Come trovare un vettore perpendicolare ad un dato. Prodotto scalare di vettori

ohm Per fare ciò, introduciamo innanzitutto il concetto di segmento.

Definizione 1

Chiameremo segmento la parte di una linea delimitata da punti su entrambi i lati.

Definizione 2

Le estremità di un segmento sono i punti che lo delimitano.

Per introdurre la definizione di vettore, chiamiamo inizio una delle estremità del segmento.

Definizione 3

Chiameremo vettore (segmento orientato) un segmento in cui è indicato quale punto di confine è il suo inizio e quale è la sua fine.

Notazione: \overline(AB) è un vettore AB che inizia nel punto A e termina nel punto B.

Altrimenti in una minuscola: \overline(a) (Fig. 1).

Definizione 4

Chiameremo vettore zero qualsiasi punto che appartiene al piano.

Simbolo: \overline(0) .

Introduciamo ora direttamente la definizione di vettori collineari.

Introdurremo anche la definizione di prodotto scalare, di cui avremo bisogno in seguito.

Definizione 6

Il prodotto scalare di due vettori dati è uno scalare (o numero) uguale al prodotto delle lunghezze di questi due vettori per il coseno dell'angolo compreso tra questi vettori.

Matematicamente potrebbe assomigliare a questo:

\overline(α)\overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos⁡∠(\overline(α),\overline(β))

Il prodotto scalare può essere trovato anche utilizzando le coordinate vettoriali come segue

\overline(α)\overline(β)=α_1 β_1+α_2 β_2+α_3 β_3

Segno di perpendicolarità attraverso la proporzionalità

Teorema 1

Affinché i vettori diversi da zero siano perpendicolari tra loro, è necessario e sufficiente che il loro prodotto scalare di questi vettori sia uguale a zero.

Prova.

Necessità: Siano dati i vettori \overline(α) e \overline(β) che abbiano rispettivamente coordinate (α_1,α_2,α_3) e (β_1,β_2,β_3) e siano perpendicolari tra loro. Dobbiamo allora dimostrare la seguente uguaglianza

Poiché i vettori \overline(α) e \overline(β) sono perpendicolari, l'angolo tra loro è 90^0. Troviamo il prodotto scalare di questi vettori utilizzando la formula della Definizione 6.

\overline(α)\cdot \overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos⁡90^\circ =|\overline(α)||\overline(β)|\cdot 0=0

Sufficienza: lascia che l’uguaglianza sia vera \overline(α)\cdot \overline(β)=0. Dimostriamo che i vettori \overline(α) e \overline(β) saranno perpendicolari tra loro.

Per la definizione 6, l'uguaglianza sarà vera

|\overline(α)||\overline(β)|cos⁡∠(\overline(α),\overline(β))=0

Cos⁡∠(\overline(α),\overline(β))=0

∠(\overline(α),\overline(β))=90^\circ

Pertanto i vettori \overline(α) e \overline(β) saranno perpendicolari tra loro.

Il teorema è stato dimostrato.

Esempio 1

Dimostrare che i vettori con coordinate (1,-5,2) e (2,1,3/2) sono perpendicolari.

Prova.

Troviamo il prodotto scalare per questi vettori utilizzando la formula sopra riportata

\overline(α)\cdot \overline(β)=1\cdot 2+(-5)\cdot 1+2\cdot \frac(3)(2)=2\cdot 5+3=0

Ciò significa che, secondo il Teorema 1, questi vettori sono perpendicolari.

Trovare un vettore perpendicolare a due vettori dati utilizzando il prodotto vettoriale

Introduciamo innanzitutto il concetto di prodotto vettoriale.

Definizione 7

Il prodotto vettoriale di due vettori sarà un vettore che sarà perpendicolare a entrambi i vettori dati, e la sua lunghezza sarà uguale al prodotto delle lunghezze di questi vettori con il seno dell'angolo tra questi vettori, e anche questo vettore con due quelli iniziali hanno lo stesso orientamento del sistema di coordinate cartesiane.

Designazione: \overline(α)x\overline(β)x.

Per trovare il prodotto vettoriale utilizzeremo la formula

\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix) x

Poiché il vettore del prodotto vettoriale di due vettori è perpendicolare a entrambi questi vettori, sarà il vettore. Cioè, per trovare un vettore perpendicolare a due vettori, devi solo trovare il loro prodotto vettoriale.

Esempio 2

Trova un vettore perpendicolare ai vettori con coordinate \overline(α)=(1,2,3) e \overline(β)=(-1,0,3)

Troviamo il prodotto vettoriale di questi vettori.

\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\1&2&3\\-1&0&3\end(vmatrix)=(6- 0)\overline(i)-(3+3)\overline(j)+(0+2)\overline(k)=6\overline(i)-6\overline(j)+2\overline(k) =(6,6,2)x

Condizione affinché i vettori siano perpendicolari

I vettori sono perpendicolari se e solo se il loro prodotto scalare è zero.

Dati due vettori a(xa;ya) eb(xb;yb). Questi vettori saranno perpendicolari se l'espressione xaxb + yayb = 0.

I vettori sono paralleli se il loro prodotto vettoriale è zero

Equazione di una retta su un piano. Problemi fondamentali su una retta su un piano.

Qualsiasi linea retta sul piano può essere specificata da un'equazione del primo ordine Ax + By + C = 0, e le costanti A e B non sono uguali a zero allo stesso tempo, cioè A2 + B2  0. Questa equazione del primo ordine è chiamata equazione generale di una retta. A seconda dei valori delle costanti A, B e C sono possibili i seguenti casi particolari: - C = 0, A  0, B  0 – la retta passa per l'origine - A = 0, B  0 , C  0 ( Di

C = 0) - retta parallela all'asse Oy - B = 0, A  0, C  0 ( Ax + C = 0) - retta parallela all'asse Oy - B = C = 0, A  0 - la retta coincide con l'asse Oy - A = C = 0, B  0 – la retta coincide con l'asse Ox L'equazione della retta può essere presentata in forme diverse a seconda delle condizioni iniziali date.

Se almeno uno dei coefficienti A, B, C ur-esimo Ax+By+C=0 è uguale a 0, ur-e
chiamato incompleto. Dalla forma dell'equazione di una linea retta si può giudicare la sua posizione
planarità OXU. Casi possibili:
1 С=0 L: Ax+By=0 t. O(0,0) soddisfa questa equazione, quindi la retta
passa per l'origine
2 А=0 L: Ву+С=0 - normale v-p n=(0,B) è perpendicolare all'asse OX da qui
ne consegue che la retta è parallela all'asse OX
3 V = 0 L: Ay+C=0 0 - il valore nominale n=(A,0) è perpendicolare all'asse OY da qui
ne consegue che la retta è parallela all'asse dell'amplificatore operazionale
4 LA=0, C=0 L: By=0(y=0(L=OX
5 B=0, C=0 L: Ax=0(x=0(L=OY
6 A (0, B (0, C (0 L; - non passa per l'origine e si interseca
entrambi gli assi.

Equazione di una retta su un piano passante per due punti dati e:

Angolo tra i piani.

Calcolo dei determinanti

Il calcolo dei determinanti si basa sulle loro proprietà note, che si applicano ai determinanti di tutti gli ordini. Queste sono le proprietà:

1. Se riorganizzi due righe (o due colonne) del determinante, il determinante cambierà segno.

2. Se gli elementi corrispondenti di due colonne (o due righe) del determinante sono uguali o proporzionali, allora il determinante è uguale a zero.

3. Il valore del determinante non cambierà se si scambiano righe e colonne, mantenendo il loro ordine.

4. Se tutti gli elementi di una riga (o colonna) hanno un divisore comune, allora questo può essere tolto dal segno determinante.

5. Il valore del determinante non cambierà se agli elementi di una riga (o colonna) vengono aggiunti gli elementi corrispondenti di un'altra riga (o colonna), moltiplicati per lo stesso numero.

Matrix e le azioni sopra di essi

Matrice- un oggetto matematico scritto sotto forma di una tabella rettangolare di numeri (o elementi di un anello) e che consente operazioni algebriche (addizione, sottrazione, moltiplicazione, ecc.) tra esso e altri oggetti simili. In genere, le matrici sono rappresentate come tabelle bidimensionali (rettangolari). A volte vengono considerate matrici multidimensionali o matrici non rettangolari.

Tipicamente, la matrice è indicata con una lettera maiuscola dell'alfabeto latino ed evidenziata con parentesi tonde “(…)” (contrassegnate anche con parentesi quadre “[…]” o doppie rette “||…||”).

I numeri che compongono la matrice (elementi della matrice) sono spesso indicati con la stessa lettera della matrice stessa, ma minuscola (ad esempio, a11 è un elemento della matrice A).

Ogni elemento della matrice ha 2 pedici (aij): il primo "i" indica il numero di riga in cui si trova l'elemento e il secondo "j" indica il numero di colonna. Si dice “matrice dimensionale”, nel senso che la matrice ha m righe e n colonne. Sempre nella stessa matrice

Operazioni sulle matrici

Siano aij elementi della matrice A e bij elementi della matrice B.

Operazioni lineari:

Moltiplicare una matrice A per un numero λ (simbolo: λA) consiste nel costruire una matrice B, i cui elementi si ottengono moltiplicando ogni elemento della matrice A per questo numero, cioè ogni elemento della matrice B è uguale a

L'addizione delle matrici A + B è l'operazione per trovare una matrice C, i cui tutti gli elementi sono uguali alla somma a coppie di tutti gli elementi corrispondenti delle matrici A e B, ovvero ogni elemento della matrice C è uguale a

La sottrazione delle matrici A − B è definita in modo simile all'addizione; questa è l'operazione di trovare una matrice C i cui elementi

Addizione e sottrazione sono consentite solo per matrici della stessa dimensione.

Esiste una matrice zero Θ tale che aggiungendola a un'altra matrice A non cambia A, cioè

Tutti gli elementi della matrice zero sono uguali a zero.

Operazioni non lineari:

La moltiplicazione di matrici (designazione: AB, meno spesso con un segno di moltiplicazione) è l'operazione di calcolo di una matrice C, i cui elementi sono uguali alla somma dei prodotti degli elementi nella riga corrispondente del primo fattore e nella colonna del secondo .cij = ∑ aikbkj k

Il primo moltiplicatore deve avere tante colonne quante sono le righe del secondo. Se la matrice A ha dimensione B - , allora la dimensione del loro prodotto AB = C lo è. La moltiplicazione di matrici non è commutativa.

La moltiplicazione di matrici è associativa. Solo le matrici quadrate possono essere elevate a una potenza.

La trasposizione di matrice (simbolo: AT) è un'operazione in cui la matrice viene riflessa rispetto alla diagonale principale, cioè

Se A è una matrice dimensionale, allora AT è una matrice dimensionale

Derivata di una funzione complessa

La funzione complessa ha la forma: F(x) = f(g(x)), cioè è una funzione di una funzione. Ad esempio, y = sin2x, y = ln(x2+2x), ecc.

Se nel punto x la funzione g(x) ha derivata g"(x), e nel punto u = g(x) la funzione f(u) ha derivata f"(u), allora la derivata di esiste la funzione complessa f(g(x)) nel punto x ed è uguale a f"(u)g"(x).

Derivata di funzioni implicite

In molti problemi, la funzione y(x) è specificata implicitamente. Ad esempio, per le funzioni seguenti

è impossibile ottenere esplicitamente la dipendenza y(x).

L'algoritmo per calcolare la derivata y"(x) da una funzione implicita è il seguente:

Devi prima differenziare entrambi i membri dell'equazione rispetto a x, assumendo che y sia una funzione differenziabile di x e utilizzando la regola per calcolare la derivata di una funzione complessa;

Risolvi l'equazione risultante per la derivata y"(x).

Diamo un'occhiata ad alcuni esempi per illustrare.

Differenziare la funzione y(x) data dall'equazione.

Differenziamo entrambi i membri dell'equazione rispetto alla variabile x:

ciò che porta al risultato

Regola di Lapital

La regola dell'Hopital. Sia la funzione f(x) eg(x) ad avere nell'ambiente. t-ki x0 pr-nye f' e g' escludendo la possibilità di questo stesso t-tu x0. Sia lim(x®Dx)=lim(x®Dx)g(x)=0 in modo che f(x)/g(x) per x®x0 dia 0/0. lim(x®x0)f'(x)/g'(x) $ (4), quando coincide con il limite del rapporto della funzione lim(x®x0)f(x)/g(x)= lim(x ®x0)f'(x)/g'(x) (5)

44 .1.(Criterio di monotonicità di una funzione avente derivata sull'intervallo) Sia la funzione continuo

(a,b), e ha una derivata f"(x) in ogni punto. Quindi

1)f aumenta di (a,b) se e solo se

2) diminuisce di (a,b) se e solo se

2. (Condizione sufficiente per la stretta monotonicità di una funzione avente derivata sull'intervallo) Sia la funzione è continua su (a,b), e ha derivata f"(x) in ogni punto. Allora

1) se allora f cresce strettamente su (a,b);

2) se allora f diminuisce strettamente su (a,b).

Il contrario, in generale, non è vero. La derivata di una funzione strettamente monotona può annullarsi. Tuttavia, l'insieme dei punti in cui la derivata non è zero deve essere denso sull'intervallo (a,b). Più precisamente, lo fa.

3. (Criterio di stretta monotonicità di una funzione avente derivata sull'intervallo) Let e la derivata f"(x) è definita ovunque nell'intervallo. Allora f cresce strettamente nell'intervallo (a,b) se e solo se sono soddisfatte le seguenti due condizioni:

Prodotto scalare di vettori. Angolo tra i vettori. La condizione di parallelismo o perpendicolarità dei vettori.

Il prodotto scalare dei vettori è il prodotto delle loro lunghezze per il coseno dell'angolo compreso tra loro:

Le seguenti affermazioni si dimostrano esattamente nello stesso modo della planimetria:

Il prodotto scalare di due vettori diversi da zero è zero se e solo se questi vettori sono perpendicolari.

Il quadrato di un vettore, cioè il prodotto scalare di se stesso per se stesso, è uguale al quadrato della sua lunghezza.

Il prodotto scalare di due vettori e dato dalle loro coordinate può essere calcolato dalla formula

I vettori sono perpendicolari se e solo se il loro prodotto scalare è zero. Esempio. Dati due vettori e . Questi vettori saranno perpendicolari se l'espressione x1x2 + y1y2 = 0. L'angolo tra vettori diversi da zero è l'angolo tra le linee per le quali questi vettori sono guide. L'angolo tra qualsiasi vettore e un vettore zero è, per definizione, considerato uguale a zero. Se l'angolo tra i vettori è 90°, tali vettori sono detti perpendicolari. Indicheremo l'angolo tra i vettori come segue:

Istruzioni

Se il vettore originale è mostrato nel disegno in un sistema di coordinate bidimensionale rettangolare e nello stesso posto è necessario costruirne uno perpendicolare, procedere dalla definizione di perpendicolarità dei vettori su un piano. Si stabilisce che l'angolo tra tale coppia di segmenti orientati deve essere pari a 90°. È possibile costruire un numero infinito di tali vettori. Pertanto, traccia una perpendicolare al vettore originale in qualsiasi punto conveniente del piano, metti da parte su di essa un segmento uguale alla lunghezza di una data coppia ordinata di punti e assegna una delle sue estremità come inizio del vettore perpendicolare. Fallo usando un goniometro e un righello.

Se il vettore originario è dato dalle coordinate bidimensionali ā = (X₁;Y₁), partire dal fatto che il prodotto scalare di una coppia di vettori perpendicolari deve essere uguale a zero. Ciò significa che è necessario scegliere per il vettore desiderato ō = (X₂,Y₂) le coordinate in cui vale l'uguaglianza (ā,ō) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ = 0. Questo può essere fatto in questo modo: scegli qualsiasi valore diverso da zero per la coordinata X₂ e calcolare la coordinata Y₂ utilizzando la formula Y₂ = -(X₁*X₂)/Y₁. Ad esempio, per il vettore ā = (15;5) ci sarà un vettore ō, con l'ascissa uguale a uno e l'ordinata uguale a -(15*1)/5 = -3, cioè ō = (1;-3).

Per un sistema di coordinate tridimensionale e qualsiasi altro sistema di coordinate ortogonali, è vera la stessa condizione necessaria e sufficiente per la perpendicolarità dei vettori: il loro prodotto scalare deve essere uguale a zero. Pertanto, se il segmento diretto iniziale è dato dalle coordinate ā = (X₁,Y₁,Z₁), si scelgono per la coppia ordinata di punti ō = (X₂,Y₂,Z₂) ad esso perpendicolari le coordinate che soddisfano la condizione (ā,ō ) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂ = 0. Il modo più semplice è assegnare singoli valori a X₂ e Y₂ e calcolare Z₂ dall'uguaglianza semplificata Z₂ = -1*(X₁*1 + Y₁* 1)/Z₁ = -(X₁+Y₁)/ Z₁. Ad esempio, per il vettore ā = (3,5,4) questo assumerà la seguente forma: (ā,ō) = 3*X₂ + 5*Y₂ + 4*Z₂ = 0. Quindi prendi l'ascissa e l'ordinata del vettore perpendicolare come uno, e in questo caso sarà uguale a -(3+5)/4 = -2.

Fonti:

• trova il vettore se è perpendicolare

Si chiamano perpendicolari vettore, l'angolo tra i quali è 90º. I vettori perpendicolari vengono costruiti utilizzando gli strumenti di disegno. Se le loro coordinate sono note, la perpendicolarità dei vettori può essere verificata o trovata utilizzando metodi analitici.

Avrai bisogno

• - goniometro;
• - bussola;
• - governate.

Istruzioni

Impostalo sul punto iniziale del vettore. Disegna un cerchio con un raggio arbitrario. Quindi costruiscine due con centri nei punti in cui il primo cerchio intersecava la linea su cui giace il vettore. I raggi di questi cerchi devono essere uguali tra loro e più grandi del primo cerchio costruito. Nei punti di intersezione dei cerchi costruisci una retta che sarà perpendicolare al vettore originario nella sua origine, e traccia su di essa un vettore perpendicolare a questo.

Trova un vettore perpendicolare a quello le cui coordinate e sono uguali a (x;y). Per fare ciò, trova una coppia di numeri (x1;y1) che soddisfino l'uguaglianza x x1+y y1=0. In questo caso, il vettore di coordinate (x1;y1) sarà perpendicolare al vettore di coordinate (x;y).

Questo articolo rivela il significato della perpendicolarità di due vettori su un piano nello spazio tridimensionale e come trovare le coordinate di un vettore perpendicolare a uno o a un'intera coppia di vettori. L'argomento è applicabile a problemi che coinvolgono equazioni di rette e piani.

Considereremo la condizione necessaria e sufficiente per la perpendicolarità di due vettori, risolveremo il metodo per trovare un vettore perpendicolare a un dato e toccheremo le situazioni in cui trovare un vettore perpendicolare a due vettori.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Condizione necessaria e sufficiente per la perpendicolarità di due vettori

Applichiamo la regola sui vettori perpendicolari sul piano e nello spazio tridimensionale.

Definizione 1

Purché l'angolo tra due vettori diversi da zero sia pari a 90° (π 2 radianti) si dice perpendicolare.

Cosa significa questo e in quali situazioni è necessario conoscere la loro perpendicolarità?

È possibile stabilire la perpendicolarità attraverso il disegno. Quando si traccia un vettore su un piano da determinati punti, è possibile misurare geometricamente l'angolo tra di essi. Anche se viene stabilita la perpendicolarità dei vettori, non sarà del tutto accurata. Molto spesso, queste attività non consentono di farlo utilizzando un goniometro, quindi questo metodo è applicabile solo quando non si sa nient'altro sui vettori.

La maggior parte dei casi di dimostrazione della perpendicolarità di due vettori diversi da zero su un piano o nello spazio vengono eseguiti utilizzando condizione necessaria e sufficiente per la perpendicolarità di due vettori.

Teorema 1

Il prodotto scalare di due vettori diversi da zero a → e b → uguali a zero per soddisfare l'uguaglianza a → , b → = 0 è sufficiente per la loro perpendicolarità.

Prova 1

Siano perpendicolari i vettori dati a → eb →, quindi dimostreremo l'uguaglianza a ⇀ , b → = 0 .

Dalla definizione di prodotto scalare di vettori sappiamo che è uguale il prodotto delle lunghezze di determinati vettori e il coseno dell'angolo formato da essi. Per condizione, a → e b → sono perpendicolari, il che significa, in base alla definizione, che l'angolo tra loro è di 90 °. Allora abbiamo a → , b → = a → · b → · cos (a → , b → ^) = a → · b → · cos 90 ° = 0 .

Seconda parte della dimostrazione

A patto che a ⇀, b → = 0, si dimostri la perpendicolarità di a → e b →.

In realtà la dimostrazione è opposta alla precedente. È noto che a → e b → sono diversi da zero, il che significa che dall'uguaglianza a ⇀ , b → = a → · b → · cos (a → , b →) ^ si ricava il coseno. Quindi otteniamo cos (a → , b →) ^ = (a → , b →) a → · b → = 0 a → · b → = 0 . Poiché il coseno è zero, possiamo concludere che l'angolo a →, b → ^ dei vettori a → e b → è uguale a 90 °. Per definizione, questa è una proprietà necessaria e sufficiente.

Condizione di perpendicolarità sul piano delle coordinate

Capitolo prodotto scalare in coordinate dimostra la disuguaglianza (a → , b →) = a x · b x + a y · b y , valida per i vettori di coordinate a → = (a x , a y) e b → = (b x , b y), sul piano e (a → , b → ) = a x · b x + a y · b y per i vettori a → = (a x , a y , a z) e b → = (b x , b y , b z) nello spazio. La condizione necessaria e sufficiente per la perpendicolarità di due vettori nel piano delle coordinate è a x · b x + a y · b y = 0, per lo spazio tridimensionale a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0.

Mettiamolo in pratica e guardiamo gli esempi.

Esempio 1

Verifica la proprietà di perpendicolarità di due vettori a → = (2, - 3), b → = (- 6, - 4).

Soluzione

Per risolvere questo problema è necessario trovare il prodotto scalare. Se secondo la condizione è uguale a zero, allora sono perpendicolari.

(a → , b →) = a x · b x + a y · b y = 2 · (- 6) + (- 3) · (- 4) = 0 . La condizione è soddisfatta, il che significa che i vettori indicati sono perpendicolari al piano.

Risposta: sì, i vettori dati a → e b → sono perpendicolari.

Esempio 2

Sono dati i vettori di coordinate i → , j → , k →. Verifica se i vettori i → - j → e i → + 2 · j → + 2 · k → possono essere perpendicolari.

Soluzione

Per ricordare come vengono determinate le coordinate vettoriali, è necessario leggere l'articolo su coordinate vettoriali in un sistema di coordinate rettangolari. Pertanto, troviamo che i vettori dati i → - j → e i → + 2 · j → + 2 · k → hanno coordinate corrispondenti (1, - 1, 0) e (1, 2, 2). Sostituiamo i valori numerici e otteniamo: i → + 2 · j → + 2 · k → , i → - j → = 1 · 1 + (- 1) · 2 + 0 · 2 = - 1 .

L'espressione non è uguale a zero, (i → + 2 j → + 2 k →, i → - j →) ≠ 0, il che significa che i vettori i → - j → e i → + 2 j → + 2 k → non sono perpendicolari, poiché la condizione non è soddisfatta.

Risposta: no, i vettori i → - j → e i → + 2 · j → + 2 · k → non sono perpendicolari.

Esempio 3

Dati i vettori a → = (1, 0, - 2) e b → = (λ, 5, 1). Trova il valore di λ al quale questi vettori sono perpendicolari.

Soluzione

Usiamo la condizione di perpendicolarità di due vettori nello spazio in forma quadrata, quindi otteniamo

a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 λ + 0 5 + (- 2) 1 = 0 ⇔ λ = 2

Risposta: i vettori sono perpendicolari al valore λ = 2.

Ci sono casi in cui la questione della perpendicolarità è impossibile anche in una condizione necessaria e sufficiente. Dati i dati noti sui tre lati di un triangolo su due vettori, è possibile trovare angolo tra i vettori e controllalo.

Esempio 4

Dato un triangolo A B C con lati A B = 8, A C = 6, B C = 10 cm, controlla la perpendicolarità dei vettori A B → e A C →.

Soluzione

Se i vettori A B → e A C → sono perpendicolari, il triangolo A B C è considerato rettangolare. Quindi applichiamo il teorema di Pitagora, dove BC è l'ipotenusa del triangolo. L'uguaglianza B C 2 = A B 2 + A C 2 deve essere vera. Ne consegue che 10 2 = 8 2 + 6 2 ⇔ 100 = 100. Ciò significa che A B e A C sono cateti del triangolo A B C, quindi A B → e A C → sono perpendicolari.

È importante imparare a trovare le coordinate di un vettore perpendicolare a un dato. Ciò è possibile sia nel piano che nello spazio, a condizione che i vettori siano perpendicolari.

Trovare un vettore perpendicolare ad un dato su un piano.

Un vettore a → diverso da zero può avere un numero infinito di vettori perpendicolari sul piano. Rappresentiamolo su una linea di coordinate.

Dato un vettore a → giacente sulla retta a diverso da zero. Allora un dato b →, situato su qualsiasi linea perpendicolare alla linea a, diventa perpendicolare ad a →. Se il vettore i → è perpendicolare al vettore j → o a uno qualsiasi dei vettori λ · j → con λ uguale a qualsiasi numero reale diverso da zero, trovare le coordinate del vettore b → perpendicolare ad a → = (a x , a y ) si riduce ad un insieme infinito di soluzioni. Ma è necessario trovare le coordinate del vettore perpendicolare ad a → = (a x , a y) . Per fare ciò è necessario scrivere la condizione di perpendicolarità dei vettori nella seguente forma: a x · b x + a y · b y = 0. Abbiamo b x e b y, che sono le coordinate desiderate del vettore perpendicolare. Quando a x ≠ 0, il valore di b y è diverso da zero e b x può essere calcolato dalla disuguaglianza a x · b x + a y · b y = 0 ⇔ b x = - a y · b y a x. Per a x = 0 e a y ≠ 0, assegniamo a b x qualsiasi valore diverso da zero e troviamo b y dall'espressione b y = - a x · b x a y .

Esempio 5

Dato un vettore di coordinate a → = (- 2 , 2) . Trova un vettore perpendicolare a questo.

Soluzione

Indichiamo il vettore desiderato come b → (b x , by y) . Le sue coordinate possono essere trovate dalla condizione che i vettori a → e b → siano perpendicolari. Quindi otteniamo: (a → , b →) = a x · b x + a y · b y = - 2 · b x + 2 · b y = 0 . Assegniamo b y = 1 e sostituiamo: - 2 · b x + 2 · b y = 0 ⇔ - 2 · b x + 2 = 0 . Quindi dalla formula otteniamo b x = - 2 - 2 = 1 2. Ciò significa che il vettore b → = (1 2 , 1) è un vettore perpendicolare ad a → .

Risposta: b → = (1 2 , 1) .

Se viene sollevata la questione dello spazio tridimensionale, il problema viene risolto secondo lo stesso principio. Per un dato vettore a → = (a x , a y , a z) esiste un numero infinito di vettori perpendicolari. Risolverà questo problema su un piano di coordinate tridimensionale. Dato a → giacente sulla retta a. Il piano perpendicolare alla retta a si indica con α. In questo caso, qualsiasi vettore b → diverso da zero proveniente dal piano α è perpendicolare ad a →.

È necessario trovare le coordinate di b → perpendicolare al vettore diverso da zero a → = (a x , a y , a z) .

Sia b → dato le coordinate b x , b y e b z . Per trovarli è necessario applicare la definizione della condizione di perpendicolarità di due vettori. L'uguaglianza a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 deve essere soddisfatta. Dalla condizione a → è diverso da zero, il che significa che una delle coordinate ha un valore diverso da zero. Supponiamo che a x ≠ 0, (a y ≠ 0 o a z ≠ 0). Pertanto, abbiamo il diritto di dividere l'intera disuguaglianza a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 per questa coordinata, otteniamo l'espressione b x + a y · b y + a z · b z a x = 0 ⇔ b x = - a y · b y + a z · b z a x . Assegniamo un valore qualsiasi alle coordinate b y e b x, calcoliamo il valore di b x in base alla formula, b x = - a y · b y + a z · b z a x. Il vettore perpendicolare desiderato avrà il valore a → = (a x, a y, a z).

Diamo un'occhiata alla dimostrazione utilizzando un esempio.

Esempio 6

Dato un vettore di coordinate a → = (1, 2, 3) . Trova un vettore perpendicolare a quello dato.

Soluzione

Indichiamo il vettore desiderato con b → = (b x , b y , b z) . A condizione che i vettori siano perpendicolari, il prodotto scalare deve essere uguale a zero.

a ⇀ , b ⇀ = 0 ⇔ a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 b x + 2 b y + 3 b z = 0 ⇔ b x = - (2 b y + 3 b z)

Se il valore di b y = 1, b z = 1, allora b x = - 2 b y - 3 b z = - (2 1 + 3 1) = - 5. Ne consegue che le coordinate del vettore b → (- 5 , 1 , 1) . Il vettore b → è uno dei vettori perpendicolari a quello dato.

Risposta: b → = (- 5 , 1 , 1) .

Trovare le coordinate di un vettore perpendicolare a due vettori dati

Devi trovare le coordinate del vettore nello spazio tridimensionale. È perpendicolare ai vettori non collineari a → (a x , a y , a z) e b → = (b x , b y , b z) . Ammesso che i vettori a → e b → siano collineari, sarà sufficiente trovare nel problema un vettore perpendicolare ad a → o b →.

Durante la risoluzione, viene utilizzato il concetto di prodotto vettoriale di vettori.

Prodotto vettoriale di vettori a → e b → è un vettore che è contemporaneamente perpendicolare sia ad a → che a b →. Per risolvere questo problema viene utilizzato il prodotto vettoriale a → × b →. Per lo spazio tridimensionale ha la forma a → × b → = a → j → k → a x a y a z b x b y b z

Diamo un'occhiata al prodotto vettoriale in modo più dettagliato utilizzando un problema di esempio.

Esempio 7

Sono dati i vettori b → = (0, 2, 3) e a → = (2, 1, 0). Trova contemporaneamente le coordinate di qualsiasi vettore perpendicolare ai dati.

Soluzione

Per risolvere è necessario trovare il prodotto vettoriale dei vettori. (Si prega di fare riferimento al paragrafo calcolo del determinante di una matrice per trovare il vettore). Noi abbiamo:

a → × b → = i → j → k → 2 1 0 0 2 3 = i → 1 3 + j → 0 0 + k → 2 2 - k → 1 0 - j → 2 3 - i → 0 2 = 3 i → + (- 6) j → + 4 k →

Risposta: (3 , - 6 , 4) - coordinate di un vettore che è contemporaneamente perpendicolare ai dati a → e b → .

Se noti un errore nel testo, evidenzialo e premi Ctrl+Invio