Seno, coseno, tangente: cos'è? Come trovare seno, coseno e tangente? Sostituzione trigonometrica universale, derivazione di formule, esempi.

Non ti convincerò a non scrivere cheat sheet. Scrivere! Compresi i foglietti illustrativi sulla trigonometria. In seguito ho intenzione di spiegare perché sono necessari i cheat sheet e come sono utili i cheat sheet. E qui - informazioni su come non imparare, ma ricordare alcune formule trigonometriche. Quindi - trigonometria senza cheat sheet Usiamo le associazioni per la memorizzazione.

1. Formule di addizione:

i coseni "vanno sempre in coppia": coseno-coseno, seno-seno. E ancora una cosa: i coseni sono "inadeguati". Loro "è tutto sbagliato", quindi cambiano i segni: "-" in "+" e viceversa.

Seni - "mescolare": seno-coseno, coseno-seno.

2. Formule di somma e differenza:

i coseni "vanno sempre in coppia". Dopo aver aggiunto due coseni - "focacce", otteniamo una coppia di coseni - "koloboks". E sottraendo, sicuramente non otterremo i kolobok. Otteniamo un paio di seni. Ancora con un segno meno davanti.

Seni - "mescolare" :

3. Formule per convertire un prodotto in somma e differenza.

Quando otteniamo una coppia di coseni? Quando si sommano i coseni. Ecco perché

Quando otteniamo un paio di seni? Quando si sottrae il coseno. Da qui:

La "miscelazione" si ottiene sia sommando che sottraendo i seni. Cos'è più divertente: aggiungere o sottrarre? Esatto, piega. E per la formula prendi l'addizione:

Nella prima e nella terza formula tra parentesi - l'importo. Dal riordinamento dei luoghi dei termini, la somma non cambia. L'ordine è importante solo per la seconda formula. Ma, per non confondersi, per facilità di ricordare, in tutte e tre le formule nelle prime parentesi prendiamo la differenza

e in secondo luogo, la somma

I fogli della culla in tasca danno tranquillità: se dimentichi la formula, puoi cancellarla. E danno fiducia: se non usi il foglietto illustrativo, le formule possono essere facilmente ricordate.

Dati di riferimento sulle funzioni trigonometriche seno (sin x) e coseno (cos x). Definizione geometrica, proprietà, grafici, formule. Tavola di seno e coseno, derivate, integrali, sviluppi in serie, secante, cosecante. Espressioni attraverso variabili complesse. Collegamento con funzioni iperboliche.

Definizione geometrica di seno e coseno

|BD|- la lunghezza dell'arco di cerchio centrato in un punto UN.
α è un angolo espresso in radianti.

Definizione
Senoè una funzione trigonometrica dipendente dall'angolo α tra l'ipotenusa e il cateto di un triangolo rettangolo, uguale al rapporto tra la lunghezza del cateto opposto |BC| alla lunghezza dell'ipotenusa |AC|.

Coseno (cos α)è una funzione trigonometrica dipendente dall'angolo α tra l'ipotenusa e il cateto di un triangolo rettangolo, uguale al rapporto tra la lunghezza del cateto adiacente |AB| alla lunghezza dell'ipotenusa |AC|.

Designazioni accettate

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.

Grafico della funzione seno, y = sin x

Grafico della funzione coseno, y = cos x

Proprietà di seno e coseno

Periodicità

Funzioni y= peccato x e y= cosx periodico con un punto 2π.

Parità

La funzione seno è dispari. La funzione coseno è pari.

Dominio di definizione e valori, estremi, accrescimento, decremento

Le funzioni seno e coseno sono continue nel loro dominio di definizione, cioè per ogni x (vedi la prova di continuità). Le loro proprietà principali sono presentate nella tabella (n - numero intero).

	e= peccato x	e= cosx
Portata e continuità	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Intervallo di valori	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Ascendente
Discendente
Massimi, y= 1
Minimi, y = - 1
Zero, y= 0
Punti di intersezione con l'asse y, x = 0	e= 0	e= 1

Formule di base

Somma del quadrato di seno e coseno

Formule seno e coseno per somma e differenza

;
;

Formule per il prodotto di seno e coseno

Formule di somma e differenza

Espressione di seno tramite coseno

;
;
;
.

Espressione del coseno attraverso il seno

;
;
;
.

Espressione in termini di tangente

; .

Per , abbiamo:
; .

A :
; .

Tavola dei seni e coseni, tangenti e cotangenti

Questa tabella mostra i valori di seno e coseno per alcuni valori dell'argomento.

Espressioni attraverso variabili complesse

;

Formula di Eulero

{ -∞ < x < +∞ }

Secante, cosecante

Funzioni inverse

Le funzioni inverse di seno e coseno sono rispettivamente arcoseno e arcoseno.

Arcoseno, arcoseno

Arcosine, arcos

Riferimenti:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manuale di matematica per ingegneri e studenti di istituti di istruzione superiore, Lan, 2009.

- sicuramente ci saranno compiti di trigonometria. La trigonometria è spesso antipatica perché deve stipare un'enorme quantità di formule difficili brulicanti di seni, coseni, tangenti e cotangenti. Il sito già una volta ha dato consigli su come ricordare una formula dimenticata, usando l'esempio delle formule di Eulero e Peel.

E in questo articolo cercheremo di dimostrare che è sufficiente conoscere fermamente solo cinque delle formule trigonometriche più semplici, e avere un'idea generale del resto e derivarle lungo il percorso. È come con il DNA: i disegni completi di un essere vivente finito non sono immagazzinati nella molecola. Contiene, piuttosto, le istruzioni per assemblarlo dagli amminoacidi disponibili. Quindi in trigonometria, conoscendo alcuni principi generali, otterremo tutte le formule necessarie da un piccolo insieme di quelle che devono essere tenute a mente.

Faremo affidamento sulle seguenti formule:

Dalle formule per il seno e il coseno delle somme, sapendo che la funzione coseno è pari e che la funzione seno è dispari, sostituendo -b per b, otteniamo le formule per le differenze:

1. Seno di differenza: peccato(a-b) = peccatoUNcos(-B)+cosUNpeccato(-B) = peccatoUNcosB-cosUNpeccatoB
2. differenza di coseno: cos(a-b) = cosUNcos(-B)-peccatoUNpeccato(-B) = cosUNcosB+peccatoUNpeccatoB

Mettendo a \u003d b nelle stesse formule, otteniamo le formule per il seno e il coseno dei doppi angoli:

1. Seno di un doppio angolo: peccato2a = peccato(a+a) = peccatoUNcosUN+cosUNpeccatoUN = 2peccatoUNcosUN
2. Coseno di un doppio angolo: cos2a = cos(a+a) = cosUNcosUN-peccatoUNpeccatoUN = cos2a-peccato2a

Le formule per altri angoli multipli si ottengono in modo simile:

1. Seno di un angolo triplo: peccato3a = peccato(2a+a) = peccato2acosUN+cos2apeccatoUN = (2peccatoUNcosUN)cosUN+(cos2a-peccato2a)peccatoUN = 2peccatoUNcos2a+peccatoUNcos2a-peccato 3a = 3 peccatoUNcos2a-peccato 3a = 3 peccatoUN(1-peccato2a)-peccato 3a = 3 peccatoUN-4peccato 3a
2. Coseno di un angolo triplo: cos3a = cos(2a+a) = cos2acosUN-peccato2apeccatoUN = (cos2a-peccato2a)cosUN-(2peccatoUNcosUN)peccatoUN = cos 3a- peccato2acosUN-2peccato2acosUN = cos 3a-3 peccato2acosUN = cos 3a-3(1- cos2a)cosUN = 4cos 3a-3 cosUN

Prima di andare avanti, consideriamo un problema.
Dato: l'angolo è acuto.
Trova il suo coseno se
Soluzione fornita da uno studente:
Perché , Quello peccatoUN= 3,a cosUN = 4.
(Dall'umorismo matematico)

Quindi, la definizione di tangente collega questa funzione sia con il seno che con il coseno. Ma puoi ottenere una formula che fornisca la connessione della tangente solo con il coseno. Per derivarlo, prendiamo l'identità trigonometrica di base: peccato 2 UN+cos 2 UN= 1 e dividerlo per cos 2 UN. Noi abbiamo:

Quindi la soluzione a questo problema sarebbe:

(Poiché l'angolo è acuto, il segno + viene preso quando si estrae la radice)

La formula per la tangente della somma è un'altra difficile da ricordare. Produciamolo in questo modo:

immediatamente uscita e

Dalla formula del coseno per un doppio angolo, puoi ottenere le formule seno e coseno per un mezzo angolo. Per fare ciò, sul lato sinistro della formula del coseno del doppio angolo:
cos2 UN = cos 2 UN-peccato 2 UN
aggiungiamo un'unità e, a destra, un'unità trigonometrica, ad es. somma dei quadrati di seno e coseno.
cos2a+1 = cos2a-peccato2a+cos2a+peccato2a
2cos 2 UN = cos2 UN+1
esprimere cosUN Attraverso cos2 UN ed effettuando un cambio di variabili otteniamo:

Il segno è preso a seconda del quadrante.

Allo stesso modo, sottraendo uno dal membro sinistro dell'uguaglianza e la somma dei quadrati del seno e del coseno dal membro destro, otteniamo:
cos2a-1 = cos2a-peccato2a-cos2a-peccato2a
2peccato 2 UN = 1-cos2 UN

Infine, per convertire la somma delle funzioni trigonometriche in un prodotto, utilizziamo il seguente trucco. Supponiamo di dover rappresentare la somma dei seni come prodotto peccatoUN+peccatoB. Introduciamo le variabili x e y tali che a = x+y, b+x-y. Poi
peccatoUN+peccatoB = peccato(x+y)+ peccato(x-y) = peccato X cos si+ cos X peccato si+ peccato X cos y- cos X peccato y=2 peccato X cos si. Esprimiamo ora x e y in termini di a e b.

Poiché a = x+y, b = x-y, allora . Ecco perché

Puoi ritirarti immediatamente

1. Formula di partizione prodotti di seno e coseno v quantità: peccatoUNcosB = 0.5(peccato(a+b)+peccato(a-b))

Ti consigliamo di esercitarti e derivare formule per convertire il prodotto della differenza dei seni e della somma e differenza dei coseni in un prodotto, nonché per dividere i prodotti di seno e coseno in una somma. Dopo aver svolto questi esercizi, padroneggerai a fondo l'abilità di derivare formule trigonometriche e non ti perderai nemmeno nel controllo, nelle olimpiadi o nei test più difficili.

Le formule per la somma e la differenza di seno e coseno per due angoli α e β consentono di passare dalla somma degli angoli indicati al prodotto degli angoli α + β 2 e α - β 2 . Notiamo subito che non dovresti confondere le formule per la somma e la differenza di seno e coseno con le formule per seno e coseno di somma e differenza. Di seguito elenchiamo queste formule, ne diamo la derivazione e mostriamo esempi della loro applicazione a problemi specifici.

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Formule per la somma e la differenza di seno e coseno

Scriviamo come sono le formule di somma e differenza per seno e coseno

Formule di somma e differenza per i seni

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2

Formule di somma e differenza per i coseni

cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2, cos α - cos β = 2 sin α + β 2 β - a2

Queste formule sono valide per qualsiasi angolo α e β. Gli angoli α + β 2 e α - β 2 sono chiamati, rispettivamente, semisomma e semidifferenza degli angoli alfa e beta. Diamo una formulazione per ogni formula.

Definizioni di formule di somma e differenza per seno e coseno

La somma dei seni di due angoliè uguale al doppio del prodotto del seno della semisomma di questi angoli e del coseno della semidifferenza.

Differenza dei seni di due angoliè uguale al doppio del prodotto del seno della semidifferenza di questi angoli e del coseno della semisomma.

La somma dei coseni di due angoliè uguale al doppio del prodotto del coseno della semisomma e del coseno della semidifferenza di questi angoli.

Differenza di coseni di due angoliè uguale al doppio del prodotto del seno della semisomma e del coseno della semidifferenza di questi angoli, presi con segno negativo.

Derivazione di formule per la somma e la differenza di seno e coseno

Per derivare le formule per la somma e la differenza del seno e del coseno di due angoli, vengono utilizzate le formule di addizione. Li presentiamo di seguito

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β cos ( α - β) = cos α cos β + sin α sin β

Rappresentiamo anche gli angoli stessi come somma di semisomme e semidifferenze.

α \u003d α + β 2 + α - β 2 \u003d α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β \u003d α + β 2 - α - β 2 \u003d α 2 + β 2 - α 2 + β 2

Procediamo direttamente alla derivazione delle formule di somma e differenza per sin e cos.

Derivazione della formula per la somma dei seni

Nella somma sin α + sin β, sostituiamo α e β con le espressioni per questi angoli date sopra. Ottenere

sin α + sin β = sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2

Ora applichiamo la formula dell'addizione alla prima espressione e la formula del seno delle differenze di angolo alla seconda (vedi le formule sopra)

sin α + β 2 + α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2

sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α + β 2 cosα - β 2

I passaggi per derivare il resto delle formule sono simili.

Derivazione della formula per la differenza dei seni

sin α - sin β = sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α - β 2 cos α + β 2

Derivazione della formula per la somma dei coseni

cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = 2 cos α + β 2 cos α - β 2

Derivazione della formula della differenza del coseno

cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = - 2 sin α + β 2 peccato α - β 2

Esempi di risoluzione di problemi pratici

Per cominciare, controlleremo una delle formule sostituendovi valori angolari specifici. Sia α = π 2 , β = π 6 . Calcoliamo il valore della somma dei seni di questi angoli. Innanzitutto, usiamo la tabella dei valori di base delle funzioni trigonometriche, quindi applichiamo la formula per la somma dei seni.

Esempio 1. Verifica della formula per la somma dei seni di due angoli

α \u003d π 2, β \u003d π 6 sin π 2 + sin π 6 \u003d 1 + 1 2 \u003d 3 2 sin π 2 + sin π 6 \u003d 2 sin π 2 + π 6 2 cos π 2 - π 6 2 \u003d 2 sin π 3 cos π 6 \u003d 2 3 2 3 2 \u003d 3 2

Consideriamo ora il caso in cui i valori degli angoli differiscono dai valori di base presentati nella tabella. Sia α = 165°, β = 75°. Calcoliamo il valore della differenza tra i seni di questi angoli.

Esempio 2. Applicazione della formula della differenza seno

α = 165 ° , β = 75 ° sin α - sin β = sin 165 ° - sin 75 ° sin 165 - sin 75 = 2 sin 165 ° - sin 75 ° 2 cos 165 ° + sin 75 ° 2 = = 2 sin 45 ° cos 120 ° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2

Usando le formule per la somma e la differenza di seno e coseno, puoi passare dalla somma o dalla differenza al prodotto delle funzioni trigonometriche. Spesso queste formule sono chiamate formule per il passaggio dalla somma al prodotto. Le formule per la somma e la differenza di seno e coseno sono ampiamente utilizzate nella risoluzione di equazioni trigonometriche e nella conversione di espressioni trigonometriche.

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In questo articolo, daremo uno sguardo completo a . Le identità trigonometriche di base sono uguaglianze che stabiliscono una relazione tra seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo e consentono di trovare una qualsiasi di queste funzioni trigonometriche attraverso un'altra nota.

Elenchiamo subito le principali identità trigonometriche, che analizzeremo in questo articolo. Li annotiamo in una tabella, e di seguito diamo la derivazione di queste formule e diamo le spiegazioni necessarie.

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Relazione tra seno e coseno di un angolo

A volte non parlano delle principali identità trigonometriche elencate nella tabella sopra, ma di una sola identità trigonometrica di base Tipo . La spiegazione di questo fatto è abbastanza semplice: le uguaglianze si ottengono dall'identità trigonometrica di base dopo aver diviso entrambe le sue parti per e rispettivamente, e le uguaglianze E seguire dalle definizioni di seno, coseno, tangente e cotangente. Ne parleremo più dettagliatamente nei paragrafi seguenti.

Cioè, è l'uguaglianza che è di particolare interesse, a cui è stato dato il nome della principale identità trigonometrica.

Prima di dimostrare l'identità trigonometrica di base, diamo la sua formulazione: la somma dei quadrati del seno e del coseno di un angolo è identicamente uguale a uno. Ora dimostriamolo.

L'identità trigonometrica di base è molto spesso usata in trasformazione di espressioni trigonometriche. Consente di sostituire con uno la somma dei quadrati del seno e del coseno di un angolo. Non meno spesso, l'identità trigonometrica di base viene utilizzata in ordine inverso: l'unità viene sostituita dalla somma dei quadrati del seno e del coseno di qualsiasi angolo.

Tangente e cotangente per seno e coseno

Identità che collegano la tangente e la cotangente con il seno e il coseno di un angolo della forma e seguono immediatamente dalle definizioni di seno, coseno, tangente e cotangente. Infatti, per definizione, il seno è l'ordinata di y, il coseno è l'ascissa di x, la tangente è il rapporto tra l'ordinata e l'ascissa, cioè, , e la cotangente è il rapporto tra l'ascissa e l'ordinata, cioè, .

A causa di questa ovvietà delle identità e spesso le definizioni di tangente e cotangente sono date non attraverso il rapporto tra l'ascissa e l'ordinata, ma attraverso il rapporto tra seno e coseno. Quindi la tangente di un angolo è il rapporto tra il seno e il coseno di questo angolo, e la cotangente è il rapporto tra il coseno e il seno.

Per concludere questa sezione, va notato che le identità e vale per tutti questi angoli per i quali le funzioni trigonometriche in essi hanno senso. Quindi la formula è valida per qualsiasi diverso da (altrimenti il ​​denominatore sarà zero e non abbiamo definito la divisione per zero), e la formula - for all , diverso da , dove z è any .

Relazione tra tangente e cotangente

Un'identità trigonometrica ancora più evidente delle due precedenti è l'identità che collega la tangente e la cotangente di un angolo della forma . È chiaro che avviene per qualsiasi angolo diverso da , altrimenti non è definita né la tangente né la cotangente.

Dimostrazione della formula molto semplice. Per definizione e da dove . La dimostrazione avrebbe potuto essere svolta in modo leggermente diverso. Da e , Quello .

Quindi, la tangente e la cotangente di un angolo, in cui hanno senso, è.