Come calcolare l'area di un parallelepipedo. Superficie laterale di diverse piramidi

Nella preparazione all'esame di matematica, gli studenti devono sistematizzare le loro conoscenze di algebra e geometria. Vorrei combinare tutte le informazioni conosciute, ad esempio come calcolare l'area di una piramide. Inoltre, partendo dalle facce di base e laterali fino all'intera superficie. Se la situazione è chiara con le facce laterali, poiché sono triangoli, allora la base è sempre diversa.

Cosa fare quando si trova l'area della base della piramide?

Può essere assolutamente qualsiasi figura: da un triangolo arbitrario a un n-gon. E questa base, oltre alla differenza nel numero degli angoli, può essere una figura regolare oppure errata. Nei compiti USE che interessano gli scolari, ci sono solo compiti con le figure corrette alla base. Pertanto, ne parleremo solo.

triangolo rettangolo

Questo è equilatero. Uno in cui tutti i lati sono uguali e indicati con la lettera "a". In questo caso, l'area della base della piramide viene calcolata con la formula:

S = (a 2 * √3) / 4.

Piazza

La formula per calcolare la sua area è la più semplice, anche qui "a" è il lato:

N-gon regolare arbitrario

Il lato di un poligono ha la stessa designazione. Per il numero degli angoli viene utilizzata la lettera latina n.

S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).

Come procedere nel calcolo della superficie laterale e totale?

Poiché la base è una figura regolare, tutte le facce della piramide sono uguali. Inoltre ciascuno di essi è un triangolo isoscele, poiché i bordi laterali sono uguali. Quindi, per calcolare l'area laterale della piramide, è necessaria una formula composta dalla somma di monomi identici. Il numero di termini è determinato dal numero di lati della base.

L'area di un triangolo isoscele si calcola con la formula in cui la metà del prodotto della base viene moltiplicata per l'altezza. Questa altezza nella piramide è chiamata apotema. La sua designazione è "A". La formula generale per la superficie laterale è:

S \u003d ½ P * A, dove P è il perimetro della base della piramide.

Ci sono situazioni in cui i lati della base non sono noti, ma sono dati i bordi laterali (c) e l'angolo piatto al vertice (α). Quindi si suppone che venga utilizzata una formula del genere per calcolare l'area laterale della piramide:

S = n/2 * in 2 sin α .

Compito n.1

Condizione. Trova l'area totale della piramide se la sua base ha un lato di 4 cm e l'apotema ha un valore di √3 cm.

Soluzione. Devi iniziare calcolando il perimetro della base. Poiché questo è un triangolo regolare, quindi P \u003d 3 * 4 \u003d 12 cm Poiché l'apotema è noto, puoi immediatamente calcolare l'area dell'intera superficie laterale: ½ * 12 * √3 = 6 √3 cm2.

Per un triangolo alla base, si otterrà il seguente valore dell'area: (4 2 * √3) / 4 \u003d 4√3 cm 2.

Per determinare l'intera area, dovrai sommare i due valori risultanti: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.

Risposta. 10√3 cm2.

Compito n.2

Condizione. C'è una piramide quadrangolare regolare. La lunghezza del lato della base è di 7 mm, il bordo laterale è di 16 mm. Devi conoscere la sua superficie.

Soluzione. Poiché il poliedro è quadrangolare e regolare, la sua base è quadrata. Dopo aver appreso le aree della base e delle facce laterali, sarà possibile calcolare l'area della piramide. La formula per il quadrato è riportata sopra. E sulle facce laterali si conoscono tutti i lati del triangolo. Pertanto, puoi utilizzare la formula di Erone per calcolare le loro aree.

I primi calcoli sono semplici e portano a questo numero: 49 mm 2. Per il secondo valore dovrai calcolare il semiperimetro: (7 + 16 * 2): 2 = 19,5 mm. Ora puoi calcolare l'area di un triangolo isoscele: √ (19,5 * (19,5-7) * (19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Esistono solo quattro triangoli di questo tipo, quindi quando calcoli il numero finale dovrai moltiplicarlo per 4.

Risulta: 49 + 4 * 54.644 \u003d 267.576 mm 2.

Risposta. Il valore desiderato è 267,576 mm 2.

Compito n.3

Condizione. Per una piramide quadrangolare regolare, è necessario calcolare l'area. In esso, il lato del quadrato è 6 cm e l'altezza è 4 cm.

Soluzione. Il modo più semplice è utilizzare la formula con il prodotto del perimetro e dell'apotema. Il primo valore è facile da trovare. La seconda è un po’ più difficile.

Dovremo ricordare il teorema di Pitagora e considerare che è formato dall'altezza della piramide e dall'apotema, che è l'ipotenusa. La seconda gamba è uguale alla metà del lato del quadrato, poiché l'altezza del poliedro cade nel suo centro.

L'apotema desiderato (l'ipotenusa di un triangolo rettangolo) è √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).

Ora puoi calcolare il valore desiderato: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 2 \u003d 96 (cm 2).

Risposta. 96 cm2.

Compito n.4

Condizione. Il lato corretto della sua base è di 22 mm, le nervature laterali sono di 61 mm. Qual è l'area della superficie laterale di questo poliedro?

Soluzione. Il ragionamento in esso contenuto è lo stesso descritto nel problema n. 2. Solo che è stata data una piramide con un quadrato alla base, e ora è un esagono.

Prima di tutto, l'area della base viene calcolata utilizzando la formula sopra: (6 * 22 2) / (4 * tg (180º / 6)) \u003d 726 / (tg30º) \u003d 726√3 cm2.

Ora devi trovare il semiperimetro di un triangolo isoscele, che è una faccia laterale. (22 + 61 * 2): 2 = 72 cm Resta da calcolare l'area di ciascun triangolo utilizzando la formula di Heron, quindi moltiplicarla per sei e aggiungerla a quella che si è rivelata per base.

Calcoli utilizzando la formula dell'Airone: √ (72 * (72-22) * (72-61) 2) \u003d √ 435600 \u003d 660 cm 2. Calcoli che daranno la superficie laterale: 660 * 6 \u003d 3960 cm 2. Resta da sommarli per scoprire l'intera superficie: 5217,47≈5217 cm 2.

Risposta. Base - 726√3 cm 2, superficie laterale - 3960 cm 2, l'intera area - 5217 cm 2.

Un cilindro è una figura costituita da una superficie cilindrica e due cerchi disposti in parallelo. Il calcolo dell'area di un cilindro è un problema nel ramo geometrico della matematica, che si risolve in modo abbastanza semplice. Esistono diversi metodi per risolverlo, che di conseguenza si riducono sempre a una formula.

Come trovare l'area di un cilindro: regole di calcolo

• Per scoprire l'area del cilindro, è necessario aggiungere due aree di base con l'area della superficie laterale: S \u003d lato S. + 2 S principale. In una versione più dettagliata, questa formula assomiglia a questa: S= 2 π rh+ 2 π r2= 2 π r(h+ r).
• La superficie laterale di un dato corpo geometrico può essere calcolata conoscendone l'altezza e il raggio del cerchio sottostante la base. In questo caso si può esprimere il raggio partendo dalla circonferenza, se è data. L'altezza può essere trovata se nella condizione è specificato il valore della generatrice. In questo caso la generatrice sarà uguale all'altezza. La formula per la superficie laterale di un dato corpo è questa: S= 2 π rh.
• L'area della base si calcola con la formula per trovare l'area di un cerchio: S osn= π r 2 . In alcuni problemi può non essere dato il raggio, ma è data la circonferenza. Con questa formula il raggio si esprime abbastanza facilmente. С=2π r, r= С/2π. Va inoltre ricordato che il raggio è la metà del diametro.
• Quando si eseguono tutti questi calcoli, il numero π di solito non viene tradotto in 3.14159 ... È sufficiente aggiungerlo accanto al valore numerico ottenuto come risultato dei calcoli.
• Inoltre, è solo necessario moltiplicare l'area trovata della base per 2 e aggiungere l'area calcolata della superficie laterale della figura al numero risultante.
• Se il problema indica che il cilindro ha una sezione assiale e questo è un rettangolo, la soluzione sarà leggermente diversa. In questo caso, la larghezza del rettangolo sarà pari al diametro del cerchio che si trova alla base del corpo. La lunghezza della figura sarà uguale alla generatrice o all'altezza del cilindro. È necessario calcolare i valori desiderati e sostituirli con una formula già nota. In questo caso la larghezza del rettangolo deve essere divisa per due per trovare l'area della base. Per trovare la superficie laterale, la lunghezza viene moltiplicata per due raggi e per il numero π.
• Puoi calcolare l'area di un dato corpo geometrico attraverso il suo volume. Per fare ciò, devi ricavare il valore mancante dalla formula V=π r 2 h.
• Non c'è niente di difficile nel calcolare l'area di un cilindro. Basta conoscere le formule ed essere in grado di ricavare da esse le quantità necessarie per i calcoli.

La superficie della piramide. In questo articolo considereremo con te i problemi con le piramidi regolari. Lascia che ti ricordi che una piramide regolare è una piramide la cui base è un poligono regolare, la sommità della piramide è proiettata nel centro di questo poligono.

La faccia laterale di tale piramide è un triangolo isoscele.L'altezza di questo triangolo, tracciato dal vertice di una piramide regolare, è chiamata apotema, SF è un apotema:

Nel tipo di problemi presentati di seguito, è necessario trovare la superficie dell'intera piramide o l'area della sua superficie laterale. Il blog ha già considerato diversi problemi con le piramidi regolari, in cui è stata sollevata la questione della ricerca degli elementi (altezza, bordo di base, bordo laterale), .

Nei compiti dell'esame, di regola, vengono prese in considerazione le piramidi triangolari, quadrangolari ed esagonali regolari. Non ho riscontrato problemi con le piramidi pentagonali ed ettagonali regolari.

La formula per l'area dell'intera superficie è semplice: devi trovare la somma dell'area della base della piramide e dell'area della sua superficie laterale:

Considera i compiti:

I lati della base di una piramide quadrangolare regolare sono 72, i bordi laterali sono 164. Trova la superficie di questa piramide.

La superficie della piramide è pari alla somma delle aree della superficie laterale e della base:

*La superficie laterale è composta da quattro triangoli di uguale area. La base della piramide è un quadrato.

L'area del lato della piramide può essere calcolata utilizzando:

Pertanto, la superficie della piramide è:

Risposta: 28224

I lati della base di una piramide esagonale regolare sono 22, i bordi laterali sono 61. Trova l'area della superficie laterale di questa piramide.

La base di una piramide esagonale regolare è un esagono regolare.

La superficie laterale di questa piramide è composta da sei aree di triangoli uguali con lati 61,61 e 22:

Trova l'area di un triangolo usando la formula di Heron:

Quindi la superficie laterale è:

Risposta: 3240

*Nei problemi presentati sopra, l'area della faccia laterale potrebbe essere trovata utilizzando una formula triangolare diversa, ma per questo è necessario calcolare l'apotema.

27155. Trova la superficie totale di una piramide regolare quadrangolare i cui lati di base sono 6 e la cui altezza è 4.

Per trovare l'area della superficie di una piramide dobbiamo conoscere l'area della base e l'area della superficie laterale:

L'area della base è 36, poiché è un quadrato con lato 6.

La superficie laterale è composta da quattro facce, che sono triangoli uguali. Per trovare l'area di un tale triangolo, devi conoscerne la base e l'altezza (apotema):

* L'area di un triangolo è uguale alla metà del prodotto della base per l'altezza tracciata su questa base.

La base è nota, è pari a sei. Troviamo l'altezza. Considera un triangolo rettangolo (evidenziato in giallo):

Una gamba è pari a 4, poiché questa è l'altezza della piramide, l'altra è pari a 3, poiché è pari alla metà dello spigolo della base. Possiamo trovare l'ipotenusa usando il teorema di Pitagora:

Quindi l'area della superficie laterale della piramide è:

Pertanto, la superficie dell'intera piramide è:

Risposta: 96

27069. I lati della base di una piramide regolare quadrangolare sono 10, gli spigoli laterali sono 13. Trova la superficie di questa piramide.

27070. I lati della base di una piramide esagonale regolare sono 10, i bordi laterali sono 13. Trova l'area della superficie laterale di questa piramide.

Esistono anche formule per la superficie laterale di una piramide regolare. In una piramide regolare la base è una proiezione ortogonale della superficie laterale, quindi:

P- perimetro della base, l- apotema della piramide

*Questa formula si basa sulla formula per l'area di un triangolo.

Se vuoi saperne di più su come vengono derivate queste formule, non perdertelo, segui la pubblicazione degli articoli.È tutto. Buona fortuna a te!

Cordiali saluti, Alexander Krutitskikh.

P.S: ti sarei grato se parlassi del sito nei social network.

Un cilindro è un corpo geometrico delimitato da due piani paralleli e una superficie cilindrica. Nell'articolo parleremo di come trovare l'area di un cilindro e, utilizzando la formula, risolveremo ad esempio diversi problemi.

Un cilindro ha tre superfici: una superiore, una inferiore e una laterale.

La parte superiore e inferiore del cilindro sono cerchi e sono facili da identificare.

È noto che l'area di un cerchio è uguale a πr 2 . Pertanto, la formula per l'area di due cerchi (superiore e inferiore del cilindro) sarà simile a πr 2 + πr 2 = 2πr 2 .

La terza superficie laterale del cilindro è la parete curva del cilindro. Per rappresentare al meglio questa superficie, proviamo a trasformarla per ottenere una forma riconoscibile. Immagina che un cilindro sia un normale barattolo di latta privo di coperchio superiore e inferiore. Facciamo un'incisione verticale sulla parete laterale dall'alto verso il basso del barattolo (Step 1 nella figura) e proviamo ad aprire (raddrizzare) il più possibile la figura risultante (Step 2).

Dopo la completa apertura del barattolo risultante, vedremo una figura familiare (passaggio 3), questo è un rettangolo. L'area di un rettangolo è facile da calcolare. Ma prima torniamo un attimo al cilindro originale. Il vertice del cilindro originale è un cerchio, e sappiamo che la circonferenza di un cerchio si calcola con la formula: L = 2πr. Nella figura è segnato in rosso.

Quando la parete laterale del cilindro è completamente espansa, vediamo che la circonferenza diventa la lunghezza del rettangolo risultante. I lati di questo rettangolo saranno la circonferenza (L = 2πr) e l'altezza del cilindro (h). L'area di un rettangolo è uguale al prodotto dei suoi lati - S = lunghezza x larghezza = L x h = 2πr x h = 2πrh. Di conseguenza, abbiamo ottenuto una formula per calcolare la superficie laterale di un cilindro.

La formula per l'area della superficie laterale di un cilindro
Lato S = 2pr

Superficie totale di un cilindro

Infine, se sommiamo l'area di tutte e tre le superfici, otteniamo la formula per la superficie totale di un cilindro. L'area della superficie del cilindro è uguale all'area della parte superiore del cilindro + l'area della base del cilindro + l'area della superficie laterale del cilindro o S = πr 2 + πr2 + 2πrh = 2πr2 + 2πrh. A volte questa espressione è scritta con la formula identica 2πr (r + h).

La formula per la superficie totale di un cilindro
S = 2πr2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r è il raggio del cilindro, h è l'altezza del cilindro

Esempi di calcolo della superficie di un cilindro

Per comprendere le formule di cui sopra, proviamo a calcolare la superficie di un cilindro utilizzando degli esempi.

1. Il raggio della base del cilindro è 2, l'altezza è 3. Determina l'area della superficie laterale del cilindro.

La superficie totale si calcola con la formula: lato S. = 2pr

Lato S = 2*3,14*2*3

Lato S = 6,28 * 6

Lato S = 37,68

La superficie laterale del cilindro è 37,68.

2. Come trovare la superficie di un cilindro se l'altezza è 4 e il raggio è 6?

La superficie totale si calcola con la formula: S = 2πr 2 + 2πrh

S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4

S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24

- Questa è una figura poliedrica, alla base della quale si trova un poligono, e le restanti facce sono rappresentate da triangoli con un vertice comune.

Se la base è quadrata si chiama piramide quadrangolare se il triangolo lo è triangolare. L'altezza della piramide è tracciata dalla sua sommità perpendicolare alla base. Utilizzato anche per calcolare l'area apotemaè l'altezza della faccia laterale abbassata dal vertice.
La formula per l'area della superficie laterale di una piramide è la somma delle aree delle sue facce laterali, che sono uguali tra loro. Tuttavia, questo metodo di calcolo viene utilizzato molto raramente. Fondamentalmente l'area della piramide si calcola attraverso il perimetro della base e dell'apotema:

Considera un esempio di calcolo dell'area della superficie laterale di una piramide.

Sia data una piramide con base ABCDE e vertice F. AB =BC =CD =DE =EA =3 cm Apotema a = 5 cm Trova l'area della superficie laterale della piramide.
Troviamo il perimetro. Poiché tutte le facce della base sono uguali, allora il perimetro del pentagono sarà uguale a:
Ora puoi trovare l'area laterale della piramide:

Area di una piramide triangolare regolare

Una piramide triangolare regolare è costituita da una base su cui giace un triangolo regolare e da tre facce laterali di uguale area.
La formula per la superficie laterale di una piramide triangolare regolare può essere calcolata in molti modi. Puoi applicare la solita formula per il calcolo del perimetro e dell'apotema, oppure puoi trovare l'area di una faccia e moltiplicarla per tre. Poiché la faccia della piramide è un triangolo, applichiamo la formula per l'area del triangolo. Richiederà un apotema e la lunghezza della base. Considera un esempio di calcolo della superficie laterale di una piramide triangolare regolare.

Data una piramide con apotema a = 4 cm e faccia di base b = 2 cm, determina l'area della superficie laterale della piramide.
Innanzitutto, trova l'area di una delle facce laterali. In questo caso sarà:
Sostituisci i valori nella formula:
Poiché in una piramide regolare tutti i lati sono uguali, l'area della superficie laterale della piramide sarà uguale alla somma delle aree delle tre facce. Rispettivamente:

L'area della piramide tronca

Troncato Una piramide è un poliedro formato da una piramide e dalla sua sezione parallela alla base.
La formula per calcolare la superficie laterale di una piramide tronca è molto semplice. L'area è pari al prodotto della metà della somma dei perimetri delle basi e dell'apotema: