equazioni lineari in cui il numero di incognite è uguale al numero di equazioni. La matrice di un tale sistema è quadrata, ovvero il numero di righe al suo interno è uguale al numero di colonne.

Esempio 2 Risolvi un sistema di equazioni lineari usando il metodo di Gauss

Risolvendo sistemi di equazioni lineari con metodi scolastici, abbiamo moltiplicato termine per termine una delle equazioni per un certo numero, in modo che i coefficienti della prima variabile nelle due equazioni fossero numeri opposti. Quando si aggiungono equazioni, questa variabile viene eliminata. Il metodo di Gauss funziona in modo simile.

Per semplificare l'aspetto della soluzione comporre la matrice aumentata del sistema:

In questa matrice, i coefficienti delle incognite si trovano a sinistra prima della barra verticale e i membri liberi sono a destra dopo la barra verticale.

Per comodità di dividere i coefficienti delle variabili (per ottenere una divisione per uno) scambiare la prima e la seconda riga della matrice di sistema. Otteniamo un sistema equivalente a quello dato, poiché nel sistema delle equazioni lineari si possono riordinare le equazioni:

Con la nuova prima equazione eliminare la variabile X dalla seconda e da tutte le successive equazioni. Per fare ciò, aggiungi la prima riga moltiplicata per (nel nostro caso per ) alla seconda riga della matrice e la prima riga moltiplicata per (nel nostro caso per ) alla terza riga.

Questo è possibile perché

Se c'erano più di tre equazioni nel nostro sistema, allora la prima riga dovrebbe essere aggiunta a tutte le equazioni successive, moltiplicata per il rapporto dei coefficienti corrispondenti, presi con un segno meno.

Di conseguenza, otteniamo una matrice equivalente al sistema dato di un nuovo sistema di equazioni, in cui tutte le equazioni, a partire dalla seconda non contengono una variabile X :

Per semplificare la seconda riga del sistema risultante, lo moltiplichiamo per e di nuovo otteniamo la matrice del sistema di equazioni equivalente a questo sistema:

Ora, mantenendo invariata la prima equazione del sistema risultante, usando la seconda equazione, eliminiamo la variabile y da tutte le equazioni successive. Per fare ciò, aggiungi la seconda riga moltiplicata per (nel nostro caso, per ) alla terza riga della matrice di sistema.

Se c'erano più di tre equazioni nel nostro sistema, allora la seconda riga dovrebbe essere aggiunta a tutte le equazioni successive, moltiplicata per il rapporto dei coefficienti corrispondenti, presi con un segno meno.

Di conseguenza, otteniamo nuovamente la matrice del sistema equivalente al dato sistema di equazioni lineari:

Abbiamo ottenuto un sistema trapezoidale di equazioni lineari equivalente a quello dato:

Se il numero di equazioni e variabili è maggiore rispetto al nostro esempio, il processo di eliminazione sequenziale delle variabili continua fino a quando la matrice del sistema diventa trapezoidale, come nel nostro esempio demo.

Troveremo la soluzione "dalla fine" - inverso. Per questo dall'ultima equazione che determiniamo z:
.
Sostituendo questo valore nell'equazione precedente, trova y:

Dalla prima equazione trova X:

Risposta: la soluzione di questo sistema di equazioni - .

: in questo caso, la stessa risposta verrà data se il sistema ha una soluzione univoca. Se il sistema ha un numero infinito di soluzioni, lo sarà anche la risposta, e questo è l'argomento della quinta parte di questa lezione.

Risolvi un sistema di equazioni lineari usando tu stesso il metodo di Gauss, quindi osserva la soluzione

Davanti a noi c'è ancora un esempio di un sistema coerente e definito di equazioni lineari, in cui il numero di equazioni è uguale al numero di incognite. La differenza dal nostro esempio demo dall'algoritmo è che ci sono già quattro equazioni e quattro incognite.

Esempio 4 Risolvi un sistema di equazioni lineari usando il metodo di Gauss:

Ora è necessario utilizzare la seconda equazione per escludere la variabile dalle equazioni successive. Facciamo un po' di lavoro preparatorio. Per renderlo più conveniente con il rapporto dei coefficienti, è necessario ottenere un'unità nella seconda colonna della seconda riga. Per fare ciò, sottrarre la terza riga dalla seconda riga e moltiplicare la seconda riga risultante per -1.

Eseguiamo ora l'effettiva eliminazione della variabile dalla terza e dalla quarta equazione. Per fare ciò, aggiungi il secondo, moltiplicato per , alla terza riga e il secondo, moltiplicato per , alla quarta.

Ora, usando la terza equazione, eliminiamo la variabile dalla quarta equazione. Per fare ciò, alla quarta riga, aggiungi la terza, moltiplicata per . Otteniamo una matrice espansa di forma trapezoidale.

Abbiamo ottenuto un sistema di equazioni, che è equivalente al sistema dato:

Pertanto, i sistemi risultanti e dati sono coerenti e definiti. Troviamo la soluzione finale "dalla fine". Dalla quarta equazione, possiamo esprimere direttamente il valore della variabile "x quarto":

Sostituiamo questo valore nella terza equazione del sistema e otteniamo

,

,

Infine, la sostituzione del valore

Nella prima equazione dà

,

dove troviamo "x prima":

Risposta: Questo sistema di equazioni ha una soluzione unica. .

Puoi anche verificare la soluzione del sistema su una calcolatrice che risolve con il metodo di Cramer: in questo caso, la stessa risposta verrà data se il sistema ha una soluzione univoca.

Soluzione con il metodo di Gauss di problemi applicati sull'esempio di un problema per leghe

I sistemi di equazioni lineari sono usati per modellare oggetti reali del mondo fisico. Risolviamo uno di questi problemi - per le leghe. Compiti simili: compiti per miscele, il costo o il peso specifico dei singoli beni in un gruppo di beni e simili.

Esempio 5 Tre pezzi di lega hanno una massa totale di 150 kg. La prima lega contiene il 60% di rame, la seconda il 30%, la terza il 10%. Allo stesso tempo, nella seconda e terza lega messe insieme, il rame è 28,4 kg in meno rispetto alla prima lega e nella terza lega il rame è 6,2 kg in meno rispetto alla seconda. Trova la massa di ogni pezzo di lega.

Soluzione. Componiamo un sistema di equazioni lineari:

Moltiplicando la seconda e la terza equazione per 10, otteniamo un sistema equivalente di equazioni lineari:

Componiamo la matrice estesa del sistema:

Attenzione, mossa diretta. Sommando (nel nostro caso sottraendo) una riga, moltiplicata per un numero (lo applichiamo due volte), si verificano le seguenti trasformazioni con la matrice espansa del sistema:

Il rettilineo è finito. Abbiamo una matrice espansa di forma trapezoidale.

Usiamo il contrario. Troviamo una soluzione dalla fine. Lo vediamo .

Dalla seconda equazione troviamo

Dalla terza equazione -

Puoi anche verificare la soluzione del sistema su una calcolatrice che risolve con il metodo di Cramer: in questo caso, la stessa risposta verrà data se il sistema ha una soluzione univoca.

La semplicità del metodo di Gauss è testimoniata dal fatto che il matematico tedesco Carl Friedrich Gauss ha impiegato solo 15 minuti per inventarlo. Oltre al metodo del suo nome, tratto dall'opera di Gauss, il detto "Non dobbiamo confondere ciò che ci sembra incredibile e innaturale con l'assolutamente impossibile" è una sorta di breve istruzione per fare scoperte.

In molti problemi applicati potrebbe non esserci una terza restrizione, cioè una terza equazione, quindi è necessario risolvere un sistema di due equazioni con tre incognite con il metodo di Gauss, o, al contrario, ci sono meno incognite delle equazioni. Iniziamo ora a risolvere tali sistemi di equazioni.

Usando il metodo Gauss, puoi determinare se un sistema è coerente o incoerente n equazioni lineari con n variabili.

Metodo di Gauss e sistemi di equazioni lineari con infinite soluzioni

Il prossimo esempio è un sistema coerente ma indefinito di equazioni lineari, cioè ha un numero infinito di soluzioni.

Dopo aver eseguito le trasformazioni nella matrice estesa del sistema (permutare le righe, moltiplicare e dividere le righe per un certo numero, sommare una riga all'altra), le righe del modulo

Se in tutte le equazioni aventi la forma

I membri liberi sono pari a zero, questo significa che il sistema è indefinito, cioè ha un numero infinito di soluzioni, e le equazioni di questo tipo sono “superflue” e sono escluse dal sistema.

Esempio 6

Soluzione. Componiamo la matrice estesa del sistema. Quindi, utilizzando la prima equazione, eliminiamo la variabile dalle equazioni successive. Per fare ciò, alla seconda, terza e quarta riga, aggiungi la prima, moltiplicata rispettivamente per :

Ora aggiungiamo la seconda riga alla terza e alla quarta.

Di conseguenza, arriviamo al sistema

Le ultime due equazioni sono diventate equazioni della forma. Queste equazioni sono soddisfatte per qualsiasi valore delle incognite e possono essere scartate.

Per soddisfare la seconda equazione, possiamo scegliere valori arbitrari per e , quindi il valore per sarà determinato in modo inequivocabile: . Dalla prima equazione, si trova anche in modo univoco il valore per: .

Sia il dato che l'ultimo sistema sono compatibili ma indefiniti e le formule

per arbitrario e dacci tutte le soluzioni del sistema dato.

Metodo di Gauss e sistemi di equazioni lineari senza soluzioni

L'esempio seguente è un sistema incoerente di equazioni lineari, ovvero non ha soluzioni. La risposta a tali problemi è formulata come segue: il sistema non ha soluzioni.

Come già accennato in relazione al primo esempio, dopo aver eseguito trasformazioni nella matrice espansa del sistema, le linee del modulo

corrispondente ad un'equazione della forma

Se tra loro c'è almeno un'equazione con un termine libero diverso da zero (cioè ), allora questo sistema di equazioni è incoerente, cioè non ha soluzioni, e questo completa la sua soluzione.

Esempio 7 Risolvi il sistema di equazioni lineari usando il metodo di Gauss:

Soluzione. Componiamo la matrice estesa del sistema. Utilizzando la prima equazione, escludiamo la variabile dalle equazioni successive. Per fare ciò, aggiungi il primo moltiplicato per alla seconda riga, il primo moltiplicato per la terza riga e il primo moltiplicato per la quarta riga.

Ora è necessario utilizzare la seconda equazione per escludere la variabile dalle equazioni successive. Per ottenere rapporti interi dei coefficienti, scambiamo la seconda e la terza riga della matrice estesa del sistema.

Per escludere dalla terza e dalla quarta equazione, aggiungere la seconda, moltiplicata per , alla terza riga e la seconda, moltiplicata per , alla quarta.

Ora, usando la terza equazione, eliminiamo la variabile dalla quarta equazione. Per fare ciò, alla quarta riga, aggiungi la terza, moltiplicata per .

Il sistema dato è quindi equivalente al seguente:

Il sistema risultante è incoerente, poiché la sua ultima equazione non può essere soddisfatta da nessun valore delle incognite. Pertanto, questo sistema non ha soluzioni.

Due sistemi di equazioni lineari si dicono equivalenti se l'insieme di tutte le loro soluzioni è lo stesso.

Le trasformazioni elementari del sistema di equazioni sono:

1. Cancellazione dal sistema di equazioni banali, cioè quelli per i quali tutti i coefficienti sono uguali a zero;
2. Moltiplicando qualsiasi equazione per un numero diverso da zero;
3. Somma a qualsiasi i -esima equazione di qualsiasi j -esima equazione, moltiplicata per qualsiasi numero.

La variabile x i è chiamata libera se questa variabile non è consentita ed è consentito l'intero sistema di equazioni.

Teorema. Le trasformazioni elementari trasformano il sistema di equazioni in uno equivalente.

Il significato del metodo di Gauss è trasformare il sistema di equazioni originale e ottenere un sistema equivalente consentito o equivalente incoerente.

Quindi, il metodo di Gauss consiste nei seguenti passaggi:

1. Considera la prima equazione. Scegliamo il primo coefficiente diverso da zero e dividiamo l'intera equazione per esso. Otteniamo un'equazione in cui una variabile x i entra con un coefficiente di 1;
2. Sottrarre questa equazione da tutte le altre, moltiplicandola per numeri tali che i coefficienti della variabile x i nelle restanti equazioni siano a zero. Otteniamo un sistema che si risolve rispetto alla variabile x i ed è equivalente a quello originario;
3. Se sorgono equazioni banali (raramente, ma succede; ad esempio, 0 = 0), le cancelliamo dal sistema. Di conseguenza, le equazioni diventano una in meno;
4. Ripetiamo i passaggi precedenti non più di n volte, dove n è il numero di equazioni nel sistema. Ogni volta selezioniamo una nuova variabile per “elaborazione”. Se sorgono equazioni in conflitto (ad esempio, 0 = 8), il sistema è incoerente.

Di conseguenza, dopo alcuni passaggi otteniamo o un sistema consentito (possibilmente con variabili libere) o uno incoerente. I sistemi ammessi rientrano in due casi:

1. Il numero di variabili è uguale al numero di equazioni. Quindi il sistema è definito;
2. Il numero di variabili è maggiore del numero di equazioni. Raccogliamo tutte le variabili libere sulla destra: otteniamo formule per le variabili consentite. Queste formule sono scritte nella risposta.

È tutto! Il sistema di equazioni lineari è risolto! Questo è un algoritmo abbastanza semplice e per padroneggiarlo non è necessario contattare un tutor di matematica. Considera un esempio:

Un compito. Risolvi il sistema di equazioni:

Descrizione dei passaggi:

1. Sottraiamo la prima equazione dalla seconda e dalla terza: otteniamo la variabile consentita x 1;
2. Moltiplichiamo la seconda equazione per (−1) e dividiamo la terza equazione per (−3) - otteniamo due equazioni in cui la variabile x 2 entra con un coefficiente di 1;
3. Aggiungiamo la seconda equazione alla prima e sottraiamo dalla terza. Otteniamo la variabile consentita x 2 ;
4. Infine, sottraiamo la terza equazione dalla prima - otteniamo la variabile consentita x 3 ;
5. Abbiamo ricevuto un sistema autorizzato, scriviamo la risposta.

La soluzione generale di un sistema congiunto di equazioni lineari è un nuovo sistema, equivalente a quello originale, in cui tutte le variabili consentite sono espresse in termini di variabili libere.

Quando potrebbe essere necessaria una soluzione generale? Se devi fare meno passi di k (k è quante equazioni in totale). Tuttavia, le ragioni per cui il processo si conclude ad un certo punto l< k , может быть две:

1. Dopo l'l -esimo passaggio, otteniamo un sistema che non contiene un'equazione con il numero (l + 1). In effetti, questo è un bene, perché. il sistema risolto viene comunque ricevuto, anche qualche passaggio prima.
2. Dopo l'l -esimo passo si ottiene un'equazione in cui tutti i coefficienti delle variabili sono uguali a zero e il coefficiente libero è diverso da zero. Questa è un'equazione incoerente e, quindi, il sistema è incoerente.

È importante capire che l'aspetto di un'equazione incoerente con il metodo di Gauss è una ragione sufficiente per l'incoerenza. Allo stesso tempo, notiamo che come risultato del l -esimo passaggio, le equazioni banali non possono rimanere: tutte vengono eliminate direttamente nel processo.

Descrizione dei passaggi:

1. Sottrarre la prima equazione per 4 dalla seconda. E aggiungi anche la prima equazione alla terza: otteniamo la variabile consentita x 1;
2. Sottraiamo la terza equazione, moltiplicata per 2, dalla seconda - otteniamo l'equazione contraddittoria 0 = −5.

Quindi, il sistema è incoerente, poiché è stata trovata un'equazione incoerente.

Un compito. Indagare la compatibilità e trovare la soluzione generale del sistema:

Descrizione dei passaggi:

1. Sottraiamo la prima equazione dalla seconda (dopo averla moltiplicata per due) e dalla terza: otteniamo la variabile consentita x 1;
2. Sottrarre la seconda equazione dalla terza. Poiché tutti i coefficienti in queste equazioni sono uguali, la terza equazione diventa banale. Allo stesso tempo, moltiplichiamo la seconda equazione per (−1);
3. Sottraiamo la seconda equazione dalla prima equazione: otteniamo la variabile consentita x 2. Anche l'intero sistema di equazioni è ora risolto;
4. Poiché le variabili x 3 e x 4 sono libere, le spostiamo a destra per esprimere le variabili consentite. Questa è la risposta.

Quindi, il sistema è congiunto e indefinito, poiché ci sono due variabili consentite (x 1 e x 2) e due libere (x 3 e x 4).