Modellazione di sistemi dinamici (metodo di Lagrange e approccio del grafo di Bond). Metodo dei moltiplicatori di Lagrange

Metodo del moltiplicatoreLagrangiano(nella letteratura inglese “metodo dei moltiplicatori indeterminati di LaGrange”) ˗ è un metodo numerico per la risoluzione di problemi di ottimizzazione che consente di determinare l'estremo “condizionato” della funzione obiettivo (valore minimo o massimo)

in presenza di restrizioni specificate sulle sue variabili sotto forma di uguaglianze (ovvero, viene definito l'intervallo di valori consentiti)

˗ questi sono i valori dell'argomento della funzione (parametri controllabili) nel dominio reale in cui il valore della funzione tende ad un estremo. L'uso del nome estremo “condizionale” è dovuto al fatto che alle variabili viene imposta una condizione aggiuntiva, che limita l'intervallo di valori consentiti durante la ricerca dell'estremo della funzione.

Il metodo del moltiplicatore di Lagrange consente di trasformare il problema della ricerca di un estremo condizionale di una funzione obiettivo su un insieme di valori ammissibili nel problema dell'ottimizzazione incondizionata di una funzione.

Nel caso in cui le funzioni E sono continue insieme alle loro derivate parziali, allora esistono variabili λ che non sono contemporaneamente uguali a zero, sotto le quali è soddisfatta la seguente condizione:

Pertanto, secondo il metodo del moltiplicatore di Lagrange, per trovare l'estremo della funzione obiettivo sull'insieme dei valori ammissibili, compongo la funzione di Lagrange L(x, λ), che è ulteriormente ottimizzata:

dove λ ˗ è un vettore di variabili aggiuntive chiamate moltiplicatori di Lagrange indeterminati.

Pertanto, il problema di trovare l'estremo condizionale della funzione f(x) è stato ridotto al problema di trovare l'estremo incondizionato della funzione L(x, λ).

E

La condizione necessaria per l'estremo della funzione di Lagrange è data da un sistema di equazioni (il sistema è composto da “n + m” equazioni):

Risolvere questo sistema di equazioni ci consente di determinare gli argomenti della funzione (X) in cui il valore della funzione L(x, λ), così come il valore della funzione obiettivo f(x) corrispondono all'estremo.

L'entità dei moltiplicatori di Lagrange (λ) è di interesse pratico se i vincoli sono presentati nella forma con un termine libero nell'equazione (costante). In questo caso, possiamo considerare ulteriormente (aumentare/diminuire) il valore della funzione obiettivo modificando il valore della costante nel sistema di equazioni. Pertanto, il moltiplicatore di Lagrange caratterizza il tasso di variazione del massimo della funzione obiettivo quando cambia la costante limitante.

Esistono diversi modi per determinare la natura dell'estremo della funzione risultante:

Primo metodo: siano le coordinate del punto estremo e il valore corrispondente della funzione obiettivo. Viene preso un punto vicino al punto e viene calcolato il valore della funzione obiettivo:

Se , allora c'è un massimo in quel punto.

Se , allora c'è un minimo nel punto.

Secondo metodo: una condizione sufficiente da cui si può determinare la natura dell'estremo è il segno del secondo differenziale della funzione Lagrange. Il secondo differenziale della funzione Lagrange è definito come segue:

Se ad un certo punto minimo, Se , allora la funzione obiettivo f(x) ha un condizionale massimo.

Terzo metodo: inoltre, la natura dell'estremo della funzione può essere determinata considerando l'Assia della funzione Lagrange. La matrice Hessiana è una matrice quadrata simmetrica di derivate parziali seconde di una funzione nel punto in cui gli elementi della matrice sono simmetrici rispetto alla diagonale principale.

Per determinare il tipo di estremo (massimo o minimo di una funzione), puoi utilizzare la regola di Sylvester:

1. Affinché il secondo differenziale della funzione Lagrange sia di segno positivo è necessario che i minori angolari della funzione siano positivi. In tali condizioni, la funzione a questo punto ha un minimo.

2. Affinché il secondo differenziale della funzione Lagrange abbia segno negativo , è necessario che i minori angolari della funzione si alternino, e il primo elemento della matrice deve essere negativov. In tali condizioni, la funzione a questo punto ha un massimo.

Per minore angolare si intende il minore situato nelle prime k righe e k colonne della matrice originaria.

Il principale significato pratico del metodo Lagrange è che consente di passare dall'ottimizzazione condizionale all'ottimizzazione incondizionata e, di conseguenza, espandere l'arsenale di metodi disponibili per risolvere il problema. Tuttavia, il problema di risolvere il sistema di equazioni a cui questo metodo si riduce non è, nel caso generale, più semplice del problema originale di trovare un estremo. Tali metodi sono chiamati indiretti. Il loro utilizzo è spiegato dalla necessità di ottenere una soluzione a un problema estremo in forma analitica (ad esempio per alcuni calcoli teorici). Quando si risolvono problemi pratici specifici, vengono solitamente utilizzati metodi diretti, basati su processi iterativi di calcolo e confronto dei valori delle funzioni da ottimizzare.

Metodo di calcolo

1 passo: Determiniamo la funzione di Lagrange dalla funzione obiettivo data e dal sistema di vincoli:

Inoltrare

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Argomento dell'articolo:	Metodo di Lagrange.
Rubrica (categoria tematica)	Matematica

Trovare un polinomio significa determinare i valori del suo coefficiente . Per fare ciò, utilizzando la condizione di interpolazione, è possibile formare un sistema di equazioni algebriche lineari (SLAE).

Il determinante di questo SLAE è solitamente chiamato determinante di Vandermonde. Il determinante Vandermonde non è uguale a zero per for , cioè nel caso in cui non ci siano nodi corrispondenti nella tabella di ricerca. Tuttavia, si può sostenere che la SLAE ha una soluzione e questa soluzione è unica. Dopo aver risolto lo SLAE e determinato i coefficienti sconosciuti puoi costruire un polinomio di interpolazione.

Un polinomio che soddisfa le condizioni di interpolazione, quando interpolato con il metodo Lagrange, viene costruito sotto forma di una combinazione lineare di polinomi di grado ennesimo:

Di solito vengono chiamati polinomi di base polinomi. In modo da Polinomio di Lagrange soddisfa le condizioni di interpolazione, è estremamente importante che le seguenti condizioni siano soddisfatte per i suoi polinomi di base:

Per .

Se queste condizioni sono soddisfatte, allora per ognuna abbiamo:

Inoltre l'adempimento delle condizioni specificate per i polinomi di base significa che sono soddisfatte anche le condizioni di interpolazione.

Determiniamo il tipo di polinomi di base in base alle restrizioni loro imposte.

1a condizione: A .

2a condizione: .

Infine, per il polinomio base possiamo scrivere:

Quindi, sostituendo l'espressione risultante per i polinomi di base nel polinomio originale, otteniamo la forma finale del polinomio di Lagrange:

Una forma particolare del polinomio di Lagrange è solitamente chiamata formula di interpolazione lineare:

.

Il polinomio di Lagrange preso in esame è solitamente chiamato formula di interpolazione quadratica:

Metodo di Lagrange. - concetto e tipologie. Classificazione e caratteristiche della categoria "Metodo di Lagrange". 2017, 2018.

- Metodo di Lagrange (metodo di variazione di una costante arbitraria).

Telecomandi lineari. Definizione. Tipo DU, ad es. lineare rispetto ad una funzione incognita e la sua derivata si dice lineare. Per una soluzione di questo tipo considereremo due metodi: il metodo di Lagrange e il metodo di Bernoulli. Consideriamo un'equazione differenziale omogenea. Questa equazione è a variabili separabili. La soluzione dell'equazione è Generale... .

- Sistemi di controllo lineare, omogenei ed eterogenei. Il concetto di decisione generale. Metodo di Lagrange per la variazione delle costanti di produzione.

Definizione. Un sistema di controllo si dice omogeneo se la funzione può essere rappresentata come la relazione tra i suoi argomenti. La f-esima è detta misura f-esima omogenea se Esempi: 1) - 1° ordine di omogeneità. 2) - 2° ordine di omogeneità. 3) - ordine zero di omogeneità (semplicemente omogeneo... .

- Lezione 8. Applicazione delle derivate parziali: problemi estremi. Metodo di Lagrange.

I problemi estremi sono di grande importanza nei calcoli economici. Si tratta del calcolo, ad esempio, del reddito massimo, del profitto, dei costi minimi in funzione di più variabili: risorse, assetti produttivi, ecc. La teoria della ricerca degli estremi delle funzioni... .

- T.2.3. DE di ordini superiori. Equazione in differenziali totali. T.2.4. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti. Metodo di Lagrange.

3. 2. 1. DE con variabili separabili S.R. 3. Nelle scienze naturali, nella tecnologia e nell’economia spesso si ha a che fare con formule empiriche, cioè formule compilate sulla base dell'elaborazione di dati statistici o...

Il metodo per determinare un estremo condizionale inizia con la costruzione di una funzione Lagrange ausiliaria, che nella regione delle soluzioni ammissibili raggiunge un massimo per gli stessi valori delle variabili X 1 , X 2 , ..., X N , che è la stessa della funzione obiettivo z . Si risolva il problema di determinare l'estremo condizionale della funzione z = f(X) sotto restrizioni φ io ( X 1 , X 2 , ..., X N ) = 0, io = 1, 2, ..., M , M < N

Componiamo una funzione

che è chiamato Funzione lagrangiana. X , - fattori costanti ( Moltiplicatori di Lagrange). Si noti che ai moltiplicatori di Lagrange può essere attribuito un significato economico. Se f(x 1 , X 2 , ..., X N ) - reddito coerente con il piano X = (x 1 , X 2 , ..., X N ) e la funzione φ io (X 1 , X 2 , ..., X N ) - costi della i-esima risorsa corrispondente a questo piano, quindi X , è il prezzo (stima) della i-esima risorsa, che caratterizza la variazione del valore estremo della funzione obiettivo in base alla variazione della dimensione della i-esima risorsa (stima marginale). L(X) - funzione n+m variabili (X 1 , X 2 , ..., X N , λ 1 , λ 2 , ..., λ N ) . La determinazione dei punti stazionari di questa funzione porta alla risoluzione del sistema di equazioni

È facile vederlo . Quindi il compito di trovare l'estremo condizionale della funzione z = f(X) si riduce a trovare l’estremo locale della funzione L(X) . Se viene trovato un punto stazionario, la questione dell'esistenza di un estremo nei casi più semplici viene risolta sulla base di condizioni sufficienti per l'estremo - studiando il segno del secondo differenziale D 2 L(X) in un punto stazionario, a condizione che la variabile incrementi Δx io - collegati da relazioni

ottenuto differenziando le equazioni di accoppiamento.

Risoluzione di un sistema di equazioni non lineari in due incognite utilizzando lo strumento Solution Finder

Impostazioni Trovare una soluzione permette di trovare la soluzione ad un sistema di equazioni non lineari in due incognite:

Dove
- funzione non lineare delle variabili X E sì ,
- costante arbitraria.

È noto che la coppia ( X , sì ) è una soluzione del sistema di equazioni (10) se e solo se è una soluzione della seguente equazione in due incognite:

CON invece la soluzione del sistema (10) sono i punti di intersezione di due curve: F ] (X, sì) = C E F 2 (x, y) = C 2 in superficie XOY.

Ciò porta a un metodo per trovare le radici del sistema. equazioni non lineari:

Determinare (almeno approssimativamente) l'intervallo di esistenza di una soluzione al sistema di equazioni (10) o all'equazione (11). Qui è necessario tenere conto del tipo di equazioni incluse nel sistema, del dominio di definizione di ciascuna delle loro equazioni, ecc. A volte viene utilizzata la selezione di un'approssimazione iniziale della soluzione;

Tabulare la soluzione dell'equazione (11) per le variabili xey sull'intervallo selezionato o costruire grafici di funzioni F 1 (X, sì) = C, e F 2 (x,y) = C 2 (sistema(10)).

Localizza le presunte radici del sistema di equazioni: trova diversi valori minimi dalla tabella che tabula le radici dell'equazione (11) o determina i punti di intersezione delle curve incluse nel sistema (10).

4. Trova le radici del sistema di equazioni (10) utilizzando il componente aggiuntivo Trovare una soluzione.

Breve teoria

Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange è un metodo classico per risolvere problemi di programmazione matematica (in particolare quelli convessi). Sfortunatamente, l’applicazione pratica del metodo può incontrare notevoli difficoltà computazionali, restringendo l’ambito del suo utilizzo. Consideriamo qui il metodo Lagrange principalmente perché è un apparato che viene utilizzato attivamente per comprovare vari metodi numerici moderni ampiamente utilizzati nella pratica. Per quanto riguarda la funzione di Lagrange e i moltiplicatori di Lagrange, svolgono un ruolo indipendente ed estremamente importante nella teoria e nelle applicazioni della programmazione non solo matematica.

Consideriamo un classico problema di ottimizzazione:

Tra i vincoli di questo problema non ci sono disuguaglianze, non ci sono condizioni per la non negatività delle variabili, la loro discrezionalità, e le funzioni sono continue e hanno derivate parziali almeno del secondo ordine.

L'approccio classico alla risoluzione del problema prevede un sistema di equazioni (condizioni necessarie) che deve essere soddisfatto dal punto che fornisce alla funzione un estremo locale sull'insieme dei punti che soddisfano le restrizioni (per un problema di programmazione convessa, il punto trovato sarà anche il punto estremo globale).

Supponiamo che in un punto la funzione (1) abbia un estremo condizionale locale e il rango della matrice sia pari a . Quindi le condizioni necessarie verranno scritte nella forma:

esiste una funzione di Lagrange; – Moltiplicatori di Lagrange.

Esistono anche condizioni sufficienti sotto le quali la soluzione del sistema di equazioni (3) determina il punto estremo della funzione. Questa domanda viene risolta sulla base dello studio del segno del secondo differenziale della funzione Lagrange. Tuttavia, le condizioni sufficienti sono principalmente di interesse teorico.

È possibile specificare la seguente procedura per risolvere il problema (1), (2) utilizzando il metodo del moltiplicatore di Lagrange:

1) comporre la funzione di Lagrange (4);

2) trovare le derivate parziali della funzione di Lagrange rispetto a tutte le variabili e uguagliarle

zero. Si otterrà così un sistema (3), formato da equazioni.Risolvere il sistema risultante (se ciò risulta possibile!) e trovare così tutti i punti stazionari della funzione di Lagrange;

3) da punti stazionari presi senza coordinate, selezionare punti in cui la funzione ha estremi locali condizionati in presenza di restrizioni (2). Questa scelta viene fatta, ad esempio, utilizzando condizioni sufficienti per un estremo locale. Spesso lo studio viene semplificato se vengono utilizzate condizioni specifiche del problema.

Esempio di soluzione del problema

L'obiettivo

L'azienda produce due tipi di beni in quantità e . La funzione di costo utile è determinata dalla relazione. I prezzi di questi beni sul mercato sono uguali e di conseguenza.

Determinare a quale volume di produzione si ottiene il profitto massimo e a cosa equivale se i costi totali non lo superano

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La soluzione del problema

Modello economico e matematico del problema

Funzione di profitto:

Restrizioni sui costi:

Otteniamo il seguente modello economico e matematico:

Inoltre, secondo il significato del compito

Metodo dei moltiplicatori di Lagrange

Componiamo la funzione Lagrange:

Troviamo le derivate parziali del 1° ordine:

Creiamo e risolviamo un sistema di equazioni:

Da allora

Profitto massimo:

Risposta

Pertanto, è necessario rilasciare il cibo. beni del 1° tipo e unità. beni del 2° tipo. In questo caso, il profitto sarà massimo e ammonterà a 270.
Viene fornito un esempio di risoluzione di un problema di programmazione convessa quadratica utilizzando un metodo grafico.

Risoluzione di un problema lineare con il metodo grafico
Viene considerato un metodo grafico per risolvere un problema di programmazione lineare (LPP) con due variabili. Utilizzando l'esempio di un problema, viene fornita una descrizione dettagliata della costruzione di un disegno e della ricerca di una soluzione.

Il modello di gestione delle scorte di Wilson
Utilizzando l'esempio della risoluzione del problema, viene considerato il modello di base della gestione dell'inventario (modello Wilson). Sono stati calcolati indicatori del modello come la dimensione ottimale del lotto di ordini, i costi di stoccaggio annuali, l'intervallo tra le consegne e il punto di collocamento dell'ordine.

Matrice del rapporto costi diretti e matrice input-output
Utilizzando l'esempio della risoluzione di un problema, viene considerato il modello intersettoriale di Leontiev. Viene mostrato il calcolo della matrice dei coefficienti dei costi materiali diretti, la matrice “input-output”, la matrice dei coefficienti dei costi indiretti, i vettori del consumo finale e della produzione lorda.

Consideriamo un'equazione differenziale lineare disomogenea del primo ordine:
(1) .
Esistono tre modi per risolvere questa equazione:

• metodo di variazione della costante (Lagrange).

Consideriamo la risoluzione di un'equazione differenziale lineare del primo ordine utilizzando il metodo di Lagrange.

Metodo di variazione della costante (Lagrange)

Nel metodo della variazione della costante, risolviamo l'equazione in due passaggi. Nel primo passaggio, semplifichiamo l'equazione originale e risolviamo un'equazione omogenea. Nella seconda fase, sostituiamo la costante di integrazione ottenuta nella prima fase della soluzione con una funzione. Quindi cerchiamo una soluzione generale all'equazione originale.

Considera l'equazione:
(1)

Passaggio 1 Risoluzione di un'equazione omogenea

Cerchiamo la soluzione dell’equazione omogenea:

Questa è un'equazione separabile

Separiamo le variabili: moltiplichiamo per dx, dividiamo per y:

Integriamo:

Integrale su y - tabellare:

Poi

Potenziamo:

Sostituiamo la costante e C con C e togliamo il segno del modulo, che si riduce a moltiplicare per una costante ±1, che includeremo in C:

Passaggio 2 Sostituisci la costante C con la funzione

Ora sostituiamo la costante C con una funzione di x:
C → u (X)
Cioè, cercheremo una soluzione all'equazione originale (1) COME:
(2)
Trovare la derivata.

Secondo la regola di differenziazione di una funzione complessa:
.
Secondo la regola della differenziazione del prodotto:

.
Sostituisci nell'equazione originale (1) :
(1) ;

.
Vengono ridotti due membri:
;
.
Integriamo:
.
Sostituisci dentro (2) :
.
Di conseguenza, otteniamo una soluzione generale a un'equazione differenziale lineare del primo ordine:
.

Un esempio di risoluzione di un'equazione differenziale lineare del primo ordine mediante il metodo di Lagrange

Risolvi l'equazione

Soluzione

Risolviamo l'equazione omogenea:

Separiamo le variabili:

Moltiplicato per:

Integriamo:

Integrali tabulari:

Potenziamo:

Sostituiamo la costante e C con C e rimuoviamo i segni del modulo:

Da qui:

Sostituiamo la costante C con una funzione di x:
C → u (X)

Trovare la derivata:
.
Sostituisci nell'equazione originale:
;
;
O:
;
.
Integriamo:
;
Soluzione dell'equazione:
.