Szerkessze meg a párkorrelációs együtthatók mátrixát! Ellenőrizze a multikollinearitást

Tekintsük most a 3.2.1. példa megoldását Excelben.

A korreláció Excel segítségével történő kiszámításához használhatja a függvényt =correl(), amely két számoszlop címét adja meg, amint az ábra mutatja. 3.2.2. A válasz D8-ba kerül, és egyenlő 0,816-tal.

Rizs. 3.2.2.

(Megjegyzés: A függvény argumentumai a korreleknek számoknak vagy neveknek, tömböknek vagy számokat tartalmazó hivatkozásoknak kell lenniük. Ha az argumentum, amely egy tömb vagy hivatkozás, szöveget, logikai értékeket vagy üres cellákat tartalmaz, akkor ezeket az értékeket figyelmen kívül hagyja; azonban a nulla értéket tartalmazó cellák számítanak.

Ha tömb! és a tömb2 különböző számú adatponttal rendelkezik, akkor a függvény correl a #n/a hibaértéket adja vissza.

Ha a tömb1 vagy tömb2 üres, vagy ha az értékük o (szórása) nulla, akkor a függvény A correl a #div/0 hibaértéket adja vissza!)

A Student-féle t-statisztika kritikus értéke is megkapható a függvénnyel 1 Excel csomag elosztása. Függvényargumentumként meg kell adnia a szabadságfokok számát P- 2 (16. példánkban - 2= 14) és a szignifikancia szint (példánkban a = 0,1) (3.2.3. ábra). Ha jelenlegi érték A modulo vett /-statisztika nagyobb kritikai, akkor (1 - a) valószínűséggel a korrelációs együttható jelentősen eltér nullától.

Rizs. 3.2.3. A /-statisztika kritikus értéke 1,7613

Az Excel egy sor adatelemző eszközt (úgynevezett elemzési csomagot) tartalmaz, amelyek különféle statisztikai problémák megoldására szolgálnak. A párkorrelációs együtthatók mátrixának kiszámítása R használja a Korrelációs eszközt (3.2.4. ábra) és állítsa be az elemzési paramétereket a megfelelő párbeszédablakban. A válasz egy új munkalapra kerül (3.2.5. ábra).

1 Excel 2010-ben a függvény neve studrasprobr megváltozott stu-

DENT.OBR.2X.

Rizs. 3.2.4.

Rizs. 3.2.5.

• A korrelációelmélet megalapozói F. Galton (1822-1911) és K. Pearson (1857-1936) angol statisztikusok. A „korreláció” kifejezést a természettudományból kölcsönözték, és „korrelációt, megfelelést” jelent. A korreláció mint a valószínűségi változók közötti kölcsönös függés gondolata a matematikai-statisztikai korrelációelmélet alapja.

2. feladat

1. Szerkessze meg a párkorrelációs együtthatók mátrixát! Ellenőrizze a multikollinearitást. Indokolja a faktorok kiválasztását a modellben!

2. Szerkesszen meg egy többszörös regressziós egyenletet lineáris formában kiválasztott tényezőkkel!

3. Mérje fel a regressziós egyenlet és paraméterei statisztikai szignifikanciáját Fisher és Student tesztek segítségével!

4. Szerkesszünk regressziós egyenletet statisztikailag szignifikáns tényezőkkel! Értékelje a regressziós egyenlet minőségét az R2 determinációs együttható segítségével. Értékelje a megszerkesztett modell pontosságát!

5. Értékelje a termelési mennyiség előrejelzését, ha a tényezők előrejelzett értékei a maximális értékük 75%-a.

Problémakörülmények (21. lehetőség)

Az 1. táblázatban bemutatott adatok szerint (n = 17) az Y termelési mennyiség (millió rubel) függését a következő tényezőktől (változóktól) vizsgáljuk:

X 1 – ipari termelőlétszám, fő.

X 2 – az állóeszközök átlagos éves költsége, millió rubel.

X 3 – tárgyi eszközök értékcsökkenése, %

X 4 – tápegység, kWh.

X 5 – egy munkás technikai felszerelése, millió rubel.

X 6 – piacképes termékek előállítása dolgozónként, dörzsölje.

1. táblázat: Termék kiadási adatok

Szerkessze meg a párkorrelációs együtthatók mátrixát! Ellenőrizze a multikollinearitást. Indokolja a faktorok kiválasztását a modellben!

A 2. táblázat mutatja pár korrelációs együttható mátrix a mérlegelésben érintett összes változóra. A mátrixot az eszköz segítségével kaptuk Korreláció a csomagból Adatelemzés V Excel.

2. táblázat. Párkorrelációs együtthatók mátrixa

A mátrix vizuális elemzése lehetővé teszi a következők megállapítását:

1) U meglehetősen magas páronkénti korrelációja van az X1, X2 változókkal (>0,5) és alacsony változókkal X3,X4,X5,X6 (<0,5);

2) Az X1, X2 elemzési változók meglehetősen magas páronkénti korrelációt mutatnak, ami szükségessé teszi a köztük lévő multikollinearitás meglétének faktorok ellenőrzését. Ráadásul a klasszikus regressziós modell egyik feltétele a magyarázó változók függetlenségének feltételezése.

A faktorok multikollinearitásának azonosítására végezzük Farrar-Glouber teszt X1, X2 tényezőkkel, X3,X4,X5,X6.

A Farrar-Glouber teszt ellenőrzése a faktorok multikollinearitása szempontjából több szakaszból áll.

1) A változók teljes tömbjének multikollinearitásának ellenőrzése .

A klasszikus regressziós modell egyik feltétele a magyarázó változók függetlenségének feltételezése. A faktorok közötti multikollinearitás azonosításához az R interfaktor-korrelációk mátrixát az Adatelemzési csomag segítségével számítjuk ki (3. táblázat).

3. táblázat Interfaktor korrelációk mátrixa R

Erős (>0,5) függőség van az X1 és X2, X5 és X4, X6 és X5 faktorok között.

A determináns det (R) = 0,001488 a MOPRED függvény segítségével kerül kiszámításra. Az R mátrix determinánsa nullára hajlik, ami lehetővé teszi, hogy a faktorok általános multikollinearitásáról feltételezzünk.

2) Az egyes változók multikollinearitásának ellenőrzése más változókkal:

· Számítsuk ki az R -1 inverz mátrixot a MOBR Excel függvény segítségével (4. táblázat):

4. táblázat: Inverz mátrix R -1

· F-kritériumok számítása, ahol a mátrix átlós elemei vannak, n=17, k = 6 (5. táblázat).

5. táblázat. F-teszt értékei

· A tényleges F-teszt értékeket összehasonlítja a táblázat értékével F táblázat = 3,21(FDIST(0,05;6;10)), ahol n1= 6 és n2 = n - k – 1=17-6-1=10 szabadságfok és α=0,05 szignifikanciaszint, ahol k a tényezők száma.

· Az X1 és X2 faktorok F-kritériumértékei nagyobbak, mint a táblázatban szereplők, ami a multikollinearitás jelenlétét jelzi e tényezők között. Az X3 faktornak van a legkevesebb hatása a faktorok általános multikollinearitására.

3) Az egyes változópárok multikollinearitásának ellenőrzése

· Számítsuk ki a parciális korrelációs együtthatókat a képlettel, ahol a mátrix elemei vannak (6. táblázat)

6. táblázat. Parciális korrelációs együtthatók mátrixa

· Számítás t-kritériumok a képlet szerint (7. táblázat)

n - adatok száma = 17

K - tényezők száma = 6

7. táblázat.t-próbák parciális korrelációs együtthatókra

t táblázat = STUDARSOBR(0,05;10) = 2,23

A t-próbák tényleges értékeit összehasonlítjuk a táblázat értékével n-k-1 = 17-6-1=10 szabadsági fokokkal és α=0,05 szignifikancia szinttel;

t21 > ttable

t54 > ttable

A 6. és 7. táblázatból jól látható, hogy két faktorpár X1 és X2, X4 és X5 nagy statisztikailag szignifikáns parciális korrelációt mutat, azaz multikollineárisak. A multikollinearitás elkerülése érdekében kizárhatja a kollineáris pár egyik változóját. Az X1 és X2 párban X2-t hagyunk, az X4 és X5 párban X5-öt.

Így a Farrar-Glouber teszt ellenőrzése eredményeként a következő tényezők maradnak meg: X2, X3, X5, X6.

A korrelációelemzési eljárások elvégzésekor célszerű megnézni a kiválasztott faktorok parciális összefüggéseit az eredménnyel Y.

A 8. táblázat adatai alapján építsük fel a páros korrelációs együtthatók mátrixát.

8. táblázat: Termékkimeneti adatok X2, X3, X5, X6 kiválasztott tényezőkkel.

A 9. táblázat utolsó oszlopa az Y oszlop t-teszt értékeit mutatja be.

9. táblázat Az eredménnyel való parciális korrelációs együtthatók mátrixa Y

A 9. táblázatból jól látható, hogy a változó Y magas és egyben statisztikailag szignifikáns parciális korrelációt mutat a faktor X2.

Elemzés interfaktorális(az „X-ek” között!) korrelációs együtthatók azt mutatják, hogy a 0,8 érték meghaladja abszolút értékben csak a faktorpár közötti korrelációs együttható x 1 –x 3 (félkövér). Tényezők x 1 –xígy a 3. ábrát kollineárisnak ismerjük el.

2. Ahogy az 1. bekezdésben látható, tényezők x 1 –x A 3. ábrák kollineárisak, ami azt jelenti, hogy gyakorlatilag egymás másodpéldányai, és egyidejű felvételük a modellbe a megfelelő regressziós együtthatók hibás értelmezéséhez vezet. Egyértelmű, hogy a tényező x 3 van egy nagyobb modulo korrelációs együttható az eredménnyel Y mint tényező x 1: r y , x 1 =0,519; r y , x 3 = 0,610; (cm. asztal 1). Ez a faktor erősebb hatását jelzi x Változásonként 3 Y. Tényező x Az 1. pont ezért ki van zárva a mérlegelésből.

A regressziós egyenlet összeállításához a használt változók értékeit ( Y,x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6) másolás egy üres munkalapra ( adj. 3). A regressziós egyenletet a " bővítmény segítségével állítjuk össze Adatelemzés...Regresszió" (menü " Szolgáltatás"® « Adatelemzés…» ® « Regresszió"). Megjelenik a kitöltött mezőket tartalmazó regressziós elemzés panel rizs. 2.

A regressziós analízis eredményeit az alábbiakban közöljük adj. 4és odaköltözött asztal 2. A regressziós egyenlet alakja (lásd " Esély" V asztal 2):

A regressziós egyenlet statisztikailag szignifikánsnak tekinthető, mivel véletlenszerű kialakulásának valószínűsége abban a formában, amelyben megkaptuk, 8,80 × 10 -6 (lásd. "F szignifikancia" V asztal 2), ami szignifikánsan alacsonyabb, mint az elfogadott a=0,05 szignifikanciaszint.

x 3 , x 4 , x 6 az elfogadott szignifikanciaszint alatt, a=0,05 (lásd „ P-érték" V asztal 2), amely jelzi az együtthatók statisztikai szignifikanciáját és e tényezők szignifikáns hatását az éves eredmény változására Y.

Tényezők együtthatóinak véletlenszerű képződésének valószínűsége x 2 és x 5 meghaladja az elfogadott szignifikancia szintet a=0,05 (lásd " P-érték" V asztal 2), és ezek az együtthatók statisztikailag nem tekinthetők szignifikánsnak.

rizs. 2. Modell regresszióelemző panel Y(x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6)

2. táblázat

Y(x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6)

3. Az előző bekezdésben elvégzett regressziós egyenletegyütthatók statisztikai szignifikancia ellenőrzésének eredményei alapján új, csak informatív tényezőket tartalmazó regressziós modellt építünk fel, amely a következőket tartalmazza:

· olyan tényezők, amelyek együtthatói statisztikailag szignifikánsak;

tényezők, amelyek együtthatói t-statisztika abszolút értékben meghaladja az egyet (más szóval, az együttható abszolút értéke nagyobb, mint a standard hibája).

Az első csoportba a tényezők tartoznak x 3 , x 4 , x 6, a második - tényező x 2. Tényező x Az 5. minta nem informatív, és a végső regressziós modell faktorokat fog tartalmazni x 2 , x 3 , x 4 , x 6 .

Regressziós egyenlet felépítéséhez másolja át a használt változók értékeit egy üres munkalapra ( adj. 5)és végezzen regressziós elemzést ( rizs. 3). Eredményeit közöljük adj. 6és odaköltözött asztal 3. A regressziós egyenlet a következő:

(cm." Esély" V asztal 3).

rizs. 3. Modell regresszióelemző panel Y(x 2 , x 3 , x 4 , x 6)

3. táblázat

A modell regressziós elemzésének eredményei Y(x 2 , x 3 , x 4 , x 6)

A regressziós egyenlet statisztikailag szignifikáns: véletlenszerű kialakulásának valószínűsége az a=0,05 elfogadható szignifikancia szint alatt van (lásd “ Jelentősége F" V asztal 3).

A tényezők együtthatói statisztikailag is szignifikánsnak minősülnek x 3 , x 4 , x 6: véletlenszerű kialakulásuk valószínűsége az a=0,05 elfogadható szignifikanciaszint alatt van (lásd “ P-érték" V asztal 3). Ez az éves biztosítási díjak jelentős hatását jelzi x 3, a biztosítási kifizetések éves összege x 4. és a tulajdoni formák x 6 éves nyereség változásonként Y.

Tényező együttható x 2 (biztosítási tartalék éves nagysága) statisztikailag nem szignifikáns. Ez a tényező azonban továbbra is informatívnak tekinthető, hiszen t-együtthatójának statisztikája meghaladja modulo egység, bár további következtetések a faktorral kapcsolatban x 2-vel némi óvatossággal kell bánni.

4. Értékeljük az utolsó regressziós egyenlet minőségét és pontosságát a regresszióanalízis során kapott statisztikai jellemzők segítségével (ld. . « Regressziós statisztika"V asztal 3):

többszörös determinációs együttható

azt mutatja, hogy a regressziós modell az éves profit változásának 75,1%-át magyarázza Y, és ez a változás a regressziós modellben szereplő tényezők változásaiból adódik x 2 , x 3 , x 4 és x 6 ;

standard regressziós hiba

ezer rubel.

azt mutatja, hogy a regressziós egyenlet által megjósolt éves nyereség értékei Yátlagosan 237,6 ezer rubel eltér a tényleges értékektől.

Az átlagos relatív közelítési hibát a közelítő képlet határozza meg:

Ahol ezer rubel. - átlagos éves nyereség (a beépített függvény segítségével meghatározva" ÁTLAGOS»; adj. 1).

E rel azt mutatja, hogy a regressziós egyenlet által megjósolt éves nyereség értékei Yátlagosan 26,7%-kal térnek el a tényleges értékektől. A modell pontossága nem kielégítő (at - a modell pontossága magas, - jó, vele - kielégítő, - nem kielégítő).

5. A regressziós egyenlet együtthatóinak közgazdasági értelmezéséhez táblázatba foglaljuk a forrásadatokban szereplő változók átlagértékeit és szórását ( asztal 4) . Az átlagértékeket a beépített függvény segítségével határoztuk meg. ÁTLAGOS", szórás - a beépített funkció segítségével" SZABVÁNYELTÉRÉS" (cm. adj. 1).

A 2011-es adatok az Orosz Föderáció déli szövetségi körzetének területeire vonatkoznak

• 1. Számítsa ki a párkorrelációs együtthatók mátrixát! értékelje a korrelációs együtthatók statisztikai szignifikanciáját.
• 2. Szerkesszen meg egy korrelációs mezőt az effektív jellemző és a vele legszorosabban kapcsolódó tényező között!
• 3. Számítsa ki a lineáris párregresszió paramétereit minden X faktorhoz.
• 4. Értékelje az egyes modellek minőségét a determinációs együttható, a közelítés átlagos hibája és a Fisher-féle F teszt segítségével. Válassza ki a legjobb modellt.

a maximális érték 80%-a lesz. Grafikus bemutatása: tényleges és modellértékek, előrejelzési pontok.

• 6. Lépésről lépésre többszörös regressziót alkalmazva (kizárási módszer vagy inklúziós módszer) építse fel a lakások árképzésének modelljét jelentős tényezők hatására. Adja meg a regressziós modell együtthatóinak közgazdasági értelmezését!
• 7. Értékelje az elkészített modell minőségét! Javult a modell minősége az egytényezős modellhez képest? Értékelje a szignifikáns tényezők hatását az eredményre a rugalmassági együtthatók segítségével, - és -? együtthatók

A probléma megoldása során számításokat végzünk, grafikonokat és diagramokat készítünk az Excel adatelemzési beállításaival.

1. Számítsa ki a párkorrelációs együtthatók mátrixát és értékelje a korrelációs együtthatók statisztikai szignifikanciáját

A Korreláció párbeszédpanel Beviteli intervallum mezőjében adja meg a forrásadatokat tartalmazó cellák tartományát. Mivel az oszlopfejléceket is kijelöltük, az első sorban bejelöljük a Címkék jelölőnégyzetet.

A következő eredményeket kaptuk:

1.1. táblázat Párkorrelációs együtthatók mátrixa

A páronkénti korrelációs együtthatók mátrixának elemzése azt mutatja, hogy az Y függő változó, azaz a bruttó regionális termék szorosabb kapcsolatban áll X1-gyel (állandó tőkebefektetés). A korrelációs együttható 0,936. Ez azt jelenti, hogy az Y függő változó (bruttó regionális termék) 93,6%-a az X1 mutatótól (állandó tőkebefektetés) függ.

A korrelációs együtthatók statisztikai szignifikanciáját Student-féle t-próbával határozzuk meg. Összehasonlítjuk a táblázat értékét a számított értékekkel.

Számítsuk ki a táblázat értékét a STUDISCOVER függvény segítségével.

t táblázat = 0,129 0,9-es konfidenciaszinttel és szabadságfokkal (n-2).

Az X1 faktor statisztikailag szignifikáns.

2. Szerkesszünk meg egy korrelációs mezőt az effektív tulajdonság (bruttó regionális termék) és a vele legszorosabban kapcsolódó tényező (állandó tőkebefektetés) között!

Ehhez az Excel szóródási eszközét fogjuk használni.

Ennek eredményeként egy korrelációs mezőt kapunk a bruttó regionális termék árára, milliárd rubelre. és tárgyi eszközökbe történő befektetések, milliárd rubel. (1.1. ábra).

1.1. ábra

3. Számítsa ki a lineáris párregresszió paramétereit minden X faktorhoz!

A lineáris páronkénti regresszió paramétereinek kiszámításához az Adatelemzés beállításban található Regresszió eszközt fogjuk használni.

A Regresszió párbeszédpanel Y Beviteli intervallum mezőjében adja meg a függő változó által képviselt cellatartomány címét. A terepen

Az X beviteli intervallum megadjuk annak a tartománynak a címét, amely a független változók értékeit tartalmazza. Számítsuk ki a páros regresszió paramétereit X faktorra.

X1-re az 1.2. táblázatban bemutatott alábbi adatokat kaptuk:

1.2. táblázat

A bruttó regionális termék árának az állótőke-befektetéstől való függésének regressziós egyenlete a következő:

4. Értékeljük az egyes modellek minőségét a determinációs együttható, a közelítés átlagos hibája és a Fisher-féle F-próba segítségével. Határozzuk meg, melyik modell a legjobb.

A determinációs együtthatót, a közelítés átlagos hibáját a 3. bekezdésben elvégzett számítások eredményeként kaptuk meg. A kapott adatokat a következő táblázatok mutatják be:

X1 adatok:

1.3a. táblázat

1.4b. táblázat

A) A determinációs együttható határozza meg, hogy az Y tulajdonság változásának mekkora hányadát veszi figyelembe a modell, és az X faktor rá gyakorolt ​​hatásának köszönhető. Minél nagyobb a determinációs együttható értéke, annál szorosabb a kapcsolat a jellemzők a felépített matematikai modellben.

Az Excel az R-négyzetre utal.

E kritérium alapján a legmegfelelőbb modell a bruttó regionális termék árának az állótőke-befektetéstől való függésének regressziós egyenlete (X1).

B) Kiszámoljuk az átlagos közelítési hibát a következő képlettel:

ahol a számláló a számított értékek és a tényleges értékektől való eltérés négyzeteinek összege. A táblázatokban az SS oszlopban, a maradék sorban található.

Egy lakás átlagárát Excelben számoljuk ki az AVERAGE függvény segítségével. = 24,18182 milliárd rubel.

A gazdaságossági számítások elvégzésekor egy modell akkor tekinthető kellően pontosnak, ha a közelítés átlagos hibája 5%-nál kisebb, a modellt pedig akkor tekintjük elfogadhatónak, ha a közelítés átlagos hibája 15%-nál kisebb.

E kritérium szerint a legmegfelelőbb a regionális bruttó termék árának az állótőke-befektetéstől való függésének regressziós egyenletének matematikai modellje (X1).

C) Az F-próba a regressziós modell szignifikanciájának tesztelésére szolgál. Ehhez a Fisher F-teszt kritikus (táblázatos) értékeit is összehasonlítjuk.

A számított értékeket az 1.4b táblázat tartalmazza (F betűvel jelölve).

A Fisher-féle F-teszt táblázatos értékét Excelben az FDIST függvény segítségével számítjuk ki. Vegyük a 0,05 valószínűséget. Beérkezett: = 4,75

A Fisher-féle F-teszt kiszámított értékei az egyes tényezőkre összehasonlíthatók a táblázatban szereplő értékekkel:

71,02 > = 4,75 a modell e kritérium szerint megfelelő.

Az adatokat mindhárom kritérium szerint elemezve megállapíthatjuk, hogy a legjobb matematikai modell a bruttó regionális terméktényezőre épül fel, amelyet a lineáris egyenlet ír le.

5. A bruttó regionális termék árának függőségi modelljéhez

A mutató átlagos értékét szignifikancia szinten fogjuk megjósolni, ha a faktor előrejelzett értéke a maximális érték 80%-a. Mutassuk be grafikusan: tényleges és modell értékek, előrejelzési pontok.

Számítsuk ki X előrejelzett értékét, amely a feltétel szerint a maximális érték 80%-a lesz.

Számítsuk ki az X max-ot az Excelben a MAX függvény segítségével.

0,8 *52,8 = 42,24

A függő változó prediktív becsléséhez a független változó kapott értékét behelyettesítjük a lineáris egyenletbe:

5,07+2,14*42,24 = 304,55 milliárd rubel.

Határozzuk meg az előrejelzés konfidencia intervallumát, amelynek a következő határai lesznek:

Az előrejelzett érték konfidenciaintervallumának kiszámításához kiszámítjuk a regressziós egyenestől való eltérést.

Páros regressziós modell esetén az eltérési érték kiszámítása:

azok. standard hibaérték az 1.5a táblázatból.

(Mivel a szabadságfok száma eggyel egyenlő, a nevező n-2 lesz). korrelációs pár regressziós előrejelzés

Az együttható kiszámításához az Excel STUDISCOVER függvényét használjuk, amelynek valószínűsége 0,1, a szabadságfok száma pedig 38.

Az értéket Excel segítségével számítjuk ki, és 12294-et kapunk.

Határozzuk meg az intervallum felső és alsó határát.

• 304,55+27,472= 332,022
• 304,55-27,472= 277,078

Így az előrejelzett érték = 304,55 ezer dollár a 277,078 ezer dollárral egyenlő alsó határ között lesz. és felső határa 332,022 milliárd. Dörzsölés.

A tényleges és modell értékeket, előrejelzési pontokat grafikusan az 1.2. ábra mutatja be.

1.2. ábra

6. Lépésről lépésre többszörös regresszióval (eliminációs módszerrel) modellt építünk a bruttó regionális termék árának jelentős tényezők hatására történő alakulására.

Többszörös regresszió felépítéséhez az Excel regressziós függvényét használjuk, beleértve az összes tényezőt. Ennek eredményeként megkapjuk az eredménytáblázatokat, amelyekből szükségünk van a Student-féle t-próbára.

1.8a. táblázat

1.8b. táblázat

1.8c. táblázat.

Ilyen modellt kapunk:

Mert a< (4,75 < 71,024), уравнение регрессии следует признать адекватным.

Válasszuk ki a Student-féle t-próba legkisebb abszolút értékét, ez egyenlő 8,427-tel, hasonlítsuk össze a táblázatos értékkel, amelyet Excelben számolunk, vegyük a 0,10-es szignifikanciaszintet, a szabadságfokok száma n-m-1= 12-4=8: =1,8595

Mivel a 8.427>1.8595 a modell megfelelőnek tekinthető.

7. A kapott matematikai modell szignifikáns tényezőjének értékeléséhez kiszámítjuk a rugalmassági együtthatókat, és - együtthatókat

A rugalmassági együttható megmutatja, hogy az effektív attribútum hány százalékkal változik, ha a faktorattribútum 1%-kal változik:

E X4 = 2,137 * (10,69/24,182) = 0,94%

Azaz az állótőke-befektetés 1%-os növekedésével a költség átlagosan 0,94%-kal nő.

Az együttható megmutatja, hogy a szórás mekkora részével változik a függő változó átlagos értéke a független változó egy szórásnyi változásával.

2,137* (14.736/33,632) = 0,936.

A szórásadatok a Leíró statisztika eszközzel nyert táblázatokból származnak.

1.11. táblázat Leíró statisztikák (Y)

1.12. táblázat Leíró statisztikák (X4)

Az együttható meghatározza a tényező befolyásának arányát az összes tényező összhatásában:

A párkorrelációs együtthatók kiszámításához kiszámítjuk a párkorrelációs együtthatók mátrixát az Excelben az Adatelemzés beállításaiban található Korrelációs eszköz segítségével.

1.14. táblázat

(0,93633*0,93626) / 0,87 = 1,00.

Következtetés: A kapott számításokból arra a következtetésre juthatunk, hogy az Y effektív attribútum (bruttó regionális termék) nagymértékben (100%-kal) függ az X1 tényezőtől (állandó tőkebefektetés).

Bibliográfia

• 1. Magnus Y.R., Katyshev P.K., Peresetsky A.A. Ökonometria. Kezdő tanfolyam. Oktatóanyag. 2. kiadás - M.: Delo, 1998. - p. 69-74.
• 2. Workshop az ökonometriáról: Tankönyv / I.I. Eliseeva, S.V. Kurysheva, N.M. Gordeenko és munkatársai 2002. - p. 49-105.
• 3. Dougherty K. Bevezetés az ökonometriába: Ford. angolról - M.: INFRA-M, 1999. - XIV, p. 262-285.
• 4. Ayvyzyan S.A., Mikhtiryan V.S. Alkalmazott matematika és az ökonometria alapjai. -1998., 115-147.
• 5. Kremer N.Sh., Putko B.A. Ökonometria. -2007. 175-251 között.

A páros korrelációs együtthatók mátrixának elemzése azt mutatja, hogy az effektív mutató a legszorosabban kapcsolódik az indikátorhoz x(4) - az 1 hektáronként elfogyasztott műtrágya mennyisége ().

Ugyanakkor az attribútumok-argumentumok között meglehetősen szoros a kapcsolat. Így gyakorlatilag funkcionális kapcsolat van a kerekes traktorok száma között ( x(1) bekezdése) és a felszíni talajművelő szerszámok száma .

A multikollinearitás jelenlétét a és a korrelációs együtthatók is jelzik. Figyelembe véve a mutatók közötti szoros kapcsolatot x (1) , x(2) és x(3) szerint ezek közül csak egy szerepelhet a hozamregressziós modellben.

A multikollinearitás negatív hatásának bemutatásához vegye figyelembe a hozam regressziós modelljét, amely tartalmazza az összes bemeneti mutatót:

F obs = 121.

Az egyenlet együtthatóinak becslései szórásának korrigált becsléseinek értékei zárójelben vannak feltüntetve .

A regressziós egyenlet alatt a következő megfelelőségi paramétereket mutatjuk be: többszörös determinációs együttható; a reziduális variancia korrigált becslése, a közelítés átlagos relatív hibája és az F obs = 121 kritérium számított értéke.

A regressziós egyenlet azért jelentős, mert F obs = 121 > F kp = 2,85 a táblázatból találva F-eloszlások a=0,05-nél; n1=6 és n2=14.

Ebből következik, hogy Q¹0, i.e. és a q egyenlet legalább egyik együtthatója j (j= 0, 1, 2, ..., 5) nem nulla.

A H0 egyéni regressziós együtthatók szignifikanciájára vonatkozó hipotézis teszteléséhez: q j =0, ahol j=1,2,3,4,5, hasonlítsa össze a kritikus értéket t kp = 2,14, a táblázatból megállapítva t-eloszlások szignifikancia szinten a=2 K=0,05 és a szabadságfokok száma n=14, a számított értékkel. Az egyenletből következik, hogy a regressziós együttható statisztikailag csak akkor szignifikáns x(4) ½ óta t 4 ½ = 2,90 > t kp = 2,14.

A regressziós együtthatók negatív előjelei nem alkalmasak közgazdasági értelmezésre, amikor x(1) és x(5) . Az együtthatók negatív értékeiből az következik, hogy a mezőgazdaság kerekes traktorokkal való telítettségének növekedése ( x(1) és növény-egészségügyi termékek ( x(5) bekezdése) negatív hatással van a hozamra. Ezért a kapott regressziós egyenlet elfogadhatatlan.

Ahhoz, hogy szignifikáns együtthatókat tartalmazó regressziós egyenletet kapjunk, lépésenkénti regresszióelemző algoritmust használunk. Kezdetben lépésenkénti algoritmust használunk a változók kiiktatásával.

Zárjuk ki a változót a modellből x(1) , amely ½ minimális abszolút értékének felel meg t 1½ = 0,01. A többi változóhoz ismét megszerkesztjük a regressziós egyenletet:

A kapott egyenlet szignifikáns, mert F megfigyelt = 155 > F kp = 2,90, a szignifikancia szinten a = 0,05 és a szabadsági fokok száma n 1 = 5 és n 2 = 15 a táblázat szerint. F-elosztás, azaz. vektor q¹0. Azonban csak a regressziós együttható at x(4) . Becsült értékek ½ t j ½ más együtthatók esetén kisebb t kr = 2,131, a táblázatból megállapítva t-eloszlások a=2-nél K= 0,05 és n = 15.

A változó modellből való kizárásával x(3) , amely a minimális értéknek felel meg t 3 =0,35 és megkapjuk a regressziós egyenletet:

(2.9)

A kapott egyenletben az együttható at x(5) . Kizárással x(5) megkapjuk a regressziós egyenletet:

(2.10)

Szignifikáns regressziós egyenletet kaptunk szignifikáns és értelmezhető együtthatókkal.

A kapott egyenlet azonban nem az egyetlen „jó” és nem a „legjobb” hozammodell a példánkban.

Mutassuk meg multikollinearitási feltételben a változók beépítésével végzett lépésenkénti algoritmus hatékonyabb. A hozammodell első lépése y változó tartalmazza x(4) , amely a legmagasabb korrelációs együtthatóval rendelkezik y, a - változóval magyarázható r(y,x(4) = 0,58. A második lépésben, beleértve az egyenletet együtt x(4) változók x(1) vagy x(3) alapján olyan modelleket kapunk, amelyek gazdasági okokból és statisztikai jellemzők miatt meghaladja a (2.10):

(2.11)

(2.12)

A három fennmaradó változó bármelyikének az egyenletbe való belefoglalása rontja annak tulajdonságait. Lásd például a (2.9) egyenletet.

Így van három „jó” hozammodellünk, amelyek közül közgazdasági és statisztikai okokból egyet kell választanunk.

A statisztikai kritériumok szerint a (2.11) modell a legmegfelelőbb. Ez megfelel a reziduális variancia minimális értékeinek = 2,26 és a közelítés átlagos relatív hibájának és a legnagyobb értékeknek és a Fob = 273-nak.

A (2.12) modellnek valamivel rosszabbak a megfelelőségi mutatói, ezt követi a (2.10) modell.

Most a (2.11) és (2.12) modellek közül a legjobbat választjuk ki. Ezek a modellek változókban különböznek egymástól x(1) és x(3) . A hozammodellekben azonban a változó x(1) (kerekes traktorok száma 100 ha-ra) előnyösebb, mint a változó x(3) (felszíni talajművelő eszközök száma 100 ha-ra), amely bizonyos mértékig másodlagos (vagy abból ered x (1)).

E tekintetben gazdasági okokból előnyben kell részesíteni a (2.12) modellt. Így a lépésenkénti regresszióanalízis algoritmus változók bevonásával történő megvalósítása után, figyelembe véve azt a tényt, hogy a három kapcsolódó változó közül csak egy kerüljön be az egyenletbe ( x (1) , x(2) vagy x(3)) válassza ki a végső regressziós egyenletet:

Az egyenlet szignifikáns a=0,05-nél, mert F obs = 266 > F kp = 3,20, a táblázatból találva F-elosztások a=-nál K=0,05; n1=3 és n2=17. A ½ egyenletben szereplő összes regressziós együttható szintén szignifikáns t j½> t kp(a=2 K=0,05; n=17)=2,11. A q 1 regressziós együtthatót gazdasági okokból szignifikánsnak kell tekinteni (q 1 ¹0), míg t 1 = 2,09 csak valamivel kevesebb t kp = 2,11.

A regressziós egyenletből az következik, hogy a 100 hektár szántóterületre jutó traktorok számának eggyel növekedése (fix értéken x(4)) a szemtermés átlagosan 0,345 c/ha-os növekedéséhez vezet.

Az e 1 »0,068 és e 2 »0,161 rugalmassági együtthatók közelítő számítása azt mutatja, hogy növekvő mutatók mellett x(1) és x(4) 1%-kal, a szemtermés átlagosan 0,068, illetve 0,161%-kal nő.

A többszörös determinációs együttható azt jelzi, hogy a hozamingadozásnak csak 46,9%-át magyarázzák a modellben szereplő mutatók ( x(1) és x(4)), vagyis a növénytermesztés traktorokkal és műtrágyákkal való telítése. Az eltérés többi része fel nem vett tényezők hatására ( x (2) , x (3) , x(5), időjárási viszonyok stb.). A közelítés átlagos relatív hibája jellemzi a modell megfelelőségét, valamint a reziduális variancia értékét. A regressziós egyenlet értelmezésekor a közelítés relatív hibáinak értékei érdekesek . Emlékezzünk vissza, hogy - az effektív mutató modellértéke a vizsgált régiók összességére jellemző termésátlagértéket jellemzi, feltéve, hogy a magyarázó változók értékei x(1) és x(4) ugyanazon a szinten vannak rögzítve, nevezetesen x (1) = x i(1) és x (4) = x i(4) . Ezután a d értékei szerint énÖsszehasonlíthatja a régiókat hozam alapján. Területek, amelyeknek d értékek felelnek meg én>0, átlag feletti hozamúak, és d én<0 - ниже среднего.

Példánkban a terméshozam szempontjából a d-nek megfelelő területen a legeredményesebb a növénytermesztés 7 =28%, ahol a hozam 28%-kal magasabb a régiós átlagnál, és a legkevésbé hatékony a d 20 =-27,3%.

Feladatok és gyakorlatok

2.1. Az általános lakosságból ( y, x (1) , ..., x(p)), hol y normális eloszlási törvénye van feltételes matematikai várakozással és s 2 szórással, véletlenszerű mintával n, elengedni ( y i, x i (1) , ..., x i(p)) - eredmény én megfigyelés ( én=1, 2, ..., n). Határozzuk meg: a) a vektor legkisebb négyzetes becslésének matematikai elvárását! q; b) a vektor legkisebb négyzetes becslésének kovarianciamátrixa q; c) az értékelés matematikai elvárása.

2.2. A 2.1. feladat feltételei szerint keresse meg a regresszióból adódó eltérések négyzetes összegének matematikai elvárását, azaz! EQ R, Ahol

.

2.3. A 2.1. feladat feltételei szerint határozza meg a regressziós egyenesekhez viszonyított reziduális variáció okozta eltérések négyzetes összegének matematikai elvárását, azaz! EQ ost, hol

2.4. Bizonyítsuk be, hogy ha a H 0 hipotézis teljesül: q=0 statisztika

F-eloszlása ​​n 1 =p+1 és n 2 =n-p-1 szabadsági fokokkal rendelkezik.

2.5. Bizonyítsuk be, hogy a H 0: q j =0 hipotézis teljesülésekor a statisztika n=n-p-1 szabadságfokszámú t-eloszlású.

2.6. A takarmánykenyér zsugorodása függésének adatai alapján (2.3. táblázat) ( y) a tárolás időtartamáról ( x) keresse meg a feltételes várakozás pontbecslését azzal a feltételezéssel, hogy az általános regressziós egyenlet lineáris.

2.3. táblázat.

Szükséges: a) keresse meg az s 2 maradék variancia becsléseit azzal a feltételezéssel, hogy az általános regressziós egyenlet alakja ; b) ellenőrizze a=0,05-nél a regressziós egyenlet szignifikanciáját, i.e. hipotézis H 0: q=0; c) g=0,9 megbízhatósággal határozza meg a q 0, q 1 paraméterek intervallumbecsléseit; d) g=0,95 megbízhatósággal határozza meg a feltételes matematikai elvárás intervallumbecslését x 0 =6; e) határozza meg g=0,95-nél az előrejelzés konfidencia intervallumát a pontban x=12.

2.7. Táblázatban szereplő, a részvényárak növekedési ütemének 5 hónapos dinamikájára vonatkozó adatok alapján. 2.4.

2.4. táblázat.

és feltételezve, hogy az általános regressziós egyenlet alakja , szükséges: a) becslések meghatározása mind a regressziós egyenlet paramétereire, mind az s 2 maradék variancia értékére; b) ellenőrizze a=0,01-nél a regressziós együttható szignifikanciáját, azaz. hipotézisek H 0: q 1 =0;

c) g=0,95 megbízhatósággal keresse meg a q 0 és q 1 paraméterek intervallumbecsléseit; d) g=0,9 megbízhatósággal állítsa fel a feltételes matematikai elvárás intervallumbecslését x 0 = 4; e) határozza meg g=0,9-nél az előrejelzés konfidencia intervallumát a pontban x=5.

2.8. A fiatal állatok súlygyarapodási dinamikájának vizsgálatának eredményeit a 2.5. táblázat tartalmazza.

2.5. táblázat.

Feltételezve, hogy az általános regressziós egyenlet lineáris, szükséges: a) meghatározni a regressziós egyenlet paramétereinek és az s 2 reziduális variancia becsléseit; b) ellenőrizze a=0,05-nél a regressziós egyenlet szignifikanciáját, i.e. hipotézisek H 0: q=0;

c) g=0,8 megbízhatósággal keresse meg a q 0 és q 1 paraméterek intervallumbecslését; d) g=0,98 megbízhatósággal határozza meg és hasonlítsa össze a feltételes matematikai várakozás intervallumbecsléseit x 0 =3 és x 1 =6;

e) határozza meg g=0,98-nál az előrejelzés konfidencia intervallumát a pontban x=8.

2.9. Költség ( y) egy példány a könyvből a példányszámtól függően ( x) (ezer példányban) a kiadó által gyűjtött adatok jellemzik (2.6. táblázat). Határozza meg egy hiperbolikus regressziós egyenlet legkisebb négyzetes becsléseit és paramétereit g=0,9 megbízhatósággal, alkosson konfidenciaintervallumot a q 0 és q 1 paraméterekhez, valamint a feltételes várakozást x=10.

2.6. táblázat.

Határozza meg a forma regressziós egyenletének becsléseit és paramétereit, tesztelje a H 0 hipotézist a = 0,05: q 1 = 0 mellett, és alkosson konfidenciaintervallumokat g = 0,9 megbízhatósággal a q 0 és q 1 paraméterekre, valamint a feltételes matematikai várakozásra x=20.

2.11. táblázatban A 2.8 a következő makrogazdasági mutatók növekedési ütemére (%) mutatott be adatokat n= a világ 10 fejlett országa 1992-ben: GNP - x(1) , ipari termelés - x(2) , árindex - x (3) .

2.8. táblázat.