Elenca le proprietà dell'addizione man mano che vengono lette. Proprietà di addizione, moltiplicazione, sottrazione e divisione di interi

Disegniamo un rettangolo su un foglio di carta in una gabbia con i lati di 5 cm e 3 cm, spezziamolo in quadrati con un lato di 1 cm ( fig. 143). Contiamo il numero di celle che si trovano nel rettangolo. Questo può essere fatto, ad esempio, in questo modo.

Il numero di quadrati con un lato di 1 cm è 5 * 3. Ciascuno di questi quadrati è composto da quattro celle. Pertanto, il numero totale di celle è (5 * 3 ) * 4 .

Lo stesso problema può essere risolto in modo diverso. Ciascuna delle cinque colonne del rettangolo è composta da tre quadrati con un lato di 1 cm, quindi una colonna contiene 3 * 4 celle. Pertanto, ci saranno 5 * (3 * 4) celle in totale.

Il conteggio delle celle nella Figura 143 viene illustrato in due modi proprietà associativa della moltiplicazione per i numeri 5, 3 e 4 . Abbiamo: (5 * 3 ) * 4 = 5 * (3 * 4 ).

Per moltiplicare il prodotto di due numeri per un terzo numero, puoi moltiplicare il primo numero per il prodotto del secondo e del terzo numero.

(ab)c = a(bc)

Dalle proprietà commutative e associative della moltiplicazione deriva che quando si moltiplicano più numeri, i fattori possono essere scambiati e racchiusi tra parentesi, determinando così l'ordine dei calcoli.

Ad esempio, le uguaglianze sono vere:

abc=cba

17 * 2 * 3 * 5 = (17 * 3 ) * (2 * 5 ).

Nella figura 144, il segmento AB divide il rettangolo considerato sopra in un rettangolo e un quadrato.

Contiamo il numero di quadrati con un lato di 1 cm in due modi.

Da un lato, ce ne sono 3 * 3 nel quadrato risultante e 3 * 2 nel rettangolo. In totale otteniamo 3 * 3 + 3 * 2 quadrati. D'altra parte, ciascuna delle tre file di questo rettangolo contiene 3 + 2 quadrati. Quindi il loro numero totale è 3 * (3 + 2).

Uguale a 3 * (3 + 2 ) = 3 * 3 + 3 * 2 illustra proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione.

Per moltiplicare un numero per la somma di due numeri, puoi moltiplicare questo numero per ciascun termine e aggiungere i prodotti risultanti.

In forma letterale, questa proprietà è scritta come segue:

a(b + c) = ab + ac

Ne consegue dalla proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione che

ab + ac = a(b + c).

Questa uguaglianza consente alla formula P = 2 a + 2 b di trovare il perimetro di un rettangolo da scrivere come segue:

P = 2 (a + b).

Si noti che la proprietà di distribuzione è valida per tre o più termini. Per esempio:

a(m + n + p + q) = am + an + ap + aq.

Vale anche la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla sottrazione: se b > c o b = c, allora

a(b - c) = ab - ac

Esempio 1 . Calcola in modo conveniente:

1 ) 25 * 867 * 4 ;

2 ) 329 * 75 + 329 * 246 .

1) Usiamo le proprietà commutative e quindi associative della moltiplicazione:

25 * 867 * 4 = 867 * (25 * 4 ) = 867 * 100 = 86 700 .

2) Abbiamo:

329 * 754 + 329 * 246 = 329 * (754 + 246 ) = 329 * 1 000 = 329 000 .

Esempio 2 . Semplifica l'espressione:

1) 4 bis * 3 b;

2 ) 18m − 13m.

1) Utilizzando le proprietà commutative e associative della moltiplicazione, otteniamo:

4 a * 3 b \u003d (4 * 3) * ab \u003d 12 ab.

2) Utilizzando la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla sottrazione, otteniamo:

18m - 13m = m(18 - 13 ) = m * 5 = 5m.

Esempio 3 . Scrivi l'espressione 5 (2 m + 7) in modo che non contenga parentesi.

Secondo la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione si ha:

5 (2 m + 7 ) = 5 * 2 m + 5 * 7 = 10 m + 35 .

Si chiama tale trasformazione parentesi di apertura.

Esempio 4 . Calcola il valore dell'espressione 125 * 24 * 283 in modo conveniente.

Soluzione. Abbiamo:

125 * 24 * 283 = 125 * 8 * 3 * 283 = (125 * 8 ) * (3 * 283 ) = 1 000 * 849 = 849 000 .

Esempio 5 . Esegui la moltiplicazione: 3 giorni 18 ore * 6.

Soluzione. Abbiamo:

3 giorni 18 ore * 6 = 18 giorni 108 ore = 22 giorni 12 ore

Per risolvere l'esempio, è stata utilizzata la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione:

3 giorni 18 ore * 6 = (3 giorni + 18 ore) * 6 = 3 giorni * 6 + 18 ore * 6 = 18 giorni + 108 ore = 18 giorni + 96 ore + 12 ore = 18 giorni + 4 giorni + 12 ore = 22 giorni 12 ore

Si possono notare numerosi risultati inerenti a questa azione. Questi risultati sono chiamati proprietà di addizione di numeri naturali. In questo articolo analizzeremo in dettaglio le proprietà dell'addizione di numeri naturali, le scriveremo usando le lettere e forniremo esempi esplicativi.

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Proprietà associativa dell'addizione di numeri naturali.

Diamo ora un esempio che illustra la proprietà associativa dell'addizione dei numeri naturali.

Immagina una situazione: 1 mela è caduta dal primo melo e 2 mele e altre 4 mele sono cadute dal secondo melo. Consideriamo ora la seguente situazione: 1 mela e altre 2 mele sono cadute dal primo melo e 4 mele sono cadute dal secondo melo. È chiaro che lo stesso numero di mele sarà a terra sia nel primo che nel secondo caso (che può essere verificato ricalcolo). Cioè, il risultato della somma del numero 1 alla somma dei numeri 2 e 4 è uguale al risultato della somma dei numeri 1 e 2 al numero 4.

L'esempio considerato permette di formulare la proprietà associativa dell'addizione di numeri naturali: per sommare una data somma di due numeri a un dato numero, si può sommare a questo numero il primo termine di tale somma e sommare il secondo termine di questa somma al risultato ottenuto. Questa proprietà può essere scritta usando lettere come questa: a+(b+c)=(a+b)+c, dove a , b e c sono numeri naturali arbitrari.

Si noti che nell'uguaglianza a+(b+c)=(a+b)+c ci sono parentesi "(" e ")". Le parentesi vengono utilizzate nelle espressioni per indicare l'ordine in cui vengono eseguite le azioni: le azioni tra parentesi vengono eseguite per prime (ulteriori informazioni nella sezione). In altre parole, le parentesi racchiudono le espressioni i cui valori vengono valutati per primi.

In conclusione di questa sezione, notiamo che la proprietà associativa dell'addizione ci consente di determinare in modo univoco somma di tre, quattro o più numeri naturali.

La proprietà di sommare zero e un numero naturale, la proprietà di sommare zero a zero.

Sappiamo che zero NON è un numero naturale. Allora perché abbiamo deciso di considerare la proprietà dell'addizione di zero e un numero naturale in questo articolo? Ci sono tre motivi per questo. Innanzitutto, questa proprietà viene utilizzata quando addizione di colonne di numeri naturali. In secondo luogo, questa proprietà viene utilizzata quando sottrazione di numeri naturali. Terzo: se assumiamo che zero significhi l'assenza di qualcosa, allora il significato di sommare zero e un numero naturale è lo stesso di senso di sommare due numeri naturali.

Eseguiamo il ragionamento che ci aiuterà a formulare la proprietà dell'addizione di zero e di un numero naturale. Immagina che non ci siano oggetti nella scatola (in altre parole, ci sono 0 oggetti nella scatola) e che ci siano oggetti, dove a è un numero naturale qualsiasi. Cioè, aggiunto 0 e un elemento. È chiaro che dopo questa azione ci sono oggetti nella scatola. Pertanto, l'uguaglianza 0+a=a è vera.

Allo stesso modo, se una scatola contiene un articolo e ad essa vengono aggiunti 0 articoli (ovvero, nessun articolo viene aggiunto), dopo questa azione, un articolo sarà nella scatola. Quindi a+0=a .

Possiamo ora affermare la proprietà dell'addizione di zero e di un numero naturale: la somma di due numeri, di cui uno zero, è uguale al secondo numero. Matematicamente, questa proprietà può essere scritta come la seguente uguaglianza: 0+a=a o a+0=a, dove a è un numero naturale arbitrario.

Separatamente, prestiamo attenzione al fatto che sommando un numero naturale e zero, la proprietà commutativa dell'addizione rimane vera, cioè a+0=0+a .

Infine, formuliamo la proprietà di addizione zero-zero (è abbastanza ovvia e non necessita di commenti aggiuntivi): la somma di due numeri che sono ciascuno zero è zero. Questo è, 0+0=0 .

Ora è il momento di capire come addizione di numeri naturali.

Bibliografia.

• Matematica. Eventuali libri di testo per i gradi 1, 2, 3, 4 delle istituzioni educative.
• Matematica. Eventuali libri di testo per 5 classi di istituzioni educative.

L'argomento a cui è dedicata questa lezione è "Proprietà dell'addizione". In esso, acquisirai familiarità con le proprietà commutative e associative dell'addizione, esaminandole con esempi specifici. Scopri quando puoi usarli per semplificare il processo di calcolo. I casi di test aiuteranno a determinare quanto bene hai appreso il materiale.

Lezione: proprietà di aggiunta

Osserva da vicino l'espressione:

9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3

Dobbiamo trovarne il valore. Facciamolo.

9 + 6 = 15
15 + 8 = 23
23 + 7 = 30
30 + 2 = 32
32 + 4 = 36
36 + 1 = 37
37 + 3 = 40

Il risultato dell'espressione 9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3 = 40.
Dimmi, è stato conveniente calcolare? Il calcolo non era molto conveniente. Guarda di nuovo i numeri in questa espressione. È possibile scambiarli in modo che i calcoli siano più convenienti?

Se riorganizziamo i numeri in modo diverso:

9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = …
9 + 1 = 10
10 + 8 = 18
18 + 2 = 20
20 + 7 = 27
27 + 3 = 30
30 + 6 = 36
36 + 4 = 40

Il risultato finale dell'espressione è 9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = 40.
Vediamo che i risultati delle espressioni sono gli stessi.

I termini possono essere scambiati se è conveniente per i calcoli e il valore della somma non cambierà da questo.

C'è una legge in matematica: Legge commutativa dell'addizione. Dice che la somma non cambia dal riordinamento dei termini.

Zio Fyodor e Sharik litigarono. Sharik trovò il valore dell'espressione così com'era scritta, e lo zio Fyodor disse che conosceva un altro modo più conveniente di calcolare. Vedi un modo più conveniente per calcolare?

La pallina ha risolto l'espressione così come è scritta. E lo zio Fëdor ha detto che conosce la legge che permette di cambiare i termini, e ha scambiato i numeri 25 e 3.

37 + 25 + 3 = 65 37 + 25 = 62

37 + 3 + 25 = 65 37 + 3 = 40

Vediamo che il risultato rimane lo stesso, ma il calcolo è diventato molto più semplice.

Osserva le seguenti espressioni e leggile.

6 + (24 + 51) = 81 (a 6 sommare 24 e 51)
C'è un modo conveniente per calcolare?
Vediamo che se aggiungiamo 6 e 24, otteniamo un numero tondo. È sempre più facile aggiungere qualcosa a un numero tondo. Prendi tra parentesi la somma dei numeri 6 e 24.
(6 + 24) + 51 = …
(somma 51 alla somma dei numeri 6 e 24)

Calcoliamo il valore dell'espressione e vediamo se il valore dell'espressione è cambiato?

6 + 24 = 30
30 + 51 = 81

Vediamo che il valore dell'espressione rimane lo stesso.

Facciamo pratica con un altro esempio.

(27 + 19) + 1 = 47 (somma 1 alla somma dei numeri 27 e 19)
Quali numeri possono essere raggruppati convenientemente in modo tale da ottenere un modo conveniente?
Hai indovinato che questi sono i numeri 19 e 1. Prendiamo la somma dei numeri 19 e 1 tra parentesi.
27 + (19 + 1) = …
(a 27 sommare i numeri 19 e 1)
Troviamo il valore di questa espressione. Ricordiamo che l'azione tra parentesi viene eseguita per prima.
19 + 1 = 20
27 + 20 = 47

Il significato della nostra espressione rimane lo stesso.

Diritto associativo dell'addizione: due termini adiacenti possono essere sostituiti dalla loro somma.

Ora facciamo pratica usando entrambe le leggi. Dobbiamo calcolare il valore dell'espressione:

38 + 14 + 2 + 6 = …

In primo luogo, utilizziamo la proprietà commutativa dell'addizione, che ci consente di scambiare termini. Scambiamo i termini 14 e 2.

38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = …

Ora utilizziamo la proprietà associativa, che ci permette di sostituire due termini vicini con la loro somma.

38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = (38 + 2) + (14 + 6) =…

Innanzitutto, scopriamo il valore della somma di 38 e 2.

Ora la somma è 14 e 6.

3. Festival delle idee pedagogiche "Open Lesson" ().

fare a casa

1. Calcola la somma dei termini in diversi modi:

a) 5 + 3 + 5 b) 7 + 8 + 13 c) 24 + 9 + 16

2. Calcola i risultati delle espressioni:

a) 19 + 4 + 16 + 1 b) 8 + 15 + 12 + 5 c) 20 + 9 + 30 + 1

3. Calcola l'importo in modo conveniente:

a) 10 + 12 + 8 + 20 b) 17 + 4 + 3 + 16 c) 9 + 7 + 21 + 13

Abbiamo definito addizione, moltiplicazione, sottrazione e divisione di interi. Queste azioni (operazioni) hanno una serie di risultati caratteristici, chiamati proprietà. In questo articolo considereremo le proprietà di base dell'addizione e della moltiplicazione di interi, da cui derivano tutte le altre proprietà di queste operazioni, nonché le proprietà di sottrazione e divisione di interi.

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L'addizione di interi ha molte altre proprietà molto importanti.

Uno di questi è legato all'esistenza di zero. Questa proprietà di addizione intera afferma che l'aggiunta di zero a qualsiasi numero intero non cambia quel numero. Scriviamo questa proprietà dell'addizione usando le lettere: a+0=a e 0+a=a (questa uguaglianza è valida per la proprietà commutativa dell'addizione), a è un qualsiasi intero. Potresti sentire che anche l'intero zero è chiamato elemento neutro. Facciamo un paio di esempi. La somma di un intero −78 e zero è −78 ; se aggiungiamo un intero positivo 999 a zero, otteniamo come risultato il numero 999.

Formuleremo ora un'altra proprietà dell'addizione di interi, che è correlata all'esistenza di un numero opposto per qualsiasi intero. La somma di qualsiasi numero intero con il numero opposto è zero. Ecco la forma letterale di questa proprietà: a+(−a)=0 , dove a e −a sono interi opposti. Ad esempio, la somma 901+(−901) è zero; allo stesso modo, la somma degli interi opposti −97 e 97 è zero.

Proprietà di base della moltiplicazione di interi

La moltiplicazione degli interi ha tutte le proprietà della moltiplicazione dei numeri naturali. Elenchiamo le principali di queste proprietà.

Proprio come zero è un intero neutro rispetto all'addizione, uno è un intero neutro rispetto alla moltiplicazione di interi. Questo è, moltiplicare un numero intero per uno non cambia il numero che viene moltiplicato. Quindi 1·a=a , dove a è un qualsiasi intero. L'ultima uguaglianza può essere riscritta come 1=a , questo ci permette di fare la proprietà commutativa della moltiplicazione. Facciamo due esempi. Il prodotto dell'intero 556 per 1 è 556; il prodotto di uno e un intero negativo −78 è −78 .

La proprietà successiva della moltiplicazione intera è correlata alla moltiplicazione per zero. Il risultato della moltiplicazione di un intero a per zero è zero, ovvero a 0=0 . L'uguaglianza 0·a=0 vale anche per la proprietà commutativa della moltiplicazione di interi. In un caso particolare, quando a=0, il prodotto di zero e zero è uguale a zero.

Per la moltiplicazione degli interi vale anche la proprietà opposta alla precedente. Lo afferma il prodotto di due interi è uguale a zero se almeno uno dei fattori è uguale a zero. In forma letterale, questa proprietà può essere scritta come segue: a·b=0 , se a=0 o b=0 , o entrambi a e b sono uguali a zero contemporaneamente.

Proprietà distributiva della moltiplicazione di interi rispetto all'addizione

Insieme, l'addizione e la moltiplicazione di interi permette di considerare la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione, che collega le due azioni indicate. L'uso di addizione e moltiplicazione insieme apre ulteriori possibilità che ci mancherebbero se considerassimo l'addizione separatamente dalla moltiplicazione.

Quindi, la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione dice che il prodotto di un intero a e la somma di due interi aeb è uguale alla somma dei prodotti di a b e a c , cioè, a (b+c)=a b+a c. La stessa proprietà può essere scritta in un'altra forma: (a+b) c=a c+b c .

La proprietà distributiva della moltiplicazione degli interi rispetto all'addizione, insieme alla proprietà associativa dell'addizione, permette di determinare la moltiplicazione di un intero per la somma di tre o più interi, e quindi la moltiplicazione della somma di interi per il somma.

Si noti inoltre che tutte le altre proprietà di addizione e moltiplicazione di interi possono essere ottenute dalle proprietà che abbiamo indicato, cioè sono conseguenze delle proprietà di cui sopra.

Proprietà di sottrazione di interi

Dall'uguaglianza ottenuta, così come dalle proprietà di addizione e moltiplicazione di interi, seguono le seguenti proprietà di sottrazione di interi (a, b e c sono interi arbitrari):

• La sottrazione di interi generalmente NON ha la proprietà commutativa: a−b≠b−a .
• La differenza di interi uguali è uguale a zero: a−a=0 .
• La proprietà di sottrarre la somma di due interi da un dato intero: a−(b+c)=(a−b)−c .
• La proprietà di sottrarre un intero dalla somma di due interi: (a+b)−c=(a−c)+b=a+(b−c) .
• La proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla sottrazione: a (b−c)=a b−a c e (a−b) c=a c−b c.
• E tutte le altre proprietà della sottrazione di interi.

Proprietà di divisione intera

Discutendo sul significato della divisione degli interi, abbiamo scoperto che la divisione degli interi è l'inverso della moltiplicazione. Abbiamo dato la seguente definizione: divisione di interi è trovare un fattore sconosciuto per un prodotto noto e un fattore noto. Cioè, chiamiamo l'intero c il quoziente dell'intero a diviso per l'intero b quando il prodotto c·b è uguale a a .

Questa definizione, così come tutte le proprietà delle operazioni sugli interi sopra considerate, consentono di stabilire la validità delle seguenti proprietà di divisione degli interi:

• Nessun numero intero può essere diviso per zero.
• La proprietà di dividere zero per un intero arbitrario diverso da zero a : 0:a=0 .
• Proprietà di dividere interi uguali: a:a=1 , dove a è un numero intero diverso da zero.
• La proprietà di dividere un intero arbitrario a per uno: a:1=a .
• In generale, la divisione degli interi NON ha la proprietà commutativa: a:b≠b:a .
• Le proprietà di dividere la somma e la differenza di due interi per un intero sono: (a+b):c=a:c+b:c e (a−b):c=a:c−b:c , dove a , b e c sono interi tali che sia a che b sono divisibili per c e c è diverso da zero.
• La proprietà di dividere il prodotto di due interi aeb per un intero diverso da zero c : (a b):c=(a:c) b se a è divisibile per c ; (a b):c=a (b:c) se b è divisibile per c ; (a b):c=(a:c) b=a (b:c) se sia a che b sono divisibili per c .
• La proprietà di dividere un intero a per il prodotto di due interi b e c (numeri a, b e c tali che sia possibile dividere a per b c): a:(b c)=(a:b) c=(a :c ) b .
• Qualsiasi altra proprietà di divisione intera.