Egy forgástest térfogatának kiszámítása határozott integrál segítségével. A forradalom testének térfogata
I. Forradalomtestek kötetei. Előzetesen tanulmányozza a XII. fejezetet, p°p° 197, 198, G. M. Fikhtengol'ts* tankönyve szerint. Elemezze részletesen a 198. p°-ban megadott példákat.
508. Számítsa ki az ellipszis x tengely körüli forgásával létrejövő test térfogatát!
Ily módon
530. Határozza meg annak a felületnek a területét, amelyet az y szinusz ívének Ox tengelye körüli forgása alkot \u003d sin x az X \u003d 0 ponttól az X \u003d It pontig.
531. Számítsa ki egy h magasságú és r sugarú kúp felületét!
532. Számítsa ki az általa alkotott felületet!
az astroid x3 -) - y* - a3 forgása az x tengely körül.
533. Számítsa ki annak a felületnek a területét, amelyet a 18 y-x(6-x)r görbe hurkának az x tengely körüli megfordítása képez!
534. Határozza meg a tórusz felületét, amelyet az X2 - j - (y-3)2 = 4 kör x tengely körüli elforgatása eredményez!
535. Számítsa ki a kör forgásával képzett felület területét X = költség, y = asint az Ox tengely körül!
536. Számítsa ki annak a felületnek a területét, amelyet az x = 9t2, y = St - 9t3 görbe hurok Ox tengely körüli elforgatása alkot.
537. Határozza meg annak a felületnek a területét, amelyet az x = e * sint, y = el költség görbe ívének Ox tengely körüli elforgatása alkot.
t = 0-tól t = -ig.
538. Mutassuk meg, hogy az x = a (q> - sin φ), y = a (I - cos φ) cikloid ívének az Oy tengely körüli forgatása által létrehozott felület egyenlő 16 u2 o2-vel.
539. Határozza meg a kardioid poláris tengely körüli elforgatásával kapott felületet!
540. Határozza meg a lemniszkát elfordulása által alkotott felület területét! 
a poláris tengely körül.
További feladatok a IV. fejezethez
Síkfigurák területei
541. Keresse meg egy görbével határolt régió teljes területét 
És tengely Oh.
542. Keresse meg a görbe által határolt terület területét
És tengely Oh.
543. Keresse meg a régió területének azt a részét, amely az első kvadránsban található, és amelyet a görbe határol
l koordinátatengelyek.
544. Keresse meg a benne lévő terület területét
hurkok: 
545. Keresse meg a görbe egy hurok által határolt terület területét:
546. Keresse meg a hurkon belüli terület területét: 
547. Keresse meg a görbe által határolt terület területét
És tengely Oh.
548. Keresse meg a görbe által határolt terület területét
És tengely Oh.
549. Keresse meg az Oxr tengely által határolt terület területét
egyenes és görbe 
Hogyan lehet kiszámítani a forgástest térfogatát
határozott integrál használatával?
Általában sok érdekes alkalmazás létezik az integrálszámításban, egy határozott integrál segítségével kiszámíthatja az ábra területét, a forgástest térfogatát, az ív hosszát, a forgás felülete és még sok más. Szóval jó móka lesz, légy optimista!
Képzeljünk el valami lapos alakot a koordinátasíkon. Képviselt? ... Vajon ki mit mutatott be... =))) A területét már megtaláltuk. De emellett ez az ábra is elforgatható és kétféleképpen forgatható:
- az x tengely körül;
- az y tengely körül.
Ebben a cikkben mindkét esetet tárgyaljuk. A második forgatási mód különösen érdekes, ez okozza a legnagyobb nehézségeket, de valójában a megoldás szinte ugyanaz, mint az elterjedtebb x tengely körüli forgatásnál. Bónuszként visszatérek az ábra területének megtalálásának problémája, és elmondja, hogyan találhatja meg a területet a második módon - a tengely mentén. Nem is annyira bónusz, mint az anyag jól illeszkedik a témához.
Kezdjük a legnépszerűbb forgatási típussal.
tengely körül lapos alak
Számítsa ki a kapott test térfogatát, ha a vonalak által határolt ábrát a tengely körül elforgatjuk!
Megoldás: Mint a területi problémánál, a megoldás egy lapos figura rajzával kezdődik. Vagyis a síkon meg kell építeni egy , , vonallal határolt ábrát, miközben nem szabad elfelejteni, hogy az egyenlet határozza meg a tengelyt. A rajz racionálisabb és gyorsabb elkészítésének módja az oldalakon található Elemi függvények grafikonjai és tulajdonságaiés . Ez egy kínai emlékeztető, és nem állok meg ennél a pontnál.
A rajz itt nagyon egyszerű:
A kívánt lapos figurát kékre árnyékoljuk, és ez a figura az, amely a tengely körül forog, elforgatás eredményeként olyan enyhén tojás alakú repülő csészealjat kapunk, amely szimmetrikus a tengelyre. Valójában a testnek van matematikai neve, de lusta valamit megadni a referenciakönyvben, ezért továbblépünk.
Hogyan lehet kiszámítani a forgástest térfogatát?
Egy forgástest térfogata a képlettel számítható ki:
A képletben az integrál előtt egy számnak kell lennie. Így történt - minden, ami az életben forog, ehhez az állandóhoz kapcsolódik.
Az "a" és a "be" integráció határait beállítani, azt hiszem, könnyen kitalálható az elkészült rajzból.
Funkció... mi ez a függvény? Nézzük a rajzot. A lapos ábrát felülről a parabola-gráf határolja. Ez az a függvény, amely a képletben benne van.
Gyakorlati feladatokban esetenként egy lapos figura is elhelyezhető a tengely alatt. Ez nem változtat semmit - a képlet integrandusa négyzetes: , így az integrál mindig nem negatív, ami teljesen logikus.
Számítsa ki a forgástest térfogatát a következő képlettel: 
Amint már megjegyeztem, az integrál szinte mindig egyszerűnek bizonyul, a lényeg az, hogy legyen óvatos.
Válasz: 
A válaszban meg kell adni a méretet - köbegységet. Vagyis a mi forgástestünkben körülbelül 3,35 "kocka" van. Miért pont köbös egységek? Mert a leguniverzálisabb megfogalmazás. Lehet köbcenti, lehet köbméter, lehet köbkilométer stb., ennyi kis zöld emberke fér bele egy repülő csészealjba.
Határozza meg annak a testnek a térfogatát, amelyet a vonalak által határolt ábra tengelye körüli elforgatás okoz,
Ez egy „csináld magad” példa. Teljes megoldás és válasz a lecke végén.
Nézzünk meg két összetettebb problémát, amelyekkel a gyakorlatban is gyakran találkozunk.
Számítsa ki a test térfogatát, amelyet a , és a vonalak által határolt ábra abszcissza tengelye körüli elforgatással kapunk
Megoldás: Rajzoljon a rajzon egy lapos alakzatot , , , , vonalakkal határolva, de ne felejtse el, hogy az egyenlet határozza meg a tengelyt:
A kívánt figura kék árnyalatú. A tengely körül forogva egy ilyen szürreális, négy sarkú fánkot kapunk.
A forgástest térfogatát a következőképpen számítjuk ki testtérfogat különbség.
Először nézzük meg a pirossal bekarikázott ábrát. Amikor a tengely körül forog, csonka kúpot kapunk. Jelöljük ennek a csonka kúpnak a térfogatát .
Tekintsük a zölddel bekarikázott ábrát. Ha ezt az ábrát a tengely körül elforgatod, akkor egy csonka kúpot is kapsz, csak kicsit kisebbet. A térfogatát jelöljük .
És nyilván a térfogatkülönbség pontosan akkora, mint a mi „fánkunk”.
A forgástest térfogatának meghatározásához a standard képletet használjuk: 
1) A pirossal bekarikázott alakot felülről egy egyenes határolja, ezért:
2) A zölddel bekarikázott ábrát felülről egy egyenes határolja, ezért:
3) A kívánt forgástest térfogata: 
Válasz: 
Érdekes, hogy ebben az esetben a megoldást a csonka kúp térfogatának kiszámítására szolgáló iskolai képlet segítségével lehet ellenőrizni.
Maga a döntés gyakran lerövidül, valami ilyesmi: 
Most tartsunk egy kis szünetet, és beszéljünk a geometriai illúziókról.
Az embereknek gyakran vannak illúziói a kötetekkel kapcsolatban, amire Perelman (egy másik) is felfigyelt a könyvben Érdekes geometria. Nézze meg a megoldott probléma lapos alakját - úgy tűnik, hogy kicsi a területe, és a forgástest térfogata valamivel több, mint 50 köbegység, ami túl nagynak tűnik. Mellesleg, az átlagember egész életében 18 négyzetméteres helyiség térfogatú folyadékot iszik, amely éppen ellenkezőleg, túl kicsinek tűnik.
Egy lírai kitérő után éppen illik kreatív feladatot megoldani:
Számítsa ki a , , egyenesekkel határolt lapos alak tengelye körüli elforgatással létrejött test térfogatát.
Ez egy „csináld magad” példa. Vegyük észre, hogy minden a sávban történik, más szóval, kész integrációs korlátok adottak. Helyesen rajzolja meg a trigonometrikus függvények grafikonjait, emlékeztetem a lecke anyagát gráfok geometriai transzformációi: ha az argumentum osztható kettővel: , akkor a grafikonokat kétszer nyújtjuk a tengely mentén. Kívánatos legalább 3-4 pontot találni trigonometrikus táblázatok szerint a rajz pontosabb befejezéséhez. Teljes megoldás és válasz a lecke végén. A feladat egyébként racionálisan és nem túl racionálisan is megoldható.
A forgással képzett test térfogatának kiszámítása
tengely körül lapos alak
A második bekezdés még érdekesebb lesz, mint az első. Az y tengely körüli forgástest térfogatának kiszámítása is meglehetősen gyakori látogató a tesztekben. Mellesleg figyelembe kell venni az ábra területének megtalálásának problémája a második mód - a tengely mentén történő integráció révén ez nemcsak készségeinek fejlesztését teszi lehetővé, hanem megtanítja a legjövedelmezőbb megoldás megtalálására is. Ennek gyakorlati jelentése is van! A matematikatanítási módszereket tanító tanárom mosolyogva emlékezett vissza, sok végzős a következő szavakkal köszönte meg: „A tantárgya sokat segített nekünk, most már hatékony vezetők vagyunk, és optimálisan irányítjuk munkatársainkat.” Megragadva az alkalmat, nagy köszönetemet is kifejezem neki, főleg, hogy a megszerzett tudást rendeltetésszerűen használom =).
Mindenkinek ajánlom olvasásra, még komplett bábuknak is. Ezenkívül a második bekezdés asszimilált anyaga felbecsülhetetlen segítséget jelent a kettős integrálok kiszámításához.
Adott egy lapos ábra, amelyet vonalak határolnak , , .
1) Keresse meg egy lapos alak területét, amelyet ezek a vonalak határolnak.
2) Határozzuk meg a test térfogatát, amelyet ezen vonalak által határolt lapos alak tengely körüli elforgatásával kapunk!
Figyelem! Még ha csak a második bekezdést szeretnéd elolvasni, mindenképpen az elsőt olvasd el először!
Megoldás: A feladat két részből áll. Kezdjük a négyzettel.
1) Végezzük el a rajzot:
Könnyen belátható, hogy a függvény a parabola felső ágát, a függvény pedig a parabola alsó ágát határozza meg. Előttünk egy triviális parabola, amely "az oldalán fekszik".
A kívánt figura, amelynek területe megtalálható, kék színű.
Hogyan lehet megtalálni egy figura területét? Megtalálható a "szokásos" módon, amiről a leckében szó volt. Határozott integrál. Hogyan számítsuk ki az ábra területét. Ezenkívül az ábra területe a területek összegeként található:
- a szegmensen 
;
- a szegmensen.
Ezért:
Mi a baj ebben az esetben a szokásos megoldással? Először is két integrál van. Másodszor, az integrálok alatti gyökök, illetve az integrálokban lévő gyökök nem ajándék, sőt, az integráció határainak helyettesítésében is megzavarodhatunk. Valójában az integrálok persze nem halálosak, de a gyakorlatban minden sokkal szomorúbb, csak „jobb” függvényeket vettem fel a feladathoz.
Van egy racionálisabb megoldás is: ez az inverz függvényekre való áttérésből és a tengely mentén történő integrációból áll.
Hogyan lehet áttérni inverz függvényekre? Nagyjából az "x"-t "y"-n keresztül kell kifejeznie. Először is foglalkozzunk a parabolával:
Ennyi is elég, de ügyeljünk arra, hogy az alsó ágból is származtatható-e ugyanaz a függvény:
Egyenes vonallal minden könnyebb:
Most nézze meg a tengelyt: kérjük, időnként döntse el fejét 90 fokkal jobbra, miközben magyarázza (ez nem vicc!). A számunkra szükséges ábra a szegmensen fekszik, amelyet a piros pontozott vonal jelöl. Ezenkívül a szegmensen az egyenes a parabola felett helyezkedik el, ami azt jelenti, hogy az ábra területét a már ismert képlet segítségével kell megtalálni: 
. Mi változott a képletben? Csak egy levél, és semmi több.
! jegyzet: A tengely mentén integrálási határokat kell beállítani szigorúan alulról felfelé!
A terület megkeresése:
A szegmensben tehát: 
Ügyeljen arra, hogyan végeztem az integrációt, ez a legracionálisabb módja, és a feladat következő bekezdésében kiderül, hogy miért.
Azok az olvasók, akik kételkednek az integráció helyességében, származékokat találok: 
A rendszer megkapja az eredeti integrandust, ami azt jelenti, hogy az integráció megfelelően történik.
Válasz:
2) Számítsa ki a test térfogatát, amelyet ennek az alaknak a tengely körüli elforgatása képez!
A rajzot átrajzolom egy kicsit más dizájnban:
Tehát a kékkel árnyékolt ábra a tengely körül forog. Az eredmény egy "lebegő pillangó", amely a tengelye körül forog.
A forgástest térfogatának meghatározásához a tengely mentén integráljuk. Először is át kell térnünk az inverz függvényekre. Ezt már megtettük, és az előző bekezdésben részletesen leírtuk.
Most ismét jobbra döntjük a fejünket, és tanulmányozzuk az alakunkat. Nyilvánvalóan a forgástest térfogatát a térfogatok közötti különbségként kell keresni.
A pirossal bekarikázott ábrát a tengely körül elforgatjuk, így csonka kúpot kapunk. Jelöljük ezt a kötetet -vel.
A zölddel bekarikázott ábrát a tengely körül elforgatjuk, és a kapott forgástest térfogatán keresztül jelöljük.
Pillangónk térfogata megegyezik a térfogatok különbségével.
A forradalomtest térfogatának meghatározásához a következő képletet használjuk: 
Miben különbözik az előző bekezdés képletétől? Csak betűkkel.
És itt van az integráció előnye, amiről régebben beszéltem, sokkal könnyebb megtalálni 
mint előzetesen a 4. hatványra emelni az integrandust.
Válasz: 
Vegye figyelembe, hogy ha ugyanazt a lapos alakot forgatjuk a tengely körül, akkor teljesen más forgástest alakul ki, természetesen más térfogatú.
Adott egy vonallal határolt lapos ábra és egy tengely.
1) Menjen az inverz függvényekhez, és keresse meg egy lapos alakzat területét, amelyet ezek a vonalak határolnak a változó feletti integrálással.
2) Számítsa ki a kapott test térfogatát, ha egy lapos alakzatot forgatunk a tengely körül, amelyet ezek a vonalak határolnak!
Ez egy „csináld magad” példa. Aki szeretne, az a „szokásos” módon is megtalálhatja az ábra területét, ezzel kitöltve az 1. pont tesztjét. De ha, ismétlem, egy lapos figurát forgatsz a tengely körül, akkor egy teljesen más forgástestet kapsz más hangerővel, mellesleg a helyes választ (a megoldani szeretőknek is).
A feladat két javasolt tételének teljes megoldása az óra végén.
Ja, és ne felejtsd el jobbra dönteni a fejed, hogy megértsd a forgástesteket és az integráción belül!
Szerettem volna, már az is volt, hogy befejezzem a cikket, de ma egy érdekes példát hoztak csak az y tengely körüli forradalomtest térfogatának megtalálására. Friss:
Számítsa ki a görbék és görbék által határolt ábra tengelye körüli elforgatással keletkezett test térfogatát!
Megoldás: Készítsünk rajzot:
Útközben még néhány függvény grafikonjával ismerkedünk. Egy ilyen érdekes grafikon egy páros függvényről...
A forgástest térfogata a következő képlettel számítható ki:
A képletben az integrál előtt egy számnak kell lennie. Így történt – minden, ami az életben forog, ehhez az állandóhoz kapcsolódik.
Az "a" és a "be" integráció határait beállítani, azt hiszem, könnyen kitalálható az elkészült rajzból.
Funkció... mi ez a függvény? Nézzük a rajzot. A lapos ábrát felülről a parabola-gráf határolja. Ez az a függvény, amely a képletben benne van.
Gyakorlati feladatokban esetenként egy lapos figura is elhelyezhető a tengely alatt. Ez nem változtat semmit - a képletben a függvény négyzetes: , így egy forradalomtest térfogata mindig nem negatív, ami teljesen logikus.
Számítsa ki a forgástest térfogatát a következő képlettel: 
Amint már megjegyeztem, az integrál szinte mindig egyszerűnek bizonyul, a lényeg az, hogy legyen óvatos.
Válasz: 
A válaszban meg kell adni a méretet - köbegységet. Vagyis a mi forgástestünkben körülbelül 3,35 "kocka" van. Miért pont köbös egységek? Mert a leguniverzálisabb megfogalmazás. Lehet köbcenti, lehet köbméter, lehet köbkilométer stb., ennyi kis zöld emberke fér bele egy repülő csészealjba.
2. példa
Határozza meg annak a testnek a térfogatát, amelyet a vonalak által határolt ábra tengelye körüli elforgatás okoz,
Ez egy „csináld magad” példa. Teljes megoldás és válasz a lecke végén.
Nézzünk meg két összetettebb problémát, amelyekkel a gyakorlatban is gyakran találkozunk.
3. példa
Számítsa ki a test térfogatát, amelyet a , és a vonalak által határolt ábra abszcissza tengelye körüli elforgatással kapunk
Megoldás:Ábrázoljunk a rajzon egy , , , , vonalakkal határolt lapos ábrát, ne felejtsük el, hogy az egyenlet határozza meg a tengelyt:
A kívánt figura kék árnyalatú. A tengely körül forogva egy ilyen szürreális, négy sarkú fánkot kapunk.
A forgástest térfogatát a következőképpen számítjuk ki testtérfogat különbség.
Először nézzük meg a pirossal bekarikázott ábrát. Amikor a tengely körül forog, csonka kúpot kapunk. Jelöljük ennek a csonka kúpnak a térfogatát .
Tekintsük a zölddel bekarikázott ábrát. Ha ezt az ábrát a tengely körül elforgatod, akkor egy csonka kúpot is kapsz, csak kicsit kisebbet. A térfogatát jelöljük .
És nyilván a térfogatkülönbség pontosan akkora, mint a mi „fánkunk”.
A forgástest térfogatának meghatározásához a standard képletet használjuk:
1) A pirossal bekarikázott alakot felülről egy egyenes határolja, ezért:
2) A zölddel bekarikázott ábrát felülről egy egyenes határolja, ezért:
3) A kívánt forgástest térfogata: 
Válasz: 
Érdekes, hogy ebben az esetben a megoldást a csonka kúp térfogatának kiszámítására szolgáló iskolai képlet segítségével lehet ellenőrizni.
Maga a döntés gyakran lerövidül, valami ilyesmi: 
Most tartsunk egy kis szünetet, és beszéljünk a geometriai illúziókról.
Az embereknek gyakran vannak illúziói a kötetekkel kapcsolatban, amit Perelman (nem ugyanaz) vett észre a könyvben Érdekes geometria. Nézze meg a megoldott probléma lapos alakját - úgy tűnik, hogy kicsi a területe, és a forgástest térfogata valamivel több, mint 50 köbegység, ami túl nagynak tűnik. Mellesleg, az átlagember egész életében 18 négyzetméteres helyiség térfogatú folyadékot iszik, amely éppen ellenkezőleg, túl kicsinek tűnik.
Általában véve a Szovjetunió oktatási rendszere valóban a legjobb volt. Ugyanaz a Perelman-könyv, amelyet még 1950-ben írt, nagyon jól fejleszt, ahogy a humorista mondta, érvelést, és megtanít eredeti, nem szabványos megoldásokat keresni a problémákra. Mostanában nagy érdeklődéssel újraolvastam néhány fejezetet, ajánlom, még humanitáriusok számára is hozzáférhető. Nem, nem kell mosolyogni azon, hogy a beszpontosult időtöltést javasoltam, a műveltség és a széleskörű kommunikációs szemlélet nagyszerű dolog.
Egy lírai kitérő után éppen illik kreatív feladatot megoldani:
4. példa
Számítsa ki a , , egyenesekkel határolt lapos alak tengelye körüli elforgatással létrejött test térfogatát.
Ez egy „csináld magad” példa. Vedd figyelembe, hogy a zenekarban minden megtörténik, vagyis szinte kész integrációs határok adottak. Próbálja meg helyesen megrajzolni a trigonometrikus függvények grafikonjait is, ha az argumentumot kettővel osztjuk: , akkor a grafikonokat kétszer nyújtjuk a tengely mentén. Próbálj meg legalább 3-4 pontot találni trigonometrikus táblázatok szerintés pontosabbá tegye a rajzot. Teljes megoldás és válasz a lecke végén. A feladat egyébként racionálisan és nem túl racionálisan is megoldható.
A forgással képzett test térfogatának kiszámítása
tengely körül lapos alak
A második bekezdés még érdekesebb lesz, mint az első. Az y tengely körüli forgástest térfogatának kiszámítása is meglehetősen gyakori látogató a tesztekben. Mellesleg figyelembe kell venni az ábra területének megtalálásának problémája a második út - a tengely mentén történő integráció, ez lehetővé teszi nemcsak készségeinek fejlesztését, hanem megtanítja Önt, hogyan találja meg a legjövedelmezőbb megoldást. Ennek gyakorlati jelentése is van! A matematikatanítási módszereket tanító tanárom mosolyogva emlékezett vissza, sok végzős a következő szavakkal köszönte meg: „A tantárgya sokat segített nekünk, most már hatékony vezetők vagyunk, és optimálisan irányítjuk munkatársainkat.” Megragadva az alkalmat, nagy köszönetemet is kifejezem neki, főleg, hogy a megszerzett tudást rendeltetésszerűen használom =).
5. példa
Adott egy lapos ábra, amelyet vonalak határolnak , , .
1) Keresse meg egy lapos alak területét, amelyet ezek a vonalak határolnak.
2) Határozzuk meg a test térfogatát, amelyet ezen vonalak által határolt lapos alak tengely körüli elforgatásával kapunk!
Figyelem! Még akkor is, ha először csak a második bekezdést szeretné elolvasni szükségszerűen olvasd el az elsőt!
Megoldás: A feladat két részből áll. Kezdjük a négyzettel.
1) Végezzük el a rajzot:
Könnyen belátható, hogy a függvény a parabola felső ágát, a függvény pedig a parabola alsó ágát határozza meg. Előttünk egy triviális parabola, amely "az oldalán fekszik".
A kívánt figura, amelynek területe megtalálható, kék színű.
Hogyan lehet megtalálni egy figura területét? Megtalálható a "szokásos" módon, amiről a leckében szó volt. Határozott integrál. Hogyan számítsuk ki az ábra területét. Ezenkívül az ábra területe a területek összegeként található:
- a szegmensen 
;
- a szegmensen.
Ezért:
Mi a baj ebben az esetben a szokásos megoldással? Először is két integrál van. Másodszor, az integrálok alatti gyökök, illetve az integrálokban lévő gyökök nem ajándék, sőt, az integráció határainak helyettesítésében is megzavarodhatunk. Valójában az integrálok persze nem halálosak, de a gyakorlatban minden sokkal szomorúbb, csak „jobb” függvényeket vettem fel a feladathoz.
Van egy racionálisabb megoldás is: ez az inverz függvényekre való áttérésből és a tengely mentén történő integrációból áll.
Hogyan lehet áttérni inverz függvényekre? Nagyjából az "x"-t "y"-n keresztül kell kifejeznie. Először is foglalkozzunk a parabolával:
Ennyi is elég, de ügyeljünk arra, hogy az alsó ágból is származtatható-e ugyanaz a függvény:
Egyenes vonallal minden könnyebb:
Most nézze meg a tengelyt: kérjük, időnként döntse el fejét 90 fokkal jobbra, miközben magyarázza (ez nem vicc!). A számunkra szükséges ábra a szegmensen fekszik, amelyet a piros pontozott vonal jelöl. Ezenkívül a szegmensen az egyenes a parabola felett helyezkedik el, ami azt jelenti, hogy az ábra területét a már ismert képlet segítségével kell megtalálni: 
. Mi változott a képletben? Csak egy levél, és semmi több.
! Megjegyzés: A tengely mentén történő integráció határait be kell állítani szigorúan alulról felfelé!
A terület megkeresése:
A szegmensben tehát: 
Ügyeljen arra, hogyan végeztem az integrációt, ez a legracionálisabb módja, és a feladat következő bekezdésében kiderül, hogy miért.
Azok az olvasók, akik kételkednek az integráció helyességében, származékokat találok: 
A rendszer megkapja az eredeti integrandust, ami azt jelenti, hogy az integráció megfelelően történik.
Válasz:
2) Számítsa ki a test térfogatát, amelyet ennek az alaknak a tengely körüli elforgatása képez!
A rajzot átrajzolom egy kicsit más dizájnban:
Tehát a kékkel árnyékolt ábra a tengely körül forog. Az eredmény egy "lebegő pillangó", amely a tengelye körül forog.
A forgástest térfogatának meghatározásához a tengely mentén integráljuk. Először is át kell térnünk az inverz függvényekre. Ezt már megtettük, és az előző bekezdésben részletesen leírtuk.
Most ismét jobbra döntjük a fejünket, és tanulmányozzuk az alakunkat. Nyilvánvalóan a forgástest térfogatát a térfogatok közötti különbségként kell keresni.
A pirossal bekarikázott ábrát a tengely körül elforgatjuk, így csonka kúpot kapunk. Jelöljük ezt a kötetet -vel.
A zölddel bekarikázott ábrát a tengely körül elforgatjuk, és a kapott forgástest térfogatán keresztül jelöljük.
Pillangónk térfogata megegyezik a térfogatok különbségével.
A forradalomtest térfogatának meghatározásához a következő képletet használjuk: 
Miben különbözik az előző bekezdés képletétől? Csak betűkkel.
És itt van az integráció előnye, amiről régebben beszéltem, sokkal könnyebb megtalálni 
mint előzetesen a 4. hatványra emelni az integrandust.
Válasz: 
Azonban egy beteges pillangó.
Vegye figyelembe, hogy ha ugyanazt a lapos alakot forgatjuk a tengely körül, akkor teljesen más forgástest alakul ki, természetesen más térfogatú.
6. példa
Adott egy vonallal határolt lapos ábra és egy tengely.
1) Menjen az inverz függvényekhez, és keresse meg egy lapos alakzat területét, amelyet ezek a vonalak határolnak a változó feletti integrálással.
2) Számítsa ki a kapott test térfogatát, ha egy lapos alakzatot forgatunk a tengely körül, amelyet ezek a vonalak határolnak!
Kivéve lapos alakzat területének meghatározása egy határozott integrál segítségével (lásd 7.2.3.) a téma legfontosabb alkalmazása az egy forgástest térfogatának kiszámítása. Az anyag egyszerű, de az olvasónak fel kell készülnie: meg kell tudni oldani határozatlan integrálok közepes bonyolultságú, és alkalmazza a Newton-Leibniz formulát határozott integrál, n Erős fogalmazási készség is szükséges. Általánosságban elmondható, hogy az integrálszámításban sok érdekes alkalmazás létezik; egy határozott integrál segítségével kiszámíthatja az ábra területét, a forgástest térfogatát, az ív hosszát, az ív felületét. a test, és még sok más. Képzeljünk el valami lapos alakot a koordinátasíkon. Képviselt? ... Most ez az ábra is elforgatható, és kétféleképpen forgatható:
- az x tengely körül ;
- az y tengely körül .
Nézzük meg mindkét esetet. A második forgatási mód különösen érdekes, ez okozza a legnagyobb nehézségeket, de valójában a megoldás szinte ugyanaz, mint az elterjedtebb x tengely körüli forgatásnál. Kezdjük a legnépszerűbb forgatási típussal.
Egy lapos alak tengely körüli elforgatásával keletkezett test térfogatának kiszámítása ÖKÖR
1. példa
Számítsa ki a kapott test térfogatát, ha a vonalak által határolt ábrát a tengely körül elforgatjuk!
Megoldás: Akárcsak a terület megtalálásának problémája, a megoldás egy lapos figura rajzával kezdődik. Vagyis a repülőn XOY egy vonallal határolt ábrát kell megszerkeszteni, de nem szabad elfelejteni, hogy az egyenlet határozza meg a tengelyt. A rajz itt nagyon egyszerű:
A kívánt lapos figura kék árnyalatú, ő az, aki a tengely körül forog. A forgatás eredményeként egy ilyen enyhén tojás alakú repülő csészealjat kapunk, amelynek tengelyén két éles csúcs található. ÖKÖR, szimmetrikusan a tengelyre ÖKÖR. Valójában a testnek van matematikai neve, nézd meg a kézikönyvben.
Hogyan lehet kiszámítani a forgástest térfogatát? Ha a test egy tengely körüli forgás eredményeként jön létreÖKÖR, szellemileg kis vastagságú párhuzamos rétegekre oszlik dx amelyek merőlegesek a tengelyre ÖKÖR. Az egész test térfogata nyilvánvalóan egyenlő az ilyen elemi rétegek térfogatának összegével. Minden réteg, mint egy kerek citromszelet, egy alacsony henger magas dxés alapsugárral f(x). Ekkor egy réteg térfogata a π alapterület szorzata f 2 a henger magasságáig ( dx), vagy π∙ f 2 (x)∙dx. És a teljes forradalom testének területe az elemi térfogatok összege, vagy a megfelelő határozott integrál. A forgástest térfogata a következő képlettel számítható ki:
.
Az elkészült rajzból könnyen kitalálható, hogyan kell beállítani az "a" és a "be" integrációs határokat. Funkció... mi ez a függvény? Nézzük a rajzot. A lapos ábrát felülről a parabola-gráf határolja. Ez az a függvény, amely a képletben benne van. Gyakorlati feladatokban esetenként egy lapos figura is elhelyezhető a tengely alatt ÖKÖR. Ez nem változtat semmit - a képletben a függvény négyzetes: f 2 (x), és így, egy forradalomtest térfogata mindig nem negatív, ami teljesen logikus. Számítsa ki a forgástest térfogatát a következő képlettel:
.
Mint már megjegyeztük, az integrál szinte mindig egyszerűnek bizonyul, a lényeg az, hogy legyen óvatos.
Válasz: 
A válaszban meg kell adni a méretet - köbegységet. Vagyis a mi forgástestünkben körülbelül 3,35 "kocka" van. Miért pont köbös egységek? Mert ez a leguniverzálisabb készítmény. Lehet köbcenti, lehet köbméter, lehet köbkilométer stb., ennyi kis zöld emberke fér bele egy repülő csészealjba.
2. példa
Határozzuk meg a tengely körüli forgással létrejövő test térfogatát! ÖKÖR vonallal határolt ábra , , .
Ez egy „csináld magad” példa. Teljes megoldás és válasz a lecke végén.
3. példa
Számítsd ki a , , és vonalak által határolt ábra abszcissza tengelye körüli elforgatással kapott test térfogatát.
Megoldás:Ábrázoljunk a rajzon egy , , , vonalakkal határolt lapos alakot, ne felejtsük el, hogy az egyenlet x= 0 adja meg a tengelyt OY:
A kívánt figura kék árnyalatú. Amikor a tengely körül forog ÖKÖR lapos szögletes bagel (két kúpos felületű alátét) lesz belőle.
A forgástest térfogatát a következőképpen számítjuk ki testtérfogat különbség. Először nézzük meg a pirossal bekarikázott ábrát. Amikor a tengely körül forog ÖKÖR csonka kúpot eredményezve. Jelöljük ennek a csonka kúpnak a térfogatát mint V 1 .
Tekintsük a zölddel bekarikázott ábrát. Ha ezt az ábrát a tengely körül elforgatjuk ÖKÖR, akkor csonka kúpot is kapsz, csak kicsit kisebbet. Jelöljük a térfogatát V 2 .
Nyilvánvalóan a hangerő különbség V = V 1 - V 2 a "fánk" kötete.
A forgástest térfogatának meghatározásához a standard képletet használjuk:
1) A pirossal bekarikázott alakot felülről egy egyenes határolja, ezért:
2) A zölddel bekarikázott ábrát felülről egy egyenes határolja, ezért:
3) A kívánt forgástest térfogata: 
Válasz: 
Érdekes, hogy ebben az esetben a megoldást a csonka kúp térfogatának kiszámítására szolgáló iskolai képlet segítségével lehet ellenőrizni.
Maga a döntés gyakran lerövidül, valami ilyesmi:
A terület megtalálásának problémájához hasonlóan magabiztos rajzkészségre van szükség - ez szinte a legfontosabb (mivel maguk az integrálok gyakran könnyűek). Hozzáértő és gyors grafikus technikát sajátíthat el módszertani anyagok és gráfok geometriai transzformációi segítségével. De valójában többször is beszéltem a rajzok fontosságáról a leckében.
Általánosságban elmondható, hogy az integrálszámításban sok érdekes alkalmazás található, egy határozott integrál segítségével kiszámíthatja az ábra területét, a forgástest térfogatát, az ív hosszát, a felület felületét. forgatás, és még sok más. Szóval jó móka lesz, légy optimista!
Képzeljünk el valami lapos alakot a koordinátasíkon. Képviselt? ... Vajon ki mit mutatott be... =))) A területét már megtaláltuk. De emellett ez az ábra is elforgatható és kétféleképpen forgatható:
- az abszcissza tengely körül;
- az y tengely körül.
Ebben a cikkben mindkét esetet tárgyaljuk. A második forgatási mód különösen érdekes, ez okozza a legnagyobb nehézségeket, de valójában a megoldás szinte ugyanaz, mint az elterjedtebb x tengely körüli forgatásnál. Bónuszként visszatérek az ábra területének megtalálásának problémája, és elmondja, hogyan találhatja meg a területet a második módon - a tengely mentén. Nem is annyira bónusz, mint az anyag jól illeszkedik a témához.
Kezdjük a legnépszerűbb forgatási típussal.
tengely körül lapos alak
1. példa
Számítsa ki a kapott test térfogatát, ha a vonalak által határolt ábrát a tengely körül elforgatjuk!
Megoldás: Mint a területi problémánál, a megoldás egy lapos figura rajzával kezdődik. Vagyis a síkon meg kell építeni egy , , vonallal határolt ábrát, miközben nem szabad elfelejteni, hogy az egyenlet határozza meg a tengelyt. A rajz racionálisabb és gyorsabb elkészítésének módja az oldalakon található Elemi függvények grafikonjai és tulajdonságaiés Határozott integrál. Hogyan számítsuk ki az ábra területét. Ez egy kínai emlékeztető, és nem állok meg ennél a pontnál.
A rajz itt nagyon egyszerű:
A kívánt lapos figurát kékre árnyékoljuk, és ez a figura az, amely a tengely körül forog, elforgatás eredményeként olyan enyhén tojás alakú repülő csészealjat kapunk, amely szimmetrikus a tengelyre. Valójában a testnek van matematikai neve, de lusta valamit megadni a referenciakönyvben, ezért továbblépünk.
Hogyan lehet kiszámítani a forgástest térfogatát?
Egy forgástest térfogata a képlettel számítható ki:
A képletben az integrál előtt egy számnak kell lennie. Így történt – minden, ami az életben forog, ehhez az állandóhoz kapcsolódik.
Az "a" és a "be" integráció határait beállítani, azt hiszem, könnyen kitalálható az elkészült rajzból.
Funkció... mi ez a függvény? Nézzük a rajzot. A lapos ábrát felülről a parabola-gráf határolja. Ez az a függvény, amely a képletben benne van.
Gyakorlati feladatokban esetenként egy lapos figura is elhelyezhető a tengely alatt. Ez nem változtat semmit - a képlet integrandusa négyzetes: , így az integrál mindig nem negatív, ami teljesen logikus.
Számítsa ki a forgástest térfogatát a következő képlettel: 
Amint már megjegyeztem, az integrál szinte mindig egyszerűnek bizonyul, a lényeg az, hogy legyen óvatos.
Válasz:
A válaszban meg kell adni a méretet - köbegységet. Vagyis a mi forgástestünkben körülbelül 3,35 "kocka" van. Miért pont köbös egységek? Mert a leguniverzálisabb megfogalmazás. Lehet köbcenti, lehet köbméter, lehet köbkilométer stb., ennyi kis zöld emberke fér bele egy repülő csészealjba.
2. példa
Határozza meg annak a testnek a térfogatát, amelyet a vonalak által határolt ábra tengelye körüli elforgatás okoz,
Ez egy „csináld magad” példa. Teljes megoldás és válasz a lecke végén.
Nézzünk meg két összetettebb problémát, amelyekkel a gyakorlatban is gyakran találkozunk.
3. példa
Számítsa ki a test térfogatát, amelyet a , és a vonalak által határolt ábra abszcissza tengelye körüli elforgatással kapunk
Megoldás: Rajzoljon a rajzon egy lapos alakzatot , , , , vonalakkal határolva, de ne felejtse el, hogy az egyenlet határozza meg a tengelyt:
A kívánt figura kék árnyalatú. A tengely körül forogva egy ilyen szürreális, négy sarkú fánkot kapunk.
A forgástest térfogatát a következőképpen számítjuk ki testtérfogat különbség.
Először nézzük meg a pirossal bekarikázott ábrát. Amikor a tengely körül forog, csonka kúpot kapunk. Jelöljük ennek a csonka kúpnak a térfogatát .
Tekintsük a zölddel bekarikázott ábrát. Ha ezt az ábrát a tengely körül elforgatod, akkor egy csonka kúpot is kapsz, csak kicsit kisebbet. A térfogatát jelöljük .
És nyilván a térfogatkülönbség pontosan akkora, mint a mi „fánkunk”.
A forgástest térfogatának meghatározásához a standard képletet használjuk: 
1) A pirossal bekarikázott alakot felülről egy egyenes határolja, ezért:
2) A zölddel bekarikázott ábrát felülről egy egyenes határolja, ezért:
3) A kívánt forgástest térfogata:
Válasz: 
Érdekes, hogy ebben az esetben a megoldást a csonka kúp térfogatának kiszámítására szolgáló iskolai képlet segítségével lehet ellenőrizni.
Maga a döntés gyakran lerövidül, valami ilyesmi:
Most tartsunk egy kis szünetet, és beszéljünk a geometriai illúziókról.
Az embereknek gyakran vannak illúziói a kötetekkel kapcsolatban, amire Perelman (egy másik) is felfigyelt a könyvben Érdekes geometria. Nézze meg a megoldott probléma lapos alakját - úgy tűnik, hogy kicsi a területe, és a forgástest térfogata valamivel több, mint 50 köbegység, ami túl nagynak tűnik. Mellesleg, az átlagember egész életében 18 négyzetméteres helyiség térfogatú folyadékot iszik, amely éppen ellenkezőleg, túl kicsinek tűnik.
Általában véve a Szovjetunió oktatási rendszere valóban a legjobb volt. Ugyanaz a Perelman-könyv, amelyet még 1950-ben adtak ki, nagyon jól fejleszt, ahogy a humorista mondta, okoskodni, és megtanít eredeti, nem szabványos megoldásokat keresni a problémákra. Mostanában nagy érdeklődéssel újraolvastam néhány fejezetet, ajánlom, még humanitáriusok számára is hozzáférhető. Nem, nem kell mosolyogni azon, hogy a beszpontosult időtöltést javasoltam, a műveltség és a széleskörű kommunikációs szemlélet nagyszerű dolog.
Egy lírai kitérő után éppen illik kreatív feladatot megoldani:
4. példa
Számítsa ki a , , egyenesekkel határolt lapos alak tengelye körüli elforgatással létrejött test térfogatát.
Ez egy „csináld magad” példa. Vegyük észre, hogy minden a sávban történik, más szóval, kész integrációs korlátok adottak. Helyesen rajzolja meg a trigonometrikus függvények grafikonjait, emlékeztetem a lecke anyagát gráfok geometriai transzformációi: ha az argumentum osztható kettővel: , akkor a grafikonokat kétszer nyújtjuk a tengely mentén. Kívánatos legalább 3-4 pontot találni trigonometrikus táblázatok szerint a rajz pontosabb befejezéséhez. Teljes megoldás és válasz a lecke végén. A feladat egyébként racionálisan és nem túl racionálisan is megoldható.
A forgással képzett test térfogatának kiszámítása
tengely körül lapos alak
A második bekezdés még érdekesebb lesz, mint az első. Az y tengely körüli forgástest térfogatának kiszámítása is meglehetősen gyakori látogató a tesztekben. Mellesleg figyelembe kell venni az ábra területének megtalálásának problémája a második út - a tengely mentén történő integráció, ez lehetővé teszi nemcsak készségeinek fejlesztését, hanem megtanítja Önt, hogyan találja meg a legjövedelmezőbb megoldást. Ennek gyakorlati jelentése is van! A matematikatanítási módszereket tanító tanárom mosolyogva emlékezett vissza, sok végzős a következő szavakkal köszönte meg: „A tantárgya sokat segített nekünk, most már hatékony vezetők vagyunk, és optimálisan irányítjuk munkatársainkat.” Megragadva az alkalmat, nagy köszönetemet is kifejezem neki, főleg, hogy a megszerzett tudást rendeltetésszerűen használom =).
Mindenkinek ajánlom olvasásra, még komplett bábuknak is. Ezenkívül a második bekezdés asszimilált anyaga felbecsülhetetlen segítséget jelent a kettős integrálok kiszámításához.
5. példa
Adott egy lapos ábra, amelyet vonalak határolnak , , .
1) Keresse meg egy lapos alak területét, amelyet ezek a vonalak határolnak.
2) Határozzuk meg a test térfogatát, amelyet ezen vonalak által határolt lapos alak tengely körüli elforgatásával kapunk!
Figyelem! Még akkor is, ha először csak a második bekezdést szeretné elolvasni szükségszerűen olvasd el az elsőt!
Megoldás: A feladat két részből áll. Kezdjük a négyzettel.
1) Végezzük el a rajzot:
Könnyen belátható, hogy a függvény a parabola felső ágát, a függvény pedig a parabola alsó ágát határozza meg. Előttünk egy triviális parabola, amely "az oldalán fekszik".
A kívánt figura, amelynek területe megtalálható, kék színű.
Hogyan lehet megtalálni egy figura területét? Megtalálható a "szokásos" módon, amiről a leckében szó volt. Határozott integrál. Hogyan számítsuk ki az ábra területét. Ezenkívül az ábra területe a területek összegeként található:
- a szegmensen 
;
- a szegmensen.
Ezért:
Mi a baj ebben az esetben a szokásos megoldással? Először is két integrál van. Másodszor, az integrálok alatti gyökök, illetve az integrálokban lévő gyökök nem ajándék, sőt, az integráció határainak helyettesítésében is megzavarodhatunk. Valójában az integrálok persze nem halálosak, de a gyakorlatban minden sokkal szomorúbb, csak „jobb” függvényeket vettem fel a feladathoz.
Van egy racionálisabb megoldás is: ez az inverz függvényekre való áttérésből és a tengely mentén történő integrációból áll.
Hogyan lehet áttérni inverz függvényekre? Nagyjából az "x"-t "y"-n keresztül kell kifejeznie. Először is foglalkozzunk a parabolával:
Ennyi is elég, de ügyeljünk arra, hogy az alsó ágból is származtatható-e ugyanaz a függvény:
Egyenes vonallal minden könnyebb:
Most nézze meg a tengelyt: kérjük, időnként döntse el fejét 90 fokkal jobbra, miközben magyarázza (ez nem vicc!). A számunkra szükséges ábra a szegmensen fekszik, amelyet a piros pontozott vonal jelöl. Ezenkívül a szegmensen az egyenes a parabola felett helyezkedik el, ami azt jelenti, hogy az ábra területét a már ismert képlet segítségével kell megtalálni: 
. Mi változott a képletben? Csak egy levél, és semmi több.
! jegyzet: A tengely mentén integrálási határokat kell beállítani szigorúan alulról felfelé!
A terület megkeresése:
A szegmensben tehát: 
Ügyeljen arra, hogyan végeztem az integrációt, ez a legracionálisabb módja, és a feladat következő bekezdésében kiderül, hogy miért.
Azok az olvasók, akik kételkednek az integráció helyességében, származékokat találok: 
A rendszer megkapja az eredeti integrandust, ami azt jelenti, hogy az integráció megfelelően történik.
Válasz:
2) Számítsa ki a test térfogatát, amelyet ennek az alaknak a tengely körüli elforgatása képez!
A rajzot átrajzolom egy kicsit más dizájnban:
Tehát a kékkel árnyékolt ábra a tengely körül forog. Az eredmény egy "lebegő pillangó", amely a tengelye körül forog.
A forgástest térfogatának meghatározásához a tengely mentén integráljuk. Először is át kell térnünk az inverz függvényekre. Ezt már megtettük, és az előző bekezdésben részletesen leírtuk.
Most ismét jobbra döntjük a fejünket, és tanulmányozzuk az alakunkat. Nyilvánvalóan a forgástest térfogatát a térfogatok közötti különbségként kell keresni.
A pirossal bekarikázott ábrát a tengely körül elforgatjuk, így csonka kúpot kapunk. Jelöljük ezt a kötetet -vel.
A zölddel bekarikázott ábrát a tengely körül elforgatjuk, és a kapott forgástest térfogatán keresztül jelöljük.
Pillangónk térfogata megegyezik a térfogatok különbségével.
A forradalomtest térfogatának meghatározásához a következő képletet használjuk:
Miben különbözik az előző bekezdés képletétől? Csak betűkkel.
És itt van az integráció előnye, amiről régebben beszéltem, sokkal könnyebb megtalálni 
mint az integrandot a 4. hatványra emelni.
Válasz: 
Azonban egy beteges pillangó.
Vegye figyelembe, hogy ha ugyanazt a lapos alakot forgatjuk a tengely körül, akkor teljesen más forgástest alakul ki, természetesen más térfogatú.
6. példa
Adott egy vonallal határolt lapos ábra és egy tengely.
1) Menjen az inverz függvényekhez, és keresse meg egy lapos alakzat területét, amelyet ezek a vonalak határolnak a változó feletti integrálással.
2) Számítsa ki a kapott test térfogatát, ha egy lapos alakzatot forgatunk a tengely körül, amelyet ezek a vonalak határolnak!
Ez egy „csináld magad” példa. Aki szeretne, az a „szokásos” módon is megtalálhatja az ábra területét, ezzel kitöltve az 1. pont tesztjét. De ha, ismétlem, egy lapos figurát forgatsz a tengely körül, akkor egy teljesen más forgástestet kapsz más hangerővel, mellesleg a helyes választ (a megoldani szeretőknek is).
A feladat két javasolt tételének teljes megoldása az óra végén.
Ja, és ne felejtsd el jobbra dönteni a fejed, hogy megértsd a forgástesteket és az integráción belül!
