Qual è il nodo dei numeri coprimi? Massimo comun divisore

Si chiamano i numeri naturali a e b reciprocamente primi, se il loro massimo comun divisore è 1 (MCD(a; b) = 1). In altre parole, se i numeri a e b non hanno fattori comuni diversi da 1, allora sono coprimi.

Esempi di coppie di numeri coprimi: 2 e 5, 13 e 16, 35 e 88, ecc. È possibile specificare più numeri coprimi, ad esempio i numeri 7, 9, 16 sono coprimi.

Spesso i numeri coprimi sono indicati come segue: (a, b) = 1. Ad esempio, (23, 30) = 1. Questa notazione è, per così dire, una notazione abbreviata per il massimo comun divisore di due numeri (MCD(23 , 30) = 1), e dice che il loro massimo comun divisore è 1.

Due numeri naturali adiacenti saranno sempre primi fra loro. Ad esempio, 15 e 16 sono una coppia di numeri relativamente primi, proprio come 16 e 17. Questo è facile da capire se si tiene conto della “regola” secondo cui se due numeri naturali a e b sono divisibili per lo stesso numero naturale maggiore di 1 ( n > 1), allora anche la loro differenza deve essere divisibile per questo numero n (qui intendiamo che a, b e la loro differenza sono divisibili per un numero intero, cioè sono multipli del numero n). Ma se a e b sono due numeri adiacenti (sia a< b ), то b – a = 1; но 1 делится только на 1 (из ряда натуральных чисел). Следовательно, a и b не имеют других общих делителей, кроме 1.

Dalla definizione di numeri coprimi e numeri primi segue anche questo numeri primi diversi sono sempre coprimi. Dopotutto, i divisori di qualsiasi numero primo sono solo se stesso e 1.

Proprietà dei numeri coprimi

• Il minimo comune multiplo (MCM) di una coppia di numeri coprimi è uguale al loro prodotto. Ad esempio, (3, 8) = 1 (questo significa coprimo), quindi il loro MCM è 3 × 8 = 24 (LCM(3, 8) = 24). In effetti, non troverai un numero inferiore a 24 che sia multiplo sia di 3 che di 8.
• Se i numeri a e b sono coprimi e il numero c è multiplo sia di a che di b, allora anche questo numero sarà multiplo del prodotto ab. Questo può essere scritto in questo modo: se c a e c b, allora c ab. Ad esempio, (3, 10) = 1, il numero 60 è un multiplo sia di 3 che di 10 ed è anche un multiplo di 30 (3 × 10).
• Se i numeri a e b sono coprimi e il numero c è multiplo di b (c b ), anche il prodotto ac sarà multiplo di b (ac b ). Ad esempio, (2, 17) = 1, sia c = 34. Il numero 34 è multiplo di b = 17, quindi ac = 2 × 34 = 68. Controlliamo: 68 ÷ 17 = 4, cioè è divisibile per un intero, il che significa che 68 è un multiplo di 17.

In genere sono presenti più proprietà di quelle elencate qui. Inoltre, le proprietà dei numeri coprimi sono formulate in modi diversi. Potrebbe anche essere necessario dimostrare queste proprietà (in questo caso non viene fornita alcuna prova).

Il massimo comun divisore dei numeri coprimi è sempre uno.

Esempi di nodi di numeri coprimi.

MCD dei numeri 11 e 7

I numeri 11 e 7 sono primi tra loro e allo stesso tempo primi.

I numeri 11 e 7 non hanno altri divisori comuni oltre a 1.

mcd(11, 7) = 1

MCD dei numeri 11 e 15

I numeri 11 e 15 sono primi tra loro. Inoltre, 11 è un numero primo e 15 è un numero composto.

I divisori di 11 sono 1 e 11.

I divisori di 15 sono 1, 3, 5, 15.

Come puoi vedere, l'unico fattore comune dei numeri 11 e 15 è il numero 1. L'unità, quindi, è il MCD dei numeri 11 e 15:

mcd(11, 15) = 1

MCD dei numeri 10 e 21

I numeri 10 e 21 sono primi tra loro. Inoltre, sia il numero 10 che il numero 21 sono compositi.

I divisori di 10 sono 1, 2, 5, 10.

I divisori di 21 sono 1, 3, 7, 21.

Come puoi vedere, l'unico fattore comune dei numeri 10 e 21 è il numero 1. L'unità, quindi, è il MCD dei numeri 10 e 21:

MCD(21, 10) = 1

MCD dei numeri 16 e 23

I numeri 16 e 23 sono primi tra loro. Inoltre, 23 è un numero primo e 16 è un numero composto.

Compito: Trova MCD e MCM dei numeri nel modo più conveniente:

a) 12 e 40; b) 9 e 40; c) 12 e 72.

L'attività dura 5 minuti.

Qual è il modo più comodo per risolvere ogni esercizio?

Analisi tramite diapositiva.

a) È più conveniente risolvere fattorizzando i fattori primi

12 = 2·2·3; 40 = 2 2 2 5

MCD(12;40)=2·2=4; MCM(12;40) = 2 2 2 3 5 = 120

b) I numeri 9 e 40 hanno fattori comuni? (c'è, 1.)

Come si chiamano questi numeri? ? (reciprocamente primi.)

Qual è il MCD di questi numeri? ? (MCD(9,40) = 1)

Qual è il LCM di questi numeri? ? (NOC(9;40) = 9·40=360.)

c) Cosa puoi dire dei numeri 12 e 72 ? (72 diviso 12) Quale regola conosciamo? (se un numero è divisibile per un altro, allora MCD = il numero più piccolo e MCM = il più grande)

mcd(12;72) = 12; MCM(12;72) = 72

Controlla i dati che hai ottenuto con lo standard che si trova sulla cattedra.

FO: Si valutano secondo i criteri scritti sulla scheda standard. Selezionando la casella accanto al criterio.

7 tick – livello alto

6-4 tick – livello medio

1-3 tick – livello basso

Fizminutka

Si alzarono velocemente, sorrisero,

Si sono spinti sempre più in alto.

Bene, raddrizza le spalle,

Sollevalo un pò meno.

Gira a destra, gira a sinistra,

Tocca le mani con le ginocchia.

Si sedettero, si alzarono, si sedettero, si alzarono,

E corsero sul posto.

Domanda dell'insegnante: dove utilizziamo già la nostra conoscenza del GCD e dell'LCA dei numeri?

Quando si risolvono i problemi.

Di fronte a loro, sulla cattedra, c'è una "Camomilla dei compiti" composta da 21 petali.

Petalo Rosso – compiti di livello C.

Petalo giallo – compiti di livello B.

Petalo verde – compiti di livello A.

	Masha ha comprato le uova per l'Orso al negozio. Sulla strada per la foresta si rese conto che il numero delle uova è divisibile per 2,3,5,10 e 15. Quante uova ha comprato Masha?
	Sono stati raccolti mazzi di 210 rose bordeaux, 126 bianche e 294 rosse, ciascuno contenente un numero uguale di rose dello stesso colore. Qual è il maggior numero di mazzi di rose realizzati con queste rose e quante rose di ciascun colore ci sono in un mazzo?
	Il foglio di cartone ha la forma di un rettangolo, la cui lunghezza è di 48 cm e la larghezza è di 40 cm, questo foglio deve essere tagliato in quadrati uguali senza scarti. Quali sono i quadrati più grandi che si possono ottenere da questo foglio di lavoro e quanti?
	Quanti soldati marciano sulla piazza d'armi se marciano in formazione di 12 persone in fila e si trasformano in una colonna di 18 persone in fila?
	Nella città portuale iniziano tre viaggi in barca turistica, il primo dei quali dura 15 giorni, il secondo 20 e il terzo 12 giorni. Ritornate al porto, le navi ripartivano lo stesso giorno. Oggi le navi hanno lasciato il porto su tutte e tre le rotte. Tra quanti giorni andranno di nuovo in barca a vela insieme per la prima volta?Quanti viaggi effettuerà ciascuna nave?
	Il camino nella stanza deve essere piastrellato a forma di quadrato. Quante piastrelle serviranno per un camino da 195 ͯ 156 cm e quali sono le dimensioni più grandi delle piastrelle?
	Il passo di Volodya è di 75 cm e il passo di Katya è di 60 cm A quale distanza minima faranno entrambi un numero intero di passi?
	Per i regali di Capodanno abbiamo acquistato 180 mele, 90 arance e 900 caramelle. Tutti i bambini hanno ricevuto gli stessi doni. Qual è il maggior numero di regali identici realizzati con questi frutti e dolci?
	Un orto di 54 ͯ 48 m di perimetro dovrà essere recintato; a tale scopo dovranno essere posizionati a intervalli regolari dei pilastri in cemento. Quanti pali è necessario portare per il cantiere e a quale distanza massima l'uno dall'altro verranno posizionati?
	Trovare: LOC(360,252).
	Per i regali di Capodanno abbiamo acquistato 78 barrette di cioccolato, 156 biscotti di pan di zenzero, 52 confezioni di biscotti, 104 arance e 130 mele. Qual è il maggior numero di regali identici che è possibile raccogliere?
	È necessario realizzare una scatola a fondo quadrato per riporre scatole da 16 ͯ 20 cm. Quale deve essere la lunghezza del lato più corto di un fondo quadrato per contenere le scatole da un'estremità all'altra in una scatola?
	Calcola MCD(720,216), MCM(720,216).
	Qual è il rapporto tra MCM (308.264) e MCD (308.264)?
	Per allestire l'albero di Natale abbiamo acquistato noci, dolci e pan di zenzero: in totale 760 pezzi. Hanno preso 80 noci in più rispetto ai dolci e 120 pan di zenzero in meno rispetto alle noci. Qual è il maggior numero di regali identici per bambini che si possono realizzare con questo stock?
	Trova LOC(84,160,96),
	Trova il quoziente della divisione MCM(24, 2004) per MCD degli stessi numeri.
	Trova il numero naturale più piccolo che sia multiplo di 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
	Trova GCD (56, 72).
	Sul tavolo ci sono libri, il cui numero è inferiore a 100. Quanti libri ci sono se si sa che possono essere legati in pacchi da 3, 4 e 5 pezzi?
	Meno di 600, ma più di 500 piatti sono stati portati al negozio. Quando hanno iniziato a disporli in dozzine, mancavano 3 piatti dal numero totale di decine, e quando hanno iniziato a disporli in dozzine (12 piatti ciascuno), erano rimasti 7 piatti. Quanti piatti hai portato al negozio?

FO: Il numero predominante di petali rossi indica un alto livello di assorbimento, il giallo - un livello medio di assorbimento e il verde - un basso livello di assorbimento.