Come ricavare una radice da un numero. Lavoro di ricerca sull'argomento: "Estrazione di radici quadrate da grandi numeri senza calcolatrice"

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Estrazione di una radice da un numero elevato. Cari amici!In questo articolo, ti mostreremo come prendere la radice di un numero grande senza una calcolatrice. Ciò è necessario non solo per risolvere alcuni tipi di problemi USE (ce ne sono - per il movimento), ma anche per lo sviluppo matematico generale, è auspicabile conoscere questa tecnica analitica.

Sembrerebbe che tutto sia semplice: fattorizza ed estrai. Non c'è problema. Ad esempio, il numero 291600, una volta espanso, darà al prodotto:

Calcoliamo:

Ce n'è uno MA! Il metodo è buono se i divisori 2, 3, 4 e così via sono facilmente determinati. Ma cosa succede se il numero da cui estraiamo la radice è un prodotto di numeri primi? Ad esempio, 152881 è il prodotto dei numeri 17, 17, 23, 23. Prova subito a trovare questi divisori.

L'essenza del metodo che stiamo considerando- questa è pura analisi. La radice con l'abilità accumulata viene trovata rapidamente. Se l'abilità non viene elaborata, ma l'approccio viene semplicemente compreso, allora è un po 'più lento, ma comunque determinato.

Prendiamo la radice di 190969.

Innanzitutto, determiniamo tra quali numeri (multipli di cento) si trova il nostro risultato.

Ovviamente, il risultato della radice di un dato numero è compreso tra 400 e 500, Perché

400 2 = 160000 e 500 2 = 250000

Veramente:

nel mezzo, più vicino a 160.000 o 250.000?

Il numero 190969 è da qualche parte nel mezzo, ma ancora più vicino a 160000. Possiamo concludere che il risultato della nostra radice sarà inferiore a 450. Controlliamo:

Anzi, è meno di 450, da 190.969< 202 500.

Ora controlliamo il numero 440:

Quindi il nostro risultato è inferiore a 440, da allora 190 969 < 193 600.

Controllo del numero 430:

Abbiamo stabilito che il risultato di questa radice si trova nell'intervallo da 430 a 440.

Il prodotto di numeri che terminano con 1 o 9 dà un numero che termina con 1. Ad esempio, 21 volte 21 è uguale a 441.

Il prodotto di numeri che terminano con 2 o 8 dà un numero che termina con 4. Ad esempio, 18 volte 18 è uguale a 324.

Il prodotto di numeri che terminano con 5 dà un numero che termina con 5. Ad esempio, 25 volte 25 è uguale a 625.

Il prodotto di numeri che terminano con 4 o 6 dà un numero che termina con 6. Ad esempio, 26 volte 26 è uguale a 676.

Il prodotto di numeri che terminano con 3 o 7 dà un numero che termina con 9. Ad esempio, 17 volte 17 è uguale a 289.

Poiché il numero 190969 termina con il numero 9, questo prodotto è 433 o 437.

*Solo loro, al quadrato, possono dare 9 alla fine.

Controlliamo:

Quindi il risultato della radice sarà 437.

Cioè, abbiamo "sentito" la risposta giusta.

Come puoi vedere, il massimo richiesto è eseguire 5 azioni in una colonna. Forse arriverai immediatamente al punto o farai solo tre azioni. Tutto dipende da quanto accuratamente fai la stima iniziale del numero.

Estrai la tua radice da 148996

Tale discriminante si ottiene nel problema:

La motonave costeggia il fiume fino a destinazione 336 km e dopo aver parcheggiato ritorna al punto di partenza. Trova la velocità della nave in acque ferme, se la velocità della corrente è di 5 km/h, il parcheggio dura 10 ore e la nave ritorna al punto di partenza 48 ore dopo averla lasciata. Dai la tua risposta in km/h.

Visualizza la soluzione

Il risultato della radice è compreso tra i numeri 300 e 400:

300 2 =90000 400 2 =160000

Infatti, 90000<148996<160000.

L'essenza di un ulteriore ragionamento è determinare come si trova (distanziato) il numero 148996 rispetto a questi numeri.

Calcola le differenze 148996 - 90000=58996 e 160000 - 148996=11004.

Si scopre che 148996 è vicino (molto più vicino) a 160000. Pertanto, il risultato della radice sarà sicuramente maggiore di 350 e persino 360.

Possiamo concludere che il nostro risultato è maggiore di 370. Inoltre, è chiaro: poiché 148996 termina con il numero 6, ciò significa che devi elevare al quadrato il numero che termina con 4 o 6. *Solo questi numeri, se elevati al quadrato, danno fine 6.

Cordiali saluti, Alexander Krutitskikh.

PS: ti sarei grato se parlassi del sito nei social network.

radice N esima potenza di un numero naturale UN il numero è chiamato N la cui potenza è uguale a UN. La radice è indicata come segue: . Viene chiamato il simbolo √ segno di radice O segno del radicale, numero UN - numero di radice, N - esponente radice.

Viene chiamata l'azione con cui si trova la radice di un dato grado estrazione della radice.

Poiché, secondo la definizione del concetto di radice N IV grado

Quello estrazione della radice- l'azione, l'opposto dell'elevazione a potenza, con l'aiuto della quale, secondo il grado dato e secondo l'esponente dato, si trova la base del grado.

Radice quadrata

La radice quadrata di un numero UNè il numero il cui quadrato è UN.

L'operazione con cui viene calcolata la radice quadrata si chiama prendere la radice quadrata.

Estrazione della radice quadrata- l'azione opposta della quadratura (o elevazione di un numero alla seconda potenza). Quando elevi un numero al quadrato, devi trovare il suo quadrato. Quando si estrae la radice quadrata, il quadrato del numero è noto, è necessario trovare il numero stesso da esso.

Pertanto, per verificare la correttezza dell'azione intrapresa, è possibile elevare la radice trovata al secondo grado e, se il grado è uguale al numero della radice, la radice è stata trovata correttamente.

Prendi in considerazione l'estrazione della radice quadrata e la sua verifica con un esempio. Calcoliamo o (l'esponente della radice con il valore 2 di solito non è scritto, poiché 2 è l'esponente più piccolo e va ricordato che se non c'è un esponente sopra il segno della radice, allora l'esponente 2 è implicito), per questo abbiamo bisogno per trovare il numero, elevato al secondo il grado sarà 49. Ovviamente questo numero è 7, poiché

7 7 = 7 2 = 49.

Calcolo della radice quadrata

Se il numero dato è 100 o meno, allora la radice quadrata di esso può essere calcolata usando la tavola pitagorica. Ad esempio, la radice quadrata di 25 è 5 perché 5 x 5 = 25.

Ora considera un modo per trovare la radice quadrata di qualsiasi numero senza usare una calcolatrice. Ad esempio, prendiamo il numero 4489 e iniziamo a calcolare passo dopo passo.

1. Determiniamo di quali cifre dovrebbe essere composta la radice desiderata. Poiché 10 2 \u003d 10 10 \u003d 100 e 100 2 \u003d 100 100 \u003d 10000, diventa chiaro che la radice desiderata deve essere maggiore di 10 e minore di 100, ad es. composto da decine e unità.
2. Trova il numero di decine della radice. Moltiplicando le decine si ottengono le centinaia, il nostro numero è 44, quindi la radice deve contenere tante decine che il quadrato delle decine dia circa 44 centinaia. Pertanto, dovrebbero esserci 6 decine alla radice, perché 60 2 \u003d 3600 e 70 2 \u003d 4900 (questo è troppo). Così, abbiamo scoperto che la nostra radice contiene 6 decine e diverse unità, poiché è compresa tra 60 e 70.
3. La tavola pitagorica aiuterà a determinare il numero di unità alla radice. Guardando il numero 4489, vediamo che l'ultima cifra è 9. Ora guardiamo la tavola pitagorica e vediamo che 9 unità possono essere ottenute solo elevando al quadrato i numeri 3 e 7. Quindi la radice del numero sarà 63 o 67.
4. Controlliamo i numeri che abbiamo ottenuto 63 e 67 elevandoli al quadrato: 63 2 \u003d 3969, 67 2 \u003d 4489.

Preferibilmente ingegneria - uno in cui è presente un pulsante con un segno di radice: "√". Di solito, per estrarre la radice, è sufficiente digitare il numero stesso, quindi premere il pulsante: “√”.

La maggior parte dei telefoni cellulari moderni dispone di un'applicazione "calcolatrice" con una funzione di estrazione della radice. La procedura per trovare la radice di un numero utilizzando una calcolatrice telefonica è simile a quella precedente.
Esempio.
Trova da 2.
Accendiamo la calcolatrice (se è spenta) e successivamente premiamo i pulsanti con l'immagine di due e la radice ("2", "√"). Di solito non è necessario premere il tasto "=". Di conseguenza, otteniamo un numero come 1.4142 (il numero di caratteri e la "rotondità" dipendono dalla profondità di bit e dalle impostazioni della calcolatrice).
Nota: quando si tenta di trovare la radice, la calcolatrice di solito restituisce un errore.

Se hai accesso a un computer, trovare la radice di un numero è molto semplice.
1. È possibile utilizzare l'applicazione Calcolatrice disponibile su quasi tutti i computer. Per Windows XP, questo programma può essere eseguito come segue:
"Start" - "Tutti i programmi" - "Accessori" - "Calcolatrice".
È meglio impostare la visualizzazione su "normale". A proposito, a differenza di una vera calcolatrice, il pulsante per estrarre la radice è contrassegnato come "sqrt", non "√".

Se non arrivi alla calcolatrice nel modo specificato, puoi avviare la calcolatrice standard "manualmente":
"Start" - "Esegui" - "calc".
2. Per trovare la radice di un numero, puoi anche utilizzare alcuni programmi installati sul tuo computer. Inoltre, il programma ha una propria calcolatrice integrata.

Ad esempio, per l'applicazione MS Excel, è possibile eseguire la seguente sequenza di azioni:
Avviamo MS Excel.

Scriviamo in qualsiasi cella il numero da cui vuoi estrarre la radice.

Sposta il puntatore della cella in una posizione diversa

Premere il pulsante di selezione della funzione (fx)

Selezionare la funzione "ROOT".

Come argomento della funzione, specifica una cella con un numero

Premere "OK" o "Invio"
Il vantaggio di questo metodo è che ora è sufficiente inserire qualsiasi valore nella cella con un numero, come appare immediatamente con la funzione.
Nota.
Esistono molti altri modi più esotici per trovare la radice di un numero. Ad esempio, un "angolo", utilizzando un regolo calcolatore o tabelle Bradis. Tuttavia, questi metodi non sono considerati in questo articolo a causa della loro complessità e inutilità pratica.

Video collegati

Fonti:

• come trovare la radice di un numero

A volte ci sono situazioni in cui devi eseguire calcoli matematici, inclusa l'estrazione di radici quadrate e radici di grado superiore da un numero. La radice "n" di "a" è il numero la cui potenza n-esima è "a".

Istruzione

Per trovare la radice "n" di , procedi come segue.

Fare clic sul computer "Start" - "Tutti i programmi" - "Accessori". Quindi entra nella sottosezione "Utilità" e seleziona "Calcolatrice". Puoi farlo manualmente: fai clic su "Start", digita "calk" nella riga "run" e premi "Invio". aprirà. Per estrarre la radice quadrata di qualsiasi numero, inseriscilo nella riga della calcolatrice e premi il pulsante etichettato "sqrt". La calcolatrice estrarrà la radice del secondo grado, chiamata quadrato, dal numero inserito.

Per estrarre la radice, il cui grado è maggiore del secondo, è necessario utilizzare un diverso tipo di calcolatrice. Per fare ciò, fai clic sul pulsante "Visualizza" nell'interfaccia della calcolatrice e seleziona la riga "Ingegneria" o "Scientifico" dal menu. Questo tipo di calcolatrice ha la funzione necessaria per calcolare la radice dell'ennesimo grado.

Per estrarre la radice di terzo grado (), sulla calcolatrice "ingegneria", digitare il numero desiderato e premere il pulsante "3√". Per ottenere una radice maggiore di 3 digitare il numero desiderato, premere il pulsante con l'icona "y√x" e quindi inserire il numero - l'esponente. Successivamente, premi il segno di uguale (pulsante "=") e otterrai la radice che stai cercando.

Se la tua calcolatrice non ha la funzione "y√x", la seguente.

Per estrarre la radice cubica, inserisci l'espressione radicale, quindi seleziona la casella accanto alla scritta "Inv". Con questa azione, invertirai le funzioni dei pulsanti della calcolatrice, ovvero, facendo clic sul pulsante a cubo, estrarrai la radice cubica. Sul pulsante che tu

E tu hai dipendenza dalla calcolatrice? Oppure pensi che, se non con una calcolatrice o usando una tabella dei quadrati, è molto difficile calcolare, per esempio.

Succede che gli scolari siano legati a una calcolatrice e addirittura moltiplichino 0,7 per 0,5 premendo i pulsanti amati. Dicono, beh, so ancora come calcolare, ma ora risparmierò tempo ... Ci sarà un esame ... poi mi irrigidirò ...

Quindi il fatto è che ci saranno comunque molti "momenti di tensione" all'esame ... Come si suol dire, l'acqua consuma una pietra. Quindi durante l'esame, le piccole cose, se ce ne sono molte, possono abbatterti ...

Riduciamo al minimo il numero di possibili problemi.

Prendendo la radice quadrata di un numero grande

Parleremo ora solo del caso in cui il risultato dell'estrazione della radice quadrata è un numero intero.

Caso 1

Quindi, dobbiamo assolutamente (ad esempio, quando calcoliamo il discriminante) dobbiamo calcolare la radice quadrata di 86436.

Scomporremo il numero 86436 in fattori primi. Dividiamo per 2, otteniamo 43218; di nuovo dividiamo per 2, - otteniamo 21609. Il numero non è divisibile per altri 2. Ma poiché la somma delle cifre è divisibile per 3, allora il numero stesso è divisibile per 3 (in generale si può vedere che è anche divisibile per 9). . Ancora una volta dividiamo per 3, otteniamo 2401. 2401 non è completamente divisibile per 3. Non divisibile per cinque (non termina con 0 o 5).

Sospettiamo la divisibilità per 7. Infatti, a ,

Quindi, ordine completo!

Caso 2

Dobbiamo calcolare . È scomodo agire nello stesso modo descritto sopra. Cercando di fattorizzare...

Il numero 1849 non è completamente divisibile per 2 (non è pari)...

Non è completamente divisibile per 3 (la somma delle cifre non è un multiplo di 3)...

Non è completamente divisibile per 5 (l'ultima cifra non è 5 o 0)...

Non è completamente divisibile per 7, non è divisibile per 11, non è divisibile per 13... Bene, quanto tempo ci vorrà per esaminare tutti i numeri primi in questo modo?

Discutiamo un po 'diversamente.

Lo capiamo

Abbiamo ristretto la ricerca. Ora selezioniamo i numeri da 41 a 49. Inoltre, è chiaro che poiché l'ultima cifra del numero è 9, vale la pena fermarsi alle opzioni 43 o 47: solo questi numeri, se al quadrato, daranno l'ultima cifra 9.

Bene, già qui, ovviamente, ci fermiamo a 43. Anzi,

P.S. Come diavolo facciamo a moltiplicare 0,7 per 0,5?

Dovresti moltiplicare 5 per 7, ignorando gli zeri ei segni, e poi separare, procedendo da destra verso sinistra, due cifre decimali. Otteniamo 0,35.