Fattorizzazione. Esempi

Qualsiasi numero composto può essere rappresentato come il prodotto dei suoi divisori primi:

28 = 2 2 7

Vengono chiamati i membri destri delle uguaglianze risultanti fattorizzazione in numeri primi numeri 15 e 28.

Fattorizzare un dato numero composto in fattori primi significa rappresentare questo numero come prodotto dei suoi fattori primi.

La scomposizione di un dato numero in fattori primi viene eseguita come segue:

1. Per prima cosa devi selezionare il numero primo più piccolo dalla tabella dei numeri primi che divide il numero composto senza resto ed eseguire la divisione.
2. Successivamente, è necessario selezionare nuovamente il numero primo più piccolo per il quale verrà diviso il quoziente già ottenuto senza resto.
3. La seconda azione viene ripetuta finché non si ottiene uno nel quoziente.

Ad esempio, fattorizziamo in fattori primi il numero 940. Trova il numero primo più piccolo che divide 940. Questo numero è 2:

Ora selezioniamo il numero primo più piccolo divisibile per 470. Questo numero è ancora 2:

Il più piccolo numero primo divisibile per 235 è 5:

Il numero 47 è primo, il che significa che il più piccolo numero primo che può essere diviso per 47 è il numero stesso:

Pertanto, otteniamo il numero 940, scomposto in fattori primi:

940 = 2 470 = 2 2 235 = 2 2 5 47

Se la scomposizione di un numero in fattori primi dà come risultato più fattori identici, per brevità essi possono essere scritti sotto forma di potenza:

940 = 2 2 5 47

È più conveniente scrivere la scomposizione in fattori primi come segue: prima annotiamo questo numero composto e tracciamo una linea verticale alla sua destra:

A destra della riga scriviamo il più piccolo divisore primo per cui è diviso il numero composto dato:

Eseguiamo la divisione e scriviamo il quoziente risultante sotto il dividendo:

Agiamo con il quoziente allo stesso modo che con il numero composto dato, cioè selezioniamo il numero primo più piccolo per il quale è divisibile senza resto ed eseguiamo la divisione. E lo ripetiamo finché non otteniamo un'unità nel quoziente:

Tieni presente che a volte può essere piuttosto difficile scomporre un numero in fattori primi, poiché durante la fattorizzazione potremmo incontrare un numero elevato di cui è difficile determinare immediatamente se sia primo o composito. E se è composto, non è sempre facile trovare il suo divisore primo più piccolo.

Proviamo, ad esempio, a fattorizzare il numero 5106 in fattori primi:

Raggiunto il quoziente 851, è difficile determinarne immediatamente il divisore più piccolo. Passiamo alla tabella dei numeri primi. Se in esso c'è un numero che ci mette in difficoltà, allora è divisibile solo per se stesso e per uno. Il numero 851 non è nella tabella dei numeri primi, il che significa che è composto. Non resta che dividerlo mediante ricerca sequenziale in numeri primi: 3, 7, 11, 13, ..., e così via finché non troviamo un divisore primo adatto. Con la forza bruta troviamo che 851 è divisibile per il numero 23.

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Cosa significa factoring? Come farlo? Cosa puoi imparare scomponendo un numero in fattori primi? Le risposte a queste domande sono illustrate con esempi specifici.

Definizioni:

Un numero che ha esattamente due divisori diversi si chiama primo.

Un numero che ha più di due divisori si dice composito.

Fattorizzare un numero naturale significa rappresentarlo come un prodotto di numeri naturali.

Fattorizzare un numero naturale in fattori primi significa rappresentarlo come un prodotto di numeri primi.

Appunti:

• Nella scomposizione di un numero primo uno dei fattori è uguale a uno e l'altro è uguale al numero stesso.
• Non ha senso parlare di unità di factoring.
• Un numero composto può essere scomposto in fattori, ciascuno dei quali è diverso da 1.

	Consideriamo il numero 150. Ad esempio, 150 è 15 volte 10. 15 è un numero composto. Può essere scomposto in fattori primi di 5 e 3. 10 è un numero composto. Può essere scomposto in fattori primi di 5 e 2. Scrivendo le loro scomposizioni in fattori primi invece che in 15 e 10, abbiamo ottenuto la scomposizione del numero 150.
	Il numero 150 può essere fattorizzato in un altro modo. Ad esempio, 150 è il prodotto dei numeri 5 e 30. 5 è un numero primo. 30 è un numero composto. Può essere pensato come il prodotto di 10 e 3. 10 è un numero composto. Può essere scomposto in fattori primi di 5 e 2. Abbiamo ottenuto la fattorizzazione di 150 in fattori primi in modo diverso.
	Nota che la prima e la seconda espansione sono le stesse. Differiscono solo nell'ordine dei fattori. È consuetudine scrivere i fattori in ordine crescente.
Ogni numero composto può essere scomposto in fattori primi in modo unico, a seconda dell'ordine dei fattori.

Quando si fattorizzano grandi numeri in fattori primi, utilizzare la notazione di colonna:

	Il più piccolo numero primo divisibile per 216 è 2. Dividi 216 per 2. Otteniamo 108.
	Il numero risultante 108 viene diviso per 2. Facciamo la divisione. Il risultato è 54.
	Secondo il test di divisibilità per 2, il numero 54 è divisibile per 2. Dopo aver diviso, otteniamo 27.
	Il numero 27 termina con la cifra dispari 7. Esso Non divisibile per 2. Il numero primo successivo è 3. Dividi 27 per 3. Otteniamo 9. Primo minimo Il numero per cui 9 è divisibile è 3. Tre è esso stesso un numero primo ed è divisibile per se stesso e per uno. Dividiamo 3 da soli. Alla fine ne abbiamo ottenuti 1.

• Un numero è divisibile solo per i numeri primi che fanno parte della sua scomposizione.
• Un numero è divisibile solo in quei numeri composti la cui scomposizione in fattori primi è interamente contenuta in esso.

Diamo un'occhiata agli esempi:

	4900 è divisibile per i numeri primi 2, 5 e 7 (sono inclusi nell'espansione del numero 4900), ma non è divisibile, ad esempio, per 13.
	11 550 75. Questo perché la scomposizione del numero 75 è completamente contenuta nella scomposizione del numero 11550. Il risultato della divisione sarà il prodotto dei fattori 2, 7 e 11. 11550 non è divisibile per 4 perché nell'espansione del quattro ce n'è un due in più.

Trova il quoziente della divisione del numero a per il numero b, se questi numeri vengono scomposti in fattori primi come segue: a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19; b=2∙2∙3∙3∙5∙19

	La scomposizione del numero b è tutta contenuta nella scomposizione del numero a.
	Il risultato della divisione a per b è il prodotto dei tre numeri rimanenti nell'espansione di a. Quindi la risposta è: 30.

Bibliografia

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Questo articolo fornisce le risposte alla domanda su come fattorizzare un numero su un foglio. Diamo un'occhiata all'idea generale di decomposizione con esempi. Analizziamo la forma canonica dell'espansione e il suo algoritmo. Verranno presi in considerazione tutti i metodi alternativi utilizzando segni di divisibilità e tabelline.

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Cosa significa scomporre un numero in fattori primi?

Consideriamo il concetto di fattori primi. È noto che ogni fattore primo è un numero primo. In un prodotto della forma 2 · 7 · 7 · 23 abbiamo che abbiamo 4 fattori primi nella forma 2, 7, 7, 23.

La fattorizzazione prevede la sua rappresentazione sotto forma di prodotti di numeri primi. Se dobbiamo scomporre il numero 30, otteniamo 2, 3, 5. La voce assumerà la forma 30 = 2 · 3 · 5. È possibile che i moltiplicatori si ripetano. Un numero come 144 ha 144 = 2 2 2 2 3 3.

Non tutti i numeri sono inclini a decadere. I numeri maggiori di 1 e interi possono essere fattorizzati. I numeri primi, se scomposti, sono divisibili solo per 1 e per se stessi, quindi è impossibile rappresentare questi numeri come un prodotto.

Quando z si riferisce a numeri interi, viene rappresentato come un prodotto di a e b, dove z è diviso per a e b. I numeri compositi vengono scomposti utilizzando il teorema fondamentale dell'aritmetica. Se il numero è maggiore di 1, allora la sua fattorizzazione p 1, p 2, ..., p n assume la forma a = p 1 , p 2 , … , p n . Si presuppone che la scomposizione avvenga in un'unica variante.

Fattorizzazione canonica di un numero in fattori primi

Durante l'espansione, i fattori possono essere ripetuti. Sono scritti in modo compatto utilizzando i gradi. Se, scomponendo il numero a, abbiamo un fattore p 1, che ricorre s 1 volte e così via p n – s n volte. Così l’espansione prenderà forma a=p 1 s 1 · a = p 1 s 1 · p 2 s 2 · … · p n s n. Questa voce è chiamata fattorizzazione canonica di un numero in fattori primi.

Espandendo il numero 609840, otteniamo che 609 840 = 2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, la sua forma canonica sarà 609 840 = 2 4 3 2 5 7 11 2. Usando l'espansione canonica, puoi trovare tutti i divisori di un numero e il loro numero.

Per fattorizzare correttamente è necessario conoscere i numeri primi e i numeri compositi. Lo scopo è ottenere un numero sequenziale di divisori della forma p 1, p 2, ..., p n numeri un , un 1 , un 2 , ... , un n - 1, questo rende possibile ottenere un = p1un1, dove a 1 = a: p 1 , a = p 1 · a 1 = p 1 · p 2 · a 2 , dove a 2 = a 1: p 2 , … , a = p 1 · p 2 · … · p n · una n , dove un n = un n - 1: p n. Al ricevimento un n = 1, quindi l'uguaglianza a = p 1 · p 2 · … · p n otteniamo la scomposizione richiesta del numero a in fattori primi. notare che p 1 ≤ p 2 ≤ p 3 ≤ … ≤ p n.

Per trovare i fattori meno comuni è necessario utilizzare la tabella dei numeri primi. Questo viene fatto usando l'esempio di trovare il più piccolo divisore primo del numero z. Quando si prendono i numeri primi 2, 3, 5, 11 e così via e si divide il numero z per essi. Poiché z non è un numero primo, occorre tenere presente che il più piccolo divisore primo non sarà maggiore di z. Si vede che non esistono divisori di z, quindi è chiaro che z è un numero primo.

Esempio 1

Diamo un'occhiata all'esempio del numero 87. Dividendolo per 2 si ottiene 87: 2 = 43 con resto 1. Ne consegue che 2 non può essere un divisore; la divisione deve essere fatta interamente. Se diviso per 3 otteniamo 87: 3 = 29. Quindi la conclusione è che 3 è il più piccolo divisore primo del numero 87.

Quando si fattorizza in fattori primi, è necessario utilizzare una tabella di numeri primi, dove a. Quando fattorizzi 95, dovresti usare circa 10 numeri primi, mentre quando fattorizzi 846653, circa 1000.

Consideriamo l'algoritmo di scomposizione in fattori primi:

• trovare il più piccolo fattore del divisore p 1 di un numero UN dalla formula a 1 = a: p 1, quando a 1 = 1, allora a è un numero primo ed è compreso nella fattorizzazione, quando non è uguale a 1, allora a = p 1 · a 1 e proseguire fino al punto sottostante;
• trovare il divisore primo p 2 di un numero a 1 enumerando sequenzialmente i numeri primi utilizzando a 2 = a 1: p 2 , quando un 2 = 1 , allora l'espansione assumerà la forma a = p 1 p 2 , quando a 2 = 1, allora a = p 1 p 2 a 2 , e passiamo allo step successivo;
• cercare tra i numeri primi e trovare un divisore primo pag 3 numeri un 2 secondo la formula a 3 = a 2: p 3 quando a 3 = 1 , allora otteniamo che a = p 1 p 2 p 3 , quando non è uguale a 1, allora a = p 1 p 2 p 3 a 3 e passare al passaggio successivo;
• si trova il primo divisore pn numeri un n-1 enumerando i numeri primi con pn - 1, E un n = un n - 1: p n, dove a n = 1, il passo è finale, di conseguenza otteniamo che a = p 1 · p 2 · … · p n .

Il risultato dell'algoritmo viene scritto sotto forma di tabella con i fattori scomposti con una barra verticale in sequenza in una colonna. Considera la figura seguente.

L'algoritmo risultante può essere applicato scomponendo i numeri in fattori primi.

Quando si fattorizza in fattori primi, è necessario seguire l'algoritmo di base.

Esempio 2

Fattorizza il numero 78 in fattori primi.

Soluzione

Per trovare il divisore primo più piccolo, devi esaminare tutti i numeri primi di 78. Questo è 78: 2 = 39. La divisione senza resto significa che questo è il primo divisore semplice, che denotiamo come p 1. Otteniamo che a 1 = a: p 1 = 78: 2 = 39. Siamo arrivati ​​a un'uguaglianza della forma a = p 1 · a 1 , dove 78 = 2 39. Quindi a 1 = 39, cioè dovremmo passare al passaggio successivo.

Concentriamoci sulla ricerca del divisore primo p2 numeri un 1 = 39. Dovresti passare attraverso i numeri primi, cioè 39: 2 = 19 (restante 1). Poiché la divisione con resto, 2 non è un divisore. Quando scegliamo il numero 3, otteniamo che 39: 3 = 13. Ciò significa che p 2 = 3 è il più piccolo divisore primo di 39 per a 2 = a 1: p 2 = 39: 3 = 13. Otteniamo un'uguaglianza della forma a = p1p2a2 nella forma 78 = 2 3 13. Abbiamo che a 2 = 13 non è uguale a 1, quindi dovremmo andare avanti.

Il più piccolo divisore primo del numero a 2 = 13 si trova cercando tra i numeri, iniziando da 3. Otteniamo 13: 3 = 4 (1 rimanente). Da ciò possiamo vedere che 13 non è divisibile per 5, 7, 11, perché 13: 5 = 2 (resto. 3), 13: 7 = 1 (resto. 6) e 13: 11 = 1 (resto. 2) . Si può vedere che 13 è un numero primo. Secondo la formula appare così: a 3 = a 2: p 3 = 13: 13 = 1. Abbiamo scoperto che a 3 = 1, che significa il completamento dell'algoritmo. Ora i fattori sono scritti come 78 = 2 · 3 · 13 (a = p 1 · p 2 · p 3) .

Risposta: 78 = 2 3 13.

Esempio 3

Fattorizza il numero 83.006 in fattori primi.

Soluzione

Il primo passo prevede il factoring p1 = 2 E a1 = a: p1 = 83.006: 2 = 41.503, dove 83.006 = 2 · 41.503.

Il secondo passaggio presuppone che 2, 3 e 5 non siano divisori primi del numero a 1 = 41.503, ma 7 sia un divisore primo, perché 41.503: 7 = 5.929. Otteniamo che p 2 = 7, a 2 = a 1: p 2 = 41.503: 7 = 5.929. Ovviamente, 83.006 = 2 7 5 929.

Trovare il più piccolo divisore primo di p 4 del numero a 3 = 847 è 7. Si vede che a 4 = a 3: p 4 = 847: 7 = 121, quindi 83 006 = 2 7 7 7 121.

Per trovare il divisore primo del numero a 4 = 121, usiamo il numero 11, cioè p 5 = 11. Quindi otteniamo un'espressione della forma a5 = a4: p5 = 121: 11 = 11 e 83.006 = 2 7 7 7 11 11.

Per numero un 5 = 11 numero p 6 = 11è il più piccolo divisore primo. Quindi a 6 = a 5: p 6 = 11: 11 = 1. Quindi un 6 = 1. Ciò indica il completamento dell'algoritmo. I fattori verranno scritti come 83 006 = 2 · 7 · 7 · 7 · 11 · 11.

La notazione canonica della risposta assumerà la forma 83 006 = 2 · 7 3 · 11 2.

Risposta: 83 006 = 2 7 7 7 11 11 = 2 7 3 11 2.

Esempio 4

Fattorizza il numero 897.924.289.

Soluzione

Per trovare il primo fattore primo, cerca tra i numeri primi, iniziando da 2. La fine della ricerca avviene al numero 937. Allora p 1 = 937, a 1 = a: p 1 = 897 924 289: 937 = 958 297 e 897 924 289 = 937 958 297.

Il secondo passo dell'algoritmo consiste nell'iterare sui numeri primi più piccoli. Cioè, iniziamo con il numero 937. Il numero 967 può essere considerato primo perché è un divisore primo del numero a 1 = 958.297. Da qui otteniamo che p 2 = 967, quindi a 2 = a 1: p 1 = 958 297: 967 = 991 e 897 924 289 = 937 967 991.

Il terzo passo dice che 991 è un numero primo, poiché non ha un solo fattore primo che non superi 991. Il valore approssimativo dell'espressione radicale è 991< 40 2 . Иначе запишем как 991 < 40 2 . Ciò dimostra che p 3 = 991 e a 3 = a 2: p 3 = 991: 991 = 1. Troviamo che la scomposizione del numero 897 924 289 in fattori primi si ottiene come 897 924 289 = 937 967 991.

Risposta: 897 924 289 = 937 967 991.

Utilizzo dei test di divisibilità per la scomposizione in fattori primi

Per scomporre un numero in fattori primi è necessario seguire un algoritmo. Quando ci sono numeri piccoli, è consentito utilizzare la tavola pitagorica e i segni di divisibilità. Diamo un'occhiata a questo con degli esempi.

Esempio 5

Se è necessario fattorizzare 10, la tabella mostra: 2 · 5 = 10. I numeri risultanti 2 e 5 sono numeri primi, quindi sono fattori primi del numero 10.

Esempio 6

Se è necessario scomporre il numero 48, la tabella mostra: 48 = 6 8. Ma 6 e 8 non sono fattori primi, poiché possono anche essere espansi come 6 = 2 3 e 8 = 2 4. Quindi lo sviluppo completo da qui si ottiene come 48 = 6 8 = 2 3 2 4. La notazione canonica assumerà la forma 48 = 2 4 · 3.

Esempio 7

Quando scomponi il numero 3400, puoi usare i segni di divisibilità. In questo caso sono rilevanti i segni di divisibilità per 10 e 100. Da qui otteniamo che 3.400 = 34 · 100, dove 100 può essere diviso per 10, cioè scritto come 100 = 10 · 10, il che significa che 3.400 = 34 · 10 · 10. Basandoci sul test di divisibilità, troviamo che 3 400 = 34 10 10 = 2 17 2 5 2 5. Tutti i fattori sono primi. Prende forma l'espansione canonica 3 400 = 2 3 5 2 17.

Quando troviamo i fattori primi, dobbiamo utilizzare i test di divisibilità e le tabelle di moltiplicazione. Se immagini il numero 75 come un prodotto di fattori, devi tenere conto della regola della divisibilità per 5. Otteniamo che 75 = 5 15 e 15 = 3 5. Cioè, l'espansione desiderata è un esempio della forma del prodotto 75 = 5 · 3 · 5.

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Qualsiasi numero composto può essere scomposto in fattori primi. Possono esserci diversi metodi di decomposizione. Entrambi i metodi producono lo stesso risultato.

Come scomporre maggiormente un numero in fattori primi in modo conveniente? Diamo un'occhiata al modo migliore per farlo utilizzando esempi specifici.

Esempi. 1) Fattorizzare il numero 1400 in fattori primi.

1400 è divisibile per 2. 2 è un numero primo, non è necessario scomporlo in fattori. Otteniamo 700. Dividiamo per 2. Otteniamo 350. Dividiamo anche 350 per 2. Il numero risultante 175 può essere diviso per 5. Il risultato è 35 - dividere nuovamente per 5. Totale - 7. Può essere diviso solo per 7. Otteniamo 1, divisione finita.

Lo stesso numero può essere fattorizzato diversamente:

È conveniente dividere 1400 per 10. 10 non è un numero primo, quindi deve essere scomposto in fattori primi: 10=2∙5. Il risultato è 140. Lo dividiamo nuovamente per 10=2∙5. Otteniamo 14. Se 14 viene diviso per 14, allora dovrebbe anche essere scomposto in un prodotto di fattori primi: 14=2∙7.

Pertanto, siamo nuovamente arrivati ​​alla stessa decomposizione del primo caso, ma più velocemente.

Conclusione: quando si scompone un numero non è necessario dividerlo solo in fattori primi. Dividiamo per ciò che è più conveniente, ad esempio per 10. Basta ricordarsi di scomporre i divisori composti in fattori semplici.

2) Fattorizzare il numero 1620 in fattori primi.

Il modo più conveniente per dividere il numero 1620 è per 10. Poiché 10 non è un numero primo, lo rappresentiamo come prodotto di fattori primi: 10=2∙5. Abbiamo ottenuto 162. È conveniente dividerlo per 2. Il risultato è 81. Il numero 81 può essere diviso per 3, ma per 9 è più conveniente. Dato che 9 non è un numero primo, lo espandiamo come 9=3∙3. Otteniamo 9. Lo dividiamo anche per 9 e lo espandiamo nel prodotto di fattori primi.