Trova il tasso di incremento massimo della funzione. Come trovare il gradiente di una funzione

Pendenza funzioniè una grandezza vettoriale, il cui risultato è associato alla definizione di derivate parziali della funzione. La direzione del gradiente indica il percorso della crescita più rapida della funzione da un punto all'altro del campo scalare.

Istruzione

1. Per risolvere il problema sul gradiente di una funzione si utilizzano metodi di calcolo differenziale, ovvero trovare derivate parziali del primo ordine in tre variabili. Si assume che la funzione stessa e tutte le sue derivate parziali abbiano la proprietà di continuità nel dominio della funzione.

2. Un gradiente è un vettore la cui direzione indica la direzione dell'aumento più rapido nella funzione F. Per questo, sul grafico vengono selezionati due punti M0 e M1, che sono le estremità del vettore. Il valore del gradiente è uguale alla velocità di incremento della funzione dal punto M0 al punto M1.

3. La funzione è differenziabile in tutti i punti di questo vettore, quindi le proiezioni del vettore sugli assi delle coordinate sono tutte le sue derivate parziali. Quindi la formula del gradiente è simile a questa: grad = (?F/?x) i + (?F/?y) j + (?F/?z) k, dove i, j, k sono le coordinate del vettore unitario. In altre parole, il gradiente di una funzione è un vettore le cui coordinate sono le sue derivate parziali grad F = (?F/?х, ?F/?y, ?F/?z).

4. Esempio 1. Sia data la funzione F = sin (x z?) / y. È necessario trovare il suo gradiente nel punto (?/6, 1/4, 1).

5. Soluzione Determina le derivate parziali rispetto a qualsiasi variabile: F'_x \u003d 1 / y cos (x z?) z?; F'_y \u003d sin (x z?) (-1) 1 / (y?); F '_z \u003d 1/y cos(x z?) 2 x z.

6. Sostituisci le famose coordinate del punto: F'_x = 4 cos(?/6) = 2 ?3; F'_y = sin(?/6) (-1) 16 = -8; F'_z \u003d 4 cos (? / 6) 2? / 6 \u003d 2? /? 3.

7. Applicare la formula del gradiente di funzione: grad F = 2 ?3 i – 8 j + 2 ?/?3 k.

8. Esempio 2. Trova le coordinate del gradiente della funzione F = y arñtg (z / x) nel punto (1, 2, 1).

9. Soluzione F'_x \u003d 0 arctg (z / x) + y (arctg (z / x)) '_x \u003d y 1 / (1 + (z / x)?) (-z / x?) \u003d -y z / (x? (1 + (z/x)?)) = -1;F'_y = 1 arctg(z/x) = arctg 1 = ?/4;F'_z = 0 arctg(z/x ) + y (arctg(z/x))'_z = y 1/(1 + (z/x)?) 1/x = y/(x (1 + (z/x)?)) = 1.grad = (- 1, ?/4, 1).

Il gradiente di campo scalare è una grandezza vettoriale. Pertanto, per trovarlo, è necessario determinare tutte le componenti del vettore corrispondente, in base alla conoscenza della divisione del campo scalare.

Istruzione

1. Leggi in un libro di testo di matematica superiore qual è il gradiente di un campo scalare. Come sapete, questa quantità vettoriale ha una direzione caratterizzata dal massimo tasso di decadimento della funzione scalare. Tale senso di una data quantità vettoriale è giustificato da un'espressione per determinarne i componenti.

2. Ricorda che ogni vettore è definito dai valori dei suoi componenti. I componenti del vettore sono in realtà proiezioni di questo vettore sull'uno o sull'altro asse delle coordinate. Pertanto, se si considera lo spazio tridimensionale, il vettore deve avere tre componenti.

3. Scrivi come vengono determinate le componenti di un vettore che è il gradiente di un campo. Tutte le coordinate di tale vettore sono uguali alla derivata del potenziale scalare rispetto alla variabile di cui si sta calcolando la coordinata. Cioè, se devi calcolare la componente "x" del vettore del gradiente di campo, devi differenziare la funzione scalare rispetto alla variabile "x". Si noti che la derivata deve essere quoziente. Ciò significa che nel differenziare, le restanti variabili che non vi partecipano devono essere considerate costanti.

4. Scrivi un'espressione per il campo scalare. Come sapete, questo termine indica ciascuno solo una funzione scalare di più variabili, che sono anche quantità scalari. Il numero di variabili di una funzione scalare è limitato dalla dimensione dello spazio.

5. Differenziare separatamente la funzione scalare rispetto a ciascuna variabile. Di conseguenza, avrai tre nuove funzioni. Scrivi una qualsiasi funzione nell'espressione per il vettore gradiente del campo scalare. Qualsiasi delle funzioni ottenute è in realtà un indicatore per un vettore unitario di una data coordinata. Pertanto, il vettore del gradiente finale dovrebbe apparire come un polinomio con esponenti come derivati ​​di una funzione.

Quando si considerano problemi che coinvolgono la rappresentazione di un gradiente, è più comune pensare a ciascuno come a un campo scalare. Pertanto, è necessario introdurre la notazione appropriata.

Avrai bisogno

• - boom;
• - una penna.

Istruzione

1. Sia data la funzione da tre argomenti u=f(x, y, z). La derivata parziale di una funzione, ad esempio rispetto a x, è definita come la derivata rispetto a questo argomento, ottenuta fissando i restanti argomenti. Gli altri argomenti sono simili. La notazione derivata parziale è scritta come: df / dx \u003d u'x ...

2. Il differenziale totale sarà uguale a du \u003d (df / dx) dx + (df / dy) dy + (df / dz) dz Le derivate parziali possono essere intese come derivate nelle direzioni degli assi delle coordinate. Di conseguenza, sorge il problema di trovare la derivata rispetto alla direzione di un dato vettore s nel punto M(x, y, z) (non dimenticare che la direzione s specifica un vettore unitario-ort s^o). In questo caso, il vettore differenziale degli argomenti è (dx, dy, dz)=(dscos(alpha), dscos(beta), dscos(gamma)).

3. Considerando la forma del differenziale totale du, si può concludere che la derivata rispetto alla direzione s nel punto M è: (du/ds)|M=((df/dx)|M)cos(alpha) + ((df/dy) |M) cos(beta) +((df/dz)|M) cos(gamma). Se s= s(sx,sy,sz), allora direzione coseni (cos(alpha), vengono calcolati cos(beta), cos(gamma)) (vedi Fig. 1a).

4. La definizione della derivata in direzione, considerando il punto M come una variabile, può essere riscritta come prodotto scalare: (du/ds)=((df/dx, df/dy,df/dz), (cos(alpha) , cos(beta), cos (gamma)))=(grad u, s^o). Questa espressione sarà oggettiva per un campo scalare. Se consideriamo una funzione facile, allora gradf è un vettore avente coordinate coincidenti con le derivate parziali f(x, y, z).gradf(x,y,z)=((df/dx, df/dy, df/ dz) )=)=(df/dx)i+(df/d)j +(df/dz)k. Qui (i, j, k) sono i vettori unitari degli assi delle coordinate in un sistema di coordinate cartesiane rettangolari.

5. Se utilizziamo l'operatore vettore differenziale di Hamilton Nabla, allora gradf può essere scritto come la moltiplicazione di questo vettore operatore per lo scalare f (vedi Fig. 1b). Dal punto di vista della connessione di gradf con la derivata direzionale, l'uguaglianza (gradf, s^o)=0 è ammissibile se questi vettori sono ortogonali. Di conseguenza, gradf è spesso definito come la direzione della metamorfosi più veloce di un campo scalare. E dal punto di vista delle operazioni differenziali (gradf è una di queste), le proprietà di gradf ripetono esattamente le proprietà di differenziazione delle funzioni. In particolare, se f=uv, allora gradf=(vgradu+ugradv).

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Pendenza questo è uno strumento che negli editor grafici riempie la silhouette con una transizione graduale da un colore all'altro. Pendenza può dare a una silhouette il risultato del volume, simulare l'illuminazione, i riflessi della luce sulla superficie di un oggetto o il risultato di un tramonto sullo sfondo di una fotografia. Questo strumento ha un ampio utilizzo, quindi, per elaborare fotografie o creare illustrazioni, è molto importante imparare ad usarlo.

Avrai bisogno

• Computer, editor grafico Adobe Photoshop, Corel Draw, Paint.Net o altro.

Istruzione

1. Apri l'immagine nel programma o creane una nuova. Crea una silhouette o seleziona l'area desiderata sull'immagine.

2. Attiva lo strumento Gradiente sulla barra degli strumenti dell'editor grafico. Posiziona il cursore del mouse su un punto all'interno dell'area o sagoma selezionata, dove inizierà il primo colore della sfumatura. Fare clic e tenere premuto il pulsante sinistro del mouse. Sposta il cursore nel punto in cui il gradiente dovrebbe passare al colore finale. Rilascia il pulsante sinistro del mouse. La silhouette selezionata verrà riempita con un riempimento sfumato.

3. Pendenza y è possibile impostare la trasparenza, i colori e il loro rapporto in un determinato punto di riempimento. Per fare ciò, apri la finestra Modifica sfumatura. Per aprire la finestra di modifica in Photoshop, fai clic sull'esempio di sfumatura nel pannello Opzioni.

4. Nella finestra che si apre, le opzioni di riempimento sfumatura disponibili vengono visualizzate come esempi. Per modificare una delle opzioni, selezionala con un clic del mouse.

5. Un esempio di sfumatura viene visualizzato nella parte inferiore della finestra sotto forma di un'ampia scala con cursori. I cursori indicano i punti in cui il gradiente dovrebbe avere le regole di confronto specificate e, nell'intervallo tra i cursori, il colore passa in modo uniforme da quello specificato nel primo punto al colore del 2° punto.

6. I cursori situati nella parte superiore della scala impostano la trasparenza del gradiente. Per modificare la trasparenza, fare clic sul dispositivo di scorrimento desiderato. Apparirà un campo sotto la scala, in cui inserire il grado di trasparenza richiesto in percentuale.

7. I cursori nella parte inferiore della scala impostano i colori del gradiente. Cliccando su uno di essi, potrai preferire il colore desiderato.

8. Pendenza può avere più colori di transizione. Per impostare un altro colore, fare clic su uno spazio vuoto nella parte inferiore della scala. Apparirà un altro dispositivo di scorrimento. Imposta il colore desiderato per esso. La scala visualizzerà un esempio di gradiente con un punto in più. È possibile spostare i cursori tenendoli premuti con il supporto del tasto sinistro del mouse in modo da ottenere la combinazione desiderata.

9. Pendenza Esistono diversi tipi che possono dare forma a sagome piatte. Diciamo che per dare a un cerchio la forma di una palla viene applicato un gradiente radiale e per dare la forma di un cono viene applicato un gradiente conico. È possibile utilizzare una sfumatura speculare per dare alla superficie l'illusione di un rigonfiamento e una sfumatura a diamante può essere utilizzata per creare punti salienti.

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Se in ogni punto dello spazio o parte dello spazio è definito il valore di una certa quantità, allora si dice che il campo di tale quantità è dato. Il campo è detto scalare se il valore considerato è scalare, cioè ben caratterizzato dal suo valore numerico. Ad esempio, il campo della temperatura. Il campo scalare è dato dalla funzione scalare del punto u = /(M). Se un sistema di coordinate cartesiane viene introdotto nello spazio, allora esiste una funzione di tre variabili x, yt z - le coordinate del punto M: Definizione. La superficie piana di un campo scalare è l'insieme di punti in cui la funzione f(M) assume lo stesso valore. Equazione della superficie di livello Esempio 1. Trova le superfici di livello di un campo scalare ANALISI VETTORIALE Campo scalare Superfici di livello e linee di livello Derivata direzionale Derivata Gradiente di un campo scalare Proprietà di base del gradiente Invariante Definizione di un gradiente Regole per il calcolo di un gradiente -4 Per definizione, un livello sarà l'equazione di superficie. Questa è l'equazione di una sfera (con Ф 0) centrata nell'origine. Un campo scalare si dice piatto se il campo è lo stesso in tutti i piani paralleli a qualche piano. Se il piano indicato viene preso come piano xOy, la funzione di campo non dipenderà dalla coordinata z, ovvero sarà una funzione solo degli argomenti xey e anche del significato. Equazione della linea di livello - Esempio 2. Trova le linee di livello di un campo scalare Le linee di livello sono date da equazioni A c = 0, otteniamo una coppia di linee, otteniamo una famiglia di iperboli (Fig. 1). 1.1. Derivata direzionale Sia un campo scalare definito da una funzione scalare u = /(Af). Prendiamo il punto Afo e scegliamo la direzione determinata dal vettore I. Prendiamo un altro punto M in modo che il vettore M0M sia parallelo al vettore 1 (Fig. 2). Indichiamo la lunghezza del vettore MoM con A/, e l'incremento della funzione /(Af) - /(Afo), corrispondente allo spostamento D1, di Di. Il rapporto determina la velocità media di variazione del campo scalare per unità di lunghezza nella direzione data.Tendiamo ora a zero in modo che il vettore М0М rimanga sempre parallelo al vettore I. Definizione. Se per D/O esiste un limite finito della relazione (5), allora si dice derivata della funzione in un dato punto Afo alla direzione data I ed è indicata dal simbolo zr!^. Quindi, per definizione, questa definizione non è correlata alla scelta del sistema di coordinate, cioè ha un carattere **variante. Troviamo un'espressione per la derivata rispetto alla direzione nel sistema di coordinate cartesiane. Lascia che la funzione / sia differenziabile in un punto. Considera il valore /(Af) in un punto. Quindi l'incremento totale della funzione può essere scritto nella forma seguente: dove e i simboli significano che le derivate parziali sono calcolate nel punto Afo. Quindi Qui le quantità jfi, ^ sono i coseni di direzione del vettore. Poiché i vettori MoM e I sono co-diretti, i loro coseni di direzione sono gli stessi: derivate, sono derivate della funzione e lungo le direzioni degli assi coordinati con l'esterno nno- Esempio 3. Trova la derivata della funzione verso il punto Il vettore ha una lunghezza. I suoi coseni di direzione: Con la formula (9) avremo Il fatto che, significa che il campo scalare in un punto in una data direzione di età- Per un campo piatto, la derivata nella direzione I in un punto è calcolata dalla formula dove a è l'angolo formato dal vettore I con l'asse Oh. Zmmchmm 2. La formula (9) per calcolare la derivata lungo la direzione I in un dato punto Afo resta in vigore anche quando il punto M tende al punto Mo lungo una curva per cui il vettore I è tangente al punto PrISp 4. Calcola la derivata del campo scalare nel punto Afo(l, 1). appartenente ad una parabola nel senso di questa curva (nel senso dell'ascissa crescente). La direzione ] di una parabola in un punto è la direzione della tangente alla parabola in questo punto (Fig. 3). Lascia che la tangente alla parabola nel punto Afo formi un angolo o con l'asse Ox. Quindi da dove dirigere i coseni di una tangente Calcoliamo i valori e in un punto. Abbiamo Ora dalla formula (10) che otteniamo. Trova la derivata del campo scalare in un punto nella direzione del cerchio L'equazione vettoriale del cerchio ha la forma. Troviamo il vettore unitario m della tangente alla circonferenza, il punto corrisponde al valore del parametro. Gradiente di campo scalare Lascia che un campo scalare sia definito da una funzione scalare che si presume sia derivabile. Definizione. Il gradiente di un campo scalare » in un dato punto M è un vettore indicato dal simbolo grad e definito dall'uguaglianza È chiaro che questo vettore dipende sia dalla funzione / sia dal punto M in cui viene calcolata la sua derivata. Sia 1 un vettore unitario nella direzione Allora la formula per la derivata direzionale può essere scritta come segue: . quindi, la derivata della funzione u lungo la direzione 1 è uguale al prodotto scalare del gradiente della funzione u(M) e del vettore unitario 1° della direzione I. 2.1. Proprietà di base del teorema del gradiente 1. Il gradiente di campo scalare è perpendicolare alla superficie piana (o alla linea di livello se il campo è piatto). (2) Tracciamo una superficie piana u = const per un punto arbitrario M e scegliamo una curva liscia L su questa superficie passante per il punto M (Fig. 4). Sia I un vettore tangente alla curva L nel punto M. Poiché sulla superficie piana u(M) = u(M|) per ogni punto Mj ∈ L, allora D'altra parte, = (gradu, 1°) . Ecco perchè. Ciò significa che i vettori grad e e 1° sono ortogonali, quindi il vettore grad e è ortogonale a qualsiasi tangente alla superficie piana nel punto M. Pertanto, è ortogonale alla superficie piana stessa nel punto M. Teorema 2 Il gradiente è diretto nella direzione della funzione di campo crescente. In precedenza abbiamo dimostrato che il gradiente del campo scalare è diretto lungo la normale alla superficie piana, che può essere orientata o verso l'aumento della funzione u(M) o verso la sua diminuzione. Indichiamo con n la normale della superficie piana orientata nella direzione della funzione crescente ti(M), e troviamo la derivata della funzione u nella direzione di questa normale (Fig. 5). Abbiamo Poiché secondo la condizione di Fig. 5 e quindi ANALISI VETTORIALE Campo scalare Superfici e linee di livello Derivata in direzione Derivata Gradiente di un campo scalare Proprietà di base del gradiente Definizione invariante del gradiente Regole per il calcolo del gradiente Ne consegue che grad e è diretta nella stessa direzione di quella in cui abbiamo scelto la normale n, cioè nella direzione della funzione crescente u(M). Teorema 3. La lunghezza del gradiente è uguale alla derivata più grande rispetto alla direzione in un dato punto del campo, (qui, max $ è preso in tutte le direzioni possibili in un dato punto M al punto). Abbiamo dove è l'angolo tra i vettori 1 e grad n. Poiché il valore più grande è l'Esempio 1. Trova la direzione del campo scalare più grande e assoluto nel punto e anche l'entità di questo cambiamento più grande nel punto specificato. La direzione del maggior cambiamento nel campo scalare è indicata da un vettore. Abbiamo così Questo vettore determina la direzione del maggiore aumento del campo fino a un punto. Il valore della più grande variazione nel campo a questo punto è 2,2. Definizione invariante del gradiente Le grandezze che caratterizzano le proprietà dell'oggetto in studio e non dipendono dalla scelta del sistema di coordinate sono dette invarianti dell'oggetto dato. Ad esempio, la lunghezza di una curva è un'invariante di questa curva, ma l'angolo della tangente alla curva con l'asse x non è un invariante. Sulla base delle tre proprietà precedenti del gradiente di campo scalare, possiamo dare la seguente definizione invariante del gradiente. Definizione. Il gradiente di campo scalare è un vettore diretto lungo la normale alla superficie piana nella direzione della funzione di campo crescente e avente una lunghezza uguale alla derivata direzionale più grande (in un dato punto). Sia un vettore normale unitario diretto nella direzione del campo crescente. Quindi Esempio 2. Trova il gradiente di distanza - un punto fisso e M(x,y,z) - quello corrente. 4 Abbiamo dove è il vettore di direzione dell'unità. Regole per il calcolo del gradiente dove c è un numero costante. Le formule di cui sopra si ottengono direttamente dalla definizione del gradiente e dalle proprietà delle derivate. Per la regola di differenziazione del prodotto La dimostrazione è simile alla dimostrazione della proprietà Sia F(u) una funzione scalare differenziabile. Allora 4 Per la definizione del gradiente, abbiamo Applica a tutti i termini sul lato destro la regola di differenziazione di una funzione complessa. Otteniamo In particolare, la Formula (6) segue dal piano della formula a due punti fissi di questo piano. Considera un'ellisse arbitraria con fuochi Fj e F] e dimostra che qualsiasi raggio di luce che emerge da un fuoco dell'ellisse, dopo la riflessione dall'ellisse, entra nell'altro fuoco. Le linee di livello della funzione (7) sono ANALISI VETTORIALE Campo scalare Superfici e linee di livello Derivata direzionale Derivata gradiente di campo scalare Proprietà di base del gradiente Definizione invariante del gradiente Regole di calcolo del gradiente Le equazioni (8) descrivono una famiglia di ellissi con fuochi nei punti F ) e Fj. Secondo il risultato dell'Esempio 2, abbiamo e vettori di raggio. tratto dal punto P(x, y) dai fuochi F| e Fj, e quindi giace sulla bisettrice dell'angolo tra questi raggi vettori (Fig. 6). Secondo Tooromo 1, il gradiente PQ è perpendicolare all'ellisse (8) nel punto. Pertanto, Fig.6. la normale all'ellisse (8) in qualsiasi punto biseca l'angolo tra i vettori raggio disegnati fino a questo punto. Da qui e dal fatto che l'angolo di incidenza è uguale all'angolo di riflessione, otteniamo: un raggio di luce che esce da un fuoco dell'ellisse, riflesso da esso, cadrà sicuramente nell'altro fuoco di questa ellisse.